実数から複素数へ

せっかくデデキントの切断(Dedekind's cut)によって有理数から実数を定義したのですから,やはり39年くらい前の大学１～２年の頃の解析学の化石的ノートから,複素数の定義も記述しておきます。

要するに,また,得意の手抜きです。もっとも複素関数論ではなく複素数の話だけならカテゴリーとしては解析学の話ではなく代数学的,あるいは幾何学的な話ですね。

これまでと同じく実数の集合(set of reals)をＲで表記します。

これは四則演算を加味した代数の意味では,体(field)を作りますから,

特にＲは実数体(real field)を表わす記号でもあります。

[定義１]:(複素数:complex)

　複素数とは２つの実数ａ,ｂ∈Ｒの順序対,または２次元の数ベクトル(ａ,ｂ)のことであり,実数をａ,ｂ,.,複素数をｘ,ｙ,.で表記することにすれば

　,

　ｘ＝(ａ,ｂ),ｙ＝(ｃ,ｄ)(ｃ,ｄ∈Ｒ)のとき,"ｘとｙが等しい:

　ｘ＝ｙであるとは,ａ＝ｃかつｂ＝ｄが成り立つことである。"

　また,これらの和,または加法,および積,または乗法の演算が,

　それぞれ,ｘ＋ｙ≡(ａ＋ｃ,ｂ＋ｄ),および

　ｘｙ≡(ａｃ－ｂｄ,ａｄ＋ｂｃ)で定義されるものをいう。"

　そして,こうして得られる複素数全体の集合をＣと書くことにする。

※     特に,複素数(1,0)と(0,0)については,取り合えず,

　ｕ≡(1,0),ｎ≡(0,0)と表記することにします。

[定理１]:ｘ,ｙ,ｚを任意の複素数,すなわち∀ｘ,ｙ,ｚ∈Ｃとする。　

　このとき,

(ａ)ｘ＋ｙ＝ｙ＋ｘ,

(ｂ)(ｘ＋ｙ)＋ｚ＝ｘ＋(ｙ＋ｚ),　

(ｃ)ｘｙ＝ｙｘ,

(ｄ)(ｘｙ)ｚ＝ｘ(ｙｚ),

(ｅ)(ｘ＋ｙ)ｚ＝ｘｚ＋ｙｚ　が成立する。

(証明)ｘ＋ｙ≡(ａ＋ｃ,ｂ＋ｄ),およびｘｙ≡(ａｃ－ｂｄ,ａｄ＋ｂｃ)による加法,乗法の定義に従って実際に演算を行えば確かに成立することがわかるので省略します。

　以下,証明を省略した定理を２つ述べます。

[定理２]:∀ｘ∈Ｃに対しｘ＋ｎ＝ｘ,ｘｎ＝ｎ,ｘｕ＝ｘが成り立つ。

[定理３]:ｘ,ｙ,ｚ∈Ｃとする。ｘ＋ｙ＝ｘ＋ｚならばｙ＝ｚである。

[定理４]:(逆元(inverse)の存在)　

　∀ｘ∈Ｃに対してｘ＋ｙ＝ｎを満たすｙ∈Ｃが唯１つ存在する。

　このｙを－ｘと書く。

(証明)ｘ＝(ａ,ｂ)のとき,ｙ＝(－ａ,－ｂ)とすればいいです。　

(証明終わり)

[定理５]:∀ｘ,ｙ∈Ｃに対してｘ＋(－ｙ)をｘ－ｙと書くことにする。

　このとき,

(ａ)ｘ－ｘ＝ｎ,および

(ｂ)(－ｘ)ｙ＝ｘ(－ｙ)＝－(ｘｙ)　＝(－ｕ)(ｘｙ) が成立する。

(証明)略。　

この定理の故に,(－ｘ)ｙ＝ｘ(－ｙ)＝－(ｘｙ)

＝(－ｕ)(ｘｙ)を単に－ｘｙと書くことにします。

[定義２]:(絶対値:absolute value)　

　∀ｘ∈Ｃに対し,ｘ＝(ａ,ｂ)(ａ,ｂ∈Ｒ)なら

　|ｘ|≡(ａ²＋ｂ²)^1/2と書き,|ｘ|をｘの絶対値と呼ぶ。

[定理６]:∀ｘ,ｙ∈Ｃに対し,

(ａ)ｘ≠ｎなら|ｘ|＞0 である。 また|ｎ|＝0 である。

(ｂ)|ｘｙ|＝|ｘ||ｙ|が成り立つ。

(証明)略。

[定理７]:ｘ,ｙ∈Ｃに対しｘｙ＝ｎならｘ＝ｎ,またはｙ＝ｎである。

(証明)[定理６]より,ｘｙ＝ｎなら|ｘｙ|＝|ｘ||ｙ|＝0 ,

故に|ｘ|＝0,または|ｙ|＝0 です。

　そこで再び[定理６]からｘ＝ｎ,またはｙ＝ｎです。(証明終わり)

[定理８]:ｘ,ｙ,ｚ∈Ｃ,ｘｙ＝ｘｚでｘ≠ｎならｙ＝ｚである。

(証明)ｘ(ｙ－ｚ)＝ｘｙ－ｘｚ＝ｎでｘ≠ｎなので[定理７]によって

ｙ－ｚ＝ｎ,よってｙ＝ｚです。(証明終わり)

[定理９]:∀ｘ∈Ｃ,ただしｘ≠ｎに対し,ｘｙ＝ｕを満たす複素数ｙ

が唯一つ存在する。このｙをｕ/ｘと書く。

(証明)ｘ＝(ａ,ｂ)(ａ,ｂ∈Ｒ)とすると,ｘ≠ｎ故,ａ²＋ｂ²≠0

です。そこで,ｙ≡(ａ/(ａ²＋ｂ²),－ｂ/(ａ²＋ｂ²))とおけば,

　確かにｘｙ＝(ａ,ｂ)(ａ/(ａ²＋ｂ²),－ｂ/(ａ²＋ｂ²))＝(1,0)

　＝ｕとなります。

　そして,このｙ＝ｕ/ｘの一意性は[定理８]より明らかです。　

　(証明終わり)

[定理10]:(除法)　

　∀ｘ,ｙ∈Ｃ,ただしｘ≠ｎに対してｘｚ＝ｙを満たす複素数ｚが

　唯一つ存在する。このｚをｙ/ｘと書く。

(証明)ｚ≡(ｕ/ｘ)ｙとおけば,ｘｚ＝ｕｙ＝ｙです。(証明終わり)

[定理11]:(実数)　

　ａ,ｂ∈Ｒとする。

　このとき,　

　(ａ)(ａ,0)＋(ｂ,0)＝(ａ＋ｂ,0),

　(ｂ)(ａ,0)(ｂ,0)＝(ａｂ,0),

　(ｃ)ｂ≠0 なら(ａ,0)/(ｂ,0)＝(ａ/ｂ,0),

　(ｄ)|(ａ,0)|＝|ａ|　が成立する。

(証明)明らかなので略。

※  [定理11]から,(ａ,0)(ａ∈Ｒ)の形の複素数は,実数ａと全く同じ性質

を持って一対一に同型対応することがわかります。

　そこで,以下では複素数(ａ,0)(ａ∈Ｒ)を実数ａと同一視して単にａ

　と書くことがあります。

　この同定により,ＲはＣの部分集合,つまりＲ⊂Ｃとなります。

　そこで以下では,特に,ｕ＝(1,0)を単に1,ｎ＝(0,0)を単に

　 0 と書きます。

[定義３]:(虚数:imaginary)　

　複素数:(0,1)をｉと書く。

[定理12]:ｉ²＝－1 である。

(証明)ｉ²＝(0,1)(0,1)＝(－1,0)＝－1 です。(証明終わり)

[定理13]:∀ａ,ｂ∈Ｒに対して(ａ,ｂ)＝ａ＋ｂiである。

(証明)ａ＋ｂi＝(ａ,0)＋(ｂ,0)(0,1)＝(ａ,0)＋(0,ｂ)＝(ａ,ｂ)　

(証明終わり)

[定理14]:∀ｘ,ｙ∈Ｃに対して,|ｘ＋ｙ|≦|ｘ|＋|ｙ|である。

(証明) ｘ＋ｙ＝0 なら自明なので,ｘ＋ｙ≠0 とします。

　このときλ≠|ｘ＋ｙ|/(ｘ＋ｙ)とおけば,[定理６](ｂ)より

　|λ|＝1 です。

　そしてλｘ＋λｙ＝|ｘ＋ｙ|です。

　よってλｘ＋λｙは実数ですから,λｘ＝(ａ,ｂ),λｙ＝(ｃ,ｄ)

　ならλｘ＋λｙ＝(ａ＋ｃ,ｂ＋ｄ)＝(ａ＋ｃ,0)＝ａ＋ｃです。

　そして,|ａ|≦|λｘ|＝|ｘ|,かつ|ｃ|≦|λｙ|＝|ｙ|です。

　それ故,|ｘ＋ｙ|＝λｘ＋λｙ＝ａ＋ｃ≦|ａ|＋|ｃ|

　≦|ｘ|＋|ｙ|が成立します。(証明終わり)

[定義４]:(共役複素数:complex conjugate)　

　複素数:ｚ＝(ａ,ｂ)＝ａ＋ｂi(ａ,ｂ∈Ｒ)に対して複素数:

　ｚ^*≡(ａ,－ｂ)＝ａ－ｂiをｚの共役複素数という。

これより以降の展開は通常の歴史的な複素数の話の繰り返しに過ぎない

ので,ここまででやめます。

要するに,ここで展開した一連の話は歴史的には代数方程式の実数解を

求めるための過渡的な仮想数として便宜上導入された複素数をHilbert

などの近代思想に基づいて,公理的発想で代数的に再構築したモデルの

一例です。

数十年前,この定義を初めて学んだ頃は,確かに新鮮でしたが,単に複素数

をGauss平面の２次元ベクトルとする平面幾何の猫像をやや記号的に定式

化しただけだとしか思いませんでした。

例えば,Gauss平面の実軸上の点:ａ＝(ａ,0)(ａ＞0)に虚軸上の点

ｉ＝(0,1)を乗じると,これは幾何学的には,ベクトルの(π/2)だけ

の回転に相当して,積は点ａi＝(0,ａ)に移動することを意味します。

その上に,さらにｉ＝(0,1)を乗じるとさらに(π/2)回転され,合計π

だけ回転されて点は－ａ＝(－ａ,0)に移ります。

それ故,ｉを２回続けて乗じることはトータルでは－1を乗じることに

相当し,結局ｉ²＝－1なる演算と同一視されます。

このモデルは,こうした話を言い換えただけに過ぎないという感じで

考えて,割と軽視していました。

しかし,例えば物理学での相対性理論のエネルギーの等式:

Ｅ²＝ｐ²ｃ²＋ｍ²ｃ⁴の平方根を取ると,Ｅ＝±ｃ(ｐ²＋ｍ²ｃ²)^1/2

です。

この右辺は非常に扱いにくい非線型な形式ですが,これを次元を増やして

行列表現すると線形な形にできるというDiracの相対論的波動方程式のア

イデアを見るなどの思考体験もあって,少なからず,見方は変わってゆき

ました。

数十年も経った現在の心境としては,論理学での帰納法に関するPeanoo

の公理系と同じような感覚を持って見ています。

実証科学である他の自然科学での,"複素数は仮想数である,とか,

２乗して－1になる数など,そもそもこの世には存在しない,"とか

の「実在するしない」という類の不毛な論議と関係なく,

上記のような定式化は,単に数学的実体として,"複素数は２元数として

存在する"という考えを陽に表現して明確化するという意味がある,と

思うに至っています。

参考文献:Walter.Rudin　「Principles of Mathematical Analyss」second Edition(McGrawHill) 

　緊急告知！！　Attention!! [広告宣伝]です。

　「TRS健康ランド」では2008年１月10日よりお徳用ＳＣＳ500mlを新発売！！当店の専売です。

　そこのお酒のみの方，いろいろと飲食の機会の増えたあなた、体によいし特に肝臓によいウコンがいいですよ！！　そして特に今回提供する沖縄原産の純粋な黒ウコンは当店が専売の新製品ですが古くから沖縄地方ではいわゆる男性機能に効果があると言われています。

　おやおや、そこの静電気バチバチの人、いいものありますよ。。。

　それから農薬を落とした後の皮がピカピカに光っているリンゴなど商品として販売する際の見栄えをよくするなどのために化学処理をした食品を安全に洗浄する新商品の洗浄液SCSはいかがですか。。。

　http://www.rakuten.co.jp/trs-kenko-land/「ＴＲＳ健康ランド」-- 黒ウコン,ＳＣＳ(洗浄剤)専売などの店：  私が店長 です。

http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン！メディエーター巣鴨店」

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。クリックするとブログ村の人気ランキング一覧のホームページに跳びます。）

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）