« 久しぶりにヤフオク出品 | トップページ | 磁性の話(キュリーの法則)(補遺) »

2008年4月15日 (火)

磁性の話(キュリーの法則)

ゼーマン効果(Zeeman effect)の話をしているうちに,私が勉強したことがほとんどない磁性に興味がわいたので,またまた脱線ついでにその話を記事にしてみようと思います。

まず,前回の記事で磁場の中では,原子は磁気モーメント=-μB(+2)を持った磁石のように挙動すること,

 

そして磁場(磁束密度)比較的弱い場合に,核スピンを無視したとき,磁場との相互作用に実質的に寄与する部分である全角運動量に平行な観測にかかるの成分//,//-μBJ,gJ≡3/2+{(S+1)(L+1)}/{2(J+1)}で表わされることを見ました。

 

ここでgJはLande(ランデ)のg因子です。

したがって全角運動量の状態に対応して磁気モーメント:=-μB(+2)に由来する磁場との相互作用エネルギーは,E(J,MJ)=-=μBJJB=μBJJB=μBμ0JJ,MJ=-J,-J+1,..,Jで与えられます。

 

ここにB=μ0(μ0は真空の透磁率)で,は工学において磁界とか磁場の強さと呼ばれている量です。

そして巨視的個数の原子から成る系で,原子が全角運動量で安定に存在している系では,絶対温度Tで,状態が実現される相対確率はexp{-(J,MJ)/(kB)}に比例します。

 

そこで,この単一種類の原子のみから成る物体内での単位体積当たりの原子数をNとすると,磁場(磁界)の中での磁化の大きさ:M(H,T)は, 

M(H,T)=N[ΣMJ=-JJ(-μBJJ)exp{-(J,MJ)/(kB)}]/[Σj=-JJexp{-(J,MJ)/(kB)}] で与えられます。

 

ただし,kBBoltzmann定数です。

そこで,磁場H → 0 の極限での磁化率(帯磁率)χ≡M/Hを求めるには,

lim H→0{(H,T)/H}{N/02)}(/∂β){ln(ΣMJ=-JJ[exp{-β(J,MJ)}])}(J,MJ)=0 の右辺を計算すればいいことがわかります。

 

ただし,便宜上β≡1/(kB)とおきました。

ここで,さらにα≡μBμ0JHとおけば,等比数列の有限和の公式から, 

ΣJ=-JJ[exp{-β(J,MJ)}]=ΣJ=-JJ[exp(-αβJ)]

=exp(αβJ)[1-exp{-αβ(2J+1)}]/[1-exp(-αβ)]

を得ます。

 

それ故,logJ=-JJ[exp{-β(J,MJ)}]=αβJ+log[1-exp{-αβ(2J+1)}]-log[1-exp(-αβ)]と書けます。

 

したがって,(∂/∂β){logJ=-JJ[exp{-β(J,MJ)}])}=αJ+α(2J+1)exp{-αβ(2J+1)}/[1-exp{-αβ(2J+1)}]-αexp(-αβ)/[1-exp(-αβ)]

 

=[1-exp(-αβ)]-1[1-exp{-αβ(2J+1)}]-1(αJ[1-exp{-αβ(2J+1)}][1-exp(-αβ)]+α(2J+1)exp{-αβ(2J+1)}[1-exp(-αβ)]-αexp(-αβ)[1-exp{-αβ(2J+1)}])

 

=[1-exp(-αβ)]-1[1-exp{-αβ(2J+1)}]-1[αJ-α(J+1)exp(-αβ)-α(J+1)exp{-αβ(2J+1)}+αJexp{-2αβ(J+1)}]

 

と整理されます。

この最後の表式で,H → 0 の極限,つまりα→ 0 の極限を考えると,

 

(∂/∂β){logJ=-JJ[exp{-β(J,MJ)}])}(αβ)-2(2J+1)-1(α2β)[J(1-αβ/2+α2β2/6)+(J+1)(2J+1){1-αβ(2J+1)/2+α2β2(2J+1)2/6}2J(J+1){1-αβ(J+1)+4α2β2(J+1)2/6]}

 

最終的には,(∂/∂β){logJ=-JJ[exp{-β(J,MJ)}])}

α2(J+1)/(3kBT)となります。

 

こうして,α→ 0 の極限で有用な近似式が得られました。

先述のように,Hの弱い極限での磁化率(帯磁率)χ=M/Hは,χ=limH→0{(H,T)/H}{N/02)}(/∂β){log(ΣMJ=-JJ[exp{-β(J,MJ)}])}(J,MJ)=0 で与えられますから,

  

Hが弱いときはCを定数として,χ=C/Tなる形になります。

  

の計算によれば,C=Nα2(J+1)/(3kB)ですから,α2Bμ0J)2μ0μB2J202)よりC=NμB2μ0J2(J+1)/(3kB)です。

 

この表式の"磁化率(帯磁率)χが温度Tに反比例する"という法則はCurie(キュリー)の法則といわれます。CはCurie定数と呼ばれます。

 

ここでは磁気モーメントや磁化M(H,T)を,磁束密度μ0の方の単位に合わせて定義しましたが,"磁界=磁場の強さ"の方に合わせると,キュリー定数はC=NμB2J2(J+1)/(3kB)となります。

これは,イオンの磁化率(帯磁率)についての基本公式を与えるもので,後に放射能の研究などでノーベル賞をもらったCurie(キュリー)夫妻の夫の方のPierre Curieの若い頃(結婚前)の発見ですね。

この程度の計算は,最初は朝飯前だと思っていて,本当は記事としてはCurieの法則の話だけじゃなく,もっと突っ込んだ内容も含めて盛り沢山に書きたかったのですが,

 

結局,結果を知っているとはいえ,検算としての極限値の計算に丸1日半もかかってしまったので.短い内容になってしまいました。

 

歳のせいか,元々頭が馬鹿なのか,どちらかなのでしょうね,同じ計算間違いを何回もしてしまいました。

参考文献:金森 順次郎 著「磁性」(培風館),高柳和夫 著「原子分子物理学」(朝倉書店)

 

緊急告知!! Attention!! [広告宣伝]です。

 「TRS健康ランド」では2008年1月10日よりお徳用SCS500mlを新発売!!当店の専売です。

 そこのお酒のみの方,いろいろと飲食の機会の増えたあなた、体によいし特に肝臓によいウコンがいいですよ!! そして特に今回提供する沖縄原産の純粋な黒ウコンは当店が専売の新製品ですが古くから沖縄地方ではいわゆる男性機能に効果があると言われています。

 おやおや、そこの静電気バチバチの人、いいものありますよ。。。

 それから農薬を落とした後の皮がピカピカに光っているリンゴなど商品として販売する際の見栄えをよくするなどのために化学処理をした食品を安全に洗浄する新商品の洗浄液SCSはいかがですか。。。

 http://www.rakuten.co.jp/trs-kenko-land/「TRS健康ランド」-- 黒ウコン,SCS(洗浄剤)専売などの店:  私が店長 です。

http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン!メディエーター巣鴨店」

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ ← クリックして投票してください。(1クリック=1投票です。1人1日1投票しかできません。クリックすると人気blogランキングに跳びます。)

にほんブログ村 科学ブログへ にほんブログ村 科学ブログ 物理学へクリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング投票です。1クリック=1投票です。1人1日1投票しかできません。クリックするとブログ村の人気ランキング一覧のホ-ムページームに跳びます。)

|

« 久しぶりにヤフオク出品 | トップページ | 磁性の話(キュリーの法則)(補遺) »

111. 量子論」カテゴリの記事

109. 物性物理」カテゴリの記事

コメント

 どもTOSHIです。せいたかのっぽさん,コメントありがとうございます。

 ちょっと勘違いしてましてキュリーの法則も強磁性体のキュリー温度も夫のピエールの研究でした。ご指摘ありがとうございます。本文は直しておきました。

 マクスウェルとファラディ,あるいは電場と電束密度の関係,磁場と磁束密度の関係などの解説,それに付随して特殊相対論における物質内での電磁気学の現象論(ミンコフスキーとアブラハムの対立)などについても書いてみようかな?という動機も感じましたがとりあえずは磁性の続きですかね。

                TOSHI

投稿: TOSHI | 2008年4月18日 (金) 11時49分

恐縮ですが、よかったです。(*^-^*)
横道知識も楽しいですよね。
不用謝!

投稿: せいたかのっぽ | 2008年4月17日 (木) 01時49分

β鉄がないのは、そうだったんですか!
感謝、感謝。

投稿: hirota | 2008年4月16日 (水) 10時56分

 すみません。キュリーの法則でしたね。
間違えました。勉強不足で、よく理解してません。また出直してきます。
 それより、今帰ったばかりなので、風呂入らなきゃ。
それではまた。(^-^)/

投稿: せいたかのっぽ | 2008年4月15日 (火) 22時50分

 キュリー温度って、夫ピエールの方が発見したと思ってましたけど・・・。まあ、夫婦なので分ける理由も無いかもしれませんが。
(アインシュタインの相対論も一番目の妻の影響が大きかったと、いや、その方がいいなと思ってます。)

 磁性って身近ですが難しいです。
 私も、工学部だったので、外部磁場Hをかけると例えば鉄が磁化Bを持つように、HとBって違うものと思ってます。
 ですから、理論物理でB=μHと書いてると、あれ、磁場って何だっけ、といつも分からなくなります。

 釈迦に説法ですが、鉄って、常温では結晶構造がBCCですが、温度を上げるとFCCになって、さらに温度を上げるとまたBCCになる。常温のBCCから順にα鉄、FCCをγ鉄、高温のBCCをδ鉄といいますが、順番だとβだけ抜けてます。これは、磁気がなくなる温度の鉄をかつてβ鉄といっていたが、結晶構造の変化(変態)ではないので今ではいわなくなった名残なのですよね。
 β鉄というのは間違ってますけど、面白いからかえって頭に残っています。

 計算は、よく物性の本で見る雰囲気(汗;)ですけど、私にはさっぱり理解できませんでした。
 磁化ヒステリシスのデータはごくたまに読みます。まあ、こんなもんという適当な理解しか私には出来ていないので、尊敬してしまいます。

投稿: せいたかのっぽ | 2008年4月15日 (火) 22時42分

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)




トラックバック


この記事へのトラックバック一覧です: 磁性の話(キュリーの法則):

« 久しぶりにヤフオク出品 | トップページ | 磁性の話(キュリーの法則)(補遺) »