連続(非可算)固有値と可分性

　今日は全く違う論題の記事を書こうと思って準備していたのですが,量子論の状態空間としての無限次元ヒルベルト空間の"可分性＝可算稠密な基底を持つこと"について,どうにも納得できなくて説明を求めておられる方がいるらしいと思われるので何かせかされていると感じて,急遽予定を変更しました。

　どうも「EMANの物理学」談話室の昨年の過去ログ「ヒルベルト空間の次元」で2007年9/7にこうしたことについて証明したという内容のNo.2376のhirotaさんの投稿「非可算和＝可算和」の説明文だけでは納得されず,どうしても具体的な構成による説明を求められておられるような気がしたので,実際に可算個の基底が存在して状態のヒルベルト空間の任意のベクトルがその可算個の基底で展開されるモデル例を作ってみます。

　まず,Ｈを状態ベクトルの空間とします。

　簡単のためにＨは位置座標ｘの関数空間である,つまりＨの任意の"元＝状態ベクトル"はψ(ｘ)なる波動関数(＝＜ｘ|ψ＞)であって,そのノルム|ψ|は|ψ|≡|＜ψ|ψ＞|^1/2＝[∫_－∞^∞ψ^*(ｘ)ψ(ｘ)ｄｘ]^1/2で定義されるとします。

　そして,このノルムが有限,つまり|ψ|＜∞であることが,状態であるため:ψ(ｘ)∈Ｈであるための条件であるとします。

(この条件は波動関数の絶対値の２乗が確率密度に比例し,それゆえノルムの２乗|ψ|²がその状態の総存在確率に比例する量を表わすので当然です。)

この空間では,状態に作用する運動量演算子Ｐは通常の位置表示の微分演算子Ｐ≡－iｈ_c∇で与えられます。

(ｈ_c≡ｈ/(2π);ｈはプランク定数です。)

この表示で固有値方程式Ｐφ_p＝ｐφ_pを満たす関数である平面波φ_p(ｘ)≡(2πｈ_c)^-3/2exp(iｐｘ/ｈ_c)は,実はノルム|φ_p|＝[∫_－∞^∞φ_p^*(ｘ)φ_p(ｘ)ｄｘ]^1/2が有限ではないので,φ_p(ｘ)∈Ｈではなく運動量の連続固有値ｐに対応するφ_p(ｘ)は状態ベクトルではないことになるので,もちろん固有ベクトルではありません。

それ故,この表現に固執すると,この空間では運動量の固有状態は存在不可能であって,そこで"運動量の固有値は存在しない。"とさえ言えることになります。

そこで,こうしたことを解消する手立てとして,今仮に運動量空間の分割の最小単位Δｐが存在すると想定して,運動量ｐ＝(ｐ_x,ｐ_y,ｐ_z)のｐ_x,ｐ_y,ｐ_zのそれぞれの軸上(－∞,∞)の上に,..,－(3/2)Δｐ,－(1/2)Δｐ,(1/2)Δｐ,(3/2)Δｐ,..,(ｋ＋1/2)Δｐ,]..,なる分割点列を取りこれらの分割による空間格子点を作ります。

このとき,ｐ空間の格子点全体の濃度は可算個ですから,これらを順に並べてｐ₁,ｐ₂,ｐ₃,..と番号の添え字を付けることが可能です。

そして,運動量ｐ＝(ｐ_x,ｐ_y,ｐ_z)について各成分がｐ_x∈[ｐ_ix－Δｐ/2,ｐ_ix＋Δｐ/2],ｐ_y∈[ｐ_iy－Δｐ/2,ｐ_iy＋Δｐ/2],かつｐ_z＝∈[ｐ_iz－Δｐ/2,ｐ_iz＋Δｐ/2]を満たすことを,ｐ_i－Δｐ/2≦ｐ≦ｐ_i＋Δｐ/2と書きます。

そして,φ_i(ｘ)≡(Δｐ)^-3/2∫_pi－Δp/2^pi＋Δp/2exp(iｐｘ/ｈ_c)ｄｐ(ｉ＝1,2,3,..)なる関数を考えます。

これは,"存在確率＝波動関数の絶対値の２乗"という意味で,ｐ_iを中心とする１辺がΔｐの微小立方体の形でｐ_iの周りに集中した平面波φ_p(ｘ)≡(2πｈ_c)^-3/2exp(iｐｘ/ｈ_c)の重ね合わせで構成され,規格化されてノルムが１のベクトルばかりから成る可算濃度の集合{φ_i(ｘ)}を用意します。

そして,このときＰφ_i(ｘ)＝－iｈ_c∇φ_i(ｘ)＝(Δｐ)^-3/2∫_pi－Δp/2^pi＋Δp/2ｐexp(iｐｘ/ｈ_c)ｄｐよりｐ_i－Δｐ/2≦＜φ_i|Ｐ|φ_i＞≦ｐ_i＋Δｐ/2ですから,期待値の意味で近似的にＰφ_i(ｘ) ～ ｐ_iφ_i(ｘ)であり,かつφ_i(ｘ)∈Ｈです。

したがって,連続的でそれ故非可算個の任意の運動量値ｐに対し,それがｐ_i－Δｐ/2≦ｐ≦ｐ_i＋Δｐ/2を満足するような唯一のｐ_iを採れば,ｐ_iが運動量演算子Ｐ＝－iｈ_c∇の近似的な固有値となるような近似的固有ベクトルφ_i(ｘ)が存在します。

そして,全ての近似的固有ベクトルの集合{φ_i(ｘ)}の濃度は,可算個になります。

さらに,この可算ベクトル系は規格化直交性＜φ_i|φ_j＞＝∫_－∞^∞φ_i^*(ｘ)φ_j(ｘ)ｄｘ＝δ_ij (ｉ,ｊ＝1,2,3,．．)を満足します。

Ｈの任意の規格化された状態ベクトルをψ(ｘ)とします。

これは,一般にψ(ｘ)＝(2πｈ_c)^-3/2∫_－∞^∞ｆ(ｐ)exp(iｐｘ/ｈ_c)ｄｐで与えられ,|ψ|＝[∫_－∞^∞ψ^*(ｘ)ψ(ｘ)ｄｘ]^1/2＝[∫_－∞^∞|ｆ(ｐ)|²ｄｐ]^1/2＝1を満たす波束です。

ψ(ｘ)がφ_i(ｘ)によって,ψ(ｘ)＝Σ_i=1^∞ｃ_iφ_i(ｘ)と級数展開可能であると仮定すると,＜φ_k|ψ＞＝∫_－∞^∞φ_k^*(ｘ)ψ(ｘ)ｄｘ＝Σ_j=1^∞ｃ_i＜φ_k|φ_i＞＝ｃ_kによって係数はｃ_k＝＜φ_k|ψ＞となることが必要です。

そこで,逆に係数をｃ_i≡＜φ_i|ψ＞で定義した級数Σ_i=1^∞ｃ_iφ_i(ｘ)を作り,これとψ(ｘ)との差のノルムの平方を計算すると,|ψ(ｘ)－Σ_i=1^∞ｃ_iφ_i(ｘ)|²＝|ψ(ｘ)－Σ_i=1^∞＜φ_i|ψ＞φ_i(ｘ)|²＝＜ψ－Σ_i=1^∞＜φ_i|ψ＞φ_i|ψ－Σ_i=1^∞＜φ_i|ψ＞φ_i＞＝＜ψ|ψ＞－Σ_i=1^∞|＜φ_i|ψ＞|²となります。

ところで,＜φ_i|ψ＞＝(2πｈ_c)^-3/2(Δｐ)^-3/2∫_－∞^∞ｄｑｆ(ｑ)∫_pi－Δp/2^pi＋Δp/2ｄｐ∫_－∞^∞ｄｘexp{i(ｑ－ｐ)ｘ/ｈ_c}＝(2πｈ_c/Δｐ)^3/2∫_pi－Δp/2^pi＋Δp/2ｆ(ｐ)ｄｐです。

ｐの分割区間には重なりが全くないので,Σ_i=1^∞|＜φ_i|ψ＞|²＝(2πｈ_c/Δｐ)³Σ_i=1^∞∫_pi－Δp/2^pi＋Δp/2|ｆ(ｐ)|²ｄｐと書けます。

したがって|ψ(ｘ)－Σ_i=1^∞ｃ_iφ_i(ｘ)|²＝＜ψ|ψ＞－Σ_i=1^∞|＜φ_i|ψ＞|²＝∫_－∞^∞|ｆ(ｐ)|²ｄｐ－(2πｈ_c/Δｐ)³Σ_i=1^∞∫_pi－Δp/2^pi＋Δp/2|ｆ(ｐ)|²ｄｐです。

それ故,運動量刻みΔｐをΔｐ＝2πｈ_c＝ｈに等しく取れば,|ψ(ｘ)－Σ_i=1^∞ｃ_iφ_i(ｘ)|²＝∫_－∞^∞|ｆ(ｐ)|²ｄｐ－Σ_i=1^∞∫_pi－Δp/2^pi＋Δp/2|ｆ(ｐ)|²ｄｐ＝0 となります。

かくして,"ノルム収束＝強収束"の意味でψ(ｘ)＝Σ_i=1^∞ｃ_iφ_i(ｘ)と書くことができて,級数展開可能になります。

ψ(ｘ)はヒルベルト空間Ｈの任意のベクトルでしたから,結局{φ_i(ｘ)}はＨの可算基底となり,これは完全系を張ります。

この記事を書いている最中にも関連したコメントが投稿されました。

それは"清水明氏の量子力学の著書に,今書いたこの記事内容と同様な示唆がある"との内容でしたが,別に上記の話は私というか,私を含む少数のオリジナルというわけではなく,量子論の識者であれば共通の認識ですからその通りでしょう。

ただ,わざわざここまで具体的にモデル化して説明することは,結構珍しいのではないかと思います。

一応,前から書こうと思っていたけれど,面倒臭いと思ってペンディングにしておいた記事が終わり,ちょっとは肩の荷が降りました。

今回は短い計算だし,珍しく参考にした文献は全くナシです。

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