電磁気学と相対論(6)(真空中の電磁気学５)

続きです。

まず,このシリーズの最初の記事である,

「電磁気学と相対論(1)(特殊相対論の運動学と力学のレヴュー)」

から引用します。(若干,修正しています。)

(※引用開始)

"有限質量ｍを持ち速度ｕで運動する粒子の運動方程式:

ｄｐ/ｄｔ＝Ｆは,ｔの代わりにｄτ≡(1－ｕ²/ｃ²)^1/2ｄｔ

を満たすスカラーである固有時τを使用し,Ｆの代わりに,

Minkowskiの力Ｆ_M≡Ｆ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2を用いて表現すれ

ば,ｄｐ/ｄτ＝Ｆ_Mとなります。

ｄｐが空間ベクトルで,ｄτがスカラーなので,左辺のｄｐ/ｄτ

はMinkwski空間の４元ベクトルの空間ベクトル成分となります。

そこで右辺のＦ_Mもそうです。

したがって,元の運動方程式ｄｐ/ｄｔ＝Ｆの両辺に,

1/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2を掛けてｄｐ/ｄτ＝Ｆ_Mとし,運動量ｐ

の固有時間τによる微分とMinkowskiの力Ｆ_Mの等式という

形で表現したものは座標系に依存しない表現です。

また,運動方程式ｄｐ/ｄｔ＝Ｆと独立ではなくこれから

導かれる式ですが,エネルギー保存則を表わす式:

ｄＥ/ｄｔ＝(Ｆｕ)も同じくｄＥ/ｄτ＝(Ｆ_Mｕ)と書ける

ので,((Ｆ_Mｕ)/ｃ,Ｆ_M)はMinkowski空間の４元ベクトル

です。

そこで,これは４元エネルギー運動量ベクトル:

ｐ^μ≡(Ｅ/ｃ,ｐ)＝(ｍｃ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,ｍｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)

と同じ変換性を持ちます。

ただし,ｍは粒子の"質量＝静止質量"です。

そこで,Ｆ_M^μ≡((Ｆ_Mｕ)/ｃ,Ｆ_M)と書いてこれをMinkowskiの

４元力と呼べば,運動方程式は４次元共変な形で,

ｄｐ^μ/ｄτ＝Ｆ_M^μ と書けます。

そして,粒子の位置をｘ^μ＝(ｃｔ,ｘ)と書くと,

４元速度;Ｕ^μ≡ｄｘ^μ/ｄτ

＝(ｃ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,ｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)

によって,ｐ^μ＝ｍＵ^μとなりますから,

ｄｐ^μ/ｄτ＝Ｆ_M^μはｄ(ｍＵ^μ)/ｄτ＝Ｆ_M^μ

と変形されます。"

(引用終わり※)

ここで,電荷ｅを有する荷電粒子が電場Ｅ,磁場Ｂの中を

速度ｕで運動している系を考えると,これに働く電磁力は

Lorentzの公式Ｆ＝ｅ(Ｅ＋ｕ×Ｂ)で与えられます。

そこで,この電磁力に対するMinkowskiの４元力の表現は,Ｆ_M^μ

＝ｅ((Ｅｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},(Ｅ＋ｕ×Ｂ)/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)

です。

そして,Ｅ＝(Ｅ¹,Ｅ²,Ｅ³)＝－ｃ(Ｆ⁰¹,Ｆ⁰²,Ｆ⁰³),

Ｂ＝(Ｂ¹,Ｂ²,Ｂ³)＝－(Ｆ²³,Ｆ³¹,Ｆ¹²)なるテンソル表現によれば

Ｆ_M^μ＝ｅＦ^μνＵ_νが成立することがわかります。

　したがって,質量ｍ,電荷ｅを持つ粒子が電磁場Ａ^μの中を運動

　するときの４次元共変な運動方程式は,

　ｄ(ｍＵ^μ)/ｄτ＝Ｆ_M^μ＝ｅＦ^μνＵ_νなる形に書けることが

　わかりました。

　ただし,Ｆ^μν＝∂Ａ^ν/∂ｘ_μ－∂Ａ^μ/∂ｘ_νです。

より一般の電荷密度ρの帯電物体が速度ｕで並進運動している

場合について考えるために,速度ｕで運動する質点粒子の力学を

Ｓ系で密度μを持ち速度ｕで並進運動する連続体に一般化する

ことを考えます。

そのために,まず,この運動物体の速度がゼロ,つまり,

"物体が静止していると見える系＝静止系"をＳ⁰系とし,この系

での物理量には全て上添字 0 を付けて表現します。

対象物体において,Ｓ系で密度μを持つ点の近傍の微小体積

をΔＶとすれば,この領域の物体の全質量はμΔＶで与えら

れますが,質量はLorentzスカラーですから,静止系Ｓ⁰での同

じ領域の体積をΔＶ⁰とし密度をμ⁰とすると,

μΔＶ＝μ⁰ΔＶ⁰が成立するはずです。

ところが,ΔＶ＝ΔＶ⁰(1－ｕ ²/ｃ²)^1/2ですから,

μ＝μ⁰/(1－ｕ ²/ｃ²)^1/2なる関係式が成り立ちます。

そして,スカラー量μΔＶ＝μ⁰ΔＶ⁰が,質点の場合の運動方程式

ｄｐ^μ/ｄτ＝ｄ(ｍＵ^μ)/ｄτ＝Ｆ_M^μでのｍに相当しますから,

４元運動量ｐ^μ＝ｍＵ^μには,ｐ^μ＝μΔＶＵ^μ＝μ⁰ΔＶ⁰Ｕ^μが

対応します。

一方,Minkowskiの４元力Ｆ_M^μ≡((Ｆ_Mｕ)/ｃ,Ｆ_M)は,

具体的には,

Ｆ_M^μ＝((Ｆｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},Ｆ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)

で与えられます。

これは,上述の密度μを持つ点の近傍ΔＶでは,Ｆ≡ｆΔＶと書いて

Ｆ_M^μ＝((ｆｕ)ΔＶ/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},

ｆΔＶ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)＝((ｆｕ)/ｃ,ｆ)ΔＶ⁰

と表わすことができます。

そこで４元力密度をｆ^μ≡((ｆｕ)/ｃ,ｆ)によって定義すれば,

Ｆ_M^μ＝ｆ^μΔＶ⁰と書けます。

以上から,質点粒子に対する運動方程式:

ｄｐ^μ/ｄτ＝ｄ(ｍＵ^μ)/ｄτ＝Ｆ_M^μは,連続体に対しては,

ｄ(μ⁰Ｕ^μΔＶ⁰)/ｄτ＝ｆ^μΔＶ⁰となることがわかります。

そこで,もしも,質量湧き出しも吸い込みもなくて運動中に物体

の固有質量が保存されるなら,つまりｄ(μ⁰ΔＶ⁰)/ｄτ＝0 なら

運動方程式はμ⁰ｄＵ^μ/ｄτ＝ｆ^μとなるのですが,

一般には,ｄ(μ⁰ΔＶ⁰)/ｄτ＝0 が成立するとは限りません。

一般に,ｄＶ/ｄｔ＝∫_σｕｄσ＝∫_V(divｕ)ｄＶ

＝∫_V(∇ｕ)ｄＶが成立するので,ΔＶが微小なら,

ｄ(ΔＶ)/ｄｔ＝(divｕ)ΔＶ＝(∇ｕ)ΔＶです。

また,一般に,ｄ(μ⁰ΔＶ⁰)/ｄｔ＝ｄ(μΔＶ)/ｄｔ

＝(ｄμ/ｄｔ)ΔＶ＋μ{ｄ(ΔＶ)/ｄｔ}

＝[ｄμ/ｄｔ＋μdivｕ]ΔＶ

＝[∂μ/∂ｔ＋div(μｕ)]ΔＶです。

それ故,ｄ(μ⁰ΔＶ⁰)/ｄτ＝0 なる式が成立することは,

質量保存の連続方程式∂μ/∂ｔ＋div(μｕ)

＝ｄμ/ｄｔ＋μdivｕ＝0 が成立することと同等であること

がわかります。

Ｓ⁰系ではｄｔ⁰＝ｄτですから,ｄ(ΔＶ)/ｄｔ＝(divｕ)ΔＶは

ｄ(ΔＶ⁰)/ｄτ＝(div⁰ｕ⁰)(ΔＶ⁰)を意味しますが,

速度がｕの物体の４元速度Ｕ^μについて∂Ｕ^μ/∂ｘ^μを考えると,

これはLorentzスカラーなので,Ｓ⁰系での４元速度Ｕ^0μ＝(ｃ,0)

とＳ系のそれについて,等式:∂Ｕ^0μ/∂ｘ^0μ＝∂Ｕ^μ/∂ｘ^μが

成立します。

定義:Ｕ^μ≡(ｃ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,ｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)から,

∂Ｕ⁰/∂ｘ⁰＝ｃｕ(∂ｕ/∂ｘ⁰)/(1－ｕ²/ｃ²)^3/2なので,

ｕ＝0 のＳ⁰系では∂Ｕ⁰/∂ｘ⁰はゼロですから,

∂Ｕ^μ/∂ｘ^μ＝∂Ｕ^0μ/∂ｘ^0μ＝div⁰ｕ⁰

が得られます。

故にｄ(ΔＶ⁰)/ｄｔ＝(div⁰ｕ⁰)ΔＶ⁰＝(∂Ｕ^μ/∂ｘ^μ)ΔＶ⁰

です。

これを用いると,ｄ(μ⁰ΔＶ⁰)/ｄτ

＝(ｄμ⁰/ｄτ)ΔＶ⁰＋μ⁰ｄ(ΔＶ⁰)/ｄτ

＝[(ｄμ⁰/ｄτ)＋μ⁰(∂Ｕ^μ/∂ｘ^μ)]ΔＶ⁰

と書けます。

それ故,運動方程式ｄ(μ⁰Ｕ^μΔＶ⁰)/ｄτ＝ｆ^μΔＶ⁰は,

[ｄ(μ⁰Ｕ^μ)/ｄτ＋μ⁰Ｕ^μ(∂Ｕ^ν/∂ｘ^ν)]ΔＶ⁰

＝ｆ^μΔＶ⁰と変形されます。

また,ｄ(μ⁰Ｕ^μ)/ｄτ

＝{∂(μ⁰Ｕ^μ)/∂ｘ^ν}(ｄｘ^ν/ｄτ)

＝{∂(μ⁰Ｕ^μ)/∂ｘ^ν}Ｕ^νですから,

結局,連続物体の運動方程式は,

∂(μ⁰Ｕ^μＵ^ν)/∂ｘ^ν＝ｆ^μとなります。

そこで,この連続体のエネルギー運動量テンソルを,

θ^μν≡μ⁰Ｕ^μＵ^νで定義すれば,運動方程式は,

∂θ^μν/∂ｘ^ν＝ｆ^μと,エネルギー運動量の保存則を示

す形になります。

さて,Ｓ系で電荷密度ρの帯電物体が速度ｕで並進運動して

いる場合の考察に入ります。

ρ⁰をＳ⁰系における電荷密度とすると,ρ＝ρ⁰/(1²－ｕ ²/ｃ²)^1/2

ですから,上と同じようにＳ系,Ｓ⁰系での微小体積をΔＶ,ΔＶ⁰

とすると,この領域の総電荷量はρΔＶ＝ρ⁰ΔＶ⁰です。

そして,今の場合に,粒子の運動方程式:

ｄ(ｍＵ^μ)/ｄτ＝Ｆ_M^μ＝ｅＦ^μνＵ_νの右辺の電荷ｅに

相当するのはρΔＶ＝ρ⁰ΔＶ⁰です。

そこで,この帯電体の運動方程式は,

ｄ(μ⁰ΔＶ⁰Ｕ^μ)/ｄτ＝ｆ^μΔＶ⁰＝ρ⁰ΔＶ⁰Ｆ^μνＵ_ν

となります。

このときの４元力の密度はｆ^μ＝ρ⁰Ｆ^μνＵ_νですが,

４元電流密度ｓ^μ＝(ｃρ,ρｕ)＝ρ⁰Ｕ^μを用いると,

ｆ^μ＝ρ⁰Ｆ^μνＵ_ν＝Ｆ^μνｓ_νとなりますから,

運動方程式は,

ｄ(μ⁰ΔＶ⁰Ｕ^μ)/ｄτ＝ｆ^μΔＶ⁰＝Ｆ^μνｓ_νΔＶ⁰

とも書けます。

ｄ(μ⁰ΔＶ⁰Ｕ^μ)/ｄτ＝ｆ^μΔＶ⁰と同等な,

∂θ^μν/∂ｘ^ν＝∂(μ⁰Ｕ^μＵ^ν)/∂ｘ^ν＝ｆ^μなる

表現では,∂θ^μν/∂ｘ^ν＝∂(μ⁰Ｕ^μＵ^ν)/∂ｘ^ν

＝Ｆ^μνｓ_νですね。

さて,次に電磁場を解析力学の形式で表現することを考えます。

まず,既に見たようにＦ^μν＝∂Ａ^ν/∂ｘ_μ－∂Ａ^μ/∂ｘ_νと

すれば,Maxwellの方程式のうちの４つの方程式:

∂Ｆ^μν/∂ｘ_λ＋∂Ｆ^νλ/∂ｘ_μ＋∂Ｆ^λμ/∂ｘ_ν＝0

は自動的に満たされます。

一般に系全体のLagrangian密度をＬ,LagrangianをＬとすると,

Ｌ＝∫ＬｄＶ⁰です。

そして,作用積分はＳ＝∫Ｌｄｘ⁰＝∫_ΩＬｄΣ と書けます。

ｄΣは,ｄΣ＝ｄｘ⁰ｄＶ＝ｃｄτｄＶ⁰なる４次元体積要素

でありスカラー量です。

ところで,自由粒子のLagrangianは,Ｌ＝－ｍｃ²(1－ｕ²/ｃ²)^1/2

ですが,電磁場との相互作用があるとき,電磁場自身の項:

(－ｃ²ε₀/4)∫_V(Ｆ_μνＦ^μν)ｄＶを除けば,

Ｌ＝－ｍｃ²(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＋ｅＡｕ－ｅφ です。

そして,－ｍｃ²(1－ｕ²/ｃ²)^1/2を連続体の場合の式に書き直せば

－∫μｄＶｃ²(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＝－∫μ⁰ｃ²ｄＶとなります。

ｅＡｕ－ｅφについては,∫ρｄＶ(Ａｕ－φ)

＝－∫ρ⁰Ａ^μＵ_μｄＶ＝－∫Ａ^μｓ_μ ｄＶです。

そこで系全体のLagrangan密度は,

Ｌ＝－(ｃ²ε₀/4)Ｆ_μνＦ^μν－Ａ^μｓ_μ－μ⁰ｃ²

＝(－ｃ²ε₀/4)×

(∂Ａ^ν/∂ｘ_μ－∂Ａ^μ/∂ｘ_ν)(∂Ａ_ν/∂ｘ^μ－∂Ａ_μ/∂ｘ^ν)

－Ａ^μｓ_μ－μ⁰ｃ²と書けます。

このLagrangian密度を採用するとき,"任意変分に対して,

作用Ｓ＝∫Ｌｄｘ⁰＝∫_ΩＬｄΣが停留値を取るべきである。"

という作用原理からMaxwellの基本方程式を導くことが

できます。

すなわち,Ωの境界でδＡ^μ＝0 を満たす任意の電磁場Ａ^μ

の変分δＡ^μに対して,δＳ＝0 を要求します。

ただし,この変分の際にはｓ_μとμ⁰は一定に保たれるとします。

すると,δ(∂Ａ^ν/∂ｘ_μ)＝∂(δＡ^ν)/∂ｘ_μなので,

δＳ＝∫δＬｄΣ

＝∫[(ｃ²ε₀)Ｆ^μν∂(δＡ_μ)/∂ｘ^ν－(δＡ_μ)ｓ_μ]ｄΣ

＝∫[－(ｃ²ε₀)∂Ｆ^μν/∂ｘ^ν－ｓ_μ](δＡ_μ)ｄΣ＝0

です。

変分δＡ^μは各μについて独立であり,しかも任意である

ことから,－(ｃ²ε₀)∂Ｆ^μν/∂ｘ^ν－ｓ_μ＝0,

つまり,電磁場の基本方程式:

∂Ｆ^μν/∂ｘ^ν＝－ｓ_μ/(ｃ²ε₀)

が得られます。

一方,電磁場Ａ^μを一定に保って,荷電粒子の世界線のｘ^μの変分

δｘ^μに対してδＳ＝0 を要求します。

Ｓ＝∫ＬｄΣ＝ｃ∫ＬｄＶ⁰ｄτ＝∫ｄＶ⁰∫_τ1^τ2Ｌｄτです。

微小体積要素:ΔＶ⁰＝∫ｄＶ⁰の領域を取って

∫(－Ａ^μｓ_μ－μ⁰ｃ²)ｄΣ

＝ｃ∫[－Ａ^μρ⁰ΔＶ⁰(ｄｘ_μ/ｄτ)－μ⁰ΔＶ⁰ｃ²]ｄτ

＝－ｃ∫{ρ⁰ΔＶ⁰Ａ^μ(ｄｘ_μ/ｄτ)}ｄτ－ｃ³∫{μ⁰ΔＶ⁰}ｄτ

を考えます。

そして,世界線の変分δｘ^μ(τ)に対して,

δ(ｄｘ^μ/ｄτ)＝ｄ(δｘ^μ)/ｄτより,

δ∫_τ1^τ2[Ａ^μ(ｄｘ_μ/ｄτ)]ｄτ＝

∫_τ1^τ2[(∂Ａ^μ/∂ｘ_ν)δｘ_ν(ｄｘ_μ/ｄτ)

＋Ａ^μｄ(δｘ_μ)/ｄτ]ｄτ

＝∫_τ1^τ2[(∂Ａ^μ/∂ｘ_ν)Ｕ_μ－ｄＡ^ν/ｄτ]δｘ_νｄτ

＝∫_τ1^τ2[(∂Ａ^ν/∂ｘ_μ)Ｕ_ν－(∂Ａ^μ/∂ｘ_ν)Ｕ_ν}]δｘ_μｄτ

＝∫_τ1^τ2(Ｆ^μνＵ_ν)δｘ_μｄτ

です。

電荷ρ⁰ΔＶ⁰が変動しないとすると,

－ｃδ∫{ρ⁰ΔＶ⁰Ａ^μ(ｄｘ_μ/ｄτ)}ｄτ

＝－ｃ∫_τ1^τ2(ρ⁰ΔＶ⁰Ｆ^μνＵ_ν)δｘ_μｄτ　を得ます。

一方,前にも見たように世界線の変分に対して質量Δｍ≡μ⁰ΔＶ⁰

が変わることを考慮すれば,

δ(Δｍｄτ)＝δ(Δｍ)ｄτ＋Δｍ(δｄτ)ですが,

ｃｄτ＝(ｄｘ^μｄｘ_μ)^1/2より,

ｃδ(Δｍｄτ)＝(1/2)δ{Δｍ(ｄｘ^μｄｘ_μ)}(ｄｘ^νｄｘ_ν)^-1/2

＝ΔｍＵ^μδ(ｄｘ_μ/ｄτ)(Ｕ^νＵ_ν)^-1/2ｄτ

＝ｃ^-1ΔｍＵ^μδ(ｄｘ_μ/ｄτ)ｄτ

です。

故に,δ∫_τ1^τ2Δｍｄτ

＝(1/ｃ²)∫_τ1^τ2{ΔｍＵ^μδ(ｄｘ_μ/ｄτ)}ｄτ

＝－(1/ｃ²)∫_τ1^τ2{ｄ(ΔｍＵ^μ)/ｄτ}δｘ_μｄτ

です。

以上から,作用原理がδＳ＝ｃ∫_τ1^τ2[－ρ⁰Ｆ^μνＵ_νΔＶ⁰

＋ｄ(μ⁰Ｕ^μΔＶ⁰)/ｄτ]δｘ_νｄτ＝0 と表わされること

がわかります。

したがって粒子の運動方程式として,

ｄ(μ⁰Ｕ^μΔＶ⁰)/ｄτ＝ρ⁰Ｆ^μνＵ_νΔＶ⁰

が得られます。

これは,前に４元力密度がｆ^μ＝ρ⁰Ｆ^μνＵ_ν＝Ｆ^μνｓ_νで

与えられ,粒子の運動方程式が,ｄ(μ⁰ΔＶ⁰Ｕ^μ)/ｄτ＝ｆ^μΔＶ⁰

となること,

あるいはそれと同等ですが,

粒子のエネルギー運動量テンソルθ^μν＝μ⁰Ｕ^μＵ^νに対して,

その保存方程式:∂θ^μν/∂ｘ^ν＝ｆ^μ＝Ｆ^μνｓ_νが成立する

ことを改めて示すものです。

さて,Maxwellの方程式を用いれば上記の４元力の密度:

ｆ^μ＝Ｆ^μνｓ_νはある対称な反変テンソルの４次元発散

として表現できることを示すことができます。

すなわち,Maxwellの運動方程式:

∂Ｆ^μν/∂ｘ^ν＝－ｓ^μ/(ｃ²ε₀)によって,

ｆ^μ＝Ｆ^μνｓ_νの右辺に,ｓ^μ＝－(ｃ²ε₀)∂Ｆ^μν/∂ｘ^ν

を代入すれば,

－ｆ_μ/(ｃ²ε₀)＝－Ｆ_μλｓ^λ/(ｃ²ε₀)

＝Ｆ_μλ(∂Ｆ^λν/∂ｘ^ν)

＝∂(Ｆ_μλＦ^λν)/∂ｘ^ν－(∂Ｆ_μλ/∂ｘ^ν)Ｆ^λν

となります。

ここで,∂Ｆ^μν/∂ｘ_λ＋∂Ｆ^νλ/∂ｘ_μ＋∂Ｆ^λμ/∂ｘ_ν＝0

とＦ^μνの反対称性により,

右辺第２項は,(∂Ｆ_μλ/∂ｘ^ν)Ｆ^λν

＝(∂Ｆ_μν/∂ｘ^λ)Ｆ^νλ＝(∂Ｆ_νμ/∂ｘ^λ)Ｆ^λν

＝(1/2)[(∂Ｆ_μλ/∂ｘ^ν)＋(∂Ｆ_νμ/∂ｘ^λ)]

＝－(1/2)(∂Ｆ_λν/∂ｘ^μ)Ｆ^λν＝－(1/4)∂(Ｆ_λνＦ^λν)/∂ｘ^μ

と書けます。

結局,Ｓ^μν≡－(ｃ²ε₀)[Ｆ_λ^μＦ^λν－(1/4)η^μν(Ｆ_σρＦ^σρ)]

＝－(ｃ²ε₀)[η^μδＦ_λδＦ^λν－(1/4)η^μν(Ｆ_σρＦ^σρ)]

とおけば,Ｓ^νμ＝Ｓ^μνであり,ｆ^μ＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ^ν

と書けます。

そこで,４元力の密度ｆ^μ＝Ｆ^μνｓ_νが対称な反変テンソル

Ｓ^μνの４次元発散として表現できることがわかりました。

対称テンソルＳ^μνはトレースレス(対角和がゼロ)であることも

わかります。

すなわち,

Ｓ_μ^μ＝－(ｃ²ε₀)[Ｆ_λμＦ^λμ－(1/4)4(Ｆ_σρＦ^σρ)]＝0 です。

Ｓ^μνの空間成分:

Ｓ^ij＝－(ｃ²ε₀)[Ｆ_λⁱＦ^λj－(1/4)η^ij(Ｆ_σρＦ^σρ)]に,

Ｅ＝(Ｅ¹,Ｅ²,Ｅ³)＝－ｃ(Ｆ⁰¹,Ｆ⁰²,Ｆ⁰³),

Ｂ＝(Ｂ¹,Ｂ²,Ｂ³)＝－(Ｆ²³,Ｆ³¹,Ｆ¹²)の左辺の電場,磁場

を代入すると,

Ｓ^ij＝(ｃ²ε₀)[Ｆ_λⁱＦ^λj－(1/4)η^ij(Ｆ_σρＦ^σρ)

＝(－ｃ²ε₀)[Ｆ_0iＦ^0j＋Ｆ_kiＦ^kj－(1/2)δ^ij(Ｂ²－Ｅ²/ｃ²)]

＝ε₀ＥⁱＥ^j＋μ₀^-1ＢⁱＢ^j－δ^ijμ₀^-1Ｂ²

＋(1/2)δ^ij(μ₀^-1Ｂ²－ε₀Ｅ²)

となります。

すなわち,４元力密度はｆ^μ＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ^νであって,

Ｓ^μνの空間成分をＳ^ij≡－ｔ^ijとすると,

ｔ^ij＝ε₀ＥⁱＥ^j＋μ₀^-1ＢⁱＢ^j－(1/2)δ^ij(ε₀Ｅ²＋μ₀^-1Ｂ²)

と表現できて,ｔ^ijはMaxwellの応力テンソルと呼ばれている

３次元空間のテンソルに一致しています。

また,３次元ベクトルＳの成分を,

Ｓ^k/ｃ≡Ｓ^k0＝Ｓ^0k＝－(ｃ²ε₀)Ｆ_λ⁰Ｆ^λkで定義すれば,

Ｓ＝(Ｅ×μ₀^-1Ｂ)＝Ｅ×Ｈであって,

これは電磁エネルギーの流れを示すポインティングベクトル

(Poynting vector)になっています。

そしてｈ≡Ｓ⁰⁰とおくと,

ｈ＝－(ｃ²ε₀)[Ｆ_λ⁰Ｆ^λ0－(1/2)(Ｂ²－Ｅ²/ｃ²)]

＝(1/2)(ε₀Ｅ²＋μ₀^-1Ｂ²)＝(1/2)(ＥＤ＋ＢＨ)ですが,

これは電磁エネルギー密度を表わしています。

そこで,ｆ^μ＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ^νでのμ＝0 の式は,

ｆ⁰＝(ｆｕ)/ｃ＝(1/ｃ){－divＳ－∂ｈ/∂ｔ},

すなわち,∂ｈ/∂ｔ＋divＳ＝－(ｆｕ)です。

これを,系全体を囲むある定まった閉曲面σで囲まれた有限

な体積Ｖにおいて体積積分し,Ｗ≡∫_VｈｄＶとすると,Gauss

の定理によって－ｄＷ/ｄｔ＝∫_σＳｄσ＋∫_V(ｆｕ)ｄＶ

となります。

これは,(Ｖにおける場の総エネルギーＷの減少分)

＝(境界面σから流出するエネルギー量)

＋(電磁場による力ｆｄＶがＶの外部になす仕事)

という等式で表わされ,エネルギー保存を意味すると

解釈できます。

他方,μ＝1,2,3についての式は,

ｆⁱ＝∂ｔ^ij/∂ｘ^j－∂(Ｓⁱ/ｃ²)/∂ｔです。

静電場の場合には右辺第２項はゼロですから,

ｆⁱ＝∂ｔ^ij/∂ｘ^jです。

これは真空も含めた物質中の力の密度をMaxwellの

応力テンソルの空間微分で表現した有名な力の密度に関する

Maxwellの式です。

すなわち,ｆⁱ＝∂ｔ^ij/∂ｘ^jはGaussの定理により,

Ｆⁱ＝∫_VｆⁱｄＶ＝∫_V(∂ｔ^ij/∂ｘ^j)ｄＶ＝∫_σｔ^ijｎ^jｄσ

を意味しています。

物体に働く応力の総体がＦ＝∫_VｆｄＶであるとき,これは

応力テンソルτ^ij≡－ｔ^ijがあって,j軸に垂直な面に働く力

の第ｉ成分がτ^ijｎ^jｄσで与えられることを示していて,

むしろ,Faraday的な見方ですね。

※ (注):応力テンソルτ^ijというのは,ｎを応力が働く向きの

法線ベクトルとするとき,ｊ軸に垂直な面要素ｄσに働く力の

第ｉ成分がτ^ijｎ^jｄσで与えられる,というのがその定義です。

ただし,閉曲面境界で囲まれた物体が受ける応力を考える際には,

慣例として物体境界の面要素ｄσの法線ｎを外向き法線と定義

するため,普通とｎの向きが逆になるので,電磁力の物体に及ぼす

力の密度がｆⁱ＝－∂τ^ij/∂ｘ^j＝∂ｔ^ij/∂ｘ^jとなるのですね。)

以上はMinkoeskiの考察によるものですが,Minkowskiと対立して

いたらしいAbrahamの指摘によれば,閉じた系で運動量が保存さ

れるためには,ベクトル量ｇ≡Ｓ/ｃ²を電磁場の運動量密度と

解釈する必要があるということです。

なぜなら,次のような考察ができるからです。

すなわち,上で実行した積分と同じく,系全体を囲む定まった

閉曲面Σで囲まれた有限な体積Ｖにわたって,

ｆⁱ＝∂ｔ^ij/∂ｘ^j－∂(Ｓⁱ/ｃ²)/∂ｔの両辺を体積積分すれば,

Gaussの定理によって∫_V(∂ｔ^ij/∂ｘ^j)ｄＶは閉曲面Σ上でｔ^ij

の面積分となります。

閉曲面の上では電磁場がゼロなので応力ｔ^ijもゼロですから,

Ｆ＝∫_VｆｄＶ＝－(ｄ/ｄｔ)(∫_VｇｄＶ)となります。

ここでＦはもちろん物体に作用する電磁力の総体です。

これはニュートンの運動の第２法則が示すところによれば,

単位時間当りの力学的運動量Ｇ_mの増加分に等しいはずです。

つまり,ｄＧ_m/ｄｔ＝∫_VｆｄＶ　となるはずです。

そこで,∫_VｆｄＶ＝－(ｄ/ｄｔ)(∫_VｇｄＶ)は,

(ｄ/ｄｔ)(Ｇ_m＋∫_VｇｄＶ)＝0 　と書くことができます。

そこで,時間的に一定なベクトル量として全運動量が存在する

ためには,力学的運動量Ｇ_mの他に∫_VｇｄＶにある(定数)を加

えたものが電磁的運動量であると仮定して,力学的運動量と

電磁的運動量の和が全運動量であるとしなければなりません。

それ故,[Ｓ/ｃ²＋(定数)]を電磁運動量密度と考えることが

できますが,電磁場がないときには電磁運動量密度はゼロで

あるべきですから,この(定数)はゼロでありｇ＝Ｓ/ｃ²が

電磁運動量密度を表わしていると考えてよいと思われます。

さらにｕ^*≡Ｓ/ｈを電磁エネルギーの伝播速度と定義すれば

電磁運動量密度はｇ＝Ｓ/ｃ²＝(ｈ/ｃ²)ｕ^*と書けます。

これは一般にエネルギーＥ＝∫εｄＶの粒子が速度ｕで運動

しているとき,その力学的エネルギー密度がεなら運動量密度

はｇ＝(ε/ｃ²)ｕで与えられるという関係に類似しています。

すなわち,エネルギー:Ｅ＝ｍｃ²/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2

と運動量:ｐ＝ｍｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＝(Ｅ/ｃ²)ｕを持つ

自由粒子の相対論的質量はｍ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＝(Ｅ/ｃ²)

で定義されます。

そこで,もしもＥ＝∫εｄＶ,ｍ＝∫μｄＶなら,この粒子の

相対論的質量に対応する相対論的密度が,

μ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＝(ε/ｃ²)で与えられるという事実から

のアナロジーで,

今の場合は,(ｈ/ｃ²)はｕ^*≡Ｓ/ｈで運動する電磁場の相対論的

密度を示していると考えるわけです。

しかも,偏った単色電磁波では(ＥＢ)＝0 であり,Ｄ＝Ｈ,

つまりε₀Ｅ＝μ₀^-1Ｂであって,ε₀μ₀＝1/ｃ²なので,

ｕ^*＝|ｕ^*|＝|Ｓ|/ｈ

＝2μ₀^-1|Ｅ||Ｂ|/(ε₀Ｅ²＋μ₀^-1Ｂ²)＝ｃ

です。

そこで,これが電磁波の伝播速度を示していると考えるなら,

それは光速ｃに等しいので,電磁波のエネルギーは光速ｃで

伝わります。

一方,任意の運動している荷電粒子の場でも(ＥＢ)＝0 ですが,

|Ｄ|/|Ｈ|＝ε₀|Ｅ|/(μ₀^-1|Ｂ|)＝α≧1なので,

ｕ^*＝|ｕ^*|＝2ｃα/(1＋α²)≦ｃです。

いずれにしても,ｕ^*は光速ｃ以下なので,ｇ＝Ｓ/ｃ²＝(ｈ/ｃ²)ｕ^*

を電磁場の運動量密度とするAbrahamの描像は正しいと思われます。

しかし,これを３次元で体積積分して近似すると,電磁運動量

Ｇは(Ｗ/ｃ²)ｕ^*ではなく,Ｇ＝(4/3)(Ｗ/ｃ²)ｕ^*で与えられる

ので,４元ベクトルにならないとの考察があります。

すなわち,荷電粒子の速度ｕ^*の大きさが光速ｃに比べて小さい

ときには,Ｇ＝∫ｇｄＶ＝(1/ｃ²)∫ＳｄＶ

＝(1/ｃ²)∫(Ｅ×Ｈ)ｄＶ＝(ε₀/ｃ²)∫{Ｅ×(ｕ^*×Ｅ)}ｄＶ

＝{2ε₀ｕ^*/(3ｃ²)}∫Ｅ²ｄＶ　です。

同じ近似で,Ｗ＝(ε₀/2)∫Ｅ²ｄＶなのでＧ

＝(4/3)(Ｗ/ｃ²)ｕ^*となるというわけです。

しかし,後の考察で４元速度Ｕ^μで運動する荷電粒子と相互作用

している電磁場のエネルギー運動量はＧ^μ＝(1/ｃ²)∫Ｓ^μ0ｄＶ

ではなく,Ｇ^μ＝(1/ｃ²)∫Ｓ^μνＵ_νｄＶで与えられるのが正し

いということで,先に矛盾があると見えたのは,定義,または,

近似方法の誤りであると指摘されているようです。

さて,Ｔ^μν≡θ^μν＋Ｓ^μνと書いて,これを系全体の

全エネルギー運動量テンソルと定義します。

このとき,粒子に働く４元力の密度:ｆ^μは電磁場のエネルギー

運動量テンソルＳ^μνをテンソルポテンシャルとして

ｆ^μ＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ^νと表現されます。

そして,この電磁力によって加速される粒子の運動方程式が

∂θ^μν/∂ｘ^ν＝ｆ^μで与えられるので,

∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝∂θ^μν/∂ｘ^ν＋∂Ｓ^μν/∂ｘ^ν＝0

なる式が得られます。

これは閉じた系では,全系のエネルギーと運動量が保存される

ことを示しています。

Ｔ^μν＝θ^μν＋Ｓ^μνを陽に書いてみます。

まず,これの空間成分は,

Ｔ^ij＝θ^ij－ｔ^ij＝μｕⁱｕ^j/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2－ｔ^ij

となります。

また,先に電磁エネルギーの流れ密度を示すポインティング

ベクトルをＳ＝Ｅ×Ｈ＝μ₀^-1Ｅ×Ｂとして,Ｓ^k/ｃ＝Ｓ^0kと

定義しましたが,

ここでは改めてＳ^k/ｃ≡Ｔ^0kと定義し直すと,

Ｓ＝μ⁰ｃ²ｕ/(1－ｕ²/ｃ²)＋Ｅ×Ｈ

＝μｃ²ｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＋Ｅ×Ｈ

と書けます。

右辺は全エネルギーの流れ密度を表わしていると見えます。

そして,ｃｇ^k≡Ｔ^k0で与えられる成分ｇ^kを持つ３次元ベクトル

をｇとすると,ｇ＝μｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＋(Ｅ×Ｈ)/ｃ²は,

系の全運動量密度であると解釈されます。

先にはＳ⁰⁰が電磁エネルギー密度を表わすことを示し,これを

ｈと表記しましたが,今度はＴ⁰⁰＝θ⁰⁰＋Ｓ⁰⁰を改めてｈと書き

ｈ＝μｃ²/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＋(1/2)(ε₀Ｅ²＋μ₀^-1Ｂ²)

＝μｃ²/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＋(1/2)(ＥＤ＋ＢＨ)と表わせば,

これは系の全エネルギー密度を与えるものであることが

わかります。

そして,Ｔ^μνのトレース(対角和)は,

Ｔ_μ^μ＝θ_μ^μ＝μ⁰ｃ²＝μ⁰ｃ²/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2

となります。

これで,とりあえず真空中の電磁気学を中心とした話について

は終わりにし,次回からのこのシリーズの記事では,物質中の

電磁気学の話をしたいと思います。

参考文献：メラー 著(永田恒夫,伊藤大介 訳)

「相対性理論」(みすず書房),

砂川重信 著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店)

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