電磁気学と相対論(8)(物質中の電磁気学２)

一週間ほど西の方へ旅に出ていたため,前回のシリーズ記事からは

ずいぶんと時間が経ったので,私自身の復習も兼ねて,物質中の現象

論的な電磁力学に関する前回の話を要約し,それから新しい論題

に入ります。

前回の記事では,運動する物質中の電磁場に対して２つの２階

反対称反変テンソルＦ^μν,Ｈ^μνを導入しました。

それによって,

電場Ｅ,磁束密度Ｂ,電束密度Ｄ,磁場の強さＨを,

Ｅ＝(Ｅ¹,Ｅ²,Ｅ³)≡－ｃ(Ｆ⁰¹,Ｆ⁰²,Ｆ⁰³),

Ｂ＝(Ｂ¹,Ｂ²,Ｂ³)≡－(Ｆ²³,Ｆ³¹,Ｆ¹²),

Ｄ＝(Ｄ¹,Ｄ²,Ｄ³)≡－ｃ^-1(Ｈ⁰¹,Ｈ⁰²,Ｈ⁰³),

Ｈ＝(Ｈ¹,Ｈ²,Ｈ³)≡－(Ｈ²³,Ｈ³¹,Ｈ¹²)

で定義しました。

そして,ρを物質の電荷密度,Ｕ^μを運動物質の４元速度:

Ｕ^μ≡(ｃ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,ｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)として,

４元電流密度をＪ^μ≡(ｃρ,Ｊ)＝ρ⁰Ｕ^μ＋ｓ^μ

＝(ｃρ,ρｕ＋ｓ),ｓ^μ＝(ｓ⁰,ｓ)

＝Ｊ^μ－(Ｊ^λＵ_λ)Ｕ^μ/ｃ²＝(0,Ｊ－ρｕ)

とします。

こうすれば,任意の座標系における電磁力学の基本方程式は,

∂Ｆ^μν/∂ｘ_λ＋∂Ｆ^νλ/∂ｘ_μ＋∂Ｆ^λμ/∂ｘ_ν＝0 ,

∂Ｈ^μν/∂ｘ^ν＝－Ｊ^μと表現されます。

さらに,Ｆ^μν,Ｈ^μνから４元ベクトルＦ^μ≡Ｆ^μνＵ_ν

＝((Ｅｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},(Ｅ＋ｕ×Ｂ)/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2),

および,

Ｋ^μ≡Ｈ^μνＵ_ν/ｃ²

＝((Ｄｕ)/{ｃ² (1－ｕ²/ｃ²)^1/2},

{Ｄ＋(ｕ×Ｈ)/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)

を作ります。

また,Ｆ^μν,Ｈ^μνに双対な擬テンソル

Ｆ^*_μν≡(1/2)ε_μνλσＦ^λσ,

Ｈ^*_μν≡(1/2)ε_μνλσＨ^λσ)　を構成します。

そして,４元擬ベクトルＦ^*μ≡－Ｆ^*μνＵ_ν/ｃ

＝((Ｂｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},{Ｂ－(ｕ×Ｅ)/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)＝((Ｂ~ｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},Ｂ~/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2),

および,

Ｋ^*μ≡－Ｈ^*μνＵ_ν/ｃ

＝((Ｈｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},{Ｈ－(ｕ×Ｄ)/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)

を作ります。

特に,ｕ＝0 の静止系Ｓ⁰では,

Ｆ^0μ＝(0,Ｅ⁰),Ｋ^0μ＝(0,Ｄ⁰),Ｆ^*0μ＝(0,Ｂ⁰),Ｋ^*0μ＝(0,Ｈ⁰)

です。

これら４元ベクトルＦ^μ,Ｋ^μ,Ｆ^*μ,Ｋ^*μを,Ｓ系のMinkowskiの

４元力の表現:Ｆ_M^μ≡((Ｆ_Mｕ)/ｃ,Ｆ_M)

＝({(Ｆｕ)/ｃ}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,Ｆ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)

と比較します。

すると,Ｅ~≡Ｅ＋ｕ×Ｂ,およびＤ~≡Ｄ＋(ｕ×Ｈ)/ｃ²は,

それぞれ,単位量の試験電荷に作用する"canal field",および

"gap field"の電気力,

Ｂ~＝Ｂ－ｕ×Ｅ,および,Ｈ~＝Ｈ－(ｕ×Ｄ)/ｃ²は,

それぞれ単位磁極の試験磁荷に作用する"canals field",

および"gap field"の磁気力であることがわかります。

そして,Ｓ系での量Ｅ~≡Ｅ＋ｕ×Ｂ,Ｄ~≡Ｄ＋(ｕ×Ｈ)/ｃ²,

Ｂ~＝Ｂ－ｕ×Ｅ,Ｈ~＝Ｈ－(ｕ×Ｄ)/ｃ²の,Ｓ⁰系(ｕ＝0)での

表現:Ｅ⁰,Ｄ⁰,Ｂ⁰,Ｈ⁰に対しては,等方性媒質の場合,εを誘電率

μを透磁率と呼ばれる比例定数としてＤ⁰＝εＥ⁰,Ｂ⁰＝μＨ⁰と

書けます。

このことから,Ｄ~＝εＥ~,Ｂ~＝μＨ~,あるいは,

Ｋ^μ＝εＦ^μ,Ｆ^*μ＝μＫ^*μが成立し試験体に作用する

"canal field"の力と"gap field"の力が互いに比例する

という表式が得られます。

これらの式はまた,Ｈ^μνＵ_ν/ｃ²＝εＦ^μνＵ_ν,

Ｆ^*_μνＵ^ν/ｃ＝μＨ^*_μνＵ^ν/ｃ とも書けます。

そして後者:Ｆ^*_μνＵ^ν/ｃ＝μＨ^*_μνＵ^ν/ｃは,

Ｆ^μνＵ^λ＋Ｆ^νλＵ^μ＋Ｆ^λμＵ^ν

＝μ(Ｈ^μνＵ^λ＋Ｈ^νλＵ^μ＋Ｈ^λμＵ^ν)なる等式と同等

であることを示すこともできます。

さらに,σを電気伝導度とすると,Ｓ⁰系でのオームの法則は

Ｊ⁰＝σＥ⁰で与えられます。

そこで,ｓ^μ＝(ｓ⁰,ｓ)＝Ｊ^μ－(Ｊ^λＵ_λ)Ｕ^μ/ｃ²＝(0,Ｊ－ρｕ)

のＳ⁰系での形は,ｓ^0μ＝(0,Ｊ⁰)＝(0,σＥ⁰)＝σＦ^0μ

と書けます。

それ故,Ｓ系ではｓ^μ＝σＦ^μより,

Ｊ^μ－(Ｊ^λＵ_λ)Ｕ^μ/ｃ²＝σＦ^μなる形で,オームの法則の

テンソル表現が得られます。

結局,電流密度Ｊ^μが与えられている場合の電磁力学の

基本方程式の閉じた形式は,

∂Ｆ^μν/∂ｘ_λ＋∂Ｆ^νλ/∂ｘ_μ＋∂Ｆ^λμ/∂ｘ_ν＝0 ,

∂Ｈ^μν/∂ｘ^ν＝－Ｊ^μと,Ｈ^μνＵ_ν/ｃ²＝εＦ^μνＵ_ν,

Ｆ^μνＵ^λ＋Ｆ^νλＵ^μ＋Ｆ^λμＵ^ν

＝μ(Ｈ^μνＵ^λ＋Ｈ^νλＵ^μ＋Ｈ^λμＵ^ν),

Ｊ^μ－(Ｊ^λＵ_λ)Ｕ^μ/ｃ²＝σＦ^μ

の組で与えられます。

原理的には,これらから物質内の場を決定できるはずです。

ここで,物質と真空の境界で場の量が満足すべき境界条件は,

ＥとＨについては方程式:

rotＥ~＋ｄＢ~/ｄｔ＝0,rotＨ~＋ｄＤ~/ｄｔ＝Ｊ－ρｕ＝ｓ

を物質の境界面のすぐ内側と外側に相対する２辺を持つ小さな

長方形が囲む無限小面内で積分することから得られます。

これは,Ｅ,あるいはＨの境界面に平行な成分が連続であるべき

という条件になります。

一方,ＢとＤについては,方程式 divＢ＝0,divＤ＝ρ

を積分することにより,

Ｂの垂直成分:Ｂ_nは境界で連続であるべきで,

Ｄの垂直成分:Ｄ_nは物質外部から内部に向かって境界表面

の電荷密度分:ΔＤ_nだけ不連続に変化してＤ_n＋ΔＤ_nになる

べきという条件が得られます。

ただし,定義:Ｅ~≡Ｅ＋ｕ×Ｂ,Ｄ~≡Ｄ＋(ｕ×Ｈ)/ｃ²,

Ｂ~≡Ｂ－ｕ×Ｅ,Ｈ~≡Ｈ－(ｕ×Ｄ)/ｃ²におけるｕは

"境界の外＝真空領域"でも物質の速度に等しいとして

います。

先に2008年5/30の記事

「電磁気学と相対論(6)(真空中の電磁気学５)」では,

ｓ^μをローレンツの電子論における電流密度とするとき,

真空中での電磁気力の４元力密度ｆ^μが,

ｆ^μ＝ρ⁰Ｆ^μνＵ_ν＝Ｆ^μνｓ_νなる表式で与えられる

ことを見ました。

４元力がこの形に書けることは,静電荷(ｕ＝0)に作用する力

の密度がρ⁰Ｅ⁰であるという電場の定義から明らかです。

しかしε≠ε₀,μ≠μ₀の一般の物質内で作用する力の密度を

一意的に表現するのは容易ではありません。

このような力の定義の曖昧さは当然ながら,エネルギー運動量

テンソルの曖昧さを呼び起こします。

ともあれ,ここではまず電子論での話にならって,

ｆ^μ＝Ｆ^μνｓ_νにおいて携帯電流ρｕのみで書かれた

４元電流密度ｓ^μを,ρｕに伝導電流(Ｃを加えた物質

における全４元電流密度Ｊ^μで置き換えた４元ベクトル量:

Ｆ^μνＪ_νを取り上げて考えてみます。

場の方程式:

∂Ｆ^μν/∂ｘ_λ＋∂Ｆ^νλ/∂ｘ_μ＋∂Ｆ^λμ/∂ｘ_ν＝0 ,

∂Ｈ^μν/∂ｘ^ν＝－Ｊ^μによって,

Ｆ^μνＪ_ν＝－Ｆ^μν(∂Ｈ_νλ/∂ｘ_λ)

＝－∂(Ｆ^μνＨ_νλ)/∂ｘ_λ＋(∂Ｆ^μν/∂ｘ_λ)Ｈ_νλ

＝∂(Ｆ^μνＨ_λν)/∂ｘ_λ

＋(1/2)(∂Ｆ^μν/∂ｘ_λ＋∂Ｆ^λμ/∂ｘ_ν)Ｈ_νλ

＝∂(Ｆ^μνＨ_λν)/∂ｘ_λ－(1/2)(∂Ｆ^νλ/∂ｘ_μ)Ｈ_νλ

＝∂(Ｆ^μνＨ_λν)/∂ｘ_λ－(1/4)∂(Ｆ^νλＨ_νλ)/∂ｘ_μ

－(1/4){(∂Ｆ^νλ/∂ｘ_μ)Ｈ_νλ－Ｆ^νλ(∂Ｈ_νλ/∂ｘ_μ)}

が得られます。

したがって,

Ｆ^μνＪ_ν－(1/4){Ｆ^σλ(∂Ｈ_σλ/∂ｘ_μ)－(∂Ｆ^λσ/∂ｘ_μ)Ｈ_σλ}

＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ_νが成立します。

ただし,Ｓ^μν≡－η^νσＦ^μλＨ_σλ＋(1/4)Ｆ^λσＨ_λση^μν

です。

このテンソルＳ^μνの空間成分;Ｓ^ij≡－ｔ^ijを,

Ｅ＝(Ｅ¹,Ｅ²,Ｅ³)＝－ｃ(Ｆ⁰¹,Ｆ⁰²,Ｆ⁰³),

Ｂ＝(Ｂ¹,Ｂ²,Ｂ³)＝－(Ｆ²³,Ｆ³¹,Ｆ¹²),および

Ｄ＝(Ｄ¹,Ｄ²,Ｄ³)＝－ｃ^-1(Ｈ⁰¹,Ｈ⁰²,Ｈ⁰³),

Ｈ＝(Ｈ¹,Ｈ²,Ｈ³)＝－(Ｈ²³,Ｈ³¹,Ｈ¹²)

を用いて表わすと,

ｔ^ij＝ＥⁱＤ^j＋ＨⁱＢ^j－(1/2)(ＥＤ＋ＨＢ)δ^ij

となります。

それ故,Ｓ^μνの空間成分Ｓ^ijにマイナス符号をつけた

ｔ^ijは,静止系Ｓ⁰では物体におけるMaxwellの応力テンソル

に一致します。

さらに,Ｓ/ｃ≡(Ｓ⁰¹,Ｓ⁰¹,Ｓ⁰³)と定義すれば,Ｓ＝Ｅ×Ｈは

ポインティングベクトルになっています。

また,ｈ≡Ｓ⁰⁰とするとｈ＝(1/2)(ＥＤ＋ＨＢ)となります。

すなわち,静止系Ｓ⁰ではＳおよびｈはそれぞれ定常運動して

いる物体の電磁エネルギー流,および電磁エネルギー密度に

一致します。

また,ｃｇ≡(Ｓ¹⁰,Ｓ²⁰,Ｓ³⁰)で与えられる３次元ベクトル

をｇとするとｇ＝Ｄ×Ｂとなり,真空中の理論からのアナ

ロジーで,これは電磁運動量密度を示していると思われます。

これらのことから,

Ｆ^μνＪ_ν－(1/4){Ｆ^σλ(∂Ｈ_σλ/∂ｘ_μ)－(∂Ｆ^λσ/∂ｘ_μ)Ｈ_σλ}

＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ_ν の左辺がこの際の電磁的な４元力密度 ｆ^μ

であって,Ｓ^μνが電磁エネルギー運動量テンソルを表わしている

と暗示されます。

この結果,Ｓ,ｈ,ｇは静止系Ｓ⁰だけでなく,任意の座標系

Ｓにおいても電磁エネルギー流,電磁エネルギー密度,電磁

運動量密度に相当するものとして扱えると考えられます。

Ｓ,ｈ,ｇを上述のように表現することは,Minkowskiに始まります

が,これらはε＝ε₀,μ＝μ₀のときには,いずれも電子論における

表現形式に帰着します。

ところで,一般物質から成る対象帯電物体が均質かつ等方的

であれば,Ｆ^μνＪ_ν－(1/4){Ｆ^σλ(∂Ｈ_σλ/∂ｘ_μ)

－(∂Ｆ^λσ/∂ｘ_μ)Ｈ_σλ}＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ_ν の左辺第２項

はゼロになることを示せます。

すなわち,

(1/4){Ｆ^0σλ(∂Ｈ⁰_σλ/∂ｘ⁰_μ)－(∂Ｆ^0λσ/∂ｘ⁰_μ)Ｈ⁰_σλ}

＝(1/2)[Ｂ⁰(∂Ｈ⁰/∂ｘ⁰_μ)－Ｅ⁰(∂Ｄ⁰/∂ｘ⁰_μ)

－(∂Ｂ⁰/∂ｘ⁰_μ)Ｈ⁰＋(∂Ｅ⁰/∂ｘ⁰_μ)Ｄ⁰]

＝－(1/2)[|Ｈ⁰|²(∂μ/∂ｘ⁰_μ)＋|Ｅ⁰|²(∂ε/∂ｘ⁰_μ)]

となりますが,Ｓ⁰系でεとμが定数ならば最右辺はゼロです。

この式は座標系によらない表現なので,任意の系Ｓでもゼロである

というわけです。

こうして,均質かつ等方的な物体内部では,ｆ^μ＝Ｆ^μνＪ_ν

となりますが,Ｊ^μ＝(ｃρ,Ｊ)より,

ｆ^μ＝((ＥＪ)/ｃ,ρＥ＋(Ｊ×Ｂ))

を得ます。

つまり,ｆ＝ρＥ＋(Ｊ×Ｂ)

＝ρ[Ｅ＋(ｕ×Ｂ)]＋(Ｃ×Ｂ),

ｆ⁰＝(ＥＪ)/ｃ＝{Ｅ(ρｕ＋Ｃ)}/ｃ

(ρＥ~ｕ＋ＥＣ)/ｃ＝(ｆｕ＋Ｅ~Ｃ)/ｃ

となります。

すなわち,ｃｆ⁰＝ｆｕ＋Ｅ~Ｃですが,これは静止Ｓ⁰系(ｕ＝0)

では物体中の単位体積中で単位時間に発生する熱量＝ジュール熱

を表わしたもの;Ｅ~⁰Ｃ⁰＝ｑ⁰と一致しています。

一方,ｆｕはどんな座標系でも力学的仕事を示すので,

ｆ^μが相対論的力学において定式化された４元力密度の

一般的な表現形式:ｆ^μ＝((ｆｕ＋ｑ)/ｃ,ｆ)(ｑは単位時間

当りに系が自身の運動で放出する非力学的エネルギー)

と合致するためには,

先の式の項Ｅ^～Ｃがこのプロセスで発生する熱量率ｑを示して

いる,と考える必要があります。

実際,系の力学的エネルギーをＥ_mとすると,

ｃｆ⁰＝ｄＥ_m/ｄｔ＝(エネルギーの増加率)ですから,

これは力学系が受け取るエネルギー率そのものです。

そこで,独立な４個の方程式:ｆ^μ＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ^νは,

通常のエネルギー運動量の保存法則を示しています。

そして,ｆ^μ＝Ｆ^μνＪ_ν＝((ＥＪ)/ｃ,ρＥ＋(Ｊ×Ｂ))

から,ｆ^μＵ_μ＝Ｕ_μＦ^μνＪ_ν＝Ｕ⁰_μＦ^0μνＪ⁰_ν

＝(Ｅ⁰Ｊ⁰)＝ｑ⁰＝(不変量) が得られます。

ｑ⁰は静止系での力学的効果以外の効果を示しており,

もちろんLorentzスカラーですが,ｆ^μ＝((ｆｕ＋ｑ)/ｃ,ｆ),

Ｕ^μ＝(ｃ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,ｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)から得られる

ｆ^μＵ_μの表式において,ｕ＝0 とおけばわかるように,

ｑ⁰＝ｑ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,あるいはｑ＝ｑ⁰(1－ｕ²/ｃ²)^1/2

が成立します。

一方,先に同じく2008年5/30の記事

「電磁気学と相対論(6)(真空中の電磁気学５)」

で述べたように,

対象とする帯電物体の"密度(静止質量密度)をμとし,

μ⁰ を物質の不変質量密度(静止系での物質密度)とすれば,

μ＝μ⁰/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2と書けるので,

この物体の微小体積をΔＶとしたとき,これが従うべき運動

方程式は,ｄ(μ⁰ΔＶ⁰Ｕ^μ)/ｄτ＝ｆ^μΔＶ⁰ となります。

そして,この方程式が,∂(μ⁰Ｕ^μＵ^ν)/∂ｘ^ν＝ｆ^μなる式

と等価であることも示しました。

そこで,この両辺にＵ_μを掛けてμで縮約すると,

Ｕ^μＵ_μ＝ｃ^2,,かつＵ_μ(ｄＵ^μ/ｄτ)＝0 であって,

ｆ^μＵ_μ＝ｑ⁰なので,∂(μ⁰Ｕ^ν)/∂ｘ^ν＝ｑ⁰/ｃ²,

つまり∂μ/∂ｔ＋div(μｕ)＝ｑ⁰/ｃ²なる質量保存の

連続方程式が得られます。

連続方程式の右辺は質量の湧き出しですから,この式は

正に非力学的エネルギーｑ⁰,今の場合は,

"ｑ⁰＝(Ｅ⁰Ｊ⁰)＝(Ｅ~⁰,Ｃ⁰)＝(ジュール熱)"を受け取ること

によって,物質の固有質量がｑ⁰/ｃ²だけ増加することを意味

しています。

つまり,電磁場の話は質量とエネルギーについてのEinstein

の一般定理:Ｅ＝ｍｃ²の典型例の１つを示していると考えら

れます。

Minkowskiの電磁エネルギー運動量テンソル:

Ｓ^μν＝－η^νσＦ^μλＨ_σλ＋(1/4)Ｆ^λσＨ_λνη^μνは,

電子論の場合のそれと同じくトレ－スレス(対角和がゼロ)

という性質:Ｓ^μ_μ＝－Ｆ^μλＨ_μλ＋(1/4)4Ｆ^λσＨ_λσ＝0

を確かに満たしています。

しかし,Ｆ^μλＨ^ν_λ≠Ｆ^νλＨ^μ_λなのでＳ^μν≠Ｓ^νμとなり,

Ｓ^μνは対称テンソルではありません。

Ｓ^μνの空間部分:

Ｓ^ij＝－ｔ^ij＝－ＥⁱＤ^j－ＨⁱＢ^j＋(1/2)(ＥＤ＋ＨＢ)δ^ijは,

等方性物体なら静止系Ｓ⁰ではＤ⁰＝εＥ⁰,Ｂ⁰＝μＨ⁰なので,

対称テンソルですが,

時間と空間の混合成分は静止系でも,

Ｓⁱ⁰－Ｓ⁰ⁱ＝ｃ(ｇⁱ－Ｓⁱ/ｃ²)＝ｃ(εμ－ε₀μ₀)(Ｅ⁰×Ｈ⁰)≠0

となって確かに対称ではありません。

したがって,一般に等方性物体でもＳ⁰系以外ではＳ^ij≠Ｓ^ji

であって空間成分も非対称です。

こうしたMinkowskiのエネルギー運動量テンソルの非対称性

については長い間文献上で議論が続けられ,この非対称性の

中にMinkowski理論の真の難点が現われているという感があ

りました。

そこで,Abrahamは対称性を持つ電磁エネルギー運動量テンソル

の表現形式を作ってみました。

彼の電磁エネルギー運動量テンソルの表現:Ｓ_A^μνはとにかく

静止系Ｓ⁰で等方性物体の場合には,

Ｓ_A^ij＝－ｔ_A^ij＝－ＥⁱＤ^j－ＨⁱＢ^j＋(1/2)(ＥＤ＋ＨＢ)δ^ij,

Ｓ＝Ｅ×Ｈ＝ｃ(Ｓ_A⁰¹,Ｓ_A⁰¹,Ｓ_A⁰³),ｈ＝(1/2)(ＥＤ＋ＨＢ)

＝Ｓ_A⁰⁰となるように作られています。

しかし,電磁運動量密度ｇについては,

Mikowskiが,自身のテンソルＳ^μνから,

ｇ≡(Ｓ¹⁰,Ｓ²⁰,Ｓ³⁰)＝Ｄ×Ｂとして,これを与えたのに対し,

Abrahamは,あくまでもテンソルの対称性が保たれるように,

静止系Ｓ⁰でｇ＝(Ｅ×Ｈ)/ｃ²＝Ｓ/ｃ²の形をとるものと仮定

しました。

AbrahamのテンソルＳ_A^μνは,静止系Ｓ⁰では対称ですから,

任意の座標系Ｓでも対称です。

しかしＳ⁰系以外の任意系Ｓでの成分はＳ⁰系での表現:

Ｓ_A^ij＝－ｔ_A^ij＝－ＥⁱＤ^j－ＨⁱＢ^j＋(1/2)(ＥＤ＋ＨＢ)δ^ij,

Ｓ＝Ｅ×Ｈ＝ｃ(Ｓ_A⁰¹,Ｓ_A⁰²,Ｓ_A⁰³),ｈ＝(1/2)(ＥＤ＋ＨＢ)

＝Ｓ_A⁰⁰のような簡単な形にはならず,

場を示す変数Ｅ,Ｄ,Ｈ,ＢでＳ_A^μνを表わそうとすると,

物質速度を示すｕが非常に複雑な形で入ってきます。

そして,テンソルＳ_A^μνから方程式ｆ_A^μ＝－∂Ｓ_A^μν/∂ｘ^ν

を満たすものとして導かれるAbrahamの４元力密度ｆ_A^μは,先

の表現式:ｆ^μ＝Ｆ^μνＪ_ν＝((ＥＪ)/ｃ,ρＥ＋(Ｊ×Ｂ))から

のずれも,きわめて複雑な形になります。

Minkowskiの表現の場合,静止系でもＦ^μνＪ_νからのずれが,

－(1/4){Ｆ^0σλ(∂Ｈ⁰_σλ/∂ｘ⁰_μ)－(∂Ｆ^0λσ/∂ｘ⁰_μ)Ｈ⁰_σλ}

＝(1/2)[|Ｈ⁰|²(∂μ/∂ｘ⁰_μ)＋|Ｅ⁰|²(∂ε/∂ｘ⁰_μ)]であり,

これは均質,かつ等方的な物質内ならゼロになります。

一方,Abrahamの表現の場合には,静止系では空間成分の力の

密度:ｆ_Aが,ｆ_A＝ｆ＋{(εμ－ε₀μ₀)/ｃ²}(∂Ｓ/∂ｔ)と

表わせることがわかっています。

これによれば,Abrahamの力の密度:ｆ_AはMinkowskiのそれ:ｆ

よりも{(εμ－ε₀μ₀)/ｃ²}(∂Ｓ/∂ｔ)だけ異なります。

しかし,この違いを実験的に検証するのは困難らしいです。

そして,ごく最近まで,ほとんどの物理学者はAbrahamの理論

を採用する方向に向かっていましたが,これについてはまだ

決着が付いていたわけではなく,最近,Tamm(タム)はこの問題

の論議を再開して,結局,Minkowskiの表現形式の方が正しい

という結論を得ています。

(↑※最近というのは"参考文献＝メラーの著書"が書かれた

当時のことですが,現在については,まだ調べていません。)

すなわち,ある物体中の電磁場は本質的には閉じた系ではない

ため,電磁エネルギー運動量テンソルが対称であるべき,という

先験的理由(a-prioriな理由)はありません。

Abrahamがテンソルが対称であるべきことを主張する主な論拠は,

"巨視的理論に現われる諸量は,各々に対応する電子論の諸量を

適当な大きさの時空領域で平均して得られるべきで,電子論での

微視的なエネルギー運動量テンソルｓ^μνは対称なので,その平均

として得られるＳ^μν＝＜ｓ^μν＞も対称でなければならない。"

というものでした。

しかし,Tammが着目したのは,"巨視的テンソルＳ^μνは,必ずしも

ｓ^μνの平均＜ｓ^μν＞に一致する必要はなく,むしろＳ^μνが力

の密度,および力のモーメント(能率)を正しく与えるように定義

すべきである"ということです。

つまり,彼は,

"ｆ^μ＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ^ν＝－＜∂ｓ^μν/∂ｘ^ν＞,

および,α^μν＝ｘ^μｆ^ν－ｘ^νｆ^μ＋Ｓ^μν－Ｓ^νμ

＝－ｘ^μ(∂Ｓ^νλ/∂ｘ^λ)－ｘ^ν(∂Ｓ^μλ/∂ｘ^λ)＋Ｓ^μν－Ｓ^νμ

＝－＜ｘ^μ(∂ｓ^νλ/∂ｘ^λ)＞＋＜ｘ^ν(∂ｓ^μλ/∂ｘ^λ)＞

の成立を条件とすべきである"

と主張しました。

それ故,Tammによれば,ａ^μνを∂ａ^μν/∂ｘ^ν＝0 を満たす適切

な非対称テンソルとして,Ｓ^μν＝＜ｓ^μν＞＋ａ^μνと書かれる

べきことがいえるのみです。

そして,これを力のモーメントテンソルの等式

α^μν＝－ｘ^μ(∂Ｓ^νλ/∂ｘ^λ)－ｘ^ν(∂Ｓ^μλ/∂ｘ^λ)

＋Ｓ^μν－Ｓ^νμ

＝－＜ｘ^μ(∂ｓ^νλ/∂ｘ^λ)＞＋＜ｘ^ν(∂ｓ^μλ/∂ｘ^λ)＞

に代入すると,

－＜ｘ^μ(∂ｓ^νλ/∂ｘ^λ)＞＋＜ｘ^ν(∂ｓ^μλ/∂ｘ^λ)＞

＝－＜ｘ^μ＞＜∂ｓ^νλ/∂ｘ^λ＞＋＜ｘ^ν＞＜∂ｓ^μλ/∂ｘ^λ＞

が成立するときに限って,Ｓ^μνが対称となることがわかります。

そして,今の電磁場のテンソルの場合に,こうなる必然性はない

ということです。

さらに加えて,TammはMinkowskiのテンソル表現が電子論と一致

するのに反し,アブラハムの表現はある特別な場合には誤った

結果に導くことを示し得ました。

また,Dallenbachは電子論からMinkowskiのテンソルを一般的に

導く方法を与えました。

これらのことから,電磁エネルギー運動量テンソルは一般に

非対称であるとしてよいと思われますが,物質と電磁場の全

エネルギー運動量テンソルは依然として対称であると仮定

できます。

しかし,このときは逆に物質の力学的エネルギー運動量テンソル

が非対称になります。

これで「電磁場と相対論」のシリーズ記事は当面は終わりに

したいと思います。

そもそも,このシリーズは電場と電束密度,磁場と磁束密度の

関係を論じていた記事から派生したものでした。

参考文献：メラー 著(永田恒夫,伊藤大介 訳)

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