電磁気学と相対論(5)(真空中の電磁気学４:補遺)

前記事は若干長くなり過ぎたので,意図していたことを全部書く

ことができませんでした。

前記事の前半では,電場と磁場が同じ力の場の別表現であると

いうことを強調したかったのです。

すなわち,帯電体は,それが静止しているときに受ける力は電場

のみによるものですが,運動しているときには帯電体という意味

よりも"運動する電荷＝電流"という意味に変わり,電荷に働く力

は電気力から電流に働く磁気力に移行することを明確に述べた

かったのです。

例えば,Ｓ系において運動する電荷の速度をｕとし,電荷に固定

されていて,それが静止していると見える座標系をＳ⁰系とすれ

ば,Ｓ系での電荷密度はρ＝ρ⁰/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2で与えられます。

これと帯電体の体積の変換性:ΔＶ＝ΔＶ⁰(1－ｕ²/ｃ²)^1/2

から,常にρΔＶ＝ρ⁰ΔＶ⁰ですから,ある物質が担う電荷量は

座標変換の"不変量＝Lorentzスカラー"であることも見ました。

そして,電気力の大きさは電荷密度ρではなくスカラーである

総電荷量ρΔＶに比例します。

粒子に固定されたＳ⁰系では電場Ｅ⁰＝Ｅ⁰_//＋Ｅ⁰_⊥のみが存在して

磁場Ｂ⁰＝Ｂ⁰_⊥は存在しないとすると,電荷に働く力Ｆ⁰は電気力

のみで,Ｆ⁰＝Ｆ⁰_//＋Ｆ⁰_⊥,Ｆ⁰_//＝ｅＥ⁰_//,Ｆ⁰_⊥＝ｅＥ⁰_⊥です。

そして,Ｓ系で電荷に働く力:Ｆ＝Ｆ_//＋Ｆ_⊥は,

Ｆ_//＝ｅＥ_//＝ｅＥ⁰_//＝Ｆ⁰_//,および,Ｆ_⊥＝ｅ(Ｅ_⊥＋ｕ×Ｂ)

＝ｅＥ⁰_⊥(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＝Ｆ⁰_⊥(1－ｕ²/ｃ²)^1/2です。

そこで,ｕ→ｃに対し,Ｆ_//＝Ｆ⁰_//,Ｆ_⊥→ 0 ですから,

ｕに平行な方向の力は不変ですが,ｕに垂直な方向の力は限り

なく小さくなります。

以下は,電磁気ではなく重力の話ですが,

光速に近い速度ｕで運動する質量ｍの宇宙船が,質量Ｍの太陽に

よって受ける重力(引力)を,宇宙船が静止している立場から見た

ときには,逆に太陽が光速に近い速度－ｕで運動していると見え

ます。

そして,この系では静止質量Ｍの太陽の相対論的質量Ｍ',

つまり,質量＋(運動エネルギー)/ｃ²は,ｕ～ｃでは,

Ｍ'＝Ｍ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2なので,莫大になります。

しかも,一般相対論では重力は質量のみに比例するのではなく,

そのエネルギー全体に比例して働くとされています。

一見して,形が電気力のCoulombの法則と似ている,弱重力近似

のニュートンの万有引力の法則:Ｆ＝－ＧＭｍｒ/ｒ³において,

右辺のＭは相対論的質量Ｍ'＝Ｍ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2で置き換えら

れて,Ｆ'＝－ＧＭ'ｍｒ'/ｒ'³＝ＧＭｍｒ'/{ｒ'³(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}

とすべきではないか？という主張もありますが,

"見方＝座標系"を変えただけで重力がはるかに大きくなったと

いう話は聞いたことがありません。

一般相対論ではなく,特殊相対論と重力の折衷ですが,

一般に任意の力についての変換性から,ｕ→ｃに対して,

Ｆ_//＝Ｆ⁰_//,Ｆ_⊥＝Ｆ⁰_⊥(1－ｕ²/ｃ²)^1/2 → 0 となることを

見れば,こうした馬鹿げたこと,を考える余地はないことが

わかります。

さらに,上述の定性的話ではなく,定量的な例で電磁場の相対性

を明確にしておきます。

今,定常電流Ｉが流れている導線と,それとは別にその導線に平行

に等速度ｕで動いている１つの負電荷－ｑ(ｑ＞0)があるとします。

この系において働く電磁力を互いに慣性運動をする２つの準拠系

から眺めた場合を考察します。

準拠座標系の１つＳは導線に固定したもので,その系では,

負電荷を担う粒子は運動していますが,導線は全く動かない

と見える座標系です。

そして,もう１つは導線に平行にＳに対して速度ｕで運動する,

負電荷を担う粒子の方に固定されたものです。

この準拠座標系をＳ'系と呼ぶことにします。

まず,Ｓでは定常電流Ｉは流れていますが,導線内の任意の点では

各時刻に電気的に中性であって導線は全く帯電していませんから

磁場Ｂはあっても電場Ｅはゼロです。

この場合,導線の中心から位置ｘまでの垂直距離をｒとすると,

磁場Ｂ＝Ｂ(ｘ)に対し真空中のAnpereの法則:∫_CＢｄｓ＝μ₀I

が成立するので,

導線の中心を中心とする半径ｒの円上の点ｘにおける接ベクトル

の向きを示す単位ベクトルで,電流Ｉの正の向きに対して右ネジ

をなすものををｎ＝ｎ(ｘ)とすると,

磁場ＢはＢ＝μ₀Iｎ/(2πｒ)＝Iｎ/(2πε₀ｃ²ｒ)

となります。

負電荷－ｑの粒子に働く電磁力Ｆは,Ｆ＝－ｑ(Ｅ＋ｕ×Ｂ)

ですから,

それは大きさが,

Ｆ＝μ₀Iｑｕ/(2πｒ)＝Iｑｕ/(2πε₀ｃ²ｒ)で,

運動速度ｕが電流Ｉの向きと逆のときには,

粒子が導線の中心方向に引かれる引力の向き,

ｕが電流Ｉの向きと同じときには斥力の向き

を持つベクトルになります。

ここで,この導線の平均断面積をＡ,電荷のキャリアとしての

導線中の伝導電子の電荷密度をρ_-,運動速度をｖとすると,

電流はρ_-ｖＡなので,ｑ＞0,ρ_-＜0 によって,

Ｆ＝－μ₀ｑρ_-Ａｕｖ/(2πｒ)＝－ｑρ_-Ａｕｖ/(2πε₀ｃ²ｒ)

となります。

そして,特にｕとｖが等しい場合には,ｖ＝ｕと置いて,

Ｆ＝－μ₀ｑρ_-Ａｕ²/(2πｒ)＝－ｑρ_-Ａｕ²/(2πε₀ｃ²ｒ)

となります。

次に,この状況を荷電粒子が静止しているＳ'系から見ると,

導線内の伝導電子も荷電粒子と並走しているので,Ｓ'系

では共に静止していますが,導線は速度－ｕで走っているの

で導線の伝導電子以外の残りの電荷密度ρ₊を持つ正電荷も

－ｕで走ります。

このρ₊は粒子の静止している場所にも磁場Ｂ'を作るはずです。

しかし負電荷粒子は静止していますからこれに働く磁気力は

ゼロです。

しかし,Ｓ系では粒子に磁気力が働いて実際に導線に垂直な向き

に進路を変えますから,Ｓ系とは働く力の大きさが違ってもＳ'系

でも粒子に何らかの電磁気的力は働くはずです。

しかし,Ｓ'系では負電荷粒子が静止していることによって,これ

に働く磁気力はゼロですから,その力は電気力であるはずです。

すなわち,運動する導線が電場をつくって負電荷粒子は電気力を

受けると考えられます。

したがって,電気的に中性の導線も運動すると中性ではなくなり,

帯電して見える必要があります。

ここで先の記事で求めた電荷密度の表現,ρ＝ρ⁰/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2

によればＳ'系の導線は導線が静止していると見えるＳ系に対して

速度－ｕで運動しているので,

Ｓ'系での電荷密度は,ρ'₊＝ρ₊/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2と書けます。

一方,Ｓ系で速度ｕで運動していた伝導電子はＳ'系では導線が

速度－ｕで運動しているために静止していますから,

負電荷の密度は逆にρ_-＝ρ'_-/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,あるいは,

ρ'_-＝ρ_-(1－ｕ²/ｃ²)^1/2を満たしています。

そこで,導線のＳ'系での正味の電荷密度は,

ρ'＝ρ'₊＋ρ'_-＝ρ₊/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＋ρ_-(1－ｕ²/ｃ²)^1/2

ですが,導線はＳ系では中性なことが明らかですから,

ρ₊＋ρ_-＝0 ,すなわちρ₊＝－ρ_-です。

よって,ρ'＝－ρ_-ｕ²/{ｃ²(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}が得られます。

このネットの電荷によるＳ'系での電場は断面積Ａの帯電円筒

によるものですから,位置ｘでの電場をＥ'＝ Ｅ'(ｘ)としｘ

の中心軸からの距離をｒとするとき,Gaussの定理によって,

2πｒＥ'＝ρ'Ａ/ε₀＝ －ρ_-Ａｕ²/{ε₀ｃ²(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}

が成立します。

そこで,Ｅ'＝ρ'Ａ/(2πε₀ｒ)

＝－ρ_-Ａｕ²/{2πε₀ｃ²ｒ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2} ですから,

Ｓ'系で負電荷粒子が受ける電気力は,Ｆ'＝－ｑＥ'です,

その大きさはＦ'＝－ｑρ_-Ａｕ²/{2πε₀ｃ²ｒ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}

で与えられます。

これとＳ系での磁気力の表現式:

Ｆ＝－μ₀ｑρ_-Ａｕ²/(2πｒ)

＝－ｑρ_-Ａｕ²/(2πε₀ｃ²ｒ)を比較すると,

Ｆ'＝Ｆ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2となっています。

そして,力の向きも全く同じなので,

Ｆ'＝Ｆ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2なる関係式が得られました。

結局,上に求めたＳ'系での力Ｆ'はＳ系での力ＦをＳ'系での力

に変換した表式と完全に一致しています。

これで両者は同一の力の別表現であることがわかりました。

今日は補足説明なので,これくらいで終わります。

参考文献：R.P.Feynman 著(宮島龍興 訳)

「ファインマン物理学Ⅲ電磁気学」(岩波書店),

メラー 著(永田恒夫,伊藤大介訳)「相対性理論」(みすず書房)

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