非ネーター保存量(続き)

今日は,前記事で全訳した論文

「The Unified Form of Hojman's Conservation Law and Lutzky's Conservation Law(「Hojmanの保存則とLutzkyの保存則の統一形式」)  Hong-Bin ZHANG and Li-Qun CHEN Journal of Physical Society of Japan Vol.74,No.3,March,2005,pp905-909」

のよく理解できなかった部分を解釈することを試みます。 

その前に,いい機会なのでNoetherの定理の古典論を復習します。

　系の一般化座標ベクトルを時間ｔの関数としてｑ(ｔ)≡{ｑ_s(ｔ)},一般化速度ベクトルをｑ^d(ｔ)≡{ｑ_s^d (ｔ)}≡{ｄｑ_s(ｔ)/ｄｔ}として,

系はこれらの関数で表わされるLagrangian:Ｌ＝Ｌ(ｔ,ｑ,ｑ^d)で記述されるとします。 

そして前記事と同じく,系はある無限小変換:

ｔ^*＝ｔ＋Δｔ,ｑ_s^*＝ｑ_s＋Δｑ_s,ただし,

Δｔ＝ετ(ｔ,ｑ,ｑ^d),Δｑ_s＝εξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)に対して

理論が不変である,という対称性を有するとします。

この変分に対してLagrangianはＬ(ｔ,ｑ,ｑ^d)から,

Ｌ(ｔ^*,ｑ^*,ｑ^d*)に移行します。

そして,Lie変分の意味で,Ｌ^*(ｔ,ｑ,ｑ^d)≡Ｌ(ｔ^*,ｑ^*,ｑ^d*)|_t*=t

とおけば作用積分は,Ｓ＝∫Ｌ(ｔ,ｑ,ｑ^d)ｄｔ

→Ｓ^*＝∫Ｌ^*(ｔ,ｑ,ｑ^d)ｄｔなる変換を受けるので,

理論が不変なことはＳ＝Ｓ^*と同値です。 

これは,Ｌ^*(ｔ,ｑ,ｑ^d)－Ｌ(ｔ,ｑ,ｑ^d)＝ｄＧ/ｄｔなる関数Ｇが存在すること,つまり,Ｌ(ｔ^*,ｑ^*,ｑ^d*)|_t*=t－Ｌ(ｔ,ｑ,ｑ^d) ＝ｄＧ/ｄｔなるＧの存在を意味します。

(∂Ｌ/∂ｔ)τ＋(∂Ｌ/∂ｑ_s)ξ_s＋(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)

－(ｄＬ/ｄｔ)τ＝ｄＧ/ｄｔと表現できますが,

右辺のＧをＧ－Ｌτに置き換えれば,前記事の論文でNoetherの定理が成立するための条件である(29)式:

(∂Ｌ/∂ｔ)τ＋(∂Ｌ/∂ｑ_s)ξ_s＋(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)＋Ｌτ^d

＝ｄＧ(ｔ,ｑ,ｑ^d)/ｄｔと同等です。

つまり,(∂Ｌ/∂ｔ)τ＋(∂Ｌ/∂ｑ_s)ξ_s＋(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)

{(ｄ/ｄｔ)(ξ_s－ｑ_s^dτ)}＋(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)ｑ_s^2ｄτ＋Ｌｄτ/ｄｔ

＝ｄＧ(ｔ,ｑ,ｑ^d)/ｄｔと同等です。

(∂Ｌ/∂ｔ)τ＋(∂Ｌ/∂ｑ_s)ξ_s＋(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)

－(ｄＬ/ｄｔ)τ＝ｄＧ/ｄｔの左辺で,

(∂Ｌ/∂ｔ)＋ｑ_s^d(∂Ｌ/∂ｑ_s)＋ｑ_s^2ｄ(∂Ｌ/∂ｑ_s^ｄ)

＝ｄＬ/ｄｔを考慮します。

すると,－ｑ_s^dτ(∂Ｌ/∂ｑ_s)－ｑ_s^2ｄτ(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)

＋(∂Ｌ/∂ｑ_s)ξ_s＋(∂Ｌ/∂ｑ_s^d){(ｄ/ｄｔ)(ξ_s－ｑ_s^dτ)}

＋(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)ｑ_s^2ｄτ＝ｄＧ/ｄｔとなります。

　これらをまとめると,{(∂Ｌ/∂ｑ_s)－(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}

　(ξ_s－ｑ_s^dτ)＋{(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}(ξ_s－ｑ_s^dτ)

　＋(∂Ｌ/∂ｑ_s^d){(ｄ/ｄｔ)(ξ_s－ｑ_s^dτ)}＝ｄＧ(ｔ,ｑ,ｑ^d)/ｄｔ

　となります。

　"運動方程式＝Euler-Lagrange方程式"

  (∂Ｌ/∂ｑ_s)＝(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)を代入すると,

{(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}(ξ_s－ｑ_s^dτ)＋(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)

{(ｄ/ｄｔ)(ξ_s－ｑ_s^dτ)}＝ｄＧ(ｔ,ｑ,ｑ^d)/ｄｔとなります。

　すなわち,(ｄ/ｄｔ)[Ｇ－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}(ξ_s－ｑ_s^dτ)]＝0

が得られます。

　したがって,Noetherの定理で保証される保存量として,

Ｉ^N≡Ｇ－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}(ξ_s－ｑ_s^dτ)が得られるわけです。

　これは,Ｉ^N≡Ｇ＋Ｌτ－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}ξ_s＋(ｐ_sｑ_s^d－Ｌ)τ

＝Ｈτ＋{Ｇ＋Ｌτ－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}ξ_s}とも書けます。

　ここにｐ_s≡(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)は一般化運動量であり,Ｈ≡ｐ_sｑ_s^d－Ｌは系の"Hamiltonian＝エネルギー"です。

　Ｉ^Nの添え字ＮはNoether対称性の保存量という意味です。

　ただし,前記事の対応する保存量Ｉは,Ｇ→Ｇ－Ｌτとして,

Ｉ＝Ｉ^N－Ｌτ＝Ｇ－Ｌτ－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}(ξ_s－ｑ_s^dτ)

＝Ｇ－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}ξ_s＋(ｐ_sｑ_s^d－Ｌ)τ

Ｈτ＋{Ｇ－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}ξ_s}

です。

通常は時間軸における時間原点の平行移動に対する不変性,つまり時間の一様性に関するエネルギーＨの保存に関わる場合を除けば一般に時間変数を動かすことはありません。

その場合,Ｉ^N≡Ｇ－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}(ξ_s－ｑ_s^dτ)においてτ≡0であり,

しかも,そうした対称性では,作用Ｓだけではなく,LagrangianＬ自身も不変です。

それ故,関数ＧはＧ≡0 である場合がほとんどなので不変量は

Ｉ_N≡－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)ξ_sで与えられます。

そもそも,通常はNoether対称性は大域的対称性ですから,パラメータ:

εξ_sはせいぜい座標の一次関数εξ_s＝ελ_srｑ_rです。

そこで,Ｉ_N≡－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)λ_srｑ_rとなる場合,または全てが

任意定数εξ_s＝ε_sであり,保存量は無限小パラメータε_sの数だけ

あって,Ｉ^N_s≡－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)となるケースなどがほとんどです。

この後者では,特にεξ_s＝－ε_sと係数を取れば

Ｉ^N_s≡ｐ_s＝(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)となり空間の一様性と関連した保存量

としての運動量ｐ_sの表現になります。

一方,前者εξ_s＝ελ_srｑ_rの場合はｑ_s^*＝ｑ_s＋ελ_srｑ_r

＝(δ_sr＋ελ_sr)ｑ_rで,これは位相変換:

ｑ^*＝exp(－εΛ)ｑ (Λ＝{λ_sr}は行列の無限小変換に対応していて

一般座標を場の量に置き換えれば場の量の位相変換になるので場の

理論ではよくあるケースですね。

また,特に時間軸における時間原点の平行移動に対する不変性,つまり時間の一様性に関する対称性の場合にはξ_s≡0 であって,τは定数であり,

Ｇ＝－ＬτなのでＩ^N＝(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)ｑ_s^d－Ｌ)τ＝(ｐ_sｑ_s^d－Ｌ)τ

＝Ｈτです。

これも大域的対称性なので,ετは任意定数です。

それ故,保存量としてはＩ^N＝Ｈ,つまりエネルギーの保存が得られます。

そして,前記事の論文における定理を再掲します。

[定理1]:関数τ(ｔ,ｑ,ｑ^d)とξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)が条件:

ξ_s^2d－2α_sτ^d－ｑ_s^dτ^2d＝Ｘ⁽¹⁾(α_s)(8)を満たし,関数:

λ(ｔ,ｑ,ｑ^d)が方程式∂α_s/∂ｑ_s^d＋ｄ(lnλ)/ｄｔ＝0 (10)

を満たすとき,

物理系　ｑ_s^2d＝α_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)(1)の保存量Ｉとして,

Ｉ≡(∂τ/∂ｔ)＋(∂ξ_s/∂ｑ_s)＋(∂/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)

＋Ｘ⁽¹⁾{lnλ}－τ^d (9)　を持つ。

系が通常のLagrangian:Ｌ(ｔ,ｑ,ｑ^d)＝Ｔ－Ｖによって記述される保存力場の場合には,

力α_sはポテンシャルＶによって,

α_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)＝－∂Ｖ/∂ｑ_s＝∂Ｌ/∂ｑ_sで与えられます。

また,加速度は運動エネルギーＴによって,

ｑ_s^2d＝(ｄ/ｄｔ)(∂Ｔ/∂ｑ_s)＝(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｑ_s)

で与えられます。

そして,Euler-Lagrange方程式:(∂Ｌ/∂ｑ_s)－(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｑ_s

)＝0 は運動方程式ｑ_s^2d＝α_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)(1)に一致します。

そして,変換の生成子はＸ⁽¹⁾≡τ(∂/∂ｔ)＋ξ_s(∂/∂ｑ_s)

＋(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)(∂/∂ｑ_s^d)(7)であり,α_s＝∂Ｌ/∂ｑ_sなので,

パラメータτとξ_sが満たすべき条件:

ξ_s^2d－2α_sτ^d－ｑ_s^dτ^2d＝Ｘ⁽¹⁾(α_s)(8)は,

ξ_s^2d－2(∂Ｌ/∂ｑ_s)τ^d－ｑ_s^dτ^2d

＝τ(∂²Ｌ/∂ｔ∂ｑ_s)＋ξ_k(∂²Ｌ/∂ｑ_k∂ｑ_s)

＋(ξ_k^d－ｑ_k^dτ^d)(∂∂²Ｌ/∂ｑ_k^d∂ｑ_s)

と書けます。

通常,Noether定理の前提として,作用Ｓの不変性を与える無限小変換:

ｔ^*＝ｔ＋ετ,ｑ_s^*＝ｑ_s＋εξ_sのパラメータτ,ξ_sは時間ｔには

依らないので,パラメータの時間微分τ^d,τ^2d,ξ_k^d,ξ_s^2dは

全てゼロとしていいですから,

この条件式(8)は,τ(∂²Ｌ/∂ｔ∂ｑ_s)＋ξ_k(∂²Ｌ/∂ｑ_k∂ｑ_s)

＝τ(∂α_s/∂ｔ)＋ξ_k(∂α_s/∂ｑ_k)＝0 となります。 

また,関数λの満たすべき条件式:

∂α_s/∂ｑ_s^d＋ｄ(lnλ)/ｄｔ＝0 (10)は,

ｄ(lnλ)/ｄｔ＝∂²Ｌ/∂ｑ_s∂ｑ_s^dを意味しますが,

これはλ＝Ｄ≡det(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)とおけば満足されます。

このとき,定理１の結論として存在が保証されている保存量は,

Ｉ≡(∂τ/∂ｔ)＋(∂ξ_s/∂ｑ_s)＋(∂/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)

＋Ｘ⁽¹⁾{lnλ}－τ^d (9)ですが,これは具体的には,

Ｇ＝Ｌτ＋(ξ_s－ｑ_s^dτ)(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)－∫(ξ_s－ｑ_s^dτ)

(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)ｄｑ_k^d＋ｃ(ｔ,ｑ)(32)　となります。

そして,先に考察したNoether保存量:

Ｉ^N≡Ｇ－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}(ξ_s－ｑ_s^dτ)によれば,

これは,I＝Ｉ^N－Ｌτ＝Ｇ－Ｌτ－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}(ξ_s－ｑ_s^dτ)

で与えられる量Ｉに一致するはずですから,

Ｉ≡Ｇ－Ｌτ－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}(ξ_s－ｑ_s^dτ)

＝－∫(ξ_s－ｑ_s^dτ)(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)ｄｑ_k^d＋ｃ(ｔ,ｑ)

と書けます。

ところが再掲の定理２：

[定理２]τ(ｔ,ｑ,ｑ^d)とξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)がNoether対称性を表現するものであって,λ＝det(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)であるなら,式(9)で定義される保存量は恒等的にゼロである。

によれば,上に計算された式(9)の保存量:

Ｉ＝－∫(ξ_s－ｑ_s^dτ)(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)ｄｑ_k^d＋ｃ(ｔ,ｑ)

は恒等的にゼロであること:自明な保存量であることがわかっています。

しかし,これは通常のNoether定理で保証される保存量というのは全てゼロであって,無意味であることを意味するものではありません。

実際,エネルギー,運動量,電荷など,ゼロでないNoether保存量はたくさん存在しますからね。

ここでの,自明な保存量:Ｉ≡0 は条件

(8)τ(∂²Ｌ/∂ｔ∂ｑ_s)＋ξ_k(∂²Ｌ/∂ｑ_k∂ｑ_s)＝τ(∂α_s/∂ｔ)

＋ξ_k(∂α_s/∂ｑ_k)＝0 を満たす特殊な無限小変換:

ｔ^*＝ｔ＋ετ,ｑ_s^*＝ｑ_s＋εξ_sに対し物理系の作用Ｓが不変

であるような対称性を持つ場合です。

そして,λが条件(10)ｄ(lnλ)/ｄｔ＝∂²Ｌ/∂ｑ_s∂ｑ_s^dを満たす関数:

λ＝det(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)であり,これに対して保存量が

(9)Ｉ≡(∂τ/∂ｔ)＋(∂ξ_s/∂ｑ_s)＋(∂/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)

＋Ｘ⁽¹⁾{lnλ}－τ^d で与えられる特別なケースです。

これは,Noether保存量の意味からは,Ｉ＝Ｉ^N－Ｌτ

＝Ｇ－Ｌτ－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}(ξ_s－ｑ_s^dτ)における右辺のゲージ関数

Ｇを,Ｇ＝Ｌτ＋(ξ_s－ｑ_s^dτ)(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)－

∫(ξ_s－ｑ_s^dτ)(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)ｄｑ_k^d＋ｃ(ｔ,ｑ)

なる形に特定した特殊例に過ぎないといえます。

そして,Noether対称性の変換になるための前提条件である

"系のLagrangianＬが存在して(∂Ｌ/∂ｔ)τ＋(∂Ｌ/∂ｑ_s)ξ_s＋

(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)＋Ｌτ^d

＝ｄＧ(ｔ,ｑ,ｑ^d)/ｄｔ(29)を満たすゲージ関数Ｇが存在する。"

という条件が満足されない場合でも,

系の運動方程式ｑ_s^2d＝α_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)(1) が不変に保たれる変換であって,その変換のパラメータτ,ξ_sが条件(8),(10)を満たす限り,

式(9)Ｉ≡(∂τ/∂ｔ)＋(∂ξ_s/∂ｑ_s)＋

(∂/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)＋Ｘ⁽¹⁾{lnλ}－τ^d

で与えられる保存量Ｉの存在が保証されます。

しかもこれが自明＝ゼロとはならないケースが実際にある,ことは２つの例で示されています。

したがって,これが非Noether保存量としてのHojmanの保存量やLutzkyの保存量の意味するところであると思われます。

これらは特別な場合としてNoether保存量も含みますが,その場合には保存量は自明＝ゼロにしかならないので,実質的に意味があるのは非Noether保存量としてのそれのみであろうと思われます。

しかし,Noether保存量であるエネルギーや電荷のように物理学にとって意味のある量として,そうした保存量が出現する具体例が挙げられない限り,数学的意味付けは得られても,物理屋としてのモチベーションが湧いてきません。

まあ,具体例は自分で考えるか文献で探して挙げればればいいのかもしれませんが。。。,

というわけでモチベーションの関係もあって,この記事の完成はやや遅れました。

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