電磁気学と相対論(3)(真空中の電磁気学２)

「電磁気学と相対論」の続きです。これまでと同じく相異なる２つの慣性系に固定された準拠座標系をＳ,および Ｓ'とします。

Ｓ,およびＳ'系の両方で当然成立すべき電荷の保存法則は,それぞれ次の連続の方程式∂ρ/∂ｔ＋div(ρｕ)＝0 ,および∂ρ'/∂ｔ'＋div'(ρ'ｕ')＝0 で与えられます。

これらの方程式はマクスウェルの方程式divＤ＝ρ,rotＨ－∂Ｄ/∂ｔ＝ρｕ,および div'Ｄ'＝ρ',rot'Ｈ'－∂Ｄ'/∂ｔ'＝ρ'ｕ'において,右辺の電荷密度ρ,ρ'や電流密度ρｕ,ρ'ｕ'が左辺で電場,磁場によって表現されていると見て,それらを実際に連続方程式の左辺のρ,ρｕ,およびρ',ρ'ｕ'に直接代入すれば右辺がゼロとなることがわかるので,現象論のオームの法則のような独立な方程式ではなく,基本方程式から得られる１つの結果です。

そこで時空座標ｘ^μ＝(ｘ⁰,ｘ¹,ｘ²,ｘ³)＝(ｃｔ,ｘ)と同じように４つの成分を持つ量を仮にｓ^μ＝(ｓ⁰,ｓ¹,ｓ²,ｓ³)≡(ｃρ,ρｕ)と定義すると,Ｓ系での∂ρ/∂ｔ＋div(ρｕ)＝0 は∂ｓ^μ/∂ｘ^μ＝0 ,あるいは∂_μｓ^μ＝0 と表わされ,Ｓ'系ではｓ'^μ≡(ｃρ',ρ'ｕ')であって,∂ρ'/∂ｔ'＋div'(ρ'ｕ')＝0 は∂ｓ'^μ/∂ｘ'^μ＝0 ,あるいは ∂'_μｓ'^μ＝0となります。

そして,Ｓ系からＳ'系への時空座標のローレンツ変換がｘ'^μ＝Λ^μ_νｘ^ν (ｘ'＝Λｘ)で表わされるとき,上記の４つの成分を持つ量ｓからｓ'への変換がｓ'^μ≡ｆ^μ(ｓ⁰,ｓ¹,ｓ²,ｓ³)なる形で与えられるとすれば,∂'_μｓ'^μ＝0 は∂'_μｓ'^μ＝∂ｆ^μ/∂ｘ'^μ＝(∂ｆ^μ/∂ｓ^ν)(∂ｓ^ν/∂ｘ^λ)(∂ｘ^λ/∂ｘ'^μ)＝(∂ｆ^μ/∂ｓ^ν)(Λ^-1)^λ_μ(∂_λｓ^ν)＝0 と書けます。

ここで,ｘ'^μ＝Λ^μ_νｘ^νより,ｘ^μ＝(Λ^-1)^μ_νｘ'^νなので,∂ｘ^λ/∂ｘ'^μ＝(Λ^-1)^λ_μが成立することを用いました。

(∂ｆ^μ/∂ｓ^ν)(Λ^-1)^λ_μ(∂_λｓ^ν)＝0 が,∂_μｓ^μ＝0 の制限付きで常に成立するので,条件付き恒等式に対するラグランジュの未定係数法を用いることにします。

∂_μｓ^μの未定係数をＡとすると,制限なしの恒等式[(∂ｆ^μ/∂ｓ^ν)(Λ^-1)^λ_μ－Ａδ_ν^λ](∂_λｓ^ν)＝0 が成立します。

これは変数ｓ^ν,したがって任意のｓ^νの独立変動∂_λｓ^νに対して成立するので,(∂ｆ^μ/∂ｓ^ν)(Λ^-1)^λ_μ＝Ａδ_ν^λが成立する必要があります。

したがって,最後に得られた式の両辺にΛ^σ_λを掛けて(∂ｆ^μ/∂ｓ^ν)Λ^σ_λ(Λ^-1)^λ_μ＝ＡΛ^σ_λδ_ν^λとすれば,Λ^σ_λ(Λ^-1)^λ_μ＝δ^σ_μを用いると,∂ｆ^σ/∂ｓ^ν＝ＡΛ^σ_ν,すなわち,∂ｆ^μ/∂ｓ^ν＝ＡΛ^μ_νが得られます。

ここで,未定係数Ａも一般にｓ^μの関数であると考えてよいので,恒等式(∂ｆ^μ/∂ｓ^ν)(Λ^-1)^λ_μ＝Ａδ_ν^λの両辺をさらにｓ^σで偏微分すると.(∂²ｆ^μ/∂ｓ^ν∂ｓ^σ)(Λ^-1)^λ_μ＝(∂Ａ/∂ｓ^σ)δ_ν^λとなりますが,左辺はνとσについて対称なので,右辺もそうであるはずですから,(∂Ａ/∂ｓ^σ)δ_ν^λ＝(∂Ａ/∂ｓ^ν)δ_σ^λが成立します。

そこでσ＝λ≠νとすれば,∂Ａ/∂ｓ^ν＝0 を得ます。

それゆえＡは変数ｓ^μに無関係な定数です。そこでＢ^μも定数としてｓ'^μ＝ｆ^μ(ｓ⁰,ｓ¹,ｓ²,ｓ³)＝ＡΛ^μ_νｓ^ν＋Ｂ^μと書けます。

ところで,定義からｓ^μ＝(ｃρ,ρｕ),かつｓ'^μ＝(ｃρ',ρ'ｕ')であり,そしてもしＳ内の至るところでρ＝0 の真空の場合ならＳ'でも至るところでρ'＝0 が成立するので,そのためにはＢ^μ＝0 であることが必要です。

以上でｓ → ｓ'の変換性の必要な形として,ｓ'^μ＝ＡΛ^μ_νｓ^νが得られました。

したがってｓ'_μｓ'^μ＝Ａ²ｓ_νｓ^ν,つまりｃ²ρ'²(1－ｕ'²/ｃ²)＝Ａ²ｃ²ρ²(1－ｕ²/ｃ²)ですが,Ｓ系とＳ'系を逆に取るとＡ²は1/Ａ²になるので,対称性からＡ²＝1/Ａ²,すなわちＡ＝±1を得ます。

ところが,この変換式はＳ＝Ｓ'が恒等変換である場合も当然含むのでＡ＝１です。

以上から,ｓ'^μ＝Λ^μ_νｓ^νなる変換性を持つことが示されたので,仮に取ったｓ^μ＝(ｓ⁰,ｓ¹,ｓ²,ｓ³)＝(ｃρ,ρｕ)は時空座標ｘ^μ＝(ｘ⁰,ｘ¹,ｘ²,ｘ³)＝(ｃｔ,ｘ)と同じく,ミンコフスキー空間(Minkowski-space)の４元ベクトルであることがわかりました。

そこで以下では,ｓ^μ＝(ｃρ,ρｕ)を４元電流密度と呼びます。

電流に限らず密度が４元ベクトルｓ^μで与えられるとき,その４次元の発散がゼロ,つまり∂ｓ^μ/∂ｘ^μ＝0 ,あるいは∂_μｓ^μ＝0 が成立することは,連続の方程式が成立することを意味するので,これはある量の保存方程式の４次元的表現になっています。

そしてｓ_μｓ^μ＝ｓ'_μｓ'^μによる"不変量＝スカラー量"はｃ²ρ²(1－ｕ²/ｃ²)＝ｃ²ρ'²(1－ｕ'²/ｃ²)＝ｃ²(ρ⁰)²と書けます。

ここで,スカラーρ⁰はｕ＝0 の静止系Ｓ⁰における電荷密度です。この等式からρ＝ρ⁰/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2が得られます。

したがって速度ｕ＝ｄｘ/ｄｔに代わって固有時ｄτ＝ｄｔ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2を用いた表現である４元速度Ｕ^μをＵ^μ≡ｄｘ^μ/ｄτで定義すると,ｓ^μ＝ρ⁰Ｕ^μと表現することもできます。

この電荷密度を持つ荷電物質のＳ系での座標ｘ^μの近傍での微小体積をΔＶとすると,この領域での全電荷はρΔＶです。一方,静止系Ｓ⁰での同じ体積をΔＶ⁰と置けばΔＶ＝ΔＶ⁰(1－ｕ²/ｃ²)^1/2です。

これはＳ⁰系でｘ,ｙ,ｚ軸に平行で長さがＬの３辺を持つ立方体を想定すればわかります。

つまり,この立方体のＳ⁰系での体積はＶ⁰＝Ｌ³ですが,これがｘ軸に平行に速度ｕで運動すると見えるようなＳ系ではｘ軸に平行な１つの辺の長さのみがローレンツ収縮してＬ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2になります。

一方,ｙ,ｚ軸に平行な辺の長さはＬのまま変わらないので,Ｓ系での体積をＶと書くと,立方体は直方体になってＶ＝Ｖ⁰(1－ｕ²/ｃ²)^1/2が成り立つというわけです。

そこで,ρ＝ρ⁰/(1²－ｕ ²/ｃ²)^1/2とΔＶ＝ΔＶ⁰(1²－ｕ ²/ｃ²)^1/2を掛け合わせると,ρΔＶ＝ρ⁰ΔＶ⁰が得られます。

したがってある物質が担う電荷量は"座標変換の不変量＝ローレンツスカラー"の１つであることがわかりますから理にかなっています。

ここで全く天下り的ですが,(Ｆ^μν)をミンコフスキー空間のある２階反変反対称テンソルの場であるとして,電場Ｅと磁場(磁束密度)ＢはＥ＝(Ｅ¹,Ｅ²,Ｅ³)＝－ｃ(Ｆ⁰¹,Ｆ⁰²,Ｆ⁰³),Ｂ＝(Ｂ¹,Ｂ²,Ｂ³)＝－(Ｆ²³,Ｆ³¹,Ｆ¹²)なる形で与えられるとしてみます。

ミンコフスキー空間の２階反変テンソル(Ｔ^μν)というのはμ,ν＝0,1,2,3の16個の成分を持つ４×４正方行列で２つの４元反変ベクトルの直積と同じ変換性を持つ量です。

すなわち,Ａ^μ,Ｂ^μを反変ベクトルとすれば,それらの変換性はＡ'^μ＝Λ^μ_νＡ^ν,Ｂ'^μ＝Λ^μ_νＢ^νですが,これらの成分の積で構成される16個のＡ^μＢ^ν(μ,ν＝0,1,2,3)の組を成分とする４×４正方行列(Ａ^μＢ^ν)で与えられる量を２つのベクトルＡ^μ,Ｂ^μの直積と呼びます。

そうして,これらの成分はＳ → Ｓ'の座標変換に対してＡ'^μＢ'^ν＝Λ^μ_λＡ^λΛ^ν_σＢ^σ＝Λ^μ_λΛ^ν_σＡ^λＢ^σなる変換性を持つわけですが,逆にこれと同じ変換性Ｔ'^μν＝＝Λ^μ_λΛ^ν_σＴ^λσを持つ量(Ｔ^μν)を２階反変テンソルと定義します。

こう定義された任意の２階反変テンソルの成分Ｔ^μνは,幾つかの４元反変ベクトルの直積成分の線形結合で表わされること,例えばＴ^μν＝Ａ^μＢ^ν＋Ｃ^μＤ^ν＋..と書けることを示すこともできますが,証明は割愛します。

また,任意のテンソルの成分は,Ｔ^μν＝Ｆ^μν＋Ｇ^μν,Ｆ^μν≡(1/2)(Ｔ^μν－Ｔ^νμ),Ｇ^μν≡(1/2)(Ｔ^μν＋Ｔ^νμ)と分解できます。

Ｆ^μνはμとνの交換に対して反対称:Ｆ^νμ＝－Ｆ^μνなので,Ｔ^μνの反対称成分,Ｇ^μνはμとνの交換に対して対称Ｇ^νμ＝Ｇ^μνなのでＴ^μνの対称成分と呼ばれます。

特にＴ^μνの対称成分Ｇ^μνがゼロで,Ｔ^μνがＦ^μνに一致するようなテンソルは反対称テンソルと呼ばれます。

そしてこれら対称,反対称という性質は,明らかにローレンツ変換で保存されます。つまりＳ系で反対称ならＳ'系でも反対称です。

そこで,改めて２階反対称反変テンソルを(Ｆ^μν)と書けば,Ｆ^νμ＝－Ｆ^μνなのでμ＝νなら成分Ｆ^μνはゼロです。つまり対角成分は全てゼロです。

４×４＝16個の成分から４個の対角成分を除くと残りは12個ですが,反対称なので６個の成分だけが独立で残りの６個は,別の６個の成分のそれぞれにマイナス符号をつけたもので与えられます。

例えばＦ⁰¹,Ｆ⁰²,Ｆ⁰³,Ｆ²³,Ｆ³¹,Ｆ¹²の６個を独立成分として指定すれば,(Ｆ^μν)を完全に決めることができます。

ミンコフスキー空間の４元ベクトルＸ^μ(μ＝0,1,2,3)の空間成分Ｘⁱ(ｉ＝1,2,3)が普通の３次元空間のベクトルＸを形成することは明らかですから,特に２階反対称反変テンソル(Ｆ^μν)の成分の３個の組－(Ｆ⁰¹,Ｆ⁰²,Ｆ⁰³)を電場Ｅと置くことに不都合はありません。

一方,残りの３成分(Ｆ²³,Ｆ³¹,Ｆ¹²)はレヴィ・チヴィタ(Levi-Civita)のテンソルと呼ばれる３次元ユークリッド空間の３階不変テンソルを(ε_ijk)とすれば,Ｘⁱ≡(1/2)ε_ijkＦ^jk (ｉ＝1,2,3)という形で表現されます。 例えばＸ¹＝(1/2)(ε₁₂₃Ｆ²³＋ε₁₃₂Ｆ³²)＝Ｆ²³です。

そう言えばレヴィ・チヴィタのテンソルについては,かつての@nifty「物理フォーラム」(2007年3月末で閉鎖,その後 folomy(フッター参照)に移行)でも質問があって,そのときもサブシスであった私が回答しています。

http://sci.la.coocan.jp/fphys/log/sotai/432_main.html

そして,特に座標変換(Λ^μ_ν)(μ,ν＝0,1,2,3)がブーストを含まず,空間回転のみを表わす場合には(Λⁱ_j)(ｉ,ｊ＝1,2,3)のみがゼロでなく,これは３×３直交行列を表わすので,^tΛⁱ_j＝Λ^j_i＝(Λ^-1)ⁱ_jです。

(以下では説明抜きでμ,ν,λ,σ..のようなギリシャ文字は 0,1,2,3 で与えられる４次元空間の添字をｉ,ｊ,ｋ,ｌ,ｍ,ｐ,ｑ．．のようなラテン文字は 1,2,3 で与えられる３次元空間の添字を表わすものとします。)

つまり,ローレンツ変換(Λ^μ_ν)は特にＳ,Ｓ'が全く同じ慣性系Ｉに固定されている場合(慣性系Ｉと慣性系Ｉ'の相対速度ｖがゼロの場合)も含んでいて,もちろんｔ＝ｔ'＝0 で原点ＯとＯ'が一致していますが,その場合には時間についてはｔ'＝ｔなのでΛ^μ_νのμ＝0 かν＝0 の成分はゼロで,要するに単なる原点の周りの３次元の空間軸の回転しか表現していませんから空間のみの変換としては直交変換です。

そしてＦ'^μν＝Λ^μ_λΛ^ν_σＦ^λσなる４元テンソルの変換性から,Ｆ'^pq＝Λ^ｐ_λΛ^q_σＦ^λσ＝Λ^p_lΛ^q_mＦ^lmが得られ,(Ｆ^lm)が３次元空間の２階テンソルとして変換することがわかります。

ここで,行列の余因子が行列式と逆行列の成分の積になるという線形代数学の公式から,Λを３×３直交行列としてdet(Λ)(Λⁱ_j)＝(1/2)ε_ipqε_jrsΛ^p_rΛ^q_sと書けます。

つまり,Λの転置行列^tΛの余因子行列を^tΛ~と書くと,det(^tΛ)(^tΛ^-1)＝^tΛ~ですが,det(^tΛ)＝det(Λ)であり,Λは直交行列なので^tΛ^-1＝Λですからdet(Λ)Λ＝^tΛ~が成り立ちます。

そして余因子の定義から成分は(^tΛ~)ⁱ_j＝(－1)ⁱ⁺ⁱΔⁱ_jで与えられます。Δⁱ_jは行列ΛからΛⁱ_j成分を含む第ｉ行,第ｊ列の成分を全て除いた残りの正方行列の行列式＝小行列式の値を示しています。

ところが,３×３行列Λの場合には,簡単な考察から,この転置行列の余因子成分を,(^tΛ~)ⁱ_j＝(－1)ⁱ⁺ⁱΔⁱ_j＝(1/2)ε_ipqε_jrsΛ^p_rΛ^q_sと表わすことができることがわかります。

実際,(^tΛ~)¹₂＝(－1)³Δ¹₂＝－Λ²₁Λ³₃＋Λ²₃Λ³₁＝(1/2)(ε₁₂₃ε₂₁₃Λ²₁Λ³₃＋ε₁₂₃ε₂₃₁Λ²₃Λ³₁＋ε₁₃₂ε₂₁₃Λ³₁Λ²₃＋ε₁₃₂ε₂₃₁Λ³₃Λ²₁)が確かに成立しています。

そして行列式成分の添字,あるいは行や列の交換に対する反対称性から残りの任意成分についても成立すると思われます。

したがって,det(Λ)Λ＝^tΛ~からdet(Λ)(Λⁱ_j)＝(1/2)ε_ipqε_jrsΛ^p_rΛ^q_sが導かれるわけです。

そして今の場合の変換はproperな直交変換,つまりdet(Λ)＝＋1なので,Λⁱ_j＝(1/2)ε_ipqε_jrsΛ^p_rΛ^q_sと書けます。

それ故,Λⁱ_jＸ^j＝(1/2)ε_jlmΛⁱ_jＦ^lm＝(1/4)ε_jlmε_ipqε_jrsΛ^p_rΛ^ｑ_sＦ^lmなる等式が得られます。

ところが,不変テンソルの縮約に関するよく知られた公式ε_jlmε_jrs＝δ_lrδ_ms－δ_lsδ_mrを用いると,Λⁱ_jＸ^j＝(1/4)ε_ipq(δ_lrδ_ms－δ_lsδ_mr)Λ^p_rΛ^ｑ_sＦ^lm＝(1/4)ε_ipq(Λ^p_lΛ^q_m－Λ^p_mΛ^q_l)Ｆ^lm＝(1/2)ε_ipqΛ^p_lΛ^q_mＦ^lm＝(1/2)ε_ipqＦ'^pq＝Ｘ'ⁱとなり,結局Ｘ'ⁱ＝Λⁱ_jＸ^jが示されるわけです。

したがって,結局,"３次元空間の２階反対称テンソルの独立な３成分は３次元の"擬ベクトル＝軸性ベクトル"をなす。"という,よく知られた法則が改めて証明されました。

ここでは,物理屋らしく成分を使って泥臭い計算をしていますが,テンソルというのは,ベクトルを空間に矢印を書いて幾何学的にイメージするのと同じく,座標系の取り方でコロコロ変わるような成分＝ラベルとは独立な幾何学的実体です。

このことを意識すれば,微分形式の機械的な演算をベクトル解析に応用する際のように,外積代数とホッジの星印作用素のようなものをうまく使うことで,よりスマートな解析も可能だろうという気がします。

ところで,一応,ご存知ない方のために"擬ベクトル＝軸性ベクトルとは何か？"ということも説明しておきます。

通常の座標軸の回転などの連続的な変換に対しては３次元空間ベクトルとしての変換性を持つ量Ｖ＝Ｖ(ｘ,ｔ)が不連続な"空間反転:ｘ → －ｘ＝空間座標系のｘ,ｙ,ｚ軸の向きを全て反転する変換(３次元なのでこれは右手系→左手系の変換を意味し,鏡映も同等な意味になります。)"に連動してＶ→Ｖ'と変換されるとします。

このとき,同じ位置ｘ → －ｘでの量についてＶ→Ｖ'がＶ'(－ｘ,ｔ)＝－Ｖ(ｘ,ｔ)なる関係を示すとき,これは位置ベクトルｘと同じく符号を変える普通のベクトルであることを意味しています。

こうした場合には,Ｖを極性ベクトルと呼びますが,もしもＶ'(－ｘ,ｔ)＝Ｖ(ｘ,ｔ)と符号が変わらない場合には,この量Ｖを擬ベクトル,または軸性ベクトルと呼びます。

そして,古典電磁気学で知られているようにφを３次元のスカラーポテンシャル,Ａを３次元のベクトルポテンシャルとするとき,電場Ｅと磁場(磁束密度)Ｂは,これらによってＥ＝－∇φ－∂Ａ/∂ｔ,Ｂ＝∇×Ａと表現されます。

そして,Ａは空間反転に対して符号を変える普通の極性ベクトルであり,また空間微分∇も明らかに空間反転に対して符号を変えます。

したがって,パリティの性質から電場Ｅは極性ベクトル,磁場(磁束密度)Ｂは軸性ベクトルであると同定されます。

そこで,Ｅ＝(Ｅ¹,Ｅ²,Ｅ³)≡－ｃ(Ｆ⁰¹,Ｆ⁰²,Ｆ⁰³),Ｂ＝(Ｂ¹,Ｂ²,Ｂ³)≡－(Ｆ²³,Ｆ³¹,Ｆ¹²)とおくことは,これまでの議論から考えて３次元空間での変換性の意味では整合的です。

まあ,Ａ^μ＝(Ａ⁰,Ａ¹,Ａ²,Ａ³)≡(φ/ｃ,Ａ)とおいて,Ｆ^μν≡∂^μＡ^ν－∂^νＡ^μ＝∂Ａ^ν/∂ｘ_μ－∂Ａ^μ/∂ｘ^νと定義すれば,Ａ^μ≡(ｃφ,Ａ)が４元反変ベクトルであることがわかるので,(Ｆ^μν)は確かに２階反対称反変テンソルになります。

そして,－Ｆ⁰ⁱ＝Ｆ⁰_i≡＝－∂⁰Ａⁱ＋∂ⁱＡ⁰の右辺はＥ/ｃ＝－{∂Ａ/∂(ｃｔ)}－∇(φ/ｃ)の第ｉ成分を表わし,－Ｆ^jk＝Ｆ^j_k＝Ｆ_k^j≡－∂^jＡ^k＋∂^kＡⁱの右辺はＢ＝∇×Ａにおいて(i,j,k)が巡回的になるような第ｉ成分に一致するので,先に与えた定義と同じになります。

つまり,Ｅ＝(Ｅ¹,Ｅ²,Ｅ³)＝ーｃ(Ｆ⁰¹,Ｆ⁰²,Ｆ⁰³)＝ｃ(Ｆ⁰₁,Ｆ⁰₂,Ｆ⁰₃),Ｂ＝(Ｂ¹,Ｂ²,Ｂ³)＝－(Ｆ²³,Ｆ³¹,Ｆ¹²)＝(Ｆ³²,Ｆ¹³,Ｆ²¹)なる表現が,天下りより少しはましな方法で得られるわけですね。

そして,電場,磁場をこのように定義したとき,電磁場の基本方程式である真空中のマクスウェルの方程式(Maxwell方程式)divＢ＝0 ,rotＥ＋∂Ｂ/∂ｔ＝0 ,divＤ＝ρ,rotＨ－∂Ｄ/∂ｔ＝ρｕ,ただしＤ≡ε₀Ｅ,Ｂ≡μ₀ＨのうちでdivＢ＝0 ,rotＥ＋∂Ｂ/∂ｔ＝0 は見かけ上はただ１行のテンソル表現の微分方程式∂Ｆ^μν/∂ｘ_λ＋∂Ｆ^νλ/∂ｘ_μ＋∂Ｆ^λμ/∂ｘ_ν＝0 で与えられます。

実際,divＢ＝0 は∂Ｆ²³/∂ｘ₁＋∂Ｆ³¹/∂ｘ₂＋∂Ｆ¹²/∂ｘ₃＝0 と表現されるし,rotＥ＋∂Ｂ/∂ｔ＝0 は"ｘ軸の向きの成分＝第１成分"であれば,∂Ｆ⁰³/∂ｘ₂＋∂Ｆ³²/∂ｘ₀＋∂Ｆ¹⁰/∂ｘ₃＝0 と一致するし,その他の２成分についてもそれぞれ一致します。　

方程式∂Ｆ^μν/∂ｘ_λ＋∂Ｆ^νλ/∂ｘ_μ＋∂Ｆ^λμ/∂ｘ_ν＝0 の左辺は３階テンソルですから,成分の数は素朴に勘定すると４×４×４個ですが,左辺はμ,ν,λについて完全に反対称な反変テンソルなので,既にμ,νについての２階反対称テンソルＦ^μνの独立な成分の数が４×４個ではなくてＥとＢの６成分＝(４×３)/２!であることを見たように,この場合も独立な成分は(４×３×２)/３!＝４成分だけですから,独立な方程式の数も４個となって確かに計算が合います。

一方,divＤ＝ρ,rotＨ－∂Ｄ/∂ｔ＝ρｕの方は,これにＤ≡ε₀Ｅ,Ｈ≡Ｂ/μ₀を代入して,ＥとＢの方程式にすると,divＥ＝ρ/ε₀,rotＢ/μ₀－ε₀∂Ｅ/∂ｔ＝ρｕとなりますが,これらは∂Ｆ^μν/∂ｘ^ν＝－ｓ^μ/(ｃ²ε₀)と書けます。

すなわち,∂Ｆ⁰¹/∂ｘ¹＋∂Ｆ⁰²/∂ｘ²＋∂Ｆ⁰³/∂ｘ³＝－ｓ⁰/(ｃ²ε₀),∂Ｆ¹²/∂ｘ²＋∂Ｆ¹³/∂ｘ³＋∂Ｆ¹⁰/∂ｘ⁰＝－ｓ^１/(ｃ²ε₀) etc.です。

ここで,ｘ⁰＝ｃｔ＝ｔ/(ｃε₀μ₀)などの等式を用いました。

こうして電磁場の基本方程式の表現は,ミンコフスキー空間のテンソルの間の等式という形(スカラーは 0 階テンソル,ベクトルは１階テンソル)に帰着されたので,理論の相対論的共変性は自明になりました。

今日はこのくらいにします。 

参考文献：メラー 著(永田恒夫,伊藤大介 訳)「相対性理論」(みすず書房)

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