磁性の話(キュリーの法則)

ゼーマン効果(Zeeman effect)の話をしているうちに,私が勉強したことがほとんどない磁性に興味がわいたので,またまた脱線ついでにその話を記事にしてみようと思います。

まず,前回の記事で磁場Ｂの中では,原子は磁気モーメントＭ＝－μ_B(Ｌ＋2Ｓ)を持った磁石のように挙動すること,

そして磁場(磁束密度)Ｂが比較的弱い場合に,核スピンＩを無視したとき,磁場との相互作用に実質的に寄与する部分である全角運動量Ｊ＝Ｌ＋Ｓに平行な観測にかかるＭの成分Ｍ_//は,Ｍ_//＝－μ_Bｇ_JＪ,ｇ_J≡3/2＋{Ｓ(Ｓ＋1)－Ｌ(Ｌ＋1)}/{2Ｊ(Ｊ＋1)}で表わされることを見ました。

ここでｇ_JはLande(ランデ)のｇ因子です。

したがって全角運動量Ｊの状態に対応して磁気モーメント:Ｍ＝－μ_B(Ｌ＋2Ｓ)に由来する磁場Ｂとの相互作用エネルギーは,Ｅ(Ｊ,Ｍ_J)＝－ＭＢ＝μ_Bｇ_JＪＢ＝μ_Bｇ_JＭ_JＢ＝μ_Bμ₀ｇ_JＭ_JＨ,Ｍ_J＝－Ｊ,－Ｊ＋1,..,Ｊで与えられます。

ここにＢ＝μ₀Ｈ(μ₀は真空の透磁率)で,Ｈは工学において磁界とか磁場の強さと呼ばれている量です。

そして巨視的個数の原子から成る系で,原子が全角運動量Ｊで安定に存在している系では,絶対温度Ｔで,状態が実現される相対確率はexp{－Ｅ(Ｊ,Ｍ_J)/(ｋ_BＴ)}に比例します。

そこで,この単一種類の原子のみから成る物体内での単位体積当たりの原子数をＮとすると,磁場(磁界)Ｈの中での磁化の大きさ:Ｍ(Ｈ,Ｔ)は,　

Ｍ(Ｈ,Ｔ)＝Ｎ[Σ_ＭJ=-J^J(－μ_Bｇ_JＭ_J)exp{－Ｅ(Ｊ,Ｍ_J)/(ｋ_BＴ)}]/[Σ_Ｍj=-J^Jexp{－Ｅ(Ｊ,Ｍ_J)/(ｋ_BＴ)}]　で与えられます。

ただし,ｋ_BはBoltzmann定数です。

そこで,磁場Ｈ → 0 の極限での磁化率(帯磁率)χ≡Ｍ/Ｈを求めるには,

lim _H→0{Ｍ(Ｈ,Ｔ)/Ｈ}＝{Ｎ/(μ₀Ｈ²)}(∂/∂β){ln(Σ_ＭJ=-J^J[exp{－βＥ(Ｊ,Ｍ_J)}])}_{Ｅ(Ｊ,ＭJ)=0} の右辺を計算すればいいことがわかります。

ただし,便宜上β≡1/(ｋ_BＴ)とおきました。

ここで,さらにα≡μ_Bμ₀ｇ_JＨとおけば,等比数列の有限和の公式から,　

Σ_ＭJ=-J^J[exp{－βＥ(Ｊ,Ｍ_J)}]＝Σ_ＭJ=-J^J[exp(－αβＭ_J)]

＝exp(αβＪ)[1－exp{－αβ(2Ｊ＋1)}]/[1－exp(－αβ)]

を得ます。

それ故,log[Σ_ＭJ=-J^J[exp{－βＥ(Ｊ,Ｍ_J)}]＝αβＪ＋log[1－exp{－αβ(2Ｊ＋1)}]－log[1－exp(－αβ)]と書けます。

したがって,(∂/∂β){log(Σ_ＭJ=-J^J[exp{－βＥ(Ｊ,Ｍ_J)}])}＝αＪ＋α(2Ｊ＋1)exp{－αβ(2Ｊ＋1)}/[1－exp{－αβ(2Ｊ＋1)}]－αexp(－αβ)/[1－exp(－αβ)]

＝[1－exp(－αβ)]^-1[1－exp{－αβ(2Ｊ＋1)}]^-1(αＪ[1－exp{－αβ(2Ｊ＋1)}][1－exp(－αβ)]＋α(2Ｊ＋1)exp{－αβ(2Ｊ＋1)}[1－exp(－αβ)]－αexp(－αβ)[1－exp{－αβ(2Ｊ＋1)}])

＝[1－exp(－αβ)]^-1[1－exp{－αβ(2Ｊ＋1)}]^-1[αＪ－α(Ｊ＋1)exp(－αβ)－α(Ｊ＋1)exp{－αβ(2Ｊ＋1)}＋αＪexp{－2αβ(Ｊ＋1)}]

と整理されます。

この最後の表式で,Ｈ → 0 の極限,つまりα→ 0 の極限を考えると,

(∂/∂β){log(Σ_ＭJ=-J^J[exp{－βＥ(Ｊ,Ｍ_J)}])}～(αβ)^-2(2Ｊ＋1)^-1(α²β)[Ｊ(1－αβ/2＋α²β²/6)＋(Ｊ＋1)(2Ｊ＋1){1－αβ(2Ｊ＋1)/2＋α²β²(2Ｊ＋1)²/6}－2Ｊ(Ｊ＋1){1－αβ(Ｊ＋1)＋4α²β²(Ｊ＋1)²/6]}

最終的には,(∂/∂β){log(Σ_ＭJ=-J^J[exp{－βＥ(Ｊ,Ｍ_J)}])}

～α²Ｊ(Ｊ＋1)/(3ｋ_BＴ)となります。

こうして,α→ 0 の極限で有用な近似式が得られました。

先述のように,Ｈの弱い極限での磁化率(帯磁率)χ＝Ｍ/Ｈは,χ＝lim_H→0{Ｍ(Ｈ,Ｔ)/Ｈ}＝{Ｎ/(μ₀Ｈ²)}(∂/∂β){log(Σ_ＭJ=-J^J[exp{－βＥ(Ｊ,Ｍ_J)}])}_{Ｅ(Ｊ,ＭJ)=0} で与えられますから,

Ｈが弱いときはＣを定数として,χ＝Ｃ/Ｔなる形になります。

上の計算によれば,Ｃ＝Ｎα²Ｊ(Ｊ＋1)/(3ｋ_B)ですから,α²＝(μ_Bμ₀ｇ_JＨ)²＝μ₀μ_B²ｇ_J²(μ₀Ｈ²)よりＣ＝Ｎμ_B²μ₀ｇ_J²Ｊ(Ｊ＋1)/(3ｋ_B)です。

この表式の"磁化率(帯磁率)χが温度Ｔに反比例する"という法則はCurie(キュリー)の法則といわれます。ＣはCurie定数と呼ばれます。

ここでは磁気モーメントＭや磁化Ｍ(Ｈ,Ｔ)を,磁束密度Ｂ＝μ₀Ｈの方の単位に合わせて定義しましたが,"磁界＝磁場の強さ"Ｈの方に合わせると,キュリー定数はＣ＝Ｎμ_B²ｇ_J²Ｊ(Ｊ＋1)/(3ｋ_B)となります。

これは,イオンの磁化率(帯磁率)についての基本公式を与えるもので,後に放射能の研究などでノーベル賞をもらったCurie(キュリー)夫妻の夫の方のPierre Curieの若い頃(結婚前)の発見ですね。

この程度の計算は,最初は朝飯前だと思っていて,本当は記事としてはCurieの法則の話だけじゃなく,もっと突っ込んだ内容も含めて盛り沢山に書きたかったのですが,

結局,結果を知っているとはいえ,検算としての極限値の計算に丸１日半もかかってしまったので.短い内容になってしまいました。

歳のせいか,元々頭が馬鹿なのか,どちらかなのでしょうね,同じ計算間違いを何回もしてしまいました。

参考文献：金森 順次郎 著「磁性」(培風館),高柳和夫 著「原子分子物理学」(朝倉書店)

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