電磁気学と相対論(5)(真空中の電磁気学４)

電磁気学と相対論の続きです。

今回は,まず,

Ｓ系 → Ｓ'系への時空座標のLorentz変換:

ｘ'^μ＝Λ^μ_νｘ^ν(ｘ'＝Λｘ)に対して,

電場Ｅ＝(Ｅ¹,Ｅ²,Ｅ³)≡－ｃ(Ｆ⁰¹,Ｆ⁰²,Ｆ⁰³),

および,磁場Ｂ＝(Ｂ¹,Ｂ²,Ｂ³)≡－(Ｆ²³,Ｆ³¹,Ｆ¹²)が,

どのように変換されるかを見ます。

「電磁気学と相対論(1)(特殊相対論の運動学と力学のレヴュー)」

において,

真空中の光速をｃ,γ≡(1－ｖ²/ｃ²)^-1/2とおけば,特殊Lorentz

変換は,ｔ'＝γ(ｔ－ｖｘ/ｃ²),ｘ'＝γ(ｘ－ｖｔ),

ｙ'＝ｙ,ｚ'＝ｚ,　つまり,

ｘ'⁰＝γ(ｘ⁰－ｖｘ¹/ｃ),ｘ'¹＝γ(ｘ¹－ｖｘ⁰/ｃ),

ｘ'²＝ｘ²,ｘ'³＝ｘ³で与えられることを見ました。

これは,変換行列:Λ＝(Λ^μ_ν)が次のようになることを意味します

そして,２階反変テンソルの定義によって,電磁場のテンソルは,

Ｆ'^μν＝Λ^μ_λΛ^ν_σＦ^λσと変換されます。

例えば,左辺の(0,i)成分の変換は,Ｆ'⁰ⁱ＝Λ⁰_λΛⁱ_σＦ^λσ

＝Λ⁰₀Λⁱ_kＦ^0k＋Λ⁰_kΛⁱ₀Ｆ^k0＋Λ⁰_kΛⁱ_jＦ^kjと表現されるので,

Ｓ'系で電場の１軸成分の変換は,

Ｅ'¹＝－ｃＦ'⁰¹＝γ²Ｅ¹－(ｖ²γ²/ｃ²)Ｅ¹

＝γ²(1－ｖ²/ｃ²)Ｅ¹＝Ｅ¹,

すなわち,Ｅ'¹＝Ｅ¹となります。

同様にして,Ｅ'²＝γ(Ｅ²－ｖＢ³),Ｅ'³＝γ(Ｅ³＋ｖＢ²)

が得られます。

一方,Ｆ'^ij＝Λⁱ_λΛ^j_σＦ^λσ

＝Λⁱ₀Λ^j_kＦ^0k＋Λⁱ_kΛ^j₀Ｆ^k0＋Λⁱ_kΛⁱ_lＦ^klなので,

例えば,Ｂ'³＝－Ｆ'¹²＝(－ｖγ/ｃ²)Ｅ²＋γＢ³

＝γ(Ｂ³－ｖＥ²/ｃ²)　を得ます。

そこで,Ｓ'系で磁場になる変換をまとめると,

Ｂ'¹＝Ｂ¹,Ｂ'²＝γ(Ｂ²＋ｖＥ³/ｃ²),Ｂ'³＝γ(Ｂ³－ｖＥ²/ｃ²)

です。

上の特殊Lorentz変換は,慣性座標系間の相対速度ｖの向きが

ｘ軸に平行な特別な場合,すなわち,ｖ＝(ｖ,0,0)なる場合の

変換です。

これを考慮して,ｖが一般のベクトルである場合の空間軸の回転

を含まないLorentz変換の場合の変換表式:

つまり,上の特殊Lorentz変換での表式を一般化すると,

Ｅ'＝γＥ＋(ｖ/ｖ²)(ｖＥ)(1－γ)＋γ(ｖ×Ｂ),

Ｂ'＝γＢ＋(ｖ/ｖ²)(ｖＢ)(1－γ)－(γ/ｃ²)(ｖ×Ｅ)

となることがわかります。

これの逆変換はｖを－ｖとして,プライムを逆につければいいので,

Ｅ＝γＥ'＋(ｖ/ｖ²)(ｖＥ')(1－γ)－γ(ｖ×Ｂ'),

Ｂ＝γＢ'＋(ｖ/ｖ²)(ｖＢ')(1－γ)＋(γ/ｃ²)(ｖ×Ｅ')

となります。

これらを見ると電場Ｅと磁場Ｂは座標変換に対して,ほぼ対称的

に変換され,Ｓ系において磁場Ｂが無く(Ｂ＝0),電場Ｅだけが存

在する場合でも,Ｓ'系にはゼロでない磁場Ｂ'が出現して電場Ｅ'

と混在するようになることがわかります。

すなわち,電場Ｅと磁場Ｂは,同じ力の場の別の表現であり,

それらを全く独立なものとして区別する必要はない,という

ことが示されています。

例えば,大きさｅの電荷を持つ荷電粒子がＳ系で等速度ｕで運動

しているとき,この粒子の速度がゼロ,すなわち粒子が静止して

いると見える系をＳ'系に取り,それをＳ⁰系と書いてみます。

Ｓ⁰系での物理量を,全て上添字が 0 で表現することにします。

そして,Ｓ⁰系では電場Ｅ⁰のみがあって,磁場はゼロ:Ｂ⁰＝0 と

します。

このとき,Lorentz変換における系の相対速度はｖ＝ｕであって

上記の逆変換の式で,ｖ＝ｕ,γ＝(1－ｕ²/ｃ²)^-1/2とおけば,

Ｓ系では,

Ｅ＝[Ｅ⁰＋(ｕ/ｕ²)(ｕＥ⁰){(1－ｕ²/ｃ²)^1/2－1}]/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,

Ｂ＝(ｕ×Ｅ⁰)/{ｃ²(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}　

と書けます。

そして,Ｓ⁰系で大きさｅの電荷を持つ粒子が静止して

Ｆ⁰＝ｅＥ⁰なる電磁力を受けているとき,

それに対して速度－ｕで運動しているＳ系からみると,この

系では電場Ｅと磁場Ｂが存在して同じ電荷ｅを持つ粒子は

速度ｕで運動しているわけですから,それに働く電磁力は,

Ｆ＝ｅ(Ｅ＋ｕ×Ｂ)　となります。

ここで,以前の記事

「電磁気学と相対論(1)(特殊相対論の運動学と力学のレヴュー)」

で次のように書いたことを思い出します。

"Ｓ⁰系での力がＦ⁰のとき,Ｓ系における同じ力Ｆは,

Ｆ＝Ｆ⁰(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＋(ｕ/ｕ²)(ｕＦ⁰){1－(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}

＝(1－ｕ²/ｃ²)^1/2[Ｆ⁰＋(ｕ/ｕ²)(ｕＦ⁰)(γ－1)]

と表わされます。

そして,Ｆ,Ｆ⁰をそれぞれｕに平行な成分と垂直な成分に

分解して,Ｆ＝Ｆ_//＋Ｆ_⊥,Ｆ⁰＝Ｆ⁰_//＋Ｆ⁰_⊥と表現すれば,

Ｆ_//＝Ｆ⁰_//,Ｆ_⊥＝Ｆ⁰_⊥(1－ｕ²/ｃ²)^1/2:

すなわち,Ｆ＝Ｆ⁰_//＋Ｆ⁰_⊥(1－ｕ²/ｃ²)^1/2 と書けます。

また,Ｅ⁰をＥとＢで表わせば,

Ｅ⁰＝[Ｅ＋ｕ(ｕＥ){(1－ｕ²/ｃ²)^1/2－1}/ｕ²＋ｕ×Ｂ]

/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2と書けます。

特に,Ｅ⁰_//＝Ｅ_//,Ｅ⁰_⊥＝(Ｅ_⊥＋ｕ×Ｂ)/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2です。

それ故,電荷ｅを有する荷電粒子の速度がゼロで,外力として

電気力しか働かないＳ⁰系では,Ｆ⁰＝ｅＥ⁰の場合

つまり,Ｆ⁰_//＝ｅＥ⁰_//,Ｆ⁰_⊥＝ｅＥ⁰_⊥なら,同じ粒子が

速度ｕで運動していると見えるＳ系では,

Ｆ_//＝ｅＥ_//,Ｆ_⊥＝ｅ(Ｅ_⊥＋ｕ×Ｂ)　です。

それ故,Ｆ＝ｅ(Ｅ＋ｕ×Ｂ) となり磁気力のLorentzの公式が

自然に得られます。”

先に,これを書いたときには電磁場の変換が,

Ｅ⁰＝[Ｅ＋(ｕ/ｕ²)(ｕＥ){(1－ｕ²/ｃ²)^1/2－1}＋ｕ×Ｂ]

/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2となるというこの表式は,単に天下り的に

与えただけでした。

しかし,今は上に記述したように,Minkowski空間の２階反変

テンソルの変換性からの帰結として,公式の成立が保証され

ています。

さて,次にLorenzゲージでの電磁場の基本方程式:

(∂²Ａ^μ/∂ｘ_ν∂ｘ^ν)＝ｓ^μ/(ｃ²ε₀),または,

□Ａ^μ＝ｓ^μ/(ｃ²ε₀)を解いてみます。

そのためにはD'Alembertian:□の逆演算子□^-1がわかればいい

のですが,これは３次元のLaplacian:△＝∇²の逆演算子△^-1を

求めるのと同じ方法で求めることができます。

Fourier変換に頼って,□^-1に対応するGreen関数を求め,これに

よって解Ａ^μを表現するという手法をとることも可能ですが,

ここではより初等的にGreen関数による具体的な解の表現を

求めるGreenの定理までさかのぼってみます。

そして,４次元Minkowski空間を４次元のEuclid空間と見なして,

極座標を取り,最終的には解析接続を用いて元のMinkowski空間

での表現に戻すという方法を取ってみます。

まず,時空座標がｘ^μ(Ｐ)で与えられる時空間の固定点

(＝事象)Ｐと,時空座標がｘ^μの任意の点を結ぶ４元ベクトル

を,Ｒ^μ≡ｘ^μ－ｘ^μ(Ｐ)とし,Euclid空間の座標と見なすため,

ｘ⁴≡iｘ⁰,Ｒ⁴≡iＲ⁰ etc.とおきます。

そして,同じ４元ベクトルの記号(ｘ^μ)を,通常の

ｘ^μ＝(ｘ⁰,ｘ¹,ｘ²,ｘ³)の代わりに,ｘ^μ＝(ｘ¹,ｘ²,ｘ³,ｘ⁴)

と表わし,同様に(Ｒ^μ)もＲ^μ＝(Ｒ¹,Ｒ²,Ｒ³,Ｒ⁴)と表わす

ことにします。

このとき,□＝(∂²/∂ｘ_μ∂ｘ^μ)＝(∂²/∂ｘ⁰∂ｘ⁰)－∇²

＝－(∂²/∂ｘ⁴∂ｘ⁴)－∇²となるので,Euclid座標では,

□＝－(∂²/∂ｘ^μ∂ｘ^μ)です。

そこで,Euclid座標では,

解くべき基本方程式:□Ａ^μ＝ｓ^μ/(ｃ²ε₀)は,

(∂²Ａ^μ/∂ｘ^ν∂ｘ^ν)＝－ｓ^μ/(ｃ²ε₀)

を意味します。

また,ｘ^μ(Ｐ)からｘ^μまでのEuclid距離の２乗をＲ²とすると,

Ｒ²≡Ｒ^μＲ^μ＝Ｒ²＋Ｒ⁴Ｒ⁴＝－(Ｒ⁰Ｒ⁰－Ｒ²)ですから,これは

Minkowski表記では,Ｒ²＝－Ｒ_μＲ^μに相当します。

しかし,以下ではｘ^μ,Ｒ^μの添字μはμ＝1,2,3,4を表わし,

□やＲ²もEuclid座標のそれで表現されているとします。

さて,∂Ｒ/∂ｘ^μ＝Ｒ^μ/Ｒより,Ｒ≠0 ,つまりｘ^μ≠ｘ^μ(Ｐ)

のときには,

□(1/Ｒ²)＝－(∂²Ｒ^-2/∂ｘ^μ∂ｘ^μ)

＝－{∂(∂Ｒ^-2/∂ｘ^μ)/∂ｘ^μ}

＝2[∂{Ｒ^μ(Ｒ^-2)²/∂ｘ^μ]}

＝2δ^μ_μ(Ｒ^-2)²－8Ｒ^μＲ^μ(Ｒ^-2)³＝0 ,

つまり,□(1/Ｒ²)＝0 です。

そして,一般にφ(ｘ),ψ(ｘ)をｘ＝ｘ^μで連続微分可能な関数

であるとするとき,

φ□ψ-ψ□φ＝(∂/∂ｘ^μ){φ(∂ψ/∂ｘ^μ)－ψ(∂φ/∂ｘ^μ)}

が成立します。

最後の等式で,ψ(ｘ)≡1/Ｒ²とおき,この両辺を点Ｐを中心として

半径がａの４次元球の外部;Ｒ≧ａ にわたって積分します。

すると,この領域では□(1/Ｒ²)＝0 ですから,　

－∫_R≧a(□φ/Ｒ²)ｄｘ¹ｄｘ²ｄｘ³ｄｘ⁴

＝∫_R≧a(∂/∂Ｒ^μ)φ(∂Ｒ^-2/∂Ｒ^μ)ｄＲ¹ｄＲ²ｄＲ³ｄＲ⁴

－∫_R≧a[(∂/∂Ｒ^μ){Ｒ^-2(∂φ/∂Ｒ^μ)}ｄＲ¹ｄＲ²ｄＲ³ｄＲ⁴

を得ます。

右辺の被積分関数は,Ｒ^μによる偏微分係数の和ですから,

これは４次元球:Ｒ＝∞ の３次元球面での３次元面積分

から,Ｒ＝ａの３次元球面での３次元面積分を差し引いた

ものになるはずです。

そして,Ｒ＝∞ でφ(ｘ)が十分速やかにゼロになるため,

Ｒ＝∞ での面積分の右辺への寄与はゼロであるとして

よいので,結局,右辺にはＲ＝ａの積分のみが残り,

∫_R≧a[(∂/∂Ｒ^μ){φ(∂Ｒ^-2/∂Ｒ^μ)－Ｒ^-2(∂φ/∂Ｒ^μ)}]ｄ⁴Ｒ

＝－∫_R=a{φ(∂Ｒ^-2/∂Ｒ^μ)－Ｒ^-2(∂φ/∂Ｒ^μ)}ｄＳ

となります。

これは例えば,μ＝1では,

∫_R≧a[(∂/∂Ｒ¹){φ(∂Ｒ^-2/∂Ｒ¹)－Ｒ^-2(∂φ/∂Ｒ¹)}]ｄ⁴Ｒ

＝－∫{φ(∂Ｒ^-2/∂Ｒ¹)－Ｒ^-2(∂φ/∂Ｒ¹)}^＋ｄＲ²ｄＲ³ｄＲ⁴

＋∫{φ(∂Ｒ^-2/∂Ｒ¹)－Ｒ^-2(∂φ/∂Ｒ¹)}^－ｄＲ²ｄＲ³ｄＲ⁴

と書けます。

ここで,最右辺の被積分関数中の{ }^±は,Ｒ¹がそれぞれ,

Ｒ¹＝±[ａ²－{(Ｒ²)²＋(Ｒ²)²＋(Ｒ²)²}]^1/2＝±(ａ²－ρ₁²)^1/2

で与えられる値を取ることを表現しています。

ただし,ρ₁²≡(Ｒ²)²＋(Ｒ²)²＋(Ｒ²)²です。

そして,これを用いるとｄＲ²ｄＲ³ｄＲ⁴の積分領域はρ₁≦ａ

と書けます。

上のμ＝1に対する式の,μ＝2,3,4に対応するものは添字

(1,2,3,4)を巡回的に置換することで得ることができて,

対称性から明らかに,μ＝2,3,4に対してもμ＝1と同じ積分値

が得られるはずです。

球の半径ａは任意なので,これをゼロに近づけます。

このとき,μ＝1でのρ₁≦ａなる領域の体積はａ³のオーダー

でゼロに近づきますが,一方,{ }^±の中の第２項はＲ^-2＝ａ^-2

なるオーダーですから,結局,ａ→＋0 に対して{ }^±の中の

第２項の積分はゼロになります。

そこで,∂Ｒ^-2/∂Ｒ^μ＝－2Ｒ^μ/Ｒ⁴なので,　　

－∫_ρ1≦a{φ(∂Ｒ^-2/∂Ｒ¹)－Ｒ^-2(∂φ/∂Ｒ¹)}^＋ｄＲ²ｄＲ³ｄＲ⁴

＋∫_ρ1≦a{φ(∂Ｒ^-2/∂Ｒ¹)－Ｒ^-2(∂φ/∂Ｒ¹)}^－ｄＲ²ｄＲ³ｄＲ⁴

→ 2φ(Ｐ)∫_ρ1≦a[2(ａ²－ρ₁²)^1/2/ａ⁴]ｄＲ²ｄＲ³ｄＲ⁴

＝4φ(Ｐ)(4π/ａ⁴)∫₀^a(ａ²－ρ₁²)^1/2ρ₁²ｄρ₁＝π²φ(Ｐ)

となります。

結局,ａ→＋0 の極限を取れば,

4π²φ(Ｐ)＝－∫(□φ/Ｒ²)ｄ⁴ｘ

が得られることがわかりました。

ただし,ｄ⁴ｘは４次元体積要素:ｄｘ¹ｄｘ²ｄｘ³ｄｘ⁴

の略号です。

特に,φ(Ｐ)としてＡ^μを代入すれば,Euclid座標では,

□Ａ^μ＝－ｓ^μ/(ｃ²ε₀)なので,

これは,4π²Ａ^μ(Ｐ)＝{1/(ｃ²ε₀)}∫(ｓ^μ/Ｒ²)ｄ⁴ｘ

が成立することを意味します。

ここまでは,ｘ^μ(μ＝1,2,3,4)の全てが実数であると仮定して

進んできましたが,現実の物理学の問題としては,

４元電流密度ｓ^μは,ｘ⁴については実数値に対してでなく,

ｘ⁴＝iｘ⁰＝iｃｔにおいて,Ｐにおける時刻ｔ(Ｐ)より過去

のｔ＜ｔ(Ｐ)に対応する虚数値のｘ⁴に対してのみ与えられ

ていると考えられます。

つまり,時空点Ｐ:ｘ^μ(Ｐ)＝(ｃｔ(Ｐ),ｘ(Ｐ))における

Ａ^μ(Ｐ)＝Ａ^μ(ｘ(Ｐ),ｔ(Ｐ))を決定するための情報は,

時刻ｔ(Ｐ)より過去の時刻:ｔ＜ｔ(Ｐ)における既知の

電流密度ｓ^u だけのはずです。

当然,時刻ｔ(Ｐ)よりも未来:ｔ＞ｔ(Ｐ)の未知のｓ^μは

Ａ^μ(Ｐ)＝Ａ^μ(ｘ(Ｐ),ｔ(Ｐ))には寄与しないはずです。

上記の考察は,情報の伝達が因果的であるべきであるという

条件を導入することに相当しています。

実は電磁場の基本方程式:□Ａ^μ＝ｓ^μ/(ｃ²ε₀)の解はLorenz条件

を与えても,なお一意には決まらなくて境界条件を与える必要が

ありますが,

上記の考察による時間の因果的条件設定は遅延境界条件と呼ばれる

１つの境界条件を与えることに相当しています。

つまり,ｓ^μは複素ｘ⁴平面の虚軸上(－∞,ｃｔ(Ｐ))に対応する部分

のみで与えられています。

そこでｘ⁴平面の実軸(－∞,∞)に対するｄｘ⁴の積分路に加えて,

そのｘ⁴＝∞ の終点から,半径が ∞ の半円弧に沿って下半平面

を時計回りに回り,虚軸上のｘ⁴＝－i∞ の点まで進みます。

そこから虚軸上をｘ⁴(Ｐ)＝iｃｔ(Ｐ)まで上昇し,トップの点

ｘ⁴(Ｐ)＝iｃｔ(Ｐ)を反時計周りに迂回反転して,虚軸上を下降

し,点ｘ⁴＝－i∞ まで戻ります。

そこから,再び半径 ∞ の下半平面の時計回りの半円弧に沿って,

実軸上ｘ⁴＝－∞ まで進む路を作れば,これは閉路になります

この閉路は,後述する極:ｘ⁴＝iｃｔ(Ｐ)－iｒ＝ｘ⁴(Ｐ)－iｒ

を回避し,それが外部になるように周回しているので,閉路全体

にわたる(ｓ^μ/Ｒ²)のｄｘ⁴積分はゼロです。

しかも,半径が ∞ の円弧の上のｄｘ⁴積分の寄与もゼロ

ですから,結局,

[実軸上の(－∞,∞)に対する積分]

＝[虚軸上をｘ⁴＝－i∞ からｘ⁴(Ｐ)＝iｃｔ(Ｐ)まで上昇しトップ

の点ｃｔ(Ｐ):ｘ⁴ (Ｐ)＝iｃｔ(Ｐ)を時計周りに迂回反転し虚軸上

ｘ⁴＝－i∞ まで戻る積分]　となります。

　

つまり,虚軸上をｘ⁴＝－i∞からｘ⁴ (Ｐ)＝iｃｔ(Ｐ)まで上昇し,

トップの点ｃｔ(Ｐ)をｘ⁴ (Ｐ)＝iｃｔ(Ｐ)反時計周りに迂回反転

し虚軸上ｘ⁴＝－i∞まで戻るループ経路をＬとすると,

4π²Ａ^μ(Ｐ)＝{1/(ｃ²ε₀)}∫(ｓ^μ/Ｒ²)ｄ⁴ｘ

＝{1/(ｃ²ε₀)}∫ｄ³ｘ[∫_－∞^∞(ｓ^μ/Ｒ²)ｄｘ⁴]

＝{1/(ｃ²ε₀)}∫ｄ³ｘ[∫_Ｌ(ｓ^μ/Ｒ²)ｄｘ⁴]

と書けます。

そして,ｒ≡|ｘ－ｘ(Ｐ)|とおけば,

Ｒ²＝ｒ²＋(ｘ⁴－ｘ⁴(Ｐ))²

＝(ｘ⁴－ｘ⁴(Ｐ)＋iｒ)(ｘ⁴－ｘ⁴(Ｐ)－iｒ)ですから,

関数(1/Ｒ²)はループＬ内ではｘ⁴の関数として１点:

ｘ⁴＝ｘ⁴(Ｐ)－iｒ にのみ極を持ちます。

関数(ｓ^μ/Ｒ²)もループＬ内で,これ以外に極を持たず,積分路Ｌ

は負の向きのループなのでCauchyの積分定理によって,

∫_Ｌ(ｓ^μ/Ｒ²)ｄｘ⁴

＝[－2πiｓ^μ/(ｘ⁴－ｘ⁴(Ｐ)－iｒ)]_{ｘ4＝ｘ4(Ｐ)－iｒ}

＝πｓ^μ(ｘ,ｔ(Ｐ)－ｒ/ｃ)/ｒ (ｒ＝|ｘ－ｘ(Ｐ)|)

が得られます。

したがって,4π²Ａ^μ(Ｐ)

＝1/(ｃ²ε₀)∫ｄ³ｘ[∫_Ｌ(ｓ^μ/Ｒ²)ｄｘ⁴]

＝{π/(ｃ²ε₀)}∫ｄ³ｘ[ｓ^μ(ｘ,ｔ(Ｐ)－ｒ/ｃ)/ｒ]　です。

故に,Ａ^μ(Ｐ)

＝∫[ｓ^μ(ｘ,ｔ(Ｐ)－ｒ/ｃ)/(4πｃ²ε₀ｒ)]ｄＶ

となります。

右辺のｓ^μとして時刻ｔ＝ｔ(Ｐ)の値ではなく,

ｔ＝ｔ(Ｐ)－ｒ/ｃでの値を取る必要があることは,

電磁的攪乱が光速度ｃで伝わることに対応しています。

そこで,このように表現された電磁ポテンシャルＡ^μ(Ｐ)

を遅延ポテンシャルと呼びます。

もしも先の閉曲線路をｘ⁴の下半平面でなく,上半平面での

半径 ∞ の反時計周りの半円に基づいて取るなら,対応する

ｘ⁴の極はｘ⁴＝ｘ⁴(Ｐ)＋iｒとなりますから,

Ａ^μ(Ｐ)

＝∫[ｓ^μ(ｘ,ｔ(Ｐ)＋ｒ/ｃ)/(4πｃ²ε₀ｒ)]ｄＶ

となります。

これは先進ポテンシャルといわれています。

特に大きさがｅの点電荷が運動している場合の遅延ポテンシャル

を求めてみます。

点電荷の空間座標ｘは軌道としてはｔの関数なので,

これをｘ(ｔ)と書くことにします。

しかし,点電荷に対する遅れた時間変数を代入した

ｓ^μ(ｘ,ｔ(Ｐ)－ｒ/ｃ)は,やや複雑な関数形になります。

すなわち,

ｓ⁰(ｘ,ｔ－ｒ/ｃ)

＝(ｃｅ)δ(ｘ－ｘ(ｔ－ｒ/ｃ)),および,　

ｓ(ｘ,ｔ－ｒ/ｃ)

＝ｅ{ｄｘ(ｔ－ｒ/ｃ)/ｄｔ}δ(ｘ－ｘ(ｔ－ｒ/ｃ))

です。

そこで,この場合は,

4π²Ａ^μ(Ｐ)＝{1/(ｃ²ε₀)}∫(ｓ^μ/Ｒ²)ｄ⁴ｘ

なる表式まで戻った方が計算が容易です。

ｘ＝ｘ(ｔ)を満たす点以外では,

ｓ^μ/(ｃ²ε₀)}＝(ｃρ/ε₀,ρｕ/ε₀)はゼロなので,

{1/(ｃ²ε₀)}∫(ｓ^μ/Ｒ²)ｄ³ｘ

＝(1/Ｒ²)(ｅ/(ｃε₀),ｅｕ/(ｃ²ε₀))

＝{ｅ/(ｃ²ε₀)}(1－ｕ²/ｃ²)^1/2(Ｕ^μ/Ｒ²)　です。

ここに,ｕ＝ｄｘ/ｄｔは,軌道がｘ＝ｘ(ｔ)で与えられる

点電荷の速度であり,

Ｕ^μ＝(ｃ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,ｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)

は,その４元速度です。

そして,このときのＲ²は,

Ｒ²＝(ｘ－ｘ(Ｐ))²－ｃ²(ｔ－ｔ(Ｐ))²＝ｒ²＋(ｘ⁴－ｘ⁴(Ｐ))²

で与えられます。

これは実数のｔ,あるいは純虚数のｘ⁴の関数ですが,

これについては先にやったような遅延条件に対応する

解析接続ができます。

すなわち,

4π²Ａ^μ(Ｐ)＝{ｅ/(ｃ²ε₀)}∫_Ｌ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2(Ｕ^μ/Ｒ²)ｄｘ⁴

と書けますが,被積分関数は複素ｘ⁴平面上の

Ｒ²＝ｒ²＋(ｘ⁴－ｘ⁴(Ｐ))²＝0 を満たすｘ⁴に極を持ちます。

遅延境界条件では,積分に効く極はｘ⁴＝ｘ⁴(Ｐ)－iｒです。

そして,ｘ⁴ ～ {ｘ⁴(Ｐ)－iｒ}　では,

Ｒ²＝(ｄＲ²/ｄｘ⁴){ｘ⁴－ｘ⁴(Ｐ)＋iｒ}ですが,

ｄＲ²/ｄｘ⁴＝2Ｒ^μｄＲ^μ/ｄｘ⁴＝2Ｒ^μＵ^μｄτ/ｄｘ⁴

＝2Ｒ^μＵ^μ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2/(iｃ)　です。

また,ｒ＝ｒ(ｔ)におけるｘ⁴として,ｘ⁴＝ｘ⁴(Ｐ)－iｒ

を採用しなければなりません。

そこで,Cauchyの積分定理に従って,(1/Ｒ²)の留数を求めると

(－2πi)/(ｄＲ²/ｄｘ⁴)＝πｃ/{Ｒ^μＵ^μ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}です。

したがって,4π²Ａ^μ(Ｐ)

＝{ｅ/(ｃ²ε₀)}∫_Ｌ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2(Ｕ^μ/Ｒ²)ｄｘ⁴

＝πｅＵ^μ/(ｃε₀Ｒ^νＵ^ν),

つまり,Ａ^μ(Ｐ)＝ｅＵ^μ/(4πｃε₀Ｒ^νＵ^ν)

が得られます。

Ｒ^μは,Ｐを頂点とする２つの光円錐:

Ｒ²＝Ｒ^νＲ^ν＝－Ｒ_νＲ^ν＝0 上の過去の側の面と対象とする

点電荷の世界線ｘ^μ＝ｘ^μ(τ)が交わる点Ｑへ,事象点Ｐから

引いた４元ベクトルを示しています。

ＰからＱへと向かう４元ベクトルＲ^μの空間部分をＲと書けば,

Ｒ^νＵ^ν＝(ｕＲ)/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2－ｃＲ⁰/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2

＝{(ｕＲ)＋Ｒ}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2と書けます。

したがって,結局,電荷ｅが軌道ｘ＝ｘ(ｔ)で運動しているとき,

点Ｐ;空間座標ｘ(Ｐ),時刻ｔ(Ｐ)での電磁ポテンシャルＡ^μの

最終的表現として,

φ(Ｐ)＝{ｅ/(4πε₀)}/{(ｕＲ)＋Ｒ}|_{ｔ=ｔ(Ｐ)－ｒ/ｃ},

Ａ(Ｐ)＝{ｅｕ/(4πｃ²ε₀)}/{(ｕＲ)＋Ｒ}|_{ｔ=ｔ(Ｐ)－ｒ/ｃ}

＝{ｅμ₀ｕ/(4π)}/{(ｕＲ)＋Ｒ}|_{ｔ=ｔ(Ｐ)－ｒ/ｃ}

が得られました。

ここで,Ｒ＝ｒ(ｔ(Ｐ)―ｒ/ｃ)－ｒ(Ｐ) であり,

Ｒ＝|Ｒ|です。

これは運動する点電荷の Lienard-Wiecheld のポテンシャル

(リエナール・ウィーヘルト)と呼ばれているものです。

Ａ^μ(Ｐ)＝{1/(4πｃ²ε₀)}(ｅＵ^μ)/(Ｒ^νＵ^ν)なる表現を用いて

事象点Ｐにおける電磁場テンソルＦ^μν(Ｐ)を計算するときには,

Ｑの固有時τが,Ｒ²＝－{ｘ_μ(τ)－ｘ_μ(Ｐ)}{ｘ^μ(τ)－ｘ^μ(Ｐ)}

＝0 で与えられる点Ｐの座標の関数であることに注意する必要が

あります。

Ｒ²＝－{ｘ_μ(τ)－ｘ_μ(Ｐ)}{ｘ^μ(τ)－ｘ^μ(Ｐ)}＝0 をｘ^ν(Ｐ)

で微分すれば,Ｒ_μ[(ｄｘ^μ/ｄτ){∂τ/∂ｘ^ν(Ｐ)}－δ^μ_ν]＝0 ,

あるいは,{∂τ/∂ｘ^ν(Ｐ)}＝Ｒ_ν/(Ｒ_μＵ^μ)　です。

故に,4πＦ^μν(Ｐ)

＝{ｅ/(ｃ²ε⁰)}[(ｄ/ｄτ){Ｕ^ν/(Ｒ^λＵ_λ)}]{Ｒ^μ/(Ｒ^σＵ_σ)}

－[(ｄ/ｄτ){Ｕ^μ/(Ｒ^λＵ_λ)}]{Ｒ^ν/(Ｒ^σＵ_σ)},

Ｕ_μＵ^μ＝ｃ²,Ｕ_μ(ｄＵ^μ/ｄτ)＝0 なので,

4πＦ^μν＝{ｅ/(ｃ²ε⁰)}(Ｒ^λＵ_λ)^-2{Ｒ^μ(ｄＵ^ν/ｄτ)

－Ｒ^ν(ｄＵ^μ/ｄτ)}－{ｅ/(ｃ²ε⁰)}(Ｒ^λＵ_λ)^-3

{ｃ²＋Ｒ^σ(ｄＵ_σ/ｄτ)}(Ｒ^μＵ^ν－Ｒ^νＵ^μ)

が得られます。

これを見ると,4πＦ^μν＝Ｒ^μａ^ν－Ｒ^νａ^μ,

4πａ^μ≡{ｅ/(ｃ²ε⁰)}(Ｒ^λＵ_λ)^-2{(ｄＵ^μ/ｄτ)}

－{ｅ/(ｃ²ε⁰)}(Ｒ^λＵ_λ)^-3{ｃ²＋Ｒ^σ(ｄＵ_σ/ｄτ)}Ｕ^μ

なる形になっています。

Ｆ^μνに双対(共役)なテンソルをＦ^*μν≡(1/2)ε^μνλσＦ_νσ

で定義すると,4πＦ^μν＝Ｒ^μａ^ν－Ｒ^νａ^μの形によって,

Ｆ^μνＦ^*_μν＝0 となります。

そしてＦ^μν → Ｆ^*_μνは,(Ｂ,Ｅ)→(－Ｅ,－Ｂ)なる変換に

相当するので,Ｆ^μνＦ^*_μν＝0 は,(ＥＢ)＝0 に同等です。

そこで,電場と磁場はあらゆる慣性系で直交していることも

証明されました。

さらに,Ｒ²＝－Ｒ_μＲ^μ＝0 より,

(4π)²Ｆ_μνＦ^μν＝2(4π)²(Ｂ²－Ｅ²/ｃ²)

＝(Ｒ_μａ_ν－Ｒ_νａ_μ)(Ｒ^μａ^ν－Ｒ^νａ^μ)

＝－2(Ｒ^μａ_μ)²です。

具体的なａ_μは,4πａ_μ

≡{ｅ/(ｃ²ε⁰)}(Ｒ^λＵ_λ)^-2{(ｄＵ_μ/ｄτ)}

－{ｅ/(ｃ²ε⁰)}(Ｒ^λＵ_λ)^-3{ｃ²＋Ｒ^σ(ｄＵ_σ/ｄτ)}Ｕ_μ

で与えられます。

そこで,4πＲ^μａ_μ＝－(ｅ/ε⁰)/(Ｒ^λＵ_λ)²となりますから,

結局,(4π)²Ｆ_μνＦ^μν＝2(4π)²(Ｂ²－Ｅ²/ｃ²)

＝－2(ｅ/ε⁰)²/(Ｒ^λＵ_λ)⁴なる等式が成立します。

したがって,"不変量＝Lorentzスカラー"の１つである

(Ｂ²－Ｅ²/ｃ²)は,どのような運動をする点電荷の作る場

についても,常に負の値を取ることがわかります。

これと,(ＥＢ)＝0 から,任意の事象Ｐにおいて,この時空点

の磁場ベクトルＢ(Ｐ)がゼロとなるような慣性系を選ぶこと

が可能なこともわかります。

実際,Ｅ'＝γＥ＋(ｖ/ｖ²)(ｖＥ)(1－γ)＋γ(ｖ×Ｂ),

Ｂ'＝γＢ＋(ｖ/ｖ²)(ｖＢ)(1－γ)－(γ/ｃ)(ｖ×Ｅ)

なる変換において,Ｂ'＝0 を得るには,ｖ＝ｃ(Ｅ×Ｂ)/Ｅ²

と取ればよいことがわかります。

これと(ＥＢ)＝0 ,および,

(4π)²Ｆ_μνＦ^μν＝2(4π)²(Ｂ²－Ｅ²/ｃ²)

＝－2(ｅ/ε⁰)²/(Ｒ^λＵ_λ)⁴から,ｖ＝|ｖ|＝ｃＢ/Ｅ＜ｃ

ですから,このようなｖを取ることは常に可能です。

特に,点電荷が一定の速度で等速度運動をしている場合には,

ｄＵ^μ/ｄτ＝0 なので,荷電粒子の"軌道＝世界線"は直線に

なり,電磁場の強さを示すテンソルＦ^μνは特に簡単になって

Ｆ^μν＝－[ｅ/{(4πε⁰)(Ｒ^λＵ_λ)³}](Ｒ^μＵ^ν－Ｒ^νＵ^μ)

となります。

さらに,Ｓ系の原点を適切に取れば,ｘ⁰軸と粒子の世界線Ｌ

が同一平面上にあるようにできます。

以前にも述べましたが,Ｒ^μ＝ｘ^μ(τ)－ｘ^μ(Ｐ)であって,

Ｒ^μを点Ｐ:ｘ^μ(Ｐ)から遅延光円錐,すなわち過去側の光円錐

上の点Ｑ:ｘ^μ(τ)まで向かうベクトルＰＱとし,Ｒ^μ＝ＰＱの

世界線Ｌの上への射影ををＡＱとして,ＡからＰへと向かう

ベクトルＡＰをｘ^(1)μと書くと,

ｘ^(1)μＵ_μ＝0 ,かつ,－ｘ^(1)μＲ_μ＝ｘ^(1)μｘ⁽¹⁾_μ

です。

そこで,ｘ^(1)μ＝－Ｒ^μ＋Ｕ^μ{(Ｒ^λＵ_λ)/ｃ²}であり,

それ故,ｘ⁽¹⁾_μｘ^(1)μ＝－(Ｒ^λＵ_λ)²/ｃ²が得られます。

点電荷が静止しているようなＳ'系ではＵ'^μ＝(ｃ,0)

ですからｘ'⁰軸は世界線Ｌに平行です。

そして,Ｓ'系では事象Ｐに対応する３次元空間の

点Ｐ'と静止点電荷を結ぶ空間ベクトルをｒ'とすれば,

ｘ'^(1)μ＝(0,ｒ')ですから,

ｘ'⁽¹⁾_μｘ'^(1)μ＝－(Ｒ'^λＵ'_λ)²/ｃ²は,

ｒ'²＝(Ｒ'^λＵ'_λ)²/ｃ²より,Ｕ'^μＲ'_μ＝ｃｒ'です。

そして,Ｕ^μＲ_μはスカラーなので,Ｕ^μＲ_μ＝Ｕ'^μＲ'_μ

＝ｃＲ'₀＝ｃｒ'です。ただし,ｒ'≡|ｒ'|です。

さらに,Ｒ^μＵ^ν－Ｒ^νＵ^μ＝－(ｘ^(1)μＵ^ν－ｘ^(1)νＵ^μ)

が成立するので,

Ｆ^μν＝－[ｅ/{(4πε⁰)(Ｒ^λＵ_λ)³}](Ｒ^μＵ^ν－Ｒ^νＵ^μ)

は,Ｆ^μν＝[ｅ/{(4πε⁰)(ｃｒ')³}](ｘ^(1)μＵ^ν－ｘ^(1)νＵ^μ)

です。

ところで,Ｌ上の任意の点からＰに向かう任意のベクトルｙ^μは,

ａを任意定数としてｙ^μ＝ｘ^(1)μ－ａＵ^μと表わせますが,ａを

適切に取れば,これらのｙ^μうちでＳ系での時間成分ｙ⁰がゼロ

であるものをとることができます。

そして,こう取ったときのｙ^μをｘ^(2)μと記することにします。

こうすればＳ系では,ｘ^(2)μ＝(0,ｒ)と書けます。

ここでｒは事象Ｐが起こったときと同時刻の点電荷の空間位置

からＰに引いた空間ベクトルです。

この意味で,このｒは,Lienard-Wiecheldのポテンシャル:

φ(Ｐ)＝{ｅ/(4πε₀)}//{(ｕＲ)＋Ｒ}|_{ｔ=ｔ(Ｐ)－ｒ/ｃ},

Ａ(Ｐ)＝{ｅμ₀ｕ/(4π)}/{(ｕＲ)＋Ｒ}|_{ｔ=ｔ(Ｐ)－ｒ/ｃ}

におけるＲとは異なります。

Lienard-WiecheldポテンシャルのＲはＲ^μの空間部分で,

これは同時刻のベクトルではありません。

そして

ｘ^(2)μ＝ｘ^(1)μ－ａＵ^μとなるようにａを取ったときのＦ^μνは,

Ｆ^μν＝[ｅ/{(4πε⁰)(ｃｒ’)³}](ｘ^(2)μＵ^ν－ｘ^(2)νＵ^μ)

となります。

それ故,電場と磁場についての陽な表式として,

Ｅ＝ｅｒ/[(4πε⁰){ｒ'³(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}],

Ｂ＝ｅμ⁰(ｕ×ｒ)/[(4π){ｒ'³(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}]

が得られます。

ところで,点電荷が静止しているＳ'系ではＵ'^μ＝(ｃ,0)

ですから,ｘ'^(2)μ＝ｘ'^(1)μ－ａＵ'^μにより,Ｓ'系では,

ｘ'^(2)μとｘ'^(1)μの空間成分は共にｒ'であって一致します。

Ｓ系に対するＳ'系の相対速度はｕなので,ｘ^(2)μ＝(0,ｒ)

がＳ→Ｓ'の変換でｘ^(2)μ＝(ｘ'⁽²⁾⁰,ｒ')になるのは,

ｒ'＝ｒ＋(ｕ/ｕ²)(ｕｒ){(1－ｕ²/ｃ²)^-1/2－1}なることを

意味します。

そこで,ｒ'＝|ｒ'|＝{ｒ²＋(ｕｒ)²/(ｃ²－ｕ²)}^1/2

を得ます。

ところで,ｒ,およびｒ'をｕに平行な成分と垂直な成分に分割

してｒ＝ｒ_//＋ｒ_⊥,ｒ'＝ｒ'_//＋ｒ'_⊥と書けば,

ｒ'_//＝ｒ_///(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,ｒ'_⊥＝ｒ_⊥です。

すなわち,ｒとｒ'はLorentz収縮の関係になってることが

わかります。

実は,上に求めたＥ＝ｅｒ/[(4πε⁰){ｒ’³(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}],

Ｂ＝ｅ(ｕ×ｒ)/[(4πｃε⁰){ｒ'³(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}],

ｒ＝ｒ'＋(ｕ/ｕ²)(ｕｒ'){1－(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2

なる公式は,

Coulombの法則による球対称な静電場に,座標変換に対する電場,

磁場の変換公式:Ｅ＝γＥ'＋(ｕ/ｕ²)(ｕＥ')(1－γ)－γ(ｕ×Ｂ'),

Ｂ＝γＢ'＋(ｕ/ｕ²)(ｕＢ')(1－γ)＋(γ/ｃ)(ｕ×Ｅ),

γ≡(1－ｕ²/ｃ²)^-1/2

を用いることで簡単に求められます。

すなわち,電場がＥ'＝ｅｒ'/{(4πε⁰)ｒ'³},磁場がＢ'＝0 で

原点Ｏ'に大きさｅの静止した点電荷のみがある場合の,

Ｓ'系でのCoulomb場を考察し,

点電荷と同じ速度ｕで運動するＳ系での電場Ｅと磁場Ｂを

求めるための変換式:Ｅ＝γＥ'＋(ｕ/ｕ²)(ｕＥ')(1－γ),

Ｂ＝γ(ｕ×Ｅ),γ≡(1－ｕ²/ｃ²)^-1/2から,

Ｅ＝{ｅ/(4πε⁰)}[ｒ'＋(ｕ/ｕ²)(ｕｒ'){(1－ｕ²/ｃ²)^-1/2－1]

/{ｒ'³(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},

Ｂ＝{ｅμ⁰/(4π)}(ｕ×ｒ')/ /{ｒ'³(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},

すなわち,

Ｅ＝{ｅｒ/(4πε⁰)}/{ｒ²＋(ｕｒ)²/(ｃ²－ｕ²)}^3/2(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},

Ｂ＝{ｅμ⁰/(4π)}(ｕ×ｒ_⊥)/[{ｒ²＋(ｕｒ)²/(ｃ²－ｕ²)}^3/2

(1－ｕ²/ｃ²)^1/2]　が得られるわけです。

一般的な表式だとかえってわかりづらい,ということもあるので,

ｕ＝(ｕ,0,0)の特別な場合を想定し,さらにｔ＝0 で電荷ｅが

ｘ＝ｙ＝ｚ＝0 の原点にあったとします。

すると,Lienard-Wiecheldのポテンシャルは,

φ(ｘ,ｙ,ｚｔ)

＝[ｅ/{4πε⁰(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}]

/[{(ｘ－ｕｔ)/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}²＋ｙ²＋ｚ²]^1/2,

Ａ(ｘ,ｙ,ｚｔ)＝(ｕ/ｃ²)φ(ｘ,ｙ,ｚｔ)　となります。

そして,特にｕ＝0 なら,

φ(ｘ,ｙ,ｚｔ)＝{ｅ/(4πε⁰)}/[ｘ²＋ｙ²＋ｚ²]^1/2,

Ａ(ｘ,ｙ,ｚｔ)＝0 ですが,これは普通の静電Coulomb場

を表わしていますから,理にかなっています。

これから,ｕ→ｃのときには,φ→ {ｅ/(4πε⁰)}/|ｘ－ｃｔ|,

Ａ＝ｕφ/ｃ²となって,Ｅ＝－∇φ－∂Ａ/∂ｔ,Ｂ＝∇×Ａ

ですから,

点電荷による電場は,Ｅ→－∇φ－(１/ｃ)(∂φ/∂t)によって

ゼロに近づき,電磁力へのほとんどの寄与は電荷の運動＝電流

によって発生する磁場に転化することがわかります。

今日はこのくらいにしておきます。

参考文献：メラー 著(永田恒夫,伊藤大介 訳)

「相対性理論」(みすず書房)

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