電磁場と相対論に関するシリーズ記事は一応終了しましたが,最後の物質中の電磁力学における電磁エネルギー運動量テンソルについてのMinkowskiの表現形式とAbrahamのそれについての論題が少し気になりました。
これは,解析力学における「Noether(ネーター)の定理」と関連づけて更に掘り下げた考察を行なうことが可能であると感じ,いささか個人的興味が湧いたので少し論じてみたいと思います。
電磁場に限らず,４次元Minkowski空間内の領域Σに例えば連続体の各点における変位などを表現した古典的な場φ(ｘ)＝{φi(ｘ)}があって系のLagrangian密度Ｌが場φi(ｘ)とその１階微分∂μφi(ｘ)の関数として
Ｌ(φi(ｘ),∂μφi (ｘ))で表わされるとします。
このとき,作用積分は,Ｓ[φ]＝∫Σｄ4ｘＬ(φi,∂μφi)
で与えられます。
そして場の従う基本的な運動方程式はφi(ｘ)の変分に対する作用Ｓの
停留条件:δＳ＝0 から決まります。
すなわち,系を支配する運動方程式は,δＳ/δφi
＝∂Ｌ/∂φi－∂μ{∂Ｌ/{∂μφi }]＝0 で与えられます。
これはよく知られた,Euler-Lagrange方程式です。
そして,「Noetherの定理」は"ある連続変換の下で作用Ｓが不変な場合には,その変換に対応した保存量が必ず存在する。"という定理です。
これの証明は,既に2008年２/29の記事「ネーターの定理と場理論」で行ないましたが,ここでは改めて概略的な証明を与えることにします。
以下,証明です。
ε＞0 を無限小パラメータとし,時空座標の変換ｘμ→ｘμ*＝ｘμ＋εημ,および,それとは独立な場の変換φi(ｘ)→φ*i(ｘ)＝φi(ｘ)＋εｇi(φj,∂μφj)があるとします。
これは,座標の変分δｘμ＝εημと共に場のLie(リー)変分:
δLφi(ｘ)＝εＧi(φj,∂μφj)＝ε[ｇi(φj,∂μφj)－ημ∂μφi]
があるとして表現されます。
この変換の下で作用積分Ｓが不変である,すなわちＳ[φ]＝Ｓ[φ*]が成立する,という対称性が存在するとします。
このことは,Lagrangian密度ＬのLie変分が高々全微分であること,
つまり,恒等的に,δLＬ
≡Ｌ(ｘ,φi*(ｘ),∂μφi*(ｘ))－Ｌ(ｘ,φi(ｘ),∂μφi(ｘ))
＝ε∂μＸμ(φj(ｘ),∂νφi(ｘ))と書けるある関数:
Ｘμ(φj,∂νφi)が存在することを意味します。
この命題については,先述の記事,2008年２/29の「ネーターの定理と場理論」に詳しい証明を与えてありますから,ここでは改めて証明することはせず単に認めることにします。
他方,変換:ｘ*μ＝ｘμ＋εημ,φi*(ｘ)＝φi(ｘ)＋εＧi(φj,∂μφj)の下でのLagrangianＬのLie変分δLＬを素朴なεの１次の変分項という意味で計算します。
δLＬ≡Ｌ(ｘ,φi*(ｘ),∂μφi*(ｘ))－Ｌ(ｘ,φi(ｘ),∂μφi(ｘ))
＝Σi[(∂Ｌ/∂φi)εＧi(φj,∂μφj)＋
{∂Ｌ/∂(∂μφi)}ε∂μＧi(φj,∂μφj)]－(∂μＬ)εημ
と書けます。
さらに,先に述べたEuler-Lagrange方程式:
∂Ｌ/∂φi－∂μ{∂Ｌ/∂(∂μφi)}＝0 によって,
上式の右辺の∂Ｌ/∂φiを∂μ{∂Ｌ/∂(∂μφi)}
で置き換えます。
このとき,δLＬ＝εΣi[∂μ{∂Ｌ/∂(∂μφi)}εＧi(φj,∂μφj)
＋{∂Ｌ/∂(∂μφi)}∂μＧi(φj,∂μφj)]－ε(∂μＬ)ημ
＝ε∂μ[Σi{∂Ｌ/∂(∂μφi)}Ｇi(φj,∂μφj)－Ｌημ]
となります。
ただし,ε＞0,および時空座標の変換:ｘ*μ＝ｘμ＋εημにおけるパラメータημが点ｘに依らない定数の大域的変換を仮定しています。
そこで,２つの方法で得られたＬのリー変分δLＬを等置することから,
δLＬ＝ε∂μ[Σi{∂Ｌ/∂(∂μφi)}Ｇi(φj,∂μφj)－Ｌημ]
＝ε∂μＸμ(φj,∂μφi)が得られます。
εは任意の定数パラメータなので,結局,
∂μ[Σi{∂Ｌ/∂(∂μφi)}Ｇi(φj,∂μφj)－Ｌημ－Ｘμ(φj,∂μφi)]
＝0
が成立することがわかります。
これは,ｊμ(ｘ)≡Σi{∂Ｌ/∂(∂μφi)}Ｇi(φj,∂μφj)－Ｌημ
－Ｘμ(φj,∂νφi)とおけば,∂μｊμ＝0 ,
つまり,カレントｊμ(ｘ)の保存を意味します。
こう定義したカレントｊμ(ｘ)を"Noether-current"と呼びます。
つまり,上記カレントｊμ(ｘ)の第 0 成分を用いて,Ｑ(ｔ)≡∫ｊ0(ｘ,t)ｄ3ｘなる量Ｑ(ｔ)を定義すると,∂μｊμ＝0 の結果から,
ｄＱ/ｄｔ＝0 となって,Ｑ(ｔ)はｔに依らないことがわかります。
ｔに依らず一定なので,Ｑ(ｔ)は単にＱと書いてもよく,このＱがカレント密度ｊ(ｘ,t)に対応する１つの保存量になるというわけです。
Ｑは保存量ですから,ある１つの物理量と同定されます。
以上で「Noetherの定理」の証明は終わりました。
ここで,古典解析力学で多体系に対して定義されるPoisson括弧式:
[ｕ,ｖ]P.B.
≡Σs[(∂ｕ/∂ｑs)(∂ｖ/∂ｐs)－(∂ｕ/∂ｐs)(∂ｖ/∂ｑs)]
を連続体の場の理論に拡張します。
場φi(ｘ)に正準共役な運動量πi(ｘ)をπi(ｘ)≡∂Ｌ/∂(∂0φi)
で定義して,Poisson括弧式を,
[ｕ,ｖ]P.B.
≡Σi[(∂ｕ/∂φi)(∂ｖ/∂πi)－(∂ｕ/∂πi)(∂ｖ/∂φi)]
とします。
これを使用すると,場の量φ＝{φi(ｘ)}とNoeter保存量:Ｑについては,
[φi(ｘ),Ｑ]P.B.＝Σk[(∂φi/∂φk)(∂Ｑ/∂πk)－(∂φi/∂πk)
(∂Ｑ/∂φk)]＝∂Ｑ/∂πiと書けます。
Ｑ＝∫ｊ0(ｘ,t)ｄ3ｘ,ｊ0(ｘ,t)＝ｊ0(ｘ)
＝Σk{∂Ｌ/∂(∂0φk)}Ｇk(φj,∂μφj)－Ｌη0－Ｘ0(φj,∂νφi)
＝ΣkＧk(φj,∂μφj)πk(ｘ)－Ｌη0－Ｘ0(φj,∂νφi)
です。
Ｇi(φj,∂μφj),Ｘμ(φj,∂νφi)が∂0φj,またはπjと独立な場合,
∂Ｑ/∂πi＝Ｇi(φj,∂μφj)なので,
[φi(ｘ),Ｑ]P.B.＝Ｇi(φj,∂μφj)なる等式が得られます。
すなわち,この無限小変換に際しては,δLφi＝ε∂Ｑ/∂πi
＝ε[φi(ｘ),Ｑ]P.B.が成立します。
このような関係を満たす量Ｑを,この変換の生成子(generator)
と呼びます。
理論を不変(作用を不変)に保つ対称性変換に対しては,Noether保存量Ｑが常にその変換の生成子になっていると考えられます。
一方,δLπi＝δL{∂Ｌ/∂(∂0φi)}＝∂(δLＬ)/∂(∂0φi)
＝ε{∂(∂μＸμ)/∂(∂0φi)}ですが,先にも述べたように,
Ｘμ(φj,∂νφi)が,∂0φjまたはπjと独立な場合を想定するなら,
δLπi＝0 です。
また,[πi(ｘ),Ｑ]P.B.＝Σk[(∂πi/∂φk)(∂Ｑ/∂πk)－(∂πi/∂πk)(∂Ｑ/∂φk)]＝－∂Ｑ/∂φiであることもわかります。
そこで,φi(ｘ),πi(ｘ)の汎関数で与えられる任意の物理量を,
Ａ＝Ａ(φj,πj)とすると,この対称性変換によるＡのLie変分は
δLＡ＝Σk[(∂Ａ/∂φk)δLφk＋(∂Ａ/∂πk)δLπk(ｘ)]で,
δLπk＝0 ゆえ,δLＡ＝εΣk(∂Ａ/∂φk)δLφkとなります。
一方,ε[Ａ,Ｑ]P.B.＝εΣk[(∂Ａ/∂φk)(∂Ｑ/∂πk)－(∂Ａ/∂πk)(∂Ｑ/∂φk)]＝Σk[(∂Ａ/∂φk)δLφk＋ε(∂Ａ/∂πk)(∂Ｑ/∂φk)]と書けます。
物理量ＱがδLφi＝ε∂Ｑ/∂πi＝ε[φi(ｘ),Ｑ]P.B.を満たし,変換の生成子となっている場合,
一般にδLＡ＝ε[Ａ,Ｑ]P.B.となるであろうという予測に基づいて考察していたのですが,今のところは,どうもうまくいきません。
古典論でLie微分とPoisson括弧は,HamiltonianをＨとして,
ｄＡ/ｄｔ＝[Ａ,Ｈ]P.B.なる関係があることから類推して,
Lie変分についてもPoisson括弧は同等な内容を与えるであろうと思ったのですが,当面はこの項目の議論を延期します。(Pendingです。)
(Arnoldの「古典力学の数学的方法」やAi.George(ジョージ・アイ)の「物理学におけるリー代数」,あるいは微分幾何や力学系の本でも読めばいいのかしら。。)
今は古典場の話をしているのですが,ｕ,ｖが量子論の演算子,または作用素である場合には[ｕ,ｖ]を交換子:[ｕ,ｖ]≡ｕｖ－ｖｕと定義します。
古典論のPoisson括弧と量子論の交換子の間に[ｕ,ｖ]Ｐ.Ｂ.＝[ｕ,ｖ]/(ｉｈc)なる対応原理を与えれば,これは古典論を量子化して量子論にすることと同等であるという命題が,Diracらによって示された,という歴史的経緯もあります。
ただし,ｈc≡ｈ/(2π)はPlanck定数です。
この対応原理を適用すれば,古典論の生成子Ｑに対する
[φi(ｘ),Ｑ]P.B.＝Ｇi(φj,∂μφj)なる基本式は,
Ｑが演算子であって,場φi(ｘ)が量子場を示す演算子である場合には,
(ｉ/ｈc)[Ｑ,φi(ｘ)]＝Ｇi(φj,∂μφj)なる表式に変わります。
そこで,この対称性変換での量子場の無限小変換は,
φi(ｘ)＋δLφi(ｘ)＝φi(ｘ)＋εＧi(φj,∂μφj)
＝φi(ｘ)＋(ｉε/ｈc)[Ｑ,φi(ｘ)] と書けます。
ここで,θをパラメータとする場φi(ｘ)のユニタリ(unitary)変換:
exp(iθＱ/ｈc)φi(ｘ)exp(－iθＱ/ｈc)を考えると,
この変換において,特にθが無限小:θ＝εの場合,
これはexp(iεＱ/ｈc)φi(ｘ)exp(－iεＱ/ｈc)
＝φi(ｘ)＋(ｉε/ｈc)[Ｑ,φi(ｘ)]と書けるので,
φi(ｘ)＋εＧi(φj,∂μφj)
＝exp(iεＱ/ｈc)φi(ｘ)exp(－iεＱ/ｈc) となります。
したがって,この変換に伴なって場が受ける変換は,Noether保存量Ｑに相当する演算子を生成子(generator)としたユニタリ変換という形で表現されることがわかります。
そして,古典場の場合と同様,Ａをφi(ｘ),πi(ｘ)の任意の汎関数とすると,δLＡ＝(ｉε/ｈc)[Ｑ,Ａ]ですから,
exp(iεＱ/ｈc)Ａexp(－iεＱ/ｈc)＝Ａ＋δLＡとなるはずです。
これ以上の余談的な考察を続けるには,対称性変換が線型リー群と呼ばれる変換群を形成し,群全体の代数的性質を決定するには無限小(接触)変換を調べれば十分であること,
それ故,"群の生成子の線型結合やそのPoisson括弧,または交換子で構成される線形空間＝リー環,あるいはリー代数"の構造を調べればよい,とかいった数学的議論になると思われるので,
何かその種の数学の本を参照しなければ無理ですが,この記事での本題ではないので,そうしたことは,またの機会に譲って次に移ります。
今,必要なのは場のエネルギー運動量テンソルですが,これは並進,つまり,時空座標の平行移動変換:ｘ*μ＝ｘμ＋εημ＝ｘμ－δμに対して作用が不変なこと,
すなわち,時空の一様性,言い換えると時空座標の原点をどこに取ろうと理論は同じであるという性質から得られるNoether保存量です。
この対称性を有するLagrangian密度Ｌは,これまで前提としてきた最も一般的な形の座標ｘを陽に含んだもの:Ｌ(ｘ,φi(ｘ),∂μφi(ｘ))ではなくて,ｘを陽には含まないＬ(φi(ｘ),∂μφi(ｘ))なる形と考えます。
そして,この場合の変換ではｇi≡0 なので,ｘ*μ＝ｘμ＋εημ＝ｘμ－δμに伴なうφiのLie変分はδLφi(ｘ)＝εＧi(φj,∂μφi)＝δρ∂ρφj(ｘ)となります。
また,ＳだけでなくＬもこの座標変換の不変量であると考えると,δLＬ＝ε∂μ[Σi{∂Ｌ/∂(∂μφi)}Ｇi(φj,∂μφj)]＝ε∂μＸμ(φj,∂μφi)＝δρ∂ρＬ が成立します。
そこで,関数Ｌが座標ｘに陽には依存しない場合のNoeter保存カレントの表式:ｊμ(ｘ)＝Σi{∂Ｌ/∂(∂μφi)}Ｇi(φj,∂μφj)－Ｘμ(φj,∂νφi)の両辺にεを掛けた等式で,εＧi(φj,∂μφi)＝δρ∂ρφj,εＸμ(φj,∂νφi)＝δρ∂ρＬを代入します。
この時空座標の平行移動の対称変換については「Noetherお定理」の証明における最後の式ε∂μｊμ(ｘ)＝0 を意味するものとして,δρ∂μ[Σi{∂Ｌ/∂(∂μφi)}∂ρφi－δρμＬ]＝0 なる恒等式が得られます。
したがって,この場合は唯一の無限小パラメータεに関する恒等式:
ε∂μｊμ(ｘ)＝0 から,唯一のカレントｊμ(ｘ)の保存:
∂μｊμ(ｘ)＝0を導き出した前記の証明での手続きにおけるものとは違う形の恒等式が得られます。
すなわち,ρ＝0,1,2,3の各々に対応した独立な４つの任意パラメータδρに関する恒等式:δρ∂μ[Σi{∂Ｌ/∂(∂μφi)}∂ρφi－δρμＬ]＝0
を得ます。
それぞれのρに対応して,∂μｊρμ(ｘ)＝0 を満たす４つのNoether保存カレントｊρμ(ｘ)が存在することがわかります。
それらは,ｊρμ(ｘ)＝Σi{∂Ｌ/∂(∂μφi)}∂ρφi－δρμＬ
で表現されます。
そして,これら時空座標の平行移動に対する理論の不変性に伴なうカレントｊρμ(ｘ)を特にＴρμ(ｘ)と書いて,これを(正準)エネルギー運動量テンソル(canonical energy-momentum tensor)と呼びます。
この場合,保存カレントｊμ(ｘ)の第ゼロ成分から構成され,変換の生成子を形成するNoether保存量:Ｑ＝∫ｊ0(ｘ,t)ｄ3ｘも４つの保存カレントｊρμ(ｘ)＝Ｔρμ(ｘ)に対応して,ρ＝0,1,2,3の各々の平行移動変換の生成子を形成します。
これら４つの"生成子＝Noether保存量"をＱρ≡∫Ｔρ0(ｘ,t)ｄ3ｘと表記することにします。
さらに,混合テンソル表現;Ｔμν＝Σi{∂Ｌ/∂(∂νφi)}∂μφi－δμνＬを反変テンソル表現に変えて,
Ｔμν＝ημρＴρν＝Σi {∂Ｌ/∂(∂νφi)}∂μφi(ｘ)－ημνＬ
と表わせば,Ｑμ＝∫Ｔμ0(ｘ,t)ｄ3ｘと書けます。
ところが,元々Noether保存カレントやNoether保存量は,全体に共通の定数を乗じても保存方程式を満たす保存量としての意味は同じです。
これは,単位はどのように取ってもかまわない,という意味でもありますが,要するに,その定義には定数係数だけの任意性があり一般に一意には決まりません。
しかし,時間の一様性,つまり時間ｔについての無限小平行移動:ｔ*＝ｔ－ηに対する不変性に伴なう"Noether保存量＝生成子"は系のエネルギーＥであり,空間ｘについての無限小平行移動ｘ*＝ｘ－δに対する不変性に伴なう"Noether保存量＝生成子"は系の運動量Ｐである,とされています。
また,Ｑ0＝∫Ｔ00(ｘ)ｄ3ｘ＝∫[Σi{∂Ｌ/∂(∂0φi)}∂0φi－Ｌ]ｄ3ｘの右辺は,系のLagrangianをＬ＝∫Ｌｄ3ｘと書いたとき,
多粒子系のHamiltonian:Ｈ＝Σi{∂Ｌ/∂(ｄｑi/ｄｔ)}(ｄｑi/ｄｔ)
－Ｌ＝Σiｐi(ｄｑi/ｄｔ)－Ｌの連続体への拡張になっていることが
明らかです。
それ故,Ｑ0は系のエネルギーＥを意味すると考えられるので,
Ｑ0＝Ｅ＝∫Ｔ00(ｘ)ｄ3ｘと書けます。
ところが,時空座標の無限小の平行移動ｘ*μ＝ｘμ－δμのうち,特に保存量:Ｑ0の存在を保証する第ゼロ成分の座標ｘ0＝ｃｔに関する平行移動:
ｘ*0＝ｘ0－δ0を,時間座標ｔに関するそれで表現すると,
ｃｔ*＝ｃｔ－δ0,またはｔ*＝ｔ－δ0/ｃとなります。
そこで,恒等式δρ∂μＴρμ(ｘ)＝δρ∂μ[Σi{∂Ｌ/∂(∂μφi)}∂ρφi(ｘ)－δρμＬ]＝0 から決まるカレントＴρμ(ｘ)によって,
Ｑ0＝Ｅ＝∫Ｔ00(ｘ)ｄ3ｘを与える恒等式のρ＝0 の成分に対する係数パラメータはδ0ではなく,ｔ*＝ｔ－δ0/ｃに対応してδ0/ｃです。
パラメータ係数δρの無限小変換から定まるカレントＴρμ(ｘ),あるいは保存量Ｑρをρについて対等に扱うと,
ρ＝0 のｔ*＝ｔ－δ0/ｃに対応するＱ0＝Ｅから,保存量の反変ベクトル
Ｑμ＝(Ｑ0,Ｑ)が,４元運動量ＰμによりＱμ＝Ｐμ/ｃ＝(Ｅ,Ｐ/ｃ)
と表現できることがわかります。
余談ですが,一般に時空の一様性は,対象領域が空間の一部に限定されたような場合には成立しません。
例えば熱統計力学を考察する際に通常設定される狭い箱の中に閉じ込められた多粒子系というモデルでは,空間の一様性に起因する運動量保存は成立せず,時間の一様性によるエネルギー保存のみが成立します。
さて,電磁場の場合,私がかつて学生時代の専門としていたQED(量子電磁力学)のように微視的個数の電子と光子の衝突散乱などを対象とする場合,
空気のような媒質中の現象を対象とする場合は,物質中の電場,磁場でも真空中の微視的効果の巨視的平均と考える「Lorentzの電子論」と同じく,基本的に光子を表わすものとして真空中の電磁場のみを考えます。
そして真空中の物理系であれば「電磁気学と相対論(6)(真空中の電磁気学５)」で書いたように,不変質量密度がμ0で携帯電流密度がｓμの真空中にある連続物質の帯電体も含め,
系全体のLagrangian密度はＬ＝－(ｃ2ε0/4)ＦμνＦμν－Ａμｓμ－μ0ｃ2＝(－ｃ2ε0/4)(∂Ａν/∂ｘμ－∂Ａμ/∂ｘν)(∂Ａν/∂ｘμ－∂Ａμ/∂ｘν)－Ａμｓμ－μｃ2(1－ｕ2/ｃ2)1/2と書けます。
そして,自由物質場の項:－μ0ｃ2や電磁場と物質電荷密度の相互作用項－Ａμｓμを除いた自由電磁場のLagrangian密度項は,
ＬE≡－(ｃ2ε0/4)ＦμνＦμνとなります。
この総Lagrangian密度Ｌに対して上述のEuler-Lagrangeの運動方程式:
{∂Ｌ/∂φi}－∂μ{∂Ｌ/(∂μφi)}＝0 における場φi(ｘ)を,
電磁場Ａν(ｘ)に置き換えれば,確かに電磁場のMaxwell方程式:
∂Ｆμν/∂ｘν＝－ｓμ/(ｃ2ε0)が得られます。
そして,このLagrangian密度ＬからNoether定理に基づく系の(正準)エネルギー運動量テンソルの反変テンソル表現Ｔμνを求めると,
Ｔμν＝Σi{∂Ｌ/∂(∂νφi)}∂μφi(ｘ)－ημνＬ
＝{∂Ｌ/∂(∂νＡρ)}∂μＡρ－ημνＬ となります。
これが,先に別の考察から得られたエネルギー運動量テンソルの表現:
Ｔμν＝θμν＋Ｓμν,θμν≡μ0ＵμＵν,
Ｓμν≡－(ｃ2ε0)[ＦλμＦλν－(1/4)ημν(ＦσρＦσρ)]
＝－(ｃ2ε0)[ημδＦλδＦλν－(1/4)ημν(ＦσρＦσρ)]
と完全に一致すればよかったのですが,実は∂ｔμν/∂ｘν＝0 を満たす
テンソルｔμνだけ違っています。
すなわち,真空中で特に物質場を無視した電磁場単独のLagrangian密度:
ＬE＝－(ｃ2ε0/4)ＦμνＦμνに対し,Noether保存量として得られるエネルギー運動量テンソルの反変テンソル表現は,
ＴEμν＝{∂ＬE/∂(∂νＡρ)}∂μＡρ－ημνＬE
＝－(ｃ2ε0)[－ημδ∂δＡλＦλν－(1/4)ημν(ＦσρＦσρ)]
となります。
上にも述べたように,この表現は真空中の電磁気学のこれまでの議論から得られた電磁エネルギー運動量テンソルの表現:
Ｓμν＝－(ｃ2ε0)[ημδＦλδＦλν－(1/4)ημν(ＦσρＦσρ)]
とは微妙に異なっていて.
ｔμν≡－(ｃ2ε0)ημδ∂λＡδＦλνとすれば
Ｓμν＝ＴEμν＋ｔμνとなります。
Noetherの定理によって,もちろん∂ＴEμν/∂ｘν＝0 ですが,
運動方程式:∂Ｆμν/∂ｘν＝0 より,明らかに
∂ｔμν/∂ｘν＝－(ｃ2ε0)ημδ(∂λ∂νＡδ)Ｆλν＝0 ですから
ＴEμν,Ｓμνのいずれを電磁エネルギー運動量テンソルとして採用しても問題はありません。
しかし,Ｓμνの方は対称テンソルでかつtraceless(対角和がゼロ)という閉じた系でのエネルギー運動量テンソルの条件を全て満足していますから,
通常は素朴なNoetherカレントＴEμνではなく,これにｔμνを加えたＳμνを電磁エネルギー運動量テンソルとします。
物質中と異なり真空中の電磁場については,これで異論もなく全く問題はありません。
一方,物質中の電磁場に対するMinlowskiの電磁エネルギー運動量テンソルＳμνもAbrahamのそれ:ＳAμνも,元々物質が電磁気的に等方的な場合,
すなわち,εを誘電率,μを透磁率として,ＨμνＵν/ｃ2
＝εＦμνＵν,ＦμνＵλ＋ＦνλＵμ＋ＦλμＵν
＝μ(ＨμνＵλ＋ＨνλＵμ＋ＨλμＵν)と書ける場合,
ε→ε0,μ→μ0としたとき真空のＳμνに帰するよう作られています。
そして,Minkowskiの電磁エネルギー運動量テンソル:Ｓμν＝－ηνσＦμλＨσλ＋(1/4)ＦλσＨλσημνが,(正準)エネルギー運動量テンソル:
ＴEμν＝ημρＴEρν＝{∂ＬE/∂(∂νＡρ)}∂μＡρ－ημνＬE に,
ｔμνを除いて一致するような電磁場のLagrangian密度ＬEを考えて,
ＬE＝－(1/4)ＦλσＨλσとします。
これは,ε→ε0,μ→μ0では確かに真空中のLagrangian密度:
ＬE＝－(ｃ2ε0/4)ＦμνＦμνに一致します。
このＬE＝－(1/4)ＦλσＨλσにおいて,Ｆλσ＝∂λＡσ－∂σＡλであり,
Ｓ0系ではＬE0＝－(1/4)Ｆ0λσＨ0λσ＝－(ｃ2ε/4)Ｆ0λσＦ0λσです。
(正準)エネルギー運動量テンソル:ＴE0μνはＴE0μν＋ｔ0μν
＝{∂ＬE0/∂(∂0νＡρ)}∂0μＡ0ρ－ημνＬE0＋ｔ0μν
＝－ηνσＦ0μλＨ0σλ＋(1/4)Ｆ0λσＨ0λσημν＝Ｓ0μν
となります。
すなわち,静止系Ｓ0ではＴE0μν＋ｔ0μνはMinkowskiの電磁エネルギー運動量テンソルＳ0μνに一致します。
そこで,テンソルの性質から任意のＳ系においてもＴEμν＋ｔμν＝ημρＴEρν＝{∂ＬE/∂(∂νＡρ)}∂μＡρ－ημνＬE＋ｔμν＝Ｓμνです。
それ故,Noether理論による電磁エネルギー運動量テンソルＴEμν＋ｔμνが,Minkowskiの電磁エネルギー運動量テンソルＳμνに一致することがわかります。
さらに,系全体のLagrangian密度は携帯電流密度ｓμを全電流密度Ｊμに変えた形のＬ＝ＬE－ＡμＪμ－μ0ｃ2
＝－(1/4)ＦλσＨλσ－ＡμＪμ－μｃ2(1－ｕ2/ｃ2)1/2になります。
そこで,Ａν(ｘ)についてのEuler-Lagrangeの運動方程式
{∂Ｌ/∂Ａν}－∂μ{∂Ｌ/(∂μＡν)}＝0 も拡張されたMaxwell方程式
である∂Ｈμν/∂ｘν＝－Ｊμになります。
したがって,Noetherの定理の観点から電磁エネルギー運動量テンソルを見直すなら,Abrahamの表現と比較してMinkowskiの表現の優越性が示されるようです。
部分的な電磁場のみのテンソル:ＴEμν＋ｔμν＝Ｓμνが非対称でも,物質場を含めた全体のテンソルＴμν＝θμν＋Ｓμνは対称テンソルになることが可能なので,電磁エネルギー運動量テンソルについてはMinkowskiの非対称な表現でも問題ないと思います。
参考文献:九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館),L.Fonda and G.C.Ghirardy 著「Symmetry Principles In Quantum Physics」(Marcel Dekker Inc. New.York(1970))
ＰＳ：「インターネット検索」から,Michael Forger and Hartmann Römerによる表題「Currents and the Energy-Momentum Tensor in Classical Field Theory」の2003年の論文:
(http://arxiv.org/abs/hep-th/0307199)を見つけて入手しましたが,
印刷すると91ページの大部で読むだけでも大変です。
そこで,取り合えずざっと眺めてみましたが,その限りでは上で論じたような計量が平坦なημνの時空上だけではなく,一般の曲がった計量ｇμνを持つ時空上の話を想定しているようです。
平坦な時空でNoether保存量としてエネルギー運動量テンソルを得る基になった時空の対称性,すなわち単純な"時空座標の平行移動に対する不変性＝時空の大域的一様性"は曲がった時空においては局所的領域で考える必要があることなども述べられています。
そして,電磁場のようなゲージ(gauge)場と物質場との総和の総Lagrangian:Ｌ＝Ｌg＋Ｌmを考えているわけですが,
Ｌgを自由ゲージ場のLagrangianとして,物質場とゲージ場の相互作用項はＬmの中に含めた表現を取るとき,Ｌgについては論じる必要がなく改善された正しい総エネルギー運動量テンソルは物質場のLagrangianＬmのみから決まるということが述べられています。
次に,上のＬmをさらに物質場と"時空自身の重力場＝ゲージ場"とに分割して改めてＬg＋Ｌmと書けば,Noether保存量として得られる総エネルギー運動量テンソルＴμνはＴμν＝－2δＬm/δｇμνなる式で与えられ,
これはｇμνが対称なので必然的に対称テンソルであるという話を数学的に展開しているようです。
これは真空中の場であり,それゆえ上記ブログ記事での物質中の電磁場のMinkowskiやAbrahamの話とは関係がなさそうです。
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http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン！メディエーター巣鴨店」
http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。
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