ネーターの定理と電磁エネルギー運動量テンソル(補遺)

前記事「ネーターの定理と電磁エネルギー運動量テンソル」で延期(Pending)にしておいた問題について気になっていたので,他の事をやっている合間にも細々と考えたり計算していたら何とか解決したので,補足記事にしておきます。

まずは,問題そのものがどうだったか？について思い出すために,前記事のその部分を再掲します。

(※再掲開始)

ここで,古典解析力学で多体系に対して定義されるPoisson括弧式:

[ｕ,ｖ]_P.B.

≡Σ_s[(∂ｕ/∂ｑ_s)(∂ｖ/∂ｐ_s)－(∂ｕ/∂ｐ_s)(∂ｖ/∂ｑ_s)]

を連続体の場の理論に拡張します。

場φ_i(ｘ)に正準共役な運動量π_i(ｘ)を,π_i(ｘ)≡∂Ｌ/∂(∂₀φ_i)

で定義して,Poissojn括弧式を,

[ｕ,ｖ]_P.B.

≡Σ_i[(∂ｕ/∂φ_i)(∂ｖ/∂π_i)－(∂ｕ/∂π_i)(∂ｖ/∂φ_i)]

とします。

これを使用すると,場の量φ＝{φ_i(ｘ)}とNoether保存量:Ｑについては[φ_i(ｘ),Ｑ]_P.B.＝Σ_k[(∂φ_i/∂φ_k)(∂Ｑ/∂π_k)－(∂φ_i/∂π_k)(∂Ｑ/∂φ_k)]＝∂Ｑ/∂π_iと書けます。

Ｑ＝∫ｊ⁰(ｘ,t)ｄ³ｘ,ｊ⁰(ｘ,t)＝ｊ⁰(ｘ)

＝Σ_k{∂Ｌ/∂(∂₀φ_k)}Ｇ_k(φ_j,∂_μφ_j)－Ｌη⁰－Ｘ⁰(φ_j,∂_νφ_i)

＝Σ_kＧ_k(φ_j,∂_μφ_j)π_k(ｘ)－Ｌη⁰－Ｘ⁰(φ_j,∂_νφ_i) です。

Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j),Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)が,∂₀φ_j,またはπ_jと独立な場合,

∂Ｑ/∂π_i＝Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)なので,

[φ_i(ｘ),Ｑ]_P.B.＝Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j) なる等式が得られます。 

すなわち,この無限小変換に際しては,δ_Lφ_i＝ε∂Ｑ/∂π_i

＝ε[φ_i(ｘ),Ｑ]_P.B. が成立します。

このような関係を満たす量Ｑを,この変換の生成子(generator)

と呼びます。

理論を不変(作用を不変)に保つ対称性変換に対しては,Noether保存量:Ｑは常にその変換の生成子になっていると考えられます。

一方,δ_Lπ_i＝δ_L{∂Ｌ/∂(∂₀φ_i)}＝∂(δ_LＬ)/∂(∂₀φ_i)

＝ε{∂(∂_μＸ^μ)/∂(∂₀φ_i)}ですが,先にも述べたように,

Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)が,∂₀φ_j,またはπ_jと独立な場合を想定するなら,

δ_Lπ_i＝0 です。

また,[π_i(ｘ),Ｑ]_P.B.＝Σ_k[(∂π_i/∂φ_k)(∂Ｑ/∂π_k)－(∂π_i/∂π_k)(∂Ｑ/∂φ_k)]＝－∂Ｑ/∂φ_iであることもわかります。

そこで,φ_i(ｘ),π_i(ｘ)の汎関数で与えられる任意の物理量を,

Ａ＝Ａ(φ_j,π_j)とすると,この対称性変換によるＡのLie変分は

δ_LＡ＝Σ_k[(∂Ａ/∂φ_k)δ_Lφ_k＋(∂Ａ/∂π_k)δ_Lπ_k(ｘ)]で,

δ_Lπ_k＝0 ゆえ,δ_LＡ＝εΣ_k(∂Ａ/∂φ_k)δ_Lφ_k となります。

一方,ε[Ａ,Ｑ]_P.B.＝εΣ_k[(∂Ａ/∂φ_k)(∂Ｑ/∂π_k)－(∂Ａ/∂π_k)

(∂Ｑ/∂φ_k)]＝Σ_k[(∂Ａ/∂φ_k)δ_Lφ_k＋ε(∂Ａ/∂π_k)(∂Ｑ/∂φ_k)]

と書けます。

物理量Ｑが,δ_Lφ_i(ｘ)＝ε∂Ｑ/∂π_i＝ε[φ_i(ｘ),Ｑ]_P.B.を満たし,

変換の生成子となっている場合,

一般に,δ_LＡ＝ε[Ａ,Ｑ]_P.B.となるであろうという予測に基づいて考察していたのですが,今のところは,どうもうまくいきません。

古典論でLie微分とPoisson括弧は,HamiltonianをＨとして,

ｄＡ/ｄｔ＝[Ａ,Ｈ] _P.B.なる関係があることから類推して,

Lie変分についてもPoisson括弧は同等な内容を与えると思ったのですが,

当面はこの項目の議論を延期します。(Pendingです。)

(再掲終わり※)

こういうのは解析力学の原点に帰って,１変数ｑのｔを陽には含まないLagrangian;Ｌ＝Ｌ(ｑ,ｑ^d)で考えるのが一番です。

ここでは,簡単のためｑ^d＝ｑ^dot≡ｄｑ/ｄｔとしました。

そして,δ_Lｑ≡εＧなる変換ｑ→ｑ＋δ_Lｑ＝ｑ＋εＧに対して,

δ_LＬ＝εｄＸ(ｑ,ｑ^d,ｔ)/ｄｔ＝ε[∂Ｘ/∂ｔ＋(∂Ｘ/∂ｑ)ｑ^d

＋(∂Ｘ/∂ｑ^d)(ｄｑ^d/ｄｔ)]と書ける場合を考察します。

δ_LＬ＝(∂Ｌ/∂ｑ)δ_Lｑ＋(∂Ｌ/∂ｑ^d)δ_Lｑ^dですが,

δ_Lｑ^d＝δ_L(ｄｑ/ｄｔ)＝ｄ(δ_Lｑ)/ｄｔです。

運動方程式であるEuler-Lagrange方程式:

(∂Ｌ/∂ｑ)－ｄ(∂Ｌ/∂ｑ^d)/ｄｔ＝0 から,

∂Ｌ/∂ｑ＝ｄ(∂Ｌ/∂ｑ^d)/ｄｔを代入すれば,

δ_LＬ＝{ｄ(∂Ｌ/∂ｑ^d)/ｄｔ}δ_Lｑ＋ｄ(δ_Lｑ)/ｄｔ

＝ｄ{(∂Ｌ/∂ｑ^d)δ_Lｑ}/ｄｔ＝εｄ{(∂Ｌ/∂ｑ^d)Ｇ}/ｄｔ

が得られます。

一方,既に述べたようにδ_LＬ＝εｄＸ/ｄｔと書けると仮定しているので,上のδ_LＬの表式の最右辺と等置すれば,

εｄ{(∂Ｌ/∂ｑ^d)Ｇ}/ｄｔ＝εｄＸ/ｄｔ　です。

そこで,Ｑ≡(∂Ｌ/∂ｑ^d)Ｇ－Ｘとおけば,ｄＱ/ｄｔ＝0 となりますが,

このＱが先の記事でも述べたような,この変換ｑ→ｑ＋δ_Lｑ＝ｑ＋εＧ

に伴なうNoether保存量です。

そして,ｑに正準共役な運動量ｐ≡(∂Ｌ/∂ｑ^d)を定義して,ｑ,ｐによる

Poisson括弧で表現することを考えれば,Ｑ＝ｐＧ－Ｘなので,

[ｑ,Ｑ]_P.B.＝∂Ｑ/∂ｐ＝Ｇ＋ｐ(∂Ｇ/∂ｐ)－(∂Ｘ/∂ｐ)]

となります。

そして,関数:Ｘ＝Ｘ(ｑ,ｑ^d,ｔ)が特にＸ＝Ｘ(ｑ,ｔ)とｑ,ｔのみの関数の場合には,もちろん∂Ｘ/∂ｐ＝0 です。

また,ｐ＝(∂Ｌ/∂ｑ^d)を逆に解いたｑ^d＝ｑ^d(ｐ,ｑ)に対して,無限小変換ｑ→ｑ＋δ_Lｑ＝ｑ＋εＧにおける関数Ｇのｐに対する依存性は.

Ｇ＝Ｇ(ｑ,ｑ^d)＝Ｇ(ｑ,ｑ^d(ｐ,ｑ))で与えられます。

この変換が座標ｑに依らない大域的変換であるとすれば,Ｇはｑの時間微分ｑ^dにも依存せず,したがってｐにも依存しないので∂Ｇ/∂ｐ＝0 となるはずですから,結局,[ｑ,Ｑ]_P.B.＝∂Ｑ/∂ｐ＝Ｇとなります。 

そこで,δ_Lｑ＝ε[ｑ,Ｑ]_P.B.＝ε∂Ｑ/∂ｐが成立し,やはりNoether保存量Ｑがこの変換の生成子といえることがわかります。

一方,ｐ＝(∂Ｌ/∂ｑ^d)なので,δ_Lｐ＝δ_L(∂Ｌ/∂ｑ^d)

＝∂(δ_LＬ)/∂ｑ^dであり,仮定:δ_LＬ＝εｄＸ/ｄｔによって

δ_Lｐ＝ε∂(ｄＸ/ｄｔ)/∂ｑ^dと書けます。

そして,今はこのδ_LＬを与える関数Ｘ＝Ｘ(ｑ,ｑ^d,ｔ)が,Ｘ＝Ｘ(ｑ,ｔ)のようにｑ,ｔのみの関数形に書ける場合を考えています。

先の記事では,ｄＸ/ｄｔがｑ^dに独立なためδ_Lｐ＝0 になると早合点しましたが,実はＸがｑ^dに独立でもｄＸ/ｄｔはｑ^dに独立ではなく,

ｄＸ(ｑ,ｔ)/ｄｔ＝∂Ｘ/∂ｔ＋(∂Ｘ/∂ｑ)ｑ^dとなります。

これは簡単なｑ^dの１次式ですから,δ_Lｐ＝ε∂(ｄＸ/ｄｔ)/∂ｑ^d

＝ε∂Ｘ/∂ｑとなってδ_Lｐはゼロではありません。

一方,Ｑ＝ｐＧ－Ｘより,[ｐ,Ｑ]_P.B.＝－∂Ｑ/∂ｑ

＝－ｐ(∂Ｇ/∂ｑ)＋(∂Ｘ/∂ｑ)ですから,変換ｑ→ｑ＋δ_Lｑ

＝ｑ＋εＧが,やはり座標ｑに依らない大域的変換であるとすれば,

∂Ｇ/∂ｑ＝0 なので,[ｐ,Ｑ]_P.B.＝∂Ｘ/∂ｑ

となることがわかります。

これと,上のδ_Lｐ＝ε∂Ｘ/∂ｑなる表式を比較すれば,

δ_Lｐ＝ε[ｐ,Ｑ]_P.B.＝－ε∂Ｑ/∂ｑ が得られます。

以上から,δ_Lｑ＝ε[ｑ,Ｑ]_P.B.＝ε∂Ｑ/∂ｐ,δ_Lｐ＝ε[ｐ,Ｑ]_P.B.

＝－ε∂Ｑ/∂ｑであり,結局ｑ,ｐの任意関数Ａ＝Ａ(ｑ,ｐ)に対して,

δ_LＡ＝(∂Ａ/∂ｑ)δ_Lｑ＋(∂Ａ/∂ｐ)δ_Lｐ

＝ε[(∂Ａ/∂ｑ)(∂Ｑ/∂ｐ)－(∂Ａ/∂ｐ)(∂Ｑ/∂ｑ)],

つまり,δ_LＡ＝ε[Ａ,Ｑ]_P.B.なる等式が得られることがわかりました。

結局,理論の対称性を示す無限小変換:ｑ→ｑ＋δ_Lｑ＝ｑ＋εＧに対し,

Noether保存量をＱとすると,任意の物理量に対して常に,

δ_LＡ＝ε[Ａ,Ｑ]_P.B.が成立する,という法則が得られました。

そこで,改めてＱが変換の生成子(generator)であるとは,こういう意味だったのか,と再認識することができました。

また,古典論ではLie変分とPoisson括弧が同等な意味を持っていること,

もわかりました。

１変数の考察を多変数に拡張し,さらに連続的な場の量に対するものに拡張するのは直線的作業で平易なので,これを詳細に書くことはしませんが,

δ_Lφ_i＝ε[φ_i,Ｑ]_P.B.＝ε∂Ｑ/∂π_i,δ_Lπ_i＝ε[π_i,Ｑ]_P.B.

＝－ε∂Ｑ/∂φ_iから,φ_i,π_iの任意関数Ａ＝Ａ(φ,π)に対して

δ_LＡ＝ε[Ａ,Ｑ]_P.B.が得られる,という内容に変わりはありません。

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