水素様原子の波動関数

冬場と夏場は若干心臓の動きが悪いと言われているし,自身そんな気もするので,自分の体調を考えてブログの１つの記事の量も半分程度にしようと思います。

別の場所で"せいたかのっぽ"さんのコメントも頂きましたが,私は皮肉ではなく物性を定性的に捉えて説明できるような化学屋さんを尊敬しています。

私などは本質的に他人より馬鹿な(認識の閾値が低い？)ので,本来は定性的なものでさえ,なんとか定量的に捉えて数式の助けを借りなければほとんど理解できず,物理的意味を問われても数式を使用しないと答えられない人間です。

数式にでも頼ってなんとかうまく咀嚼できた後に,他人に説明できるほどの物理的イメージと語彙が整って初めて定性的説明が可能だと思うので,定性的に説明できたり,定性的に理解するのは大変な能力だと思って若干尊敬してしまいます。

さて,前記事の水,氷,水蒸気と関わる話の続きとして化学結合に関して書こうと思いましたが,まず分子以前の原子の理論まで戻り,そこから始めます。

ｅ＞0 を素電荷とするとき,中心にＺｅ(Ｚは正の整数)の電荷を

持つ質量がｍ₁の原子核があり,周りに質量がｍ₂,電荷が(－ｅ)の

電子が１個だけあるような系の１個の原子を想定します。

こうした原子を水素様原子と呼びますが,Ｚ＝１なら,これは水素

原子に他なりません。

さて,原子核の位置ベクトルをｒ₁,運動量をｐ₁,電子の位置ベクトル

をｒ₂,その運動量をｐ₂とすると,系の全Hamiltonian:Ｈ_totは,

Ｈ_tot＝ｐ₁²/(2ｍ₁)＋ｐ₂²/(2ｍ₂)＋Ｖ(|ｒ₁－ｒ₂|)となります。

ここで,Ｖ(ｒ)＝－Ｚｅ²/(4πε₀ｒ)は静電Coulombポテンシャル

による位置エネルギーです。

系の重心の位置をＲ≡(ｍ₁ｒ₁＋ｍ₂ｒ₂)/Ｍ (Ｍ≡ｍ₁＋ｍ₂)とし,

全運動量を,Ｐ≡ｐ₁＋ｐ₂とします。

そして,電子の原子核に対する相対運動を重心運動から分離して

考察するために,原子核を原点と想定したときの位置ベクトルを

ｒ≡ｒ₂－ｒ₁で定義します。

さらに,電子の換算質量ｍを1/ｍ≡1/ｍ₁＋1/ｍ₂で定義します。

(1/2)ｍ(ｄｒ/ｄｔ)²＝ｐ²/(2ｍ)が成立するように,

相対運動量:ｐを,

ｐ≡ｍ(ｄｒ/ｄｔ)＝(1/ｍ₁＋1/ｍ₂)^-1{ｄ(ｒ₂－ｒ₁)/ｄｔ}

＝(1/ｍ₁＋1/ｍ₂)^-1(ｐ₂/ｍ₂－ｐ₁/ｍ₁)＝(ｍ₁ｐ₂－ｍ₂ｐ₁)/Ｍ

で定義すれば,

ｐ＝ｐ₂－ｍ₂Ｐ/Ｍです。

そして,このとき,Ｈ_tot＝Ｐ²/(2Ｍ)＋ｐ²/(2ｍ)＋Ｖ(ｒ)

＝Ｈ_G＋Ｈ と書けます。

ここに,Ｈ_G≡Ｐ²/(2Ｍ)は系の重心運動のHamiltonianです。

他方,Ｈ≡ｐ²/(2ｍ)＋Ｖ(ｒ)は,原子核を原点とした電子の相対

運動のHamiltoniaと考えられます。

これに対するHamiltonの正準方程式は,

ｄＲ/ｄｔ＝∂Ｈ_tot/∂Ｐ＝∂Ｈ_G/∂Ｐ＝Ｐ/Ｍ＝(ｐ₁＋ｐ₂)/Ｍ,

ｄＰ/ｄｔ＝－∂Ｈ_tot/∂Ｒ＝－∂Ｈ_G/∂Ｒ＝0,

および,

ｄｒ/ｄｔ＝∂Ｈ_tot/∂ｐ＝∂Ｈ/∂ｐ＝ｐ/ｍ＝ｐ₁/ｍ₁－ｐ₂/ｍ₂,

ｄｐ/ｄｔ＝－∂Ｈ_tot/∂ｒ＝－∂Ｈ/∂ｒ＝－∂Ｖ(ｒ)/∂ｒ

です。

これらを見ると,系の重心運動と電子の相対運動は完全に分離され

ることがわかります。

特に,電子の質量は,ｍ₂＝ｍ_e ～ 0.51MeV,核子１個の質量は,

ｍ_N ～938 ～939Mev～1840ｍ_eですから,

ｍ₁＝Ｚｍ_N～1840Ｚｍ_eです。

これは,先の水素様原子の原子核と電子の質量の定義では,

ｍ₁＞＞ｍ₂を意味するので,

この場合は,近似的に,

全質量:Ｍ＝ｍ₁＋ｍ₂ ～ ｍ₁(原子核の質量),　　

重心の位置:Ｒ≡(ｍ₁ｒ₁＋ｍ₂ｒ₂)/Ｍ～ ｒ₁(原子核の位置),　

換算質量:ｍ≡ｍ₁ｍ₂/(ｍ₁＋ｍ₂) ～ ｍ₂＝ｍ_e (電子質量),　

相対運動量:ｐ＝ｐ₂－ｍ₂Ｐ/(ｍ₁＋ｍ₂)～ｐ₂(電子の運動量)

が成立しています。

結局,原子核を不動の原点とした電子の１体問題を考察しているの

と,ほぼ同等です。

こうした一連の手続きを見ると,以前2007年10/26の記事:

「ケプラー問題(Kepler問題)」で古典力学の２体問題に関して,

次のような相対運動の定式化を与えたことを思い出します。

※"太陽,および惑星の質量をそれぞれｍ₁,およびｍ₂とし,位置ベク

トルをそれぞれｒ₁,およびｒ₂ とします。

そして,それらの間に働く力をＦ₁₂(１が２に及ぼす力),および,

Ｆ₂₁(２が１に及ぼす力)とします。

すると,作用反作用の法則(Newtonの第３法則)によって,

Ｆ₂₁＝－Ｆ₁₂, かつ, (ｒ₁－ｒ₂)×Ｆ₁₂＝0 

が成立します。

太陽と惑星の描く軌道のorderと比較して,太陽,惑星を質点で近似

すれば,この問題の運動方程式は,

ｍ₁(ｄ²ｒ₁/ｄｔ²)＝Ｆ₂₁,および,

ｍ₂(ｄ²ｒ₂/ｄｔ²)＝Ｆ₁₂

となります。

「物体２＝惑星」の「物体１＝太陽」に対する相対運動を考察する

ために,太陽を原点と想定したときの位置ベクトルをｒ≡ｒ₂－ｒ₁

によって定義します。

このとき,系の運動方程式は,唯１つの式:

ｄ²ｒ/ｄｔ²＝ｄ²(ｒ₂－ｒ₁)/ｄｔ²＝Ｆ₁₂/ｍ₁－Ｆ₂₁/ｍ₂

となります。

すなわち,運動は方程式:ｄ²ｒ/ｄｔ²＝(1/ｍ₁＋1/ｍ₂)Ｆ₁₂

だけで記述されます。

惑星の換算質量:ｍを1/ｍ≡1/ｍ₁＋1/ｍ₂で定義し,太陽１が

惑星２に及ぼす力Ｆを,改めてＦ≡Ｆ₁₂で定義すると,

ｍ(ｄ²ｒ/ｄｔ²)＝Ｆとなり,結局,２体問題は１体問題に

帰着します。

そして,当面の問題では,太陽の質量ｍ₁が惑星の質量ｍ₂より,

はるかに大きい(ｍ₁＞＞ｍ₂)ため,1/ｍ＝1/ｍ₁＋1/ｍ₂～1/ｍ₂

ですから,事実上ｍ＝ｍ₂として換算質量を惑星質量と同一視

してよいことになります。

さらに,後の便宜上,太陽の質量ｍ₁をＭで表わすことにします。

さて,力Ｆが特に相対位置ｒだけに依存する力場,しかも保存力場:

つまり,渦なしの場(rotＦ＝∇×Ｆ＝0 )であるとすると,

謂わゆるPoincare'の補題により,あるポテンシャルＶ(ｒ)が存在

して,Ｆ＝－gradＶ(ｒ)＝－∇Ｖ(ｒ)と書くことができます。

特に,Ｖがｒの絶対値ｒ≡|ｒ|,または太陽と惑星の間の距離:

|ｒ₂－ｒ₁｜だけの関数Ｖ(ｒ)＝Ｖ(ｒ)＝Ｖ(|ｒ₂－ｒ₁｜)なら,

Ｆ＝Ｆ₁₂＝－∇Ｖ＝(－ｄＶ/ｄｒ)(ｒ/ｒ)

＝(－ｄＶ/ｄｒ){(ｒ₂－ｒ₁)/ｒ}　です。

保存力場の内力は,Ｆ₁₂＝－∇₂Ｖ,Ｆ₂₁＝－∇₁Ｖで与えられるので,

内力のポテンシャルが２質点間の距離だけの関数で与えられる場合

には作用・反作用の法則は自動的に満たされます。"※

(再掲記事終わり)

しかし,太陽と惑星の場合と似ているようでも,水素様原子の場合は

古典力学で考えるよりも,量子力学の問題として捉えるのが適切で

あると思われます。

そこで,運動量をＰ＝－iｈ_c∇_R,ｐ＝－iｈ_c∇ なる座標表示の

演算子で置き換えることにより,問題を量子化ます。

(ｈ_c≡ｈ/(2π)でｈはPlanck定数)

すると,系の全Hamiltonianは,

Ｈ_tot＝－ｈ_c²∇_R²/(2Ｍ)－ｈ_c²∇²/(2ｍ)＋Ｖ(ｒ)

＝Ｈ_G＋Ｈ ;

Ｈ_G≡{－ｈ_c²/(2Ｍ)}∇_R ²,Ｈ≡{－ｈ_c²/(2ｍ)}∇ ²＋Ｖ(ｒ)

で与えられます。

そして系の波動関数をΨ(Ｒ,ｒ,ｔ)とすると,系の状態を支配

するSchrödingerの波動方程式は.

iｈ_c{∂Ψ(Ｒ,ｒ,ｔ)/∂ｔ}＝Ｈ_totΨ(Ｒ,ｒ,ｔ)

となります。

特に,Ψ(Ｒ,ｒ,ｔ)が原子として閉じた１つの自由粒子の系:

つまり水素様原子として重心運動エネルギーが保存され,一定値Ｅ_G

を取るＨ_Gの固有状態を表わす状態関数であるとするなら,

Ｈ_GΨ(Ｒ,ｒ,ｔ)＝Ｅ_GΨ(Ｒ,ｒ,ｔ)です。

これは,[{－ｈ_c²/(2Ｍ)}∇_R²]Ψ(Ｒ,ｒ,ｔ)＝Ｅ_GΨ(Ｒ,ｒ,ｔ)

と書けます。

そして,系全体:原子自体の波動関数は自由粒子としての境界条件

を満たしていて,運動方向も一定のはずですから,対応する波動ベ

クトルをｈ_c²Ｋ²/(2Ｍ)＝Ｅ_Gを満たすＫとすれば,

Ψ(Ｒ,ｒ,ｔ)＝Φ(ｒ,ｔ)exp(iＫＲ－iＥ_Gｔ/ｈ_c)

と書けます。

このとき,波動方程式は,結局,

iｈ_c{∂Φ(ｒ,ｔ)/∂ｔ}＝ＨΦ(ｒ,ｔ)

に帰着します。

こうして,今問題としている原子内電子の２体問題は,Φ(ｒ,ｔ)

を原子核に束縛された電子の波動関数と考えれば,通常の１粒子の

量子力学の問題に帰着します。

特に,Φ(ｒ,ｔ)が電子のエネルギーＥを持つ定常状態:

つまり固有値Ｅに属するＨの固有状態なら,

ＨΦ(ｒ,ｔ)＝ＥΦ(ｒ,ｔ)なので,

Φ(ｒ,ｔ)＝ψ(ｒ)exp(－iＥｔ/ｈ_c)　と書けます。

そして,Φ(ｒ,ｔ)の時間に依存しない部分ψ(ｒ)は

定常状態のSchrödinger方程式:　

[{－ｈ_c²/(2ｍ)}∇²＋Ｖ(ｒ)]ψ(ｒ)＝Ｅψ(ｒ),or 　

[{－ｈ_c²/(2ｍ)}∇²－Ｚｅ²/(4πε₀ｒ)]ψ(ｒ)＝Ｅψ(ｒ)

を満たします。

右辺のLaplace演算子(Laplacian):∇²を極座標表示すると,

∇²＝∂²/∂ｒ²＋(2/ｒ)(∂/∂ｒ)

＋(1/ｒ²)[(1/sinθ)(∂/∂θ){sinθ(∂/∂θ)}

＋(1/sin²θ)(∂²/∂φ²)]です。

ψ(ｒ)を変数分離してψ(ｒ)≡Ｒ(ｒ)Ｙ(θ,φ)とし,

α＝(－2ｍＥ/ｈ_c²)^1/2＞0,λ≡ｍＺｅ²/(4πε₀ｈ_c²α)

とおけば,

ｄ²Ｒ/ｄｒ²＋(2/ｒ)(ｄＲ/ｄｒ)－βＲ/ｒ²

＋(－α²＋2λα/ｒ)Ｒ＝0,および,

(1/sinθ)(∂/∂θ){sinθ(∂Ｙ/∂θ)}

＋(1/sin²θ)(∂²Ｙ/∂φ²)＝－βＹ　

となります。

Ｙ(θ,φ)をさらに変数分離しＹ(θ,φ)≡Θ(θ)Φ(φ)とおくと,　　

(1/sinθ)(ｄ/ｄθ){sinθ(ｄΘ/ｄθ)}－(γ/sin²θ)Θ

＝－βΘ,

ｄ²Φ/ｄφ²＝－γΦ　　

となります。

波動関数の1価性の要請から,関数Φ(φ)はφについて周期

が2πの周期関数であることが必要なので,解:Φ(φ)は,

Φ_m(φ)＝(1/2π)^1/2exp(iｍφ),Φ_-m(φ)＝(1/2π)^1/2exp(－iｍφ)

(ｍは整数)の１次結合で与えられます。

それ故,適当な整数ｍについてγ＝ｍ²となって,　

(1/sinθ)(ｄ/ｄθ){sinθ(ｄΘ/ｄθ)}－(ｍ²/sin²θ)Θ

＝－βΘ　

と書けます。

ここで,ｚ＝cosθと変数変換すれば,　

(ｄ/ｄｚ){(1－ｚ²)(ｄΘ/ｄｚ)}＋{β－ｍ²/(1－ｚ²)}Θ

＝ 0 , または,

ｄ²Θ/ｄｚ²－{2ｚ/(1－ｚ²)}(ｄΘ/ｄｚ)＋{β/(1－ｚ²)

－ｍ²/(1－ｚ²)²}Θ＝ 0　です。

これは,ｚ＝±1,∞ に確定特異点を持つFuchs型の２階線形

常微分方程式です。

そして,この場合にFrobeniusの方法に基づいて決定方程式を解いて

得られる形式的べき級数解が収束するのは,ベキ級数が途中で有限

項で途切れて多項式の場合に限られることがわかります。

(↑ ※2007年４/28の記事「２階線形常微分方程式と確定特異点」)

つまり,β＝ｌ(ｌ＋1) (ｌ＝|ｍ|,|ｍ|＋1,..)なる形である必要

があるため,

上の微分方程式は,　

ｄ²Θ/ｄｚ²－{2ｚ/(1－ｚ²)}(ｄΘ/ｄｚ)

＋{ｌ(ｌ＋1)/(1－ｚ²)－ｍ²/(1－ｚ²)²}Θ＝ 0

(ｌ＝0,1,2,..,;ｍ＝－ｌ,－ｌ＋1,..,0,1,..,ｌ)

となります。

この方程式は,Legendreの微分方程式と呼ばれ,(ｌ,ｍ)に対応

する解は,Legendreの陪多項式:Ｐ_l^m(ｚ)であることがわかって

います。

したがって,ｃを任意定数としてΘ(ｚ)＝ｃＰ_l^m(ｚ)と書けます。

特に,ｍ＝0 のときのLegendreの微分方程式:

ｄ²Θ/ｄｚ²－{2ｚ/(1－ｚ²)}(ｄΘ/ｄｚ)

＋{ｌ(ｌ＋1)/(1－ｚ²)}Θ＝0 の解に対応する多項式を,

Legendreの多項式と呼び,Ｐ_l(ｚ)と書きます。

これは,Ｐ_l(ｚ)≡{1/(2^lｌ!)}{ｄ^l(ｚ²－1)^l/ｄｚ^l}

で定義されます。

これから,ｍ≠0 の陪多項式:Ｐ_l^m(ｚ)は,

Ｐ_l^m(ｚ)≡(1－ｚ²)^|m|/2ｄ^mＰ_l(ｚ)/ｄｚ^m

で定義されます。

結局,(ｌ,ｍ)に対応する規格化された波動関数は,

Θ(θ)＝Θ_lm(θ)

＝[(2ｌ＋1)(ｌ－|ｍ|)!/{2(ｌ＋|ｍ|)!}]^1/2Ｐ_l^m(cosθ)

となり,

Ｙ(θ,φ)＝Ｙ_lm(θ,φ)＝Θ_lm(θ)Φ_m(φ)

＝[(2ｌ＋1)(ｌ－|ｍ|)!/{4π(ｌ＋|ｍ|)!}]^1/2

Ｐ_l^m(cosθ)exp(iｍφ) と書けます。

このＹ_lm(θ,φ)は球関数,or 球面調和関数と呼ばれています。

実は,軌道角運動量をＬ≡ｒ×ｐ＝(－iｈ_c)(ｒ×∇)と書くと,

(－ｈ_c²)[(1/sinθ)(∂/∂θ){sinθ(∂/∂θ)}

＋(1/sin²θ)(∂²/∂φ²)]＝Ｌ²となるので,

∇²＝∂²/∂ｒ²＋(2/ｒ)(∂/∂ｒ)－Ｌ²/(ｈ_c²ｒ²)　

とも表現できます。

それ故,Ｌ²Ｙ_lm(θ,φ)＝ｌ(ｌ＋1)ｈ_c²Ｙ_lm(θ,φ) です。

また,Ｌ_z＝iｈ_c(∂/∂φ)なので,

Ｌ_zＹ_lm(θ,φ)＝ｍｈ_cＹ_lm(θ,φ)

とも書けます。

以上から,残る因子:動径関数の満たす動径方程式は,　

ｄ²Ｒ/ｄｒ²＋(2/ｒ)(ｄＲ/ｄｒ)－ｌ(ｌ＋1)Ｒ/ｒ²

＋(－α²＋2λα/ｒ)Ｒ＝0 となります。

ここで,改めてこの１次元の動径方程式の物理的意味を見るため,

両辺に{－ｈ_c²/(2ｍ)}を掛けて単位を取り戻すと,

[{－ｈ_c²/(2ｍ)}(ｄ²/ｄｒ²)－{2ｈ_c²/(2ｍｒ)}(ｄ/ｄｒ)

＋ｌ(ｌ＋1)ｈ_c²/(2ｍｒ²)－2λαｈ_c²/(2ｍｒ)]Ｒ

＝－{ｈ_c²/(2ｍ)}Ｒ 　です。

左辺には,ｌ≠0 のときのみ:軌道角運動量がゼロでないときのみ

出現する斥力項:ｌ(ｌ＋1)ｈ_c²/(2ｍｒ²)＝Ｌ²/(2ｍｒ²)

がありますが,

これは非線形な曲線座標への座標変換を行ったため,不可避的に

生じる仮想的な力の項です。

一見,回転運動の慣性力の１つである遠心力の表現に一致している

ので遠心力ポテンシャルと呼ばれています。

かつて,旧@nifty物理フォーラムでの"座標変換と慣性力"という

質問に関連して,2006年11/16の記事:

「非慣性座標系で現われる慣性力」でも触れましたが,

遠心力という呼称については,当時,神戸大学名誉教授の松田卓也先生

から,「こうした呼び方はふさわしくないのでは？」という内容のご

指摘を受けました。

その後,もっと前の2006年6/30の記事「慣性力の反作用」の内容とも

関連して,

松田先生ご自身が,気象庁の木下篤哉(AXION)氏

([相対論の正しい間違え方」共著者)や琉球大学の

前野(いろもの物理学者)昌弘氏らとの協議を通じ,

何らかの結論(例えば慣性力には反作用を考える必要はない。)

を得られたという連絡をもらったことを,ちょっと懐かしく

思い出しました。　

余談はさておき,実際に動径方程式を解く必要があるので,

次にこれを再掲します。

まず,再び,動径方程式:ｄ²Ｒ/ｄｒ²＋(2/ｒ)(ｄＲ/ｄｒ)

－ｌ(ｌ＋1)Ｒ/ｒ²＋(－α²＋2λα/ｒ)Ｒ＝ 0 を明示します。

ここで,ρ≡2αｒとおけば,これは

ｄ²Ｒ/ｄρ²＋(2/ρ)(ｄＲ/ｄρ)＋

{－1/4－ｌ(ｌ＋1)Ｒ/ρ²＋λ/ρ}Ｒ＝ 0 となります。

そして,これの解:Ｒ(ｒ)＝Ｒ_l(ｒ)はρ→∞で近似方程式:

ｄ²Ｒ/ｄρ²－Ｒ/4＝ 0 を満たす必要があるため,

ρ→∞で有限なある関数をＴ_l(ρ)として,

Ｒ_l(ｒ)＝exp(－ρ/2)Ｔ_l(ρ)と書けるはずです。

そして,Ｔ_l(ρ)に対する線形常微分方程式におけるρのベキ級数解

が有限に留まるためには,やはり有限項で途切れて多項式となるこ

とが必要です。

結局,ρ^-lＴ_l(ρ)がLaguerre多項式(ラゲール多項式)になることが

わかります。

λ＝ｎ(ｎ＝ｌ＋1,ｌ＋2,..)であることが必要で,個々の正整数ｎ

に対し規格化を除いて,Ｔ_l(ρ)＝ρ^lＬ_n+l^2l+1(ρ)となります。

以上から,Ｈのエネルギー固有値:Ｅ＝－ｈ_c²α²/(2ｍ)に属する

変数分離した固有関数は,

ψ_nlm(ｒ,θ,φ)＝Ｎ_nlexp(－αｒ)(αｒ)^lＬ_n+l^2l+1(2αｒ)

Ｙ_lm(θ,φ)

(ｌ＝0,1,2,..,ｎ－1;ｍ＝－ｌ,－ｌ＋1,..,0,1,..,ｌ)

で与えられることがわかります。

ｎ＝λ＝ｍＺｅ²/(4πε₀ｈ_c²α)なので,

α＝ｍＺｅ²/(4πε₀ｈ_c²ｎ)ですから,理想的に電子が１個

だけの場合にはエネルギーは主量子数ｎだけで決まって,

Ｅ＝Ｅ_n＝－ｍＺ²ｅ⁴/{(4πε₀)²(2ｈ_c²ｎ²)}　

となり,状態は縮退しています。

こうした縮退は,電子がもう１個増えたり,電場や磁場がかかるだけ

で簡単に解けます。

Σ_m=-l^ｌ＝2ｌ＋1であり,また,Σ_l=0^n-1(2l＋1)＝ｎ²ですが,実際には

電子には,この他に上向きか下向きかというspinの自由度が２つあり

ますから,エネルギーの縮退度は2ｎ²です。

一般,にエネルギーＥ_nを持つ波動関数は,　

ψ(ｒ,ｓ)

＝Σ_l=0^n-1Σ_m=-l^ｌΣ_szｃ_nlmszψ_nlm(ｒ,θ,φ)σ_sz(ｓ)　

となります。

ただし,σ_sz(ｓ)はスピン波動関数で,これは,　

ｓ_z＝1/2,または－1/2に応じて,^ｔ[1.0],または^ｔ[0,1]

と,２成分spinor形で表現されることがあります。

ここで,上添字 ｔ は転置行列を示す添字で,今の場合は行ベクトル

を列ベクトルにすることを意味します。

そして,この縮退度の数列:{2ｎ²}_n=1,2,3..＝{2,8,18,..}が,

主量子数ｎ＝1,2,3,..etc.の謂わゆるＫ殻,Ｌ殻,Ｍ殻..etc.

の電子軌道に入ることが可能な"最大電子数＝縮退した状態数"

を示しています。

原子などの系で,"状態の数と可能な占有電子の数が常に等しい。"

という性質があるのは,

電子のように,spinが半奇数であるFermi粒子(Fermion)

に対しては,

"同種のFermi粒子の系では,２つ以上の粒子が同時に同じ状態を

占めることはできない。"というPauliの禁制原理,あるいは,

Pauliの排他原理(exclusion principle)があるからです。

最後に,同位体(isotope)の話を少しします。

原子核の質量は電子質量よりはるかに大きいので,電子の換算質量

ｍは電子質量ｍ_eにほぼ一致することは既に述べました。

例えば,通常の水素と,重陽子(deuteron)を原子核とする重水素

(deuterium)の同位体では,原子番号は同じＺ＝１ですから両者の

束縛状態の電子のエネルギー準位:

Ｅ_n＝－ｍｅ⁴/{(4πε₀)²(2ｈ_c²ｎ²)}は,

全く同一であるように見えます。

しかし,ｍは電子の換算質量でありｍ～ｍ_eですがｍ≠ｍ_eです。

ほんの僅かな違いですが,原子核の質量が異なるためｍが微妙に

異なることになり,厳密に言えば同じではありません。

私は実験にはかなり疎い方なので,実際にそうした実験がされて

いるのか？,あるいは,そうした判別法は実用的ではなくてやられ

てないのか？などについて存じませんが,

上述の事実から分光学的に観測される光のスペクトルの微妙な差異を

見る方法でも,原理的には同位体を判別できると思います。

とりあえず今日はこのくらいにしておきます。

本記事を書くに当たり,量子力学のテキストをいくつか参考に

しましたが, 標準的な話を参照しただけで,これといったテキ

ストに依存するような特別な情報はなかったので,

本記事については参考文献の詳細は書かないことにします。

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