電場と電束密度,磁場と磁束密度(3)

記事の続きです。前回は中途半端なところで終わりました。そこでさらに続きを書きます。

電場がなくて,磁束密度がＢの磁場のみがある場合,その中では速度ｖで運動する電荷ｑの帯電体にはローレンツの力と呼ばれる磁力:Ｆ＝ｑ(ｖ×Ｂ)が働きます。

一般に電流Ｉがある場合,これを与えるキャリアが電荷－ｅ(ｅ＞0)の電子Ｎ_e個であれば,電流ベクトルはＩ＝－Ｎ_ee＜ｖ＞と表現されます。＜ｖ＞は電子の平均速度です。

あるいは,電子群を連続体近似し,それによる電荷密度をρとすれば,電子による"電流密度ベクトルｉ＝単位時間に単位面積を通過する電荷量"はｉ＝ρｖで与えられます。

そこで,それの媒体である導線の断面積σを通過する全電流はＩ＝∫_σｉｄσとなります。

それ故,長さがΔｓで体積がΔＶ＝σΔｓの導線の微小素片に働く磁気力はｄＦ＝∫_ΔＶ(ｉ×Ｂ)ｄＶ＝ＩΔｓ×Ｂと表わせます。

この力はアンペール(Ampere')の力と呼ばれています。

これはローレンツの力の表式:Ｆ＝ｑ(ｖ×Ｂ)でＦをｄＦ,ｑｖをＩΔｓ＝∫_ΔＶｉｄＶに置き換えたものに相当します。

前の記事では,磁荷の対という描像で磁気双極子モーメントを定義してこれに働く磁気力と,運動する電荷に働くローレンツの力を等値することから運動電荷に由来する磁気モーメントの表現を得ました。

すなわち,Ｆ＝ｑ(ｖ×Ｂ)＝(ｍ∇)Ｈ＝(μ∇)Ｂとおくことにより,磁気モーメントμの電荷による表現として,μ＝(ｑｖ/2)[∫_C(ｒ'×ｄｒ')]＝IΔＳ,ｍ＝μ₀μを得ました。

そして,この式は,μ＝ＩΔＳ＝(Ｉ/2)[∫_C(ｒ'×ｄｒ')]＝(1/2)∫_C∫_σｉｄσ (ｒ'×ｄｒ')＝(1/2)∫_C∫_σ{ｒ'×ｉ(ｒ')}ｄ³ｒ'とも変形できることがわかります。

ただし,ΔＳは導線の断面積ではなく,環状電流の描く閉曲線Ｃで囲まれた領域の面積です。

そして,位置ｒ₀に磁気双極子μ,あるいはｍ＝μ₀μのみがある場合に生じる磁場Ｈ(ｒ)の磁位(磁気ポテンシャル)φ_m(ｒ)による表現はＨ(ｒ)＝－gradφ_m(ｒ)＝－∇φ_m(ｒ),φ_m(ｒ)＝grad₀{μ/(4πＲ)}＝∇₀{μ/(4πＲ)}＝{1/(4π)}{(μＲ)/Ｒ³},Ｒ≡ｒ－ｒ₀です。

すなわち,Ｈ(ｒ)＝{－1/(4π)}[μ/Ｒ³－3(μＲ)Ｒ/Ｒ⁵]です。

これの右辺のμに電流による磁気モーメントの表現:μ＝(1/2)∫_C∫_σ{ｒ'×ｉ(ｒ')}ｄ³ｒ'を代入することによって,これとは関係なく電流と磁場の関係式として発見されたアンペールの法則:∫_C Ｈ(ｒ)ｄｓ＝∫_S iｄＳ,または微分形の法則:rotＨ(ｒ)＝∇×Ｈ(ｒ)＝iを演繹的に導くことができたらいいな,と思いました。

しかし,そもそも一価連続な位置ｒのスカラー関数である磁位φ_m(ｒ)が存在して,Ｈ(ｒ)＝－gradφ_m(ｒ)＝－∇φ_m(ｒ)と書けるための必要十分条件はrotＨ(ｒ)＝∇×Ｈ(ｒ)＝0 となることです。

そこで,この表式では閉曲線Ｃで囲まれた面Ｓを貫く電流Ｉがゼロでない限り,磁位そのものが定義できないのでアンペールの法則と両立するはずはないと思われます。

では,そうした発想自体が本当に無理なのでしょうか。

もしも,アンペールの法則∫_C Ｈ(ｒ)ｄｓ＝∫_SiｄＳにおいて,"右辺＝Ｃで囲まれた面Ｓを通過する総電流"が,Ｓの中心ｒ＝ｒ₀にのみに集中して他はゼロの電流密度ｉ＝Ｉδ²(ｒ－ｒ₀)で与えられるなら等方性から,2πＲＨ(ｒ)＝I,(Ｒ≡ｒ－ｒ₀)が成立します。

これから,磁場はＨ(ｒ)＝I/(2πＲ),またはＨ(ｒ)＝{ＩＲ/(2πＲ²)}で与えられるはずです。

そして,この場合でも,敢えて磁位φ_m(ｒ)の存在を仮定して無理にＨ(ｒ)＝－gradφ_m(ｒ)＝－∇φ_m(ｒ)と書いてみます。

∫_A^BＨ(ｒ)ｄｓはＡ→Ｂの経路に依存する積分で,それ故,どこかに基準点Ｏを取ってＡの磁位をφ_m(Ａ)＝∫_O^AＨ(ｒ)ｄｓと定義しても,これは点Ａだけでは決まらない多価関数です。

しかし,一応形式的には∫_A^BＨ(ｒ)ｄｓ＝φ_m(Ａ)－φ_m(Ｂ)と書くことができます。

そして,特に経路がＡ＝Ｂを満たす閉路Ｃの場合なら∫_C Ｈ(ｒ)ｄｓ＝－[φ_m]_C となります。

したがって,アンペールの法則:∫_C Ｈ(ｒ)ｄｓ＝∫_SiｄＳ＝Ｉが成立することを認めるなら,この等式は左辺のＨ(ｒ)の線積分が経路Ｃを１回転するごとに,この磁場に対するＣ上の各点の磁位が周期的に[φ_m]_C＝－Ｉだけ増加することを意味します。

この場合には,磁位φ_m(ｒ)は確かに一価関数ではなく多価関数です。あるいはＣを定義したＳを含む面領域は多重連結です。

　実は上のような発想からアンペールの法則は既に述べた電場の法則,およびローレンツの力などと独立な法則(公理)ではなく,これらから何らかの方法で演繹的に導けるのではないかという希望的な固定観念にとらわれて,ここ数日間悩んでいたのでした。

　もっとも,"磁場は静止系の電場を運動系から見た相対論的効果である"などという知見を考慮すれば,別の観点からの演繹方法もあるとは思いますが,私は最初に思いついた発想の方に固執しました。

　昔からあることに取り組んでいて途中で脱線したときでも,そこで何らかのテーマが気になって,それに嵌ってしまうと,とことんのめりこんで地獄の底まで行ってしまう,というのが私の悪い癖なのですが。。

　こうした場合,大学やその種の研究機関などに属していれば,大抵は附属の図書館などもあり,相談相手にも事欠かないはずなのですが,如何せん,単なる趣味の独学ですし,近くに理系のこのレベルの質問や相談ができる相手が全くいないのは困ったものです。

　そもそも,現在日常的に付き合っている友人たちは,私に物理学や数学の専門的素養があるとか,そういう趣味があることを知っている人はいなくて,むしろ,そうしたことがバレたら敬遠されて友人関係もこわれる危険性もあるような人ばかりです。

そうしたことが質問,相談できる友人といえば,かつて同じ予備校の講師として知り合って友人だった５,６歳年下のＳ田先生くらいです。

私は偶には彼に会いたいと思っているのですが,何故かここ数年来全くの音信不通です。

彼は家庭を持っていて,独身の私の方からの電話連絡は迷惑らしく,昔は原則的に連絡は一方通行でしたから,今も私からは連絡しません。

私は常識的な感覚がなくて,他人から"天然"などと呼ばれているらしく,昔普通のサラリーマンだった頃に,直属の上司が怒っていることにも気づかないことが多かったくらい変な奴であったらしいです。

また,私には何の悪気もなくて,私の価値観では何でもないことを述べているのに,何故か相手が怒ったのに気づいてビックリしたこともしばしばですから,私の知らぬ間に無意識に"彼＝Ｓ田先生"を傷つけたり,彼が怒ったり不快に思うことをしたりしたことがあってそれが理由で嫌われてしまったのかもしれません。

　余談はさておき,どこかにアンペールの法則に対する私の上述の発想に似たようなことを書いたものがあればいいなと思って,まず私の20冊前後ある電磁気学関連の蔵書から調べてみました。

　またまた余談ですが,去年生活のために400冊程度の理科系の書物を処分したので蔵書はかなり減りました。

　元々少々経済的に余裕がなくても,飲食するものと書籍だけはできるだけ削らないようにしよう,という主義で,昔からすぐに読むわけではなくても,将来に必要になることを見越し,金があるときにコツコツと書籍を買いおきする習慣がありました。

　というわけで,かなり処分したにも関わらず,図書館でもないのに電磁気学ばかり20冊所持している,とかいう変なことになるのですね。

　そういえば,レコードやＣＤでも,同じクラシックの演奏曲で指揮者や演奏者が違うものが何枚もあるという贅沢もありますね。

　しかし,ジャクソンの大著やバークレーコースの本などは歴史とか導入方法にこだわらず,マクスウェル方程式を法則,公理として,それから演繹的に理論展開を行なう正統的な方法の本であるようだし,培風館シリーズの平川浩正などは,少しは参考になりましたが,むしろ工学系の本を参照すべきではなかろうか？などと思い煩いました。

　トンデモ的色彩も感じますが,関連した参考文献が多くて私の今のテーマには有用と思われた細野敏夫著の「メタ電磁気学」も手元にあったので参考にしてみましたが,ビンゴとはいきませんでした。

　まあ,悩んだときは書店めぐりをして何冊も立ち読みしながら,ひたすら同じ問題を考えていると,そのときには参考になる本,ましてやビンゴの本に当たることはまずないのですが,経験上,立ち読みしながら夢想しているだけで集中力が高まって,ながめている本とは無関係に何かがヒラめいて当面の疑問が解決することがよくあります。

　そこで,今回もそうした期待から池袋のジュンク堂書店で数時間立ち読みしていたら,何と工学棚ではなく理学棚でビンゴでした。

　理系の専門書としては1700円とえらく安い掘出し物です。

　阿部龍蔵著「電磁気学入門」(サイエンス社)です。

　阿部龍蔵氏の本なら,かつて難解な本ですが「統計力学(第２板)」(東京大学出版会)にも,お世話になっています。

　(この本「電磁気学入門」が専門書にしてはことの他安かったこともあり,現状ではあまり関係ない身分とはいえ,折角のゴールデンウィークなのに物理の本ばかりでもあるまい。と思って,読んだことのない作家だけど最近よく噂を聞く東野圭吾の小説「流星の絆」も合わせて衝動買いしてしまいました。)

　この程度の取るに足りないことでも,ウソでもいいから自分でヒネリ出したと言った方がカッコいいでしょうし,私も人間である以上自分独自の発見などを名誉と思う上昇志向性が皆無ではありません。

　ただ,私は純粋に結果が知りたいだけだし,単にわからないことが解決できればそれだけで嬉しいという性格なので,人まね,パクリだろうと理解の過程にはこだわりません。

　もっとも,自力で解決できるに越したことはありませんが。。

　そもそも学問とは"学ぶ＝まねぶ",つまりパクリの連続でスポーツの新記録ではありませんが,それだからこそ前の時代よりも今の時代の方が発展してきたのだろうと思っています。

　中世暗黒時代から,ルネサンスが起きた理由の一つに懐疑論がはやったこともあったらしいし,懐疑することももちろん必要だと思いますが,これまでの歴史的発展を理解して体得するだけでは飽き足らず,歴史に頼らずに全てのことを初めから自力で導くのでなければ気が済まない,とかの性格でそれを実行に移すのであれば寿命がいくらあっても足りませんからね。

　えらく脱線してしまいましたが,本題に戻ります。

磁気モーメントμがあるときの磁位は,φ_m(ｒ)＝μgrad₀{1/(4πＲ)}＝μ∇₀{1/(4πＲ)}＝{1/(4π)}{(μＲ)/Ｒ³}＝IΔＳcosθ/(4πＲ²)であることは既に述べました。

ここで,θはμとＲのなす角ですが,ΔＳcosθ/Ｒ²は位置ｒの点ＰがΔＳを見込む立体角ΔΩに等しいですから,φ_m(ｒ)＝ＩΔΩ/(4π)とも書けます。

そして,こうした多数の環状電流が互いに接触して並んで集まり,全体のＳ＝ΣΔＳを構成するときには,接触部分の逆向きの電流同士は相殺されて,Ｓ全体をまわる電流のみが残ります。

一方立体角も総和されて,Ω_P＝ΣΔΩとなり,これに対応する磁位Σφ_m(ｒ)を改めて,φ_m(ｒ)と定義し直せば,φ_m(ｒ)＝ＩΩ_P/(4π)となります。

Ω_PはＰから磁場の源を見込む角です。

ただし立体角にも符号があって,同じ面領域Ｓを反対側から見込む立体角にはマイナス符号が付くとしています。

したがって,∫_A^BＨ(ｒ)ｄｓ＝φ_m(Ａ)－φ_m(Ｂ)＝{Ｉ/(4π)}(Ω_A－Ω_B)であり,Ａ＝Ｂの閉曲線Ｃなら∫_CＨ(ｒ)ｄｓ＝{Ｉ/(4π)}[Ω]_C＝{Ｉ/(4π)}(Ω_A－Ω_B)(Ａ＝Ｂ)ですから,何のことはない右辺はゼロであって単に立体角で書き直したに過ぎないだけで,アンペールの法則∫_CＨ(ｒ)ｄｓ＝Ｉなんか出てこないじゃないか,と思えます。

しかし,ここで早合点せずに,少し発想を変えて,Ｃは単なる空間に仮想した１つの閉曲線であって,それを回るループ電流などはなく,Ｈ(ｒ)もＣを回る電流によって生じた磁場ではなく,このＨ(ｒ)の源となる大きさがＩのループ電流は別に存在するとして,この電流のループ経路をＣ'としそれが囲む平面領域をＳ'とします。

そして,このとき仮想閉曲線Ｃ上の１点Ａから一周してＢ＝Ａに戻るという経路Ｃに対する積分式∫_CＨ(ｒ)ｄｓ＝{Ｉ/(4π)}[Ω]_Cを考えてみます。

このとき,もしもＣがループ電流の閉じた経路Ｃ'と互いに素でＣがＣ'で囲まれた面Ｓ'を貫通することがない場合には,点ＡがＣ上を動いて回るとき,ＡからＳ'を見込む立体角Ω_Aは常に連続的に変わるので１回転したときの変化[Ω]_Cはゼロになります。

一方,ＣとＣ'が交叉してＣがＳ'を裏から表へと貫通する場合には,出発点ＡがＳ'の表の部分のごく近くにあって,そこからＳ'面を通過することなく１回転してＢ＝Ａ－ΔＣまで到達するとして,面Ｓ'の層を貫通する微小部分を無視すれば,表のＡから接着しているＳ'を見下ろして見込む半平面の立体角はΩ_A＝2πです。

他方,裏のＢ＝Ａ－ΔＣから接着しているＳ'を見上げて見込む立体角はΩ_B＝－2πです。

そこで,Ｓ'の中を貫通する微小部分を無視する限り,ＣがＳ'を貫通する場合には∫_CＨ(ｒ)ｄｓ＝{Ｉ/(4π)}[Ω]_C＝{Ｉ/(4π)}[ 2π－(－2π)]＝Ｉが成立することになります。

ＣがＳ'を貫通するのは見方を変えればＣ'がＳを貫通すること,つまりＩがＳを貫通するのと同じです。

そして,ＣのうちでＳ'の中を貫通する部分であるΔＣはいくらでも小さくすることができるので,元々これの寄与は無視してもよいと思われますから,結局,こうした論法でアンペールの法則を演繹的に説明できたような気がします。

一応,所期の目的が達成されたので,今日も中途ですがここで打ち切ってこの論題はまだまだ続きます。

参考文献：阿部 龍蔵 著「電磁気学入門」(サイエンス社),砂川 重信 著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店),ファインマン(R.P.Feynman)(宮島龍興 訳)「ファインマン物理学Ⅲ(電磁気学)」(岩波書店)他

※追伸:この程度の話は,別に阿部さんの本ではなく,高橋秀俊さん他,磁位＝磁気ポテンシャルを扱っている昔の著者の書いた本には大抵載っていることが後でわかりました。

昔学んだはずなのにその記憶がないのは,当時は恐らくちゃんと理解してなかったのでしょう。

オリジナルの発想ではないか？なんてトンデモない思い上がりで,赤っ恥ものですね。。。

既にわかっていたことを,数日間も悩むなんて愚の骨頂です。真面目に調べていたら王道があったのでした。。。

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最近の裁判(山口母子など)に思う。

　殺人被害者の身内の人物については本当に気の毒なことだとは思うが,被告は犯罪当時は未成年者でそれも殺したのは２人だけなので判例からすると無期相当だと私には思われるのに,マスコミに取り上げられたために当事者ではなくて対岸の火事にすぎない無関係の世論の後押しなどもあってまだ確審とは限らないが裁判で死刑にされるのはかわいそうだと思う。

　秋田の幼児殺害事件も本来はわれわれ都会に住む人間が知り得ない片田舎の三面記事的事件だと思われるのにマスコミに取り上げられたばかりに裁判で死刑が宣言されることを予想していたが,近年には珍しく死刑ではなかったのでホッとしたということもあります。

　当事者なら報復したいという気持ちはあるだろうが,そうではない人が国家権力を嵩に着てまるで全能の神のごとく人を審く,しかも人に死を宣告する,何と思い上がったことだろう。。

　国家権力の助けを借りることなく当事者が直接,冤罪では有り得ない犯人に報復するという行為なら,法律的には断罪されるけれど私は肯定的(むしろ大賛成)だが,司法が神のごとく制裁を加える思い上がりにはいずれバチが当たるだろう。

　戦時なども含めて殺人を犯す状況というのは,そもそも殺人者が平時の平静で正常な精神状態にあるとは思えないし,正常でないから責任能力がない＝罪には問えないなどと言ったら,これはトートロジー（同義語反復：堂々巡り）だろうから,どこかで正常と異常の線引きをしなければならない。

　こんな線引きが人間に可能だろうか？

　また火事場で火の粉や有毒ガスがあって死ぬかもしれないような状況に置かれたら,たとえそれが自分のせいで起きたことであっても,どんな恥ずかしいこと,どんな汚いことをしても,卑怯だと言われても,とにかく自分の身を守ろう命乞いをしようとするのは人情として当然だろう。

　それが潔くない,などとか言えるのは自分が火の粉もかからず鉄砲の玉も飛んでこない安全なところに身を置いているからに他ならないと思う。

　ジタバタせずに死刑を甘んじて受けるなどという精神状態があるなら,それも正常な精神かどうか疑わしい。

(追記："自己を弁護することを目的とした発言を繰り返した＝死刑を免れようとする行為を繰り返したこと”が悪いとか,潔くないとかいうような判決理由や,

　弁護側は事件の客観的事実について係争するよりも,いわゆる日本的浪花節的なお情けにすがるべき＝情状酌量に訴えるべき

　というような裁判という場にふさわしいとは思われない感情論の非論理的な意見が多いことに疑問を感じたことや。。。,

　そもそも無期か死刑か半々くらいの微妙な裁判だと思うのに,死刑を歓迎する風潮が一方的に強すぎるというようなファッシズム的な危険性を感じたというのもこの記事を書いた動機ですね。。。。)

　一応,勘違いされないために言っとくけど,俺の愛する身内に危害を加える奴は裁判なんてまだるっこしい手続きは抜きで,ぶっ殺したるで!!　

　まあ,その殺人の罪で俺が死刑になっても,それは構わん。。。

　また,これとは関係ない話だが,スポンサーには逆らえないのだろうが,いっぱいあるニュースの中から.ジャーナリストとしてのマスコミがどの話題を重要視して取り挙げるか？というのが世論の誘導に大きく影響するという自覚を持っているのかどうか,疑わしい。

　昔からあった視覚障がい者の偽装などの話題を,ことさら今取り上げる。。という姿勢にはとても疑問を感じる。

　全く逆行している。ニュースはごまんとあって,社会への影響を慮ると真実だからといってニュースバリューのために何を報道してもよい。というわけではないだろう。。

　(そもそも現代社会で全ての話題を取り上げて報道することなど不可能なのだから,当然報道する者の主観によるプライオリティに依存しているはず。。。)

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　おやおや、そこの静電気バチバチの人、いいものありますよ。。。

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電場と電束密度,磁場と磁束密度(2)

　前記事の続きです。以下では,電場に双対な場である磁場について詳しく解説したいと思います。

　本題に入る前に,電磁気学を学ぶ際の背景事情を述べてみます。

大学の学部で言えば,どちらかと言えば基礎科学としての理論を中心に考える傾向があって,言い過ぎかもしれないが詩や小説を書く文学などと同じく,直接には世間的に何の役にも立たず単なる興味で物理学を学ぶだけの理学部の物理学科の履修科目としての電磁気学があります。

一方,臨床に関わる医師のように実際に直接的に世間の役に立つ,いわゆる実学としての技術を体得するのを主目的とし,そうした技術を裏付ける理論としての物理学を必須の教養科学として学ぶと想像される工学部の幾つかの学科の履修科目にも電磁気学があります。

そうして,同じ物理学の一分野である古典電磁気学を学ぶのに際し,一般には,使うテキストさえ異なるという背景があります。

もっとも理学部の物理学科でも,大きく分けて実験物理と理論物理があって,かなり学問的性格は異なります。

まあ,実学だと言われている医学部を卒業して医学博士などを取っていても臨床のための医師免許も持ってなくて,野口英世などに代表されるように基礎医学にたずさわっていて,理学部の生物学科や農学部に近い分野の人もいます。

(実は,私の,ある病気の30年にわたる主治医も医学部のない大学で理学部の生物学の教授をしていて,確か今年定年退官を迎える予定です。)

別に区別する必要はないと思われるのに専門書を置いている比較的規模の大きい書店でも,理学系統の書籍と工学系統の書籍は離れた違う書棚にあって古典電磁気学であれば,多くの専門書については「電磁気学」とか「電磁気学入門」という両者の書棚で共通した名称になっていますが,工学棚にある書籍には理学棚にはない「電気磁気学」という少し古めの呼称の書籍などもあります。

まあ,通常は教授,助教授,講師,助手など大学の教師は理学部の先生は理学部出身で工学部の先生は工学部出身ですが,どちらか一方の学部しかない大学もあるし偶にこれと逆の場合もあります。

そして,大方の電磁気学のテキストで言えば,理学部で使っているテキストは理学部の先生が書いたもので,工学部で使っているテキストは工学部の先生が書いたものですね。

電磁気学だけではなく熱物理学や流体力学なども理学,工学両方ありますが,例えば工学部の書棚には内容は流体力学とほぼ同じでも「水力学」とか,少し技術的部分が入っている「水理学」とか,応用的色彩の濃い名称のものもあります。

まあ,別にいがみ合う必要はないと思われるのに,学問分野でも文科系と理科系という区別でのレッテル貼りと同じく,さらに狭い理科系の中でも世間で言う縄張り争いのようなもの,あるいはお互いのプライドとコンプレックスの入り混じった諍いのようなものがあるようです。

私自身は理学部出身ですが最初に就いていた仕事は工学畠ですし,これまで必要に迫られて理学,工学両系統の書籍をいろいろと買い集めて読んできていますが,これらは題名がほとんど同じの同じ分野のそれなら,専門用語の使い方など少しの違いを除けば同じだと感じています。

今の本には,昔日本語で書かれた書籍が不足していて共通の洋書で学んでいたような世代の人が書いた著書が多いですから,これも当然でしょう。

私の持っている洋書の中でも流体力学関係ではLamb(ラム)著の「Hydrodynamics」や,Chandrasekhar(チャンドラセカール)著の「Hydrodynamic and Hydromagnetic stability」などもありますが,このうち,ラムの本などは訳者が理学畠のせいか邦訳書では「流体力学」(今井功,橋本英則 訳)という名称で出版されてるようです。

しかし,これは単に直訳すると「水力学」ですし,別に"彼ら＝原著者"を理学者だの工学者だのと区別する必要もないと思います。

物性科学の,"superconductorやsuperconductivity"などという専門用語は理学者なら「超伝導」,工学者なら「超電導」と訳して,こちらの方が正しいなどと主張し合っているらしいということも聞きますが,これなども変な話で結構むなしいものですね。

なぜ,こうした話をしたかというと,電磁気理論においてマクスウェル(Maxwell)とファラデー(Faraday)をめぐる相克があるとしたら,これもこうした流れと似ていて工学分野では磁場を磁界と呼ぶこととか,磁束密度(磁場)Ｂと磁場の強さ(磁界)Ｈのどちらを先に定義するか?などの水掛け論などの存在も不要なものです。

電場と磁場の２種類の量を定義して表現するのに,初めからＥ,Ｄ,Ｈ,Ｂと４種類の場の概念を用いる必要があるという不条理さを感じるのも,実際には必要なことなのかもしれないけれど,ひょっとしたら,こうした諍いの帰結ではないかと思ったからです。

　しかし,余談はこのくらいにして,本題の磁場の話に入りましょう。理学部流?の入り方を採用することにして,まず,磁場を表現する量として磁束密度Ｂを導入することから始めます。

まず,磁束密度Ｂは,電束密度Ｄと同じように"磁場があるところには目には見えないが"磁力線の束＝磁束"が存在している。"という概念に基づくものです。

電束密度と同様,ある向きの単位面積をそれに垂直にＢ本の磁力線が貫いているなら,その点での磁束密度はＢであるといい,その磁力線の向きを持つベクトルＢを磁束密度ベクトルと呼ぶわけです。

そして,真空中では磁力線は途切れることなく続いているが,もしも空間のある点にそれの湧き出しがあるなら,その点に"正の磁荷,あるいはＮ極がある"といい,吸い込みがあるなら"負の磁荷,あるいはＳ極がある"といいます。

それ故,磁力線の向きは正の磁荷から負の磁荷,あるいはＮ極からＳ極に向かうものと約束し,"湧き出しや吸い込みでの磁気量＝磁荷"はそこで湧き出すか吸い込むかの磁力線の代数的本数である,と約束します。

　上のように定義すると,電束密度の場合と同じようにガウスの定理が成り立ちます。

　すなわち,"任意の閉曲面Ｓを通って出てゆく磁力線の総数はＳの内部(Ｓで囲まれた体積＝Ｖ)に含まれる磁気量に等しい。"という定理が得られます。

　つまり,磁荷密度ρ_mを単位体積当りの磁気量(磁荷)とすると,∫_Vρ_mｄＶ＝∫_SＢｄＳが成立します。ただしＢｄＳ＝(Ｂｎ)ｄＳです。

そして,この定理は数学におけるガウスの法則,lim _V→0[(∫_SＢｄＳ)/Ｖ]＝divＢによって,divＢ＝ρ_mという微分型の形に表わすこともできます。

そして,Ｂに基づいて真空中での磁場の強さ(磁界)ＨをＨ≡Ｂ/μ₀で定義すると,divＨ＝ρ_m/μ₀とも書けます。

μ₀は慣例によって真空の透磁率と呼ばれる定数です。

さらに,磁束密度Ｂも電場Ｈも重ね合わせの原理を満たす,つまり磁束密度Ｂ₁,Ｂ₂で表わされる２つの磁場があれば,ｃ₁,ｃ₂を任意の定数としてＢ≡ｃ₁Ｂ₁＋ｃ₂Ｂ₂で表わされる磁場も存在し得るとします。

すなわち,磁場は線形性を持っているとします。

磁束,あるいは磁力線から得られるガウスの定理を満たす磁場は"湧き出し,あるいは吸い込み＝点磁荷"に対して等方的であろう,という物理的直観から,磁荷ｑ_mの点磁荷か１つだけあって,あらゆる方向に合計ｑ_m本の磁力線が出ているとしたとき,湧き出しと吸い込み以外では磁力線が途切れることはないので,点磁荷を中心として半径ｒの球面全体を貫く磁力線の総本数もｑ_m本となるはずです。

そして,真空中の磁場の空間的等方性から,点磁荷を中心とした半径ｒの球面上の任意の点での磁場ベクトルＨ,あるいは磁束密度ベクトルＢは,全てその大きさが等しく球面に垂直な方向を持ち,中心の点磁荷が正(Ｎ極)なら外向き,負(Ｓ極)なら内向きであろうと考えられます。

そして,球面の総面積は4πｒ²ですから,球面を貫く全磁束＝全磁力線は4πｒ²Ｂで与えられるはずです。

したがって,4πｒ²Ｂ＝ｑ_mなる等式から,Ｂ＝ｑ_m/(4πｒ²),あるいはＢ＝{ｑ_m/(4πｒ²)}(ｒ/ｒ)＝ｑ_mｒ/(4πｒ³)なる式が得られます。

これと磁場Ｈの定義:Ｈ≡Ｂ/μ₀から,ＨはＨ＝{1/(4πμ₀)}(ｑ_m/ｒ²)}(ｒ/ｒ)＝{1/(4πμ₀)}(ｑ_mｒ/ｒ³)と書けます。

ちなみに,単位の話をすると,ＭＫＳＡ単位では磁荷ｑ_mと磁束の本数は同じ単位:Ｗb(Weber＝Ｊ/Ａ:ウェーバー)を持つとされていて,それゆえ磁束密度Ｂの単位は(Ｗb/ｍ²)です。

そして,その意味は後述する予定ですが,真空の透磁率はμ₀＝4π×10^-7(Ｎ/Ａ²)なる値と単位で与えられることがわかっています。

そこで磁場の強さ(磁界)Ｈ≡Ｂ/μ₀は(Ｗb/ｍ²)/(Ｎ/Ａ²)＝{(Ｊ/Ａ)/ｍ²)}/(Ｎ/Ａ²)＝(Ａ/ｍ)なる単位で表わされます。

ここでＪ＝Ｎｍはジュール(Joule),Ｎはニュートン(Newton),Ａ＝Ｃ/sはアンペア(Ampere;Ｃはクーロン(Coulomb))です。

これらの単位の意味を理解するには磁束密度や磁場,および磁荷や電流と磁力の関係,つまり応用力学の一分野としての磁気学の位置を知る必要があります。

ここまでは前記事で電束密度と電場について解説した際の文章において,電束密度Ｄ,電場Ｅをそれぞれ磁束密度Ｂ,磁場Ｈに,そして電荷ｑ,電荷密度ρをそれぞれ磁荷ｑ_m,磁荷密度ρ_mに機械的に置き換えただけなのですが,ここで今まで残しておいた磁力と磁場,あるいは磁力と磁束密度の関係を述べておきます。

まず,"磁力が働くとされている空間内の点に磁荷の大きさがｑ_mの試験磁荷を置いて,これに働く力がＦであるとき,Ｆをｑ_mで割った比(Ｆ/ｑ_m)を取って,これのｑ_m→ 0 の極限を取り,これをＨと書いて磁場(磁界)という。

"あるいは,"単位磁荷当りに働く磁力をＨと書いて磁場という。"のように電場Ｅを電気力から定義したのと同じ表現で書いてみます。

もちろん,この定義でもいいのですが,実は磁気は電気と完全に対称な概念とは言えず,ある"決定的な違い"があります。

電気の場合には電荷というのは観測可能な量であって,比較的明確な意味を持っていたのに対し,磁気の場合にはそれに対応するとされる磁荷ｑ_mというのは一体何者なのか？というある種の不明瞭さがあることがわかっていて,磁場についての上の表現にはやや違和感があります。

すなわち,"正あるいは負の磁荷が単独で存在することは不可能である。",あるいは,"この世の中に単独磁荷＝磁気単極子(モノポール)というものは存在するとしても現在までのところ発見されていない。"というのが,電気との決定的な違いです。

古典電磁気学では,正あるいは負の磁荷(Ｎ極あるいはＳ極)が単独で存在することはなく,磁荷(磁極)は大きさが等しい正負(ＮＳ)の磁荷(磁極)が無限小の距離で並ぶ対として,つまり流体力学でのダランベールの背理で現われる"２重湧き出し"と同じように磁気双極子(ダイポール)という形でしか存在し得ないとされています。

ちなみに,磁気単極子,あるいはモノポールに関係した私のブログの記事が2007年8/24の「磁気単極子(モノポール)」,8/25の「磁気単極子(モノポール)(補遺)」にありますので,よかったら参照してみてください。

(既に私のブログのバックナンバーには,多くの物理学,数学のトピックスが揃っていますから,よろしかったら必要に応じて,検索するなりしてご覧ください。)

しかし,敢えてＦ＝ｅ_mＨ,Ｈ＝{1/(4πμ₀)}(ｑ_m/ｒ²)}(ｒ/ｒ)＝{1/(4πμ₀)}(ｑ_mｒ/ｒ³)なるモノポール的な表現を取ると,磁力はＦ＝ｅ_mＨ＝(ｋ_mｅ_mｑ_m/ｒ²)(ｒ/ｒ),ｋ_m＝1/(4πμ₀)となって,形の上では電気力のクーロンの法則と全く同じになります。

そして,さらに前記事で静電場Ｅ＝Ｅ(ｒ)が位置ｒのあるスカラー関数,"静電ポテンシャル＝電位"φ(ｒ)によって,Ｅ(ｒ)＝－gradφ(ｒ)＝－∇φ(ｒ)と表わせるという事実からのアナロジーで,静磁場ＨもＨ(ｒ)と表示して,これをＨ(ｒ)＝－gradφ_m(ｒ)＝－∇φ_m(ｒ)なる形で表わすスカラー関数φ_m(ｒ)があるとします。

このφ_m(ｒ)を"静磁ポテンシャル＝磁位"と呼びます。

すると,位置ｒ₀に単一の点磁荷があるとした場合の磁場Ｈ(ｒ)＝{1/(4πμ₀)}(ｑ_m/Ｒ²)}(Ｒ/Ｒ),Ｒ≡ｒ－ｒ₀を表わす磁位関数φ_m(ｒ)は,Ｒ→ ∞ でφ_m(ｒ)→ 0 なる境界条件を満たすとすればφ_m(ｒ)＝ｑ_m/(4πμ₀Ｒ)となります。

そこで,磁気モーメントがｍ₀≡ｑ_m0ｄ₀(ｄ₀は無限小)で与えられる磁気双極子の磁位は,φ_dm(ｒ)＝{ｍ₀/(4πμ₀)}grad₀(1/|ｒ－ｒ₀|)＝{ｍ₀/(4πμ₀)}∇₀(1/|ｒ－ｒ₀|)＝{1/(4πμ₀)}{ｍ₀(ｒ－ｒ₀)/(|ｒ－ｒ₀|³)}となります。

したがって,この"磁気双極子＝磁気モーメントｍ₀の磁石"による磁場(磁界)はＨ(ｒ)＝－gradφ_dm(ｒ)＝－∇φ_dm(ｒ)＝{－1/(4πμ₀)}[ｍ₀/(|ｒ－ｒ₀|³)－3{ｍ₀(ｒ－ｒ₀)}(ｒ－ｒ₀)/(|ｒ－ｒ₀|⁵)]です。

一方,一般の磁場(磁界)Ｈ(ｒ)がある場合に,位置ｒにあって磁気モーメントがｍ≡ｑ_mｄの磁石に働く力Ｆ(ｒ)はＦ(ｒ)＝lim _d→0[ｑ_m{Ｈ(ｒ＋ｄ/2)－Ｈ(ｒ－ｄ/2)}]＝(ｍ∇)Ｈ(ｒ)と書けます。

Ｈ(ｒ)が磁気モーメントｍ₀の磁気双極子による磁場の場合には磁力は,Ｆ(ｒ)＝(ｍ∇)Ｈ(ｒ)にＨ(ｒ)＝－gradφ_dm(ｒ)＝－∇φ_dm(ｒ)＝{－1/(4πμ₀)}[ｍ₀/(|ｒ－ｒ₀|³)－3{ｍ₀(ｒ－ｒ₀)}(ｒ－ｒ₀)/(|ｒ－ｒ₀|⁵)]を代入したものとなります。

これの計算はかなり複雑になると予想されますから,具体的な計算は割愛します。

さて,見方を変えて,磁束密度Ｂ＝Ｂ(ｒ)に着目します。

先に述べたように磁気単極子が存在しないということは,磁気を帯びた物体なら必ずその表面の一方に正極＝Ｎ極,他方に負極＝Ｓ極が同じ大きさの対として現われ,これをどんなに細かく切り刻んでも両端には金太郎飴のように際限なく正極と負極(Ｎ極とＳ極)が対で現われるということを意味します。

"双極子＝２重湧き出し"では常に"(湧き出し＋吸い込み)＝ゼロ"であるという事実によって,磁束密度Ｂ＝Ｂ(ｒ)に対するガウスの定理∫_SＢｄＳ＝∫_Vρ_mｄＶ,あるいはdivＢ＝ρ_mは,常に∫_SＢｄＳ＝0,あるいはdivＢ＝∇Ｂ＝0 となって簡単になります。

そして,経験によって電場Ｅと磁束密度Ｂが共存している中を電荷がｑの粒子が速度ｖで運動するとき,これには電気力と共にローレンツの力と呼ばれる磁力が働き,位置ｒでの電気力と磁力の合力はＦ＝ｑ(Ｅ＋ｖ×Ｂ)という形に書けることがわかっています。

特に磁場Ｂだけがあって,電場Ｅはゼロのときには働くのは磁力だけであり,Ｆ＝ｑ(ｖ×Ｂ)です。

ここで真空中では,磁束密度と磁場の強さ(磁界)の関係がＢ＝μ₀Ｈで与えられることを考慮すると,真空中でのガウスの定理は,divＨ＝∇Ｈ＝0 と同等であり,また電荷がｑの粒子が速度ｖで運動するとき,これに働く力はＦ＝(μ₀ｑ)(ｖ×Ｈ)とも表わせます。

ここで同じ磁場Ｈによって働く磁力を表わす２つの表現式Ｆ＝(ｍ∇)ＨとＦ＝(μ₀ｑ)(ｖ×Ｈ)があることになるので,もしも双方の磁力の働く対象である運動する電荷と磁気双極子が全く同じものを表わすような場合があれば,そのときこれらに働く力の表現は一致する必要があると考えられます。

しかし,磁気モーメントｍを持つ"磁石＝磁気双極子"のは磁荷の対であるという意味では,単極子ではなく双極子であり,ある明確な向きを持つ磁場によって磁石に働く力は無限小距離だけ離れた双極子の正負の磁荷(磁極)に対し,大きさが等しく向きが反対ですから,もしも作用点が全く同じであれば釣り合って磁石は動かないはずです。

しかし,無限小距離とはいえ,空間的に離れた双極子であるという意味では,磁力が働くのは同じ作用点ではないので,合力はゼロですが偶力として,トルク(能率＝力のモーメント)はゼロでないはずです。

実際,一様磁場の中に磁針を置くと,それは引き付けられたりして平行移動するのではなく,その場で回転してＮとＳを結ぶ方向が磁力線の方向と一致するとトルクがゼロになって静止することを我々は常識として知っています。

一方,我々の経験では,鉄などの磁性体が磁化されて磁石になったとき,それが別の磁石の磁場の中にあれば,単に回転するだけではなく,引き寄せられることも知っているので,上の磁針についての知見とは矛盾するように見えます。

しかし,現実の磁化された磁石は,大きさのない質点と同一視できるような小さな磁針とは違って,有限な大きさを持っており,しかもそれに対して磁力を及ぼす別の磁石の磁場は一様ではなくて,磁石の近くでは磁力が大きく,遠くでは小さいという分布を持っています。

したがって,付近に磁石を置けば,そのＮ極に働く力とＳ極に働く力は向きは逆ですが,位置が違っているので,その大きさが等しいわけではないため,当然引き寄せられますから,別に矛盾ではありません。

というわけで,磁場の中で速度ｖで運動する電荷ｑの粒子と磁気モーメントｍ≡ｑ_mｄを持つ"磁石＝磁気双極子"は一方にはゼロでない力が働き,他方に働く合力はゼロなので,そのままで単純に同一視するわけにはいきません。

そこで今,この電荷ｑの荷電粒子が位置ｒを中心にしたある微小回路Ｃ上の各点で速度ｖを持ち動径ｒ'で定常的に周回して環状電流をなす場合を想定し,これと磁気双極子ｍを同一視することを考えます。

この周回運動の周期はＴであるとしておきます。

このとき荷電粒子の軌道中の微小時間ｄｔの間に移動する微小部分ｄｒ'＝ｖｄｔに働く力はｄＦ＝(μ₀ｑ){ｖ×Ｈ}ｄｒ' ＝(μ₀ｑｖ){ｖ×Ｈ}ですから,回路全体に働く合力は確かにゼロ:∫_CｄＦ＝0です。

しかし,Ｃの中心ｒの回りの全トルクはＮ＝∫_C(ｒ'×ｄＦ)＝∫₀^T[(μ₀ｑｖ){ｒ'×(ｖ×Ｈ)}]ｄｔ＝∫₀^T[(μ₀ｑｖ){(ｒ'Ｈ)ｖ－(ｒ'ｖ)Ｈ}]ｄｔとなります。

さらに周回軌道Ｃの動径ｒ'とｄｒ'＝ｖｄｔは,常に直交するので回路Ｃの上では(ｒ'ｖ)＝0 となることから,トルクについてＮ＝∫_C[ｒ'×ｄＦ]＝∫₀^T[(μ₀ｑｖ)(ｒ'Ｈ)ｖ]ｄｔなる表式が得られます。

ところで,ｄｒ'/ｄｔ＝ｖなので(ｄ/ｄｔ){(ｒ'Ｈ)ｒ'}＝(ｒ'Ｈ)ｖ＋(ｖＨ)ｒ'が成立します。

これと恒等式:(ｒ'×ｖ)×Ｈ＝(ｒ'Ｈ)ｖ－(ｖＨ)ｒ'とを辺々加え合わせると,(ｄ/ｄｔ){(ｒ'Ｈ)ｒ'}＋(ｒ'×ｖ)×Ｈ＝2(ｒ'Ｈ)ｖとなります。

左辺の第１項を１周期にわたって時間積分すると∫₀^T(ｄ/ｄｔ){(ｒ'Ｈ)ｒ'}＝0 となってゼロになるので,これを利用すると∫₀^T[(ｒ'Ｈ)ｖ]ｄｔ＝(1/2)∫₀^T[(ｒ'×ｖ)×Ｈ]ｄｔを得ます。

以上から,この環状電流の全トルクはＮ＝∫_C(ｒ'×ｄＦ)＝(μ₀ｑｖ/2)[∫₀^T(ｒ'×ｖｄｔ)]×Ｈと書けることがわかりました。

そして一方,磁気モーメントがｍ≡ｑ_mｄの磁石に働く偶力のトルクＮのもう１つの表現は,単極磁荷に働く力をＦ≡ｑ_mＨとしてＮ＝lim _d→0[ｄ×Ｆ]＝lim _d→0{ｄ×ｑ_mＨ}＝ｍ×Ｈなる形で与えられます。

以上から,ｍと(μ₀ｑｖ/2)[∫₀^T(ｒ'× ｖｄｔ)]＝(μ₀ｑｖ/2)[∫_C(ｒ'×ｄｒ')]とを等しいと置けば,トルクＮに対する２つの表現は完全に一致することがわかります。

ところで,(1/2)∫_C(ｒ'×ｄｒ')は大きさがＣの内部面積ΔＳに等しく,向きは軌道面に垂直なベクトルを表わします。

それをΔＳと表示すれば,"電荷ｑの荷電粒子が速さｖで内部面積ΔＳを持つ微小回路をまわる。"という電流の大きさがＩ＝ｑｖの環状電流は,結局,ｍ＝μ₀ｑｖΔＳ＝μ₀ＩΔＳなる磁気双極子と等価であることが示されました。

以上の話は,磁場の強さ(磁界)Ｈを中心とした定義に基づく表現になっていますが,磁束密度Ｂを中心とした表現として磁気モーメントを改めてμ≡ｍ/μ₀によって定義すれば,磁力の表現はＦ＝(ｍ∇)Ｈの代わりにＦ＝(μ₀μ∇)Ｈ＝(μ∇)Ｂとなります。

磁気モーメントは,ｍ＝μ₀ｑｖΔＳ＝μ₀ＩΔＳの代わりにμ＝(ｑｖ/2)[∫_C(ｒ'×ｄｒ')]＝ＩΔＳと表わされます。

　途中ですが,話はまだまだ長くなりそうなので,今日はひとまず,ここまでとします。

参考文献：砂川 重信 著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店),高橋秀俊 著「電磁気学」(裳華房),ファインマン(R.P.Feynman)(宮島 龍興 訳)「ファインマン物理学Ⅲ(電磁気学)」(岩波書店)他

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電場と電束密度,磁場と磁束密度(1)

古典電磁気学は物理学の理論としては,Coulomb(クーロン)に始まり,

Faraday(ファラデー),および,Maxwell(マクスウェル)に至って完成

されたとされています。

ここでは,電磁気学において初学者が混乱しそうな概念と思われる

電場と電束密度,および類似した概念である磁場(磁界)と磁束密度

について,かなり詳細に解説してみたいと思います。

歴史的には電気力も磁気力も万有引力と同じく遠隔作用力として

導入され,やがて近接作用の表現に近い微分型のMaxwell方程式と

いう美しい形式に帰着されました。

この正統派とされている理論も,なお,見方によっては常識的イメ

ージとして違和感を感じる理論と見る向きもあるようです。

これに対して,Faradayの理論はより直観的で物理的な見方に主眼

をおいた理論であり,流体や弾性体などの力学的描像からのアナ

ロジーでもって電磁気現象を表現しようとしたかに見えます。

このFaradayの描像とMaxwellの数学的理論との間には若干の相克

が見られると感じられます。

現代的に見ても,本質的な結論は同じでしょうが,正統派でスマート

な記述をしていると思われる大田浩一氏らの著わしたテキストと,

一部には"トンデモ本"とも評されているらしい数理物理学者の

今井功氏著の特徴的な書物「電磁気学を考える」では,ある意味

で理論物理学の書籍として対極にあるような気がします。

まずは,電場,磁場などの場という概念を電場を例にとって説明

することから始めます。

電場というのは,

"電気力が働くとされている空間内の点に,電荷の大きさがｑ

の試験電荷を置いて,これに働く力がＦであるとき,Ｆをｑで

割った比:(Ｆ/ｑ)を取ってこれのｑ→ 0 の極限を取り,これ

をＥと書いて電場という。"

とでも定義すべきか,と思われます。

普通のテキストでは"単位電荷当りに働く電気力を電場という。"

という程度の簡単な表現で電場の定義が与えられることが多い

ようです。

なぜ,定義するだけなのに,こうした"神経質とも思われる注意深さ"

を必要とするのか？といえば,

厳密には試験電荷が無限小,または,近似的にゼロではなく有限

なら,有限電荷量の値が大きければ大きいほど,試験電荷を置く

だけで,それを置いた点とその周りの電場そのものをゆがめて

しまうと考えられるからです。

元々の電荷がないときの物理的状況を知りたいために試験電荷

を置くのにも関わらず,試験電荷自身が周りの環境をこわすとい

うディレンマがあること,あるいは,

"自分自身の作る場による自分自身への力＝自己力"をどう評価

するのか？というような悩ましくも微妙な問題があるからです。

今井功氏の先に挙げた批判的著書では,"そもそも無限小の試験

電荷を基に定義された電場に実際に有限な電荷を置いたとして

正しい電気力が得られるのか？"とか,

"そもそも電気力が先験的に電荷量に比例する:言い換えると,

電荷の大きさがｎ倍なら電気力もｎ倍になる"という根拠が

あるのか？などの基本的？な疑問が投げかけられています。

まあ,物理学は経験科学である自然科学の一つですから,経験

あるいは実験が理論的概念を裏付ければそれでいいわけで,

究極的には根拠がなくても自然を正しく記述しているなら,それ

で良く,それを数学で言えば公理,物理学で言えば仮説,または,

法則として認めるだけのことですが。。。。

また,電磁気学は力学と並んで古典物理学の双璧をなす,といわれ

ていますが,電場にしても磁場にしても具体的に質点に働く力に

よって定義されているわけです。

流体力学が力学の応用として,応用力学の一分野であるといわれる

のと同様な意味で,古典電磁気学も１つの応用力学と考えてもいい

のではないか,という主張もあります。

　一応,電場の概念規定の話はこの程度にして,次に電束密度の定義

　を与えます。

　電束というのはFaradayによって,

　"電場があるところには目には見えないが電気力線の束が存在

　している"という概念を指し,これも流体力学における流線の

　束からの類推であろうと思われます。

　ある向きの単位面積をそれに垂直にＤ本の電気力線が貫いている

　なら,その点での電束密度はＤである,といい,その電気力線の向き

　を持つベクトルＤを電束密度ベクトルと呼んで,真空中の各点での

　相対的電気力は電束密度に比例すると考えるわけです。

　したがって,"真空中"であれば,電場と電束密度は,どちらも真空

　中で働く電気力に比例し試験電荷にはよらないベクトルを示す別

　々の電気の場の定義に過ぎません。

　比例定数ε₀(伝統的に真空の誘電率と呼ぶ)を与えて,Ｄ≡ε₀Ｅ,

　あるいはＥ≡Ｄ/ε₀によって,一方から他方を定義できるので,

　一方の厳密な定義を与え他方は単にそれの定数倍で定義される

　量である,と考えてもいいわけです。

そこで,電束あるいは電気力線に主眼を置いた電場の定義は次の

ようになります。

すなわち,

真空中では電気力線は途切れることなく続いているが,もしも空間

のある点にそれの湧き出しがあるなら,その点に"正の電荷がある"

といい,吸い込みがあるなら"負の電荷がある"という。

それ故,電気力線の向きは正の電荷から負の電荷に向かうものと

約束し,"湧き出しや吸い込みでの電気量＝電荷"は,そこで湧き

出すか吸い込む電気力線の代数的本数である,と定義する,

というわけです。

　上のように定義すると,流体力学の流束と同じようにGaussの定理

　として知られている電束の性質,

　すなわち,

　"任意の閉曲面Ｓを通って出ていく電気力線の総数はＳの内部

　(Ｓで囲まれた体積＝Ｖ)に含まれる電気量に等しい。"

　という定理が得られます。

　つまり,電荷密度ρを単位体積当りの電気量とすると,

　∫_VρｄＶ＝∫_SＤｄＳ,ただしＤｄＳ＝(Ｄｎ)ｄＳが

　成立します。

これは数学におけるGaussの法則,つまり,

lim _V→0[(∫_SＤｄＳ)/Ｖ]＝divＤなる式で表わされる法則

を適用すると,divＤ＝ρという微分型の形に表わすことも

できます。

そして,Ｄに基づいて真空中での電場ＥをＥ≡Ｄ/ε₀で定義

すると,divＥ＝ρ/ε₀とも書けます。

さらに,電束密度:Ｄも電場Ｅも重ね合わせの原理を満たす,

つまり電束密度:Ｄ₁,Ｄ₂で表わされる２つの電場があれば,

ｃ₁,ｃ₂を任意の定数としてＤ≡ｃ₁Ｄ₁＋ｃ₂Ｄ₂で表わされる

電場も存在し得るとします。

すなわち,電場は線形性を持っているとします。

こうした電束,あるいは電気力線というイメージから得られた

Gaussの定理と電場は"湧き出し,あるいは吸い込み＝点電荷"に

対して等方的であろう,という物理的直観から,

電荷ｑの点電荷か１つだけあって,あらゆる方向に合計ｑ本の

電気力線が出ているとしたとき,湧き出しと吸い込み以外では

電気力線が途切れることはないので,

点電荷を中心として半径ｒの球面全体を貫く電気力線の総本数

もｑ本となるはずです。

そして,電場の空間的等方性から点電荷を中心とした半径ｒの

球面上の任意の点での電場Ｅあるいは電束密度Ｄのベクトルは,

全てその大きさが等しく球面に垂直な方向を持ち,中心の点電荷

が正なら外向き,負なら内向きであろうと考えられます。

このとき,半径ｒの球面の総表面積は4πｒ²ですから球面を貫く

全電束,つまり全電気力線は4πｒ²Ｄで与えられるはずです。

したがって,当然成立すべき4πｒ²Ｄ＝ｑなる等式から,

Ｄ＝ｑ/(4πｒ²),あるいは,Ｄ＝{ｑ/(4πｒ²)}(ｒ/ｒ)

＝ｑｒ/(4πｒ³)なる式が得られます。

これと電場Ｅの定義:Ｅ≡Ｄ/ε₀から,Ｅは,

Ｅ＝{1/(4πε₀)}(ｑ/ｒ²)}(ｒ/ｒ)＝{1/(4πε₀)}(ｑｒ/ｒ³)

と書けます。

そして,この電場によって点電荷ｅに働く電気力Ｆは,定義に

よってＦ＝ｅＥ＝{1/(4πε₀)}(ｅｑ/ｒ²)}(ｒ/ｒ)

＝{1/(4πε₀)}(ｅｑｒ/ｒ³)となり,自然にCoulombの法則が

導かれます。

すなわち,"Gaussの定理＋場の空間的等方性"のCoulombの法則

との同等性がわかります。

ここで電磁気学では,歴史的に混乱の元にもなっていた単位の

話を整理します。

現在では公けには"Ｓ.Ｉ.単位を採用すべきである。"という

指針があるようですが,歴史的に見ると例えば量子物理学など

の原子物理学ではc.g.s単位が主流でしたね。

かつて,Coulombの法則が,Ｆ＝ｅＥ＝(ｋｅｑ/ｒ²)(ｒ/ｒ)

なる形で発見されたときに,ＭＫＳＡ単位では比例係数ｋを,

ｋ＝1/(4πε₀)なる形とし,c.g.s単位ではｋ＝1としたらし

いです。

そしてＭＫＳＡ単位では,電気と関わる物理量の単位は,

[Ｆ]＝Ｎ(Newton),[ｅ]＝[ｑ]＝Ｃ(Coulomb)なので,

[Ｅ]＝Ｎ/Ｃ,[ｋ]＝[ε₀]^-1＝Ｎｍ²Ｃ²となりますが,

c.g.s単位では[Ｆ]＝ｄ(dyne＝10^-5Newton),

[ｅ]＝[ｑ]＝c.g.s.esu(c.g.s静電単位)etc.です。

まあ,c.g.s単位では比例係数がｋ＝1になるようにその他の

余分な因子を[ｅ]＝[ｑ]の単位に押し込めたのですね。

c.g.s単位では,

係数1/(4πε₀)を無理矢理１にしたので,ＭＫＳＡ単位での

Ｅ＝Ｄ/ε₀やGaussの定理でのdivＤ＝ρ/ε₀ なる表現は,

c.g.s.単位では,(1/ε₀) → 4πなる読み換えによって,

Ｅ＝4πＤ,divＤ＝4πρ なる表現に変わります。

しかし,それ故,それぞれ,ＭＫＳＡ単位では,

Ｅ＝ｑ/(4πε₀ｒ²),c.g.s単位ではＥ＝ｑ/ｒ²と表わされる

Coulombの法則は,電気力線という視覚的概念で捉える電束密度

という意味では,共にＤ＝ｑ/(4πｒ²)となります。

当然ですが,"半径ｒの球面上での電気力線の総本数が4πｒ²Ｄ＝ｑ

である。"という基本的な意味は単位の取り方には無関係です。

ですから,ε₀という何か意味不明な定数はc.g.s単位では現われ

ないので,この真空の誘電率というのはＭＫＳＡ単位にのみ必要

なものですが,敢えてc.g.s.単位でも真空の誘電率というものを

想定するなら,これは1/(4π)で与えられるとすべきでしょう。

しかし,後述するように,実際には一般に真空も含めた物質の

誘電率というものを定義してεという記号で表わし,ＭＫＳＡ

単位でもc.g.s.単位でも同じように,この誘電率をεで表わす

のですが,

c.g.s.単位でのεはＭＫＳＡ単位での(ε/ε₀):比誘電率

(真空に対する比)を意味する量なので,c.g.s.単位では真空

の誘電率は１であるとするのが慣例です。

以下では,特別なことがない限り単位はＭＫＳＡに統一します。

いずれにしても,真空中であれば電場も電束密度も同一の電気力

を別の言葉で表現しているに過ぎないわけです。

ということで主要な問題は真空中ではなくて物質中,

つまり電磁気にとっての媒質の中の電場と電気力線の問題です。

ここで後での説明の都合上電場Ｅや電束密度Ｄを空間位置ｒ

の関数としてＥ(ｒ)やＤ(ｒ)と表記し,さらに静電場において,

その存在が保証されている静電ポテンシャル(電位):φ(ｒ)を

設定してＥ(ｒ)＝－gradφ(ｒ)＝－∇φ(ｒ)となるようにし

ます。

このとき,位置ｒ₀に単一の点電荷がある場合のCoulomb場は,

Ｅ(ｒ)＝{1/(4πε₀)}(ｑ/Ｒ²)}(Ｒ/Ｒ),Ｒ≡ｒ－ｒ₀です

から,Ｒ→ ∞ でφ(ｒ)→ 0 となる静電ポテンシャルは

φ(ｒ)＝ｑ/(4πε₀Ｒ)で与えられることがわかります。

そもそも,電荷というのは最低値を持った素電荷の集まりであって,

１個,２個と数えられる量ですが,

先のGaussの定理の微分形;divＤ＝ρでも見たように,

古典電磁気学のスケールでは,電荷を連続的な量と想定し,

電荷密度ρ(ｒ)なるものを考えることができます。

そして電場の重ね合わせの原理から静電ポテンシャルの重ね

合わせの原理も成立することを考慮すると,単一点電荷がある

場合も含め,

一般に空間のある領域Ｖに電荷密度ρ(ｒ)で連続的に電荷が

分布して存在している場合に,Ｅ(ｒ)＝－gradφ(ｒ)

＝－∇φ(ｒ)で電場Ｅ(ｒ)を与える静電ポテンシャルは,

φ(ｒ)＝{1/(4πε₀)}∫_V{ρ(ｒ')/|ｒ－ｒ'|}ｄｒ'

と書けることがわかります。

特に位置ｒ₀に単一の点電荷ｑがあるという特別な場合には,

ρ(ｒ)＝ｑδ(ｒ－ｒ₀)と置けばいいだけです。

さて,物質中の電場の話に移ります。

電気に関係した物質の分類としては,導体と絶縁体というのが

主要な分類ですが,これらを総称して誘電体と呼びます。

まあ,導体は誘電率εが∞の理想的な誘電体であると考える

わけですね。

通常,外部に電場も磁場もない状態ではこの世に存在する物質

を遠方から巨視的イメ－ジとして観測する限り,それらを構成

する分子,原子の中の電気的相互作用などの構造は遮蔽されて

います。

そこで,物質は電気的に中性であり,電流もゼロで磁気的にも

中性と考えていいのですが,外部に電場がある場合には,

電磁気学のような巨視的物理学のスケールで考えても電気的

分極が生じてバランスが崩れます。

外部電場Ｅがあるとき,対象とする物質が絶縁体なら,それを

構成する中性原子の原子番号をＺ,電子１個の電荷を－ｅと

すると,

各構成原子は電荷が(＋Ｚｅ)の原子核と合計電荷が(－Ｚｅ)

の電子群が外部電場Ｅの方向に平行に引き伸ばされた正負

２つの"点電荷の対＝電気双極子"になっているという模型

で考えることができます。

これは,外部電場が正負の点電荷を引き離そうとしても点電荷

自身の引力のために,ある程度離れた距離で釣合うという描像

です。

しかし,もしも対象物質が絶縁体ではなく固体の金属物質の

ような導体であれば,それは結晶格子の周期的構造のせいで,

外郭電子がほぼ自由電子のようになっていて,外部電場による

電子の移動に歯止めが効かないというわけで,導体の場合には,

その内部に少しでも電場があれば電子は飛散してしまいます。

そこで,対象が導体なら,外部電場をかけて電気的平衡になった

静電場の状態でも個々の原子が分極して双極子状態になるわけ

ではなく,導体内部の電場は正確にゼロになります。

電荷は導体表面にしか存在しなくなります。

つまり,静電場ではなくて絶えず電荷が供給される電流源などが

あるような状況なら定常的に電流が流れますが,さもなければ導

体内部に電流が流れていても,やがてそれは止まってしまうわけ

です。

その結果,導体内の内部電場はゼロになります。

これがもしゼロでなければ,せっかく平衡に落ち着いた電荷分布

が再び崩れて,また電流が生じるので平衡状態の静電場である,

という仮定に矛盾するからです。

そこで導体の中でのＥはどこもゼロなので,導体内各点での電場

の発散divＥもゼロですから内部での湧き出し(吸い込み),つまり

電荷密度ρはゼロです。

それ故,電荷は導体内部には存在しません。

ですから,導体に付随する電子が導体から離れて逃げていくので

なければ,それらは導体表面に分布するしかないわけです。

その他,導体で囲まれた空洞の中の電場はゼロであるという静電

遮蔽現象も似たような論理で説明可能ですが,ここでは割愛します。

ここでの主眼は導体ではなく誘電体であるとしているので,

導体という特別な物質に関する話題はこれくらいにして,

主として絶縁体と呼ばれる一般的な誘電体の考察に移ります。

対象物質が一般の誘電体のケースには,外部電場Ｅに対して全て

の原子が分極してＥと同じ向きの電気双極子の集まりになると

予想されます。

そして,外部電場に誘起されて点ｒに生成される全ての電気双極子

モーメントベクトルの代数和の単位体積当たりの量:体積密度"を

Ｐ(ｒ)とします。

すると,以下に述ベル理由からＰ(ｒ)は分極ベクトルと呼ばれます。

ところで,位置ｒ₀の近傍の点ｒ₁≡ｒ₀＋ｄ/2に電荷ｑ,

点ｒ₂≡ｒ₀－ｄ/2に電荷－ｑがあるとしたときの双極子:

モーメントがｐ≡ｑｄでｄが無限小の電気双極子の

静電ポテンシャルφ_d(ｒ)は,

ｄが有限のポテンシャル:φ_d(ｒ)は,

φ_d(ｒ)＝{ｑ/(4πε₀)}(|ｒ－ｒ₁|^-1－|ｒ－ｒ₂|^-1)において,

ｐ＝ｑｄを固定したまま,ｄ→ 0,ｑ→ ∞ の極限を取れば得

られます。

それは,結局,

φ_d(ｒ)＝{1/(4πε₀)}ｐgrad₀(1/|ｒ－ｒ₀|)

＝{1/(4πε₀)}ｐ∇₀(1/|ｒ－ｒ₀|)

となるはずです。

そこで密度が,Ｐ(ｒ)の連続的双極子分布がある場合の

静電ポテンシャルは,

φ_d(ｒ)＝{1/(4πε₀)}∫{Ｐ(ｒ')grad'(1/|ｒ－ｒ'|)}ｄｒ'

と表わすことができます。

ここで,

div'[Ｐ(ｒ')/|ｒ－ｒ'|]

＝(1/|ｒ－ｒ'|)div'Ｐ(ｒ')＋Ｐ(ｒ')grad'(1/|ｒ－ｒ'|)

なる等式を用いれば,

φ_d(ｒ)

＝{1/(4πε₀)}(∫[div'{Ｐ(ｒ')/|ｒ－ｒ'|}]ｄｒ'

－∫[(1/|ｒ－ｒ'|)div'Ｐ(ｒ')]ｄｒ'

と書けます。

これの右辺の第１項はGaussによって,

{1/(4πε₀)}(∫[Ｐ(ｒ')/|ｒ－ｒ'|]ｄＳなる表面積分

に帰着します。

ところが,この表面積分の被積分関数のベクトル因子Ｐ(ｒ)は

有限領域内においてのみゼロでない関数,有限な台を持つ関数

なので,この項の寄与はゼロになります。

そこで,分極による電場の静電ポテンシャルの最終的表現ては,

φ_d(ｒ)＝{1/(4πε₀)}∫[(1/|ｒ－ｒ'|){－div'Ｐ(ｒ')}]ｄｒ'

なる形式に帰します。

一方,こうした外部電場によって誘起された静電ポテンシャル

φ_d(ｒ)とは別に,

通常の電荷密度,いわゆる真電荷の密度:ρ_e(ｒ)があるときの

電場の静電ポテンシャルをφ_e(ｒ)と書けば,これは,

φ_e(ｒ)＝{1/(4πε₀)}∫[ρ_e(ｒ')/|ｒ－ｒ'|]ｄｒ'

で与えられます。

そこで,ρ_d(ｒ)≡－divＰ(ｒ)と置いて得られる静電ポテンシャル

の形:φ_d(ｒ)＝{1/(4πε₀)}∫[ρ_d(ｒ')/|ｒ－ｒ'|]ｄｒ'を,

φ_e(ｒ)＝{1/(4πε₀)}∫[ρ_e(ｒ')/|ｒ－ｒ'|]ｄｒ'

と比較します。

これを見るとするとすぐわかりますが,φ_d(ｒ)を独立な静電

ポテンシャルとして－gradφ_d(ｒ)＝－∇φ_d(ｒ)とした式から

得られる電場＝分極電場は,ρ_d(ｒ)＝－divＰ(ｒ)なる形で

与えられる仮想電荷ρ_d(ｒ),

何か"分極によって顕在化する電荷＝分極電荷"が存在して,

それを源するCoulomb静電場に同定できます。

そして,

φ_d(ｒ)＝{1/(4πε₀)}∫[(1/|ｒ－ｒ'|){－div'Ｐ(ｒ')}]ｄｒ'

から,－∇²φ_d(ｒ)＝div{－gradφ_d(ｒ)}＝－divＰ(ｒ)/ε₀

＝ρ_d(ｒ)//ε₀によって,

－Ｐ(ｒ)/ε₀を,－gradφ_d(ｒ)＝－∇φ_d(ｒ)なる分極電場と見なし,

－Ｐ(ｒ)を分極によって発生した真空中の電束密度と見なしてよい

と思われます。

実は,構成原子の原子核や電子など微視的で離散的構造を意識する

ような規模で見るなら,実際の電荷に働く電気力を示す電場という

のは,たとえ分極した誘電体の中であろうと原子核とか電子のない

空虚な空間の部分では実質上真空中と同じと考えてよいので理論的

には真空中と全く同じ法則を満たすはずです。

そして,電場Ｅ(ｒ)はｒの近傍で適当に取った点ｒを囲む閉曲面内

の湧き出し(吸い込み)＝電荷による電荷密度ρ(ｒ)によって,

divＥ(ｒ)＝divＤ(ｒ)/ε₀＝ρ(ｒ)/ε₀を満たすように決まって

いると考えるなら,

微視的なスケールでの離散的な電荷構造であれば,Ｅ(ｒ)も

divＥ(ｒ)も至るところ不連続であり,連続的な電荷密度ρ(ｒ)

という概念は通用しないと思われます。

では分極した誘電体の電場に与える効果というのは一体何を

示しているのでしょうか？

かつて電磁気学を初めて学んだ頃には,はっきりとは理解できず

結構悩んだものでしたが,結局,誘電体の中の電場Ｅ(ｒ)とは電荷

分布を連続した密度と見なせる古典電磁気学の巨視的規模で見た

とき,試験電荷に働く平均の電気力を与える電場とみなせばいい

わけです。

巨視的規模の平均量であれば,分極によって生じる多くの電気

双極子の各々は同じ大きさの湧き出しと吸い込みの対なので,

電場の電束密度Ｄ(ｒ)への寄与はトータルでゼロですから,

分極によって発生する真空中の電束密度と見える量－Ｐ(ｒ)

などはＤ(ｒ)とは無関係であり,真空中と同じ電束密度の

Gaussの定理:divＤ(ｒ)＝ρ_e(ｒ)が成立します。

一方,平均電場Ｅ(ｒ)の方は真電荷ρ_e(ｒ)による電場と

分極電荷ρ_d(ｒ)による電場の重ね合わせで与えられると

考えられますから,

Gaussの定理: divＥ(ｒ)＝{ρ_e(ｒ)＋ρ_d(ｒ)}/ε₀を満たします。

したがって,現象論的定式化を行なって,誘電体中の電場Ｅ(ｒ)は

その中に真電荷を置いて生じた電束密度Ｄ(ｒ)に相当する外電場

により誘起される誘導電場と考え,

そこで誘電率と呼ばれる比例係数εにより,Ｅ(ｒ)＝Ｄ(ｒ)/ε,

あるいはＤ(ｒ)＝εＥ(ｒ)なる比例関係で表わされるとします。

これを,先に述べた式:

divＥ(ｒ)＝{ρ_e(ｒ)＋ρ_d(ｒ)}/ε₀＝div{Ｄ(ｒ)－Ｐ(ｒ)}/ε₀

と合わせると,Ｅ(ｒ)＝Ｄ(ｒ)/ε＝{Ｄ(ｒ)－Ｐ(ｒ)}/ε₀,

すなわち,Ｄ(ｒ)＝εＥ(ｒ)＝ε₀Ｅ(ｒ)＋Ｐ(ｒ)

なる式を得ます。

単一電荷ｑがある場合のCoulombの法則は,電束密度Ｄ(ｒ)で表現

するなら真空中でも物質(誘電体)中でも同じ式:

Ｄ(ｒ)＝ｑ/(4πｒ²),またはＤ(ｒ)＝{ｑ/(4πｒ²)}(ｒ/ｒ)

＝ｑｒ/(4πｒ³)です。

電場Ｅ(ｒ)の方は誘電率εに依存してＥ(ｒ)＝Ｄ(ｒ)/εである

ため,物質中ではＥ(ｒ)＝ｑ/(4πεｒ²),または,

Ｅ(ｒ)＝{ｑ/(4πεｒ²)}(ｒ/ｒ)＝ｑｒ/(4πεｒ³)となって,

真空中のε₀をε(一般にε＞ε₀)に変更した形になります。

誘電率εの誘電体が存在する場合の電場:

Ｅ(ｒ)＝Ｄ(ｒ)/εとＤ(ｒ)/ε₀は,共に誘電体内部の電荷に

働く電気力として観測可能です。

例えば２つの平行板の間に誘電体が充填された平行板

コンデンサー(蓄電池)の間の電荷への電気力を測る場合,

平行板に"垂直に切れ目を入れて隙間を空けた部分＝gap"に

電荷を置いたとき,つまり直列に並んでいる双極子と双極子

の間に電荷を置いた場合の"gap field"としては,

真空中の電場Ｄ(ｒ)/ε₀＝Ｅ(ｒ)＋Ｐ(ｒ)/ε₀に相当する

電気力を受けます。

一方,平行板に"平行に切れ目を入れて隙間を空けた部分

＝canal"に電荷を置いたとき,つまり直列に並んでいる

双極子ベクトルの腕ベクトルの上に電荷を置いた場合の

"canal field"としてはＥ(ｒ)＝Ｄ(ｒ)/εに対応する

電気力を受けるはずです。

このように微視的に見るなら,電気力をどこで測るかによって

電場はコロコロ変わります。

例えばLorentz(ローレンツ)の電子論で現われる微視的模型:

誘電体の中に微小球体の孔をくりぬいてその空隙の中にある

試験電荷に働く平均電気力に相当する電場,Loretzの電場と

呼ばれる分子電場Ｅ_L(ｒ)は,

先の"gap field "Ｄ(ｒ)/ε₀＝Ｅ(ｒ)＋Ｐ(ｒ)/ε₀とも異なって,

Ｅ_L(ｒ)＝Ｅ(ｒ)＋Ｐ(ｒ)/(3ε₀)なる表式で与えられます。

それ故,分極場の表現Ｐ(ｒ)＝(ε－ε₀)Ｅ(ｒ)によって,

Ｅ_L(ｒ)＝{(ε＋2ε₀)/(3ε₀)}Ｅ(ｒ)と書くことができます。

そして誘電分極の場Ｐ(ｒ)はＥ_L(ｒ)によって誘起された微視的

双極子ｐ≡αＥ_Lの単位体積当りＮ個の集まりであると見なす

なら,

(ε－ε₀)Ｅ(ｒ)＝Ｐ(ｒ)＝ＮαＥ_L(ｒ)

＝{Ｎα(ε＋2ε₀)/(3ε₀)}Ｅ(ｒ)と書けて,

Clausius-Mossottiの式:(ε－ε₀)/(ε＋2ε₀)＝Ｎα/(3ε₀)

が得られます。

さらに,これからｎ²＝ε/ε₀によって光(電磁波)の屈折率ｎと

誘電率εの関係を示す式であるLorentz-Lorenz の式:

(ｎ²－1)/(ｎ²＋2)＝Ｎα/(3ε₀)が得られます。

以上を要約し,さらに数学的な式変形による定式化ではなく

幾分物理的な表現を交えた説明もしておきます。

すなわち,誘電体で満たされた空間の中に真電荷Ｑ_eを置いたとき,

対象とする物質を構成する分子,原子は分極して電場を生じ,

さらに２次以上の分極の連鎖の後に定常状態に達したときには

これらを微小な電気双極子の集合体と見なすことができます。

Lorentzの電場のような微視的立場ではなく,巨視的平均電場と

して見ると,分極してできた双極子の集合体は連続体と考える

ことができて,正負等量の電荷で一様に帯電した物体を重ねた

後に僅かにずらしたものと見ることができます。

このとき,ずらした正電荷の移動の向きを持ち,物体内に取った

任意の単位面を垂直に通り抜ける,電荷量に等しい大きさのベク

トルＰ(ｒ)を位置ｒの関数として導入し,これを分極ベクトルと

呼びます。

このとき誘電体内に真電荷Ｑ_eを囲む任意の閉曲面Ｓを考え,これ

を通過する分極による全電荷は∫_SＰ(ｒ)ｎ(ｒ)ｄＳで与えられ

閉曲面Ｓの取り方に依りません。

真電荷Ｑ_eが正電荷なら,表面Ｓから外へ染み出す正電荷の反作用

としてＳの表面に現われる電荷は負電荷であり,その総量は

－∫_SＰ(ｒ)ｎ(ｒ)ｄＳです。

そして電場は巨視的平均場なので,"canal field"であり,Gauss

の法則はε₀∫_SＥ(ｒ)ｎ(ｒ)ｄＳ＝Ｑ_e－∫_SＰ(ｒ)ｎ(ｒ)ｄＳ

となります。

すなわち,∫_S[ε₀Ｅ(ｒ)＋Ｐ(ｒ)]ｎ(ｒ)ｄＳ＝Ｑ_eですから,

電束密度Ｄ(ｒ)≡ε₀Ｅ(ｒ)＋Ｐ(ｒ)を導入すると,

∫_SＤ(ｒ)ｎ(ｒ)ｄＳ＝Ｑ_e,微分形では,divＤ(ｒ)＝ρ_e(ｒ),

∫_Vρ_e(ｒ)ｄｒ＝Ｑ_eとなります。

最後に現象論的扱いでは,Ｄ(ｒ)＝εＥ(ｒ)の誘電率εは単なる

定数ですが,この関係式を一般化するならＤ(ｒ)＝ε(ｒ)Ｅ(ｒ)

と書いて誘電率もｒの関数であるとしたり,

複素屈折率ｎとｎ²＝ε/ε₀の関係や光(電磁波)の吸収,回折,散乱

などに関連して実数ではない複素数のεを考えたりもします。

また,電気的に等方的ではなく,異方的な物質が対象ならεを

スカラーではなくテンソルε＝(ε_ij)として,最も一般的な

形式Ｄ_i(ｒ)＝ε_ij(ｒ)Ｅ_j(ｒ)(ε_ij(ｒ)は複素数)なる表現

を与えることもできます。

今日はこのくらいにして,分極電荷と電場の話の続きとなる

分極電流,磁化電流と磁場の話,および真空中とは異なる物質

中の相対性理論の話はまた今度にします。

参考文献：砂川 重信 著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店)

　　　　　高橋秀俊 著「電磁気学」(裳華房),

　　　　　今井 功 著「電磁気学を考える」サイエンス社,

　　　　　ファインマン(R.P.Feynman) 著 (宮島 龍興 訳)

　　　　　「ファインマン物理学Ⅲ(電磁気学)」(岩波書店)他

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磁性の話(キュリーの法則)(補遺)

前記事で述べたように,Curie(キュリー)の法則は磁場Ｈ→ 0 の極限で磁化率(帯磁率)χが絶対温度Ｔに反比例するという法則:

χ＝Ｃ/Ｔ (Ｃ≡Ｎμ_B²μ₀ｇ_J²Ｊ(Ｊ＋1)/(3ｋ_B)) なる法則です。

これは,物質を構成する個々の原子のエネルギー的に安定な状態が"全角運動量がＪの状態＝Ｊ多重項"で与えられ,Lande(ランデ)の因子:ｇ_J≡3/2＋{Ｓ(Ｓ＋1)－Ｌ(Ｌ＋1)}/{2Ｊ(Ｊ＋1)}が一定,つまりＪと共にＬ,Ｓの値も固定されている場合に成立します。

この原子から成る"バルクな物質＝巨視的な原子数の系"が絶対温度Ｔの下で熱平衡状態にあって,Ｊの向きだけが統計的に乱雑になっている場合,

そして特にＨをゼロと見なしていいほど外部磁場が弱い場合に成立する法則です。

一般にＨが有限な量であっても,その物質の磁化ベクトルＭ(Ｈ,Ｔ)の磁場Ｈ方向の成分は,Ｍ(Ｈ,Ｔ)＝Ｎ[Σ_ＭJ=-J^J(－μ_Bｇ_JＭ_J)exp{－Ｅ(Ｊ,Ｍ_J)/(ｋ_BＴ)}]/(Σ_ＭJ=-J^J[exp{－Ｅ(Ｊ,Ｍ_J)/(ｋ_BＴ)}])なる式で与えられると考えられます。

そして,上述の式は,Ｍ(Ｈ,Ｔ)＝{Ｎ/(μ₀Ｈ)}(∂/∂β){log(Σ_ＭJ=-J^J[exp{－βＥ(Ｊ,Ｍ_J)}])}と変形されます。

右辺の対数log(自然対数ln)の中の項は.実は双曲線関数を用いてΣ_ＭJ=-J^J[exp{－βＥ(Ｊ,Ｍ_J)}]＝Σ_ＭJ=-J^J[exp(－αβＭ_J)]＝exp(αβＪ)[1－exp{－αβ(2Ｊ＋1)}]/[1－exp(－αβ)]＝sinh{αβ(Ｊ＋1/2)}/sinh(αβ/2)と簡明に表現できます。

したがって,この表式から,さらに(∂/∂β){log(Σ_ＭJ=-J^J[exp{－βＥ(Ｊ,Ｍ_J)}])}＝α(Ｊ＋1/2)cosh{αβ(Ｊ＋1/2)}/sinh{αβ(Ｊ＋1/2)}－(α/2)cosh(αβ/2)/sinh(αβ/2)＝α(Ｊ＋1/2)coth{αβ(Ｊ＋1/2)}－(α/2)coth(αβ/2)と書けることもすぐにわかります。

そこで,既にBrillouin(ブリリュアン)関数という名称で知られている関数:Ｂ_J(ｘ)≡{(2Ｊ＋1)/(2Ｊ)}coth{(2Ｊ＋1)ｘ/(2Ｊ)}－1/(2Ｊ)coth{ｘ/(2Ｊ)}を導入すれば,

(∂/∂β){log(Σ_ＭJ=-J^J[exp{－βＥ(Ｊ,Ｍ_J)}])}＝(αＪ)Ｂ_J(αβＪ)と,非常に簡単な表現になります。

そこで,α≡μ_Bμ₀ｇ_JＨが有限のとき,

Ｍ(Ｈ,Ｔ)＝Ｎ[Σ_ＭJ=-J^J(－μ_Bｇ_JＭ_J)exp{－Ｅ(Ｊ,Ｍ_J)/(ｋ_BＴ)}]/(Σ_ＭJ=-J^J[exp{－Ｅ(Ｊ,Ｍ_J)/(ｋ_BＴ)}])

＝{Ｎ/(μ₀Ｈ)}(∂/∂β){log(Σ_ＭJ=-J^J[exp{－βＥ(Ｊ,Ｍ_J)}])}

なる変形によって,

結局,磁化の大きさはＭ(Ｈ,Ｔ)＝Ｎμ_Bｇ_JＪＢ_J{Ｊμ_Bμ₀ｇ_JＨ/(ｋ_BＴ)}となります。

こうして数学的に明確な形式で与えられることがわかりました。

双曲線余接関数は,ｙ→ 0 でcoth(ｙ)＝cosh(ｙ)/sinh(ｙ)～(1＋ｙ²/2)/(ｙ＋ｙ³/6)＝(1/ｙ)(1＋ｙ²/3)なる近似式で表現できることから,

ｘ→ 0 でＢ_J(ｘ)～(Ｊ＋1)ｘ/(3Ｊ)と近似できることもわかります。

そこで,Ｈ→ 0 においてCurieの法則χ＝Ｃ/Ｔ,Ｃ≡Ｎμ_B²μ₀ｇ_J²Ｊ(Ｊ＋1)/(3ｋ_B)が確かに成り立つことも自然に得られます。

今思うと,前記事のように苦労して地道に計算する必要なかったですね。うーん,ある意味でくやしいですね。

　一方,ｙ→ ∞ の極限では,coth(ｙ) → 1ですから,ｘ→ ∞ でＢ_J(ｘ)→ 1であり,それ故,このときはＭ(Ｈ,Ｔ) → Ｎμ_Bｇ_JＪです。

　これは外部磁場Ｈが非常に強い場合とか,β＝1/(ｋ_BＴ) → ∞,つまり温度Ｔが極低温のように低い場合には,磁化されて生じる単位体積当りＮ個の原子の磁気モーメントの全ての外部磁場Ｈ方向成分がそろって,最大値μ_Bｇ_JＪを取るようになること,

　つまり全ての原子の磁気モーメントがそろって磁場の方向を向くようになることを意味しています。

　短いですが今日はこれまでとします。 

参考文献：金森 順次郎 著「磁性」(培風館)

PS:(2010年５/16追記):

Brillouin関数:Ｂ_J(ｘ)≡{(2Ｊ＋1)/(2Ｊ)}coth{(2Ｊ＋1)ｘ/(2Ｊ)}－1/(2Ｊ)coth{ｘ/(2Ｊ)}においてＪ→ ∞ の極限を取ってみます。

このとき,右辺第１項＝{(2Ｊ＋1)/(2Ｊ)}coth{(2Ｊ＋1)ｘ/(2Ｊ)}→ coth(ｘ)です。

一方,coth{ｘ/(2Ｊ)}＝cosh{ｘ/(2Ｊ)}/sinh(ｘ/(2Ｊ)}です。

そして,lim_J→∞sinh(ｘ/(2Ｊ)})}＝0,lim_J→∞cosh{ｘ/(2Ｊ)}＝1ですから,lim_J→∞coth{ｘ/(2Ｊ)}＝∞です。

しかし,lim_ｙ→0{sinh(ｙ)/ｙ}＝1なのでlim_J→∞{1/(2Ｊ)}/sinh(ｘ/(2Ｊ)}＝(1/ｘ)lim_J→∞{ｘ/(2Ｊ)})}/sinh(ｘ/(2Ｊ)}＝1/ｘです。

以上から,lim _J→∞Ｂ_J(ｘ)＝coth(ｘ)－1/ｘです。右辺はLangevin(ランジュバン)関数と呼ばれる関数に一致しています。

すなわち,Ｌ(ｘ)≡coth(ｘ)－1/ｘで定義されるｘの関数Ｌ(ｘ)をLangevin関数といいます。

Ｊ→ ∞ の極限の磁性はＪが連続的で全ての値を取り得るという古典的極限に相当しています。

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磁性の話(キュリーの法則)

ゼーマン効果(Zeeman effect)の話をしているうちに,私が勉強したことがほとんどない磁性に興味がわいたので,またまた脱線ついでにその話を記事にしてみようと思います。

まず,前回の記事で磁場Ｂの中では,原子は磁気モーメントＭ＝－μ_B(Ｌ＋2Ｓ)を持った磁石のように挙動すること,

そして磁場(磁束密度)Ｂが比較的弱い場合に,核スピンＩを無視したとき,磁場との相互作用に実質的に寄与する部分である全角運動量Ｊ＝Ｌ＋Ｓに平行な観測にかかるＭの成分Ｍ_//は,Ｍ_//＝－μ_Bｇ_JＪ,ｇ_J≡3/2＋{Ｓ(Ｓ＋1)－Ｌ(Ｌ＋1)}/{2Ｊ(Ｊ＋1)}で表わされることを見ました。

ここでｇ_JはLande(ランデ)のｇ因子です。

したがって全角運動量Ｊの状態に対応して磁気モーメント:Ｍ＝－μ_B(Ｌ＋2Ｓ)に由来する磁場Ｂとの相互作用エネルギーは,Ｅ(Ｊ,Ｍ_J)＝－ＭＢ＝μ_Bｇ_JＪＢ＝μ_Bｇ_JＭ_JＢ＝μ_Bμ₀ｇ_JＭ_JＨ,Ｍ_J＝－Ｊ,－Ｊ＋1,..,Ｊで与えられます。

ここにＢ＝μ₀Ｈ(μ₀は真空の透磁率)で,Ｈは工学において磁界とか磁場の強さと呼ばれている量です。

そして巨視的個数の原子から成る系で,原子が全角運動量Ｊで安定に存在している系では,絶対温度Ｔで,状態が実現される相対確率はexp{－Ｅ(Ｊ,Ｍ_J)/(ｋ_BＴ)}に比例します。

そこで,この単一種類の原子のみから成る物体内での単位体積当たりの原子数をＮとすると,磁場(磁界)Ｈの中での磁化の大きさ:Ｍ(Ｈ,Ｔ)は,　

Ｍ(Ｈ,Ｔ)＝Ｎ[Σ_ＭJ=-J^J(－μ_Bｇ_JＭ_J)exp{－Ｅ(Ｊ,Ｍ_J)/(ｋ_BＴ)}]/[Σ_Ｍj=-J^Jexp{－Ｅ(Ｊ,Ｍ_J)/(ｋ_BＴ)}]　で与えられます。

ただし,ｋ_BはBoltzmann定数です。

そこで,磁場Ｈ → 0 の極限での磁化率(帯磁率)χ≡Ｍ/Ｈを求めるには,

lim _H→0{Ｍ(Ｈ,Ｔ)/Ｈ}＝{Ｎ/(μ₀Ｈ²)}(∂/∂β){ln(Σ_ＭJ=-J^J[exp{－βＥ(Ｊ,Ｍ_J)}])}_{Ｅ(Ｊ,ＭJ)=0} の右辺を計算すればいいことがわかります。

ただし,便宜上β≡1/(ｋ_BＴ)とおきました。

ここで,さらにα≡μ_Bμ₀ｇ_JＨとおけば,等比数列の有限和の公式から,　

Σ_ＭJ=-J^J[exp{－βＥ(Ｊ,Ｍ_J)}]＝Σ_ＭJ=-J^J[exp(－αβＭ_J)]

＝exp(αβＪ)[1－exp{－αβ(2Ｊ＋1)}]/[1－exp(－αβ)]

を得ます。

それ故,log[Σ_ＭJ=-J^J[exp{－βＥ(Ｊ,Ｍ_J)}]＝αβＪ＋log[1－exp{－αβ(2Ｊ＋1)}]－log[1－exp(－αβ)]と書けます。

したがって,(∂/∂β){log(Σ_ＭJ=-J^J[exp{－βＥ(Ｊ,Ｍ_J)}])}＝αＪ＋α(2Ｊ＋1)exp{－αβ(2Ｊ＋1)}/[1－exp{－αβ(2Ｊ＋1)}]－αexp(－αβ)/[1－exp(－αβ)]

＝[1－exp(－αβ)]^-1[1－exp{－αβ(2Ｊ＋1)}]^-1(αＪ[1－exp{－αβ(2Ｊ＋1)}][1－exp(－αβ)]＋α(2Ｊ＋1)exp{－αβ(2Ｊ＋1)}[1－exp(－αβ)]－αexp(－αβ)[1－exp{－αβ(2Ｊ＋1)}])

＝[1－exp(－αβ)]^-1[1－exp{－αβ(2Ｊ＋1)}]^-1[αＪ－α(Ｊ＋1)exp(－αβ)－α(Ｊ＋1)exp{－αβ(2Ｊ＋1)}＋αＪexp{－2αβ(Ｊ＋1)}]

と整理されます。

この最後の表式で,Ｈ → 0 の極限,つまりα→ 0 の極限を考えると,

(∂/∂β){log(Σ_ＭJ=-J^J[exp{－βＥ(Ｊ,Ｍ_J)}])}～(αβ)^-2(2Ｊ＋1)^-1(α²β)[Ｊ(1－αβ/2＋α²β²/6)＋(Ｊ＋1)(2Ｊ＋1){1－αβ(2Ｊ＋1)/2＋α²β²(2Ｊ＋1)²/6}－2Ｊ(Ｊ＋1){1－αβ(Ｊ＋1)＋4α²β²(Ｊ＋1)²/6]}

最終的には,(∂/∂β){log(Σ_ＭJ=-J^J[exp{－βＥ(Ｊ,Ｍ_J)}])}

～α²Ｊ(Ｊ＋1)/(3ｋ_BＴ)となります。

こうして,α→ 0 の極限で有用な近似式が得られました。

先述のように,Ｈの弱い極限での磁化率(帯磁率)χ＝Ｍ/Ｈは,χ＝lim_H→0{Ｍ(Ｈ,Ｔ)/Ｈ}＝{Ｎ/(μ₀Ｈ²)}(∂/∂β){log(Σ_ＭJ=-J^J[exp{－βＥ(Ｊ,Ｍ_J)}])}_{Ｅ(Ｊ,ＭJ)=0} で与えられますから,

Ｈが弱いときはＣを定数として,χ＝Ｃ/Ｔなる形になります。

上の計算によれば,Ｃ＝Ｎα²Ｊ(Ｊ＋1)/(3ｋ_B)ですから,α²＝(μ_Bμ₀ｇ_JＨ)²＝μ₀μ_B²ｇ_J²(μ₀Ｈ²)よりＣ＝Ｎμ_B²μ₀ｇ_J²Ｊ(Ｊ＋1)/(3ｋ_B)です。

この表式の"磁化率(帯磁率)χが温度Ｔに反比例する"という法則はCurie(キュリー)の法則といわれます。ＣはCurie定数と呼ばれます。

ここでは磁気モーメントＭや磁化Ｍ(Ｈ,Ｔ)を,磁束密度Ｂ＝μ₀Ｈの方の単位に合わせて定義しましたが,"磁界＝磁場の強さ"Ｈの方に合わせると,キュリー定数はＣ＝Ｎμ_B²ｇ_J²Ｊ(Ｊ＋1)/(3ｋ_B)となります。

これは,イオンの磁化率(帯磁率)についての基本公式を与えるもので,後に放射能の研究などでノーベル賞をもらったCurie(キュリー)夫妻の夫の方のPierre Curieの若い頃(結婚前)の発見ですね。

この程度の計算は,最初は朝飯前だと思っていて,本当は記事としてはCurieの法則の話だけじゃなく,もっと突っ込んだ内容も含めて盛り沢山に書きたかったのですが,

結局,結果を知っているとはいえ,検算としての極限値の計算に丸１日半もかかってしまったので.短い内容になってしまいました。

歳のせいか,元々頭が馬鹿なのか,どちらかなのでしょうね,同じ計算間違いを何回もしてしまいました。

参考文献：金森 順次郎 著「磁性」(培風館),高柳和夫 著「原子分子物理学」(朝倉書店)

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久しぶりにヤフオク出品

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記念日(その２)

　実は今日４月10日は,昨年御茶ノ水の順天堂大学病院心臓血管外科で天野先生を中心とするスタッフの執刀で10時間程度の「心臓バイパス手術」を受けてから丁度１年経った記念日です。。

　一種の心臓を中心とした身体の再生した誕生日かなあ。。とりあえず,術後１年経ちました。当時から今まで世話になった方々,この1年間ありがとうございました。

　(心臓の冠動脈を中心とした動脈が糖尿病が原因か？通常人よりも極端に細くなっていて,いつ切れてもおかしくない状態で,切れたら死ぬところだったらしいのですが,運良く２度も心筋梗塞を起こしたのに助かり,そのときにこの病気が見つかりました。

　細くて切れそうな動脈血管の代わりとして,自分の体の肋骨の下の動脈や胃などの内臓のまだ太い動脈を,７本移植して繋ぎ,さらに不調だったらしい僧帽弁を修復して心臓を小さく絞るという内容の手術でした。)　

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磁場の中の原子(ゼーマン効果)(2)

ゼーマン効果(Zeeman effect)の続きです。

前回の最後では,

"外場としての磁場Ｂがあるとき原子エネルギーの変化は,

１電子系ならΔＥ＝μ_B{(ｌ＋2ｓ)Ｂ},

２電子系ならΔＥ＝μ_B{(ｌ₁＋ｌ₂)＋2(ｓ₁＋ｓ₂)}Ｂとなって,

原子が磁気モーメント:

Ｍ＝－μ_B(ｌ＋2ｓ),またはＭ＝－μ_B{(ｌ₁＋ｌ₂)＋2(ｓ₁＋ｓ₂)}

を持つ磁石のように挙動をすることがわかります。"

と書きました。

そして,前回の記号では.ｈ_c≡ｈ/(2π)をPlanck定数として,

Ｌ＝ｈ_cｌ,Ｓ＝ｈ_cｓでしたが,今回はこれら大文字のＬやＳを

多電子系での合成されたｌやｓの意味に用いることにします。

すなわち,２電子系ならＬ＝ｌ₁＋ｌ₂,Ｓ＝ｓ₁＋ｓ₂とします。 

こうすると,前回の結論は,

"磁場Ｂがあるとき原子エネルギーの変化はΔＥ＝μ_B(Ｌ＋2Ｓ)Ｂであり,この原子は磁気モーメントＭ＝－μ_B(Ｌ＋2Ｓ)を持った磁石のように挙動する。"

と,やや簡単な表現になります。

ここで,さらに簡単のためにスピンの存在を無視して,上式でＳ＝0 とおいてみます。

そして磁場Ｂが弱いときには全角運動量は保存されるはずですから,合成軌道角運動量Ｌは一定に保たれるとしてよいと思われます。

このとき,磁場Ｂが加えられた場合の原子のエネルギー変化はΔＥ＝μ_BＭ_LＢ,Ｍ_L＝－Ｌ,－Ｌ＋1,..,Ｌの様に,原子全体が磁場の中でどちらを向くかの違いによって(2Ｌ＋1)通りのエネルギーに分裂します。

ここで,Ｌ,Ｍ_L以外の量子数全体をαとして電子状態を(α,Ｌ,Ｍ_L)で指定してみます。

こうすれば,光子の角運動量(スピン)が１なので,光の吸収・放出に伴なって生じる電子遷移:(α,Ｌ,Ｍ_L)→(α',Ｌ',Ｍ_L')でのＭ_Lの変化:ΔＭ_L＝Ｍ_L'－Ｍ_LはΔＭ_L＝0,±1に限られるという選択則(selection rule)の存在がわかります。

したがって,磁場が存在しないときには１本であったスペクトルはΔＭ_L＝0,±1に応じてＢに比例するμ_BＢをエネルギー間隔とした３本の線に分裂します。これを"正常Zeeman効果"と呼びます。

しかし,現実にはスピンＳの存在もあって磁場の中で原子スペクトルの多くはより複雑な変化を受けます。

これらを一般に"異常Zeeman効果"と呼びます。

スピン・軌道相互作用(L-S coupling)があると合成軌道角運動量Ｌと合成スピンＳは無関係ではありません。

空間の等方性によって合成された全角運動量Ｊ≡Ｌ＋Ｓのみが一定に保存される量です。

ここで厳密ではありませんが,原子番号の小さい原子について有効な近似として,Ｌ,Ｓ,Ｊで大きさと形の一定な三角形が作られ,決まった向きと大きさを持つベクトルＪのまわりにＬ,Ｓが回転するような１種の歳差運動をする半古典的な原子模型を考えます。

そして,こうした原子が一様磁場Ｂの中にある場合のエネルギー変化:

ΔＥを考察します。

上述のモデルの原子系の軌道状態は全軌道角運動量Ｌとそのｚ成分(z-component):Ｍ_L(Ｍ_L＝－Ｌ,－Ｌ＋1,..,Ｌ)によって(2Ｌ＋1)通りの関数:ψ(Ｌ,Ｍ_L),あるいはその１次結合で表わされます。

また,スピン状態関数も同様にスピンＳとそのｚ成分:Ｍ_L(Ｍ_S＝－Ｓ,－Ｓ＋1,..,Ｓ)によって(2Ｓ＋1)通りの関数φ(Ｓ,Ｍ_S),あるいはその１次結合で表わされます。

そこで,結局,全角運動量がＪでそのｚ成分がＭ_Jであるような電子状態Ψ(Ｊ,Ｍ_J)は(2Ｌ＋1)(2Ｓ＋1)個の積:ψ(Ｌ,Ｍ_L)φ(Ｓ,Ｍ_S)の適当な１次結合で与えられると考えられます。

この関数を摂動論の 0-次の波動関数として,これによって磁場の存在による摂動ΔＥ＝μ_B(Ｌ＋2Ｓ)Ｂの期待値を計算すれば,Zeeman効果の主要なエネルギー変化を求めることができます。

さらに進めるに当たって量子力学における数学的な角運動量の合成則については割愛して,半古典的なベクトル模型によって同じ結論を物理的考察から導くことにします。

まず,磁気モーメントＭ＝－μ_B(Ｌ＋2Ｓ)のうち,全角運動量Ｊに垂直な成分Ｍ_⊥は,上記の歳差運動によって平均としてゼロになるので,観測にかかる磁気モーメントは平行成分Ｍ_//で与えられます。

そして,Ｍ_//＝(ＭＪ/|Ｊ|)Ｊ/|Ｊ|＝(ＭＪ)(Ｊ/Ｊ²)です。

Ｍ＝－μ_B(Ｌ＋2Ｓ)を代入して計算すると,

Ｍ_//＝－μ_B(Ｊ/Ｊ²)[(ＬＪ)＋2(ＳＪ)]

＝－μ_B(Ｊ/Ｊ²)[－(1/2){(Ｊ－Ｌ)²－Ｌ²－Ｊ²}

－{(Ｊ－Ｓ)²－Ｓ²－Ｊ²}]

＝－μ_B(Ｊ/Ｊ²)[(1/2){－Ｓ²＋Ｌ²＋Ｊ²}＋{－Ｌ²＋Ｓ²＋Ｊ²}]

＝－μ_B[3/2＋(Ｓ²－Ｌ²)/(2Ｊ²)]Ｊ

となります。

これを固有状態の状態関数に作用させたときの固有値としては,

Ｊ²＝Ｊ(Ｊ＋1),Ｌ²＝Ｌ(Ｌ＋1),Ｓ²＝Ｓ(Ｓ＋1)なので,結局,

公式:Ｍ_//＝－μ_B[3/2＋{Ｓ(Ｓ＋1)－Ｌ(Ｌ＋1)}/{2Ｊ(Ｊ＋1)}]Ｊ

を得ます。

最後の表式を,Ｍ_//＝－μ_BｇＪ,

ｇ≡3/2＋{Ｓ(Ｓ＋1)－Ｌ(Ｌ＋1)}/{2Ｊ(Ｊ＋1)}と書けば,

ｇは全角運動量Ｊに対するLande(ランデ)のｇ因子,あるいは

磁気回転比を表わすものです。

ここまでは磁場Ｂの存在を無視して原子の中での角運動量の合成のみで考察しています。

これは磁場の存在がこうしたＬとＳの結合がＪを与えるという法則をこわすほど強くはないという近似に基づいています。

しかし,実際には磁場Ｂがそれほど強くはないとしても,上述のように

原子がＪの方向にＭ_//＝－μ_BｇＪのような磁気モーメントを持つ磁気双極子,または磁石として存在しているという性質を維持しながらも,

磁場Ｂが存在するときは,それによって電子系が力を受けるためにＪはもはや一定の向きを保持できません。

しかし,Larmor(ラーモア)の定理として知られている性質があって,一般に角運動量Ｊは磁場方向を軸として歳差運動を行ない,磁場方向の成分のみは保存されます。

すなわち,磁場Ｂがあるとき磁気モーメントの受けるトルクは

Ｍ_//×Ｂ＝－μ_BｇＪ×Ｂなので,他にトルクが無いなら角運動量が従う方程式はｄＪ/ｄｔ＝－μ_BｇＪ×Ｂで与えられます。

そこで磁場Ｂがあるときでも,その方向をｚ軸にとればｄＪ_z/ｄｔ＝0 となり,Ｊ_z＝Ｍ_Jは時間的に一定であって保存されることになります。

得られた表式:Ｍ_//＝－μ_BｇＪ,

ｇ≡3/2＋{Ｓ(Ｓ＋1)－Ｌ(Ｌ＋1)}/{2Ｊ(Ｊ＋1)}によれば,

Ｌ＝0 のときｇ＝2でＳ＝0 のときｇ＝1です。

一般には磁場Ｂがあるとき,(Ｌ,Ｓ)の値の組によってｇが複雑に変わるので,それに応じて原子エネルギー準位の分裂:

ΔＥ＝Ｍ_//Ｂ

＝－μ_BｇＭ_JＢ,Ｍ_J＝－Ｊ,－Ｊ＋1,..,Ｊ

の間隔μ_BｇＢも変動します。 

既に述べたように,輻射補正があるので,電子１個のスピンのｇ因子はわずかに２とは異なるため,これをｇ_eと書けば系の磁気モーメントは　

Ｍ＝－μ_B(Ｌ＋2Ｓ)の代わりにＭ＝－μ_B(Ｌ＋ｇ_eＳ)となります。

そこで,Landeの式は厳密には,ΔＥ＝－μ_BｇＭ_JＢ,

ｇ＝1＋(ｇ_e－1){Ｓ(Ｓ＋1)－Ｌ(Ｌ＋1)＋Ｊ(Ｊ＋1)}/{2Ｊ(Ｊ＋1)}

と書けますが,通常はｇ＝ｇ_e＝2として差し支えないと思われます。

先に述べたように,光子の角運動量(スピン)は１なので,光の吸収・放出に伴なって生じる電子遷移によるＭ_Jの変化は,ΔＭ_J＝0,±1に限られるという選択則があります。

一般に始状態と終状態のｇ因子は異なるので,輻射される光のスペクトル線もかなり複雑な分裂を示すようです。

以上の議論では原子核は単に固定された点電荷であると見てきましたが,核によってはその角運動量をゼロとすることができないものもあります。この角運動量をｈ_cIと書くことが多いです。

核は複合粒子ですが,1つの粒子のように見なして,核スピンと呼ぶ習わしになっているようです。そして核スピンの存在に伴なって原子核が磁気モーメントを持つのでこれと磁場Ｂとの相互作用も生じます。

しかし,原子核と磁場の直接相互作用は核外電子群と磁場との相互作用に比べて極めて小さいので無視されることが多いようです。

電子の磁気モーメントの角運動量による表現:Ｍ_//＝－μ_BｇＪで.

"係数＝Bohr磁子(Bohr magneton)":μ_B＝ｅｈ_c/(2ｍ_e)の分母の電子の換算質量ｍ_eを"原子核の質量＝Ａ個の核子の質量和":Ａｍ_N (ｍ_N ～1840ｍ_e)で置換したものが核磁気モーメントなので,これは明らかです。

とは言っても,核スピンの角運動量:ｈ_cＩは核外電子群の全角運動量:ｈ_cＪと結びついて原子の全角運動量:ｈ_cＦを与えるので,これについては考慮する必要があります。

すなわち,Ｊ＋Ｉ＝Ｆ,Ｆ²＝Ｆ(Ｆ＋1),Ｆ＝|Ｉ－Ｊ|,|Ｉ－Ｊ|＋1,..,Ｉ＋Ｊであり,核スピンＩは全角運動量の保存則を通じて電子群と磁場との相互作用に間接的に寄与します。

外場としての磁場がＪとＩの結び付きをこわすほど強くないときには,原子は量子数Ｆによって定まる磁石のように挙動します。

先に用いたＪ,Ｌ,Ｓの作る三角形のモデルをＦ,Ｊ,Ｉの作る三角形に置き換える考察から,原子核と電子群の系は磁場の中での磁石の向きに応じて以下のようなエネルギーを持つことがわかります。

つまり,ΔＥ＝μ_Bｇ_FＭ_FＢ,Ｍ_F＝－Ｆ,－Ｆ＋1,..,Ｆでｇ_Fはこの場合に修正されたLandeのｇ因子です。

すなわち,磁気モーメントＭの全角運動量Ｆに平行な成分を示す表式はＭ_//＝(ＭＦ/|Ｆ|)Ｆ/|Ｆ|＝(ＭＦ)(Ｆ/Ｆ²)です。

これに,極めて小さい核磁気モーメントを無視した電子系のみの磁気モーメント:Ｍ＝－μ_BｇＪを代入すると,

Ｍ_//＝－μ_Bｇ(Ｆ/Ｆ²)[(ＪＦ)]

＝－(μ_Bｇ/2)(Ｆ/Ｆ²)[Ｆ²＋Ｊ²－(Ｆ－Ｊ)²]

＝－(μ_Bｇ/2)(Ｆ/Ｆ²)[Ｆ²＋Ｊ²－Ｉ²]

を得ます。

ここで,角運動量の固有状態ではＪ²＝Ｊ(Ｊ＋1),Ｉ²＝Ｉ(Ｉ＋1),

Ｆ²＝Ｆ(Ｆ＋1)なので,

Landeの式が.

ΔＥ＝μ_Bｇ_FＭ_FＢ,

ｇ_F＝ｇ{Ｆ(Ｆ＋1)＋Ｊ(Ｊ＋1)－Ｉ(Ｉ＋1)}/{2Ｆ(Ｆ＋1)}

と書けるわけです。

つまり,この場合Ｍ_//はＪに平行な成分の意味ではなく,それとわずかに向きの違うＦ＝Ｊ＋Ｉに平行な成分となります。

Ｊも軸Ｆのまわりにわずかな歳差運動するということの影響を考えることが必要になります。

以上は弱い磁場によるZeeman効果におけるスペクトルの超微細構造を与えたものです。

以下では原子番号が大きい場合や強い磁場がある場合の論議に移りますが,簡単のために核スピンについては無視することにします。

さて,これまでは原子番号があまり大きくなくて量子数Ｊだけでなく量子数Ｌ,Ｓもほぼ確定値を持ち,Ｊはそれらの確定値の結合である,としてきました。

こうした角運動量の合成はＬＳ結合(LS-coupling),または

Russell-Saunders coupling(ラッセル・ソーンダース結合)

と呼ばれる方式です。

しかし,原子番号が大きくなるにつれて,スピン・軌道相互作用が強くなり,やがてそれがCoulombよりも重要な存在になります。

ここまでくると電子群の軌道角運動量の合成やスピン角運動量の合成が別々になされるより以前に,個々の電子の軌道角運動量とスピン角運動量が強く結合して,それぞれの電子の全角運動量ｈ_cｊを作り,然る後にそれらが全て結合して全角運動量Ｊが決まると考えられます。

すなわち,ｊ₁＋ｊ₂＋..＋ｊ_N＝Ｊです。(Ｎは原子内電子数)

こうした方式での結合はｊｊ結合(jj-coupling)と呼ばれます。

このような大きい原子番号の場合にはZeeman効果もそのような枠組みで計算される必要があります。

一方,原子番号の中間領域ではCoulomb力とスピン・軌道相互作用が同程度に重要ですが,ここは中間結合領域と呼ばれます。

これらの場合にも,もちろんエネルギー変化はΔＥ＝Ｍ_//Ｂ

＝－μ_BｇＭ_JＢ,Ｍ_J＝－Ｊ,－Ｊ＋1,..,Ｊの形に表わせますが,

これのｇ因子に対する公式は.先に与えられたLandeのものとは違ってきます。

ところで,Ｌ＝Ｓ＝0 であるような原子でもZeeman効果は現われるのでしょうか？

実は磁場の１次の効果としては,Zeeman効果は現われませんが,これまでは無視してきた２次の項であるｅ²Ａ²/(2ｍ_e)が重要になります。

つまり磁場Ｂの向きをｚ軸に取れば,Ｌ＝Ｓ＝0 に対し磁場の存在によるエネルギー変化はΔＥ＝ｅ²Ａ²/(2ｍ_e)＝{ｅ²Ｂ²/(8ｍ_e)}{Σ_i=1^N(ｘ_i²＋ｙ_i²)}と書けます。

そして原子番号が大きくて原子の中に多数の電子がある場合には,その分布は球対称であると考えられるので平均して,ΔＥ＝{ｅ²Ｂ²/(12ｍ_e)}{Σ_i＜ｒ_i²＞}となります。

なぜなら,球対称分布では＜ｘ_i²＞＝＜ｙ_i²＞＝＜ｒ_i²＞/3 が成立すると考えられるからです。

ここで３月５日の記事「電場の中の原子(シュタルク効果)」で述べたことを思い出して,磁場の中の原子の同様な効果であるゼーマン効果に対して,この中の論議を応用することを考えます。

すなわち,一様電場の中に置かれた球対称原子のエネルギー変化であるStark効果においては,Ｄ＝αＥ(Ｅは電場,Ｄは分極ベクトルなる現象論的な式に対して,２次のエネルギー変化は,

ΔＥ＝－∫₀^EＤｄＥ＝－α|Ｅ|²/2

なる表現で与えられます。

これが,ΔＥ＝－(ｅ²|Ｅ|²/3)}{Σ_j≠n＜|ｒ_sp^jn|²＞/(Ｅ_j－Ｅ_n)}

なる表式に等置されてαの値が評価されました。

そこで,ここでもそのアナロジー(類似,模倣)で,"原子全体の磁気モーメント＝磁化":Ｍが磁場(磁界)Ｈから磁化率χで誘起されるという線形構造を持ってＭ＝χＨなる表式で与えられる一般的現象論を考えます。

アナロジーから,ΔＥ＝－χＨ²/2となりますが,磁束密度Ｂは

Ｂ＝μ₀Ｈ(μ₀は真空の透磁率)なのでΔＥ＝－χμ₀^-2Ｂ²/2です。

これを,ΔＥ＝{ｅ²Ｂ²/(12ｍ_e)}{Σ_i＜ｒ_i²＞}と等置することから

χ＝－{μ₀²ｅ²/(6ｍ_e)}{Σ_i＜ｒ_i²＞}なる等式を得ます。

これを見ればχは負の値ですが,これは原子の磁気モーメントが磁場と反対向きに生じることを意味しています。

これを"反磁性(diamagnetism)"と言います。

こうして,Ｌ＝Ｓ＝0 の磁気モーメントがゼロの原子でも磁場がかけられられたとき,磁場が誘起されてエネルギーにずれが生じるという効果が存在することが理論的に示されました。

しかし,これは磁気モーメントによる１次の効果よりはるかに小さいので,反磁性の寄与は通常の大抵の考察では無視されます。

ところでＡ²に比例する摂動項のの１次の項を問題にするなら,Ａの１次の摂動項の２次の寄与も同じオーダーの量ですから,同様に考慮する必要があると思われます。

すなわち,Ｌ＝Ｓ＝0 の状態|0＞への項－iｅｈ_cＡ∇/ｍ_eの２次の摂動項として,

Σ_n≠0{|＜ｎ|－iｅｈ_cＡ∇/ｍ_e|0＞|²/(Ｅ_n－Ｅ₀)}

＝Σ_n≠0{(|＜ｎ|(Ａ/ｍ_e)ｐ|0＞|²/(Ｅ_n－Ｅ₀)}

を計算し,考慮する必要があります。

この形を見ると,Ｅ_n＞Ｅ₀によって,この摂動項は正の寄与をすると見られるので"常磁性(paramagnetism)"を与えると思えますが,単独原子の場合にはこの寄与はゼロです。

そこで,"Ｌ＝Ｓ＝0 の状態＝基底状態"へのＡの２次の効果は反磁性だけでよいことがわかっています。

しかし,複数の原子系である分子の場合には,この項はゼロではなく無視できないようです。

さらに磁場が強くなると,異なる非摂動準位から磁場による摂動のために分裂して派生したエネルギー準位が混じるようになるので,もはや摂動として扱うのが正しくなくなります。

そこで,これにはより一般的な扱いが必要で,外磁場が強くてそれと比較してスピン・軌道相互作用が無視できる近似が可能になります。

それ故,ＬとＳはもはやＪとして一体になって外磁場Ｂと結び付くのではなく,それぞれ勝手にＢと結び付くようになります。この場合にも全角運動量Ｊ自身ではなく,Ｊの磁場の方向成分であるｚ成分はよい量子数になります。

例えば,Ｌ＝1のＰ状態の近傍ではＭ_L＝1,0,－1,Ｍ_s＝1/2,－1/2の組み合わせでＭ_J＝3/2,1/2,－1/2,－3/2の４通りが可能です。

しかし,光の吸収・放出,特に光学的許容遷移と呼ばれる主要な遷移ではΔＭ_s＝0 ですからＭ_Lの変化だけを考えればよいので強磁場では正常ゼーマン効果のみが現われるようになります。

こうした異常Zeeman効果が現われる弱磁場から正常Zeeman効果を示す強磁場へのスペクトル構造の変化はPaschen-Back effect(パッシェン－バック効果)と呼ばれています。

磁場がさらに強くなり原子内のCoulomb力を凌ぐ程度になると,電子軌道関数はもはや外場がないときと著しく異なるようになる,と予想されます。

したがって,摂動ではなく最初から外場を含む原子状態を考察する必要があると思われます。

外磁場を極めて強い一様磁場とし,その方向をｚ方向とします。

この中に電子を置くとｚ方向には力は働かず自由粒子と同じです。

ｘ,ｙ方向ではよく知られた円運動になり,全体としては螺旋運動をすることになります。そして,その振動数はω＝ｅＢ/ｍですが,これはサイクロトロン振動数(Cyclotron frequency)と呼ばれています。

量子論ではこの円運動に相当するものが量子化されて,エネルギーとして離散的な許容値を取るような状態のみが許されるようになります。

つまり,エネルギー許容値はＥ＝(Ｋ＋1/2)ｈ_cω＋ｐ_z²/(2ｍ_e);Ｋ＝0,1,2,..なる半離散的な表現で与えられます。

これの右辺第２項はｚ方向の自由運動のエネルギーを表わし,これは連続な正の値を取ります。

このエネルギー準位の表式はLandau(ランダウ)エネルギー準位と呼ばれているものです。

これらに対応した状態の波動関数は陽に解くことができて,円筒座標ρ,φ,ｚを用いると,それらの関数形はラゲール多項式などによって具体的に表現可能ですが,煩雑なのでここでは割愛します。

そして,同時にエネルギーのLandau準位もより具体的に書くことができますが,こちらは陽に書くとＥ＝(Ｎ＋Ｍ/2＋|Ｍ|/2＋ｇ_eσ_z/2＋1/2)ｈ_cω＋ｐ_z²/(2ｍ_e)です。

先に与えた式のＫに相当するのは,Ｎ＋Ｍ/2＋|Ｍ|/2 です。また,σ_zはパウリのスピン行列のｚ成分で,スピンの向きによるエネルギー差を表わすものです。

これ以上の話は極端に強い磁場での原子定常状態について実際に複雑な方程式を解く必要がありますが,これは簡単ではないのでここでは話を限定して,いわゆる断熱近似による水素原子についての記述のみを見ることにします。

一般に複数の自由度を持つ力学系において,ある自由度の運動が他の自由度の運動と比べて極端に速いとき,まず他の自由度は固定して速い運動をする自由度についてのみ解くことがよくあります。

こうした近似を断熱近似といいます。

外磁場があるとき,電子１個の系である水素原子のHamiltonianは,

Ｈ＝{－ｈ_c²/(2ｍ_e)}{(∂²/∂ρ²)＋(1/2)(∂/∂ρ)

＋(1/ρ²)(∂²/∂φ²)＋(∂²/∂ｚ²)}

＋{ｅＢ/(2ｍ_e)}(ｌ_z＋ｇ_eσ_z)＋ｅ²Ｂ²ρ²/(8ｍ_e)

－ｅ²/{4πε₀((ρ²＋ｚ²)^1/2}　

です。

さらに,磁場に比べてCoulomb力がはるかに弱いとして,右辺最後の項を無視する近似を行ないます。

すると,これは何のことはない,外場の中の自由電子の運動に帰着しますから,結果はLandau軌道になります。

ｚ＝一定の平面内の運動なら,そのエネルギー準位はＥ_NM＝(Ｎ＋Ｍ/2＋|Ｍ|/2＋ｇ_eσ_z/2＋1/2)ｈ_cωで与えられます。

ただし,原子単位ではｈ_cω＝Ｂ(tesla)/(2.35×10⁵)です。

一応これでZeeman効果については終わりにします。 

参考文献:高柳和夫 著「原子分子物理学」(朝倉書店)

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磁場の中の原子(ゼーマン効果)(1)

化学結合関連のシリーズ記事は,今年初めの2008年１/６の記事「氷,水,水蒸気の比熱」から動機付けされて,始めたものです。

そして,分子を語るにはその前にとりあえず原子からということで,１/11の「水素様原子の波動関数」,続いて１/13の「量子力学の変分原理」,１/15の「多電子原子の構造」と書き進みました。

さらに,１/19,1/21,1/23の「多原子系の方法論(分子軌道)(1),,(2),(3)」,1/26の「水素分子イオンと水素分子」,1/29の「水素分子イオンと水素分子(補遺)」と記事が続いて１月中は割りとマメに書いて理論としての順序もオーソドックスなものでした。

しかし,２月に入って２/５の記事「２原子分子イオン再考」の頃から分子の定性的構造主体の話に飽きたらず,その数学的な基礎付けが気になってやや脱線し始め,またモチベーションの維持も怪しくなって,この後は３月に入ってしまいました。

そして個人的には引越しなどもあって,この関連の最新記事３/12の「一般の２原子分子(等核,異核)」を書くためのの準備とするために３/５に原子に関する記事「電場の中の原子(シュタルク効果)」を書く,という状態になって,それからは結局,遅々として進まず,とうとう４月にまで突入してしまいました。

しかし「氷,水,水蒸気の比熱」の続編である「氷,水,水蒸気の比熱(2)」etc.を書きたい,という当初の目的意識は変わっていません。

しかし今日は脱線ついでに,せっかく「電場の中の原子(シュタルク効果)」を書いたので「磁場の中の原子(ゼーマン効果)」をも書いておこうと思います。

一般に原子は永久電気双極子モーメントを持たないので,水素様原子を除けば電場の中に物体を置いてもその影響,すなわち,Stark(シュタルク)効果は,摂動の２次以上でしか現われません。

これに反して,磁気双極子モーメントを持つ原子は珍らしくないので,磁場をかけるとその影響は摂動の１次で現われて,つまり１次の摂動でエネルギーの縮退が解けて輻射されるスペクトル線の分裂として観測されます。

これを,ゼーマン効果(Zeeman effect)と呼びます。

一様磁場があるとして,"それ＝磁束密度"をＢとすると,これはベクトルポテンシャルＡによってＢ＝∇×Ａと表わされます。

Ｂが一様なので,この関係を満たすＡの具体的な形としては位置ベクトルをｒとしてＡ＝(1/2)Ｂ×ｒなる表式を採用することができます。

そして,これは特にＢの向きをｚ方向に選び,Ｂ≡|Ｂ|とすると,Ａ＝(－ｙＢ/2,ｘＢ/2,0)と書けます。

電子の電荷を－ｅ,質量をｍ_eとし,原子の系を原子核の中心力による電子の１体問題と考え,その位置エネルギーを－ｅＶ(ｒ)と書けば,外場の存在しない場合の系のHamiltonianＨ₀は,Ｈ₀＝ｐ²/(2ｍ_e)－ｅＶ(ｒ)＝{－ｈ_c²/(2ｍ_e)}∇²－ｅＶ(ｒ)です。

ここでｈ_c≡ｈ/(2π)はPlanck定数でｍ_eは電子の換算質量です。

定常状態の波動関数をψ(ｒ)とすれば,それに対するSchrödingerの波動方程式は,Ｈ₀ψ＝Ｅψ,

すなわち[{－ｈ_c²/(2ｍ_e)}∇²－ｅＶ(ｒ)]ψ(ｒ)＝Ｅψ(ｒ)です。

そして,電子に限らず荷電粒子に対する方程式を,外場としてのベクトルポテンシャルＡ(ｒ)が存在する場合に変更するには,

粒子の電荷がｑのときは,これに対する極小相互作用変換(minimal couplimg):ｐ→ｐ－ｑＡを実行すればいいことがわかっています。

今の電子の場合には,操作:ｐ→ｐ－ｑＡにおいて,ｑ＝－ｅとすればいいことになります。

こう変換すれば,系のHamiltonianはＨ₀→Ｈ＝(ｐ＋ｅＡ)²/(2ｍ_e)－ｅＶ＝(－iｈ_c∇＋ｅＡ)²/(2ｍ_e)－ｅＶとなります。

そこで,磁場がある場合のSchrödinger方程式は,　

{－ｈ_c²∇²/(2ｍ_e)－iｅｈ_cＡ∇/ｍ_e＋ｅ²Ａ²/(2ｍ_e)－ｅＶ}ψ＝Ｅψ　となります。

ここで,Ａ＝(1/2)Ｂ×ｒにより∇Ａ＝0 となることを用いました。

左辺の第２項は,－iｅｈ_cＡ∇/ｍ_e＝{ｅ/(2ｍ_e)}(Ｂ×ｒ)(－iｈ_c∇)＝{ｅ/(2ｍ_e)}{(Ｂ×ｒ)ｐ}＝{ｅ/(2ｍ_e)}{(ｒ×ｐ)Ｂ}＝{ｅ/(2ｍ_e)}(ｈ_cｌＢ)と書けます。

ここでｌ＝(ｌ_x,ｌ_y,ｌ_z)は方位量子数,あるいは角運動量量子数で,Ｌ＝ｈ_cｌは軌道角運動量ベクトルを表わします。 

ところで,電子の磁気双極子モーメントをＭとすると,それが磁場Ｂの中にあるときには相互作用エネルギーは,－ＭＢで与えられるはずですから,

上の磁場の１次の相互作用エネルギー項:(－iｅｈ_cＡ∇/ｍ_e)は,この－ＭＢに等しいと同定される必要があります。

そして,軌道に関わる磁気双極子モーメントを特にＭ_lと書けば,それによる相互作用エネルギーは,－Ｍ_lＢ＝－iｅｈ_cＡ∇/ｍ_e＝{－iｅｈ_c/(2ｍ_e)}(Ｂ×ｒ)∇＝{ｅｈ_c/(2ｍ_e)}(ｌＢ)です。

故に,Ｍ_l＝－μ_Bｌ,μ_B≡ｅｈ_c/(2ｍ_e)と書いてよいことになります。

ここでμ_Bはボーア磁子(Bohr magneton)と呼ばれる定数です。

実際,古典論でも電子は電荷－ｅを持つので電子が周期運動をする場合の軌道電流によって生じる磁気モーメントＭ_lは,軌道角運動量Ｌに対してＭ_l＝{－ｅ/(2ｍ_e)}Ｌなる式で与えられますから,理にかなっています。 

そして磁場が比較的弱い場合を考えてＡの２次の項ｅ²Ａ²/(2ｍ_e)ψ(ｒ)を無視する近似をします。

ところで電子には軌道角運動量Ｌ＝ｈ_cｌのほかにスピン角運動量Ｓ＝ｈ_cｓがあることが知られています。

Pauli(パウリ),およびGoudsmit(ガウシュミット),Uhlenbeck(ウーレンベック)に始まるスピン概念に基づく電子のスピン角運動量Ｓ＝ｈ_cｓは,Pauli行列σを用いて,ｓ＝σ/2,あるいはＳ＝ｈ_cｓ＝(ｈ_c/2)σと行列表現されます。

このｓとスピン磁気モーメントＭ_sの関係は,上述の古典論から推察される軌道角運動量のそれ:Ｍ_l＝－μ_Bｌとは異なり,

磁気回転比(gyromagnetic-ratio),またはLande(ランデ)のｇ因子と呼ばれる余分な因子ｇ_e＝２を持っていて,Ｍ_s＝－ｇ_eμ_B ｓ＝－2μ_Bｓで与えられることがわかっています。 

このｇ_e＝２の因子が存在する理論的根拠については私の過去のブログ記事,2006年９/８の「パウリのスピンと相対性理論」で次のように書いています。

Pauliの導入したスピンという概念は,Dirac方程式という量子論の相対論的波動方程式が導入されて初めてその意味が明らかになったのは歴史的には恐らくその通りであろうと思います。

しかし,これは決して相対論的効果であるというわけではなく,非相対論でも電子などのFermi粒子が２成分のスピノルで記述されることを意識すれば得られる概念であると思われます。

実際,まず,非相対論での"運動エネルギー＝自由粒子の全エネルギー"を示すHamiltonian:Ｈ＝ｐ²/(2ｍ)を,これと全く同値な表現の式:

Ｈ＝(σｐ)²/(2ｍ)に書き換えて,

その後,電磁場がある場合の通常の手続きに従い,極小相互作用変換:

ｐ→ｐ－ｑＡ,Ｈ→Ｈ－ｑＶを施して,

Ｈ＝{σ(ｐ－ｑＡ)}²/(2ｍ)＋ｑＶと変換すれば,

Ｈ＝ｐ²/(2ｍ)－(ｑｈ_c/2ｍ)(σＢ)＋ｑ²Ａ²/(2ｍ)＋ｑＶ

となります。

こうして,自然にPauli項:－(ｑｈ_c/2ｍ)(σＢ)が得られます。

そして,この項において１体問題の対象粒子を電子としてｑ＝－ｅ,ｍ＝ｍ_e,かつσ＝2ｓと置けば,－(ｑｈ_c/2ｍ)(σＢ)は{ｅｈ_c/(2ｍ_e)}(σＢ)＝(ｅｈ_c/ｍ_e)(ｓＢ)＝－{(－2μ_Bｓ)Ｂ}となります。

これは,確かに電子の磁気モーメントがＭ_s＝－2μ_Bｓ＝－μ_Bσのときの磁場と磁気モーメントの相互作用:－Ｍ_sＢに一致します。 

もっとも実際の電子の磁気回転比ｇ_eの値が正確に２に一致するというわけではなく,現時点ではｇ_e＝2.0023193044という微妙に異なる実測値が得られています。

現実の電子は絶えず仮想的に"光子＝電磁波"の輻射と吸収を繰り返している存在であるという効果を考慮して輻射補正を行なう,

つまり,量子電磁力学(QED)の"くりこみ"を行なうと,その結果,お釣りの項として得られる"異常磁気モーメント"として知られています。

この異常磁気モーメントへの最低次の摂動項の寄与なら,私も学生時代に計算をしたことがありますが,これは元の素朴な値に対してα/(2π)なる比率で与えられることがわかります。

この項は,発見者の名を取ってSchwinger(シュヴィンガー)項と呼ばれています。

そこで最低次の摂動までなら,ｇ_e～2{1＋α/(2π)}と近似されます。

ここで無次元の定数α≡ｅ²/(4πε₀ｈ_cｃ)～1/137.03599は微細構造定数と呼ばれている値ですが,これを代入すると,ｇ_e～ 2×1.0011614＝2.0023228ですから,最低次の近似でも実測値 2.0023193044との著しい一致が見られます。

まあ,余談はさておき,この他にさらにスピン軌道相互作用項：

(Ｌ-Ｓ coupling)として,

{ｅ/(2ｍ_eｃ²ｒ)}(ｄＶ/ｄｒ)(ＬＳ)

＝{ｅｈ_c²/ (2ｍ_eｃ²ｒ)}(ｄＶ/ｄｒ)(ｌｓ)

＝{ｅｈ_c²/(4ｍ_eｃ²ｒ)}(ｄＶ/ｄｒ)(ｌσ)

もあります。

こちらの方は,明らかに相対論的効果です。

特殊相対論によれば,磁場Ｂの他に電場:Ｅ＝－∇Ｖ

＝－(ｒ/ｒ)(ｄＶ/ｄｒ)がある場合には,

速度ｖで運動する荷電粒子の体験する磁場はＢではなく,粒子に対してＥが－ｖで運動する効果から生じる磁場との重ね合わせです。

ｖ＝|ｖ|がｃに対して十分微小なときの近似では,有効磁場は,

Ｂ－(ｖ×Ｅ)/ｃ²となります。 

粒子の感じる実質的な磁場は,Ｂ→ Ｂ＋(Ｅ×ｖ)/ｃ²

＝Ｂ＋(Ｅ×ｐ)/(ｍ_eｃ²)なので,

荷電粒子が電子の場合のPauli項は,{ｅｈ_c/(2ｍ_e)}(σＢ) →

{ｅｈ_c/(2ｍ_e)}(σＢ)＋{ｅｈ_c/(2ｍ_e²ｃ²)}{σ(Ｅ×ｐ)}

と変換されます。

そして,右辺最後の余分な項{ｅｈ_c/(2ｍ_e²ｃ²)}{σ(Ｅ×ｐ)}は,

σ(Ｅ×ｐ)＝－(1/ｒ)(ｄＶ/ｄｒ){σ(ｒ×ｐ)}

＝－(1/ｒ)(ｄＶ/ｄｒ)(σＬ)によって,

{ｅｈ_c/(2ｍ_e²ｃ²)}{σ(Ｅ×ｐ)}

＝－{ｅ/(ｍ_e²ｃ²ｒ)}(ｄＶ/ｄｒ)(ＬＳ)

＝－{ｅｈ_c²/(2ｍ_e²ｃ²ｒ)}(ｄＶ/ｄｒ)(ｌσ)　

となります。

しかし,これは実際のスピン軌道相互作用項:

{ｅ/(2ｍ_e²ｃ²ｒ)}(ｄＶ/ｄｒ)(ＬＳ)

＝{ｅｈ_c²/(4ｍ_e²ｃ²ｒ)}(ｄＶ/ｄｒ)(ｌσ)

と比較して因子２だけ大きく見積もられている違いがあります。

つまり,これは磁場Ｂ→Ｂ＋(Ｅ×ｖ)/ｃ²に対するPauli項を,

ｇ_e⁽¹⁾μ_BｓＢ＋ｇ_e⁽²⁾μ_B/(ｍ_eｃ²ｒ)(ｄＶ/ｄｒ)(ｌｓ)

と表現するとき,

第１項のスピン項での磁気回転比ｇ_e⁽¹⁾が2 であるのに対して,

第２項のｇ_e⁽²⁾μ_Bｈ_c/(ｍ_eｃ²ｒ)(ｄＶ/ｄｒ)(ｌｓ)

＝ｇ_e⁽²⁾μ_B/(ｍ_eｃ²ｒ)(ｄＶ/ｄｒ)(Ｌｓ)でのそれは,

ｇ_e⁽²⁾＝１であることを意味します。 

これには,相対論におけるThomas(トーマス)の歳差運動が関係していると思われます。

非相対論では直交座標軸の回転を伴わない２つのGalilei変換の合成によって,ある慣性系から別の慣性系に移っても,もちろん座標軸の回転は生じません。

しかし,特殊相対論では"座標軸の回転を伴なわない相対運動＝ブースト(boost)"のLorentz変換の連続であっても,２つ以上の変換の合成は直交軸の回転を伴なうことがわかっています。

すなわち,Ｓ系に対するＳ'系の速度をｕとしたときのLorentz変換:

(ｘ,ｔ) → (ｘ',ｔ')は,

ｘ'＝ｘ＋ｕ{(ｘｕ)(γ－1)/ｕ²－γｔ},

ｔ'＝γ{ｔ－(ｘｕ)/ｃ²}

ただし,γ≡(1－ｕ²/ｃ²)^-1/2です。

さらにＳ'系に対するＳ"系の速度をｕ'としたときのLorentz変換:

(ｘ',ｔ') → (ｘ",ｔ")は

ｘ"＝ｘ'＋ｕ'{(ｘ'ｕ')(γ'－1)/ｕ'²－γ'ｔ'},

ｔ"＝γ{ｔ'－(ｘ'ｕ')/ｃ²} ;γ'≡(1－ｕ'²/ｃ²)^-1/2

です。

これらから(ｘ',ｔ')を消去すれば,

ｘ"＝Ｄ^-1ｘ－ｗ"{(ｘｗ)(γ"－1)/ｗ²－γ"ｔ},

ｔ"＝γ"{ｔ－(ｘｗ)/ｃ²};γ"≡(1－ｗ²/ｃ²)^-1/2

なる変換となり,やはりLorentz変換ですが演算子Ｄ が一般に単位演算子ではないので軸の回転が生じます。

ここでｗはＳに対するＳ"の速度,ｗ"はＳ"に対するＳの速度です。

ｗ＝[ｕ'/γ＋ｕ{(ｕ'ｕ)(1－1/γ)/ｕ²＋1}]/{1＋(ｕ'ｕ)/ｃ²},

ｗ"＝－[ｕ/γ'＋ｕ'{(ｕ'ｕ)(1－1/γ')/ｕ'²＋1}]/{1

＋(ｕ'ｕ)/ｃ²}

と書けるわけです。

さらに,Ｓ'系に対するＳ"系の変換が無限小変換,つまりｕ'が無限小のとき,ｕ'の２次以上は無視できて,(ｘ',ｔ')→(ｘ",ｔ")は,

ｘ"＝ｘ'－ｕ'ｔ',ｔ"＝ｔ'－(ｘ'ｕ')/ｃ²となり,　

また,ｗ＝ｕ＋(1/γ){ｕ'＋ｕ(ｕ'ｕ)(1/γ－1)/ｕ²},

ｗ"＝－{ｕ＋ｕ'－ｕ(ｕｕ')/ｃ²}　

となります。

これらの大きさは等しく,ｗ²＝ｗ"²＝ｕ²＋2(ｕｕ')/γ²

です。 

これに,(ｘ,ｔ)→(ｘ',ｔ')の

ｘ'＝ｘ＋ｕ{(ｘｕ)(γ－1)/ｕ²－γｔ},

ｔ'＝γ{ｔ－(ｘｕ)/ｃ²}を代入すれば,

長い計算の結果として,　

Ｄ^-1ｘ＝ｘ＋{(γ－1)/ｕ²}{(ｕ×ｄｕ)×ｘ}

を得ます。ここで,ｄｕ＝ｗ－ｕです。

それ故,こうした座標系の変換のために,系の位置座標が変換を受けるという受動的な表現ではなくて,座標系を不変に保って系自身が移動するという能動的な表現では,

Ｄｘ＝ｘ＋(Ω×ｘ),Ω＝－{(γ－1)/ｕ²}{(ｕ×ｄｕ)　

となります。

したがって,回転演算子Ｄは軸の方向がベクトルΩの方向に等しく,回転角がΩの絶対値|Ω|に等しい無限小回転を表わしています。

ここで仮想的に大きさを持たない点状のコマですが,何らかの方法で回転軸の方向を定義できる質点,あるいは粒子の存在を想定します。

スピン(自転)を有する古典的電子はこうした点状のコマと考えることができます。

そして,ある準拠系Ｓに対する質点粒子の速度をｖ＝ｖ(ｔ)とした,

Ｄｘ＝ｘ＋(Ω×ｘ),Ω＝－{(γ－1)/ｖ²}{(ｖ×ｄｖ)

なる表現において,

ｄｖ＝(ｄｖ/ｄｔ)ｄｔと考えれば,Ｓ',Ｓ"系というのはそれぞれ時刻ｔ,ｔ＋ｄｔにおいて粒子が瞬間的に静止している慣性系であると解釈することができます。

そして,ＳからＳ"への変換は回転を伴なわず,しかも無限小変換ですから,粒子に作用する力がコマにトルクを及ぼすようなものでない限り,コマが時刻ｔ＋ｄｔにＳ"系の座標軸に対して示す方向は時刻ｔにＳ'系の座標軸に対して示す方向と同じとみなすのが自然です。

実際に,ｄｖ＝(ｄｖ/ｄｔ)ｄｔをΩ＝－{(γ－1)/ｖ²}{(ｖ×ｄｖ)に代入すると,

このときの回転ベクトルΩは時刻ｔ＋ｄｔにＳ"系でのコマが時刻ｔにＳ'系で有するのと同じ向きを有するために,Ｓ系において行なうべき回転を示しています。

よって,Ω＝ωｄｔと書けば,"加速度運動をしている粒子＝コマ"はＳ系に対して角速度ω＝－{(γ－1)/ｖ²}{ｖ×(ｄｖ/ｄｔ)}で歳差運動を行なうと解釈されます。

さらに,ｖ＜＜ｃの場合はω～－{ｖ×(ｄｖ/ｄｔ)}/(2ｃ²)です。

これをトーマスの歳差運動(Thomas' precession)と呼びます。

※下図はスピンという意味ではなく古典的軌道運動として電荷ｅの荷電粒子が描く歳差運動の例です。

　　　

　※

さて,Thomasの歳差運動の角運動量への寄与を求めてみます。

粒子のスピンなどの運動が理想的に等速円運動であるとしても一般性を失わないと思われるので,これを仮定し,この運動の角速度をω₀とすれば

ｄｖ＝－ｖ(ｒ/ｒ)ｄθ,つまりｄｖ/ｄｔ＝－ｖ(ｒ/ｒ)ω₀より,

ｖ×(ｄｖ/ｄｔ)＝－ｖ²ω₀です。

ただし,ここではγ≡(1－ｒ²ω₀²/ｃ²)^-1/2です。

そこで,Thomas歳差運動の角速度:

ω＝－{(γ－1)/ｖ²}{ｖ×(ｄｖ/ｄｔ)}を回転運動の１周期:

Ｔ＝2π/ω₀にわたって積分して１平面内での回転角を求めると,

∫₀^Tωｄｔ＝－(γ－1)∫₀^T[{ｖ×(ｄｖ/ｄｔ)}/ｖ²]ｄｔ

＝2π(γ－1)　

となります。

つまり,Thomas歳差運動は回転運動の１周期当りに,軸のまわりに角度2π(γ－1)の軸の回転を与えます。

したがって,一般に粒子の角運動量がＪで与えられる場合,粒子はThomas歳差運動のおかげで１周期の間に通常の2π回転の他にさらに2π(γ－1)の寄与を受けるため,実質的な角運動量はＪではなく,