電磁気学と相対論(7)(物質中の電磁気学１)

前回までで真空中の電磁気学については一通り述べ終わったと

思われるので,約束通り物質中の現象論的な電磁気学,特に運動

物体中の電磁力学の話に入ります。

定常運動をしている物体内の現象論的な電磁力学の

Maxwel方程式は,中に含まれる電子数が莫大な通常の領域:

(ただし,巨視的に見れば,この電子数も小さいと見える領域)

においては,

電子論における個々の電子に対する基礎方程式を平均化すること

から導くことができるということが,既にLorentzによって示され

ていました。

電子論の基礎方程式(真空中のMaxwell方程式):

∂Ｆ^μν/∂ｘ_λ＋∂Ｆ^νλ/∂ｘ_μ＋∂Ｆ^λμ/∂ｘ_ν＝0,

∂Ｆ^μν/∂ｘ^ν＝－ｓ^μ/(ｃ²ε₀)　

は相対論的に共変な形になっているので,

これらの式を適当に取った時空領域について平均化することから

共変性が保たれた運動物体中の巨視的な電磁力学の方程式が得ら

れるはずです。

この方法は,主としてボルン(Born)とダレンバッハ(Dallenbach)に

よって行なわれました。

Maxwellの現象論的な方程式は,物体の静止系Ｓ⁰において,これが

正しいことを認めれば,同じ物体が運動中のＳ系でもLorentz変換

によって同じ方程式が得られるはずであると考えられます。

こうした考えから,最初にこの方法を用いたのはMinkowskiでした。

相対性理論によれば,恒星に対して静止した系であるＳ系において

定常運動をしている物体中のMaxwellの方程式は,その物体の静止

座標系Ｓ⁰系においてもそのまま成立し,その際にＳ⁰系の"恒星＝

Ｓ系"に対する速度を考慮する必要はないはずです。

これは,電場Ｅや磁場ＢなどのＳ⁰系における物理量を上添字 0

をつけてで表現するとき,基礎方程式系として,

div⁰Ｂ⁰＝0,rot⁰Ｅ⁰＋∂Ｂ⁰/∂ｔ⁰＝0,div⁰Ｄ⁰＝ρ⁰,

rot⁰Ｈ⁰＋∂Ｄ⁰/∂ｔ⁰＝Ｊ⁰

が成立するということを意味します。

ここに,Ｅ⁰は電場,Ｄ⁰は電束密度,Ｈ⁰は磁場の強さ,Ｂ⁰は磁束密度

であり,ρ⁰は巨視的電荷密度,Ｊ⁰は巨視的電流密度です。

これらの量は全て原理的にはＳ⁰系での巨視的実験で決めることが

できます。

等方性の誘電体や常磁性体では,上述の方程式に加えて,

次の式が成立すると仮定されます。

すなわち,Ｄ⁰＝εＥ⁰,Ｂ⁰＝μＨ⁰,Ｊ⁰＝σＥ⁰です。

ここにεは誘電率,μは透磁率です。

最後の式は,電子物性に由来するオームの法則(Ohm's law)を数学的

に表現したものです。

係数σは電気抵抗の逆数であり,電気伝導度と呼ばれるものです。

ここで,ＥとＢを与える反対称テンソルＦ^μνとＤとＨを与える

反対称テンソルＨ^μνの２つの２階反変テンソルを導入します。

すなわち,Ｆ^μνを任意の座標系Ｓにおける反対称テンソル成分

として,Ｓ系の３次元空間における極性ベクトルである電場Ｅと

軸性ベクトルである磁束密度Ｂを,

Ｅ＝(Ｅ¹,Ｅ²,Ｅ³)≡－ｃ(Ｆ⁰¹,Ｆ⁰²,Ｆ⁰³),

Ｂ＝(Ｂ¹,Ｂ²,Ｂ³)≡－(Ｆ²³,Ｆ³¹,Ｆ¹²)

で定義することができます。

これが可能なことは既に真空中の電磁気学において見ました。

そして,同様にＨ^μνを任意の座標系Ｓにおける反対称テンソルの

成分として,Ｓ系の３次元空間の極性ベクトルである電束密度Ｄと

軸性ベクトルである磁場の強さＨを,それぞれ,

Ｄ＝(Ｄ¹,Ｄ²,Ｄ³)≡－ｃ^-1(Ｈ⁰¹,Ｈ⁰²,Ｈ⁰³),

Ｈ＝(Ｈ¹,Ｈ²,Ｈ³)≡－(Ｈ²³,Ｈ³¹,Ｈ¹²)

によって定義します。

さらにＳ系における成分が(ｃρ,Ｊ)で与えられる４元ベクトル

Ｊ^μ＝(Ｊ⁰,Ｊ¹,Ｊ²,Ｊ³)≡(ｃρ,Ｊ)を導入し,これを４元電流密度

と呼びます。

テンソルＦ^μν,Ｈ^μν,およびベクトルＪ^μは,ある１つの座標系

での成分が与えられさえすれば,他のどんな座標系における成分

も,テンソルの変換公式Ｆ'^μν＝Λ^μ_λΛ^ν_σＦ^λσ,

Ｈ'^μν＝Λ^μ_λΛ^ν_σＨ^λσ,およびベクトルの変換公式:

Ｊ'^μ＝Λ^μ_νＪ^νを用いて計算できます。

特に,空間軸の回転を伴わないLorentz変換がある場合のＪ^μ

の逆変換はρ＝{ρ'＋(ｕＪ')/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,

Ｊ＝Ｊ'＋(ｕ/ｕ²)[(ｕＪ'){1－(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}＋ρ'ｕ²]

/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2となります。

これまで通り,ｕはＳ系に対するＳ'系の速度です。

こうして定義した量Ｅ,Ｄ,Ｈ,Ｂ,Ｊ,ρが,物質の静止Ｓ⁰系では,

それぞれ,Ｅ⁰,Ｄ⁰,Ｈ⁰,Ｂ⁰,Ｊ⁰,ρ⁰に一致するようにＦ^μν,Ｈ^μν

Ｊ^μを定義すると,任意の座標系における電磁力学の基本方程式は

次のように書けます。

∂Ｆ^μν/∂ｘ_λ＋∂Ｆ^νλ/∂ｘ_μ＋∂Ｆ^λμ/∂ｘ_ν＝0 ,および,

∂Ｈ^μν/∂ｘ^ν＝－Ｊ^μです。

これらはテンソル方程式ですから,任意の慣性系で成立し,

しかも静止Ｓ⁰系では,div⁰Ｂ⁰＝0 ,rot⁰Ｅ⁰＋∂Ｂ⁰/∂ｔ⁰＝0

div⁰Ｄ⁰＝ρ⁰,rot⁰Ｈ⁰＋∂Ｄ⁰/∂ｔ⁰＝Ｊ⁰に一致します。

そこで,任意の慣性系で,divＢ＝0 ,rotＥ＋∂Ｂ/∂ｔ＝0,

divＤ＝ρ,rotＨ＋∂Ｄ/∂ｔ＝Ｊ　が成立すると考えられます。

Ｈ^μνの反対称性と方程式:∂Ｈ^μν/∂ｘ^ν＝－Ｊ^μから,

∂Ｊ^μ/∂ｘ^μ＝－∂Ｈ^μν/∂ｘ^μ∂ｘ^ν＝0 が成立することが

わかります。

Ｊ^μ＝(ｃρ,Ｊ)なる成分から,これは∂ρ/∂ｔ＋divＪ＝0

を意味しますが,ρは電荷密度,Ｊは電流密度ですから,これは

電荷の保存を示す連続方程式です。

絶縁体では静止Ｓ⁰系においてＪ⁰≡0 が成立するので,

ρ＝{ρ'＋(ｕＪ')/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,

Ｊ＝Ｊ'＋(ｕ/ｕ²)[(ｕＪ'){1－(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}

＋ρ'ｕ²]/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2により,

ρ＝ρ⁰/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,Ｊ＝ρ⁰ｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＝ρｕ

が得られます。ｕはＳ系における絶縁体の速度です。

それ故,微小体積ΔＶ＝ΔＶ⁰(1－ｕ²/ｃ²)^1/2の微小物質片

が帯びている総電荷Δｅが,Δｅ＝ρΔＶ＝ρ⁰ΔＶ⁰を満たし,

Δｅが"不変量＝Lorentzスカラー"であることを再確認でき

ます。

また,Ｊ＝ρｕなる形の電流は帯電物体の運動が電流を表現し

ているので携帯電流と呼ばれるものです。

絶縁体の場合には電流が純粋に携帯電流のみでしたが,一般の

場合には電流は常に,携帯電流ρｕといわゆる伝導電流Ｃの和

の形でＪ＝ρｕ＋Ｃと書けます。

しかし,この分割の仕方は相対論的に不変ではありません。

静止系Ｓ⁰でρ⁰＝0 なら,Ｊ⁰＝Ｃ⁰となって静止系では純粋

に伝導電流のみですが,この場合でもＳ系ではρ≠0 であり,

その結果,Ｓではρｕ≠0 なる携帯電流が出現します。

この状況を具体的に示すと,ρ⁰＝0 ,Ｊ⁰＝Ｃ⁰,および,

ＳとＳ'の間の変換式:

ρ＝{ρ'＋(ｕＪ')/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,

Ｊ＝Ｊ'＋(ｕ/ｕ²)[(ｕＪ'){1－(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}＋ρ'ｕ²]

/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2において,Ｓ⁰系をＳ'系とした式により,

ρ＝(ｕＣ⁰)/{ｃ²(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},

Ｊ＝Ｃ⁰＋(ｕ/ｕ²)[(ｕＣ⁰){1－(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}]/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2

＝ρｕ＋Ｃですから,

Ｃ＝Ｃ⁰＋(ｕ/ｕ²)[(ｕＣ⁰){(1－ｕ²/ｃ²)^1/2－1}}

となります。

しかし,ρ⁰,Ｕ^μ,ｓ^μを次のような量として,これらによって

以下のようなＪ^μの分解式を与えれば,この分解を相対論的に

不変なものとすることができます。

すなわち,Ｊ^μ≡ρ⁰Ｕ^μ＋ｓ^μと書き,ｓ^μ＝(ｓ⁰,ｓ)を定義します。

こうすれば,この分解は最初から４元ベクトルの和の形をしている

ので相対論的に不変なのは自明です。

そして,ρ⁰Ｕ^μ,ｓ^μとをそれぞれ携帯４元電流,伝導４元電流と

見なすわけです。

ここで,もちろんρ⁰は静止系Ｓ⁰における物質の電荷密度,

Ｕ^μは４元速度Ｕ^μ＝(ｃ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,ｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)

です。

このとき静止Ｓ⁰系で考えると,

Ｊ^0μ＝ρ⁰Ｕ^0μ＋ｓ^0μ,Ｕ^0μ＝(ｃ,0)なので,

ｓ^μ＝(ｓ⁰,ｓ)は,静止系でｓ^0μ＝(0,Ｊ⁰)となるような

４元ベクトルを示しています。

ｓ^μＵ_μ＝ｓ^0μＵ⁰_μ＝0 ですから,Ｊ^μＵ_μ＝ｃ²ρ⁰より

ρ⁰＝(Ｊ^μＵ_μ)/ｃ²です。

故に,ｓ^μ＝Ｊ^μ－(Ｊ^λＵ_λ)Ｕ^μ/ｃ²なる表式を得ます。

よって,常にｓ⁰＝0,ｓ＝Ｊ－ρｕでＪ^μ＝(ｃρ,ρｕ＋ｓ)

ですから,ｓ^μ＝(ｓ⁰,ｓ)の空間成分ｓは確かに伝導電流を

示しています。

以前,真空中の電磁気学では,ｓ^μ≡(ｃρ,ρｕ)と定義しました

が,これは伝導電流がゼロの場合の全電流Ｊ^μを示しています。

つまり,ここでのｓ^μは真空中の電磁気学とは違う定義です。

場の方程式divＢ＝0 ,rotＥ＋∂Ｂ/∂ｔ＝0, divＤ＝ρ,

rotＨ＋∂Ｄ/∂ｔ＝Ｊに現われる量の中で,

ρ,Ｊについては直接物理的意味を与えることができますが,

場の変数Ｅ,Ｄ,Ｈ,Ｂには静止系の場合を除いて物理的意味

付けを与えること自体が簡単ではありません。

Ｆ^μ≡Ｆ^μνＵ_νによって４元ベクトルＦ^μを定義すれば,

Ｓ系でのＦ^μの成分は,

Ｆ^μ＝((Ｅｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},(Ｅ＋ｕ×Ｂ)/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)

となります。

したがって,これの静止系Ｓ⁰での成分はＦ^0μ＝(0,Ｅ⁰)となり,

これは,そもそも,このシリーズ記事の発端となった,以前の,

2008年4/21の記事「電場と電束密度,磁場と磁束密度(1)」

で述べた,"canal field"

(誘電分極を示す直列に並んだ双極子の腕ベクトルの上に電荷を

置いた場合の電場),つまり物質中の電場の方向に入れた割れ目

の中の物質に対して静止した単位電荷に作用する力,

になっています。

さらに,Ｅ~≡Ｅ＋ｕ×Ｂと定義して,Ｅ~なる量を導入すれば

Ｆ^μ＝((Ｅ~ｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},Ｅ~/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)

となります。

これをMinkowskiの４元力:Ｆ_M^μ≡((Ｆ_Mｕ)/ｃ,Ｆ_M)

＝((Ｆｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},Ｆ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)の

表式と比較すれば,Ｅ~はＳ系で単位量の試験電荷に作用

する"canal field"の電気力であることがわかります。

同様にＫ^μ≡Ｈ^μνＵ_ν/ｃ²によって,４元ベクトルＫ^μを

定義すれば,

Ｋ^μ＝((Ｄｕ)/{ｃ² (1－ｕ²/ｃ²)^1/2},

{Ｄ＋(ｕ×Ｈ)/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)

となります。

Ｄ~≡Ｄ＋(ｕ×Ｈ)/ｃ²とおけば,

Ｋ^μ＝((Ｄ~ｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},Ｄ~/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)

であり,静止系Ｓ⁰ではＫ^0μ＝(0,Ｄ⁰)ですが,

これも,「電場と電束密度,磁場と磁束密度(1)」　

で述べた"gap field"

(誘電分極を示す直列に並んだ双極子と双極子の間に電荷を置いた

場合の電場),つまり物質中の電場の方向に垂直に入れた割れ目の

中の単位電荷に作用する力になっています。

そこで,Ｄ~≡Ｄ＋(ｕ×Ｈ)/ｃ²はＳ系で単位量の試験電荷に

作用する"gap field"の電気力です。

(ただし,実際に"canal field"Ｅ~と比較される力場としての

"gapfield"は,Ｄ~ではなくＤ~/ε₀です。)

さらに,Ｆ^μν,Ｈ^μνに対偶な擬テンソルをそれぞれ,

Ｆ^*_μν≡(1/2)ε_μνλσＦ^λσ,Ｈ^*_μν≡(1/2)ε_μνλσＨ^λσ

とすれば,これは,Ｅ→ －ｃＢ,Ｂ→ －Ｅ/ｃ,および,

Ｄ→ －Ｈ/ｃ,Ｈ→ －ｃＤなる変換なので,

Ｆ^*μ≡－Ｆ^*μνＵ_ν/ｃ

＝((Ｂｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},{Ｂ－(ｕ×Ｅ)/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)

＝((Ｂ~ｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},Ｂ~/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2),および,

Ｋ^*μ≡－Ｈ^*μνＵ_ν/ｃ

＝((Ｈｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},{Ｈ－(ｕ×Ｄ)/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)

として,２つの擬ベクトルを作ります。

Ｆ^μ.Ｋ^μとＥ~,Ｄ~のアナロジー(類推)からＦ^*μ,Ｋ^*μは,

それぞれ物質にあけた磁場に平行な割れ目,垂直な割れ目

に単位磁極の試験磁荷を置いたとき作用する４元力という

ことになります。

したがってＥ~,Ｄ~の場合と同じく,Ｂ~＝Ｂ－ｕ×Ｅ,

Ｈ~＝Ｈ－(ｕ×Ｄ)/ｃ²は,Ｓ系で単位磁極の試験磁荷に

作用する磁気力です。

以上から,ベクトルＥ~,Ｄ~,Ｈ~,Ｂ~ (Ｆ^μ,Ｋ^μ,Ｋ^*μ,Ｆ^*μ)は,

原理的にはＳ系の観測者の測定で直接得ることができます。

特に,Ｆ^μν,Ｈ^μνを逆にＦ^μ,Ｋ^μ,Ｋ^*μ,Ｆ^*μで表現すると

Ｆ^μν＝(Ｕ^μＦ^ν－Ｕ^νＦ^μ)/ｃ－ε^μνλσＦ^*_λＵ_σ/ｃ,

Ｈ^μν＝(Ｕ^μＫ^ν－Ｕ^νＫ^μ)/ｃ－ε^μνλσＫ^*_λＵ_σ/ｃ

と書けます。

ｕは空間の定ベクトルなので,

rot(ｕ×Ｂ)＝－(ｕgrad)Ｂ,rot(ｕ×Ｄ)

＝－(ｕgrad)Ｄ＋ρｕ ですから,

場の方程式:divＢ＝0 ,rotＥ＋∂Ｂ/∂ｔ＝0 ,divＤ＝ρ,

rotＨ＋∂Ｄ/∂ｔ＝Ｊ は,

rotＥ~＋ｄＢ~/ｄｔ＝0, rotＨ~＋ｄＤ~/ｄｔ＝Ｊ－ρｕ＝ｓ,

divＢ＝0 ,divＤ＝ρ　

となります。

ここまでは一定速度ｕで運動している物体が唯１つある場合

のみを扱ってきました。

しかし,場の方程式が線型であるため,場の加法性が成立する

ことになり,いくつかの物体が,真空によって間を隔てられて

各々が互いに異なる速度で一様運動をしている場合でも,

∂Ｆ^μν/∂ｘ_λ＋∂Ｆ^νλ/∂ｘ_μ＋∂Ｆ^λμ/∂ｘ_ν＝0 ,

∂Ｈ^μν/∂ｘ^ν＝－Ｊ^μを適用していいと思われます。

さらに,電磁力によって生じた物体の加速度が小さいと見てよい

場合には,上のテンソル方程式は,なお運動物体から成る系を記述

する良い近似式を与えると思われます。

今日はこのくらいにします。

参考文献：メラー 著(永田恒夫,伊藤大介 訳)

「相対性理論」(みすず書房)

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