磁性の話(キュリーの法則)(補遺)

前記事で述べたように,Curie(キュリー)の法則は磁場Ｈ→ 0 の極限で磁化率(帯磁率)χが絶対温度Ｔに反比例するという法則:

χ＝Ｃ/Ｔ (Ｃ≡Ｎμ_B²μ₀ｇ_J²Ｊ(Ｊ＋1)/(3ｋ_B)) なる法則です。

これは,物質を構成する個々の原子のエネルギー的に安定な状態が"全角運動量がＪの状態＝Ｊ多重項"で与えられ,Lande(ランデ)の因子:ｇ_J≡3/2＋{Ｓ(Ｓ＋1)－Ｌ(Ｌ＋1)}/{2Ｊ(Ｊ＋1)}が一定,つまりＪと共にＬ,Ｓの値も固定されている場合に成立します。

この原子から成る"バルクな物質＝巨視的な原子数の系"が絶対温度Ｔの下で熱平衡状態にあって,Ｊの向きだけが統計的に乱雑になっている場合,

そして特にＨをゼロと見なしていいほど外部磁場が弱い場合に成立する法則です。

一般にＨが有限な量であっても,その物質の磁化ベクトルＭ(Ｈ,Ｔ)の磁場Ｈ方向の成分は,Ｍ(Ｈ,Ｔ)＝Ｎ[Σ_ＭJ=-J^J(－μ_Bｇ_JＭ_J)exp{－Ｅ(Ｊ,Ｍ_J)/(ｋ_BＴ)}]/(Σ_ＭJ=-J^J[exp{－Ｅ(Ｊ,Ｍ_J)/(ｋ_BＴ)}])なる式で与えられると考えられます。

そして,上述の式は,Ｍ(Ｈ,Ｔ)＝{Ｎ/(μ₀Ｈ)}(∂/∂β){log(Σ_ＭJ=-J^J[exp{－βＥ(Ｊ,Ｍ_J)}])}と変形されます。

右辺の対数log(自然対数ln)の中の項は.実は双曲線関数を用いてΣ_ＭJ=-J^J[exp{－βＥ(Ｊ,Ｍ_J)}]＝Σ_ＭJ=-J^J[exp(－αβＭ_J)]＝exp(αβＪ)[1－exp{－αβ(2Ｊ＋1)}]/[1－exp(－αβ)]＝sinh{αβ(Ｊ＋1/2)}/sinh(αβ/2)と簡明に表現できます。

したがって,この表式から,さらに(∂/∂β){log(Σ_ＭJ=-J^J[exp{－βＥ(Ｊ,Ｍ_J)}])}＝α(Ｊ＋1/2)cosh{αβ(Ｊ＋1/2)}/sinh{αβ(Ｊ＋1/2)}－(α/2)cosh(αβ/2)/sinh(αβ/2)＝α(Ｊ＋1/2)coth{αβ(Ｊ＋1/2)}－(α/2)coth(αβ/2)と書けることもすぐにわかります。

そこで,既にBrillouin(ブリリュアン)関数という名称で知られている関数:Ｂ_J(ｘ)≡{(2Ｊ＋1)/(2Ｊ)}coth{(2Ｊ＋1)ｘ/(2Ｊ)}－1/(2Ｊ)coth{ｘ/(2Ｊ)}を導入すれば,

(∂/∂β){log(Σ_ＭJ=-J^J[exp{－βＥ(Ｊ,Ｍ_J)}])}＝(αＪ)Ｂ_J(αβＪ)と,非常に簡単な表現になります。

そこで,α≡μ_Bμ₀ｇ_JＨが有限のとき,

Ｍ(Ｈ,Ｔ)＝Ｎ[Σ_ＭJ=-J^J(－μ_Bｇ_JＭ_J)exp{－Ｅ(Ｊ,Ｍ_J)/(ｋ_BＴ)}]/(Σ_ＭJ=-J^J[exp{－Ｅ(Ｊ,Ｍ_J)/(ｋ_BＴ)}])

＝{Ｎ/(μ₀Ｈ)}(∂/∂β){log(Σ_ＭJ=-J^J[exp{－βＥ(Ｊ,Ｍ_J)}])}

なる変形によって,

結局,磁化の大きさはＭ(Ｈ,Ｔ)＝Ｎμ_Bｇ_JＪＢ_J{Ｊμ_Bμ₀ｇ_JＨ/(ｋ_BＴ)}となります。

こうして数学的に明確な形式で与えられることがわかりました。

双曲線余接関数は,ｙ→ 0 でcoth(ｙ)＝cosh(ｙ)/sinh(ｙ)～(1＋ｙ²/2)/(ｙ＋ｙ³/6)＝(1/ｙ)(1＋ｙ²/3)なる近似式で表現できることから,

ｘ→ 0 でＢ_J(ｘ)～(Ｊ＋1)ｘ/(3Ｊ)と近似できることもわかります。

そこで,Ｈ→ 0 においてCurieの法則χ＝Ｃ/Ｔ,Ｃ≡Ｎμ_B²μ₀ｇ_J²Ｊ(Ｊ＋1)/(3ｋ_B)が確かに成り立つことも自然に得られます。

今思うと,前記事のように苦労して地道に計算する必要なかったですね。うーん,ある意味でくやしいですね。

　一方,ｙ→ ∞ の極限では,coth(ｙ) → 1ですから,ｘ→ ∞ でＢ_J(ｘ)→ 1であり,それ故,このときはＭ(Ｈ,Ｔ) → Ｎμ_Bｇ_JＪです。

　これは外部磁場Ｈが非常に強い場合とか,β＝1/(ｋ_BＴ) → ∞,つまり温度Ｔが極低温のように低い場合には,磁化されて生じる単位体積当りＮ個の原子の磁気モーメントの全ての外部磁場Ｈ方向成分がそろって,最大値μ_Bｇ_JＪを取るようになること,

　つまり全ての原子の磁気モーメントがそろって磁場の方向を向くようになることを意味しています。

　短いですが今日はこれまでとします。 

参考文献：金森 順次郎 著「磁性」(培風館)

PS:(2010年５/16追記):

Brillouin関数:Ｂ_J(ｘ)≡{(2Ｊ＋1)/(2Ｊ)}coth{(2Ｊ＋1)ｘ/(2Ｊ)}－1/(2Ｊ)coth{ｘ/(2Ｊ)}においてＪ→ ∞ の極限を取ってみます。

このとき,右辺第１項＝{(2Ｊ＋1)/(2Ｊ)}coth{(2Ｊ＋1)ｘ/(2Ｊ)}→ coth(ｘ)です。

一方,coth{ｘ/(2Ｊ)}＝cosh{ｘ/(2Ｊ)}/sinh(ｘ/(2Ｊ)}です。

そして,lim_J→∞sinh(ｘ/(2Ｊ)})}＝0,lim_J→∞cosh{ｘ/(2Ｊ)}＝1ですから,lim_J→∞coth{ｘ/(2Ｊ)}＝∞です。

しかし,lim_ｙ→0{sinh(ｙ)/ｙ}＝1なのでlim_J→∞{1/(2Ｊ)}/sinh(ｘ/(2Ｊ)}＝(1/ｘ)lim_J→∞{ｘ/(2Ｊ)})}/sinh(ｘ/(2Ｊ)}＝1/ｘです。

以上から,lim _J→∞Ｂ_J(ｘ)＝coth(ｘ)－1/ｘです。右辺はLangevin(ランジュバン)関数と呼ばれる関数に一致しています。

すなわち,Ｌ(ｘ)≡coth(ｘ)－1/ｘで定義されるｘの関数Ｌ(ｘ)をLangevin関数といいます。

Ｊ→ ∞ の極限の磁性はＪが連続的で全ての値を取り得るという古典的極限に相当しています。

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