電場と電束密度,磁場と磁束密度(2)

　前記事の続きです。以下では,電場に双対な場である磁場について詳しく解説したいと思います。

　本題に入る前に,電磁気学を学ぶ際の背景事情を述べてみます。

大学の学部で言えば,どちらかと言えば基礎科学としての理論を中心に考える傾向があって,言い過ぎかもしれないが詩や小説を書く文学などと同じく,直接には世間的に何の役にも立たず単なる興味で物理学を学ぶだけの理学部の物理学科の履修科目としての電磁気学があります。

一方,臨床に関わる医師のように実際に直接的に世間の役に立つ,いわゆる実学としての技術を体得するのを主目的とし,そうした技術を裏付ける理論としての物理学を必須の教養科学として学ぶと想像される工学部の幾つかの学科の履修科目にも電磁気学があります。

そうして,同じ物理学の一分野である古典電磁気学を学ぶのに際し,一般には,使うテキストさえ異なるという背景があります。

もっとも理学部の物理学科でも,大きく分けて実験物理と理論物理があって,かなり学問的性格は異なります。

まあ,実学だと言われている医学部を卒業して医学博士などを取っていても臨床のための医師免許も持ってなくて,野口英世などに代表されるように基礎医学にたずさわっていて,理学部の生物学科や農学部に近い分野の人もいます。

(実は,私の,ある病気の30年にわたる主治医も医学部のない大学で理学部の生物学の教授をしていて,確か今年定年退官を迎える予定です。)

別に区別する必要はないと思われるのに専門書を置いている比較的規模の大きい書店でも,理学系統の書籍と工学系統の書籍は離れた違う書棚にあって古典電磁気学であれば,多くの専門書については「電磁気学」とか「電磁気学入門」という両者の書棚で共通した名称になっていますが,工学棚にある書籍には理学棚にはない「電気磁気学」という少し古めの呼称の書籍などもあります。

まあ,通常は教授,助教授,講師,助手など大学の教師は理学部の先生は理学部出身で工学部の先生は工学部出身ですが,どちらか一方の学部しかない大学もあるし偶にこれと逆の場合もあります。

そして,大方の電磁気学のテキストで言えば,理学部で使っているテキストは理学部の先生が書いたもので,工学部で使っているテキストは工学部の先生が書いたものですね。

電磁気学だけではなく熱物理学や流体力学なども理学,工学両方ありますが,例えば工学部の書棚には内容は流体力学とほぼ同じでも「水力学」とか,少し技術的部分が入っている「水理学」とか,応用的色彩の濃い名称のものもあります。

まあ,別にいがみ合う必要はないと思われるのに,学問分野でも文科系と理科系という区別でのレッテル貼りと同じく,さらに狭い理科系の中でも世間で言う縄張り争いのようなもの,あるいはお互いのプライドとコンプレックスの入り混じった諍いのようなものがあるようです。

私自身は理学部出身ですが最初に就いていた仕事は工学畠ですし,これまで必要に迫られて理学,工学両系統の書籍をいろいろと買い集めて読んできていますが,これらは題名がほとんど同じの同じ分野のそれなら,専門用語の使い方など少しの違いを除けば同じだと感じています。

今の本には,昔日本語で書かれた書籍が不足していて共通の洋書で学んでいたような世代の人が書いた著書が多いですから,これも当然でしょう。

私の持っている洋書の中でも流体力学関係ではLamb(ラム)著の「Hydrodynamics」や,Chandrasekhar(チャンドラセカール)著の「Hydrodynamic and Hydromagnetic stability」などもありますが,このうち,ラムの本などは訳者が理学畠のせいか邦訳書では「流体力学」(今井功,橋本英則 訳)という名称で出版されてるようです。

しかし,これは単に直訳すると「水力学」ですし,別に"彼ら＝原著者"を理学者だの工学者だのと区別する必要もないと思います。

物性科学の,"superconductorやsuperconductivity"などという専門用語は理学者なら「超伝導」,工学者なら「超電導」と訳して,こちらの方が正しいなどと主張し合っているらしいということも聞きますが,これなども変な話で結構むなしいものですね。

なぜ,こうした話をしたかというと,電磁気理論においてマクスウェル(Maxwell)とファラデー(Faraday)をめぐる相克があるとしたら,これもこうした流れと似ていて工学分野では磁場を磁界と呼ぶこととか,磁束密度(磁場)Ｂと磁場の強さ(磁界)Ｈのどちらを先に定義するか?などの水掛け論などの存在も不要なものです。

電場と磁場の２種類の量を定義して表現するのに,初めからＥ,Ｄ,Ｈ,Ｂと４種類の場の概念を用いる必要があるという不条理さを感じるのも,実際には必要なことなのかもしれないけれど,ひょっとしたら,こうした諍いの帰結ではないかと思ったからです。

　しかし,余談はこのくらいにして,本題の磁場の話に入りましょう。理学部流?の入り方を採用することにして,まず,磁場を表現する量として磁束密度Ｂを導入することから始めます。

まず,磁束密度Ｂは,電束密度Ｄと同じように"磁場があるところには目には見えないが"磁力線の束＝磁束"が存在している。"という概念に基づくものです。

電束密度と同様,ある向きの単位面積をそれに垂直にＢ本の磁力線が貫いているなら,その点での磁束密度はＢであるといい,その磁力線の向きを持つベクトルＢを磁束密度ベクトルと呼ぶわけです。

そして,真空中では磁力線は途切れることなく続いているが,もしも空間のある点にそれの湧き出しがあるなら,その点に"正の磁荷,あるいはＮ極がある"といい,吸い込みがあるなら"負の磁荷,あるいはＳ極がある"といいます。

それ故,磁力線の向きは正の磁荷から負の磁荷,あるいはＮ極からＳ極に向かうものと約束し,"湧き出しや吸い込みでの磁気量＝磁荷"はそこで湧き出すか吸い込むかの磁力線の代数的本数である,と約束します。

　上のように定義すると,電束密度の場合と同じようにガウスの定理が成り立ちます。

　すなわち,"任意の閉曲面Ｓを通って出てゆく磁力線の総数はＳの内部(Ｓで囲まれた体積＝Ｖ)に含まれる磁気量に等しい。"という定理が得られます。

　つまり,磁荷密度ρ_mを単位体積当りの磁気量(磁荷)とすると,∫_Vρ_mｄＶ＝∫_SＢｄＳが成立します。ただしＢｄＳ＝(Ｂｎ)ｄＳです。

そして,この定理は数学におけるガウスの法則,lim _V→0[(∫_SＢｄＳ)/Ｖ]＝divＢによって,divＢ＝ρ_mという微分型の形に表わすこともできます。

そして,Ｂに基づいて真空中での磁場の強さ(磁界)ＨをＨ≡Ｂ/μ₀で定義すると,divＨ＝ρ_m/μ₀とも書けます。

μ₀は慣例によって真空の透磁率と呼ばれる定数です。

さらに,磁束密度Ｂも電場Ｈも重ね合わせの原理を満たす,つまり磁束密度Ｂ₁,Ｂ₂で表わされる２つの磁場があれば,ｃ₁,ｃ₂を任意の定数としてＢ≡ｃ₁Ｂ₁＋ｃ₂Ｂ₂で表わされる磁場も存在し得るとします。

すなわち,磁場は線形性を持っているとします。

磁束,あるいは磁力線から得られるガウスの定理を満たす磁場は"湧き出し,あるいは吸い込み＝点磁荷"に対して等方的であろう,という物理的直観から,磁荷ｑ_mの点磁荷か１つだけあって,あらゆる方向に合計ｑ_m本の磁力線が出ているとしたとき,湧き出しと吸い込み以外では磁力線が途切れることはないので,点磁荷を中心として半径ｒの球面全体を貫く磁力線の総本数もｑ_m本となるはずです。

そして,真空中の磁場の空間的等方性から,点磁荷を中心とした半径ｒの球面上の任意の点での磁場ベクトルＨ,あるいは磁束密度ベクトルＢは,全てその大きさが等しく球面に垂直な方向を持ち,中心の点磁荷が正(Ｎ極)なら外向き,負(Ｓ極)なら内向きであろうと考えられます。

そして,球面の総面積は4πｒ²ですから,球面を貫く全磁束＝全磁力線は4πｒ²Ｂで与えられるはずです。

したがって,4πｒ²Ｂ＝ｑ_mなる等式から,Ｂ＝ｑ_m/(4πｒ²),あるいはＢ＝{ｑ_m/(4πｒ²)}(ｒ/ｒ)＝ｑ_mｒ/(4πｒ³)なる式が得られます。

これと磁場Ｈの定義:Ｈ≡Ｂ/μ₀から,ＨはＨ＝{1/(4πμ₀)}(ｑ_m/ｒ²)}(ｒ/ｒ)＝{1/(4πμ₀)}(ｑ_mｒ/ｒ³)と書けます。

ちなみに,単位の話をすると,ＭＫＳＡ単位では磁荷ｑ_mと磁束の本数は同じ単位:Ｗb(Weber＝Ｊ/Ａ:ウェーバー)を持つとされていて,それゆえ磁束密度Ｂの単位は(Ｗb/ｍ²)です。

そして,その意味は後述する予定ですが,真空の透磁率はμ₀＝4π×10^-7(Ｎ/Ａ²)なる値と単位で与えられることがわかっています。

そこで磁場の強さ(磁界)Ｈ≡Ｂ/μ₀は(Ｗb/ｍ²)/(Ｎ/Ａ²)＝{(Ｊ/Ａ)/ｍ²)}/(Ｎ/Ａ²)＝(Ａ/ｍ)なる単位で表わされます。

ここでＪ＝Ｎｍはジュール(Joule),Ｎはニュートン(Newton),Ａ＝Ｃ/sはアンペア(Ampere;Ｃはクーロン(Coulomb))です。

これらの単位の意味を理解するには磁束密度や磁場,および磁荷や電流と磁力の関係,つまり応用力学の一分野としての磁気学の位置を知る必要があります。

ここまでは前記事で電束密度と電場について解説した際の文章において,電束密度Ｄ,電場Ｅをそれぞれ磁束密度Ｂ,磁場Ｈに,そして電荷ｑ,電荷密度ρをそれぞれ磁荷ｑ_m,磁荷密度ρ_mに機械的に置き換えただけなのですが,ここで今まで残しておいた磁力と磁場,あるいは磁力と磁束密度の関係を述べておきます。

まず,"磁力が働くとされている空間内の点に磁荷の大きさがｑ_mの試験磁荷を置いて,これに働く力がＦであるとき,Ｆをｑ_mで割った比(Ｆ/ｑ_m)を取って,これのｑ_m→ 0 の極限を取り,これをＨと書いて磁場(磁界)という。

"あるいは,"単位磁荷当りに働く磁力をＨと書いて磁場という。"のように電場Ｅを電気力から定義したのと同じ表現で書いてみます。

もちろん,この定義でもいいのですが,実は磁気は電気と完全に対称な概念とは言えず,ある"決定的な違い"があります。

電気の場合には電荷というのは観測可能な量であって,比較的明確な意味を持っていたのに対し,磁気の場合にはそれに対応するとされる磁荷ｑ_mというのは一体何者なのか？というある種の不明瞭さがあることがわかっていて,磁場についての上の表現にはやや違和感があります。

すなわち,"正あるいは負の磁荷が単独で存在することは不可能である。",あるいは,"この世の中に単独磁荷＝磁気単極子(モノポール)というものは存在するとしても現在までのところ発見されていない。"というのが,電気との決定的な違いです。

古典電磁気学では,正あるいは負の磁荷(Ｎ極あるいはＳ極)が単独で存在することはなく,磁荷(磁極)は大きさが等しい正負(ＮＳ)の磁荷(磁極)が無限小の距離で並ぶ対として,つまり流体力学でのダランベールの背理で現われる"２重湧き出し"と同じように磁気双極子(ダイポール)という形でしか存在し得ないとされています。

ちなみに,磁気単極子,あるいはモノポールに関係した私のブログの記事が2007年8/24の「磁気単極子(モノポール)」,8/25の「磁気単極子(モノポール)(補遺)」にありますので,よかったら参照してみてください。

(既に私のブログのバックナンバーには,多くの物理学,数学のトピックスが揃っていますから,よろしかったら必要に応じて,検索するなりしてご覧ください。)

しかし,敢えてＦ＝ｅ_mＨ,Ｈ＝{1/(4πμ₀)}(ｑ_m/ｒ²)}(ｒ/ｒ)＝{1/(4πμ₀)}(ｑ_mｒ/ｒ³)なるモノポール的な表現を取ると,磁力はＦ＝ｅ_mＨ＝(ｋ_mｅ_mｑ_m/ｒ²)(ｒ/ｒ),ｋ_m＝1/(4πμ₀)となって,形の上では電気力のクーロンの法則と全く同じになります。

そして,さらに前記事で静電場Ｅ＝Ｅ(ｒ)が位置ｒのあるスカラー関数,"静電ポテンシャル＝電位"φ(ｒ)によって,Ｅ(ｒ)＝－gradφ(ｒ)＝－∇φ(ｒ)と表わせるという事実からのアナロジーで,静磁場ＨもＨ(ｒ)と表示して,これをＨ(ｒ)＝－gradφ_m(ｒ)＝－∇φ_m(ｒ)なる形で表わすスカラー関数φ_m(ｒ)があるとします。

このφ_m(ｒ)を"静磁ポテンシャル＝磁位"と呼びます。

すると,位置ｒ₀に単一の点磁荷があるとした場合の磁場Ｈ(ｒ)＝{1/(4πμ₀)}(ｑ_m/Ｒ²)}(Ｒ/Ｒ),Ｒ≡ｒ－ｒ₀を表わす磁位関数φ_m(ｒ)は,Ｒ→ ∞ でφ_m(ｒ)→ 0 なる境界条件を満たすとすればφ_m(ｒ)＝ｑ_m/(4πμ₀Ｒ)となります。

そこで,磁気モーメントがｍ₀≡ｑ_m0ｄ₀(ｄ₀は無限小)で与えられる磁気双極子の磁位は,φ_dm(ｒ)＝{ｍ₀/(4πμ₀)}grad₀(1/|ｒ－ｒ₀|)＝{ｍ₀/(4πμ₀)}∇₀(1/|ｒ－ｒ₀|)＝{1/(4πμ₀)}{ｍ₀(ｒ－ｒ₀)/(|ｒ－ｒ₀|³)}となります。

したがって,この"磁気双極子＝磁気モーメントｍ₀の磁石"による磁場(磁界)はＨ(ｒ)＝－gradφ_dm(ｒ)＝－∇φ_dm(ｒ)＝{－1/(4πμ₀)}[ｍ₀/(|ｒ－ｒ₀|³)－3{ｍ₀(ｒ－ｒ₀)}(ｒ－ｒ₀)/(|ｒ－ｒ₀|⁵)]です。

一方,一般の磁場(磁界)Ｈ(ｒ)がある場合に,位置ｒにあって磁気モーメントがｍ≡ｑ_mｄの磁石に働く力Ｆ(ｒ)はＦ(ｒ)＝lim _d→0[ｑ_m{Ｈ(ｒ＋ｄ/2)－Ｈ(ｒ－ｄ/2)}]＝(ｍ∇)Ｈ(ｒ)と書けます。

Ｈ(ｒ)が磁気モーメントｍ₀の磁気双極子による磁場の場合には磁力は,Ｆ(ｒ)＝(ｍ∇)Ｈ(ｒ)にＨ(ｒ)＝－gradφ_dm(ｒ)＝－∇φ_dm(ｒ)＝{－1/(4πμ₀)}[ｍ₀/(|ｒ－ｒ₀|³)－3{ｍ₀(ｒ－ｒ₀)}(ｒ－ｒ₀)/(|ｒ－ｒ₀|⁵)]を代入したものとなります。

これの計算はかなり複雑になると予想されますから,具体的な計算は割愛します。

さて,見方を変えて,磁束密度Ｂ＝Ｂ(ｒ)に着目します。

先に述べたように磁気単極子が存在しないということは,磁気を帯びた物体なら必ずその表面の一方に正極＝Ｎ極,他方に負極＝Ｓ極が同じ大きさの対として現われ,これをどんなに細かく切り刻んでも両端には金太郎飴のように際限なく正極と負極(Ｎ極とＳ極)が対で現われるということを意味します。

"双極子＝２重湧き出し"では常に"(湧き出し＋吸い込み)＝ゼロ"であるという事実によって,磁束密度Ｂ＝Ｂ(ｒ)に対するガウスの定理∫_SＢｄＳ＝∫_Vρ_mｄＶ,あるいはdivＢ＝ρ_mは,常に∫_SＢｄＳ＝0,あるいはdivＢ＝∇Ｂ＝0 となって簡単になります。

そして,経験によって電場Ｅと磁束密度Ｂが共存している中を電荷がｑの粒子が速度ｖで運動するとき,これには電気力と共にローレンツの力と呼ばれる磁力が働き,位置ｒでの電気力と磁力の合力はＦ＝ｑ(Ｅ＋ｖ×Ｂ)という形に書けることがわかっています。

特に磁場Ｂだけがあって,電場Ｅはゼロのときには働くのは磁力だけであり,Ｆ＝ｑ(ｖ×Ｂ)です。

ここで真空中では,磁束密度と磁場の強さ(磁界)の関係がＢ＝μ₀Ｈで与えられることを考慮すると,真空中でのガウスの定理は,divＨ＝∇Ｈ＝0 と同等であり,また電荷がｑの粒子が速度ｖで運動するとき,これに働く力はＦ＝(μ₀ｑ)(ｖ×Ｈ)とも表わせます。

ここで同じ磁場Ｈによって働く磁力を表わす２つの表現式Ｆ＝(ｍ∇)ＨとＦ＝(μ₀ｑ)(ｖ×Ｈ)があることになるので,もしも双方の磁力の働く対象である運動する電荷と磁気双極子が全く同じものを表わすような場合があれば,そのときこれらに働く力の表現は一致する必要があると考えられます。

しかし,磁気モーメントｍを持つ"磁石＝磁気双極子"のは磁荷の対であるという意味では,単極子ではなく双極子であり,ある明確な向きを持つ磁場によって磁石に働く力は無限小距離だけ離れた双極子の正負の磁荷(磁極)に対し,大きさが等しく向きが反対ですから,もしも作用点が全く同じであれば釣り合って磁石は動かないはずです。

しかし,無限小距離とはいえ,空間的に離れた双極子であるという意味では,磁力が働くのは同じ作用点ではないので,合力はゼロですが偶力として,トルク(能率＝力のモーメント)はゼロでないはずです。

実際,一様磁場の中に磁針を置くと,それは引き付けられたりして平行移動するのではなく,その場で回転してＮとＳを結ぶ方向が磁力線の方向と一致するとトルクがゼロになって静止することを我々は常識として知っています。

一方,我々の経験では,鉄などの磁性体が磁化されて磁石になったとき,それが別の磁石の磁場の中にあれば,単に回転するだけではなく,引き寄せられることも知っているので,上の磁針についての知見とは矛盾するように見えます。

しかし,現実の磁化された磁石は,大きさのない質点と同一視できるような小さな磁針とは違って,有限な大きさを持っており,しかもそれに対して磁力を及ぼす別の磁石の磁場は一様ではなくて,磁石の近くでは磁力が大きく,遠くでは小さいという分布を持っています。

したがって,付近に磁石を置けば,そのＮ極に働く力とＳ極に働く力は向きは逆ですが,位置が違っているので,その大きさが等しいわけではないため,当然引き寄せられますから,別に矛盾ではありません。

というわけで,磁場の中で速度ｖで運動する電荷ｑの粒子と磁気モーメントｍ≡ｑ_mｄを持つ"磁石＝磁気双極子"は一方にはゼロでない力が働き,他方に働く合力はゼロなので,そのままで単純に同一視するわけにはいきません。

そこで今,この電荷ｑの荷電粒子が位置ｒを中心にしたある微小回路Ｃ上の各点で速度ｖを持ち動径ｒ'で定常的に周回して環状電流をなす場合を想定し,これと磁気双極子ｍを同一視することを考えます。

この周回運動の周期はＴであるとしておきます。

このとき荷電粒子の軌道中の微小時間ｄｔの間に移動する微小部分ｄｒ'＝ｖｄｔに働く力はｄＦ＝(μ₀ｑ){ｖ×Ｈ}ｄｒ' ＝(μ₀ｑｖ){ｖ×Ｈ}ですから,回路全体に働く合力は確かにゼロ:∫_CｄＦ＝0です。

しかし,Ｃの中心ｒの回りの全トルクはＮ＝∫_C(ｒ'×ｄＦ)＝∫₀^T[(μ₀ｑｖ){ｒ'×(ｖ×Ｈ)}]ｄｔ＝∫₀^T[(μ₀ｑｖ){(ｒ'Ｈ)ｖ－(ｒ'ｖ)Ｈ}]ｄｔとなります。

さらに周回軌道Ｃの動径ｒ'とｄｒ'＝ｖｄｔは,常に直交するので回路Ｃの上では(ｒ'ｖ)＝0 となることから,トルクについてＮ＝∫_C[ｒ'×ｄＦ]＝∫₀^T[(μ₀ｑｖ)(ｒ'Ｈ)ｖ]ｄｔなる表式が得られます。

ところで,ｄｒ'/ｄｔ＝ｖなので(ｄ/ｄｔ){(ｒ'Ｈ)ｒ'}＝(ｒ'Ｈ)ｖ＋(ｖＨ)ｒ'が成立します。

これと恒等式:(ｒ'×ｖ)×Ｈ＝(ｒ'Ｈ)ｖ－(ｖＨ)ｒ'とを辺々加え合わせると,(ｄ/ｄｔ){(ｒ'Ｈ)ｒ'}＋(ｒ'×ｖ)×Ｈ＝2(ｒ'Ｈ)ｖとなります。

左辺の第１項を１周期にわたって時間積分すると∫₀^T(ｄ/ｄｔ){(ｒ'Ｈ)ｒ'}＝0 となってゼロになるので,これを利用すると∫₀^T[(ｒ'Ｈ)ｖ]ｄｔ＝(1/2)∫₀^T[(ｒ'×ｖ)×Ｈ]ｄｔを得ます。

以上から,この環状電流の全トルクはＮ＝∫_C(ｒ'×ｄＦ)＝(μ₀ｑｖ/2)[∫₀^T(ｒ'×ｖｄｔ)]×Ｈと書けることがわかりました。

そして一方,磁気モーメントがｍ≡ｑ_mｄの磁石に働く偶力のトルクＮのもう１つの表現は,単極磁荷に働く力をＦ≡ｑ_mＨとしてＮ＝lim _d→0[ｄ×Ｆ]＝lim _d→0{ｄ×ｑ_mＨ}＝ｍ×Ｈなる形で与えられます。

以上から,ｍと(μ₀ｑｖ/2)[∫₀^T(ｒ'× ｖｄｔ)]＝(μ₀ｑｖ/2)[∫_C(ｒ'×ｄｒ')]とを等しいと置けば,トルクＮに対する２つの表現は完全に一致することがわかります。

ところで,(1/2)∫_C(ｒ'×ｄｒ')は大きさがＣの内部面積ΔＳに等しく,向きは軌道面に垂直なベクトルを表わします。

それをΔＳと表示すれば,"電荷ｑの荷電粒子が速さｖで内部面積ΔＳを持つ微小回路をまわる。"という電流の大きさがＩ＝ｑｖの環状電流は,結局,ｍ＝μ₀ｑｖΔＳ＝μ₀ＩΔＳなる磁気双極子と等価であることが示されました。

以上の話は,磁場の強さ(磁界)Ｈを中心とした定義に基づく表現になっていますが,磁束密度Ｂを中心とした表現として磁気モーメントを改めてμ≡ｍ/μ₀によって定義すれば,磁力の表現はＦ＝(ｍ∇)Ｈの代わりにＦ＝(μ₀μ∇)Ｈ＝(μ∇)Ｂとなります。

磁気モーメントは,ｍ＝μ₀ｑｖΔＳ＝μ₀ＩΔＳの代わりにμ＝(ｑｖ/2)[∫_C(ｒ'×ｄｒ')]＝ＩΔＳと表わされます。

　途中ですが,話はまだまだ長くなりそうなので,今日はひとまず,ここまでとします。

参考文献：砂川 重信 著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店),高橋秀俊 著「電磁気学」(裳華房),ファインマン(R.P.Feynman)(宮島 龍興 訳)「ファインマン物理学Ⅲ(電磁気学)」(岩波書店)他

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