デデキントの切断(補遺)

　実は,昔の大学入学時の頃のノートを忠実に再現すると,ブログにまとめたものよりもはるかに泥臭いものです。

　かつて,19世紀にラグランジュ(Lagrange)などが,それまでは無批判に使用していた級数などの収束性の論議を見直さざるを得なかったのと同じ,というのはおこがましいのですが,私もそれなりに悩んだようです。

　大学に入って,高校までに勉強していた付け焼刃のような極限や微積分の概念を,コーシー(Cauchy)が創始した,いわゆるε-δ論法に代表される近代無限小解析の手法で見直す,などと関連して,私的理解を助けるための,かなり細かい書き込みがノートのそこかしこにあります。

　当時,それらの見慣れない概念を受容するために,かなり悩んだ後が見られたりします。

例えば,前記事では煩雑になるので省略したα・1^*＝1^*・α＝αの

証明なども,かなり苦労してやっていたようです。

結局は|α|・1^*＝|α|を示せばいいわけですから,ｐ∈|α|・1^*

なら,ｐ＝ｓ・ｔ;ｓ∈|α|,ｔ＜1と書けるので,ｐ＝ｓ・ｔ＜ｓ

ですからｐ∈|α|,逆にｐ∈|α|ならｑ＞ｐ,ｑ∈|α|なるｑが存

在してｑ＞0 の場合ｐ＝ｑ・(ｑ/ｐ)よりｐ∈|α|・1^*となると

いう簡単明快なものです。

この証明の記述１つにしても,元々はスミルノフ著の「高等数学教程」

や高木貞治著の「解析概論」など,比較的古い記述の書物を参照して

いて,最終的に,W.Rudinというテキストに到達したようです。

ところで,前記事では急いでいたせいもあって,肝心の最後の実数の連続性を保証する"デデキントの定理(Dedekind's theorem)"なるものが解析学にとって一体,何の意味を持つのか？ということなどについて書き漏らしていたので,ここに補足しておきます。

そもそも,前述の"Dedekindの定理"は,"Dedekindの切断(連続性)公理"と呼ばれることも多く,何もわざわざ有理数から無理数を含む実数を"有理数の集合＝切断"として定義する,という,

前記事のような手間をかけるほどのことはなく,単にこれを公理として受容してもよいくらいのものだ,ともいえます。

要するに,

実数に対して"Dedekindの定理",または"Dedekindの切断公理"が成立すれば,上に有界な実数集合には"上限",つまり"最小上界"があり,下に有界な実数集合には"下限",つまり"最大下界"があることがいえる,

ということが重要なのです。

結局,私など高校の数Ⅲでは証明なしでごまかしのような説明付きで無理に記憶させられていた,

"変数が有界で単調に変動するなら,それには有限な極限値が存在する。"

というような極限の存在についての法則が証明できるようになる,という

くらいの意味しかないのですね。

まあ,Dedekindの切断など知らなくても,

"上に有界な実数集合には上限＝最小上界があり,下に有界な実数集合には下限＝最大下界がある"

ことを公理として,出発しても大した差はないのですがね。。。

この定理,または公理の効用について,さらに述べるなら"実数の完備性"くらいですかね。

つまり,"実数によるCauchy列は必ず有限な極限値に収束する"という命題が成立するためには,実数の連続性が必要なんですね。

そして,結局,ｎ次元Euclid空間:Ｒⁿの完備性も実数の連続性に基づいて保証されるわけです。

これらを具体的に述べるには,まず有界という言葉の定義から出発する必要があります。

[定義１]:(有界)

　実数の集合:Ｅ⊂Ｒがあるとする。

　実数ｙ∈Ｒが存在して,∀ｘ∈Ｅに対してｘ≦ｙが成立するとき,

Ｅは上に有界であるといい,ｙをＥの上界と呼ぶ。

　一方,実数ｚ∈Ｒが存在して,∀ｘ∈Ｅに対してｚ≦ｘが成立するとき,

Ｅは下に有界であるといい,ｚをＥの下界と呼ぶ。

　Ｅが上にも下にも有界であるときには,Ｅは有界であるという。

実数から成る数列:{ｘ_n}が有界であるとは,全てのｘ_nの集合:

{ｘ_n:ｎ＝1,2,..}が有界であることをいう。

[定義２]:(上限,下限)

　実数の集合Ｅ⊂Ｒが上に有界であるとき,ｙがＥの１つの上界であり

ｘ＜ｙならｘはＥの上界とは成り得ないときには,ｙをＥの最小上界

＝lubＥ(lub of Ｅ),またはＥの上限＝supＥ(sup of Ｅ)と呼ぶ。

　別の言い方をするなら,ｙはＥの１つの上界であって,任意のε＞0 に対してｙ－ε＜ｘ≦ｙなるｘ∈Ｅが存在するとき,ｙをＥの上限と呼び

ｙ＝supＥと書く。(lub=least upper bound;sup=supremum)

実数の集合:Ｅ⊂Ｒが下に有界のとき,ｚはＥの１つの下界であって

ｚ＜ｘならｘはＥの下界とは成り得ないとき,ｚをＥの最大下界

＝glbＥ(glb of Ｅ),またはＥの下限＝infＥ(inf of Ｅ)と呼ぶ。

別の言い方をすれば,ｚはＥの１つの下界であって,任意のε＞0 に対し

てｚ≦ｘ＜ｚ＋εなるｘ∈Ｅが存在するとき,ｚをＥの下限と呼び

ｚ＝infＥと書く。(glb=greatest lower bound;inf=infimum)

[定理1]:(上限,下限)

　実数の集合:Ｅ⊂Ｒが上に有界でＥ≠φとする。

このときＥの上限supＥが存在する。

　また,実数の集合Ｅ⊂Ｒが下に有界でＥ≠φとする。

　このときＥの下限infＥが存在する。

(証明)集合ＡをＡ≡{α∈Ｒ|α＜ｘなるｘ∈Ｅが存在する。}と定義し,

　集合ＢをＢ≡Ａ^c＝Ｒ－Ａと定義します。

　このとき,ｙ∈ＡならｙはＥの上界では有り得ず,

　ｙ∈Ｂなら,∀ｘ∈Ｅに対してｘ≦ｙが成立するので,

　ｙはＥの上界です。

　つまり,ＢはＥの上界全部の集合になっています。

そして,明らかにＡ∪Ｂ＝Ｒ⊂Ｒ,Ａ∩Ｂ＝φです。

また,Ｅ≠φなので,あるｘ∈Ｅが存在します。

そして,α∈Ｒはα＜ｘならα∈ＡなのでＡ≠φです。

また,Ｅ⊂Ｒが上に有界なのでＢ≠φです。

それ故,"Dedekindの定理"によってＡが最大数を含むかＢが最小数を含む

かのいずれかです。

ところが,∀α∈Ａについて,α＜ｘなるｘ∈Ｅが存在するので,このｘに

対してα'≡(α＋ｘ)/2とおけば,α＜α'＜ｘですからα＜α'なる

α'∈Ａが存在するため,Ａは最大数を持ちません。

したがって,Ｂ＝(Ｅの上界の集合)が最小数を持ちます。

この最小数は,Ｅの最小上界＝Ｅの上限supＥです。

後半のＥの下限infＥの存在についても同様なので,後半の証明に

関しては省略します。(証明終わり)

※よくある解析学や微積分学の初歩的なテキストでは,実数の集合が有界のとき上限,あるいは下限が存在するというこの定理を,公理のように理論の

出発点としているものも多々あるようです。

　我々のような物理屋であれば,必ずしもDedekindの切断のような数学的に微妙な論題まで知る必要はないかも知れません。

[定理２]: 実数から成る数列:{ｘ_n}が有界で単調に変動するならば,

これはｎ→ ∞に対して有限な極限値に収束する。

(証明) 数列:{ｘ_n}が上に有界で単調非減少とすると,Ｅ≡{ｘ_n:ｎ＝1,2,..}は上に有界です。

　したがって,上限β≡supＥが存在して,ｘ_n≦β(ｎ＝1,2,..)が

　成立します。

　任意のε＞0 が与えられたとすると,上限の定義によって,あるＮが存在

してβ－ε＜ｘ_N≦βが成立します。

　そして{ｘ_n}は単調非減少数列なので,ｎ≧Ｎならｘ_N≦ｘ_nです。

したがって,ｎ≧Ｎならβ－ε＜ｘ_N≦ｘ_n≦βが成立します。

つまり,ｎ≧Ｎなら常に|β－ｘ_n|＜εです。

これは,β＝lim_n→∞ｘ_nを意味します。

この場合には,極限値は上限に一致します。

一方,数列{ｘ_n}が下に有界で単調非増加の場合に,{ｘ_n}が下限に収束することも,同様にして証明できます。(証明終わり)

[定理３]: 実数の有限区間の列:[ａ₁,ｂ₁],[ａ₂,ｂ₂],..,[ａ_n,ｂ_n],..

が与えられ,どの区間も先行する区間に含まれるとする。

　つまり,[ａ_n,ｂ_n]⊂[ａ_n-1,ｂ_n-1],または

　ａ_n≧ａ_n-1,かつｂ_n≦ｂ_n-1とする。

　そしてｎ→ ∞ に対して区間の長さｃ_n≡ｂ_n－ａ_nがゼロに収束する,

　つまりｃ_n→ 0  as ｎ→ ∞ のとき,数列{ａ_n}と{ｂ_n}は共通の極限値

　に収束する。(この有限区間の列は縮小区間列と呼ばれる。)

(証明) 仮定により,ａ₁≦ａ₂≦..≦ａ_n-1≦ａ_n≦ｂ_n≦ｂ_n-1≦..≦ｂ₁

です。

　したがって,数列{ａ_n}は上に有界で単調非減少なので,ある極限値α

　が存在してlim_n→∞ａ_n＝α≦ｂ₁です。

　lim_n→∞ｃ_n＝lim_n→∞(ｂ_n－ａ_n)＝0 ですから,lim_n→∞ｂ_n

＝lim_n→∞(ａ_n＋ｃ_n)＝αも得られます。(証明終わり)

[定理４]:(Cauchyの収束判定条件(Cauchy's criterion))＝(完備性)　　

　実数から成る数列{ｘ_n}が有限な極限値に収束するための

必要十分条件は,

　”予め与えられた任意の正の数εに対して,あるＮが存在してｍ≧Ｎ,

　かつｎ≧Ｎなら|ｘ_m－ｘ_n|＜εが成立する”

　ことである。

(証明) 必要性:{ｘ_n}が有限な極限値に収束するならば,

　"予め与えられた任意の正の数εに対して,あるＮが存在してｍ≧Ｎ,

　かつｎ≧Ｎなら|ｘ_m－ｘ_n|＜εが成立する"のは明らかです。

十分性を証明するため,"予め与えられた任意の正の数εに対して,

あるＮが存在してｍ≧Ｎ,かつｎ≧Ｎなら|ｘ_m－ｘ_n|＜εが成立する"

と仮定します。

仮定によって,あるＮ₁が存在してｍ≧Ｎ₁,かつｎ≧Ｎ₁なら

|ｘ_m－ｘ_n|＜1ですから,ｋ≧Ｎ₁なら|ｘ_k－ｘ_N1|＜1が成立

します。

すなわち,ｋ≧Ｎ₁ならｘ_N1－1＜ｘ_k＜ｘ_N1＋1,あるいは

ｘ_k∈[ｘ_N1－1,ｘ_N1＋1]です。

同様にＮ₂≧Ｎ₁なるＮ₂が存在して,ｋ≧Ｎ₂なら

ｘ_N2－(1/2)＜ｘ_k＜ｘ_N2＋(1/2),または

ｘ_k∈[ｘ_N2－(1/2),ｘ_N2＋(1/2)]です。

そこで,これを繰り返して,ｍ＝1,2,..,,ｍ－1,ｍ,..について,

Ｎ_m≧Ｎ_m-1≧..≧Ｎ₂≧Ｎ₁なるＮ_mの列が存在して,ｋ≧Ｎ_mなら

ｘ_Nm－(1/ｍ)＜ｘ_k＜ｘ_Nm＋(1/ｍ),または

ｘ_k∈[ｘ_Nm－(1/ｍ),ｘ_Nm＋(1/ｍ)]

と書くことができます。

そこで,ａ_m≡ｘ_Nm－(1/ｍ),ｂ_m≡ｘ_Nm＋(1/ｍ)とおけば,

ｘ_k∈[ａ_n,ｂ_n] (ｎ＝1,2,..)であり,区間列{[ａ_n,ｂ_n]}は前定理３

の仮定である実数の縮小区間列:[ａ₁,ｂ₁],[ａ₂,ｂ₂],..,[ａ_n,ｂ_n]..

に他なりませんから,数列{ａ_n}と{ｂ_n}は共通の極限値に収束します。

その共通の極限値をαとすれば,lim_n→∞ａ_n＝lim_n→∞ｂ_n＝α,

かつｘ_k∈[ａ_n,ｂ_n]ですから,lim_n→∞ｘ_n＝αも成立します。

(証明終わり)

ここで,これらの実数空間Ｒにおける定理をｎ次元Euclid空間Ｒⁿに,一般化してみます。

Euclid空間は１種の距離空間ですから,差し支えない場合には距離空間

の言葉を用います。

[定義３]:(距離空間；metric space)

　元のことを点と呼ぶ集合Ｘが距離空間であるとは,　

　"∀ｘ,ｙ∈Ｘに対して,これらの距離と呼ばれる実数;ｄ(ｘ,ｙ)≧0

が定まっていて,次の３つの性質を満たすことをいう。

　３つの性質とは,　

(ａ)ｘ≠ｙならｄ(ｘ,ｙ)＞0;特にｄ(ｘ,ｘ)＝0　

(ｂ)ｄ(ｘ,ｙ)＝ｄ(ｙ,ｘ)

(ｃ)∀ｚ∈Ｘに対し,ｄ(ｘ,ｙ)≦ｄ(ｘ,ｚ)＋ｄ(ｚ,ｙ)　

である。

厳密にはＸだけではなく,(Ｘ,ｄ)の組を距離空間と呼ぶ。

※ 例えば,ｎ次元Euclid空間:Ｒⁿなら,

　ｘ≡(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n),ｙ≡(ｙ₁,ｙ₂,..,ｙ_n)∈Ｒⁿに対して,距離を

絶対値で定義します。

　すなわち,ｄ(ｘ,ｙ)≡|ｘ－ｙ|≡{Σ_k=1ⁿ(ｘ_k－ｙ_k)²}^1/2定義すれば,

(Ｒⁿ,| |)の組は距離空間になります。

以下,集合といえば距離空間Ｘの部分集合であることを暗黙の了解事と

します。

[定義４]:(有界)

　集合Ｅ⊂Ｘが有界であるとは,実数Ｍとある点ｙ∈Ｘがあって,∀ｘ∈Ｘ

　に対してｄ(ｘ,ｙ)＜Ｍが成立することをいう。

[定義５];(収束点列)　距離空間Ｘの点列{ｘ_n}が収束するとは,ある点α∈Ｘが存在して,任意のε＞0 に対して整数Ｎが存在してｎ≧Ｎならばｄ(ｘ_n,α)＜εが成立することをいう。

[定義６](Cauchy列と完備性)

　距離空間Ｘの点列{ｘ_n}がCauchy列であるとは,任意のε＞0 に対し

整数Ｎが存在してｍ≧Ｎ,かつｎ≧Ｎならｄ(ｘ_m,ｘ_n)＜εが成立する

ことをいう。

　そして距離空間Ｘの任意のCauchy列が収束するとき,Ｘは完備(complete)である,という。

※定理４から実数の空間Ｒは完備であることがわかります。

　これを少し拡張すればｎ次元Euclid空間Ｒⁿも完備である,ことが

  わかります。

　一般の距離空間は必ずしも完備ではありませんが,あるCauchy列に関する同値類を作ることによって完備化することが常に可能です。

参考文献:Walter.Rudin「Principles of Mathematical Analyss」second Edition(McGrawHill)　

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