自己力と自己エネルギー

以前の2008年４/21の記事「電場と電束密度,磁場と磁束密度(1)」において,場の概念を定義する際に次のようなことを書きました。

(再掲)電場というのは,"電気力が働くとされている空間内の点に大きさがｅの電荷を持つ試験電荷を置いて,これに働く電気力がＦであるとき,Ｆをｅで割った比(Ｆ/ｅ)のｅ→ 0 の極限を取り,これをＥと書いて電場という。"とでも定義すべきかと思われます。

普通のテキストでは"単位電荷当りに働く電気力を電場という。"という程度の簡単な表現で電場の定義が与えられることが多いようです。(後の便宜上試験電荷の大きさをｑの代わりにｅとしました。)

なぜ,定義するだけなのに,こうした"神経質とも思われる注意深さ"を必要とするのか？というと,厳密には試験電荷ｅが無限小,あるいは近似的にゼロではなく有限なら,その有限電荷量ｅの値が大きければ大きいほど,試験電荷を置くだけで,それを置いた点とその周りの電場そのものをゆがめてしまうと考えられるからです。

また,元々電荷がないときの物理的状況を知りたいために試験電荷を置くのにも関わらず,試験電荷自身が環境をこわすというディレンマがあること,あるいは"自分自身の作る場による自分自身への力＝自己力をどう評価するのか"というような,ちょっと悩ましく微妙な問題があるからです。

今井功氏の批判的著書「電磁気学を考える」では,"そもそも無限小の試験電荷を基に定義された電場に実際に有限な電荷を置いたとして正しい電気力が得られるのか？”とか,

"そもそも電気力が先験的に電荷量に比例する,つまり電荷の大きさがｎ倍なら電気力もｎ倍になるという根拠があるのか？"などという基本的？な疑問が投げかけられています。

(再掲終わり)

これらについて少し考察し詳述してみます。 

まず,こうした問題意識を明確に設定して書き表わせば次のようになるかと思います。

電場の中に試験電荷ｅを入れる前の,元々の対象としている電場をＥ＝Ｅ(ｒ)とするとき,仮にこの電場が存在する空間のある位置ｒ＝ｒ₀に試験点電荷ｅを入れたとすると,それによってこの点電荷のまわりにはクーロンの法則により,Ｅ₁(ｒ)≡{ｅ/(4πε)}{(ｒ－ｒ₀)/|ｒ－ｒ₀|³}なる形の別の電場Ｅ＝Ｅ₁(ｒ)が発生します。

そして場に対して重ねあわせの原理が成立するとするなら,位置ｒにおいて電荷に作用する総体としての電場は元々のＥ(ｒ)ではなく,それらの和Ｅ＝Ｅ'(ｒ)≡Ｅ(ｒ)＋Ｅ₁(ｒ)となるはずです。

したがって,"単位電荷当りに働く電気力を電場という。"という上述の素朴な定義に従うことにし,"電荷の大きさがｎ倍なら電気力もｎ倍になる"という性質をも受け入れて場の定義を文字通り解釈するなら,この試験電荷ｅに働く電気力Ｆ(ｒ₀)はＦ(ｒ₀)＝ｅＥ(ｒ₀)ではなくてＦ(ｒ₀)＝ｅＥ'(ｒ₀)≡ｅＥ(ｒ₀)＋ｅＥ₁(ｒ₀)であるということになるのではないかと考えられます。

しかも,ｅ≠0 なら右辺の余分な第２項ｅＥ₁(ｒ₀)は{ｅ²/(4πε)}{(ｒ－ｒ₀)/|ｒ－ｒ₀|³}なる表式においてｒ＝ｒ₀と置いたものですから,この項の寄与は無限大,あるいは 0/0 なので不定になります。

そこで,"(Ｆ/ｅ)のｅ→ 0 の極限をＥと書いて電場という。"という場についてのより正確で微妙な表現を取ったとしても,ｅ→ 0 の極限では{ｅＥ₁(ｒ₀)/ｅ}＝Ｅ₁(ｒ₀)＝{ｅ/(4πε)}{(ｒ－ｒ₀)/|ｒ－ｒ₀|³}|_r=r0＝0/0 と書けて,この量は不定ですから定義できません。

そして,Ｆ(ｒ₀)＝ｅＥ(ｒ₀)以外の余分なお釣りの項であるＦ₁(ｒ₀)≡ｅＥ₁ (ｒ₀)をどう解釈すべきかというのが問題意識の根源で,これはもちろん力の単位を持っていますから自己力と呼びます。

しかし,例えばＥ(ｒ)がｒ＝ｒ₁にある点電荷ｑによるクーロン力の場である場合ならＥ(ｒ)＝{ｑ/(4πε)}{(ｒ－ｒ₁)/|ｒ－ｒ₁|³}ですが,本来ｑとｅの間に働く静電気力は場という概念を規定するしないに関わらず,クーロンの法則によってＦ(ｒ₀)＝{ｅｑ/(4πε)}{(ｒ₀－ｒ₁)/|ｒ₀－ｒ₁|³}と書けますからＦ(ｒ₀)＝ｅＥ(ｒ₀)が成立しています。

しかも,一般の電場Ｅ(ｒ)はｎを任意の自然数としてｎ個の点電荷ｑ₁,ｑ₂,..,ｑ_nがそれぞれ独立に位置ｒ₁,ｒ₂,..,ｒ_nにある場合の各々のク－ロン場の重ね合わせであって,試験電荷ｅに働く電気力Ｆ(ｒ)の方も,この試験電荷と各々の点電荷との間に働くクーロン力のベクトルとしての代数和である合力です。

そこで,理論的にも実験的にも,常にＦ(ｒ)＝ｅＥ(ｒ)が成立することも間違いない事実です。

そこで,自己力というのは単に頭で考えた絵空事であり,問題が生じるとしたら,それは場の概念を定義する上での微妙な論理的な不備に起因するものであり,電荷ｅの存在によって自己場Ｅ₁(ｒ₀)が出現して電場がＥ＝Ｅ'(ｒ)≡Ｅ(ｒ)＋Ｅ₁(ｒ)のようにゆがめられるのも正しいが,

電荷ｅの値に関わらず,それに働く電気力Ｆ(ｒ)には自己場の影響は全く現われず,電場Ｅ(ｒ)のみによってＦ(ｒ)＝ｅＥ(ｒ)なる式で表わされると規定すれば済むだけのことと思われ,実際,この修正定義で理論展開をしても,深刻な不都合,矛盾を生じることはないようです。

これは前に私が述べたように,(再掲)"物理学は経験科学である自然科学の一つですから経験あるいは実験が理論的概念を裏付ければ,それでいいわけで,究極的には根拠がなくても自然を正しく記述しているなら,数学で言えば公理,物理学で言えば仮説,あるいは法則として認めるだけのことですが。。"云々

(再掲終わり)

という態度を具現したものと考えられ,それなりに真なる立場であるといえると思います。

したがって,"自己力は常にゼロである。"ということを,わざわざ証明,あるいは説明をする必要もないかもしれませんが,これは例えば次のようにして説明することが可能です。

点ｒ₀にある点電荷ｅを置くといっても,それは文字通り点であるというわけではなくある有限な大きさを持っていて微小な部分の集まりであるとします。

つまり,ｅ＝ΣΔｅであって,Δｅは残りの(ｅ－Δｅ)によって自己力を受けており,Δｅの存在している位置をｒ₀のごく近傍のｒ,残りの(ｅ－Δｅ)が存在する荷電中心の位置を同じくｒ₀の極く近傍のｒ’とすると,それに対応する自己力は,{1/(4πε)}{Δｅ(ｅ－Δｅ)}{(ｒ－ｒ')/|ｒ－ｒ'|³}となるはずです。

この発想をさらに発展させると,点電荷ｅは実はｅ＝∫ρ(ｒ)ｄｒを満たす電荷密度ρ(ｒ)の有限な大きさを持った帯電体であり,その全自己力は重複を避けるための因子1/2を持つ表現:Ｆ₁(ｒ₀)＝ｅＥ₁(ｒ₀)＝(1/2){1/(4πε)}∫[ρ(ｒ)ρ(ｒ'){(ｒ－ｒ')/|ｒ－ｒ'|³}ｄｒｄｒ'で与えられることになります。

この右辺の積分∫[ρ(ｒ)ρ(ｒ'){(ｒ－ｒ')/|ｒ－ｒ'|³}ｄｒｄｒ'の被積分関数は,ｒとｒ'の交換に対して明らかにマイナス符号が付く位置の奇関数です。

しかし,一方,ｒとｒ'の交換は単に積分変数の置換に過ぎない,と考えることもできます。積分の引数を入れ換えても引力なら引力,斥力なら斥力という性質は同じはずであり,この意味では交換のせいでマイナス符号が付く理由はありません。

したがって,これらのことをまとめると,－Ｆ₁(ｒ₀)＝Ｆ₁(ｒ₀)が成立することになりますから,結局Ｆ₁(ｒ₀)＝0 と結論せざるを得ません。

すなわち,電荷が大きさと荷電分布を持つと仮定するなら自己力はゼロである,という証明らしきものができました。

そして,ここで仮定した有限の大きさというのも,全く任意の値でいいのですから,大きさがゼロの極限でも自己力はゼロと考えていいことになります。

つまり,先にＦ₁(ｒ₀)＝ｅＥ₁(ｒ₀)＝Ｅ₁(ｒ₀)＝{ｅ²/(4πε)}{(ｒ－ｒ₀)/|ｒ－ｒ₀|³}|_r=r0＝0/0 となって不定であった最右辺の 0/0 をゼロと見なしてもよいことになります。

この結論を採用すれば,"電気力は自己場以外の電場によってＦ(ｒ)＝ｅＥ(ｒ)なる関係式で与えられる"と定義として規定するのと大差なく,この意味で自己力だけを問題にするなら,これは悪さをしない比較的たちのよい要素であり,全体の定式化にとって何ら影響を与えるものではないと思われます。

したがって,たった今ゼロであるとした自己力Ｆ₁(ｒ₀)＝ｅＥ₁(ｒ₀)と同様,ｒ₀のまわりの自己場Ｅ₁(ｒ)も恒等的にゼロであるとしてもよいのではないか？という発想が出てきてもおかしくありません。

ところが,この自己場を与えるであろう"静電ポテンシャル＝電位"を考えると,これは点電荷ｅに対してφ(ｒ)＝{ｅ/(4πε)}{1/|ｒ－ｒ₀|}|で与えられます。

上で自己力の計算をするときに考えたように,ｅが大きさを持ちｅ＝∫ρ(ｒ’)ｄｒを満たす電荷密度ρ(ｒ)の帯電体であると想定するなら,自己場を与える電位は,φ(ｒ)＝{1/(4πε)}∫{ρ(ｒ')/|ｒ－ｒ'|}ｄｒ'となります。

したがってその静電エネルギーはε_self≡(1/2){1/(4πε)}∫{ρ(ｒ)ρ(ｒ')/|ｒ－ｒ'|}ｄｒｄｒ'と表現されますが,今度は自己力の場合とは異なり被積分関数がｒとｒ'の交換に対して変化しない位置の偶関数ですから,この静電エネルギー＝自己エネルギーε_selfをゼロと見なすわけにはいきません。

例えば１個の電子の電荷を－ｅ(ｅ＞0)とし,これを一様に帯電した半径ａの帯電球とみなすなら,中心は原点にあるとして計算してもいいので－ｅ＝4πρａ³/3でε_self＝(1/2){1/(4πε)}∫{ρ(ｒ)ρ(ｒ')/|ｒ－ｒ'|}ｄｒｄｒ'＝{8π²ρ²/(8πε)}∫₀^aｄｒｒ²∫₀^aｄｒ'ｒ'²∫_-1¹ｄ(cosθ)(ｒ²＋ｒ'²－2ｒｒ'cosθ)^-1/2＝..となります。

面倒臭くなったので,計算するために右辺を球関数,あるいはルジャンドル展開しようかとも思いましたが,別の簡単な方法を取ることにして,すぐ得られる電位の式φ(ｒ)＝－ｅ/(4πεｒ)(ｒ＞ａ),φ(ｒ)＝ｅｒ²/(8πεａ³)－3ｅ/(8πεａ) (ｒ≦ａ)を用いればε_self＝(4πρ/2)∫₀^aｒ²φ(ｒ)ｄｒ＝－3ｅ²/(80πεａ)＋3ｅ²/(16πεａ)＝3ｅ²/(20πεａ)が得られます。

すなわち,自己エネルギーは,ε_self＝{1/(4πε)}(3/5)(ｅ²/ａ)と計算されます。

もしも,電子の帯電が球全体ではなく,－ｅが球の表面だけに集中して分布した導体の場合なら,ε_self＝{1/(4πε)}(1/2)(ｅ²/ａ)となるので,これは素朴に静電ポテンシャルが点電荷のφ(ｒ)＝－ｅ/(4πεｒ)で電子の大きさがｒ～ａであるとしたときの自己エネルギーε_self＝－(1/2)ｅφに一致します。

要するに細かい計算をしなくても,電子の自己エネルギーの程度は{1/(4πε)}(ｅ²/ａ),昔の原子物理学のように,c.g.s.静電単位を使用すれば,ｅ²/ａのオーダーですから,大きさのない点である極限ａ→ 0 では,Ｏ(1/ａ)のように1次発散をします。

古典物理学における相対性理論によると,粒子が静止時にエネルギーεを持つのはｃを光速としてε＝ｍｃ²を満たす質量ｍを持つことと同等です。

そこで,電子質量をｍ_eとすると,これは ｍ_eｃ² ～ 0.51MeVと表現できますが,上で得られた自己エネルギーε_self＝{1/(4πε)}(1/2)(ｅ²/ａ)をｍ_eｃ²と同一視する,あるいはε_self＝{1/(4πε)}(3/5)(ｅ²/ａ)＝ｍ_eｃ²から半径ａが決めることができます。

こうして決められた半径ａを古典電子半径と呼びます。

しかし,如何に小さい値であろうと粒子が有限な大きさを持つということは,その粒子の属性が空間的(space-like)に離れた異なる２点以上の場所に同時に存在するというような非局所性を持つという意味を有することになるので,これは"相対論的因果律を破る"と考えられます。

そのため電子などの内部構造を持たない素粒子であれば,それらは大きさのない点である(ａ＝0である)と考える他ありませんから,古典的には自己エネルギーが存在すれば,それは発散することになりますが,古典物理学レベルでは,これは通常無視されています。

量子論では点粒子とはいってもド・ブロイ波長程度の拡がりがありますから,上記の電子の自己エネルギーの発散は１次発散Ｏ(1/ａ)ではなく対数程度の発散:Ｏ(lnａ)に緩和されますが,それでも発散することには変わりありません。

量子論ではｈをプランク定数,λを量子の固有波長として運動量はｐ＝ｈ/λで与えられますが,運動量ｐに上限Λがある,つまりｐ≦Λとすると,それは波長λに下限＝切断波長ａがあること,つまりλ≧ａに対応するはずですから,Λ＝ｈ/ａとすると,対数発散Ｏ(lnａ)はＯ(lnΛ)と同等です。

このように発散が対数程度なら運動量ｐに上限＝切断運動量Λがあるとして正則化するなどの方法で無限大を除去して理論を修正することができます。

こうした場合,理論はくりこみ可能であると言われ,発散除去による修正の方法はくりこみと呼ばれます。

このくりこみ理論によると,自己エネルギーは単に無視して捨てればいい無意味な量ではなく,それを考慮して一旦計算した後に振り返って発散量を合理的に解釈し再定義することで物理量が修正されて正確な値が計算されるという有用な側面を持っています。

実際,実験で観測されるラムシフト(Lamb Shift)や異常磁気モーメントのように,補正される値を非常に高い精度で得ることができるので,量子論では自己エネルギーを無視することはできません。

こうした自己場についての現象は,場の反作用と呼ばれることもあるようです。

しかし,場の反作用といえば素朴な自己力の話よりも,運動方程式ｍｄｖ/ｄｔ＝Ｆおいて,電荷が加速度運動をすれば電磁波を輻射するため,その反作用として運動量が抵抗を受けて減衰するように,方程式がｍｄｖ/ｄｔ＝Ｆ＋{ｅ²/(6πεｃ³)}(ｄ²ｖ/ｄｔ²)と修正される現象が思い出されますが,これに関しては,ここで論じることはせず,機会があれば,いつかトライしてみます。

自己エネルギーに関連した私のブログ記事としては2006年9/21の「電子を大きさのない点であると考える背景」やQED(量子電磁力学)の1939年のワイスコフ(Weisskopf)の歴史的論文の内容について記述した2006年12/21の「電子の自己エネルギーとディラックの海」があります。

よろしければ参照してください。

参考文献：今井 功 著「電磁気学を考える」(サイエンス社),砂川 重信 著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店)

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