ヤングの干渉実験(8)(量子論)終わり

皆様,新年あけましておめでとうございます。 

続きです。この項目については今日の記事で一応終わりにします。 

ここまでは,演算子が時間に依らず,時間依存性は全て"波動関数＝状態"にしわ寄せさせるシュレーディンガー表示に基づいて論議を進めてきました。

しかし,量子場を記述する演算子を古典場との類似性と比較して類推で理解するには"波動関数＝状態"の方が時間に依存せず,時間依存性は全て演算子にしわ寄せさせるハイゼンベルク表示の記述の方が便利なことが多いです。

そこで,原子-輻射系の定式化のハイゼンベルク表示による記述を求めてみます。

ハイゼンベルク表示の波動関数Φ_Hはシュレーディンガー表示の波動関数Φ_S(ｔ)とΦ_H＝exp(iＨｔ/ｈ_c)Φ_S(ｔ)＝Φ_S(0)なる関係式で結ばれています。

ここにＨ は系の時間に依存しないハミルトニアンでｈ_c≡ｈ/(2π)はプランク(Planck)定数です。

そして,もちろん,ｄΦ_H/ｄｔ＝0 が成立します。

一方,時間に依存しないシュレーディンガー表示の演算子Ｏに対応するハイゼンベルク表示の演算子はＯ_H(ｔ)≡exp(iＨｔ/ｈ_c)Ｏexp(－iＨｔ/ｈ_c)で定義されます。

それ故,定義式の両辺を時間微分することにより,iｈ_c{ｄＯ_H(ｔ)/ｄｔ}＝[Ｏ_H(ｔ),Ｈ ]が演算子の従う運動方程式であることがわかります。これをハイゼンベルクの運動方程式といいます。

ハミルトニアンＨ については[Ｈ,Ｈ ]＝0 が成り立つのはもちろんですから,ハミルトニアンＨ なる演算子では常にＨ(ｔ)≡Ｈ_H(ｔ)＝Ｈであって,ハイゼンベルク表示でも時間依存性はありません。

一般に,ハミルトニアンＨと交換する演算子の表わす物理量であれば,それは全て時間依存性を持たないいわゆる保存量です。

"観測可能な量＝物理量"の期待値はいずれの表示でも同じであるべきです。シュレーディンガー表示の時刻ｔでの演算子Ｏの期待値＜Ｏ＞_t＝＜Φ_S(ｔ)|Ｏ|Φ_S(ｔ)＞はハイゼンベルクの演算子Ｏ_H(ｔ)の期待値＜Ｏ(ｔ)＞＝＜Φ_H|Ｏ_H(ｔ)|Φ_H＞と一致します。

時刻ｔでのシュレーディンガー表示の密度演算子ρ(ｔ)≡Σ_SＰ_S|Φ_S(ｔ)＞＜Φ_S(ｔ)|＝Σ_SＰ_Sexp(－iＨｔ/ｈ_c)|Φ_S(0)＞＜Φ_S(0)|exp(iＨｔ/ｈ_c)は,ハイゼンベルク表示ではρ_H(ｔ)≡exp(iＨｔ/ｈ_c)ρ(ｔ)exp(－iＨｔ/ｈ_c)＝Σ_SＰ_S|Φ_S(0)＞＜Φ_S(0)|＝ρ(0)です。

そこでｄρ_H(ｔ)/ｄｔ＝0 であり, Heisenberg表示の密度演算子ρ_H(ｔ)は実は時間に独立なので,これを単にρ_Hと書きます。

そして混合状態でのＯ_H(ｔ)の期待値は＜Ｏ(ｔ)＞＝Tr(ρ_HＯ_H(ｔ))ですが,これももちろんTr(ρ(ｔ)Ｏ)と一致します。

後の計算の便宜のために,原子-輻射系に対して対象とする気体原子が実際に電磁相互作用による遷移に預かる２つの準位のみから成るという模型を設定し,それを用いてシュレーディンガー表示のハミルトニアンを簡単な形に表現しておきます。

そのために,基底状態|1＞と励起状態|2＞のみを持った原子を考察します。そしてハミルトニアンのうちの原子に関わる部分を簡単に表わすために遷移演算子π⁺≡|2＞＜1|,およびπ≡|1＞＜2|を導入します。

状態|1＞,|2＞は直交規格化されているとします。このとき,π⁺π＝|2＞＜2|,ππ⁺＝|1＞＜1|と書けて,それぞれ状態|1＞,|2＞の射影演算子になっています。

そして,完全系条件|2＞＜2|＋|1＞＜1|＝1はπ⁺π＋ππ⁺＝1を意味します。π⁺π⁺＝ππ＝0 が成り立つことも自明です。

そして,"エネルギーの基準＝零点"を基底状態|1＞の準位に取るなら,原子のハミルトニアンＨ_E はＨ_E ＝ｈ_cω₀|2＞＜2|＋0|1＞＜1|＝ｈ_cω₀|2＞＜2|＝ｈ_cω₀π⁺πと書けます。

つまりπ⁺,πは原子のエネルギー準位の"昇降演算子＝生成消滅演算子"となっています。

一方,電気双極子近似の相互作用項はＨ_ED＝ｅＤＥ_T(Ｒ,0),ただしＤ＝Σ_i,jＤ_ij|ｉ＞＜ｊ|(Ｄ_ij≡＜ｉ|Ｄ|ｊ＞),Ｅ_T(Ｒ,0)＝iΣ_kΣ_λ{ｈ_cω_k/(ε₀Ｖ)}^1/2ε_kλ[ａ_kλexp(iｋＲ)－ａ_kλ⁺exp(－iｋＲ)]です。

今の場合には,Ｄ＝Ｄ₁₂(π⁺＋π)です。ただし,分極要素Ｄ₁₂,Ｄ₂₁は実数と仮定しており,Ｄ₂₁＝Ｄ₁₂としています。

故に,Ｈ_ED＝iΣ_kΣ_λｈ_cｇ_kλ[ａ_kλexp(iｋＲ)－ａ_kλ⁺exp(－iｋＲ)](π⁺＋π)と書けます。

ただし,記号を簡単にするために振幅部分をｇ_kλ≡ｅ(ω_k/(ε₀ｈ_cＶ)}^1/2ε_kλＤ₁₂と定義しました。

さらに輻射光子のハミルトニアンＨ_R≡Σ_kΣ_λｈ_cω_kａ_kλａ_kλ⁺を加え,最後に消滅演算子が生成演算子より右にくるという正規順序積の規約を採用すると,シュレーディンガー表示での系の全ハミルトニアンはＨ＝Ｈ_E＋Ｈ_R＋Ｈ_ED＝ｈ_cω₀π⁺π＋Σ_kΣ_λｈ_cω_kａ_kλａ_kλ⁺＋iΣ_kΣ_λｈ_cｇ_kλ[π⁺ａ_kλexp(iｋＲ)－ａ_kλ⁺πexp(－iｋＲ)]なる簡単な表式で与えられます。

このハミルトニアンのハイゼンベルク表示は,Ｈ(ｔ)＝ｈ_cω₀π⁺(ｔ)π(ｔ)＋Σ_kΣ_λｈ_cω_kａ_kλ(ｔ)ａ_kλ⁺(ｔ)＋iΣ_kΣ_λｈ_cｇ_kλ[π⁺(ｔ)ａ_kλ(ｔ)exp(iｋＲ)－ａ_kλ⁺(ｔ)π(ｔ)exp(－iｋＲ)]となります。

エネルギー保存則が破れるという現象は未だ発見されていませんから,近似ではなく完全なハミルトニアンなら,如何なる表示であろうとハミルトニアンは時間に依存しないはずですが,今の場合は近似ハミルトニアンであり,シュレーディンガー表示とハイゼンベルク表示のハミルトニアンはｔ＝0 を除いて等しくありません。

そして,iｈ_c{ｄＯ_H(ｔ)/ｄｔ}＝[Ｏ_H(ｔ),Ｈ ]にＯ_H(ｔ)＝π(ｔ)を代入すると,iｈ_c{ｄπ(ｔ)/ｄｔ}＝[π(ｔ),Ｈ ]＝ｈ_cω₀π(ｔ)－iΣ_kΣ_λｈ_cｇ_kλ{2π⁺(ｔ)π(ｔ)－1}ａ_kλ(ｔ)exp(iｋＲ)です。

この方程式を形式的に積分すると,π(ｔ)＝exp(－iω₀ｔ)[π(0)－Σ_kΣ_λｇ_kλ∫₀^t{2π⁺(ｔ')π(ｔ')－1}ａ_kλ(ｔ')exp(iｋＲ＋iω₀ｔ')ｄｔ']となります。

同様に,iｈ_c{ｄπ⁺(ｔ)/ｄｔ}＝[π⁺(ｔ),Ｈ ]＝－ｈ_cω₀π⁺(ｔ)－iΣ_kΣ_λｈ_cｇ_kλ{2π⁺(ｔ)π(ｔ)－1}ａ_kλ⁺(ｔ)exp(－iｋＲ)より,π⁺(ｔ)＝exp(iω₀ｔ)[π⁺(0)－Σ_kΣ_λｇ_kλ∫₀^t{2π⁺(ｔ')π(ｔ')－1}ａ_kλ⁺(ｔ')exp(－iｋＲ－iω₀ｔ')ｄｔ']です。

輻射の生成消滅演算子については,ａ_kλ(ｔ)＝exp(－iω_kｔ)[ａ_kλ(0)－ｇ_kλ∫₀^tπ(ｔ')exp(－iｋＲ＋iω_kｔ')ｄｔ'],ａ_kλ⁺(ｔ)＝exp(iω_kｔ)[ａ_kλ⁺(0)－ｇ_kλ∫₀^tπ⁺(ｔ')exp(iｋＲ－iω_kｔ')ｄｔ']となります。

場の量子論的考察による近似計算の例として,半古典論扱いでは計算不可能な励起原子からの"光子の自然放出＝自然輻射"を考えます。

基底準位と励起準位の２つの準位のみから成る任意の状態において,その状態の中に励起準位|2＞が存在する程度は,"励起準位の射影演算子π⁺π＝|2＞＜2|"の"時刻ｔでのハイゼンベルク表示でのそれ＝π⁺(ｔ)π(ｔ)"の期待値で与えられます。

これが従う運動方程式は,ｄ{π⁺(ｔ)π(ｔ)}/ｄｔ＝π⁺(ｔ){ｄπ(ｔ)/ｄｔ}＋{ｄπ⁺(ｔ)/ｄｔ}π(ｔ)により,ｄ{π⁺(ｔ)π(ｔ)}/ｄｔ＝Σ_kΣ_λｇ_kλ{π⁺(ｔ)ａ_kλ(ｔ)exp(iｋＲ)－ａ_kλ⁺(ｔ)π(ｔ)exp(－iｋＲ)}です。

右辺に近似解を代入する反復法によって,ｇ_kλ²のオーダーまで正しい解を求めるため,輻射演算子に関するｇ_kλのオーダーまで正しい表式を代入します。

π(ｔ),π⁺(ｔ)のゼロ次の近似:π(ｔ)＝π(ｔ')exp{iω₀(ｔ－ｔ')},π⁺(ｔ)＝π⁺(ｔ')exp{iω₀(ｔ'－ｔ)}を採用すれば,ａ_kλ(ｔ)＝exp(－iω_kｔ)[ａ_kλ(0)－ｇ_kλπ(ｔ)exp(－iｋＲ＋iω₀ｔ)∫₀^t exp{i(ω_k－ω₀)ｔ'}ｄｔ'],ａ_kλ⁺(ｔ)＝exp(iω_kｔ)[ａ_kλ⁺(0)－ｇ_kλπ⁺(ｔ)exp(iｋＲ－iω₀ｔ)∫₀^t exp{－i(ω_k－ω₀)ｔ'}ｄｔ']と近似されます。

これによって,ｄ{π⁺(ｔ)π(ｔ)}/ｄｔ＝Σ_kΣ_λｇ_kλ{π⁺(ｔ)ａ_kλ(ｔ)exp(iｋＲ)－ａ_kλ⁺(ｔ)π(ｔ)exp(－iｋＲ)}＝Σ_kΣ_λｇ_kλ[π⁺(ｔ)ａ_kλ(0)exp(iｋＲ－iω_kｔ)－ｇ_kλπ⁺(ｔ)π(ｔ)∫₀^t exp{i(ω_k－ω₀)(ｔ'－ｔ)}ｄｔ']＋[ａ_kλ⁺(0)π(ｔ)exp(－iｋＲ＋iω_kｔ)－ｇ_kλπ⁺(ｔ)π(ｔ)∫₀^t exp{i(ω_k－ω₀)(ｔ－ｔ')}ｄｔ']を得ます。

輻射場については,ｔ＝0 で光子がゼロの真空状態|0＞にあるとすると,ｄ{π⁺(ｔ)π(ｔ)}/ｄｔの期待値は,ｄ{＜0|π⁺(ｔ)π(ｔ)|0＞}/ｄｔ＝－＜0|π⁺(ｔ)π(ｔ)|0＞Σ_kΣ_λｇ_kλ²∫₀^t [exp{i(ω_k－ω₀)(ｔ'－ｔ)}＋exp{i(ω_k－ω₀)(ｔ－ｔ')}ｄｔ'＝ －＜0|π⁺(ｔ)π(ｔ)|0＞Σ_kΣ_λ[2ｇ_kλ²sin{(ω_k－ω₀)ｔ}]/(ω_k－ω₀)です。

結局,ｄ{＜0|π⁺(ｔ)π(ｔ)|0＞}/ｄｔ ～ －＜0|π⁺(ｔ)π(ｔ)|0＞Σ_kΣ_λ2πｇ_kλ²δ(ω_k－ω₀) as ｔ→∞ です。

これは,初期時刻ｔ＝0 に光子が全く存在しない状態で,時間と共に元々あった原子励起状態が減衰していく比率を示しています。

そして,吸収係数を2γ≡Σ_kΣ_λ2πｇ_kλ²δ(ω_k－ω₀)で定義すると励起状態の個数の期待値について,＜0|π⁺(ｔ)π(ｔ)|0＞＝＜0|π⁺π|0＞exp(－2γｔ)なる指数減衰式が得られます。

これは光子の自発放出の過程を示していると考えられます。

さて,やっと本題のヤング(Young)の干渉実験を論じるための準備ができました。

まず,既に半古典論の項で実験の概略を述べたものを再掲します。

ヤングの干渉実験は,点光源から出たカオス光がレンズによってほぼ平行な平面波にされて右前方に進み,次に２つのスリットを備えた第１スクリーンを通過した後,その右側にある第２スクリーンの上で生じる干渉縞を観測するものです。

以下,光源は完全な点光源であると理想化され,光源が有限な直径を持つとか,ビームが完全には平行ではないなどの複雑さは無視します。

簡単のために光は１方向にだけ偏っているとして,観測スクリーンの位置ｒにおける時刻ｔでの輻射の全横電場演算子をハイゼンベルク表示でＥ_T(ｒ,ｔ)とします。

そして,都合上Ｅ_T(ｒ,ｔ)を２つの部分に分離し,Ｅ_T(ｒ,ｔ)＝Ｅ⁺(ｒ,ｔ)＋Ｅ^-(ｒ,ｔ)と書きます。

Ｅ⁺(ｒ,ｔ)≡iΣ_k{ｈ_cω_k/(ε₀Ｖ)}^1/2ａ_kexp(－iω_ｋｔ＋iｋｒ),Ｅ^-(ｒ,ｔ)≡iΣ_k{ｈ_cω_k/(ε₀Ｖ)}^1/2ａ_k^＋exp(iω_ｋｔ－iｋｒ)です。

この横電場は光速ｃによって定まるｔより前の時刻ｔ₁,ｔ₂におけるスリット,あるいはピンホ－ルｒ₁,ｒ₂での電場の重ね合わせです。

すなわち,形式的にはＥ^±(ｒ,ｔ)＝ｕ₁Ｅ^±(ｒ₁,ｔ₁)＋ｕ₂Ｅ^±(ｒ₂,ｔ₂)と書けます。

ｔ₁,ｔ₂はｓ₁,ｓ₂を,それぞれ光が第１スクリーン上のｒ₁,ｒ₂から第２スクリーンまで到達するまでの距離とすると,ｔ₁≡ｔ－ｓ₁/ｃ,ｔ₂≡ｔ－ｓ₂/ｃで指定される時刻です。

ｕ₁,ｕ₂は球面波に対応して,それぞれｓ₁,ｓ₂に逆比例する量です。 

古典論では,光ビームの強さＩ(ｒ,ｔ)はポインティングベクトルＳの大きさ|Ｓ|で定義され,光の複素電場をＥ(ｒ,ｔ)とすると,Ｉ(ｒ,ｔ)がサイクル平均を示すものと考えて,Ｉ(ｒ,ｔ)＝(1/2)ε₀ｃη＜|Ｅ(ｒ,ｔ)|²＞_cなる表式で与えられます。

そして,結局Ｅ^*(ｒ,ｔ)とＥ(ｒ,ｔ)の積の平均に比例する量として定義されます。

その結果,ヤングの干渉実験の半古典論では,ビーム強度はＩ(ｒ,ｔ)＝(1/2)ε₀ｃ＜|Ｅ(ｒ,ｔ)|²＞_c＝(1/2)ε₀ｃ[|ｕ₁|²＜|Ｅ(ｒ₁,ｔ₁)|²＞_c＋|ｕ₂|²＜|Ｅ(ｒ₂,ｔ₂)|²＞_c＋2ｕ₁^*ｕ₂Re＜Ｅ^*(ｒ₁,ｔ₁)Ｅ(ｒ₂,ｔ₂)＞_cで与えられるという結論を得ました。 

そして,＜Ｅ^*(ｒ₁,ｔ₁)Ｅ(ｒ₂,ｔ₂)＞_c etc.のサイクル平均の時間平均を得るため,これをカオス光としての集団平均＜Ｅ^*(ｒ₁,ｔ₁)Ｅ(ｒ₂,ｔ₂)＞etc.で置き換えて,スクリーン上で得られる縞の濃淡を示す強度がＩ(ｒ)＝＜Ｉ(ｒ,ｔ)＞＝(1/2)ε₀ｃνＥ₀²[|ｕ₁|²＋|ｕ₂|²＋2ｕ₁^*ｕ₂ exp(－γ'|τ|)cos(ω₀τ)]なる関数形で得られることを見ました。

ここで,τ＝(ｓ₁－ｓ₂)/ｃは行路差,γ'は輻射や気体原子の衝突など種々の効果に起因する光の線幅を拡げる効果の総和です。 

一方,量子論では光子が初めに光子数の確定した状態|ｎ_k＞にあったとするとき,例えばモードｋ,λの１個の光子の吸収過程に関する遷移現象を電気双極子近似による摂動の１次の行列要素で近似すると＜ｆ|Ｈ_ED|ｉ＞＝＜ｎ_kλ－1,ｉ|ｅＤ{Ｅ⁺(ｒ,ｔ)＋Ｅ^-(ｒ,ｔ)}|ｎ_kλ,j＞＝ｅ＜ｎ_kλ－1|Ｅ⁺(ｒ,ｔ)|ｎ_kλ＞＜i|Ｄ|ｊ＞となります。

そこで,フェルミの黄金律による遷移速度は,1/τ＝(2π/ｈ_c²)Σ_i|＜ｎ_kλ－1|Ｅ⁺(ｒ,ｔ)|ｎ_kλ＞|²|＜ｉ|ｅＤ|ｊ＞|²δ(ω_k－(ｐ_i－ｐ_j)²/(2ｍｈ_c))ρ(ｐ_i)で与えられます。

そして遷移確率への光子部分の寄与は|＜ｎ_kλ－1|Ｅ⁺(ｒ,ｔ)|ｎ_kλ＞|²＝＜ｎ_kλ|Ｅ^-(ｒ,ｔ)|ｎ_kλ－1＞＜ｎ_kλ－1|Ｅ⁺(ｒ,ｔ)|ｎ_kλ＞＝＜ｎ_kλ|Ｅ^-(ｒ,ｔ)Ｅ⁺(ｒ,ｔ)|ｎ_kλ＞と書けます。 

そこで,古典論のビーム強度に対応する量子論での光子強度演算子:Ｉ(ｒ,ｔ)は古典論でのビーム強度Ｉ(ｒ,ｔ)での,Ｅ^*(ｒ,ｔ)Ｅ(ｒ,ｔ)を演算子Ｅ^-(ｒ,ｔ)Ｅ⁺(ｒ,ｔ)で置き換えたものとして定義されます。 

そこで,量子論でのヤングの干渉実験の結論式は＜Ｉ(ｒ,ｔ)＞＝(1/2)ε₀ｃ[|ｕ₁|²＜Ｅ^-(ｒ₁,ｔ₁)Ｅ⁺(ｒ₁,ｔ₁)＞＋|ｕ₂|²＜Ｅ^-(ｒ₂,ｔ₂)Ｅ⁺(ｒ₂,ｔ₂)＞_c＋2ｕ₁^*ｕ₂Re＜Ｅ^-(ｒ₁,ｔ₁)Ｅ⁺(ｒ₂,ｔ₂)＞です。

ここで,＜ ＞は干渉実験の系の量子状態に対する位置ｒ,時刻ｔにおける期待値を表わしています。

このときの量子状態としては光子の数が１個,２個...に確定した個数状態や,個数が全く不定のコヒーレント状態(可干渉状態)などの純粋状態である場合よりも,これらが統計的に乱雑に混合した混合状態である場合のほうが多いので,上記の期待値＜ ＞は一般に密度行列ρ_H によって＜Ｅ^-(ｒ_i,ｔ_i)Ｅ⁺(ｒ_j,ｔ_j)＞(ｉ,ｊ＝1,2)は＜Ｅ^-(ｒ_i,ｔ_i)Ｅ⁺(ｒ_j,ｔ_j)＞≡Ｔr(ρ_HＥ^-(ｒ_i,ｔ_i)Ｅ⁺(ｒ_j,ｔ_j))と定義されます。

しかしながら,最終的に干渉縞の濃淡を示す強度が統計平均を取ってＩ(ｒ)＝＜Ｉ(ｒ,ｔ)＞＝(1/2)ε₀ｃνＥ₀²[|ｕ₁|²＋|ｕ₂|²＋2ｕ₁^*ｕ₂ exp(－γ'|τ|)cos(ω₀τ)]なる関数形で得られ,周波数の拡がりγ'に左右される,というヤングの干渉実験結果の性質の理論的性格は,統計的論議に関する部分は量子論だからといって,特に古典論(半古典論)と変わるところはないため,その内容に変化はありません。

古典論での電磁波が,量子論では１個,２個と数えられる光子という粒子の波,あるいは確率波に変わったといっても,それが光であれば我々には元々実体として光が波であるという意識がありますから,粒子性を持つにも関わらず干渉という波独特の現象を起こすことにもあまり違和感はないようです。

しかし電子のド・ブロイ波のような本格的な粒子の波という意味では,光も電子も量子としての本質には違いはないと頭では理解していても,やはり１個の電子という粒子が干渉するなどという現象は今でも依然として量子論の創生期の頃と全く変わることなく我々の拙い常識で理解するのはむずかしいものですね。

以上で,本連載は終わります。

参考文献:R.Loudon 著(小島忠宣,小島和子 共訳)「光の量子論(第２版)」(内田老鶴圃) 

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