デデキントの切断(Dedekind cut)

　物理学関係についての話ばかり書くのも少し疲れたので,ちょっと数学に

浮気します。

　それも19世紀の解析学の話で息抜きします。

　手抜きして,約39年も前の大学１～２年の頃に書いたと思われる化石的なノートから引用します。

当時の私は学生運動クラブがメインで,その暇に細々,コツコツと数学の勉強をしていた程度でした。

専攻学科は理学部の物理学科でしたが,物理学に目覚めたのは大学院に入ってからで,大学５年間(１年留年)で自然科学関係で真剣に勉強したという記憶があるのは数学だけです。

必須単位を取って卒業できたのですから,物理学もやったのでしょうが,その成績は目茶目茶だったし,物理は試験前の一夜漬けくらいしか記憶にありません。

大学５年目の９月に幾つか他大学の大学院の物理学専攻を受けたのですが,物理学については１ヶ月か２ヶ月漬け程度の試験勉強でしたかね,入試の１つに合格したのも,恐らく数学の成績によるのでしょうね。

当時の参考書は洋書ですが,Walter.Rudin著の"Principles of Mathematical Analysis"でした。

今取って見ると,McGraw-HillのRiprint版ですがボロボロですね。

後に共立出版から「現代解析学」というその訳が出ているはずですが,そちらは所持していません。

余談はさておき,以下本文です。

まだ,数としては有理数しか存在しない世界から実数という新しい実体を定義します。

まず,Ｑを有理数全体の集合とします。

このとき,例えばｐ∈Ｑ,かつｐ²＝２を満たす元ｐは探しても存在せず,

それ故,集合Ａ⊂ＱをＡ≡{ｐ∈Ｑ|ｐ≦0,またはｐ＞0,かつｐ²＜２}

と定義すれば,Ａには最大数が存在しないことが簡単な考察からわか

ります。

また,ＱにおけるＡの補集合:Ｂ≡Ａ^c＝Ｑ－Ａには最小数が存在しないこともわかります。

つまり,有理数体だけでは,数直線上には多くのギャップ(gap)があって,

連続性は満たされないことがわかります。

そこで,こうしたことが"連続性を満たす新しい数＝実数"の導入の動機付け(motivatuon)になるわけです。

まず切断(cut)の定義です。

デデキント(Dedekind)が導入したので一般にデデキントの切断(Dedekind cut)と呼ばれています。

[定義_0]:集合α⊂Ｑが次の３条件を満たすときαを切断という。

(ⅰ)α≠φ,α≠Ｑである。　

　(ⅱ)ｐ∈α,ｑ∈Ｑ,かつｑ＜ｐならばｑ∈α。　

　(ⅲ)αは最大数を含まない。

     つまり,∀ｐ∈αに対してｐ＜ｒ,ｒ∈αなるｒ∈Ｑが存在する。

　の３条件である。

[定理Ａ1]:ｐ∈αであるがｑ∈αでないならｐ＜ｑである。

(※以下では"ｑ∈αでない"という文については論理記号の否定:￢を

用いて"￢ｑ∈α"と表現することもあります。)

(証明) ｐ∈αのとき,(ⅱ)によりｑ∈Ｑ,かつｑ＜ｐならｑ∈αです。

　また,ｑ＝ｐなら,もちろんｑ∈αです。

　したがって,ｐ∈αのときｑ≦ｐならｑ∈αですからｑ∈αでない(つまり￢ｑ∈α)ならｐ＜ｑです。(証明終わり)

※     上の定理の結果により,αの元をlower numberと呼び,

　有理数であってαに属さないものについてはαの元より大きいので

　upper numberと呼びます。

[定理Ａ2]:ｒ∈Ｑに対してα≡{ｐ∈Ｑ|ｐ＜ｒ}と置くとαは切断であってｒはαの最小のupper numberである。

(証明) αが(ⅰ),(ⅱ)を満たすのは自明です。

(ⅲ)は,∀ｐ∈αに対してｐ＜(ｐ＋ｒ)/2＜ｒ,(ｐ＋ｒ)/2∈αから明らかに満たされます。それ故,αは確かに切断です。

　さらに,￢ｒ∈Ｑは明らかなのでｒはαのupper numberです。

　そしてα のupper numberは全てｒ以上の有理数ですから

　ｒは確かにαのupper numberの最小値です。(証明終わり)

[定義１]:上の定理で切断であると証明された集合αを特に有理数ｒに関する有理切断と呼び,これをｒ^*で表わす。

　次は,大小関係(順序関係)の定義です。

[定義２]:α,βを切断とするとき,これが集合として等しいときこれらは

等しいと言い,α＝βと書く。

　またｐ∈βであるがｐ∈αでないようなｐ∈Ｑが１つでも存在すれば

　α＜β,あるいはβ＞αと書く。

　そして,α≦βなる表現はα＝βまたはα＜βを意味し,α≧βはα＝β

　またはα＞βを意味する。

[定理Ａ3]:α,βを切断とするとき,α＝βかα＜βかβ＜αのいずれか

１つが成り立ち,２つ以上同時に成り立つことはない。

(証明)手順を追って定義を確かめるだけなので省略します。

[定理Ａ4]:α,β,γを切断とするとき,

α＜βかつβ＜γならばα＜γである。

(証明)これも手順を追って定義を確かめるだけなので省略します。

※(注):"これら切断と呼ばれる有理数の部分集合の各々が１つ１つの

実数の各々に同一視されて対応する。"

というのが,Dedekindの発見的着想であり彼の切断公理の骨子です。

　次に,四則演算です。

[定理１]:α,βを切断とするとき,γ≡{ｐ＋ｑ|ｐ∈α,ｑ∈β}とおけば

γも切断である。

(証明)γが上記の３条件を満たすことを１つずつ順を追って示せばよくて

論理的に簡単なので省略します。

　当時の私のノートには律儀に証明が書いてありますが,まあ,当時は初学者だったので当然ですね。

[定義３]:(加法:足し算)

　上記の定理１で切断であると証明されたγをα＋βと書き,αとβの和と定義する。

[定理２]:(交換法則,結合法則,ゼロ元)

α,β,γを切断とする。

(ａ)α＋β＝β＋α,　

(ｂ)(α＋β)＋γ＝α＋(β＋γ),　

(ｃ)α＋0^＊＝α　

が成立する。

(証明) (ａ),(ｂ)の成立は自明です。

　そこで,(ｃ)の証明だけやってみます。

　まず,ｐ∈α＋0^*とします。このとき,ｐ＝ｑ＋ｒ;ｑ∈α,ｒ∈0^*なる

　ｑ,ｒ∈Ｑが存在します。

　ｒ∈0^*よりｒ＜ 0 ですから,ｐ＝ｑ＋ｒ＜ｑです。

　そこでｐ∈αが成立します。

　逆にｐ∈αとすると,αは切断ですから,ｐ＜ｑ,かつｑ∈αなる

　ｑ∈Ｑが存在します。

　このｑによってｐ＝ｑ＋(ｐ－ｑ);ｑ∈α,(ｐ－ｑ)∈0^*と書けば

　ｐ∈α＋0^*であることがわかります。

　以上から,ｐ∈α＋0^*⇔ｐ∈α,すなわちα＋0^*＝αがいえます。

　(証明終わり)

※結合法則:(α＋β)＋γ＝α＋(β＋γ)が成立するので,以後,

　(α＋β)＋γ＝α＋(β＋γ)を単にα＋β＋γと表記すること

　もあります。

[定理３]:αを切断とし,ｒ∈Ｑを任意の正の数(ｒ＞0)とする。

　このとき,ｒ＝ｑ－ｐを満たすｐ,ｑ∈Ｑであってｐ∈α,￢ｑ∈αで

　ｑはαの最小のupper numberではないものが存在する。

(証明) まず,α≠φなのでｓ∈αなる適当なｓを取りｓ_ｎ≡ｓ＋ｎｒ(ｎ＝0,1,2,..)によって有理数の等差数列{ｓ_ｎ}を作ります。

　このとき,ｓ_ｍ∈α,￢ｓ_ｍ+1∈αを満たす整数ｍが唯１つ存在するはずです。何故なら,こうしたｍが存在しないとするとα＝Ｑ(有理数全体)となってαが切断であることに矛盾するからです。

　そこで,このｍに対してｐ≡ｓ_ｍ,ｑ≡ｓ_ｍ+1とおけばｐ∈α,￢ｑ∈αでありｑ－ｐ＝ｒです。

　ただし,もしもｑ＝ｓ_ｍ+1がαの最小のupper numberに一致するなら

　ｐ≡ｓ_ｍ＋ｒ/2,ｑ＝ｓ_ｍ+1＋ｒ/2と定義します。(証明終わり)

[定理４]:(逆元の存在)

　αを切断とすとき,α＋β＝0^*を満たす切断βが唯１つ存在する。

(証明) まず,α＋β＝0^*を満たす切断βが存在すると仮定して,その一意性

　から証明します。

　すなわち,α＋β＝α＋β₁＝0^*とすると,

　β₁＝0^*＋β₁＝(α＋β)＋β₁＝(α＋β₁)＋β＝0^*＋β＝β

　です。

　次に,α＋β＝0^*を満たす切断βの存在の証明です。

　そのため,集合:β≡{ｐ∈Ｑ|￢(－ｐ)∈α,ただし(－ｐ)はαの

　最小upper numberではない。}を作ります。

　まず,集合βが１つの切断であることを証明します。

　つまり,βが切断の条件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を満足することを示します。

　まず,(ⅰ)β≠φ,β≠Ｑは明らかです。

　次に,ｐ∈β,ｑ∈Ｑ,かつｑ＜ｐと仮定します。

　(－ｐ)＜(－ｑ)ですから,(－ｑ)∈αと仮定すると(－ｐ)∈α

　となります。

　これはｐ∈β:つまり￢(－ｐ)∈αに矛盾します。

　それ故,￢(－ｑ)∈αであり(－ｑ)もαのupper numberですが,

　(－ｐ)＜(－ｑ)で,かつ(－ｐ)がαの最小upper numberではない

　ので(－ｑ)もそうです。

　以上から,ｐ∈β,ｑ∈Ｑ,かつｑ＜ｐならｑ∈βです。

　すなわち(ⅱ)も成立することがわかります。

　次に(ⅲ)です。

　ｐ∈βであることは(－ｐ)がαの upper numberであることを意味

　しますが,これはαの最小のupper numberではないため,

　∃ｑ∈Ｑ,(－ｑ)＜(－ｐ),かつ￢(－ｑ)∈αです。

　つまり,￢(－ｑ)∈α,かつｐ＜ｑです。

　そこで,ｒ≡(ｐ＋ｑ)/2とおけば,ｐ＜ｒ＜ｑ,つまり

　(－ｑ)＜(－ｒ)＜(－ｐ)なので,￢(－ｒ)∈αです。

　しかも,(－ｒ)はαの最小upper numberではありませんから

　ｒ∈β,かつｐ＜ｒです。

　ｐはβの任意の元でしたから結局βは最大数を含まないことが

　示されました。

　これで,集合βは条件(ⅲ)も満足することがわかりました。

したがって,βも切断ですから,和の有理数集合:α＋βが矛盾なく

切断として定義できることがわかります。

そして,ｐ∈α＋βとすれば定義によってｑ∈α,ｒ∈βが存在して

ｐ＝ｑ＋ｒと書けます。

よって,ｑ∈α,￢(－ｒ)∈αですが,"[定理Ａ1]:ｐ∈α,￢ｑ∈αならｐ＜ｑである。"によればｑ＜(－ｒ)が結論されます。

そしてｑ＜(－ｒ)を移項すればｐ＝ｑ＋ｒ＜ 0 です。

それ故,ｐ∈0^* が結論されます。

　逆にｐ∈0^*を仮定すると,0^*の定義によりｐ＜0,つまり,

　(－ｐ)∈Ｑは正の数:(－ｐ)＞ 0 であることがわかります。

　"[定理３]:αを任意の切断としてｒ∈Ｑを任意に与えられた正の数(ｒ＞0)とすると,ｒ＝ｑ－ｐを満足し,かつｐ∈α,￢ｑ∈αであってｑはαの最小のupper numberではないような有理数の組ｐ,ｑが存在する。"によれば,

　(－ｐ)＝(－ｒ)－ｑを満足し,かつｑ∈α,￢ｒ∈αであってｒはαの

最小のupper numberではないような有理数ｑ,ｒの組が存在します。

　これは,ｐ＝ｑ＋ｒ,かつｑ∈α,ｒ∈βとできることを意味します。

　そこで,結局ｐ∈α＋βなることが結論されます。

　以上からα＋β＝0^*が成立することがわかりました。

　すなわち,α＋β＝0^*を満たす切断:βが確かに存在します。

　こうしたβが一意的であることは既に最初に証明しましたかｒら

　定理は全て証明されました。(証明終わり)

[定義４]:(逆元)　

　上記の[定理４]で切断αに対して存在することが証明された切断βを

　(－α)と書き,αの逆元と呼ぶ。

[定理５]:α,β,γを切断とするとき,β＜γならばα＋β＜α＋γ

である。特にα＞0^*,かつγ＞0^*ならばα＋γ＞0^* である。

(証明) 大小関係の定義２によって,β＜γならばα＋β＜α＋γである

ことは自明です。

　そして,特にβ＝0^*としてα＞0^*,かつγ＞0^*とすれば,α＋γ＞α＞0^*

となります。(証明終わり)

[定理６]:α,βを切断とする。このとき,α＋γ＝βを満たす切断γが唯１つ存在する。

(証明)γ≡β＋(－α)とすると,α＋γ＝α＋{β＋(－α)}＝0^*＋β

　＝βです。そして[定理５]から,γ₁≠γならα＋γ₁≠α＋γなので

　α＋γ＝βを満たす切断γは一意的です。(証明終わり

[定義５]:(減法:引き算)　

　上記の[定理５]で切断α,βに対して存在することが証明された切断  γ≡β＋(－α)をβ－αと書きαのβとの差と呼ぶ。

[定理６]:(乗法)α,βをα≧0^*,かつβ≧0^*なる２つの切断とする。　

　このとき,γ≡{ｒ∈Ｑ|ｒ＜ 0,またはｒ＝ｐｑ,ｐ∈α,ｐ≧0;

　ｑ∈β,ｑ≧0}と置けばγは切断である。

(証明)証明は加法α＋βと似たようなものなので省略します。

[定義６]:(乗法:掛け算)　

　上記の[定理６]で切断α,βに対して定義された切断γをαβと表記しαとβの積と呼ぶ。

　さらに任意の切断αについて,|α|≡α (if α≧0^*),－α(if α＜0^*)

　と定義すると,|α|も１つの切断であって明らかに|α|≧0^*である。

　そして,|α|＝0^*となるのは,α＝0^*のときこのときに限る。

　この|α|を,αの絶対値(absolute value)と呼ぶ。

　α,βを(α≧0^*かつβ≧0^*)ではない２つの切断とする。

　このとき,αβ≡－(|α||β|)(α＜0^*,β≧0^*,またはα≧0^*,β＜0^*

のとき),|α||β|(α＜0^*,β＜0^*のとき)によって積αβを定義する。

　積|α||β|については既に定義されている。

[定理７]:(加法と乗法の性質)　

　α,β,γを切断とするとき,

(ａ) αβ＝βα (交換則),(ｂ)(αβ)γ＝α(βγ) (結合則),

(ｃ) α(β＋γ)＝αβ＋αγ (分配則),

(ｄ) α0^*＝0^*,および,(ｅ)αβ＝0^*⇔α＝0^* or β＝0^* (零元の性質),

(ｆ) α1^*＝α (単位元),

(ｇ) 0^*＜α＜β,かつγ＞0^*なら,αγ＜βγである。

(証明)これら全ての証明もコツコツやれば直線的にできると思うので

省略します。

[定理８]:(除法)

　αをα≠0^*なる切断とする。また,βも１つの任意の切断とする。

　このときαγ＝βなる切断γが唯１つ存在する。

　(これも証明略です。)

[定義７]:(除法:割り算)上記の[定理８]で切断α(α≠0^*),βに対して存在することが証明されたαγ＝βなる唯一の切断γをβ/αと書き,βのαによる商と呼ぶ。

[定理９]:(有理切断)ｐ,ｑ,ｒ,.etc.を有理数とする。

　このとき,(ａ)ｐ^*＋ｑ^*＝(ｐ＋ｑ)^*,(ｂ)ｐ^*ｑ^*＝(ｐｑ)^* ,

　および,(ｃ)ｐ^*＜ｑ^*⇔ｐ＜ｑ が成立する。

(証明)これも証明は略です。

[定理10]:α,βをα＜βなる任意の切断とする。

　このとき,α＜ｒ^*＜βなる有理切断ｒ^*が存在する。

(証明) α＜βとします。

　定義によってｐ∈β,￢ｐ∈αなるｐ∈Ｑが存在します。

　ｐ＜ｒ,かつｒ∈βなるｒを取ると,もちろん￢ｒ∈ｒ^*ですから

　ｒ^*＜βです。またｐ∈ｒ^*,￢ｐ∈αより,α＜ｒ^*です。

(証明終わり)

[定理11]:αを任意の切断する。

このとき,ｐ∈α⇔ｐ^*＜αである。

(証明) ｐ∈αのとき,￢ｐ∈ｐ^*ですからｐ^*＜αです。

　逆にｐ^*＜αのとき,ｑ∈α,￢ｑ∈ｐ^*なる有理数ｑが存在します。　　

　￢ｑ∈ｐ^*よりｑ≧ｐですからｐ∈αです。(証明終わり)

　これで準備は整いました。

[定義８]:各々の切断を実数と呼ぶ。

　有理切断は有理数と同一視する。

※     以下,実数全体(切断全体)の集合をＲとします。

[定理12]:(デデキントの定理)　

　集合Ａ,Ｂを次の性質を持つＲの部分集合とする。

(ａ)Ｒ⊂Ａ∪Ｂ,(ｂ)Ａ∩Ｂ＝φ,(ｃ)Ａ≠φ,かつＢ≠φ,

(ｄ)α∈Ａ,β∈Ｂならばα＜β である。

　このとき,任意のα∈Ａについてα≦γであり,かつ任意のβ∈Ｂ

についてγ≦βを満たす唯一の実数γ∈Ｒが存在する。

　証明を実行する前にこれの系も述べておきます。

[系]:[定理12]の仮定の下では,Ａが最大数を含むかＢが最小数を含むか

のいずれかである。

(定理12の証明)γ≡{ｐ∈Ｑ|ｐ∈α for some α∈Ａ}と置きます。

　まず,このγが確かに切断であることを証明します。

　Ａ≠φなのでα∈Ａなるαが少なくとも１つは存在しますから

　γ≠φです。

　一方,Ｂ≠φなのでβ∈Ｂなるβも存在します。

　当然,∀α∈Ａに対してα＜βです。

　そしてβ≠Ｑより￢ｑ∈βなるｑ∈Ｑが存在します。

　このとき∀α∈Ａに対しα＜βによって￢ｑ∈αです。

　それ故,ｑ∈γです。

　以上から切断の条件:(ⅰ)γ≠φ,かつγ≠Ｑが満たされることが

　わかりました。

次に,ｐ∈γ,ｑ＜ｐと仮定します。

ｐ∈α for some α∈Ａですから,このαに対して切断の定義により

ｑ∈αです。それ故,ｑ∈γです。

これで切断条件(ⅱ)も成立することがわかります。

また,ｐ∈γとするとｐ∈α for some α∈Ａです。

切断の定義によりｑ＞ｐなるｑ∈αが存在します。

よってｑ＞ｐなるｑ∈γが存在します。

これで切断条件(ⅲ)も成立することが示されました。

以上でγは１つの切断であることがわかりました。

したがってγは実数です。すなわちγ∈Ｒですね。

そしてγの定義から明らかに∀α∈Ａに対してｐ∈αならｐ∈γ

ですからα≦γです。

一方,もしもあるβ∈Ｂについてβ＜γなら,あるｐ∈Ｑが存在して

ｐ∈γ,かつ￢ｐ∈βです。

ｐ∈γより,あるα∈Ａに対してｐ∈αなります。

このαについては,ｐ∈α,かつ￢ｐ∈βですから,これはβ＜αを

意味します。

これは∀α∈Ａに対してα＜βという前提に矛盾します。

以上から,∀β∈Ｂについてγ≦βです。

以上で定理の前半のγの存在の証明は終わりました。

一方,上記γと同じ性質の実数(切断)γ₁,γ₂が存在して大小関係が

γ₁＜γ₂であるとすると,[定理10]によってγ₁＜γ₃＜γ₂を満たす

γ₃∈Ｒが存在します。

ところが,γ₃＜γ₂よりγ₃∈Ａです。

また,γ₁＜γ₃よりγ₃∈Ｂです。

つまりγ₃∈Ａ∩Ｂ＝φとなってこれは矛盾です。

したがって,一意性も証明されました。

系については[定理12]のγがＡの最大数かＢの最小数になることは

自明ですが,前提:(ｂ)Ａ∩Ｂ＝φによってどちらか一方しか起こり

得ないことは明らかです。(証明終わり)

　まだ,ちょっとあるのですが取り合えずここまでで終わります。

　丁度10年くらい前ですか池袋の電子専門学校で非常勤講師をしていた

時代に,数学の微積分学を教えて欲しいと頼まれたことがあります。

　そのとき,つい教科書を無視してこのノートの内容などを講義してし

まいました。

　指導教官に漏れて注意を受けた末に,次年度からは数学の講義をはず

されてしまいました。

　微積分の計算だけ教えてくれればいいということでしたね。

　計算も確かに教えましたが,ちょっとハメをはずしたかも知れません。

当時の相手は40人余りのクラスの生徒で確か臨床工学科でしたか？

病院などで採血や血液検査等を担当する臨床検査技師の卵たちで

女子の方がやや多かったような記憶があります。

生徒は私の講義を結構面白がっていたと感じたのですが。。

まあ,直接にはほとんど将来の役に立たない念仏講義なので結局は

迷惑だったかも知れませんね。

この専門学校では物理の講義でも,ちょっと私的な趣味に走ったことが

ありましたが,物理の講師は不足していたらしくて幸いクビにはなりま

せんでしたね。

参考文献:Walter.Rudin「Principles of Mathematical Analysis」second Edition (MacGrawHil)

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