非ネーター保存量

私がサブマネージャーをしているfolomyの物理フォーラム,さらにそこで世話役をしている「量子の部屋」において,先日ある方から「非ネーター保存量について」という表題の質問がありました。

→ http://folomy.jp/heart/?m=pc&a=page_c_topic_detail&target_c_commu_topic_id=9533&comment_count=3

その質問内容は,

"かつては,物理系の保存量というのは対称性変換に対する作用,またはLagrangianの不変性からNoether(ネーター)の定理を通して定まるものだけでした。

エネルギー(時間の一様性＝時間の平行移動不変性),運動量(空間の一様性＝空間の平行移動不変性),角運動量(空間の等方性＝空間の回転不変性),電荷(荷電(アイソスピン)空間の等方性＝荷電空間の回転不変性)など全てはそれに当てはまります。

ところが,1979年にはLutzky,1992年にはHojuman,その他によって,その範疇には入らず,系の運動方程式の不変性のみから定まる別の種類の保存量の存在が指摘されたということで,そうした新種の保存量と従来のNoether保存量との違いについて知りたい。"

というものでした。

しかし,実は私自身は今まで保存量は系の対称性からNoetherの定理によって保証されるもの以外には存在しないと思っていて,寡聞にしてそうした新保存量の存在は全く知りませんでした。

そこで,ネットで検索してみると,2004年にZhangとChenによって,それらをまとめたと思われる論文を見つけたので,有料でしたがネットから直接Downloadしてそれを入手してみました。

その中には参考文献としてLutzkyらの原論文もあるようですが,それよりも,この取り寄せた論文を解読すれば,よりわかりやすく疑問が解決されると考えたので,とりあえず全文を翻訳してみることにしました。

以下はまず,Downloadした論文の翻訳です。

"The Unified Form of Hojman's Conservation Law and Lutzky's Conservation Law"

(Hojmanの保存則とLutzkyの保存則の統一形式)  　　

　Hong-Bin ZHANG and Li-Qun CHEN:Journal of Physical Society

　of Japan Vol.74,No.3,March,2005,pp905-909

1.     序文(introduction)

　力学系の対称性は物理学において最も重要な課題の１つである。これに関しては長い間研究がなされてきた。

　力学系の対称性は系の不変量(または第１積分)と密接に関連しているので運動方程式を積分する際に役に立つと思われる。

　こうした不変量(保存量)を見出す近代的なアプローチは主としてNoether対称性,Lie対称性,および,Mel形式の不変性によるものである。

Noether対称性は連続群の無限小変換の下での作用(＝作用積分)の不変性である。

Noetherの定理は１つ1つの保存量が,各々Noether対称性に関わるというものである。

また,Mel形式の不変性は連続群の無限小変換の下での非ポテンシャル的一般化力(＝非保存力),一般化拘束etc.で構成されるLagrangianのような,系の動力学関数の不変性である。

新しいタイプの保存量はMel形式を用いても得られる。

Lieの手法は微分方程式系を不変に保つ連続な対称性の群を見つけることから成る手法である。

こうした対称性の変換はそれぞれLie群を構成している。

ひとたび,対称性の群が得られたならば,第１積分を見つけるいくつかの方法がある。

1979年にLutzkyはある種のLagrangian系の運動の恒量(保存量)は作用を不変に保たないような点対称性からでも決定される,ということを示した,

そしてこうした保存量の陽な形は対称性群の生成子に関する知見から定められる,ことを示した。

2003年には,FuとChenが非Noether対称性と非保存力学系の保存量についてさらに研究を進めた。

1992年には,HojmanがLagrangianもHamiltonianも用いることなく,単に対称性の存在に基づいて,新しい保存則を与えた。

この直接的な方法は大勢の注意を引き付けた。

本論文では,Hojmanの保存則とLutzkyのそれの統一された形式を導く。

また,こうした保存量が運動方程式の対称性変換ベクトルによってのみ構成されることを示す。

その際,時間と一般化座標の両方の変分を考慮に入れる。

Hojmanの保存則とLutzkyのそれは,この統一された形式の特別な場合とみなされる。

さらに自明な保存量を除外するために,ある条件が与えられる。

最後に,この結果の応用を示すために,２つの簡単な例を与える。

2. 無限小変換と決定方程式

　α_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)が力を表わす関数であるとし,系の運動を表わす

　２階常微分方程式:ｑ_s^2d＝α_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)(1)の集合を考える。

(※注:以下では,このブログ記事で数式を表記する方法の限界のため,

　論文本文での時間微分を示す上付きdotの代わりに,上付き添え字:

　ｄの表記:ｑ_s^d≡ｑ_s^dot≡ｄｑ_s/ｄｔ,ｑ_s^2d≡ｄｑ_s^d/ｄｔ

　＝ｄ²ｑ_s/ｄｔ² etc.を用います。)

　ここで,時間,一般化座標,一般化速度について無限小変分を導入する。

　ｔ^*＝ｔ＋Δｔ(2),ｑ_s^*＝ｑ_s＋Δｑ_s(3),または展開された形式で

　ｔ^*＝ｔ＋ετ(ｔ,ｑ,ｑ^d)(4),ｑ_s^*＝ｑ_s＋εξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)(5)

　とする。

　ここに,εは無限小パラメータで,τ(ｔ,ｑ,ｑ^d),ξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)は

　係数関数である。

(※注:取り合えず,τ,ξ_sはｔ,ｑ,ｑ^dの任意関数としておきますが,後に対称性変換となるための条件を与えます。)

　Ｘ⁽⁰⁾≡τ(∂/∂ｔ)＋ξ_s(∂/∂ｑ_s) (6)を無限小変換(4),(5)の生成子ベクトルとする。

　このとき,Ｘ⁽⁰⁾の１次の延長という概念をＸ⁽¹⁾≡Ｘ⁽⁰⁾＋(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)(∂/∂ｑ_s^d) (7)で定める。

　Ｘ⁽¹⁾はＸ⁽⁰⁾の１次の延長を記述する演算子とする。

　ここでは,軌跡に沿っての時間による全微分を表わすのに,文字の上にドットを付けている。

　すなわち,Ｉ^d≡ｄＩ/ｄｔ＝∂Ｉ/∂ｔ＋ｑ_s^d(∂Ｉ/∂ｑ_s)

　＋α_s(∂Ｉ/∂ｑ_s^d)　である。

[定義１]:無限小変換(4),(5)が系１のLie対称性変換であるとは次の決定方程式を満たす関数τ(ｔ,ｑ,ｑ^d),ξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)が存在することをいう:

　ξ_s^2d－2α_sτ^d－ｑ_s^dτ^2d＝Ｘ⁽¹⁾(α_s) (8)

（※注:ｔ^*＝ｔ＋Δｔ,ｑ_s^*＝ｑ_s＋Δｑ_s ,ただし,

　Δｔ＝ετ(ｔ,ｑ,ｑ^d),Δｑ_s＝εξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)

　です。

　この無限小変換に伴なうｑ_s^d＝ｄｑ_s/ｄｔの変分:

　Δ(ｑ_s^d)＝Δ(ｄｑ_s/ｄｔ)は,ｄｑ_s^*/ｄｔ^*－ｄｑ_s/ｄｔ

　＝ｄ(ｑ_s＋Δｑ_s)/{ｄ(ｔ＋Δｔ)}－ｄｑ_s/ｄｔです。

　そして,ｄ(ｔ＋Δｔ)＝ｄ(ｔ＋ετ)＝ｄｔ＋εｄτ

　＝ｄｔ＋ε(ｄτ/ｄｔ)ｄｔ＝ｄｔ＋ετ^dｄｔ

　＝ｄｔ(1＋ετ^d)です。

そしてεは無限小なので１次の無限小まで考えて微分量とεの積など

２次以上の無限小を無視すると,

ｄ(ｑ_s＋Δｑ_s)/{ｄ(ｔ＋Δｔ)}＝ｄ(ｑ_s＋εξ_s)/{ｄｔ(1＋ετ^d)}

＝{ｄｑ_s＋εｄξ_s)/ｄｔ}(1－ετ^d)

＝ｄｑ_s/ｄｔ＋εｄξ_s/ｄｔ－ε(ｄｑ_s/ｄｔ)τ^d

＝ｄｑ_s/ｄｔ＋ε(ξ_s^d－ｑ^d_sτ^d)ですから,

Δ(ｑ_s^d)＝Δ(ｄｑ_s/ｄｔ)

＝ｄ(ｑ_s＋Δｑ_s)/{ｄ(ｔ＋Δｔ)}－ｄｑ_s/ｄｔ＝ε(ξ_s^d－ｑ^d_sτ^d)

となります。

　つまり,ｔ^*＝ｔ＋ετ(ｔ,ｑ,ｑ^d)(4),ｑ_s^*＝ｑ_s＋εξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)(5)

　の変換に伴なってｑ_s^d＝ｄｑ_s/ｄｔもｑ_s^d*＝ｑ_s^d＋ε(ξ_s^d－ｑ^d_sτ^d)

　なる変換を受けます。

　それ故,Ｉ(ｔ,ｑ,ｑ^d)を一般の任意の物理量とするとき,

　この無限小変換に伴なってＩ→Ｉ⁺＝Ｉ＋ΔＩと変換される際,

　変分ΔＩは,１次の無限小まで取るなら,

　ΔＩ＝ετ(∂Ｉ/∂ｔ)＋εξ_s(∂Ｉ/∂ｑ_s)

　＋ε(ξ_s^d－ｑ^d_sτ^d)_s(∂Ｉ/∂ｑ_s^d)

　＝εＸ⁽⁰⁾(Ｉ)＋ε(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)(∂Ｉ/∂ｑ_s^d)

　となります。

　すなわち,ΔＩ＝εＸ⁽⁰⁾(Ｉ)ではなく,ΔＩ＝εＸ⁽¹⁾(Ｉ)

　で与えられると考えられます。(注終わり※)

3.     Hojmanの保存則とLutzkyの保存則の統一形式

　　微分方程式の系(1)に対する対称性変換の生成子:

　τ(∂/∂ｔ)＋ξ_s(∂/∂ｑ_s)＋(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)(∂/∂ｑ_s^d)を決定する

　２つの係数項τ(ｔ,ｑ,ｑ^d)とξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)に基づき,次の定理に関連した保存量を構成することができる。

[定理１]:関数τ(ｔ,ｑ,ｑ^d)とξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)が条件(8)を満たし,

　関数λ(ｔ,ｑ,ｑ^d)が方程式:∂α_s/∂ｑ_s^d＋ｄ(lnλ)/ｄｔ＝0 (10)

　を満たすとき,物理系(1)は次の保存量Ｉを有する。

Ｉ≡(∂τ/∂ｔ)＋(∂ξ_s/∂ｑ_s)＋(∂/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)

＋Ｘ⁽¹⁾{lnλ}－τ^d   (9)

(証明)まず,式(9)によるＩの定義から,これをｔで全微分すると,

ｄＩ/ｄｔ＝(ｄ/ｄｔ){(∂τ/∂ｔ)＋(∂ξ_s/∂ｑ_s)

＋(∂/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)}＋(ｄＸ⁽¹⁾{lnλ}/ｄｔ)－τ^2d (11)

となる。

ここで一般に任意関数Ａ(ｔ,ｑ,ｑ^d)に対して,以下の関係式が成立することを容易に示すことができる。

すなわち,(ｄ/ｄｔ)(∂Ａ/∂ｔ)＝(∂/∂ｔ)(ｄＡ/ｄｔ)－(∂α_k/∂ｔ)(∂Ａ/∂ｑ_k^d)(12),(ｄ/ｄｔ)(∂Ａ/∂ｑ_s)

＝(∂/∂ｑ_s)(ｄＡ/ｄｔ)－(∂α_k/∂ｑ_s)(∂Ａ/∂ｑ_k^d)(13),

　および,(ｄ/ｄｔ)(∂Ａ/∂ｑ_s^d)

＝(∂/∂ｑ_s^d)(ｄＡ/ｄｔ)－(∂Ａ/∂ｑ_s)－(∂α_k/∂ｑ_s^d)(∂Ａ/∂ｑ_k^d)

(14),

Ｘ⁽¹⁾{∂Ａ/∂ｑ_s^d}＝(∂/∂ｑ_s^d){Ｘ⁽¹⁾(Ａ)}－(∂τ/∂ｑ_s^d)(∂Ａ/∂ｔ)

－(∂ξ_k/∂ｑ_s^d)(∂Ａ/∂ｑ_k)

－(∂/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)(∂Ａ/∂ｑ_k^d) (15)　である。

τ(ｔ,ｑ,ｑ^d),ξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)がｑ_s^2d＝α_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)に対する対称性を定義する条件式は(8)で与えられるが,この式を用いると,もしＸ⁽¹⁾が対称性変換の生成子なら次式が成立することが示せる。

すなわち,Ａ(ｔ,ｑ,ｑ^d)を任意関数とするとき,(12)－(14)から

ｄＸ⁽¹⁾(Ａ)/ｄｔ＝Ｘ⁽¹⁾{ｄＡ/ｄｔ}＋τ^d(ｄＡ/ｄｔ)(16)が成立する。

　また,(ｄ/ｄｔ){(∂τ/∂ｔ)＋(∂ξ_s/∂ｑ_s)＋(∂/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)}＝τ^2d＋τ^d(∂α_s/∂ｑ_s^d)＋(∂/∂ｑ_s^d)(ξ_s^2d－2α_sτ^d－ｑ_s^dτ^2d)－(∂α_k/∂ｔ)(∂τ/∂ｑ_k^d)－(∂α_k/∂ｑ_s^d)(∂ξ_s/∂ｑ_k^d)－(∂α_k/∂ｑ_s^d)(∂/∂ｑ_k^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)(17)なる表式を得る。

　さらに,(8)と(15)からＸ⁽¹⁾{∂α_k/∂ｑ_k^d}＝(ｄ/ｄｔ){(∂τ/∂ｔ)＋(∂ξ_s/∂ｑ_s)＋(∂/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)}－τ^2d－(∂α_s/∂ｑ_s^d)τ^d(18)である。

　そして,式(8),および(16)－(18)を式(11)に代入すると,

　結局ｄＩ/ｄｔ＝0 (19)が得られる。

　(証明終わり)

　[定理１]から次の３つの系を容易に導くことができる。

[系１]:λ(ｔ,ｑ,ｑ^d)が(10)を満足する関数ならば,τ(ｔ,ｑ,ｑ^d)＝0

　であり,かつξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)が決定方程式:ξ_s^2d－(∂α_s/∂ｑ_k)ξ_k

－(∂α_s/∂ｑ_k^d)ξ_k^d＝0 (21)を満たすとき,

　物理系(1)は次の保存量Ｉを有する。

　Ｉ≡(1/λ){∂(λξ_s)/∂ｑ_s}＋(1/λ){∂(λξ_s^d)/∂ｑ_s^d} (20)

　である。

　実際,この系１はλ＝λ(ｑ)のときのHojmanの保存則そのものを

　示している。

[系２]:λ(ｔ,ｑ,ｑ^d)が(10)を満足する関数ならば,ξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)＝0

　であり,かつ τ(ｔ,ｑ,ｑ^d)が方程式:2α_sτ^d＋ｑ_sτ^2d＋τ(∂α_s/∂ｔ)

　－ｑ_s^dτ^d(∂α_s/∂ｑ_k^d)＝0 (23)を満たすとき,

　物理系(1)は次の保存量Ｉを有する。

　Ｉ≡(1/λ){∂(λτ)/∂ｔ}－(1/λ){∂(λｑ_s^dτ^d)/∂ｑ_s^d}－τ^2d (22)

　である。

系２は新しい形の保存則である。

これは例１で示す予定の自明でない保存量を与える。

[系３]:LagrangianＬ(ｔ,ｑ,ｑ^d)を有し運動方程式が(1)で与えられるｎ次元力学系があるとする。

　このとき,Ｘ⁽⁰⁾≡τ(ｔ,ｑ)(∂/∂ｔ)＋ξ_s(ｔ,ｑ)(∂/ｑ_s)(24)によって生成される１径数Lie群に対して運動方程式(1)が不変であるなら,この物理系は次の保存量Iを有する。

　すなわち,Ｉ≡2{(∂ξ_s/∂ｑ_s)－ｑ_s^d(∂τ/∂ｑ_s)}－ｎτ^d＋Ｘ⁽¹⁾{lnλ}(25)である。

　ここに,λ＝det(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)であり,Ｘ⁽¹⁾≡はＸ⁽⁰⁾の延長,または接続である。

　よく知られているように,τ(ｔ,ｑ)とξ_s(ｔ,ｑ)は恒等式:

　∂τ^d/∂ｑ_s^d＝∂τ/∂ｑ_s (26),および,∂ξ_s^d/∂ｑ_s^d＝∂ξ_s/∂ｑ_s (27)

　を満足する。

　保存量Ｉを表わす式(25)は(9),(26),(27)を用いれば得られるが,この系３がLutzkyの保存則そのものを示すことは明らかである。

4.     自明な保存量を除外するための条件

　保存量(9)は,いくつかの場合には自明なそれ,つまり恒等的にゼロになる,ことを指摘する必要がある。

　本節では,そうした自明な保存量＝ゼロを除外するための条件を与える。

　物理系(1)が非特異LagrangianＬで表わされる系であるとき,その要素が(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)で与えられる行列の行列式をＤとおけば,

　簡単な計算から,∂α_s/∂ｑ_s^d＋ｄ(lnＤ)/ｄｔ＝0 (28)なる等式が成立することがわかる。

　そこで,λ＝Ｄに取れば,これによって条件(10)が満たされる。

(※注:非特異Lagrangianとはdet(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)≠0 なるLagrangian Ｌのことです。

　Lagrangianが非特異のときには,一般化運動量ｐ_sが与えられると,

これを定める定義式ｐ_s＝∂Ｌ/∂ｑ_s^dを逆に解いてｑ_s^dをｑ,ｐのみで表現することができるため,Lagrangian形式からHamiltonの正準形式に移行することが可能となります。

　そこで,この場合には,この形式から何の障害もなく正準量子化によって簡単に量子論を定式化することが可能です。

　余談ですが,Lagrangianが特異な場合,つまり,det(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)＝0 である場合には,それが原因で例えば電磁場のようにゲ－ジ変換の任意性があるようになります。

　このとき,正準形式の定式化は通常のPoisson括弧の代わりにDirac括弧を用いる修正が必要で,共変的量子化は単純ではありません。)

　このとき,問題としている変換:τ(∂/∂ｔ)＋ξ_s(∂/∂ｑ_s)

＋(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)(∂/∂ｑ_s^d)がNoether対称性の変換になるための条件は,

　(∂Ｌ/∂ｔ)τ＋(∂Ｌ/∂ｑ_s)ξ_s＋(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)＋Ｌτ^d

　＝ｄＧ(ｔ,ｑ,ｑ^d)/ｄｔ(29)　で与えられる。

　ここに,Ｇ(ｔ,ｑ,ｑ^d)はゲージ関数と呼ばれる。

　(29)式においてｑ_k^2d≡ｄｑ_k^d/ｄｔに関係する項のみを分離すると,

　(∂Ｌ/∂ｑ_s^d){(∂/∂ｑ_k^d)}(ξ_s－ｑ_s^dτ)＋{∂(Ｌτ)/∂ｑ_k}

　＝∂Ｇ/∂ｑ_k^d (30),

　および,(∂Ｌ/∂ｔ)τ＋(∂Ｌ/∂ｑ_s)ξ_s

＋(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)[(∂/∂ｔ)(ξ_s－ｑ_s^dτ)＋ｑ_k^d(∂/∂ｑ_k)(ξ_s－ｑ_s^dτ)}

　＋Ｌ[(∂τ/∂ｔ)＋ｑ_k^d(∂τ/∂ｑ_k)]

　＝[(∂Ｇ/∂ｔ)＋ｑ_k^d(∂Ｇ/∂ｑ_k)] (31) となる。

式(30)から,Ｇ＝Ｌτ＋(ξ_s－ｑ_s^dτ)(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)－∫(ξ_s－ｑ_s^dτ)

(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)ｄｑ_k^d＋ｃ(ｔ,ｑ) (32)と表わせることがわかる。

これを変形して評価するために,

ｖ≡∫(ξ_s－ｑ_s^dτ)(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)ｄｑ_k^d－ｃ(ｔ,ｑ)(33)

とおく。

(33)式の両辺をｑ_k^dで微分すると,

(ξ_s－ｑ_s^dτ)＝(Ｍ_sk/λ)(∂ｖ/∂ｑ_k^d)(34)と書ける。

ここに,λ＝Ｄ≡det(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)であり,Ｍ_skはＬの２階微分係数で形成される行列(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)の余因子である。

これの右辺を式(31)の両辺の(ξ_s－ｑ_s^dτ)に代入して変形すると,

次のｖに対する等式が得られる。

(∂ｖ/∂ｔ)＋ｑ_k^d(∂ｖ/∂ｑ_k)＋(ξ_s－ｑ_s^dτ)[(∂Ｌ/∂ｑ_s)

－(∂²Ｌ/∂ｔ∂ｑ_s^d)－ｑ_k^d(∂²Ｌ/∂ｑ_k∂ｑ_s^d)]＝0 (35)である。

一方,Euler-Lagrange方程式方程式は,

∂Ｌ/∂ｑ_s＝(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)

＝(∂²Ｌ/∂ｔ∂ｑ_s^d)＋ｑ_k^d(∂²Ｌ/∂ｑ_k∂ｑ_s^d)

＋ｑ_k^2d(∂²Ｌ/∂ｑ_k^d∂ｑ_s^d) (36)である。

この(36)式を(35)式に代入して簡単化すると,

(∂ｖ/∂ｔ)＋ｑ_k^d(∂ｖ/∂ｑ_k)＋ｑ_k^2d(∂ｖ/∂ｑ_k ^d)＝0 (37),

すなわちｄｖ/ｄｔ＝0 (38)が得られる。

一方(34)から,λ(ξ_s－ｑ_s^dτ)＝Ｍ_sk(∂ｖ/∂ｑ_k^d)(39)である。

そこで式(39)の両辺の全微分を取り(38)と(14)を用いると,

λ(ｄ/ｄｔ)(ξ_s－ｑ_s^dτ)

＝－Ｍ_sk(∂ｖ/∂ｑ_s^d)－Ｍ_sk(∂ｖ/∂ｑ_ρ^d)(∂α_ρ/∂ｑ_k^d)

－Ｍ_sk(∂ｖ/∂ｑ_k^d)(λ^d/λ)(40)が得られる。

さらに条件(10)から,λ^d/λ＝－(∂α_s/∂ｑ_s^d)(41)である。

したがってλ(ｄ/ｄｔ)(ξ_s－ｑ_s^dτ)＝－Ｍ_sk(∂ｖ/∂ｑ_s^d)(42)

となることがわかる。

(39)と(42)を(9)式に代入し(10)を用いると,不変量Ｉは,

Ｉ＝(1/λ)[{∂(λτ)/∂ｔ}＋{∂(λξ_s)/∂ｑ_s}

＋(∂/∂ｑ_s^d){λ(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)}]－τ^d

＝(1/λ)[{∂(λτ)/∂ｔ}＋(∂/∂ｑ_s){λ(ξ_s－ｑ_s^dτ)}

＋(∂/∂ｑ_s^d){λ(ｄ/ｄｔ)(ξ_s－ｑ_s^dτ)}＋ｑ_s^d{∂(λτ)/∂ｑ_s}

＋ｑ_s^2d{∂(λτ)/∂ｑ_s^d}＋(λτ)(∂α_s/∂ｑ_s^d)]－τ^d

＝(1/λ){(ｄ/ｄｔ)(λτ)－τλ^d}－τ^d＝0

となる。

つまり不変量Ｉは自明な量であることが示されました。

この結果は次の定理にまとめられる。

[定理２]:τ(ｔ,ｑ,ｑ^d)とξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)がNoether対称性を表現するものであり,λ＝det(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)なら,式(9)で定義される保存量は恒等的にゼロである。

5.     例

　これまでの節で展開された理論のさまざまな様相を描写するため,

　例１ではLieの点対称性変換を与え,例２では,一般化されLieの対称性を導入する。

[例１]:第１の例としてLagrangian:Ｌ＝(1/2)exp(γｔ)(ｑ^ｄ)²(γは定数)(43)を有する１自由度の減衰線型振動子を考える。

　この系の微分方程式はｑ^2ｄ＝－γｑ^ｄ(44)で与えられる。

　変換パラメータは,τ＝τ(ｔ,ｑ)(45),ξ＝ξ(ｔ,ｑ)(46)とする。

　このとき方程式(44)における(45),(46)の無限小変換の下でのLie対称性を決定する方程式は,ξ_tt＋γξ_t＋(2ξ_tq＋γτ_t－τ_tt)ｑ^ｄ＋

　(2ξ_qq－2τ_tq＋2γτ_q)(ｑ^ｄ)²－τ_qq(ｑ^ｄ)³＝0 (47)　である。

　これは恒等式なので,(47)からξ_tt＋γξ_t＝0 (48),

　2ξ_tq＋γτ_t－τ_tt＝0 (49),2ξ_qq－2τ_tq＋2γτ_q＝0 (50),

　τ_qq＝0 (51)　を得る。

　(48)－(51)を解けば,τ＝[ｃ₃＋ｃ₄exp(γｔ)]ｑ＋ｃ₅＋ｃ₆exp(γｔ)

　－(ｃ₂/γ³)exp(－γｔ)(52),ξ＝{(ｃ₁＋ｃ₂ｑ)/γ²}exp(－γｔ)＋

　ｃ₈＋ｃ₇ｑ－ｃ₃ｑ² (53)が得られる。

　また,(10)は－γ＋ｄ(lnλ)/ｄｔ＝0 (54)を意味するが,これから解:

　λ＝(ｑ^d)^-1の存在がわかる。

(※注:ｑ^2ｄ＝－γｑ^ｄ(44)より,－γ＝ｄ(lnｑ^d)/ｄｔ(44),

　故に,－γ＋ｄ(lnλ)/ｄｔ＝0 (54)は,

　ｄ(lnｑ^d)/ｄｔ＋ｄ(lnλ)/ｄｔ＝0 です。

　よってlnｑ^d＋lnλ＝一定。すなわち.λ＝ｃ(ｑ^d)^-1を得ます。

　ｃ＝1とおけばλ＝(ｑ^d)^-1です。※)

　式(52),(53),(55)を(9)に代入すると,保存量Ｉは次のように書ける。

　すなわち,Ｉ＝ｃ₇＋ｃ₁exp(－γｔ)/(γｑ^d)＋ｃ₂(ｑ^d＋γｑ)

　exp(－γｔ)/(γ²ｑ^d)－2ｃ₃(ｑ^d＋γｑ)－2ｃ₄ｑ^dexp(γｔ)

　である。

　実際には,(48)－(51)と(9)には次のような特殊解がある。

　すなわち,

　τ＝0 ,ξ＝exp(－γｔ)/γ2,Ｉ＝exp(－γｔ)/(γｑ^d) (57);

　τ＝－exp(－γｔ)/γ³,ξ＝ｑexp(－γｔ)/γ²,

　Ｉ＝(ｑ^d＋γｑ)exp(－γｔ)/(γ²ｑ^d) (58);τ＝ｑ,

　ξ＝－γｑ²,I＝－2(ｑ^d＋γｑ) (59);τ＝ｑexp(γｔ),

　ξ＝0 ,I＝－2ｑ^dexp(γｔ) (60)

　である。

　明らかに,上の４つの非自明な保存量は独立ではなく,このうちの２つだけが関数的に独立である。

　特にξ＝0 ,τ＝exp(γｔ)ｑ,λ＝(ｑ^d)^-1なら(22)によって

　I＝－2exp(γｔ)ｑ^d (61)である。

　これは系２が自明でない保存量を与える例を示している。

[例２]:２次の自明でない２階常微分方程式ｑ^2ｄ＝(ｑ^ｄ)² (62)を考える。

　簡単のために,一般化されたLie対称性変換がｑ^dについて線型であると仮定する。

　すなわち,τ＝τ₁(ｔ,ｑ)ｑ^ｄ＋τ₂(ｔ,ｑ)(63),

　ξ＝ξ₁(ｔ,ｑ)ｑ^ｄ＋ξ₂(ｔ,ｑ)(64)とする。

このとき無限小変換(63),(64)の下で方程式(62)のLie対称性を決定する方程式は,

ξ_2tt＋(2ξ_2tq－2ξ_2t＋ξ_1tt－τ_2tt)ｑ^ｄ＋

(2ξ_1tq－2τ_2tq－τ_1tt ＋ξ_2qq－ξ_2q)(ｑ^ｄ)²＋

(ξ_1qq－τ_2qq＋ξ_1q－τ_2q－2τ_1tq－2τ_1t)(ｑ^ｄ)³＋

(τ_1qq＋3τ_1q＋2τ₁)(ｑ^ｄ)⁴＝0 (65)

であることがわかる。

これは恒等式なので,(65)から,

ξ_2tt＝0 (66),

2ξ_2tq－2ξ_2t＋ξ_1tt－τ_2tt＝0 (67),

2ξ_1tq－2τ_2tq－τ_1tt ＋ξ_2qq－ξ_2q＝0 (68),

ξ_1qq－τ_2qq＋ξ_1q－τ_2q－2τ_1tq－2τ_1t＝0 (69),

τ_1qq＋3τ_1q＋2τ₁＝0 (70)

を得る。

式(66)－(70)は次の解を有する。

τ＝{(ｃ₁ｔ＋ｃ₂)exp(－ｑ)＋(ｃ₃ｔ＋ｃ₄)exp(－2ｑ)}ｑ^d

＋{(ｃ₉exp(－ｑ)＋ｃ₁₀)}ｔ＋ｃ₁₂ (71),

ξ＝{ｃ₆ｔ²－ｃ₁₁exp(－ｑ)－ｃ₃exp(－2ｑ)} ｑ^d＋{ｃ₅exp(ｑ)＋ｃ₆}ｔ

＋ｃ₇exp(ｑ)＋ｃ₈－ｃ₉exp(－ｑ) (72)である。

(10)から,2ｑ^d＋ｄ(lnλ)/ｄｔ＝0 (73)が得られる。

(73)はλ＝exp(－2ｑ)(74)という解を持つ。

(71),(72),(74)を(9)式に代入して保存量Ｉを求めると,

Ｉ＝(3ｃ₁₁－2ｃ₁)exp(－ｑ)ｑ^d＋4ｃ₃exp(－2ｑ){ｑ^d＋ｔ(ｑ^d)²}

－4ｃ₄exp(－2ｑ)(ｑ^d)²－3ｃ₉(1＋ｔｑ^d)exp(－ｑ)－2ｃ₈－ｃ₁₀ (75)

となる。

上の(75)の量に関して,力学系(62)による軌跡に沿って直線的に計算していくとｄＩ/ｄｔ＝0 が得られる。

解(71)－(72)と保存量(75)には次のような特殊ケースがある。

すなわち,τ＝ｔexp(－ｑ)ｑ^d,ξ＝－exp(－ｑ)ｑ^d,

Ｉ＝exp(－ｑ)ｑ^d (76),τ＝ｔexp(－2ｑ)ｑ^d,

ξ＝－exp(－2ｑ)ｑ^d,Ｉ＝4exp(－ｑ){ｑ^d＋ｔ(ｑ^d)²} (77),

τ＝ｔexp(－2ｑ)ｑ^d,ξ＝0,Ｉ＝4exp(－2ｑ)(ｑ^d)² (78),

τ＝exp(－ｑ)ｔ,ξ＝－exp(－ｑ),

Ｉ＝3{exp(－ｑ)＋ｔexp(－ｑ)ｑ^d} (79)　である。

　明らかに(78)の第１積分(＝Ｉ)は,(76)のそれの平方であり,

　(77)のそれは(76)と(79)から得られる。

6.     結論

　本論文ではHojmanの保存則とLutzkyの保存則の統一形式を与えた。

　そして保存量は運動方程式の対称性変換ベクトルのみによって構成されること,Hojmanの保存則とLutzkyの保存則は,この統一形式の２つの特殊な場合であるとみなされることを示した。

　さらに,自明な保存量(ゼロ)を除外するための１つの条件を与えた。

　２つの例を挙げることにより,この新しい保存則から２階常微分方程式の関数的に独立な２つの自明でない保存量が得られることを示した。

　時間と一般化座標の両方の変分を考慮したので,この保存量に関する定理は場の理論や相対性理論を含む形式に拡張することができる。

　こうした問題については将来論じる予定である。

[謝辞(acknowledgement)]

　この研究はthe National Natural Science Foundation of China under Grant No.10172056 and the Science Reseach of the Education Bureau of Anhui Province under Grant No.2004KJ294.によってsupportされたものである。

[reference]

1)A.E.Noether: Nachr.Akad.Wiss.Göttingen,Math.Phys.KⅠ,Ⅱ(1918)235.

2)F.M.Mei: J.Beijing Inst.Technol.9(3000)120.

3)F.X.Mei: Chin.Phys.10(2001)177.

4)F.X.Mei and X.W.Chen: J.Beijing Inst.Technol.10(2001)138.

5)S.Y.Wang and F.M.Mei: Chin.Phys.10(2001)373.

6)S.Y.Wang and F.M.Mei: Chin.Phys.11(2002)5.

7)F.X.Mei: J.Dyn.Control.2(2004)28.[in Chineses]

8)A.Cohen: An Introduction to the Lie Theory of One-Parameter Groups (Stechert,New York,1931)

9)G.W.Bluman and J.Cole: Similarity Method for Differential Equations(Springer,Berlin,1974)

10)G.W.Bluman and S.Kumei: Symmetries　and Differential Equations(Springer,Berlin,1989)

11)P.J.Olver: Application of Lie Groups to Differential Equations(Springer,Berlin,1993)

12)M.Lutzky: Phys.Lett,A72(1979)86.

13)J.L.Fu and L.Q.Chen: Phys.Lett,A317(2003)255

14)S.A.Hojman; J.Phys,A25(1992)Ⅰ.291.

15)F.Gona’lez-Gaseo’n: J.Phys,A27(1994)Ⅰ.59.

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17)T.Pilay and P.G.L.Leach: J.Phys,A29(1996)6999.

18)F.X.Mei: Chin。Sci.Bull,47(2002)1544

19)F.X.Mei: Acta.Phys.Sin. 52(2003)1048.[in Chineses]

20)H.B.Zhang and L.Q.Chen: Acta.Math.Sin. 36(2004)254.[in Chineses]

21)H.B.Zhang and L.Q.Chen: Commun.Theor.Phys. 42(2004)321

22)M.Lutzky: Phys.Lett,A75(1979)8.

23)W.Sarlet and F.Cantrijn:SIAM Rev. 23(1981)467                             　　　　　　　　　　　

(以上:全翻訳了※)

(後記):これを翻訳し,かつ読了した時点では,保存量が非自明となる理由や非Noeteherネーター保存量となる点について,ほとんど把握できていませんでした。

　しかし,考えて理解できないはずもないし,長くなったので,それらについては続編で書くことにします。

　今のところ,私が考えているのはNoether定理における対称性は,

論文の(2)(3)(4)(5)で定義されているｔ^*＝ｔ＋Δｔ,ｑ_s^*＝ｑ_s＋Δｑ_s (Δｔ＝ετ(ｔ,ｑ,ｑ^d),Δｑ_s＝εξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d))のような無限小変換で与えられる局所的対称性ではなく,

　例えば時間や空間の一様性におけるΔｔ＝ε,Δｑ_s＝ε_s (ε,ε_s は任意の無限小の"定数)であるような大域的対称性に対するものであった,と記憶していることぐらいです。

　もっとも,局所的対称性は特別な場合として大域的対称性を含みます。

　そこでτ(ｔ,ｑ,ｑ^d)＝const.ξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)＝constが系の対称性条件を満足するなら,元の局所的対称性が成立すれば大域的対称性も成立するので,それで保証されたNoether保存量も存在するはずです。

　逆に大域的対称性があるからといって,局所的対称性があるとは限りませんが。。

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