ヤングの干渉実験(7)(量子論)

光の干渉(Young's experiment)関連の記事の続きです。

年の瀬も押し詰まっている状況であることも相俟って記事が細切れ

気味になってきています。

"光子＝輻射場(radiation field)"ではなく気体原子

(あるいは,原子を構成している電子)の方のHamiltonianを,

さらに"量子化＝第２量子化"します。

孤立原子のHamiltonian:

Ｈ_E＝Σ_j=1^Z{ｐ_j²/(2ｍ)}＋(1/2)∫ρ(ｒ,ｔ)φ(ｒ,ｔ)ｄｒ

に対して,エネルギー固有値として,ｈ_cω_iを持つ固有状態を

|ｉ＞と番号付けすると,Ｈ_E|ｉ＞＝ｈ_cω_i|ｉ＞です。

(ただし,ｈ_c≡ｈ/(2π)で,ｈはPlanck定数です。)

そして,{|ｉ＞}が状態の完全系を張っているとすると,

Σ_i|ｉ＞＜ｉ|＝1ですから,

 Ｈ_E＝Σ_i|ｉ＞＜ｉ|Ｈ_EΣ_j|ｊ＞＜ｊ|　と書けます。

さらに,|ｉ＞は規格直交化されているとしＨ_Eは|ｉ＞によって

対角化されていると想定してかまわないので,

＜ｉ|Ｈ_E|ｊ＞＝ｈ_cω_iδ_ijと書けるとしていいでしょう。

　そこでＨ_Eは,Ｈ_E＝Σ_iｈ_cω_i|ｉ＞＜ｉ|と表現されます。

こうした変形操作の手続きを個数量子化あるいは第２量子化

(場の量子化)と呼び,物理系の状態全体で構成される状態空間

は個数状態:|ｉ＞を基底とすることができて,その任意の状態

が個数状態の重ね合わせだけでいくらでも精密に表現できる

線形空間であるとする理論を場の量子論といいます。

こうした理論の元祖であり,特に光や電子の電磁的な系のみを

扱う伝統的な理論は量子電磁力学(QED)と呼ばれています。

すなわち,このHamiltonianの変形操作の手続きは,まず系を

振動数ω_iを持つ調和振動子の集まりと見て,番号ｉで分類

される系のエネルギー固有状態のエネルギー準位を関連した

ある量子(粒子であり同時に波動であるような不思議な実体)

の個数と同一視します。

各々の振動子のエネルギー固有状態を個数状態と呼び,

エネルギーが励起されて準位が１つ上がることを量子が１つ

生成されるといい,逆に準位が１つ下がることを量子が１つ

消滅されると,いい表わします。

こうした描像を可能にする量子力学の表示の変換を第２量子化

の手続きと呼ぶわけです。

そして,原子のある固有状態|ｌ＞に|ｉ＞＜ｊ|を作用させると

|ｉ＞＜ｊ|ｌ＞＝δ_jl|ｉ＞ですから,演算子(作用素)

|ｉ＞＜ｊ|は,状態|ｊ＞を消滅させて,状態|ｉ＞を生成する

ものです。

Ｈ_E＝Σ_iｈ_cω_i|ｉ＞＜ｉ|なる表現は,相互作用がなければ実質的

な生成消滅がないことを示しています。

そして,電気双極子近似で見た原子と輻射場(光子)の相互作用は

Ｈ_I～Ｈ_ED(ｔ)＝ｅＤＥ_T(0,ｔ)ですが,上述の変形操作に従えば

Ｄ＝Σ_i|ｉ＞＜ｉ|ＤΣ_j|ｊ＞＜ｊ|＝Σ_i,jＤ_ij|ｉ＞＜ｊ|,

ただし,Ｄ_ij≡＜ｉ|Ｄ|ｊ＞です。

それ故,Ｈ_I ～ Ｈ_ED(ｔ)＝ｅＤＥ_T(0,ｔ)

＝Σ_i,jｅＤ_ijＥ_T(0,ｔ)|ｉ＞＜ｊ| と書けます。

また,Coulombゲージでの横光子の第２量子化された電場

Ｅ_T(ｒ,ｔ)は前の記事で既に述べたように,

Ｅ_T(ｒ,ｔ)＝Σ_kＥ_k;Ｅ_k

＝i{ｈ_cω_k/(ε₀Ｖ)}^1/2Σ_λε_kλ[ａ_kλexp(－iω_kｔ＋iｋｒ)

－ａ_kλ⁺exp(iω_kｔ－iｋｒ)]

なる形式で与えられることがわかっています。

しかし,より一般化して原子核は座標原点ｒ＝0 にあるわけ

ではなくて位置:ｒ＝Ｒにあるとするなら,

Ｈ_ED(ｔ)＝ｅＤＥ_T(Ｒ,ｔ)と書けます。

　そこで,結局,一般的には,

Ｈ_ED(ｔ)＝iｅΣ_kΣ_λ{ｈ_cω_k/(ε₀Ｖ)}^1/2ε_kλＤ_ij×

[ａ_kλexp(－iω_kｔ＋iｋＲ)－ａ_kλ⁺exp(iω_kｔ－iｋＲ)]|ｉ＞＜ｊ|

となります。

こうして"微細構造定数αの１次近似＝電気双極子近似"である

ことを除けば,原子-輻射系のハミルトニアンを完全に第２量子化

の言葉で表わすことに成功しました。

ここで,実際の単位時間当たりの"遷移確率＝遷移速度"を求める

ために時間に依存する摂動論を正しく定式化しておきます。

まず,系を記述する全Hamiltonian:Ｈ は時間に陽には依存

しないSchroedinger表示の２つの演算子の和として,

Ｈ＝Ｈ₀＋Ｈ₁と表わされるとします。

ここで,Ｈ₀は結合のない自由な電子(原子)と輻射の非相互作用

Hamiltonianです。

　一方,Ｈ₁はそれらの間の相互作用Hamiltonianです。

電気双極子近似ならＨ₁＝Ｈ_EDです。

全系Ｈ＝Ｈ₀＋Ｈ₁を結合系と呼ぶことにします。

Φ_S(ｔ)がSchroedingerの波動方程式:

ＨΦ_S(ｔ)＝iｈ_c{∂Φ_S(ｔ)/∂ｔ}を満たす１つの解で,時刻ｔ

におけるシュレーディンガーの波動関数を表わしていると

しします。

この線型波動方程式を形式的に解くことにより,時刻ｔ₀での

波動関数Φ_S(ｔ₀)が時間発展して後の任意時刻ｔ(ｔ＞ｔ₀)には,

Φ_S(ｔ)になるという関係を,

Φ_S(ｔ)＝exp{－iＨ(ｔ－ｔ₀)/ｈ_c}Φ_S(ｔ₀)

なる表現として表わすことができます。

さて,ψ_fはエネルギー:ｈ_cω_fを持つ自由場のHamiltonianＨ₀

の固有関数(固有状態)であるとします。

つまり,Ｈ₀ψ_f＝ｈ_cω_fψ_fが成立するものとします。

このとき,系が時刻ｔに状態ψ_fにあると観測される確率は

ψ_fとΦ_S(ｔ)との"内積＝重なり積分"の大きさの２乗

|＜ψ_f|Φ_S(ｔ)＞|²

＝|＜ψ_f| exp{－iＨ(ｔ－ｔ₀)/ｈ_c}|Φ_S(ｔ₀)＞|²

で与えられます。

一方,時刻ｔ₀での初期の結合系の状態は,一般にＨ₀の固有状態

の重ね合わせとして表わすことができます。

ψ_uを,Ｈ₀の固有状態の１つとして,Ｈ₀ψ_u＝ｈ_cω_uψ_uが成立つ

ものとします。

"時刻ｔ₀には系が固有状態ψ_uにあった場合に,時刻ｔに系が

固有状態ψ_fに見出される確率＝始状態ψ_uから終状態ψ_fへの

遷移確率"は|＜ψ_f|exp{－iＨ(ｔ－ｔ₀)/ｈ_c}|ψ_u＞|²

で与えられます。

以下では,この遷移確率の表式を,

|＜ｆ|exp{－iＨ(ｔ－ｔ₀)/ｈ_c}|ｕ＞|²

と簡略的に表記することにします。

そして,１つの始状態ψ_uから特定の終状態ψ_fへの遷移確率は

ほぼ経過時間に比例するので,"遷移速度＝単位時間当りの

遷移確率"を

"遷移確率の時間微分＝1/τ≡(ｄ/ｄｔ)

|＜ｆ|exp{－iＨ(ｔ－ｔ₀)/ｈ_c}|ｕ＞|²によって定義します。

始状態ψ_uからいくつかの終状態ψ_fへの遷移が同時に観測される

ような実験的状況,例えば実験が終状態のスピンを特定しない

ような場合には,

1/τ≡(ｄ/ｄｔ)[Σ_f|＜ｆ|exp{－iＨ(ｔ－ｔ₀)/ｈ_c}|ｕ＞|²]

で遷移速度を定義します。

遷移速度のこの形式的な表式:

1/τ≡(ｄ/ｄｔ)[Σ_f|＜ｆ|exp{－iＨ(ｔ－ｔ₀)/ｈ_c}|ｕ＞|²]

は,具体的に計算を実行するのに便利な形をしていません。

しかし,Ｈ＝Ｈ₀＋Ｈ₁において,Ｈ₁＜＜Ｈ₀の場合を想定して

いるので,遷移速度表示の右辺をＨ₁の高次項が急速に減衰する

ような,Ｈ₁の行列要素のベキ級数に展開すれば,より使いやすい

近似計算が可能です。

つまり,exp{－iＨ(ｔ－ｔ₀)/ｈ_c}をＨ₁のベキで展開する

わけです。

一般に,Ｈ₀とＨ₁は非可換なため,

exp(－iＨｔ/ｈ_c)≠exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)exp(－iＨ₁ｔ/ｈ_c)

ですから,この展開は簡単にはできません。

しかし,等式:exp(iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｈ₁exp(－iＨｔ/ｈ_c)

＝(iｈ_c)(ｄ/ｄｔ)[exp(iＨ₀ｔ/ｈ_c)exp(－iＨｔ/ｈ_c)]

が成立します。

そこで,∫_t0^t exp(iＨ₀ｔ₁/ｈ_c)Ｈ₁exp(－iＨｔ₁/ｈ_c)ｄｔ₁

＝(iｈ_c)[exp(iＨ₀ｔ/ｈ_c)exp(－iＨｔ/ｈ_c)

－exp(iＨ₀ｔ₀/ｈ_c)exp(－iＨｔ₀/ｈ_c)]

が成立します。

それ故,exp(－iＨｔ/ｈ_c)

＝exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)[exp(iＨ₀ｔ₀/ｈ_c)exp(－iＨｔ₀/ｈ_c)

－(i/ｈ_c)∫_t0^t exp(iＨ₀ｔ₁/ｈ_c)Ｈ₁exp(－iＨｔ₁/ｈ_c)ｄｔ₁]

なる表現を得ることができます。

通常,ｔ＝－∞に初期定常状態が既に安定的に存在していた

として,初期時刻をｔ₀＝－∞に取ります。

時刻ｔ＝ｔ₀ではＨ₁＝0 ,つまりＨ＝Ｈ₀ですが相互作用Ｈ₁の

スイッチが断熱的にオンオフされる状況を,

exp(εｔ₁)(ただしε→＋0 )なる因子の挿入で表現すると,

上の等式は,

exp(－iＨｔ/ｈ_c)＝exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)

[1－(i/ｈ_c)∫_-∞^t exp(iＨ₀ｔ₁/ｈ_c)Ｈ₁exp(εｔ₁)

exp(－iＨｔ₁/ｈ_c)ｄｔ₁]　なる形になります。

※(注)物理学では,計算式等が有限にならないとか数学的に定義

できない場合,これを回避するために無限小のε＞0 を便宜的に

導入して計算完了後にε→＋0 の極限を取るような操作が正当化

されます。

この操作は,例えば電磁気学や散乱理論での遅延Green関数と

先進Green関数の違いなどに関係しています。

すなわち,計算すべき散乱振幅などが解として従う微分方程式

において,満たすべき境界条件の指定によって,結果が微妙に

左右される場合の境界条件の選択方法と大いに関わって

います。

(注釈終わり)※

さて,＜ｆ|exp{－iＨ(ｔ－ｔ₀)/ｈ_c}|ｕ＞のＨ₁のベキ展開の

ゼロ次の項は,

＜ｆ|exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)|ｕ＞＝exp(－iω_uｔ)＜ｆ|ｕ＞なる因子

を持ちますが,遷移というからにはｆ≠ｕ,

つまり＜ｆ|ｕ＞＝0 なので,ゼロ次の寄与はゼロに

なります。

１次の項は,＜ｆ|exp(－iＨｔ/ｈ_c)|ｕ＞

＝＜ｆ|exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)[1－(i/ｈ_c)∫_-∞^t exp(iＨ₀ｔ₁/ｈ_c)

Ｈ₁exp(εｔ₁)exp(－iＨｔ₁/ｈ_c)ｄｔ₁]|ｕ＞の第２項の積分で

最右辺のＨをＨ₀に変えたものです。

すなわち,－(i/ｈ_c)＜ｆ|exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)∫_-∞^tｄｔ₁

exp(iＨ₀ｔ₁/ｈ_c)Ｈ₁exp(εｔ₁)exp(－iＨ₀ｔ₁/ｈ_c)]|ｕ＞

＝－(i/ｈ_c)exp(－iω_fｔ)＜ｆ|Ｈ₁|ｕ＞∫_-∞^tｄｔ₁

exp(iω_fｔ₁＋εｔ₁－iω_uｔ₁)

＝{＜ｆ|Ｈ₁|ｕ＞exp(εｔ－iω_uｔ)/ｈ_c}/

(ω_u－ω_f＋iε)となります。

したがって,１次の項だけで遷移速度:1/τ

＝(ｄ/ｄｔ)[Σ_f|＜ｆ|exp{－iＨ(ｔ－ｔ₀)/ｈ_c}|ｕ＞|²]

を近似すると,

　1/τ＝(ｄ/ｄｔ)Σ_f[{|＜ｆ|Ｈ₁|ｕ＞|²exp(2εｔ)/ｈ_c²}

　/{(ω_u－ω_f)²＋ε²}]

　＝(2/ｈ_c²)Σ_f[{|＜ｆ|Ｈ₁|ｕ＞|²εexp(2εｔ)/{(ω_u－ω_f)²＋ε²}]

となります。

ε→＋0 の極限を取ると,１次近似では,

1/τ＝(2π/ｈ_c²)Σ_f{|＜ｆ|Ｈ₁|ｕ＞|²δ(ω_u－ω_f)}

が得られます。

これは有名なFermiの黄金律(Fermi's golden rule)です。

さらに２次の項は,第２項の積分で,最右辺のexp(－iＨｔ₁/ｈ_c)

にこれの１次の近似項を代入すれば得られます。

すなわち,

(－1/ｈ_c²)＜ｆ|exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)∫_-∞^tｄｔ₁∫_-∞^t1ｄｔ₂

exp(iＨ₀ｔ₁/ｈ_c)Ｈ₁exp(εｔ₁)exp{－iＨ₀(ｔ₁－ｔ₂)/ｈ_c}

Ｈ₁exp(εｔ₂)exp(－iＨ₀ｔ₂/ｈ_c)]|ｕ＞　です。

これに,完全系を示す式:1＝Σ_l|ｌ＞＜ｌ|を挟んで整理する

と,－ｈ_c^-2Σ_lexp(－iω_fｔ)＜ｆ|Ｈ₁|ｌ＞＜ｌ|Ｈ₁|ｕ＞

∫_-∞^tｄｔ₁∫_-∞^t1ｄｔ₂

exp{iω_fｔ₁＋εｔ₁－iω_l(ｔ₁－ｔ₂)＋εｔ₂＋iω_uｔ₁}

＝Σ_l[{＜ｆ|Ｈ₁|ｌ＞＜ｌ|Ｈ₁|ｕ＞exp(2εｔ－iω_uｔ)

/{(ω_u－ω_l＋iε)(ω_u－ω_f＋2iε)}}　となります。

１次の項と２次の項の寄与の総和は,

(1/ｈ_c){exp(εｔ－iω_uｔ)/(ω_u－ω_f＋iε)}[＜ｆ|Ｈ₁|ｕ＞

＋(1/ｈ_c)Σ_l{＜ｆ|Ｈ₁|ｌ＞＜ｌ|Ｈ₁|ｕ＞/{(ω_u－ω_l＋iε/2)}]

です。

そこで,ｆ≠ｕの２次までの近似で正しい遷移速度は,

1/τ＝(2π/ｈ_c²)[Σ_f{|＜ｆ|Ｈ₁|ｕ＞

＋(1/ｈ_c)Σ_l{＜ｆ|Ｈ₁|ｌ＞＜ｌ|Ｈ₁|ｕ＞/(ω_u－ω_l)}|²δ(ω_u－ω_f)}となって,Fermiの黄金律をより精密にした形になります。

２次の摂動計算のために便宜上挿入した完全系の式：

1＝Σ_l|ｌ＞＜ｌ|において,導入されたエネルギーｈ_cω_lを

持つ個々の状態|ｌ＞のことを中間状態(intermediate state),

あるいは仮想状態(virtual state)と呼びます。

この"中間状態＝仮想状態"においては,エネルギー保存則など

の保存則が破れていてもかまいません。

実際,Σ_l{＜ｆ|Ｈ₁|ｌ＞＜ｌ|Ｈ₁|ｕ＞/(ω_u－ω_l)なる

中間状態|ｌ＞の寄与において,仮想状態ではなく正確に

エネルギー保存ω_l＝ω_uが要求される実状態なら,分母が

ゼロになって困る事態が起こります。

もっとも,こうした困難を回避するため,(ω_u－ω_l)の

代わりに(ω_u－ω_l＋iε)と置いて無限小の純虚数を導入し,

計算結果は級数和でなく複素積分で表現されることも多い

わけです。

そして,こうした中間状態の振幅への寄与の大部分が,ω_u～ω_l

なるエネルギーが保存される実状態の近傍の状態に由来する

のは,形から明らかなことです。

こうして仮想状態が許容されるのは,遷移現象における時間と

エネルギーの不確定性原理:ΔＥΔｔ～ｈ/2,または

ΔωΔｔ～1/2の反映と見ることもできます。

つまり,摂動論という便宜的な近似法の中にも量子論の本質

である不確定性原理が現われているように見えるわけです。

この"中間状態＝仮想状態"が光子の状態である場合には,このとき

の光子を現実に観測される実光子と区別して仮想光子と呼びます。

これも不確定性原理の反映として仮想光子の質量がゼロである

必要はありません。

また,中間状態が光子状態ではなく質量を持った,例えばπ中間子

の状態ならば,そのπ中間子は仮想π中間子と呼ばれます。

いずれにしても仮想状態の粒子の質量は,実際に観測される粒子

の質量と一致する必要はなく,それ故仮想粒子と呼ばれるわけです。

そして,仮想粒子の質量は実粒子とは違って,観測時間Δｔを

短かく取れば－∞ ～＋∞ の範囲の全ての値を取ることが

可能です。

そのため,実粒子状態は"質量殻の上にある＝オンシェル状態に

ある"といわれ,仮想粒子の状態は"質量殻の外にある＝

オフシェル状態"にあるといわれることがあります。

さて,電気双極子近似での原子のHamiltonianは,

Ｈ_E＋Ｈ_ED(ｔ);Ｈ_E＝Σ_iｈ_cω_i|ｉ＞＜ｉ|,Ｈ_ED(ｔ)

＝iｅΣ_kΣ_λ{ｈ_cω_k/(ε₀Ｖ)}^1/2ε_kλＤ_ij

[ａ_kλexp(－iω_kｔ＋iｋＲ)－ａ_kλ⁺exp(iω_kｔ－iｋＲ)]|ｉ＞＜ｊ|

で与えられることがわかっています。

そこでΨ(ｔ)を,状態を示す波動関数とするとき,原子に対する

Schroedingerの波動方程式は,

{Ｈ_E＋Ｈ_ED(ｔ)}Ψ(ｔ)＝iｈ_c{∂Ψ(ｔ)/∂ｔ}

表わすことができます。

  この方程式は孤立原子のHamiltonian:Ｈ_Eが時間に依らない

Schroedinger表示の演算子であるのに対し,電気双極子相互作用

Kamiltonian:Ｈ_ED(ｔ)が時間ｔに依存するHeisenberg表示という

混合形式になっています。

この式を演算子が時間を陽に含まない,通常のSchroedinger

表示のそれに変換するため,新しいSchroedinger表示の

波動関数:Φ_s(ｔ)を,Φ_s(ｔ)≡exp(－iＨ_Rｔ/ｈ_c)Ψ(ｔ)

によって定義します。

ここで,Ｈ_R≡Σ_kΣ_λｈ_cω_kａ_kλａ_kλ⁺は輻射光子のHamiltonian

ですが,本質には関わらない零点エネルギーは除いています。

これを先の波動方程式:

{Ｈ_E＋Ｈ_ED(ｔ)}Ψ(ｔ)＝iｈ_c{∂Ψ(ｔ)/∂ｔ}に代入すると,

{Ｈ_E＋Ｈ_ED(ｔ)}exp(iＨ_Rｔ/ｈ_c)Φ_S(ｔ)

＝iｈ_c(∂/∂ｔ){exp(iＨ_Rｔ/ｈ_c)Φ_S(ｔ)}

＝iｈ_c exp(iＨ_Rｔ/ｈ_c)

{(iＨ_R/ｈ_c)Φ_S(ｔ)＋{∂Φ_S(ｔ)/∂ｔ}　です。

ここでＨ_EとＨ_Rは可換なので,

これは,

{Ｈ_E＋Ｈ_R＋exp(－iＨ_Rｔ/ｈ_c)Ｈ_ED(ｔ)exp(iＨ_Rｔ/ｈ_c)}Φ_S(ｔ)

＝iｈ_c{∂Φ_S(ｔ)/∂ｔ}　となります。

ところが,陽な表式Ｈ_R≡Σ_kΣ_λｈ_cω_kａ_kλａ_kλ⁺を左辺の{ }の

中の最終項:exp(－iＨ_Rｔ/ｈ_c)Ｈ_ED(ｔ)exp(iＨ_Rｔ/ｈ_c)に代入

すれば,

 exp(－iＨ_Rｔ/ｈ_c)Ｈ_ED(ｔ)exp(iＨ_Rｔ/ｈ_c)

　＝iｅΣ_kΣ_λ{ｈ_cω_k/(ε₀Ｖ)}^1/2ε_kλＤ_ij

　[exp(－iＨ_Rｔ/ｈ_c)ａ_kλexp(iＨ_Rｔ/ｈ_c)exp(－iω_kｔ＋iｋＲ)

　－exp(－iＨ_Rｔ/ｈ_c)ａ_kλ⁺exp(iＨ_Rｔ/ｈ_c)

　exp(iω_kｔ－iｋＲ)]|ｉ＞＜ｊ|

　＝iｅΣ_kΣ_λ{ｈ_cω_k/(ε₀Ｖ)}^1/2ε_kλＤ_ij

　[ａ_kλexp(iｋＲ)－ａ_kλ⁺exp(－iｋＲ)]|ｉ＞＜ｊ|

　となります。

つまり,exp(－iＨ_Rｔ/ｈ_c)Ｈ_ED(ｔ)exp(iＨ_Rｔ/ｈ_c)

＝Ｈ_ED(0)　です。

右辺のＨ_ED(0)＝iｅΣ_kΣ_λ{ｈ_cω_k/(ε₀Ｖ)}^1/2

ε_kλＤ_ij[ａ_kλexp(iｋＲ)－ａ_kλ^＋exp(－iｋＲ)]|ｉ＞＜ｊ|

は,時間に依存しない通常のSchroedinger表示の演算子

なので,Ｈ_ED(0)を単にＨ_EDと表記すれば波動方程式は非常に

簡単な形:(Ｈ_E＋Ｈ_R＋Ｈ_ED)Φ_S(ｔ)＝iｈ_c{∂Φ_S(ｔ)/∂ｔ}

に帰着します。

　こうして,Ｈ≡Ｈ_E＋Ｈ_R＋Ｈ_ED はSchroedinger表示

での系　の全Hamiltonianに相当します。

　　そしてΦ_S(ｔ)が系の正しい波動関数を示している

　ことがわかりました。

そこで,Ｈ₀≡Ｈ_E,Ｈ₁≡Ｈ_R＋Ｈ_ED,Ｈ＝Ｈ₀＋Ｈ₁と置いて,先に

紹介した時間に依存する摂動論を適用すれば,原理的には

完全に第２量子化された原子光子系の場の量子論の計算と

して,相互作用が電気双極子近似された場合の遷移速度等

の計算を実行することができます。

さらに,それぞれ統計的重みＰ_Sを持って幾つかの純粋状態

Φ_S(ｔ)が混合した混合状態における時刻ｔでの密度演算子

をρ(ｔ)≡Σ_SＰ_S|Φ_S(ｔ)＞＜Φ_S(ｔ)|

＝Σ_SＰ_Sexp(－iＨｔ/ｈ_c)|Φ_S(0)＞＜Φ_S(0)|exp(iＨｔ/ｈ_c)

とおきます。

すると,Schroedinger表示での演算子Ｏの時刻ｔにおける

観測期待値は,＜Ｏ(ｔ)＞＝Tr(ρ(ｔ)Ｏ)

で与えられます。

もちろん,時間に依存する演算子である密度演算子:

ρ(ｔ)はHeisenberg方程式に従います。

すなわち,iｈ_c(ｄρ/ｄｔ)＝[Ｈ,ρ]なる方程式に従います。

今年はここまでにします。

恐らく,この論題については来年早々終わりになると思います。

あとほんの少しですから。。

では,来年もよろしく。。

参考文献:R.Loudon 著(小島忠宣,小島和子 共訳)

「光の量子論(第２版)」(内田老鶴圃)

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