電磁気学と相対論(3)(真空中の電磁気学２)

「電磁気学と相対論」の続きです。これまでと同じく相異なる２つ

の慣性系に固定された準拠座標系をＳ,および Ｓ'とします。

Ｓ,および,Ｓ'系の両方で当然成立すべき電荷の保存法則は,

それぞれ次の連続の方程式:∂ρ/∂ｔ＋div(ρｕ)＝0 ,

および,∂ρ'/∂ｔ'＋div'(ρ'ｕ')＝0 で与えられます。

これらの方程式は,

Maxwellの方程式:

divＤ＝ρ,rotＨ－∂Ｄ/∂ｔ＝ρｕ,および,

div'Ｄ'＝ρ',rot'Ｈ'－∂Ｄ'/∂ｔ'＝ρ'ｕ'

において,

右辺の電荷密度ρ,ρ'や電流密度ρｕ,ρ'ｕ'が左辺で電場,

磁場によって表現されていると見て,それらを連続方程式の

左辺のρ,ρｕ,およびρ',ρ'ｕ'に直接代入すれば右辺が

ゼロとなることがわかるので,

現象論のオームの法則のような独立な方程式ではなく,基本

方程式から得られる１つの結果です。

そこで,今,時空座標:ｘ^μ＝(ｘ⁰,ｘ¹,ｘ²,ｘ³)＝(ｃｔ,ｘ)と同じく

次の４成分を持つ量を,仮にｓ^μ＝(ｓ⁰,ｓ¹,ｓ²,ｓ³)≡(ｃρ,ρｕ)

と表わすと,

Ｓ系での∂ρ/∂ｔ＋div(ρｕ)＝0 は∂ｓ^μ/∂ｘ^μ＝0 ,

または,∂_μｓ^μ＝0 と表わされます。

同様に,Ｓ'系では,ｓ'^μ≡(ｃρ',ρ'ｕ')であって,この系

での連続の方程式:∂ρ'/∂ｔ'＋div'(ρ'ｕ')＝0 は,

∂ｓ'^μ/∂ｘ'^μ＝0 ,または,∂'_μｓ'^μ＝0 となります。

そして,Ｓ系からＳ'系への時空座標のLorenyz変換が

ｘ'^μ＝Λ^μ_νｘ^ν (ｘ'＝Λｘ)で表わされるとき,

上記の４つの成分を持つ量ｓからｓ'への変換が,

ｓ'^μ≡ｆ^μ(ｓ⁰,ｓ¹,ｓ²,ｓ³)なる形で与えられる

とすれば,

∂'_μｓ'^μ＝0 は,∂'_μｓ'^μ＝∂ｆ^μ/∂ｘ'^μ

＝(∂ｆ^μ/∂ｓ^ν)(∂ｓ^ν/∂ｘ^λ)(∂ｘ^λ/∂ｘ'^μ)

＝(∂ｆ^μ/∂ｓ^ν)(Λ^-1)^λ_μ(∂_λｓ^ν)＝0

と書けます。

ここで,ｘ'^μ＝Λ^μ_νｘ^νよりｘ^μ＝(Λ^-1)^μ_νｘ'^νなので,

∂ｘ^λ/∂ｘ'^μ＝(Λ^-1)^λ_μが成立することを用いました。

(∂ｆ^μ/∂ｓ^ν)(Λ^-1)^λ_μ(∂_λｓ^ν)＝0 が,∂_μｓ^μ＝0 の制限

付きで常に成立するので,条件付き恒等式に対するLagrangeの

未定係数法を用いることにします。

∂_μｓ^μの未定係数をＡとすると,制限なしの恒等式:

[(∂ｆ^μ/∂ｓ^ν)(Λ^-1)^λ_μ－Ａδ_ν^λ](∂_λｓ^ν)＝0

が成立します。

これは任意のｓ^νの独立変動∂_λｓ^νに対して成立するので,

(∂ｆ^μ/∂ｓ^ν)(Λ^-1)^λ_μ＝Ａδ_ν^λが成立する必要があります。

したがって,最後に得られた式の両辺にΛ^σ_λを掛けて,

(∂ｆ^μ/∂ｓ^ν)Λ^σ_λ(Λ^-1)^λ_μ＝ＡΛ^σ_λδ_ν^λとすれば,

Λ^σ_λ(Λ^-1)^λ_μ＝δ^σ_μを用いて,　

∂ｆ^σ/∂ｓ^ν＝ＡΛ^σ_ν,つまり,∂ｆ^μ/∂ｓ^ν＝ＡΛ^μ_ν

を得ます。

ここで,未定係数Ａも一般にｓ^μの関数であると考えていいので,

恒等式:(∂ｆ^μ/∂ｓ^ν)(Λ^-1)^λ_μ＝Ａδ_ν^λの両辺を,

さらにｓ^σで偏微分すると.

(∂²ｆ^μ/∂ｓ^ν∂ｓ^σ)(Λ^-1)^λ_μ＝(∂Ａ/∂ｓ^σ)δ_ν^λ

なる恒等式を得ます。

左辺はνとσについて対称なので,右辺もそうであるはずですから,

(∂Ａ/∂ｓ^σ)δ_ν^λ＝(∂Ａ/∂ｓ^ν)δ_σ^λが成立します。

そこで,σ＝λ≠νとおけば,∂Ａ/∂ｓ^ν＝0 が得られます。

それ故,Ａは変数ｓ^μには無関係な定数です。

そこで,Ｂ^μをある定数として,

ｓ'^μ＝ｆ^μ(ｓ⁰,ｓ¹,ｓ²,ｓ³)＝ＡΛ^μ_νｓ^ν＋Ｂ^μ

と書けます。

定義から,ｓ^μ＝(ｃρ,ρｕ),かつｓ'^μ＝(ｃρ',ρ'ｕ')であり,

もしＳ内の至るところでρ＝0 の真空の場合なら,Ｓ'でも至る

ところでρ'＝0 が成立すべきです。

そのためには,明らかにＢ^μ＝0 であることが必要です。

以上で,ｓ → ｓ'の変換の必要な性質として,それが

ｓ'^μ＝ＡΛ^μ_νｓ^νなる形であるべきことが導かれました。

それ故,ｓ'_μｓ'^μ＝Ａ²ｓ_νｓ^ν,すなわち,

ｃ²ρ'²(1－ｕ'²/ｃ²)＝Ａ²ｃ²ρ²(1－ｕ²/ｃ²)

が成立しますが,Ｓ系とＳ'系を逆に取ると,

右辺の係数:Ａ²は(1/Ａ²)となるので,対称性から

Ａ²＝1/Ａ²,つまりＡ＝±1を得ます。

ところが,この変換式はＳ系からＳ'系の変換が恒等変換である

場合も特別な場合として含むため,Ａ＝１であるべきです。

以上から,ｓ'^μ＝Λ^μ_νｓ^νなる変換性を持つことが示されたので,

仮に表現したｓ^μ＝(ｓ⁰,ｓ¹,ｓ²,ｓ³)＝(ｃρ,ρｕ)は,時空座標

ｘ^μ＝(ｘ⁰,ｘ¹,ｘ²,ｘ³)＝(ｃｔ,ｘ)と同じく,Minkowski空間の

４元ベクトルを意味することがわかりました。

そこで,以下では,ｓ^μ＝(ｃρ,ρｕ)を４元電流密度と呼びます。

電流に限らず密度が４元ベクトルｓ^μで与えられるとき,

その４次元の発散がゼロ,つまり∂ｓ^μ/∂ｘ^μ＝0 ,または

∂_μｓ^μ＝0 が成立することは連続の方程式が成立すること

を意味するので,

この形∂_μｓ^μ＝0 はある量の保存方程式の４次元表現に

なっています。

そして,ｓ_μｓ^μ＝ｓ'_μｓ'^μによる"不変量＝スカラー量"は,

ｃ²ρ²(1－ｕ²/ｃ²)＝ｃ²ρ'²(1－ｕ'²/ｃ²)＝ｃ²(ρ⁰)²

と書けます。

ここで,スカラーρ⁰はｕ＝0 の静止系Ｓ⁰における電荷密度です。

この等式から,ρ＝ρ⁰/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2が得られます。

したがって速度ｕ＝ｄｘ/ｄｔに代わり,固有時:

ｄτ＝ｄｔ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2を用いた表現である４元速度

Ｕ^μを,Ｕ^μ≡ｄｘ^μ/ｄτ で定義すると,ｓ^μ＝ρ⁰Ｕ^μと

表現することもできます。

この電荷密度を持つ荷電物質のＳ系での座標ｘ^μの近傍での

微小体積をΔＶとすると,この領域での全電荷はρΔＶです。

一方,静止系Ｓ⁰での同じ体積をΔＶ⁰とおけば,

ΔＶ＝ΔＶ⁰(1－ｕ²/ｃ²)^1/2です。

これはＳ⁰系でｘ,ｙ,ｚ軸に平行で長さがＬの３辺を持つ立方体

を想定すればわかります。

つまり,この立方体のＳ⁰系での体積はＶ⁰＝Ｌ³ですが,これがｘ軸

に平行に速度ｕで運動すると見えるようなＳ系ではｘ軸に平行な

１つの辺の長さのみがLorentz収縮でＬ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2になります。

一方,ｙ,ｚ軸に平行な辺の長さはＬのまま変わらないので,

Ｓ系での体積をＶと書くと,立方体は直方体になって,

Ｖ＝Ｖ⁰(1－ｕ²/ｃ²)^1/2が成り立つというわけです。

そこで,ρ＝ρ⁰/(1－ｕ ²/ｃ²)^1/2とΔＶ＝ΔＶ⁰(1－ｕ ²/ｃ²)^1/2

を掛け合わせると,ρΔＶ＝ρ⁰ΔＶ⁰が得られます。

したがってある物質が担う電荷量は,"座標変換の不変量

＝Lorentz-scalar"の１つであることがわかりますから,

理にかなっています。

ここで全く天下り的ですが,(Ｆ^μν)をMinkowski空間のある

２階反変反対称テンソルの場であるとして,

電場Ｅと磁場(磁束密度)Ｂは,Ｅ＝(Ｅ¹,Ｅ²,Ｅ³)

＝－ｃ(Ｆ⁰¹,Ｆ⁰²,Ｆ⁰³),Ｂ＝(Ｂ¹,Ｂ²,Ｂ³)＝－(Ｆ²³,Ｆ³¹,Ｆ¹²)

なる形で与えられるとしてみます。

Minkowski空間の２階反変テンソル(Ｔ^μν)というのは,

μ,ν＝0,1,2,3の16個の成分を持つ４×４正方行列で,

２つの４元反変ベクトルの直積と同じ変換性を持つ量です。

すなわち,Ａ^μ,Ｂ^μを反変ベクトルとすれば,それらの変換性

はＡ'^μ＝Λ^μ_νＡ^ν,Ｂ'^μ＝Λ^μ_νＢ^νです。

これらの成分の積で構成される16個のＡ^μＢ^ν(μ,ν＝0,1,2,3)

の組を成分とする４×４正方行列(Ａ^μＢ^ν)で与えられる量を

２つのベクトルＡ^μ,Ｂ^μの直積と呼びます。

そうして,これらの成分はＳ → Ｓ'の座標変換に対して,

Ａ'^μＢ'^ν＝Λ^μ_λＡ^λΛ^ν_σＢ^σ＝Λ^μ_λΛ^ν_σＡ^λＢ^σなる変換性

を持つわけです。

逆に,この直積成分と同じ変換性:Ｔ'^μν＝＝Λ^μ_λΛ^ν_σＴ^λσ

を示す成分Ｔ^μνを持つ量(＝行列):(Ｔ^μν)を２階反変テンソル

と定義します。

こう定義された任意の２階反変テンソルの成分Ｔ^μνは,幾つ

かの４元反変ベクトルの直積成分の線形結合で表わされること,

例えばＴ^μν＝Ａ^μＢ^ν＋Ｃ^μＤ^ν＋..と書けることを示すことも

できますが,ここでは証明は割愛します。

また,任意のテンソルの成分は,Ｔ^μν＝Ｆ^μν＋Ｇ^μν;

Ｆ^μν≡(1/2)(Ｔ^μν－Ｔ^νμ),Ｇ^μν≡(1/2)(Ｔ^μν＋Ｔ^νμ)

と分解できます。

Ｆ^μνはμとνの交換に対して反対称:Ｆ^νμ＝－Ｆ^μνなので

Ｔ^μνの反対称成分と呼ばれ,Ｇ^μνはμとνの交換に対し対称:

Ｇ^νμ＝Ｇ^μνなのでＴ^μνの対称成分と呼ばれます。

特にＴ^μνの対称成分;Ｇ^μνがゼロで,Ｔ^μνがＦ^μνに一致する

ようなテンソルは反対称テンソルと呼ばれます。

そしてこれら対称,反対称という性質は,明らかにLorentz変換で

保存されます。

つまりＳ系で反対称ならＳ'系でも反対称です。

そこで,改めて２階反対称反変テンソルを(Ｆ^μν)と書けば,

Ｆ^νμ＝－Ｆ^μνなので,μ＝νなら成分Ｆ^μνはゼロです。　

つまり対角成分は全てゼロです。

４×４＝16個の成分から４個の対角成分を除くと残りは12個です

が,反対称なので６個の成分だけが独立で残りの６個は,別の６個

の成分のそれぞれにマイナス符号をつけたもので与えられます。

例えばＦ⁰¹,Ｆ⁰²,Ｆ⁰³,Ｆ²³,Ｆ³¹,Ｆ¹²の６個を独立成分として指定

すれば,(Ｆ^μν)を完全に決めることができます。

Minkowski空間の４元ベクトルＸ^μ(μ＝0,1,2,3)の空間成分Ｘⁱ

(ｉ＝1,2,3)が普通の３次元空間のベクトルＸを形成することは

明らかです。

そこで特に２階反対称反変テンソル(Ｆ^μν)の成分の３個の組:

－(Ｆ⁰¹,Ｆ⁰²,Ｆ⁰³)を電場Ｅと置くことに不都合はありません。

一方,残りの３成分(Ｆ²³,Ｆ³¹,Ｆ¹²)は,Levi-Civitaのテンソルと

呼ばれる３次元Euclid空間の３階不変テンソルを(ε_ijk)とすれば

Ｘⁱ≡(1/2)ε_ijkＦ^jk (ｉ＝1,2,3)という形で表現されます。

例えばＸ¹＝(1/2)(ε₁₂₃Ｆ²³＋ε₁₃₂Ｆ³²)＝Ｆ²³です。

そういえば,Levi-Civitaのテンソルについては,かつての

@nifty「物理フォーラム」(2007年3月末で閉鎖,その後 folomy

(フッター参照)に移行)でも質問があって,そのときもサブシス

であった私が回答しています。

→ http://sci.la.coocan.jp/fphys/log/sotai/432_main.html

そして,特に座標変換(Λ^μ_ν)(μ,ν＝0,1,2,3)がBoostを含まず,

空間回転のみを表わす場合には,(Λⁱ_j)(ｉ,ｊ＝1,2,3)のみゼロ

でなくて,これは３×３直交行列を表わすので,

　^tΛⁱ_j＝Λ^j_i＝(Λ^-1)ⁱ_jとなります。

(以下では説明抜きでμ,ν,λ,σ..のようなギリシャ文字

は 0,1,2,3 で与えられる４次元空間の添字を,

ｉ,ｊ,ｋ,ｌ,ｍ,ｐ,ｑ．．のようなラテン文字は 1,2,3 で

与えられる３次元空間の添字を表わすとします。)

つまり,Lorentz変換:(Λ^μ_ν)は,特にＳ,Ｓ'が全く同じ慣性系Ｉ

に固定されている場合(慣性系Ｉと慣性系Ｉ'の相対速度ｖがゼロ

の場合)も含んでいて,もちろんｔ＝ｔ'＝0 で原点ＯとＯ'が一致

していますが,

その場合には時間についてはｔ'＝ｔなのでΛ^μ_νのμ＝0 かν＝0

の成分はゼロです。

要するに,単なる原点の周りの３次元の空間軸の回転しか表現して

いませんから空間のみの変換としては直交変換です。

そして,Ｆ'^μν＝Λ^μ_λΛ^ν_σＦ^λσなる４元テンソルの変換性

から,Ｆ'^pq＝Λ^ｐ_λΛ^q_σＦ^λσ＝Λ^p_lΛ^q_mＦ^lmが得られ,(Ｆ^lm)が

３次元空間の２階テンソルとして変換することがわかります。

ここで,行列の余因子が行列式と逆行列の成分の積になるという

線形代数学の公式から,Λを３×３直交行列として,

det(Λ)(Λⁱ_j)＝(1/2)ε_ipqε_jrsΛ^p_rΛ^q_sと書けます。

つまり,Λの転置行列: ^tΛの余因子行列を, ^tΛ~と書くと,

det(^tΛ)(^tΛ^-1)＝^tΛ~ですが,det(^tΛ)＝det(Λ)であり,

Λは直交行列なので, ^tΛ^-1＝Λですから,結局,

det(Λ)Λ＝^tΛ~が成り立ちます。

そして,余因子の定義から,成分は(^tΛ~)ⁱ_j＝(－1)^(i+j)Δⁱ_jです。

ここで,Δⁱ_jは"行列ΛからΛⁱ_j成分を含む第ｉ行,第ｊ列の成分

を全て除いた残りの正方行列の行列式＝小行列式"の値を示して

います。

ところが,３×３行列Λの場合には,簡単な考察から,この転置行列

の余因子成分を,

(^tΛ~)ⁱ_j＝(－1)^(i+j)Δⁱ_j＝(1/2)ε_ipqε_jrsΛ^p_rΛ^q_s

と表わすことができることがわかります。

実際,

(^tΛ~)¹₂＝(－1)³Δ¹₂＝－Λ²₁Λ³₃＋Λ²₃Λ³₁

＝(1/2)(ε₁₂₃ε₂₁₃Λ²₁Λ³₃＋ε₁₂₃ε₂₃₁Λ²₃Λ³₁

＋ε₁₃₂ε₂₁₃Λ³₁Λ²₃＋ε₁₃₂ε₂₃₁Λ³₃Λ²₁)

が確かに成立しています。

そして行列式成分の添字,あるいは行や列の交換に対する反対称性

から残りの任意成分についても成立すると思われます。

したがって,det(Λ)Λ＝^tΛ~から,

det(Λ)(Λⁱ_j)＝(1/2)ε_ipqε_jrsΛ^p_rΛ^q_s

が導かれるわけです。

そして今の場合の変換はproperな直交変換,つまりdet(Λ)＝＋1

なる変換なので,Λⁱ_j＝(1/2)ε_ipqε_jrsΛ^p_rΛ^q_sと書けます。

それ故,Λⁱ_jＸ^j＝(1/2)ε_jlmΛⁱ_jＦ^lm

＝(1/4)ε_jlmε_ipqε_jrsΛ^p_rΛ^ｑ_sＦ^lmなる等式が得られます。

ところが,不変テンソルの縮約に関するよく知られた公式:

ε_jlmε_jrs＝δ_lrδ_ms－δ_lsδ_mrを用いると,

Λⁱ_jＸ^j＝(1/4)ε_ipq(δ_lrδ_ms－δ_lsδ_mr)Λ^p_rΛ^ｑ_sＦ^lm

＝(1/4)ε_ipq(Λ^p_lΛ^q_m－Λ^p_mΛ^q_l)Ｆ^lm

＝(1/2)ε_ipqΛ^p_lΛ^q_mＦ^lm＝(1/2)ε_ipqＦ'^pq＝Ｘ'ⁱ

となり,結局Ｘ'ⁱ＝Λⁱ_jＸ^jが示されるわけです。

したがって,

"３次元空間の２階反対称テンソルの独立な３成分は３次元の

擬ベクトル＝軸性ベクトルをなす。"

というよく知られた法則が改めて証明されました。

ここでは,物理屋らしく成分を使って泥臭い計算をしていますが,

そもそも,テンソルというのは,ベクトルを空間に矢印を書いて

幾何学的にイメージするのと同じく,座標系の取り方でコロコロ

変わるような"成分＝単なるラベル"とは独立な幾何学的実体です。

このことを意識すれば,微分形式の機械的な演算をベクトル解析

に応用する際のように,外積代数とHodgeの星印作用素のような

ものをうまく使うことで,よりスマートな解析も可能だろうと

いう気がします。

ところで,一応ご存知ない方のために"擬ベクトル＝軸性ベクトル

とは何か？"ということも説明しておきます。

通常の座標軸の回転などの連続的な変換に対しては３次元空間

のベクトルとしての変換性を持つ量:Ｖ＝Ｖ(ｘ,ｔ)が,

不連続な"空間反転:ｘ → －ｘ＝空間座標系のｘ,ｙ,ｚ軸の向き

を全て反転する変換(３次元なのでこれは右手系→左手系の変換

を意味し鏡映も同等な意味になります)"に連動して,

Ｖ→Ｖ'と変換されるとします。

このとき,同じ位置ｘ → －ｘでの量について,Ｖ→Ｖ'が

Ｖ'(－ｘ,ｔ)＝－Ｖ(ｘ,ｔ)なる関係を示すとき,これは位置

ベクトルｘと同じく符号を変える普通のベクトルであること

を意味しています。

こうした場合には,Ｖを極性ベクトルと呼びますが,もしも

Ｖ'(－ｘ,ｔ)＝Ｖ(ｘ,ｔ)と符号が変わらない場合には,

この量Ｖを擬ベクトル,または軸性ベクトルと呼びます。

そして,古典電磁気学で知られているように,φを３次元の

スカラーポテンシャル,Ａを３次元のベクトルポテンシャル

とすると,

電場Ｅと磁場(磁束密度)Ｂは,これらにより,

Ｅ＝－∇φ－∂Ａ/∂ｔ,Ｂ＝∇×Ａと表現されます。

そして,Ａは空間反転に対して符号を変える普通の極性ベクトル

であり,また空間微分∇も明らかに空間反転に対して符号を変え

ます。

したがって,パリティの性質から電場Ｅは極性ベクトル,

磁場(磁束密度)Ｂは軸性ベクトルであると同定されます。

そこで,Ｅ＝(Ｅ¹,Ｅ²,Ｅ³)≡－ｃ(Ｆ⁰¹,Ｆ⁰²,Ｆ⁰³),

Ｂ＝(Ｂ¹,Ｂ²,Ｂ³)≡－(Ｆ²³,Ｆ³¹,Ｆ¹²)とおくことは,これまで

の議論から考えて３次元空間での変換性の意味では整合的です。

まあ,Ａ^μ＝(Ａ⁰,Ａ¹,Ａ²,Ａ³)≡(φ/ｃ,Ａ)とおいて,

Ｆ^μν≡∂^μＡ^ν－∂^νＡ^μ＝∂Ａ^ν/∂ｘ_μ－∂Ａ^μ/∂ｘ^ν

と定義すれば,Ａ^μ≡(ｃφ,Ａ)が４元反変ベクトルであること

がわかるので,(Ｆ^μν)は確かに２階反対称反変テンソルになり

ます。

そして,－Ｆ⁰ⁱ＝Ｆ⁰_i≡＝－∂⁰Ａⁱ＋∂ⁱＡ⁰の右辺は,

Ｅ/ｃ＝－{∂Ａ/∂(ｃｔ)}－∇(φ/ｃ)の第ｉ成分を表わし,

－Ｆ^jk＝Ｆ^j_k＝Ｆ_k^j≡－∂^jＡ^k＋∂^kＡⁱの右辺は,

Ｂ＝∇×Ａにおいて(i,j,k)が巡回的になるような第ｉ成分

に一致するので,先に与えた定義と同じになります。

つまり,Ｅ＝(Ｅ¹,Ｅ²,Ｅ³)＝ーｃ(Ｆ⁰¹,Ｆ⁰²,Ｆ⁰³)

＝ｃ(Ｆ⁰₁,Ｆ⁰₂,Ｆ⁰₃),Ｂ＝(Ｂ¹,Ｂ²,Ｂ³)＝－(Ｆ²³,Ｆ³¹,Ｆ¹²)

＝(Ｆ³²,Ｆ¹³,Ｆ²¹)なる表現が,天下りより少しはましな方法

で得られるわけですね。

そして,電場,磁場をこのように定義したとき,電磁場の基本方程式

である真空中のMaxwell方程式:divＢ＝0 ,rotＥ＋∂Ｂ/∂ｔ＝0 ,

divＤ＝ρ,rotＨ－∂Ｄ/∂ｔ＝ρｕ;(Ｄ≡ε₀Ｅ,Ｂ≡μ₀Ｈ)

のうちで,

divＢ＝0 ,rotＥ＋∂Ｂ/∂ｔ＝0 は見かけ上は,ただ１行の

テンソル表現の微分方程式:

∂Ｆ^μν/∂ｘ_λ＋∂Ｆ^νλ/∂ｘ_μ＋∂Ｆ^λμ/∂ｘ_ν＝0

で与えられます。

実際,divＢ＝0 は∂Ｆ²³/∂ｘ₁＋∂Ｆ³¹/∂ｘ₂＋∂Ｆ¹²/∂ｘ₃＝0

と表現されるし,

rotＥ＋∂Ｂ/∂ｔ＝0 は,"ｘ軸の向きの成分＝第１成分"

であれば,∂Ｆ⁰³/∂ｘ₂＋∂Ｆ³²/∂ｘ₀＋∂Ｆ¹⁰/∂ｘ₃＝0 と一致し,

その他の２成分についてもそれぞれ一致します。

方程式∂Ｆ^μν/∂ｘ_λ＋∂Ｆ^νλ/∂ｘ_μ＋∂Ｆ^λμ/∂ｘ_ν＝0

の左辺は３階テンソルですから,素朴に勘定すると,成分の数

は４×４×４個ですが,

左辺はμ,ν,λについて完全に反対称な反変テンソルなので

既にμ,νについての２階反対称テンソルＦ^μνの独立な成分

の数が４×４個ではなくてＥとＢの６成分＝(４×３)/２!で

あることを見たように,

この場合も独立な成分は(４×３×２)/３!＝４成分だけです

から,独立な方程式の数も４個となって確かに計算が合います。

一方,divＤ＝ρ,rotＨ－∂Ｄ/∂ｔ＝ρｕの方は,これに

Ｄ≡ε₀Ｅ,Ｈ≡Ｂ/μ₀を代入して,ＥとＢの方程式にすると

divＥ＝ρ/ε₀,rotＢ/μ₀－ε₀∂Ｅ/∂ｔ＝ρｕ

となりますが,

これらは∂Ｆ^μν/∂ｘ^ν＝－ｓ^μ/(ｃ²ε₀)と書けます。

すなわち,∂Ｆ⁰¹/∂ｘ¹＋∂Ｆ⁰²/∂ｘ²＋∂Ｆ⁰³/∂ｘ³

＝－ｓ⁰/(ｃ²ε₀),∂Ｆ¹²/∂ｘ²＋∂Ｆ¹³/∂ｘ³＋∂Ｆ¹⁰/∂ｘ⁰

＝－ｓ^１/(ｃ²ε₀) etc.です。

ここでは,ｘ⁰＝ｃｔ＝ｔ/(ｃε₀μ₀)などの等式を用いました。

こうして電磁場の基本方程式の表現は,Minkowski空間のテンソル

の間の等式という形(スカラーは 0 階テンソル,ベクトルは１階

テンソルetc.)に帰着されたので,理論の相対論的共変性は自明に

なりました。

今日はこのくらいにします。

※(参考文献)：

メラー 著(永田恒夫,伊藤大介 訳)「相対性理論」(みすず書房)

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