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2008年5月 3日 (土)

電場と電束密度,磁場と磁束密度(4)

Ampere法則:∫C()=∫S(),

あるいはrot()=∇×()()が成立するという段階

まで来たので,後は一直線で,真空中の磁場に関する法則は,やる

気になれば全て演繹的に得られると思われます。

 Ampere
の法則の微分形:rot()=∇×()=()で

両辺の回転(rot)を取れば,

rot{rot()}=∇×{∇×()}

=grad(div())-∇2()=rot()=∇×()

です。

 真空中では,div()=∇()=0 ,()=μ0()より,

div()=∇()=0 が成り立つので,結局,

2()=-{∇×()}なる方程式,

()に対する1つのPoisson方程式が得られます。

 
この方程式の解を求めるには次のような方法を取るのが系統的

で比較的簡単です。

 まずラプラス演算子(Laplacian)∇2の形式的な逆演算子(∇2)-1,すなわち,微分演算子の逆ですから積分演算子として,"∇2G(')=δ(')を満たす関数G(')=∇2のグリーン関数"のうちで無限遠で消える,つまり|'| → ∞でG(') → 0 なる境界条件を満たすものを求めます。

そして,方程式2()=-{∇×()}の両辺に形式的に演算子(∇2)-1を掛けると,()=-(∇2)-1{∇×()}=-∫G('){∇'×(')}d3r'=-∫[(')×{∇'G(')}]d3r'となります。

 

したがって,()を求めるのは,グリーン関数G(')を具体的に求めることに帰着しますが,このグリーン関数がG(')=-1/(4π|'|)で与えられることは既によく知っています。

 

これを代入すると,()={1/(4π)}∫[(')×{∇'|'|-1}]d3r'が得られます。

したがって,結局,真空中に電流があるときに磁束密度()=μ0()を与える一般式として次のような公式が導かれました。

 

すなわち,()={μ0/(4π)}∫[{(')×(')}/|'|3]d3r'です。これをビオ・サバールの法則(Biot-Savartの法則)といいます。

しかし,ビオ・サバールの法則を求めるには,普通は先にdiv()=∇()=0 によって存在が保証されたベクトルポテンシャル()を求め,これから()=rot()=∇×()によって()を求める方法が取られることが多いようです。

すなわち,上記のように磁束密度()を()の回転で表現し,アンペールの法則:rot()=∇×()=()の磁束密度版であるrot()=∇×()=μ0()を()に対する表式に書き直すとgrad(div())-∇2()=μ0()と書けます。

 

ここで,特にクーロンゲージと呼ばれるゲージ条件div()=∇()=0 を満足するゲージを採用すれば,∇2()=-μ0()となって,()に対するポアソン方程式が得られます。

そこで,すぐ上で()に対する方程式を解いたのと全く同様にして,()を求めることができます。つまり,()に対するものと全く同じグリーン関数を用いて,()={μ0/(4π)}∫[(')/|'|]d3r'と書けます。

 

これから,()=rot()=∇×()を用いて,再びビオ・サバールの法則()={μ0/(4π)}∫[{(')×(')}/|'|3]d3r'を求めることができるわけです。

ここで,ベクトルポテンシャル()に対して特別なゲージであるクーロンゲージを選択して採用しましたが,どんなゲージを選択しようと,()=rot()=∇×()なる表現での磁場()の値には全く影響しませんから,途中段階での計算の便宜のために採用したゲージによらず,今の場合の結論で言うと,ビオ・サバールの法則の成立には関係ありません。

ここで,特に閉じた細い導線の回路を一定の電流Iが流れているような場合にはこれらの公式はどうなるかを考えてみます。

 

このときは,電流密度ベクトルを(')=i(')と置き,導線の断面積をσとすると{∫σ(’)dS'}dr'=Id',∫σi(')dS'=I,d'=dr'と書けます。

 

そこで,上記ビオ・サバールの法則のベクトルポテンシャル,および磁束密度はそれぞれ,()={μ0I/(4π)}∫d'/|'|,()={μ0I/(4π)}∫[d'×(')}/|'|3]と表現されます。

 

こうして導線回路に電流Iが流れるという場合の磁場を扱うのに便利な形も得られました。

一方,中心0を周る微小な環状電流がある特別な場合を想定し,この電流に対して発生する磁場がどうなるかを考えてみます。

 

このときにはベクトルポテンシャルの一般的公式()={μ0/(4π)}∫[(')/|'|]d3r'において,0,'≡'-0とおくと,R'<<Rなので,1/|'|=1/|'| ~ (1/R)[1+(')/R2]と近似できて,()={μ0/(4π)}∫[(')/|'|]d3r' ~ {μ0/(4π)}∫[(')(')/R3]d3r'となります。

一方,微小環状電流に相当する磁気双極子のモーメント(能率)はμ=(I/2)[∫C('×d')]=(1/2)∫C∫∫σidS ('×d')=(1/2)∫Cσ(('))d3r'=IΔS (ただしΔSはCで囲まれた領域の面積)で与えられますが,これに基づいてμとのベクトル積を計算してみます。

すなわち,μ×=(1/2)∫Cσ(('))×ds'dS'ですが,このシリーズの前の記事「電場と電束密度,磁場と磁束密度(2)」の文中では等式(1/2)∫0T[(]dt=∫0T[(')]dtが与えられています。

 

この式で,∫0Tdt→∫Cds','→',('),なる置き換えを行なえば,μ×=∫C(')(')d3r'と書けます。

 

したがって,ΔS→ 0 の極限では近似ではなく,正確に()={μ0/(4π)}[(μ×)/R3]となることがわかります。

 

そして,これから,磁束密度として()=rot()=∇×()={-μ0/(4π)}[μ/R3-3(μR)/R5]なる表式が得られますが,これは以前に磁気双極子=磁石が単独で存在する場合の磁場として与えたものを丁度再現しています。

以上のように,真空中の場を対象とする限り,電場と電束密度の間の=ε0なる関係と同じく,磁場(磁界)と磁束密度についても,結局は=μ0という定数倍の違いしかなく,これらは単なる定義の違いに過ぎないことがわかりました。

 

したがって,ここから以後ではこの記事の元々の主旨を考えるために,真空中ではなく物質中の磁場,特に定常電流はあるが電磁誘導などを伴なう変動する電場や磁場などの存在は想定しない,物質中の静磁場の話に移ります。

 

ここでは誘電体などの媒体物質の中に導線回路などの導体があってそれに伝導電流が流れるために磁場が生じたり,逆に導線によるコイルなどの内部に鉄などの磁性体の芯があって,伝導電流による磁場の磁束が増幅されるような状況を考えます。

なお,媒体物質は伝導電流や磁場に対して相対的に静止しているとします。まあ静止しているとか運動しているとかについては,その基準が必要なので基準がたくさんあるときには,一概に決められるものではありませんが,物質が運動していることまで考慮すると相対性理論の概念を導入せざるを得ません。

 

しかし,そうしたことに関連した説明はそれだけでも大部になるので後述することにして,今のところは物質が光速に近い相対速度で運動しているわけではなくて,そうした余計な考察要素を考える必要のない状況の設定であるとします。

さて,以前にも記したように通常,外部に電場も磁場もない状態では,この世に存在している物質を遠方から巨視的イメ-ジで観測する限り,それらを構成する分子,原子の中の電磁気的相互作用に関わる微視的構造は遮蔽されて物質は電気的に中性であり,電流もゼロなので磁気的にも中性であると考えていいです。

 

しかし,外部に電場がある場合には電磁気学のような巨視的スケールで考えても分極)が生じ,分極状態に時間的変動があればそれに伴って分極電流が流れるはずです。

すなわち,通常の自由電子の真電荷密度ρeの運動によって生じる伝導電流の密度をeと書き,分極電荷密度をρdと書いて,これの運動による電流を分極電流と呼んでその密度をdと書けば,特に伝導電流が捕獲されたりすることがない限り,それぞれ独立に"電荷保存則=連続方程式"を満たします。

すなわち,∂ρe/∂t+dive=0,かつ∂ρd/∂t+divd=0 が成立しますが,先に述べたように分極ベクトルを(,t)とすると,ρd(,t)=-div(,t)が成立します。

 

これを∂ρd/∂t+divd=0 に代入すると,div{d(,t)-∂(,t)/∂t}=0 となります。そこで,あるベクトル値関数(,t)が存在して,d(,t)-∂(,t)/∂t=rot((,t))=∇×(,t)と書けます。

 

つまり,d(,t)=∂(,t)/∂t+rot((,t))です。

しかし,実際の分極電流として認められるものは分極ベクトル(,t)の時間変動による部分だけと考えて,上の最後の式の右辺で第1項のみを改めて分極電流dとして採用し,d(,t)≡∂(,t)/∂tと定義します。

それでは,分極電流の発散には寄与しない第2項のベクトル値関数の場(,t)は何を表わしているのでしょうか?

実は,この項は,伝導電流によって生じた磁場のために個々の分子内に磁化電流と呼ばれる分子電流が誘起され,それによる微小な環状電流の形成する微視的な磁気双極子の集まりであると理解されます。

 

こうした分子電流の誘起を磁化と呼びますが,磁化により生成された微視的な磁気双極子が対象領域中に密度μ(,t)で分布するとして,これの巨視的平均:単位体積当たりの磁気モーメントを(,t)であると考えるわけです。

 

以下では,必要でない限り(,t)のtを省略した表現:()を採用します。

そして前記のモーメントμを持つ単独の磁気双極子による場を表わすベクトルポテンシャル()={μ0/(4π)}[(μ×)/R3]を多くの磁気双極子の集まりがあってそれを連続分布)で近似できる場合に一般化すると,その場合のベクトルポテンシャルの表現として()={μ0/(4π)}∫[(')×(')/|'|3]d3r'が得られます。

ところが,rot'{(')/|'|}={rot'(')}/|'|-{(')×(')/|'|3}なる恒等式が成立し,∫[rot'{(')/|'|}]d3r'=∫[(')×(')/|'|]dS'=0 なる式も成立します。

 

それ故,上記のベクトルポテンシャルは()={μ0/(4π)}∫[{rot'(')}/|'|]d3r'なる形に書けることがわかります。

これを一般のビオ・サバールの法則の表現式:()={μ0/(4π)}∫[(')/|'|]d3r'と比較すると,単位体積当たりの平均が()で与えられる磁気双極子分布は,m()≡rot()なる空間分布を持つ電流m()の存在と等価であることがわかります。

 

以上のような考察から,m()=rot()を磁化電流と呼び,(),または()≡μ0()を磁化ベクトルと呼びます。

そこで平均場としての物質内の実質的な総電荷はρ=ρe+ρd,総電流密度edmとなり,物質内では真空中のアンペールの法則はrotedmとなります。

 

これを別の表現に書き直せばμ0-1{rot(,t)}=e(,t)+∂(,t)/∂t+rot(,t)です。

ところで,これまでは何の疑いもなく定常場で成立することがわかっている式は非定常場でも成立すると仮定し,等式における両辺の場の量に勝手に時刻tを陽に入れたりはずしたりして来ました。

 

しかし,静磁場で成り立つことがわかっているアンペールの法則rot()=()は,実は時間変動する電場がある場合には,一般に正しい式ではありません。

 

すなわち,変動磁場による磁束の変化[-∂/∂t]が起電力を生ぜしめ電場の回転rotに寄与するという電磁誘導現象と同様,アンペールの法則の左辺rotに対し,変位電流と呼ばれる変動電場ε0(∂/∂t)が電流と同等な寄与を与えることを考慮する必要があります。

 

それ故,先のμ0-1{rot(,t)}=e(,t)+∂(,t)/∂t+rot(,t)なる法則は,μ0-1{rot(,t)}=e(,t)+∂(,t)/∂t+rot(,t)+ε0{∂(,t)/∂t}と書き直す必要があります。

 

これを移項して整理するとrot{μ0-1(,t)-(,t)}-(∂/∂t){ε0(,t)+(,t)}=e(,t)となります。

そして以前の記事での電束密度と電場の関係(,t)=ε0(,t)+(,t)}=ε(,t)を代入すると,rot{μ0-1(,t)-(,t)}-∂(,t)/∂t=e(,t)となります。

 

これまではアンペールの法則rotedmを満たす磁場の強さ(磁界)を真空中の磁界=μ0-1で定義していました。

 

しかし,物質中の磁界は≡μ0-1であると定義すれば,rot-∂/∂t=eとなります。

 

つまり,=μ0+μ0=μ0となるようにを定義し直すわけですが,普通はこの式を=εと同じく,現象論的に=μと表わしてμを物質中の透磁率と呼びます。

 

そして,非定常な変動電場や変動磁場が存在しない静磁場の話なら∂(,t)/∂t=0 なので,物質中の磁場に対するアンペールの法則は,真空中のに対するrot(,t)=(,t)=e(,t)+d(,t)+m(,t)ではなく,rot(,t)=e(,t),またはrot(,t)=μe(,t)なる表現で与えられます。

  

前の考察で挙げた例ですが,電流分布としてある円板Sの中心o以外には全く電流がなく,中心にのみSに垂直な向きの一定の伝導電流が存在するような典型的な場合は電流密度がIδ2(r-r0)です。

 

このとき,真空中のアンペールの法則を2πRH()=I と書いて,H()=I/(2πR),または()={I/(2πR2)}(ただしr-r0)なる表現を得ます。

 

アンペールの法則は真空中でも物質中でも全く同じ形なので,物質の中の磁場(磁界)も真空中と同じく H()=I/(2πR)で与えられると考えられます。

しかし,磁束密度の方は()=μ()なので同じ例で真空中ではB()=μ0I/(2πR),物質中ではB()=μI/(2πR)となって,その大きさは透磁率μに比例します。

 

そして,dΔs×()によって,電流に働く磁力の強さは磁束密度()の大きさB()に比例しますが,一般にμ>μ0であり鉄などの強磁性体ではμはμ0の数千倍にもなりますから,コイルの中に鉄芯などを挿入するだけでコイルを流れる同じ伝導電流Iに対して働く磁力は数千倍にも増幅可能です。

 

しかし,こうした大きいμに対応する物質については,もはや磁場によって誘起される磁化のために磁束密度が増幅され,その結果磁場と磁束密度の関係が()=μ()なる定数係数の比例関係にあるというような単純な現象論的モデルを採用することに意味があるのかどうかが疑問となって来ます。

 

磁気力をコイル電流に働く力という形ではなく,"磁石=磁荷対,または磁気双極子"に働く力として見るとき,試験体としての磁石は磁力の源となる永久磁石やコイルなどの内部にあるのではなく,一般にその近くの空気中,または空気を無視して真空中にあると考えます。

 

そこでは,透磁率はμ0なので磁束密度は()=μ0()のままであって,力は真空中では=(grad)()=(μgrad)(),かつ=μ0μで与えられますから,磁力の強さは磁束密度によるというより磁界で与えられるという感覚があります。

 

しかし,もちろん磁力が働くのが真空中でも,試験体磁石自体が磁性体でできていて,その内部の環状電流が磁化電流などで増幅されて,単なる=μ0μではなく,=μμになっていると想定してもいいわけですから,そう考えると,=μμとして=(grad)()となります。

 

そして=μなので,結局=(grad)()=(μgrad)()という関係は変わりませんね。

 

さて,これまでは磁化()≡μ0()は伝導電流e()によって発生した外部磁場0()によって誘起されるとのみ考えました。

 

こうして発生した磁気双極子の集合はさらに磁場を誘起して,それがさらなる磁化を促します。

 

こうして元々の0()から生じた磁化の連鎖の結果,最終的に得られた磁場()と()の関係が()=μ()であり,()=(μ-μ0)()であるわけです。

 

したがって伝導電流e()に伴なう外部磁場0()がゼロになれば()もゼロとなり,それゆえ磁化()もゼロになるはずです。

ところが,外部磁場0()をゼロにしても,なお磁化は消えてゼロにはならず,有限な磁化の状態を保っているような物体があります。これが永久磁石です。

 

こうした磁石において,外部磁場をゼロにするのに伴なって消える磁化を誘導磁化と呼び,i()と書きます。

 

一方,外部磁場を消してもなお残る残留磁化を永久磁化と呼び,0()で表わします。こう定義すれば全磁化()は()=i()+0()と分離して書けます。

そして磁束密度は()=μ0()+()=μ0()+i()+0()=μ()+0()で与えられるはずです。

 

これは定義によって0()は()がゼロでも存在する磁化なので,磁束密度のうちの磁場に比例する部分は磁場による真空中の磁束と誘導磁化の和で与えられると考えるのが妥当であるからです。

 

そして真空中と同じく,物質があろうと,そもそも磁気単極子(モノポール)なるものは存在しませんから,磁力線の束,あるいは磁束線の密度の意味で,div()=0 が成立しますから,永久磁化0()があるときには真空中のようにdiv()=0 ではなく,div{μ()}=-div0()となります。

しかし,物質中でもアンペールの法則はrot()=e()なので,永久磁化0()はあっても伝導電流e()がないところでは,rot()=0 により,"磁位=磁気ポテンシャル"φm()が存在して,()=-gradφm()=-∇φm()と書くことができます。

 

そこで,div{μ()}=-div0()なる式は磁位φm()に対しては∇2φm()=(1/μ)div0()なるポアソン方程式を意味します。

 

そして,これを解けばφm()={-1/(4πμ)}∫[{div'0(')}/|'|]d3r'となります。

一般に単純ではない境界面を持った異なる物質領域があったり,永久磁化がある場合には,が単に定数倍の関係にあるわけではないということをより明確に示すため,真空中に円筒形の永久磁石が置かれているという例を考えてみます。

 

円筒磁石の円断面の中心を通る柱の方向軸をz軸に取り,永久磁化0()はz方向には一様であるとします。この場合,永久磁石と無関係な外部磁場はありませんから,誘導磁化i()はゼロです。

そこで,永久磁石による円筒磁石の外部の真空中での磁場と磁束密度の関係は()=μ0()で与えられますが,円筒磁石の内部では()=μ0()+0()となります。

 

z軸の正の向きの単位ベクトルを,それに直角の単位ベクトルをとし,-l≦z≦lに磁石が存在するならヘヴィサイドの階段関数θ(x)=1(x>0),0(x<0)(特にdθ(x)/dx=δ(x))を用いて0()を表現すれば0()=θ(l-z)θ(l+z)σmとなります。

 

ここでσmは磁化の表面密度で,これは以下に示すように磁荷の表面密度と同定される量です。

そして,この場合の磁位はφm()={-1/(4πμ)}∫[{div'0(')}/|'|]d3r'={-σm/(4πμ0)}∫[(∂/∂z'){θ(l-z')θ(l+z')}/|'|]dz'dS'= {-σm/(4πμ0)}∫[-δ(l-z')θ(l+z')+θ(l-z')δ(l+z')]/|'|]dz'dS'={σm/(4πμ0)}[∫z=ldS'/|'|-∫z=-ldS'/|'|]となります。

一方,既述したように位置0に磁荷qmが単独で存在する場合の磁位は0と置いてφm()=qm/(4πμ0R)なる形で与えられることがわかっています。

 

そこで,これを上述の永久磁石の磁位の表式と比較すると,この磁石-真空系に顕在する磁荷としては磁石の上下の境界面上に表面密度±σmで存在するもののみであることがわかります。

磁場()はこのφm()から()=-gradφm()=-∇φm()で与えられます。そして永久磁化0()の向きはz軸の正の向き,つまりの向きですから,0()=0 ,0()=|0()|です。

そこで,微分型の法則μ0div()=-div0()をガウスの定理を用いて磁石の境界上の面積分μ0()dS=-∫0()dSに変換すると,inを"真空と磁石の境界のすぐ内側=磁石内部側の磁場",extを"境界のすぐ外側=真空側の磁場"とするとき,側面上ではμ0(extin)=0,上下端の面上ではμ0(extin)=±σmなので,磁石の上下の表面ではの法線成分が不連続にジャンプします。

一方,磁束密度の方に着目すると,円筒磁石の内部では()=μ0()+0()=-μ0gradφm()+0()なので,ここではrot()=rot0()です。

 

また磁石外部の真空では0()=0 なので()=μ0()ですから磁石外部の真空中では定数倍を除いて()と()の挙動は一致します。

 

そしてinを"真空と磁石の境界のすぐ内側=磁石内部側の磁束密度",extを"境界のすぐ外側=真空側の磁束密度"とすると,rot()=rot0()は∫C()d=∫C0()dを意味しますから,Cを境界面上での閉路と仮定すると磁石の側面上では0()の向きは側面に平行で()(extin)=σm,上下端の面上ではが面に平行で(extin)=0 です。

 

それ故,磁石の側面上ではの接線成分が不連続にσmだけジャンプします。

つまり,の向きは磁石の外では平行ですが,磁石の内部ではほぼ正反対になっています。

今日はここまでにします。大体初期の目標は達成できましたが,あとは主要な課題としては運動物体の電気力学,つまり物質がある場合の相対性理論の考察が残っています。

参考文献:砂川 重信 著「理論電磁気学(第2版)」(紀伊国屋書店),ファインマン(R.P.Feynman)(宮島龍興 訳)「ファインマン物理学Ⅲ(電磁気学)」(岩波書店)他

 

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