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2008年2月29日 (金)

ネーターの定理と場理論

 さて,古典解析力学は,一般化座標を時間tの関数として

 (t)≡{qs(t)}と表わし,一般化速度を,

 d(t)≡{qsd(t)}≡{dqs(t)/dt}とするとき,

 それらの関数で表わされるLagrangian L=L(t,,d)

 によって記述されます。 

ここで,例えば流体や弾性体の"各位置における平衡位置

からのずれ=変位"のように,上述の多体系の一般化座標

(t)={qs(t)}の成分s(t)での離散的添字s(s=1,2,..,N)

が3次元空間の位置を示す連続的パラメータに置き換えられ

一般化座標が(t)={q(,t)}で表現される場合を

考えます。

このとき成分(,t)は時刻tでの空間位置における量,

つまり場であると考えられ,これは時間tや空間の関数で

ある,という意味で(t)={q(,t)}をφ(t)≡{φ(,t)}

と表記することにします。

 

 

そして,系全体のLagrangian L=L(t,φ,φd)は添字=位置

座標の近傍に(t,φ(,t),φd(,t))の密度で分布している

と見なします。

すなわち,L(t,φ,φd)≡∫(t,φ(,t),φd(,t))d

と表現されるとして,(t,φ(,t),φd(,t))をLagrangian

密度と呼ぶことにするわけです。

 

この場合,は時刻tの関数として変動する粒子の軌道を表わす

ではなく,単に空間の位置座標を示す添字パラメータに過ぎない

ので,φd(,t)は,sddqs(t)/dtと同じく,時間微分は

添字に無関係なのでφd(,t)≡∂φ(,t)/∂tであり偏微分

定義されます。

そして,こうした連続体の場合には多体系の作用積分

S[]≡∫L(t,,d)dtは,

S[φ]≡∫L(t,φ,φd)dt

=∫(t,φ(,t),φd(,t))ddt

と表現されます。

 

ここで,特に時空座標(,t)を相対論的なMinkowski空間

4次元座標としての相対論的に共変な表現 xμ(x0,)

≡(ct,) (cは光速)に変更すれば,場φ(,t)はφ(x)

と表記されます。

 

この表現では,tとはパラメータとして対等とされるので

L(t,φ,φd)=∫(x,φ(x),∂μφ(x))d,および

S[φ]=∫(x,φ(x),∂μφ(x))d4xなる表現に変わり

ます。 ただし∂μφ≡∂φ/∂xμです。 

さらに,一般に場φは,弾性体の変位や流体の歪み速度,あるいは

電磁場であれば,それらの場は3次元,あるいは4次元のベクトル

やテンソルの場であり,また量子論に移行すればスピノルである

場合もあります。

 

そこで,スカラー場である場合も含めて,φ(x)の代わりに

φi(x)(i=1,2,..,N)と書いて,

Lagrangian密度が(x,φi(x),∂μφi(x)),

作用積分がS[φ] =∫(x,φi(x),∂μφi(x))d4

となるように一般化しておきます。 

そして,多体系が,ある無限小変換

*=t+ετ,qs*=qs+εξs

(ただしε>0 は任意の無限小パラメータ)に対して

理論的に不変であるというようなネーター(Noether)の定理

の前提としての対称性変換の表現は,連続体の系での場の量

に対しては次のように拡張変更されます。

 

すなわち,時空座標の変換xμ*=xμ+εημ,および,それと

独立な場の変換φi*(x)=φi(x)+εgij(x),∂μφj(x))

があり,結果として,座標の変分δxμ=εημと共に

場のLie変分 δLφi(x)=εGij(x),∂μφj(x)))

=εgij(x),∂μφj(x))-ημμφi(x)がある

という条件下で,S[φ]=S[φ*]が成立する,という形

で与えられます。

このことはLie変分としてのLagrangian密度の変化分が

高々全微分であること,

つまり,恒等的に,δ

(x,φi*(x),∂μφi*(x))-(x,φi(x),∂μφi(x))

=ε∂μμj(x),∂νφi(x))なる形に書ける関数

μj,∂νφi)が存在することを意味します。

実際=ε∂μμj,∂νφi)なる形式であれば,

S[φ]=S[φ*]が成立し,特にε→ 0 ならδ→ 0 です。

そこで以下では逆に作用積分に対してS[φ]=S[φ*]が成立

するならδ=ε∂μμj,∂νφi)なる形式に書けること

を証明します。

[証明]作用積分の任意の積分領域においてS[φ]=S[φ*]が成立

するなら,φ,およびφ*の変分に対するSの停留性δS=0 から

得られる,両者のEuler-agrange方程式,

{∂/∂φi(x)}-∂μ[∂/∂{∂μφi(x)}]=0 ,および,

{∂/∂φi*(x)}-∂μ[∂/∂{∂μφi*(x)}]=0 は,

それぞれφi(x),およびφi*(x)に対して同一の方程式に

なります。

 

 それ故,Lagrangian密度(x,φi,∂μφi),および,

(x, φi*,∂μφi*)は,それぞれ,φ,およびφ*について同じ

関数形で与えられると思われます。

そこで同一の関数記号で表現していいわけです。

そして(x,φi*,∂μφi*)を,φi,∂μφiの関数と考えて,

これを*(x,φi,∂μφi)と書けば,S[φ]=S[φ*]ですから,

φの変分に対するSの停留性δS=0 から,

{∂*/∂φi(x)}-∂μ[∂*/∂{∂μφi(x)}]=0

も成立します。

 

これは当然,{∂/∂φi(x)}-∂μ[∂/∂{∂μφi(x)}]=0

なる方程式と関数形としても同一です。

 

したがって,c(ε)をεに依存する比例係数として,恒等的に

(∂*/∂φi)-∂μ{∂*/∂(∂μφi)}

=c(ε)[(∂/∂φi)-∂μ{∂/∂(∂μφi)}]

(ただし,c(0)=1)がφi,∂μφi,∂μνφiの恒等式として

成立するはずです。

 

δ*なので,これも同じEuler-Lagrange方程式を

満たしますから,f(φ,∂μφ)≡*-c(ε)

=δ{c(ε)-1}とおけば,

(∂f/∂φi)-∂μ{∂f/∂(∂μφi)}≡0 は

恒等式です。

 

これは,

(∂f/∂φi)-(∂/∂φj){∂f/∂(∂μφi)}(∂μφj)

-{∂/∂(∂νφj)}{∂f/∂(∂μφi)}(∂μνφi)≡0

と書けます。

左辺の(∂μνφi)の係数はゼロでなければならないから

{∂/∂(∂νφj)}{∂f/∂(∂μφi)}

+{∂/∂(∂μφj)}{∂f/∂(∂νφi)}≡0 です。

 

したがって一般に,

f(φ,∂μφ)=g(φk)+hμik)∂μφj(x)

+Σl=24j1j2..jl;μ1μ2..μlk)∂μ1φj1μ2φj2..∂μlφjl

と書けるはずです。

 

ここでhj1j2..jl;μ1μ2..μlk)は添字j1,j2,..,jl,

および,μ12,..,μlに関して,それぞれ別々に

反対称です。 

また,(∂μφi)の係数もゼロなので,∂gk)/∂φi0 ,

∂hμi/∂φj-∂hμj/∂φi0 です。

 

さらに(∂f/∂φi)-(∂/∂φj){∂f/∂(∂μφi)}(∂μφj)

≡0 で,

(∂f/∂φi)から項(∂hj1j2..jl;μ1μ2..μl/∂φj)∂μ1φj1μ2φj2..∂μlφjlが生じ,

-(∂/∂φj){∂f/∂(∂μφi)}(∂μφj)から

項-(∂hj1j2..jl;μ1μ2..μl/∂φj)∂μ1φj1μ2φj2..

μlφjl(∂μφi/∂μφj)がl個得られます。

 

後者はi=jの項が前者と相殺します。

後者の残りはどれかのjsがj,μsがμと一致して

μsφjsμφjに置き換わります。 

そして,これらの置換は添字μとjについて同時になされるため,

これら(l-1)個の項の符号は係数の添字の順序をそろえたとき

全て同じ符号を取るはずですから,係数がゼロである必要がある

ので,∂hj1j2..jl;μ1μ2..μlk)/∂φj0 (l≧2)です。

以上から,場φi,(∂μφi)の汎関数としてはg=定数,そして

全てのiについてhμik)=(∂wμk)/∂φj)なるφk

関数wμk)が存在します。

また,hj1j2..jl;μ1μ2..μlk)も,φkに依らない量,すなわち

定数です。

結局,f(φ,∂μφ)=g+∂μ[μk)

Σl=24j1j2..jl;μ1μ2..μlk) φjμ1φj1μ2φj2..∂μlφjl]

と書けることがわかりました。

 

以上から,あるxの関数Wが存在して

f(φ,∂μφ)=∂μW+g と書けます。

 

f(φ,∂μφ)*-c(ε)=δ{c(ε)-1};(0)

=1であってε→ 0 ならδ→ 0 により,ε→ 0 なら恒等的

にf→ 0 となるので,これを考慮するとεは無限小でその2次

以上は無視できるため,

f(φ,∂μφ)=ε[∂μ^+g^]と書いてよいと思われます。

すなわち,δ{c(ε)-1}=ε[∂μ^+g^]です。

g^はg^=∂μ(g^xμ/4)と書くこともできるので,

δ{c(ε)-1}=ε∂μ[W^+g^xμ/4]

とも書けます。

 

このとき,[φ*]-S[φ]=∫(δ)d4

{c(ε)-1}4x+ε∫g^d4ですから,これが常に

ゼロであるためには(ε)=1,かつg^≡0 が必要です。

 

これから,δ=ε∂μ^となりますから,W^を改めて

μj,∂νφi)と書けば,δ=ε∂μμj,∂νφi)と

書けることになります。 (証明終わり)

他方,単純に変換x=xμ+εημi*(x*)=φi(x)+ε

ij,∂μφi)の下でのLie変分としてのLagrangian密度

の変分は,

δ(x,φi*(x),∂μφi*(x))-(x,φi(x),∂μφi(x))

=(∂/∂φi)εGij,∂μφj)

+{∂/∂(∂μφi)}ε∂μij,∂μφj)-(∂μ)εημ

となります。 

ここでEuler-Lsgrange方程式

(∂/∂φi)-∂μ{∂/∂(∂μφi)}=0 によって

(∂/∂φi)をμ{∂/∂(∂μφi)}で置き換えると,

δ=∂μ{∂/∂(∂μφi)}εGij,∂μφj)

+{∂/∂(∂μφi)}ε∂μij,∂μφj)-(∂μ)εημ

=ε∂μ[{∂/∂(∂μφi)}Gij,∂μφj)-ημ]

となります。

 

ただし,時空座標の変換x=xμ+εημにおけるパラメータ

ημは点xに依らない定数であるとしています。

そこで,δ=ε∂μ[{∂/∂(∂μφi)}Gij,∂μφj)-ημ]

=ε∂μμj,∂μφi)となります。

 

εは任意の正の数なので,

μ[{∂/∂(∂μφi)}Gij,∂μφj)-ημμj,∂μφi)]

=0 が成立します。

そこで,

μ(x)≡{∂/∂(∂μφi)}Gij,∂μφj)-ημ

μj,∂νφi)と置けばこれはカレントjμ(x)の保存

μμ0 を意味します。

 

こう定義されたカレントjμ(x)をネーター・カレント

(Noether current)と呼びます。

この保存カレントから,Q≡∫j0(,t)dなる量Q=Q(t)

を定義するとdQ/dt=0 となります。Qはカレント密度

(,t)に対応する保存チャージです。

 

そして,この保存量Qは古典論の物理量としても量子論の

演算子としても,この対称性の無限小変換の生成子(generator)

になっています。

 

すなわち,古典論では,i(x),Q]P.B.=Gij(x),∂μφj(x)),

量子論では,[u,v]P.B.=[u,v]/(ihc)なる対応原理で,

(i/hc)[i(x)]=Gij(x),∂μφj(x))を満たします。

ここに,[u,v]P.B.はPoissonの括弧式です。

これは多体系では,

[u,v]P.B.

≡Σs[(∂u/∂qs)(∂v/∂ps)-(∂u/∂ps)(∂v/∂qs)]

と定義されますが,

連続体の場の理論では場φi(x)の共役運動量を

πi(x)=πi(φ,φd)≡/∂(∂0φi)として,

[u,v]P.B.

≡Σi[(∂u/∂φi)(∂v/∂πi)-(∂u/∂πi)(∂v/∂φi)]

と定義されます。

 

また,[u,v]P.B.=[u,v]/(ihc)なる量子論の演算子と

しての対応を示す記号[u,v]は,交換子を示します。

つまり,[u,v]≡uv-vuです。

保存チャージQ=∫j0(,t)dが対称性の無限小変換の生成子

になること,

すなわち,i(x),Q]P.B.=Gij(x),∂μφj(x)),あるいは

[Q,φi(x)]P.B.=-Gij(x),∂μφj(x))なる関係式を

満たすことも以下で証明してみます。

[証明]Lagrangian密度は時空の一様性に対応して位置座標x

に陽には依存しないとしてi(x),∂μφi(x))

と書きます。

 

 これの一般的形はを運動エネルギー密度,を位置エネルギー

(ポテンシャル)の密度としてのように表現されると

すれば,一般に

=(1/2)Aijμν(φ)∂μφiνφj+B(φ)∂μφi+c(φ)

なる形で表現できます。

 

 そして,φi*(x)=φi(x)+δφiなる無限小変換を

δφi=εGj(x),∂μφi(x))≡ε{Di(φ)+Ei(φ)∂μφj}

とします。

このとき=(∂/∂φiφj{∂/∂(∂μφi)}δ(∂μφj)

です。

また,δ(∂μφj)=∂μ(δφj)

=ε{(∂Di/∂φk)μφk(∂Ei/∂φk)νφjμφk

+Eiμνφl} です。

 

δ=ε{(1/2)(∂Aijμν/∂φk)μφiνφj

(∂B/∂φk)μφi(∂c/∂φk)}{Dk(φ)

+Ekjμlλ(φ)∂λφl}

+ε(Aijμννφj+B){(∂Di/∂φk)μφk

(∂Ei/∂φk)μφkλφl+Eiμλφl}

です。

一方=ε∂μμj,∂νφi)=ε[(∂μ/∂φk)∂μφk{∂μ/∂(∂νφk)}∂μνφk]とも書けます。

これらのδの表式では。両辺は恒等的に等しく,

(∂μ/∂φk)は∂νφkの2次式,{∂μ/∂(∂νφk)}は

λφlの1次式です。

 

したがって,μj,∂νφi)は高々∂νφkの2次式です。

 

そこで,μは、μj,∂νφi)

≡(1/2)αijμνλ(φ)∂νφiλφj+βiμν(φ)∂νφi

+γμ(φ)なる形に書けます。

 

それ故,δ=ε∂μμj,∂νφi)

=ε[(1/2)(∂αijμνλ/∂φk)νφiλφj(∂βiμν/∂φk)νφi

(∂γμ/∂φk)]∂μφk+εijμνλλφj+βiμν)∂μνφi

が得られます。 

δの2種類の表式が恒等的に等しいことから,

ijμνiνφjμλφl=αijμνλλφjμνφi,

かつ,iμλφl=βiμνμνφiです。

 

それ故,αijμνλ=Aljμλlが成立します。

この式の左辺はμ,νについて反対称なので右辺もそうです。

そしてまた,βiμν=Blも成立します。

一方,(1/2)Aijμν(φ)∂μφiνφj+B(φ)∂μφi+c(φ)

より,πi(x)≡πi(φ,φd)=/∂φidij0ν(φ)∂νφj

+Bi0(φ)=Aij00(φjd+Aij0k(φ)∂kφj+Bi0(φ) です。

 

それ故,x0=y0の同時刻ではi(x),φj(y)]P.B.

=Σk[(∂πi/∂φk)(∂φj/∂πk)-(∂φj/∂φk)(∂πi/∂πk)]

=-δijδ(),

同様に[πi(x),πj(y)]P.B.=[φi(x),φj(y)]P.B.=0 です。

 

i(x),φj(y)]P.B.=-δijδ()のように右辺にDirac

のデルタ関数が現われるのはPoisson括弧式の定義における微分

(∂πi/∂φk),(∂φj/∂πk),(∂φj/∂φk),(∂πi/∂πk)etc.

が,謂わゆる汎関数微分であるからです。

したがって,-δijδ()=[πi(x),φj(y)]P.B.

=[ik00φkd(x),φj(y)]P.B.ik00[φkd(x),φj(y)]P.B

ですから,

係数の行列A≡{ik00}を考えると,一般にはこれの逆行列

-1が存在するため,

[φid(x),φj(y)]P.B=-(A-1)ijδ()が得られます。

一方,ネーター・カレントは,

μ(x)≡{∂/∂(∂μφi)}Gij,∂μφj)-μj,∂νφi)

なので,j0(x)=πi(x){Di(φ)+Eiμφj}-0

となります。

ここに,0(1/2)αij0νλ(φ)∂νφiλφj+βi0ν(φ)∂νφ

i+γ0(φ) です。

 そして,これから具体的に保存量Q=Q(t)≡∫j0(x)d

を構成してPoisson括弧を作ると,

[,φi(x)]P.B.∫d[0(y),φi(x)]P.B

=-{Di(φ)+Eiμφj}-πllj0(A-1)ji

(1/2)αkj00λλφj(A-1)ki(1/2)αkj0ν0νφk(A-1)jiβk00(A-1)kiとなります。

 

 ところが,πllj0(A-1)ji=Alk0νlj0νφk(A-1)ji

+Bl0lj0(A-1)jiであり,(1/2)αkj00λλφj(A-1)ki

(1/2)αkj0ν0νφk(A-1)jiβk00(A-1)ki

lk0νlj0νφk(A-1)ji+Bl0lj0(A-1)jiなので,

これらの項は相殺して消えます。

以上から,[,φi(x)]P.B.

=-{Di(φ)+Eiμφj}=-Gij,∂μφj)

が成立することが示されました。       (証明終わり)

ちょっとだけ,量子論に言及すると,

(i/hc)[,φi(x)]=ij,∂μφj)ですから

U(ε)≡exp(iεQ/hc)なる演算子によるユニタリ変換

で,U(ε)φi(x)U(ε)-1φi(x)+ε(i/hc)[,φi(x)]

φi(x)+εGij,∂μφj)と変換されるいう意味で,

量子論でもQはこのリー群の生成子になるというわけです。

 

量子論でのより詳細な扱いについては,2007年8/7の記事

場の演算子とリー群(Lie群)の生成子」を参照して

ください。

 

なお,本記事は自身は1995年4月に作成したノートを参考

にして書きました。

 

参考文献:九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

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