水素様原子の波動関数

冬場と夏場は若干心臓の動きが悪いと言われているし,自身そんな気もするので,自分の体調を考えてブログの１つの記事の量も半分程度にしようと思います。

別の場所で"せいたかのっぽ"さんのコメントも頂きましたが,私は皮肉ではなく物性を定性的に捉えて説明できるような化学屋さんを尊敬しています。

私などは本質的に他人より馬鹿なので,本来は定性的なものでさえ,なんとか定量的に捉えて数式の助けを借りなければほとんど理解できず,物理的意味を問われても数式を使用しないと答えられない人間です。

数式にでも頼ってなんとかうまく咀嚼できた後に,他人に説明できるほどの物理的イメージと語彙が整って初めて定性的説明が可能だと思うので,定性的に説明できたり,定性的に理解するのは大変な能力だと思って若干尊敬してしまいます。

さて,前記事の水,氷,水蒸気と関わる話の続きとして化学結合に関して書こうと思いましたが,まず分子以前の原子の理論まで戻り,そこから始めます。

ｅ＞0 を素電荷とするとき,中心にＺｅ(Ｚは正の整数)の電荷を持つ質量がｍ₁の原子核があって,その周りに質量がｍ₂,電荷が－ｅの電子が１個だけあるような系で与えられる１個の原子を想定します。

こうした原子を水素様原子と呼びますが,Ｚ＝１なら水素原子に他なりません。

原子核の位置ベクトルをｒ₁,運動量をｐ₁,電子の位置ベクトルをｒ₂,その運動量をｐ₂とすると,系の全ハミルトニアンＨ_totはＨ_tot＝ｐ₁²/(2ｍ₁)＋ｐ₂²/(2ｍ₂)＋Ｖ(|ｒ₁－ｒ₂|)となります。

ここで,Ｖ(ｒ)＝－Ｚｅ²/(4πε₀ｒ)はクーロン(Coulomb)ポテンシャルによる位置エネルギーです。

系の重心の位置をＲ:Ｒ≡(ｍ₁ｒ₁＋ｍ₂ｒ₂)/Ｍ；Ｍ≡ｍ₁＋ｍ₂とし,全運動量をＰ≡ｐ₁＋ｐ₂とします。

そして,電子の原子核に対する相対運動を重心運動から分離して考察するために,原子核を原点と想定したときの位置ベクトルをｒ≡ｒ₂－ｒ₁で定義します。

さらに,電子の換算質量を1/ｍ≡1/ｍ₁＋1/ｍ₂によって定義します。

(1/2)ｍ(ｄｒ/ｄｔ)²＝ｐ²/(2ｍ)が成立するように,相対運動量ｐをｐ≡ｍ(ｄｒ/ｄｔ)＝(1/ｍ₁＋1/ｍ₂)^-1{ｄ(ｒ₂－ｒ₁)/ｄｔ}＝(1/ｍ₁＋1/ｍ₂)^-1(ｐ₂/ｍ₂－ｐ₁/ｍ₁)＝(ｍ₁ｐ₂－ｍ₂ｐ₁)/Ｍで定義すれば,ｐ＝ｐ₂－ｍ₂Ｐ/Ｍです。

そして,このときＨ_tot＝Ｐ²/(2Ｍ)＋ｐ²/(2ｍ)＋Ｖ(ｒ)＝Ｈ_G＋Ｈ となります。

ここにＨ_G≡Ｐ²/(2Ｍ)は系の重心運動のハミルトニアンです。

Ｈ≡ｐ²/(2ｍ)＋Ｖ(ｒ)は,原子核を原点とした電子の相対運動のハミルトニアンと考えられます。

これに対するハミルトンの正準方程式は,ｄＲ/ｄｔ＝∂Ｈ_tot/∂Ｐ＝∂Ｈ_G/∂Ｐ＝Ｐ/Ｍ＝(ｐ₁＋ｐ₂)/Ｍ,ｄＰ/ｄｔ＝－∂Ｈ_tot/∂Ｒ＝－∂Ｈ_G/∂Ｒ＝0,およびｄｒ/ｄｔ＝∂Ｈ_tot/∂ｐ＝∂Ｈ/∂ｐ＝ｐ/ｍ＝ｐ₁/ｍ₁－ｐ₂/ｍ₂,ｄｐ/ｄｔ＝－∂Ｈ_tot/∂ｒ＝－∂Ｈ/∂ｒ＝－∂Ｖ(ｒ)/∂ｒです。

これらを見ると,系の重心運動と電子の相対運動は完全に分離されることがわかります。

特に,電子の質量はｍ₂＝ｍ_e ～ 0.51MeV,核子１個の質量はｍ_N ～938 ～939Mev～1840ｍ_eですから,ｍ₁＞Ｚｍ_N～1840Ｚｍ_eです。

これは,先の水素様原子の原子核と電子の質量の定義では,ｍ₁＞＞ｍ₂を意味するので,この場合は全質量Ｍ＝ｍ₁＋ｍ₂ ～ｍ₁＝原子核の質量,重心の位置Ｒ≡(ｍ₁ｒ₁＋ｍ₂ｒ₂)/Ｍ～ｒ₁＝原子核の位置,電子の換算質量ｍ≡ｍ₁ｍ₂/(ｍ₁＋ｍ₂) ～ ｍ₂＝ｍ_e ＝電子の質量,電子の相対運動量ｐ＝ｐ₂－ｍ₂Ｐ/(ｍ₁＋ｍ₂)～ｐ₂＝電子の運動量です。

結局,原子核を不動の原点とした電子の１体問題を考察しているのとほとんど同等です。

こうした一連の手続きを見ると,以前2007年10/26の記事「ケプラー(Kepler)問題」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2007/10/post_1e25.html で

古典力学の２体問題に関して,次のような相対運動の定式化を与えたことが思い出されます。

※"太陽,および惑星の質量をそれぞれｍ₁,およびｍ₂とし,位置ベクトルをそれぞれｒ₁,およびｒ₂とします。

そして,それらの間に働く力をＦ₁₂(１が２に及ぼす力),およびＦ₂₁(２が１に及ぼす力)とします。

作用反作用の法則によって,Ｆ₂₁＝－Ｆ₁₂,かつ(ｒ₁－ｒ₂)×Ｆ₁₂＝0 が成立します。

太陽,惑星を質点とすれば,運動方程式はｍ₁(ｄ²ｒ₁/ｄｔ²)＝Ｆ₂₁,ｍ₂(ｄ²ｒ₂/ｄｔ²)＝Ｆ₁₂となります。

「物体２＝惑星」の「物体１＝太陽」に対する相対運動を考察するために,太陽を原点と想定したときの位置ベクトルをｒ≡ｒ₂－ｒ₁によって定義します。

このとき,系の運動方程式は,唯１つの式ｄ²ｒ/ｄｔ²＝ｄ²(ｒ₂－ｒ₁)/ｄｔ²＝Ｆ₁₂/ｍ₁－Ｆ₂₁/ｍ₂＝(1/ｍ₁＋1/ｍ₂)Ｆ₁₂で書けます。

惑星の換算質量ｍを1/ｍ≡1/ｍ₁＋1/ｍ₂で定義し,太陽１が惑星２に及ぼす力Ｆを,改めてＦ≡Ｆ₁₂で定義するとｍ(ｄ²ｒ/ｄｔ²)＝Ｆとなり,２体問題は１体問題に帰着します。

そして,当面の問題では太陽の質量ｍ₁が惑星の質量ｍ₂よりはるかに大きい(ｍ₁＞＞ｍ₂)ため,1/ｍ＝1/ｍ₁＋1/ｍ₂～1/ｍ₂ですから,事実上ｍ＝ｍ₂として換算質量を惑星質量と同一視してもかまいません。

さらに,後の便宜上,太陽の質量ｍ₁をＭで表わすことにします。

さて,力Ｆは特に相対位置ｒだけに依存した力場,しかも保存力場,つまり,渦なしの場rotＦ＝∇×Ｆ＝0 であるとすると,ポアンカレの補題によって,あるポテンシャルＶ(ｒ)が存在してＦ＝－gradＶ(ｒ)＝－∇Ｖ(ｒ)と書くことができます。

特に,Ｖがｒの絶対値ｒ≡|ｒ|,または太陽と惑星の間の距離|ｒ₂－ｒ₁｜だけの関数Ｖ(ｒ)＝Ｖ(ｒ)＝Ｖ(|ｒ₂－ｒ₁｜)なら,Ｆ＝Ｆ₁₂＝－∇Ｖ＝(－ｄＶ/ｄｒ)(ｒ/ｒ)＝(－ｄＶ/ｄｒ){(ｒ₂－ｒ₁)/ｒ}です。

保存力場の内力がＦ₁₂＝－∇₂Ｖ,Ｆ₂₁＝－∇₁Ｖで与えられるとするなら,内力のポテンシャルが２質点間の距離だけの関数で与えられる場合には作用・反作用の法則は自動的に満足されることになります。"※

(再掲記事終わり)

しかし,太陽と惑星の場合と似ているようでも,水素様原子の場合は古典力学で考えるよりも,量子力学の問題として捉えるのが適切であると思われます。

そこで,運動量をＰ＝－iｈ_c∇_R,ｐ＝－iｈ_c∇ なる座標表示の演算子で置き換えることにより,問題を量子化ます。(ｈ_c≡ｈ/(2π)はプランク定数)

すると,系の全ハミルトニアンはＨ_tot＝－ｈ_c²∇_R²/(2Ｍ)－ｈ_c²∇²/(2ｍ)＋Ｖ(ｒ)＝Ｈ_G＋Ｈ ;Ｈ_G≡{－ｈ_c²/(2Ｍ)}∇_R ²,Ｈ≡{－ｈ_c²/(2ｍ)}∇ ²＋Ｖ(ｒ)で与えられます。

そして系の波動関数をΨ(Ｒ,ｒ,ｔ)とすると,系の状態を支配するシュレーディンガー(Schrödinger)の波動方程式はiｈ_c{∂Ψ(Ｒ,ｒ,ｔ)/∂ｔ}＝Ｈ_totΨ(Ｒ,ｒ,ｔ)となります。

特に,Ψ(Ｒ,ｒ,ｔ)が原子として閉じた１つの自由粒子の系,つまり水素様原子として重心運動エネルギーが保存され一定値Ｅ_Gを取るＨ_Gの固有状態を表わす状態関数であるとするなら,Ｈ_GΨ(Ｒ,ｒ,ｔ)＝Ｅ_GΨ(Ｒ,ｒ,ｔ)です。

これは,[{－ｈ_c²/(2Ｍ)}∇_R²]Ψ(Ｒ,ｒ,ｔ)＝Ｅ_GΨ(Ｒ,ｒ,ｔ)と書けます。

そして,波動関数は自由粒子の境界条件を満たしていて運動方向も一定のはずですから,対応する波動ベクトルをｈ_c²Ｋ²/(2Ｍ)＝Ｅ_Gを満たすベクトルＫとすれば,Ψ(Ｒ,ｒ,ｔ)＝Φ(ｒ,ｔ)exp(iＫＲ－iＥ_Gｔ/ｈ_c)と書けます。

このとき,波動方程式はiｈ_c{∂Φ(ｒ,ｔ)/∂ｔ}＝ＨΦ(ｒ,ｔ)に帰着します。

こうして,問題としている原子内電子の２体問題はΦ(ｒ,ｔ)を原子核に束縛された電子の波動関数と考えれば,通常の１粒子の量子力学の問題に帰着します。

特に,Φ(ｒ,ｔ)が電子のエネルギーＥを持つ定常状態,つまり固有値Ｅに属するＨの固有状態なら,ＨΦ(ｒ,ｔ)＝ＥΦ(ｒ,ｔ)であり,Φ(ｒ,ｔ)＝ψ(ｒ)exp(－iＥｔ/ｈ_c)と書けます。

したがって,ψ(ｒ)は定常状態のシュレーディンガー方程式:[{－ｈ_c²/(2ｍ)}∇²＋Ｖ(ｒ)]ψ(ｒ)＝Ｅψ(ｒ) or [{－ｈ_c²/(2ｍ)}∇²－Ｚｅ²/(4πε₀ｒ)]ψ(ｒ)＝Ｅψ(ｒ)を満たします。

右辺のラプラス演算子(Laplacian)∇²を極座標表示すると,∇²＝∂²/∂ｒ²＋(2/ｒ)(∂/∂ｒ)＋(1/ｒ²)[(1/sinθ)(∂/∂θ){sinθ(∂/∂θ)}＋(1/sin²θ)(∂²/∂φ²)]です。

ψ(ｒ)を変数分離してψ(ｒ)≡Ｒ(ｒ)Ｙ(θ,φ)とし,α＝(－2ｍＥ/ｈ_c²)^1/2＞0,λ≡ｍＺｅ²/(4πε₀ｈ_c²α)と置けば,ｄ²Ｒ/ｄｒ²＋(2/ｒ)(ｄＲ/ｄｒ)－βＲ/ｒ²＋(－α²＋2λα/ｒ)Ｒ＝0, (1/sinθ)(∂/∂θ){sinθ(∂Ｙ/∂θ)}＋(1/sin²θ)(∂²Ｙ/∂φ²)＝－βＹとなります。

Ｙ(θ,φ)をさらに変数分離して,Ｙ(θ,φ)≡Θ(θ)Φ(φ)と置くと(1/sinθ)(ｄ/ｄθ){sinθ(ｄΘ/ｄθ)}－(γ/sin²θ)Θ＝－βΘ,かつｄ²Φ/ｄφ²＝－γΦとなります。

波動関数の1価性の要請から,関数Φ(φ)はφについて周期が2πの周期関数であることが必要なので,ｍを整数として解:Φ(φ)はΦ_m(φ)＝(1/2π)^1/2exp(iｍφ)とΦ_-m(φ)＝(1/2π)^1/2exp(－iｍφ)の１次結合で与えられることがわかります。

それ故,適当な整数ｍについて,γ＝ｍ²となって(1/sinθ)(ｄ/ｄθ){sinθ(ｄΘ/ｄθ)}－(ｍ²/sin²θ)Θ＝－βΘと書けます。

ここで,ｚ＝cosθと変数変換すれば,(ｄ/ｄｚ){(1－ｚ²)(ｄΘ/ｄｚ)}＋{β－ｍ²/(1－ｚ²)}Θ＝ 0 or ｄ²Θ/ｄｚ²－{2ｚ/(1－ｚ²)}(ｄΘ/ｄｚ)＋{β/(1－ｚ²)－ｍ²/(1－ｚ²)²}Θ＝ 0です。

これは,ｚ＝±1,∞ に確定特異点をフックス型(Fuchs型)の２階線形常微分方程式です。

そして,この場合にフロベニウス(Frobenius)の方法に基づいて決定方程式を解いて得られる形式的べき級数解が収束するのはベキ級数が途中で有限項で途切れて多項式になる場合に限られることがわかります。

(2007年４/28の記事「２階線型常微分方程式の確定特異点」 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2007/04/2_c0ca.html 参照)

すなわち,β＝ｌ(ｌ＋1) (ｌ＝|ｍ|,|ｍ|＋1,..)なる形でなければならないため,上の微分方程式はｄ²Θ/ｄｚ²－{2ｚ/(1－ｚ²)}(ｄΘ/ｄｚ)＋{ｌ(ｌ＋1)/(1－ｚ²)－ｍ²/(1－ｚ²)²}Θ＝ 0 (ｌ＝0,1,2,..,;ｍ＝－ｌ,－ｌ＋1,..,0,1,..,ｌ)となります。

この方程式はルジャンドル(Legendre)の微分方程式といわれ(ｌ,ｍ)に対応する解はルジャンドルの陪多項式Ｐ_l^m(ｚ)によりΘ(ｚ)＝ｃＰ_l^m(ｚ)となります。

ｍ＝0 のときのルジャンドルの微分方程式ｄ²Θ/ｄｚ²－{2ｚ/(1－ｚ²)}(ｄΘ/ｄｚ)＋{ｌ(ｌ＋1)/(1－ｚ²)}Θ＝0 の解に対応する多項式を特にルジャンドルの多項式と呼び,Ｐ_l(ｚ)と書きます。

これは,Ｐ_l(ｚ)≡{1/(2^lｌ!)}{ｄ^l(ｚ²－1)^l/ｄｚ^l}で定義されますが,このときＰ_l^m(ｚ)≡(1－ｚ²)^|m|/2ｄ^mＰ_l(ｚ)/ｄｚ^mとなります。

結局(ｌ,ｍ)に対応する規格化された波動関数としては,Θ(θ)＝Θ_lm(θ)＝[(2ｌ＋1)(ｌ－|ｍ|)!/{2(ｌ＋|ｍ|)!}]^1/2Ｐ_l^m(cosθ)となり,Ｙ(θ,φ)＝Ｙ_lm(θ,φ)＝Θ_lm(θ)Φ_m(φ)＝[(2ｌ＋1)(ｌ－|ｍ|)!/{4π(ｌ＋|ｍ|)!}]^1/2Ｐ_l^m(cosθ)exp(iｍφ)と書けます。

このＹ_lm(θ,φ)は球関数とか,球面調和関数と呼ばれています。

実は,軌道角運動量をＬ≡ｒ×ｐ＝(－iｈ_c)(ｒ×∇)と書くと,(－ｈ_c²)[(1/sinθ)(∂/∂θ){sinθ(∂/∂θ)}＋(1/sin²θ)(∂²/∂φ²)]＝Ｌ²となるので,∇²＝∂²/∂ｒ²＋(2/ｒ)(∂/∂ｒ)－Ｌ²/(ｈ_c²ｒ²)とも表現できます。

それ故,Ｌ²Ｙ_lm(θ,φ)＝ｌ(ｌ＋1)ｈ_c²Ｙ_lm(θ,φ)です。

また,Ｌ_z＝iｈ_c(∂/∂φ)なのでＬ_zＹ_lm(θ,φ)＝ｍｈ_cＹ_lm(θ,φ)とも書けます。

以上から動径方程式はｄ²Ｒ/ｄｒ²＋(2/ｒ)(ｄＲ/ｄｒ)－ｌ(ｌ＋1)Ｒ/ｒ²＋(－α²＋2λα/ｒ)Ｒ＝0 になります。

ここで,改めてこの１次元の動径方程式の物理的意味を見るために,両辺に{－ｈ_c²/(2ｍ)}を書けて単位を取り戻すと,[{－ｈ_c²/(2ｍ)}(ｄ²/ｄｒ²)－{2ｈ_c²/(2ｍｒ)}(ｄ/ｄｒ)＋ｌ(ｌ＋1)ｈ_c²/(2ｍｒ²)－2λαｈ_c²/(2ｍｒ)]Ｒ＝－{ｈ_c²/(2ｍ)}Ｒとなります。

左辺にはｌ≠0 のときのみ,すなわち軌道角運動量がゼロでないときにのみ出現する斥力項:ｌ(ｌ＋1)ｈ_c²/(2ｍｒ²)＝Ｌ²/(2ｍｒ²)がありますが,これは非線形な曲線座標への座標変換を行ったために不可避的に生じる仮想的な力の項です。

一見,回転運動の慣性力の１つである遠心力の表現に一致しているので遠心力ポテンシャルと呼ばれています。

かつて,旧@nifty物理フォーラムでの「座標変換と慣性力」という質問に関連して2006年11/16の記事「非慣性座標系で現われる慣性力」 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/11/nif_d7bb.html でも触れましたが,

遠心力という呼称について,当時,神戸大学名誉教授の松田先生からこうした呼び方はふさわしくないのでは？というような内容のご指摘を受けました。

その後,もっと前の2006年6/30の記事「慣性力の反作用」 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/06/post_cbb5.html とも関連して,

松田先生ご自身が,気象庁の木下篤哉氏([相対論の正しい間違え方」共著者)や琉球大学の前野(いろもの物理学者)昌弘氏らとの協議を通じて,何らかの結論(例えば慣性力には反作用を考える必要はない)を得られたいう連絡をもらったことをちょっとなつかしく思い出しました。

余談はさておき,実際に動径方程式を解く必要があるので,次にこれを再掲します。

動径方程式ｄ²Ｒ/ｄｒ²＋(2/ｒ)(ｄＲ/ｄｒ)－ｌ(ｌ＋1)Ｒ/ｒ²＋(－α²＋2λα/ｒ)Ｒ＝ 0 を再掲します。

ここで,ρ≡2αｒとおけば,ｄ²Ｒ/ｄρ²＋(2/ρ)(ｄＲ/ｄρ)＋{－1/4－ｌ(ｌ＋1)Ｒ/ρ²＋λ/ρ}Ｒ＝ 0 となります。

そして,これの解:Ｒ(ｒ)＝Ｒ_l(ｒ)がρ → ∞で近似方程式:ｄ²Ｒ/ｄρ²－Ｒ/4＝ 0 を満たす必要があるので,ρ→ ∞で有限な関数をＴ_l(ρ)としてＲ_l(ｒ)＝exp(－ρ/2)Ｔ_l(ρ)と書けるはずです。

そして,Ｔ_l(ρ)に対する線形常微分方程式におけるρのベキ級数解が有限に留まるためには,やはり有限項で途切れて多項式となることが必要で,結局ρ^-lＴ_l(ρ)がラゲール多項式(Laguerre多項式)になることがわかります。

このとき,λ＝ｎ(ｎ＝ｌ＋1,ｌ＋2,..)であることが必要で,個々の正整数ｎに対し規格化を除いてＴ_l(ρ)＝ρ^lＬ_n+l^2l+1(ρ)となります。

以上から,Ｈのエネルギー固有値:Ｅ＝－ｈ_c²α²/(2ｍ)に属する変数分離した固有関数はψ_nlm(ｒ,θ,φ)＝Ｎ_nlexp(－αｒ)(αｒ)^lＬ_n+l^2l+1(2αｒ)Ｙ_lm(θ,φ) (ｌ＝0,1,2,..,ｎ－1;ｍ＝－ｌ,－ｌ＋1,..,0,1,..,ｌ)で与えられることがわかります。

ｎ＝λ＝ｍＺｅ²/(4πε₀ｈ_c²α)なので,α＝ｍＺｅ²/(4πε₀ｈ_c²ｎ)ですから,理想的に電子が１個だけある場合にはエネルギーは主量子数ｎだけで決まり,Ｅ＝Ｅ_n＝－ｍＺ²ｅ⁴/{(4πε₀)²(2ｈ_c²ｎ²)}であり,状態は縮退しています。

こうした縮退は,電子がもう１個増えたり,電場や磁場がかかるだけで簡単に解けるはずです。

Σ_m=-l^ｌ＝2ｌ＋1でΣ_l=0^n-1(2l＋1)＝ｎ²ですが,実際には電子には,この他に上向きか下向きかというスピンの自由度が２つありますから,エネルギーの縮退度は2ｎ²です。

一般,にエネルギーＥ_nを持つ波動関数はψ(ｒ,ｓ)＝Σ_l=0^n-1Σ_m=-l^ｌΣ_szｃ_nlmszψ_nlm(ｒ,θ,φ)σ_sz(ｓ)となります。

そして,この縮退度の数列{2ｎ²}_n=1,2,3..＝{2,8,18,..}が,主量子数ｎ＝1,2,3,..etc.のいわゆるＫ殻,Ｌ殻,Ｍ殻．．etc.なる"電子軌道に入ることが可能な最大電子数＝縮退した状態数"を示しています。

原子などの系で状態の数と可能な占有電子の数が常に等しいという性質があるのは,実は電子のようにスピンが半奇数であるフェルミ粒子(Fermion)については「同種のフェルミ粒子の系では２つ以上の粒子が同時に同じ状態を占めることはできない。」というパウリの禁制原理,あるいはパウリの排他原理(Pauli's exclusion plinciple)があるからです。

最後に,同位体の話を少しします。原子核の質量は電子質量よりはるかに大きいので電子の換算質量ｍは電子質量ｍ_eにほぼ一致することは既に述べました。

そこで例えば,通常の水素と重陽子(deuteron)を原子核とする重水素(deuterium)の同位体では,原子番号は同じＺ＝１ですから両者の束縛状態の電子のエネルギー準位Ｅ_n＝－ｍｅ⁴/{(4πε₀)²(2ｈ_c²ｎ²)}は全く同一であるように見えます。

ｍは電子の換算質量でｍ ～ ｍ_eですから,ほんの僅かな違いではありますが,原子核の質量が異なるためｍが微妙に異なることになり,厳密に言えば同じではありません。

私は実験にはかなり疎いので,実際にそうした実験が成されているのか,あるいはそうした判別法など実用的ではないのでやらないのかなどについては存じませんが,上述の事実から分光学的に観測される光のスペクトルの微妙な差異を見る方法でも,原理的には同位体を判別できると思います。

とりあえず今日はこのくらいにしておきます。

量子力学のテキストをいくつか参考にしましたが, 標準的な話を参照しただけで,これといったテキストに依存するような特別な情報はなかったので,本記事については参考文献の詳細は書かないことにします。

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