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2008年5月11日 (日)

電磁気学と相対論(1)(特殊相対論の運動学と力学のレヴュー)

 相対性理論といえば,そもそもアインシュタイン(A.Einstein)

 が特殊相対性理論を確立させたときの論文の題名が,和訳で

 「運動物体の電気力学について」というものですから,

 元々電磁気学とは切っても切れない間柄です。

 

確かこれの薄い文庫本が出ていて,私もかつてそれを買って読み

かけていたので部屋のどこかにあるはずですが,全部読まない

うちに現在在所が不明になっています。

 

Einsteinの論文で私が最初に読んだのが邦訳の

「アインシュタイン選集2」の一般相対論関連のそれで,

その訳は内山龍雄先生だったし,Pauliのテキストとか,

相対論の歴史的なものの邦訳だと大抵は内山先生なので,

これの訳もそうだったかなあ。。

 

さて,相対性理論と関連して,真空中の電磁気学から始めて物質中

の電磁気学の定式化まで述べたいと思いますが,特殊相対性理論

そのものを語るのが目的ではないので,

 

その理論で確立されている運動学や力学に関する公式などは証明

抜きで使用することにします。

 

まず,力のような概念抜きの幾何学である運動学から始めます。

 

最初は特殊Lorentz変換(ローレンツ変換)ですね。

 

ある慣性系Iにおいて時刻tに1点Pで起こった事象は空間の

3つの座標≡(x1,x2,x3)=(x,y,z)と時間変数tで記述

されます。

 

この4個の座標を時空座標と呼び,これを

(t,x1,x2,x3)=(t,x,y,z)=(t,)と記述します。

 

こうして慣性系Iに1つのの時空座標系(準拠系)Sを固定させる

ことができます。

 

そして,同じ事象を互いに一定の相対速度で併進運動している

2つの慣性系IとI'から見ることを想定し,IとI'のそれぞれ

に固定された座標系SとS'で測った時空座標の間の関係:

 

なわち,特殊相対性理論の運動学での変換は,Lorentz変換と

呼ばれています。

(※↑これは,非相対論でのGalilei変換に相当します。)

 

まず,このLorentz変換の具体的な表現式を紹介します。

 

S系,およびS'系で同じ事象を表わす時空座標をそれぞれ

(t,x1,x2,x3)=(t,x,y,z)=(t,),および,

(t',x'1,x'2,x'3)=(t',x',y',z')=(t',')

とします。

 

そしてS'系はS系に対し一定速度で併進運動していると

します。

 

ここで,特にSとS'系の3つの空間座標軸が向きも含めて全て

平行であり,さらに時刻t=t'=0 で両系の原点O,O'が完全

に一致している特別な場合を想定します。

 

さらにS'のSに対する併進運動速度はx軸,あるいはx1

の方向を持っているとしてその主成分は符号も含めてvである

とします。

 

このとき真空中の光速をcとし,γ≡(1-v2/c2)-1/2とおけば,

t'=γ(t-vx/c2),x'=γ(x-vt),y'=y,z'=z,

または,t'=γ(t-vx1/c2),x'1=γ(x1-vt),

x'2= x2,x'3=x3 なる関係があることがわかっています。

 

これを特殊Lorentz変換といいます。

 

 

一般に座標軸が平行な特別な場合に限らず,時刻t=t'=0 で

両系の原点O,O'が完全に一致している場合の特殊相対性理論

の変換は全てLorentz変換と呼ばれます。

 

今,時間と空間を合わせて4次元と考えた空間,いわゆる4次元

Minkowski 空間を想定してSおよびS'系の時空座標を,

μ=(x0,x1,x2,x3)≡(ct,),および,

x'μ=(x'0,x'1,x'2,x'3)≡(ct',')

表わします。

 

Lorentz変換の形式をより簡明で明確な形で見るには行列を用いた

表現が適しています。

 

そうした表現を得るために,"座標変換=Lorentz変換":

μ→ x'μ=Λμννを,変換行列:Λ≡(Λμν)

によって,x'=Λと表現します。

 

そして,対角成分がg00=-g11=-g22=-g33=1で,

μ≠νの非対角成分が全てゼロであるような成分gμν

を持つ2階共変な不変計量テンソルを≡(gμν)とします。

 

このとき,x'μ=Λμνν,またはx'=ΛxがLorentz変換

であるための必要十分条件は,x'2≡x'μx'μ= xμμ

=x2となること

 

つまり,x'μμνx'ν=xμμννとなることです。

 

行列表現では, tx'x'=tx となることが,

x'=ΛxがLorentz変換であるための必要十分条件です。

  

ただし,txはxの転置行列(transport:行と列を交換した行列)

です。

  

(※:今のケースではxが4行1列の列ベクトルなので,txは

1行4列の行ベクトルを意味します。)

 

※(注):ここで,"同じ添字が2つ現われる場合は,それを0から3

まで加えて縮約する"というEinsteinの規約を採用しています。

 

例えば,xμ=gμννの右辺のgμννは,Σν=03μνν

を意味し,μμはΣμ=03μμを意味するという具合です。

 

さらに,xμμΣμ=03μμ=Σμ=03Σν=03μμνν

ですが,この最右辺はEinsteinの規約ではxμμννと書いて

いいので,この記法を活用するなら,xμμ=xμμννと書

けることになります。

 

そして,xμ≡gμννです。

 

普通の時空座標xμが反変座標と呼ばれるのに対して,xμ

共変座標と呼ばれます。

 

すなわち,x'μ=Λμννと同じ変換性,A'μ=Λμνν

を持つ4元ベクトルAμは添え字を上に付けて表わし,これを

反変ベクトルと呼びます。

 

一方,Aμ≡gμννなるベクトルは時空座標xμによる偏微分

μ≡(∂/∂xμ)の変換性;∂'μ=(Λ-1)μννと同じ変換性,

つまりA'μ=(Λ-1)μννを満たすので,これを共変ベクトル

と呼ぶのが慣例です。

 

もっとも,特殊相対論では計量gμνは定数成分の対角行列

"{1,-1,-1,-1}=Minkowski計量"で与えられ,その逆:

μν≡(g-1)μνも値としてはgμνと全く一致するので,

共変,反変を意識する必要はありません。

  

しかし,こうした共変,反変の概念や記法の定式化は,一般

相対性理論に由来し,計量gμνが定数でなく一般的な空間

の曲がりを表わすRiemann計量の場合の一般相対論の幾何学

にも適用できるようになっています。

 

(注終わり※)

 

さて,Lorentz変換の必要十分条件を示す等式:

x'μμνx'ν=xμμννに,x'μ=Λμννまたは

x'=Λxを代入すると,この等式が行列形式では,

ttΛGΛx=txと表現されます。

 

これは移項すると,tx(tΛGΛ)x=0 ですが,時空座標

x≡xμ=(x0,x1,x2,x3)は全く任意ですから,

tΛGΛ=0 です。

 

結局,tΛGΛが成立することが4×4行列Λによる変換

がLorentz変換になるための必要十分条件です。

 

この4×4行列ΛによるLorentz変換は,3次元空間で

t-1を満たす3×3直交行列が座標軸の回転を表わす

ということのアナロジーから,4次元回転と呼ばれることも

あります。

 

そして,時刻t=t'=0 で両系の原点O,O'が完全に一致する

とは限らない場合,つまり,"4次元回転=Lorentz変換"と4次元

空間の平行移動を合成した一般の合同変換に属する変換:

x→ x'=Λx+aは,Poincare変換と呼ばれます。

 

Poincare'変換:x'=Λx+aにおいてa=0 の場合,

Lorentz変換:x'=Λxは文字通りの意味で特別な場合として

座標軸の空間回転も含みます。

 

いい換えると,3次元の空間回転の直交変換も1つのLorentz変換

であり,回転群はLorentz群の部分群であるといえます。

 

空間回転を含まない場合,つまりS'がSに対して一定速度

併進運動しているだけのいわゆるブースト変換(Boost)のみの場合

を考えて,

 

変換を馴染み深い座標:(t,)と(t',')とで表現すれば,

γ≡(1-2/c2)-1/2として,t'=γ{t-(vx)/c2},

'={(xv)(γ-1)/2-γt} と書けます。

 

さらに,S系を準拠系として運動する質点粒子の軌道を時刻t

における粒子の空間座標=(x,y,z)=(x1,x2,x3)で

記述するとき,

 

S系における粒子の速度:=(u1,u2,u3)を,

 

≡d/dt=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)

=(dx1/dt,dx2/dt,dx3/dt)

=(1/c)(dx1/dx0,dx2/dx0,dx3/dx0)

 

で定義します。

 

このとき,同じ質点粒子のS'系を準拠系とする軌道は時刻t'に

おける粒子の空間座標'=(x',y',z')=(x'1,x'2,x'3)で

記述され,その速度:'≡(u'1,u'2,u'3)は,

  

'≡d'/dt'=(dx'/dt',dy'/dt',dz'/dt')

=(dx'1/dt',dx'2/dt',dx'3/dt')で与えられます。

 

速度'の表現式にt'=γ{t-(vx)/c2},

'={(xv)(γ-1)/2-γt}を代入すれば,

S系では速度で運動している粒子をS系に対して速度

で運動するS'系から見たときの速度'はを用いて

どのように表現されるかの変換式も得られます。

 

これは観測される速度には限界がないことを前提とした

特殊相対性理論以前のNewton力学でのGalilei変換では,

明らかに’=ですが, 特殊相対性理論に基づく

Lorentz変換では異なる変換性を持ちます。

 

まず,dt'=γ{dt-()/c2},および

'=d{(d)(γ-1)/2-γdt}

です。

 

そこで,'=d'/dt'

=γ-1/dt[(1-γ-1)

×{(d/dt)}/2-1])/[1-{(d/dt)}/c2]

です。

 

結局,

'=[γ-1+{(1-γ-1)(uv)/2-1}]/{1-(uv)/c2}

となります。

 

特に,の向きが平行ときには,(uv)=uvですから,

それらの向きの主成分で考えると,u'=(u-v)/(1-uv/c2)

逆にu=(u'+v)/(1+u'v/c2)となります。

  

さらにu'=cならu=cですね。

 

もしも,u>cの光速より速いタキオン粒子(tachyon)が存在すれば

それを利用して光速より速い往復通信を行なうことができます。

 

そこで例えば,競馬の結果情報の信号をタキオン載せて発信する

と,その情報を発信するよりも前に,まだ発信していない信号が

戻ってきて因果律が破れることがあることを示すことができます。

 

詳しくは,このブログ「TOSHIの宇宙」の2006年6/29の記事

タキオンと因果律」における具体的な計算を参照ください。

 

この記事では,タキオンによる信号伝達時刻の計算の結果として

因果律が破れることが有り得ることを例を挙げて証明しています。

 

もしも興味がおありならご覧ください。

 

こうしたタキオン通信が可能なら,競馬の馬が出走する前に未来

の着順結果の情報がわかるので,これを使って大儲けすることも

可能ですから,個人的にはできたらいいなとは思いますが,常識的

には不合理と感じます。

 

だからといって,光速を超えるタキオンのようなものが存在しない

とは言い切れません。

 

実際,上にも述べましたが,それの存在を仮定して理論に基づいて

因果律が破れるかどうかを具体的に計算することが可能であるこ

とからもわかるように,超光速の粒子が存在しても,相対性理論は

そうした粒子も包摂した理論であり,理論の枠内で記述できます。

 

これは,20世紀の初めEinsteinを中心として相対性理論が構築され

た当初からそうだったわけで,別に後付けではありません。

 

また,タキオンの話とは別に,それこそ莫大なエネルギーが必要

ですが,"ワームホール(worm hole)=時空の虫食い穴"を作成する

ことができて,潮汐力などで破壊されずに通過できる宇宙船

があれば,

 

これを利用して,現在の事象からは絶対的未来,あるいは絶対的過去

の領域にある時空点までをショ-トカット(short-cut)すること,

いわゆるワープ(warp)することができます。

 

そこで,"トンデモ理論"ではなく,SFでしかなかった

タイムマシン,あるいはタイムトラベルが可能であるという

キップ・ソーン(Kip Thome)らの真面目な理論もあります。

 

(PS:量子論の非局所性により「遅延選択実験」のようなものを

利用すれば,莫大なエネルギーで時空を曲げるという大掛かりな

方法でなくても,未来予知,タイムトラベルは可能と思うのです

がね。。。)

 

余談はこれくらいにして,次に運動学をも含む相対論的力学です。

 

運動学(幾何学)以外の力学的要素として,相対論的力学で質量m

の粒子が速度で運動しているときの,運動量とエネルギーE

の運動学的量との関係を導入します。

 

運動量は=m/(1-2/c2)1/2であり,エネルギー

(自由粒子のエネルギー)はE=mc2/(1-2/c2)1/2

で与えられます。

 

そして,このエネルギー:Eの=0 で静止しているときの

静止エネルギー:mc2との差:

T≡E-mc2=mc2/(1-2/c2)1/2-mc2を,この粒子の

運動エネルギーと呼びます。

  

このとき,時空座標xμと同じように4次元の運動量を,

S系ではp≡pμ=(p0,p1,p2,p3)≡(E/c,)とし,

S'系ではp'≡p'μ=(p'0,p'1,p'2,p'3)≡(E'/c,')

とすると,

 

SとS'の時空座標の変換がx'=Λx:x'μ=Λμννのとき

には,エネルギー-運動量の変換もp'=Λp:p'μ=Λμνν

なります。

 

つまりp≡pμ≡(p0,p1,p2,p3)≡(E/c,)は時空座標;

x≡xμ=(x0,x1,x2,x3)=(ct,)と同じく,

"4次元Minkowski空間のベクトル=4元ベクトル"と見なす

ことができます。

 

この場合も,変換を(E/c2,)と(E'/c2,')とで表現

すれば,やはりγ≡(1-2/c2)-1/2として,

E'=γ{E-(vp)},および,

'={(pv)(γ-1)/2-γE/c2}

と書けます。

 

この式で,EとE','を入れ換えてを-とすれば,

逆変換として,E=γ{E'+(vp')},および

'+{(')(γ-1)/2+γE'/c2}

も得られます。

 

それ故,x2=xμμ=c222と同様,

2=pμμ=E2/c22は"Lorentz変換=4次元回転"に

対する不変量です。

  

こうしの不変量は4次元スカラー,あるいはLorentzスカラーと

呼ばれます。

  

そして,今述べたスカラー量を具体的に計算すると,m22となる

ことがわかります。

  

すなわち,p2=pμμ=E2/c22=m22です。

 

質量(静止質量)mは当然,座標系に依らないスカラーなのですね。

 

そこで,E2=c22+c42:E=c(2+m22)1/2であり,

特に質量mがゼロである光のような場合には,E=cpと

なります。

 

 そして,質点が外力を受けている場合の運動方程式は

 d/dt=であり,これと独立な方程式ではないですが,

 4元ベクトルのもう一つの成分であるエネルギーEについては

 dE/dt=(Fu)です。

 

運動方程式:d/dt=と,エネルギー,運動量の変換式:

E=γ{E'+(vp')},

'+{(')(γ-1)/2+γE'/c2},

およびdt=γ{dt'+(')/c2}から,

 

=(d/dt')(dt'/dt)

=[γ-1'+{(')(1-γ-1)/2

+('')/c2}]/{1+(vu')/c2}

なる形の,力から'への力に対する変換式が得られます。

  

'はもちろんS系での外力のS'系での表現です。

 

運動方程式:d/dt=は,時間tの代わりに,

dτ≡(1-2/c2)1/2dtによって,4次元スカラーである

固有時τを定義し,Minkowskiの力M/(1-2/c2)1/2

を定義すれば,d/dτ=Mと書けます。

 

dτがスカラーなので左辺はMinkowsi空間の4元ベクトルの

空間成分ですから,右辺のMもそうです。

 

したがって,運動方程式をd/dτ=Mのように固有時間

とMinkowskiの力Mで表現すれば,

これは"法則が座標系によらない=相対性原理"を満たす共変的

な方程式です。

 

そして,dE/dt=(Fu)もdE/dτ=(M)と書けるので,

Mμ≡((M)/c,M)と書けば,これはMinkowski空間の4元

ベクトルになり,pμ=(E/c,)やxμ=(ct,)と同じ

変換性を持ちます。

 

さて,ある瞬間においては粒子の速度がゼロであると見える慣性系

の1つをS0とすると.この系での力0はNewton力学での力と意味

的に一致すると考えられます。

 

ここでS系における粒子の速度をとし,S0系をS'系に取ると

,'=0 なので,S系における力は,

0(1-2/c2)1/2(uF0){1-(1-2/c2)1/2}/2

と表わされます。

 

そして,,0をそれぞれに平行な成分と垂直な成分に分解

して,//,00//0と表現すれば,

//0//,0(1-2/c2)1/2,または,

0//0(1-2/c2)1/2です。

 

唐突ですが,後述するように電場の変換は磁束密度を用いて

0=[++(uE){(1-2/c2)1/2-1}/2

×]/(1-2/c2)1/2となることがわかっています。

 

 特に,,0と同じく,0に平行な成分と垂直な成分に

 分解すると,0////,0=(×)/(1-2/c2)1/2

 です。

 

 したがって電場,磁場のある空間の中に電荷eを持つ荷電粒子が

 あるとき,この速度がゼロである(荷電粒子が静止している)S0

 では,電気力のみが働いて0=e0,

 つまり0//=e0//,0=e0である場合,

  

 運動速度がと観測されるS系では//=e//,

 =e(×),すなわち,=e(×)となる

 ことがわかります。

 

 すなわち,磁場に対してLorentzの力が働くというLorentzの

 公式は,運動座標から静止座標の電場を見たときの座標変換

 による効果から磁場が出現するという描像によって,自然に

 得られるわけです。

 

 また,多くの質点から成る質点系があるとき,その系全体の

 エネルギーと質量を考えることから,エネルギーと質量の

 同等性(等価性)を導くことができます。

  

 例えば質量欠損として知られている現象や,水素原子における

 原子核の陽子と電子の結合のように2つの粒子間に引力があって

 複合粒子が形成されているような場合には,2つの構成粒子の質量

 の和に負の値である引力の位置エネルギーをc2で割ったものを加

 えたものが複合粒子の質量(静止質量)になることもわかります。

 

これについても,既に本ブログの2006年8/29の過去記事

慣性質量とエネルギーの等価性」に詳述してあります。

 

よろしかったら,御参照ください。

 

今日はここまでにします。

 

参考文献:メラー 著(永田恒夫,伊藤大介 訳)「相対性理論」(みすず書房),平川浩正 著「電気力学」(培風館),キップ・S・ソーン 著(林一 訳)「ブラックホールと時空の歪み」(白揚社)

 

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コメント

 どもEROICAさん。お久しぶり,コメントありがとうございます。TOSHIです。

>アインシュタインの文庫になっている論文、確かに内山龍雄訳・解説です。

 やはりそうでしたか。。ネットで検索してもどうもその文庫本は今は出回っていないようですね。

>TOSHIさんは、私のmixiの400人目の足跡の人になりました。

 私が400人目ですか。。。今は足跡はどのくらいなんでしょうかね。。私のところは今やっと1700人余りです。

 EROICAさんはまだ私よりはるかにお若いので,病気の快癒の方も学究の方ももあせらずに頑張ってください。。
            TOSHI

投稿: TOSHI | 2008年5月13日 (火) 21時26分

 今晩は。TOSHIさん。EROICAです。
 アインシュタインの文庫になっている論文、確かに内山龍雄訳・解説です。今、手元にあります。
 TOSHIさんは、私のmixiの400人目の足跡の人になりました。ご訪問ありがとうございました。
 今後ともよろしく。

投稿: EROICA | 2008年5月13日 (火) 00時53分

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