ネーターの定理と場理論

　さて,古典解析力学は,一般化座標を時間ｔの関数として

 ｑ(ｔ)≡{ｑ_s(ｔ)}と表わし,一般化速度を,

 ｑ^d(ｔ)≡{ｑ_s^d(ｔ)}≡{ｄｑ_s(ｔ)/ｄｔ}とするとき,

　それらの関数で表わされるLagrangian Ｌ＝Ｌ(ｔ,ｑ,ｑ^d)

　によって記述されます。 

ここで,例えば流体や弾性体の"各位置における平衡位置

からのずれ＝変位"のように,上述の多体系の一般化座標

ｑ(ｔ)＝{ｑ_s(ｔ)}の成分ｑ_s(ｔ)での離散的添字ｓ(ｓ＝1,2,..,Ｎ)

が３次元空間の位置を示す連続的パラメータｘに置き換えられ

一般化座標がｑ(ｔ)＝{ｑ(ｘ,ｔ)}で表現される場合を

考えます。

このとき成分ｑ(ｘ,ｔ)は時刻ｔでの空間位置ｘにおける量,

つまり場であると考えられ,これは時間ｔや空間ｘの関数で

ある,という意味でｑ(ｔ)＝{ｑ(ｘ,ｔ)}をφ(ｔ)≡{φ(ｘ,ｔ)}

と表記することにします。

そして,系全体のLagrangian Ｌ＝Ｌ(ｔ,φ,φ^d)は添字ｘ＝位置

座標の近傍にＬ(ｔ,φ(ｘ,ｔ),φ^d(ｘ,ｔ))の密度で分布している

と見なします。

すなわち,Ｌ(ｔ,φ,φ^d)≡∫Ｌ(ｔ,φ(ｘ,ｔ),φ^d(ｘ,ｔ))ｄｘ

と表現されるとして,Ｌ(ｔ,φ(ｘ,ｔ),φ^d(ｘ,ｔ))をLagrangian

密度と呼ぶことにするわけです。

この場合,ｘは時刻ｔの関数として変動する粒子の軌道を表わす量

ではなく,単に空間の位置座標を示す添字パラメータに過ぎない

ので,φ^d(ｘ,ｔ)は,ｑ_s^d≡ｄｑ_s(ｔ)/ｄｔと同じく,時間微分は

添字に無関係なのでφ^d(ｘ,ｔ)≡∂φ(ｘ,ｔ)/∂ｔであり偏微分

で定義されます。

そして,こうした連続体の場合には多体系の作用積分

Ｓ[ｑ]≡∫Ｌ(ｔ,ｑ,ｑ^d)ｄｔは,

Ｓ[φ]≡∫Ｌ(ｔ,φ,φ^d)ｄｔ

＝∫Ｌ(ｔ,φ(ｘ,ｔ),φ^d(ｘ,ｔ))ｄｘｄｔ

と表現されます。

ここで,特に時空座標(ｘ,ｔ)を相対論的なMinkowski空間の

４次元座標としての相対論的に共変な表現 ｘ^μ≡(ｘ⁰,ｘ)

≡(ｃｔ,ｘ) (ｃは光速)に変更すれば,場φ(ｘ,ｔ)はφ(ｘ)

と表記されます。

この表現では,ｔとｘはパラメータとして対等とされるので

Ｌ(ｔ,φ,φ^d)＝∫Ｌ(ｘ,φ(ｘ),∂_μφ(ｘ))ｄｘ,および

Ｓ[φ]＝∫Ｌ(ｘ,φ(ｘ),∂_μφ(ｘ))ｄ⁴ｘなる表現に変わり

ます。 ただし∂_μφ≡∂φ/∂ｘ^μです。 

さらに,一般に場φは,弾性体の変位や流体の歪み速度,あるいは

電磁場であれば,それらの場は３次元,あるいは４次元のベクトル

やテンソルの場であり,また量子論に移行すればスピノルである

場合もあります。

そこで,スカラー場である場合も含めて,φ(ｘ)の代わりに

φ_i(ｘ)(ｉ＝1,2,..,Ｎ)と書いて,

Lagrangian密度がＬ(ｘ,φ_i(ｘ),∂_μφ_i(ｘ)),

作用積分がＳ[φ] ＝∫Ｌ(ｘ,φ_i(ｘ),∂_μφ_i(ｘ))ｄ⁴ｘ

となるように一般化しておきます。 

そして,多体系が,ある無限小変換

ｔ^*＝ｔ＋ετ,ｑ_s^*＝ｑ_s＋εξ_s

(ただしε＞0 は任意の無限小パラメータ)に対して

理論的に不変であるというようなネーター(Noether)の定理

の前提としての対称性変換の表現は,連続体の系での場の量

に対しては次のように拡張変更されます。

すなわち,時空座標の変換ｘ^μ*＝ｘ^μ＋εη^μ,および,それと

独立な場の変換φ_i^*(ｘ)＝φ_i(ｘ)＋εｇ_i(φ_j(ｘ),∂_μφ_j(ｘ))

があり,結果として,座標の変分δｘ^μ＝εη^μと共に

場のLie変分 δ_Lφ_i(ｘ)＝εＧ_i(φ_j(ｘ),∂_μφ_j(ｘ)))

＝εｇ_i(φ_j(ｘ),∂_μφ_j(ｘ))－η^μ∂_μφ_i(ｘ)がある

という条件の下で,Ｓ[φ]＝Ｓ[φ^*]が成立する,という形

で与えられます。

このことはLie変分としてのLagrangian密度Ｌの変化分が

高々全微分であること,

つまり,恒等的に,δＬ

≡Ｌ(ｘ,φ_i^*(ｘ),∂_μφ_i^*(ｘ))－Ｌ(ｘ,φ_i(ｘ),∂_μφ_i(ｘ))

＝ε∂_μＸ^μ(φ_j(ｘ),∂_νφ_i(ｘ))なる形に書ける関数

Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)が存在することを意味します。

実際,δＬ＝ε∂_μＸ^μ(φ_j,∂_νφ_i)なる形式であれば,

Ｓ[φ]＝Ｓ[φ^*]が成立し,特にε→ 0 ならδＬ→ 0 です。

そこで以下では逆に作用積分に対してＳ[φ]＝Ｓ[φ^*]が成立

するならδＬ＝ε∂_μＸ^μ(φ_j,∂_νφ_i)なる形式に書けること

を証明します。

[証明]作用積分の任意の積分領域においてＳ[φ]＝Ｓ[φ^*]が成立

するなら,φ,およびφ^*の変分に対するＳの停留性δＳ＝0 から

得られる,両者のEuler-agrange方程式,

{∂Ｌ/∂φ_i(ｘ)}－∂_μ[∂Ｌ/∂{∂_μφ_i(ｘ)}]＝0 ,および,

{∂Ｌ/∂φ_i^*(ｘ)}－∂_μ[∂Ｌ/∂{∂_μφ_i^*(ｘ)}]＝0 は,

それぞれφ_i(ｘ),およびφ_i^*(ｘ)に対して同一の方程式に

なります。

　それ故,Lagrangian密度Ｌ(ｘ,φ_i,∂_μφ_i),および,

Ｌ(ｘ, φ_i^*,∂_μφ_i^*)は,それぞれ,φ,およびφ^*について同じ

関数形で与えられると思われます。

そこで同一の関数記号Ｌで表現していいわけです。

そしてＬ(ｘ,φ_i^*,∂_μφ_i^*)を,φ_i,∂_μφ_iの関数と考えて,

これをＬ^*(ｘ,φ_i,∂_μφ_i)と書けば,Ｓ[φ]＝Ｓ[φ^*]ですから,

φの変分に対するＳの停留性δＳ＝0 から,

{∂Ｌ^*/∂φ_i(ｘ)}－∂_μ[∂Ｌ^*/∂{∂_μφ_i(ｘ)}]＝0

も成立します。

これは当然,{∂Ｌ/∂φ_i(ｘ)}－∂_μ[∂Ｌ/∂{∂_μφ_i(ｘ)}]＝0

なる方程式と関数形としても同一です。

したがって,ｃ(ε)をεに依存する比例係数として,恒等的に

(∂Ｌ^*/∂φ_i)－∂_μ{∂Ｌ^*/∂(∂_μφ_i)}

＝ｃ(ε)[(∂Ｌ/∂φ_i)－∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}]

(ただし,ｃ(0)＝１)がφ_i,∂_μφ_i,∂_μ∂_νφ_iの恒等式として

成立するはずです。

δＬ＝Ｌ^*－Ｌなので,これも同じEuler-Lagrange方程式を

満たしますから,ｆ(φ,∂_μφ)≡Ｌ^*－ｃ(ε)Ｌ

＝δＬ－{ｃ(ε)－1}Ｌとおけば,

(∂ｆ/∂φ_i)－∂_μ{∂ｆ/∂(∂_μφ_i)}≡0 は

恒等式です。

これは,

(∂ｆ/∂φ_i)－(∂/∂φ_j){∂ｆ/∂(∂_μφ_i)}(∂_μφ_j)

－{∂/∂(∂_νφ_j)}{∂ｆ/∂(∂_μφ_i)}(∂_μ∂_νφ_i)≡0

と書けます。

左辺の(∂_μ∂_νφ_i)の係数はゼロでなければならないから

{∂/∂(∂_νφ_j)}{∂ｆ/∂(∂_μφ_i)}

＋{∂/∂(∂_μφ_j)}{∂ｆ/∂(∂_νφ_i)}≡0 です。

したがって一般に,

ｆ(φ,∂_μφ)＝ｇ(φ_k)＋ｈ^μi(φ_k)∂_μφ_j(ｘ)

＋Σ_l=2⁴ｈ^{j1j2..jl;μ1μ2..μl}(φ_k)∂_μ1φ_j1∂_μ2φ_j2..∂_μlφ_jl

と書けるはずです。

ここでｈ^{j1j2..jl;μ1μ2..μl}(φ_k)は添字ｊ₁,ｊ₂,..,ｊ_l,

および,μ₁,μ₂,..,μ_lに関して,それぞれ別々に

反対称です。 

また,(∂_μφ_i)の係数もゼロなので,∂ｇ(φ_k)/∂φ_i＝0 ,

∂ｈ^μi/∂φ_j－∂ｈ^μj/∂φ_i＝0 です。

さらに(∂ｆ/∂φ_i)－(∂/∂φ_j){∂ｆ/∂(∂_μφ_i)}(∂_μφ_j)

≡0 で,

(∂ｆ/∂φ_i)から項(∂ｈ^{j1j2..jl;μ1μ2..μl}/∂φ_j)∂_μ1φ_j1∂_μ2φ_j2..∂_μlφ_jlが生じ,

－(∂/∂φ_j){∂ｆ/∂(∂_μφ_i)}(∂_μφ_j)から

項－(∂ｈ^{j1j2..jl;μ1μ2..μl}/∂φ_j)∂_μ1φ_j1∂_μ2φ_j2..

∂_μlφ_jl(∂_μφ_i/∂_μφ_j)がｌ個得られます。

後者はｉ＝ｊの項が前者と相殺します。

後者の残りはどれかのｊ_sがｊ,μ_sがμと一致して

∂_μsφ_jsが∂_μφ_jに置き換わります。 

そして,これらの置換は添字μとｊについて同時になされるため,

これら(ｌ－1)個の項の符号は係数の添字の順序をそろえたとき

全て同じ符号を取るはずですから,係数がゼロである必要がある

ので,∂ｈ^{j1j2..jl;μ1μ2..μl}(φ_k)/∂φ_j＝0 (ｌ≧2)です。

以上から,場φ_i,(∂_μφ_i)の汎関数としてはｇ＝定数,そして

全てのｉについてｈ^μi(φ_k)＝(∂ｗ^μ(φ_k)/∂φ_j)なるφ_kの

関数ｗ^μ(φ_k)が存在します。

また,ｈ^{j1j2..jl;μ1μ2..μl}(φ_k)も,φ_kに依らない量,すなわち

定数です。

結局,ｆ(φ,∂_μφ)＝ｇ＋∂_μ[ｗ^μ(φ_k)

＋Σ_l=2⁴ｈ^{j1j2..jl;μ1μ2..μl}(φ_k) φ_j∂_μ1φ_j1∂_μ2φ_j2．．∂_μlφ_jl]

と書けることがわかりました。

以上から,あるｘの関数Ｗが存在して

ｆ(φ,∂_μφ)＝∂_μＷ＋ｇ と書けます。

ｆ(φ,∂_μφ)＝Ｌ^*－ｃ(ε)Ｌ＝δＬ－{ｃ(ε)－1}Ｌ;ｃ(0)

＝１であってε→ 0 ならδＬ→ 0 により,ε→ 0 なら恒等的

にｆ→ 0 となるので,これを考慮するとεは無限小でその２次

以上は無視できるため,

ｆ(φ,∂_μφ)＝ε[∂_μＷ^＋ｇ^]と書いてよいと思われます。

すなわち,δＬ－{ｃ(ε)－1}Ｌ＝ε[∂_μＷ^＋ｇ^]です。

ｇ^はｇ^＝∂_μ(ｇ^ｘ^μ/4)と書くこともできるので,

δＬ－{ｃ(ε)－1}Ｌ＝ε∂_μ[Ｗ^＋ｇ^ｘ^μ/4]

とも書けます。

このとき,Ｓ[φ^*]－Ｓ[φ]＝∫(δＬ)ｄ⁴ｘ

＝{ｃ(ε)－1}∫Ｌｄ⁴ｘ＋ε∫ｇ^ｄ⁴ｘですから,これが常に

ゼロであるためにはｃ(ε)＝1,かつｇ^≡0 が必要です。

これから,δＬ＝ε∂_μＷ^となりますから,Ｗ^を改めて

Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)と書けば,δＬ＝ε∂_μＸ^μ(φ_j,∂_νφ_i)と

書けることになります。 (証明終わり)

他方,単純に変換ｘ^*μ＝ｘ^μ＋εη^μ,φ_i^*(ｘ^*)＝φ_i(ｘ)＋ε

Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_i)の下でのLie変分としてのLagrangian密度Ｌ

の変分は,

δＬ≡Ｌ(ｘ,φ_i^*(ｘ),∂_μφ_i^*(ｘ))－Ｌ(ｘ,φ_i(ｘ),∂_μφ_i(ｘ))

＝(∂Ｌ/∂φ_i)εＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)

＋{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}ε∂_μＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)－(∂_μＬ)εη^μ

となります。 

ここでEuler-Lsgrange方程式

(∂Ｌ/∂φ_i)－∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}＝0 によって

(∂Ｌ/∂φ_i)を∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}で置き換えると,

δＬ＝∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}εＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)

＋{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}ε∂_μＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)－(∂_μＬ)εη^μ

＝ε∂_μ[{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)－Ｌη^μ]

となります。

ただし,時空座標の変換ｘ^*μ＝ｘ^μ＋εη^μにおけるパラメータ

η^μは点ｘに依らない定数であるとしています。

そこで,δＬ＝ε∂_μ[{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)－Ｌη^μ]

＝ε∂_μＸ^μ(φ_j,∂_μφ_i)となります。

εは任意の正の数なので,

∂_μ[{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)－Ｌη^μ－Ｘ^μ(φ_j,∂_μφ_i)]

＝0 が成立します。

そこで,

ｊ^μ(ｘ)≡{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)－Ｌη^μ

－Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)と置けばこれはカレントｊ^μ(ｘ)の保存

∂_μｊ^μ＝0 を意味します。

こう定義されたカレントｊ^μ(ｘ)をネーター・カレント

(Noether current)と呼びます。

この保存カレントから,Ｑ≡∫ｊ⁰(ｘ,t)ｄｘなる量Ｑ＝Ｑ(ｔ)

を定義するとｄＱ/ｄｔ＝0 となります。Ｑはカレント密度

ｊ(ｘ,t)に対応する保存チャージです。

そして,この保存量Ｑは古典論の物理量としても量子論の

演算子としても,この対称性の無限小変換の生成子(generator)

になっています。

すなわち,古典論では,[φ_i(ｘ),Ｑ]_P.B.＝Ｇ_i(φ_j(ｘ),∂_μφ_j(ｘ)),

量子論では,[ｕ,ｖ]_Ｐ.Ｂ.＝[ｕ,ｖ]/(ｉｈ_c)なる対応原理で,

(ｉ/ｈ_c)[Ｑ,φ_i(ｘ)]＝Ｇ_i(φ_j(ｘ),∂_μφ_j(ｘ))を満たします。

ここに,[ｕ,ｖ]_P.B.はPoissonの括弧式です。

これは多体系では,

[ｕ,ｖ]_P.B.

≡Σ_s[(∂ｕ/∂ｑ_s)(∂ｖ/∂ｐ_s)－(∂ｕ/∂ｐ_s)(∂ｖ/∂ｑ_s)]

と定義されますが,

連続体の場の理論では場φ_i(ｘ)の共役運動量を

πⁱ(ｘ)＝πⁱ(φ,φ^d)≡∂Ｌ/∂(∂₀φ_i)として,

[ｕ,ｖ]_P.B.

≡Σ_i[(∂ｕ/∂φ_i)(∂ｖ/∂πⁱ)－(∂ｕ/∂πⁱ)(∂ｖ/∂φ_i)]

と定義されます。

また,[ｕ,ｖ]_Ｐ.Ｂ.＝[ｕ,ｖ]/(ｉｈ_c)なる量子論の演算子と

しての対応を示す記号[ｕ,ｖ]は,交換子を示します。

つまり,[ｕ,ｖ]≡ｕｖ－ｖｕです。

保存チャージＱ＝∫ｊ⁰(ｘ,t)ｄｘが対称性の無限小変換の生成子

になること,

すなわち,[φ_i(ｘ),Ｑ]_P.B.＝Ｇ_i(φ_j(ｘ),∂_μφ_j(ｘ)),あるいは

[Ｑ,φ_i(ｘ)]_P.B.＝－Ｇ_i(φ_j(ｘ),∂_μφ_j(ｘ))なる関係式を

満たすことも以下で証明してみます。

[証明]Lagrangian密度は時空の一様性に対応して位置座標ｘ

に陽には依存しないとしてＬ≡Ｌ(φ_i(ｘ),∂_μφ_i(ｘ))

と書きます。

　これの一般的形はＴを運動エネルギー密度,Ｖを位置エネルギー

(ポテンシャル)の密度としてＬ＝Ｔ－Ｖのように表現されると

すれば,一般に

Ｌ＝(1/2)Ａ^ijμν(φ)∂_μφ_i∂_νφ_j＋Ｂ^iμ(φ)∂_μφ_i＋ｃ(φ)

なる形で表現できます。

　そして,φ_i^*(ｘ)＝φ_i(ｘ)＋δφ_iなる無限小変換を

δφ_i＝εＧ(φ_j(ｘ),∂_μφ_i(ｘ))≡ε{Ｄ_i(φ)＋Ｅ_i^jμ(φ)∂_μφ_j}

とします。

このとき,δＬ＝(∂Ｌ/∂φ_i)δφ_j＋{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}δ(∂_μφ_j)

です。

また,δ(∂_μφ_j)＝∂_μ(δφ_j)

＝ε{(∂Ｄ_i/∂φ_k)∂_μφ_k＋(∂Ｅ_i^jν/∂φ_k)∂_νφ_j∂_μφ_k

＋Ｅ_i^lν∂_μ∂_νφ_l}　です。

δＬ＝ε{(1/2)(∂Ａ^ijμν/∂φ_k)∂_μφ_i∂_νφ_j

＋(∂Ｂ^iμ/∂φ_k)∂_μφ_i＋(∂ｃ/∂φ_k)}{Ｄ_k(φ)

＋Ｅ_k^jμlλ(φ)∂_λφ_l}

＋ε(Ａ^ijμν∂_νφ_j＋Ｂ^iμ){(∂Ｄ_i/∂φ_k)∂_μφ_k

＋(∂Ｅ_i^lλ/∂φ_k)∂_μφ_k∂_λφ_l＋Ｅ_i^lλ∂_μ∂_λφ_l}

です。

一方,δＬ＝ε∂_μＸ^μ(φ_j,∂_νφ_i)＝ε[(∂Ｘ^μ/∂φ_k)∂_μφ_k＋{∂Ｘ^μ/∂(∂_νφ_k)}∂_μ∂_νφ_k]とも書けます。

これらのδＬの表式では。両辺は恒等的に等しく,

(∂Ｘ^μ/∂φ_k)は∂_νφ_kの２次式,{∂Ｘ^μ/∂(∂_νφ_k)}は

∂_λφ_lの１次式です。

したがって,Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)は高々∂_νφ_kの２次式です。

そこで,Ｘ^μは、Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)

≡(1/2)α^ijμνλ(φ)∂_νφ_i∂_λφ_j＋β^iμν(φ)∂_νφ_i

＋γ^μ(φ)なる形に書けます。

それ故,δＬ＝ε∂_μＸ^μ(φ_j,∂_νφ_i)

＝ε[(1/2)(∂α^ijμνλ/∂φ_k)∂_νφ_i∂_λφ_j＋(∂β^iμν/∂φ_k)∂_νφ_i

＋(∂γ^μ/∂φ_k)]∂_μφ_k＋ε(α^ijμνλ∂_λφ_j＋β^iμν)∂_μ∂_νφ_i

が得られます。 

δＬの２種類の表式が恒等的に等しいことから,

Ａ^ijμνＥ_i^lλ∂_νφ_j∂_μ∂_λφ_l＝α^ijμνλ∂_λφ_j∂_μ∂_νφ_i,

かつ,Ｂ^iμＥ_i^lλ∂_μ∂_λφ_l＝β^iμν∂_μ∂_νφ_iです。

それ故,α^ijμνλ＝Ａ^ljμλＥ_l^iλが成立します。

この式の左辺はμ,νについて反対称なので右辺もそうです。

そしてまた,β^iμν＝Ｂ^lμＥ_l^iνも成立します。

一方,(1/2)Ａ^ijμν(φ)∂_μφ_i∂_νφ_j＋Ｂ^iμ(φ)∂_μφ_i＋ｃ(φ)

より,πⁱ(ｘ)≡πⁱ(φ,φ^d)＝∂Ｌ/∂φ_i^d＝Ａ^ij0ν(φ)∂_νφ_j

＋Ｂⁱ⁰(φ)＝Ａ^ij00(φ)φ_j^d＋Ａ^ij0k(φ)∂_kφ_j＋Ｂⁱ⁰(φ)　です。

それ故,ｘ⁰＝ｙ⁰の同時刻では[πⁱ(ｘ),φ_j(ｙ)]_P.B.

＝Σ_k[(∂πⁱ/∂φ_k)(∂φ_j/∂π^k)－(∂φ_j/∂φ_k)(∂πⁱ/∂π^k)]

＝－δⁱ_jδ(ｘ－ｙ),

同様に[πⁱ(ｘ),π^j(ｙ)]_P.B.＝[φ_i(ｘ),φ_j(ｙ)]_P.B.＝0 です。

[πⁱ(ｘ),φ_j(ｙ)]_P.B.＝－δⁱ_jδ(ｘ－ｙ)のように右辺にDirac

のデルタ関数が現われるのはPoisson括弧式の定義における微分

(∂πⁱ/∂φ_k),(∂φ_j/∂π^k),(∂φ_j/∂φ_k),(∂πⁱ/∂π^k)etc.

が,謂わゆる汎関数微分であるからです。

したがって,－δⁱ_jδ(ｘ－ｙ)＝[πⁱ(ｘ),φ_j(ｙ)]_P.B.

＝[Ａ^ik00φ_k^d(ｘ),φ_j(ｙ)]_P.B.＝Ａ^ik00[φ_k^d(ｘ),φ_j(ｙ)]_P.B

ですから,

係数の行列Ａ≡{Ａ^ik00}を考えると,一般にはこれの逆行列

Ａ^-1が存在するため,

[φ_i^d(ｘ),φ_j(ｙ)]_P.B＝－(Ａ^-1)_ijδ(ｘ－ｙ)が得られます。

一方,ネーター・カレントは,

ｊ^μ(ｘ)≡{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)－Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)

なので,ｊ⁰(ｘ)＝πⁱ(ｘ){Ｄ_i(φ)＋Ｅ_i^jμ∂_μφ_j}－Ｘ⁰

となります。

ここに,Ｘ⁰＝(1/2)α^ij0νλ(φ)∂_νφ_i∂_λφ_j＋β^i0ν(φ)∂_νφ

_i＋γ⁰(φ)　です。

　そして,これから具体的に保存量Ｑ＝Ｑ(ｔ)≡∫ｊ⁰(ｘ)ｄｘ

を構成してPoisson括弧を作ると,

[Ｑ,φ_i(ｘ)]_P.B.＝∫ｄｙ[ｊ⁰(ｙ),φ_i(ｘ)]_P.B

＝－{Ｄ_i(φ)＋Ｅ_i^jμ∂_μφ_j}－π^lＥ_l^j0(Ａ^-1)_ji

＋(1/2)α^kj00λ∂_λφ_j(Ａ^-1)_ki＋(1/2)α^kj0ν0∂_νφ_k(Ａ^-1)_ji＋β^k00(Ａ^-1)_kiとなります。

　ところが,π^lＥ_l^j0(Ａ^-1)_ji＝Ａ^lk0νＥ_l^j0∂_νφ_k(Ａ^-1)_ji

＋Ｂ^l0Ｅ_l^j0(Ａ^-1)_jiであり,(1/2)α^kj00λ∂_λφ_j(Ａ^-1)_ki

＋(1/2)α^kj0ν0∂_νφ_k(Ａ^-1)_ji＋β^k00(Ａ^-1)_ki

＝Ａ^lk0νＥ_l^j0∂_νφ_k(Ａ^-1)_ji＋Ｂ^l0Ｅ_l^j0(Ａ^-1)_jiなので,

これらの項は相殺して消えます。

以上から,[Ｑ,φ_i(ｘ)]_P.B.

＝－{Ｄ_i(φ)＋Ｅ_i^jμ∂_μφ_j}＝－Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)

が成立することが示されました。　　　　　　　(証明終わり)

ちょっとだけ,量子論に言及すると,

(i/ｈ_c)[Ｑ,φ_i(ｘ)]＝Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)ですから

Ｕ(ε)≡exp(iεＱ/ｈ_c)なる演算子によるユニタリ変換

で,Ｕ(ε)φ_i(ｘ)Ｕ(ε)^-1＝φ_i(ｘ)＋ε(i/ｈ_c)[Ｑ,φ_i(ｘ)]

＝φ_i(ｘ)＋εＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)と変換されるいう意味で,

量子論でもＱはこのリー群の生成子になるというわけです。

量子論でのより詳細な扱いについては,2007年８/７の記事

「場の演算子とリー群（Ｌｉｅ群）の生成子」を参照して

ください。

なお,本記事は自身は1995年４月に作成したノートを参考

にして書きました。

参考文献:九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

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