ネーターの定理と電磁エネルギー運動量テンソル

電磁場と相対論に関するシリーズ記事は一応終了しましたが,最後の物質中の電磁力学における電磁エネルギー運動量テンソルについてのMinkowskiの表現形式とAbrahamのそれについての論題が少し気になりました。

これは,解析力学における「Noether(ネーター)の定理」と関連づけて更に掘り下げた考察を行なうことが可能であると感じ,いささか個人的興味が湧いたので少し論じてみたいと思います。

電磁場に限らず,４次元Minkowski空間内の領域Σに例えば連続体の各点における変位などを表現した古典的な場φ(ｘ)＝{φ_i(ｘ)}があって系のLagrangian密度Ｌが場φ_i(ｘ)とその１階微分∂_μφ_i(ｘ)の関数として

Ｌ(φ_i(ｘ),∂_μφ_i (ｘ))で表わされるとします。

このとき,作用積分は,Ｓ[φ]＝∫_Σｄ⁴ｘＬ(φ_i,∂_μφ_i)

で与えられます。

そして場の従う基本的な運動方程式はφ_i(ｘ)の変分に対する作用Ｓの

停留条件:δＳ＝0 から決まります。

すなわち,系を支配する運動方程式は,δＳ/δφ_i

＝∂Ｌ/∂φ_i－∂_μ{∂Ｌ/{∂_μφ_i }]＝0 で与えられます。

これはよく知られた,Euler-Lagrange方程式です。

そして,「Noetherの定理」は"ある連続変換の下で作用Ｓが不変な場合には,その変換に対応した保存量が必ず存在する。"という定理です。

これの証明は,既に2008年２/29の記事「ネーターの定理と場理論」で行ないましたが,ここでは改めて概略的な証明を与えることにします。

以下,証明です。

ε＞0 を無限小パラメータとし,時空座標の変換ｘ^μ→ｘ^μ*＝ｘ^μ＋εη^μ,および,それとは独立な場の変換φ_i(ｘ)→φ^*_i(ｘ)＝φ_i(ｘ)＋εｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)があるとします。

これは,座標の変分δｘ^μ＝εη^μと共に場のLie(リー)変分:

δ_Lφ_i(ｘ)＝εＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)＝ε[ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)－η^μ∂_μφ_i]

があるとして表現されます。

この変換の下で作用積分Ｓが不変である,すなわちＳ[φ]＝Ｓ[φ^*]が成立する,という対称性が存在するとします。

このことは,Lagrangian密度ＬのLie変分が高々全微分であること,

つまり,恒等的に,δ_LＬ

≡Ｌ(ｘ,φ_i^*(ｘ),∂_μφ_i^*(ｘ))－Ｌ(ｘ,φ_i(ｘ),∂_μφ_i(ｘ))

＝ε∂_μＸ^μ(φ_j(ｘ),∂_νφ_i(ｘ))と書けるある関数:

Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)が存在することを意味します。

この命題については,先述の記事,2008年２/29の「ネーターの定理と場理論」に詳しい証明を与えてありますから,ここでは改めて証明することはせず単に認めることにします。

他方,変換:ｘ^*μ＝ｘ^μ＋εη^μ,φ_i^*(ｘ)＝φ_i(ｘ)＋εＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)の下でのLagrangianＬのLie変分δ_LＬを素朴なεの１次の変分項という意味で計算します。

δ_LＬ≡Ｌ(ｘ,φ_i^*(ｘ),∂_μφ_i^*(ｘ))－Ｌ(ｘ,φ_i(ｘ),∂_μφ_i(ｘ))

＝Σ_i[(∂Ｌ/∂φ_i)εＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)＋

{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}ε∂_μＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)]－(∂_μＬ)εη^μ

と書けます。 

さらに,先に述べたEuler-Lagrange方程式:

∂Ｌ/∂φ_i－∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}＝0 によって,

上式の右辺の∂Ｌ/∂φ_iを∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}

で置き換えます。

このとき,δ_LＬ＝εΣ_i[∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}εＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)

＋{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}∂_μＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)]－ε(∂_μＬ)η^μ

＝ε∂_μ[Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)－Ｌη^μ]

となります。

ただし,ε＞0,および時空座標の変換:ｘ^*μ＝ｘ^μ＋εη^μにおけるパラメータη^μが点ｘに依らない定数の大域的変換を仮定しています。

そこで,２つの方法で得られたＬのリー変分δ_LＬを等置することから,

δ_LＬ＝ε∂_μ[Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)－Ｌη^μ]

＝ε∂_μＸ^μ(φ_j,∂_μφ_i)が得られます。

εは任意の定数パラメータなので,結局,

∂_μ[Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)－Ｌη^μ－Ｘ^μ(φ_j,∂_μφ_i)]

＝0

が成立することがわかります。

これは,ｊ^μ(ｘ)≡Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)－Ｌη^μ

－Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)とおけば,∂_μｊ^μ＝0 ,

つまり,カレントｊ^μ(ｘ)の保存を意味します。

こう定義したカレントｊ^μ(ｘ)を"Noether-current"と呼びます。

つまり,上記カレントｊ^μ(ｘ)の第 0 成分を用いて,Ｑ(ｔ)≡∫ｊ⁰(ｘ,t)ｄ³ｘなる量Ｑ(ｔ)を定義すると,∂_μｊ^μ＝0 の結果から,

ｄＱ/ｄｔ＝0 となって,Ｑ(ｔ)はｔに依らないことがわかります。

ｔに依らず一定なので,Ｑ(ｔ)は単にＱと書いてもよく,このＱがカレント密度ｊ(ｘ,t)に対応する１つの保存量になるというわけです。

Ｑは保存量ですから,ある１つの物理量と同定されます。

以上で「Noetherの定理」の証明は終わりました。

ここで,古典解析力学で多体系に対して定義されるPoisson括弧式:

[ｕ,ｖ]_P.B.

≡Σ_s[(∂ｕ/∂ｑ_s)(∂ｖ/∂ｐ_s)－(∂ｕ/∂ｐ_s)(∂ｖ/∂ｑ_s)]

を連続体の場の理論に拡張します。

場φ_i(ｘ)に正準共役な運動量π_i(ｘ)をπ_i(ｘ)≡∂Ｌ/∂(∂₀φ_i)

で定義して,Poisson括弧式を,

[ｕ,ｖ]_P.B.

≡Σ_i[(∂ｕ/∂φ_i)(∂ｖ/∂π_i)－(∂ｕ/∂π_i)(∂ｖ/∂φ_i)]

とします。

これを使用すると,場の量φ＝{φ_i(ｘ)}とNoeter保存量:Ｑについては,

[φ_i(ｘ),Ｑ]_P.B.＝Σ_k[(∂φ_i/∂φ_k)(∂Ｑ/∂π_k)－(∂φ_i/∂π_k)

(∂Ｑ/∂φ_k)]＝∂Ｑ/∂π_iと書けます。

Ｑ＝∫ｊ⁰(ｘ,t)ｄ³ｘ,ｊ⁰(ｘ,t)＝ｊ⁰(ｘ)

＝Σ_k{∂Ｌ/∂(∂₀φ_k)}Ｇ_k(φ_j,∂_μφ_j)－Ｌη⁰－Ｘ⁰(φ_j,∂_νφ_i)

＝Σ_kＧ_k(φ_j,∂_μφ_j)π_k(ｘ)－Ｌη⁰－Ｘ⁰(φ_j,∂_νφ_i)

です。

Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j),Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)が∂₀φ_j,またはπ_jと独立な場合,

∂Ｑ/∂π_i＝Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)なので,

[φ_i(ｘ),Ｑ]_P.B.＝Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)なる等式が得られます。 

すなわち,この無限小変換に際しては,δ_Lφ_i＝ε∂Ｑ/∂π_i

＝ε[φ_i(ｘ),Ｑ]_P.B.が成立します。

このような関係を満たす量Ｑを,この変換の生成子(generator)

と呼びます。

理論を不変(作用を不変)に保つ対称性変換に対しては,Noether保存量Ｑが常にその変換の生成子になっていると考えられます。

一方,δ_Lπ_i＝δ_L{∂Ｌ/∂(∂₀φ_i)}＝∂(δ_LＬ)/∂(∂₀φ_i)

＝ε{∂(∂_μＸ^μ)/∂(∂₀φ_i)}ですが,先にも述べたように,

Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)が,∂₀φ_jまたはπ_jと独立な場合を想定するなら,

δ_Lπ_i＝0 です。

また,[π_i(ｘ),Ｑ]_P.B.＝Σ_k[(∂π_i/∂φ_k)(∂Ｑ/∂π_k)－(∂π_i/∂π_k)(∂Ｑ/∂φ_k)]＝－∂Ｑ/∂φ_iであることもわかります。

そこで,φ_i(ｘ),π_i(ｘ)の汎関数で与えられる任意の物理量を,

Ａ＝Ａ(φ_j,π_j)とすると,この対称性変換によるＡのLie変分は

δ_LＡ＝Σ_k[(∂Ａ/∂φ_k)δ_Lφ_k＋(∂Ａ/∂π_k)δ_Lπ_k(ｘ)]で,

δ_Lπ_k＝0 ゆえ,δ_LＡ＝εΣ_k(∂Ａ/∂φ_k)δ_Lφ_kとなります。

一方,ε[Ａ,Ｑ]_P.B.＝εΣ_k[(∂Ａ/∂φ_k)(∂Ｑ/∂π_k)－(∂Ａ/∂π_k)(∂Ｑ/∂φ_k)]＝Σ_k[(∂Ａ/∂φ_k)δ_Lφ_k＋ε(∂Ａ/∂π_k)(∂Ｑ/∂φ_k)]と書けます。

物理量Ｑがδ_Lφ_i＝ε∂Ｑ/∂π_i＝ε[φ_i(ｘ),Ｑ]_P.B.を満たし,変換の生成子となっている場合,

一般にδ_LＡ＝ε[Ａ,Ｑ]_P.B.となるであろうという予測に基づいて考察していたのですが,今のところは,どうもうまくいきません。

古典論でLie微分とPoisson括弧は,HamiltonianをＨとして,

ｄＡ/ｄｔ＝[Ａ,Ｈ]_P.B.なる関係があることから類推して,

Lie変分についてもPoisson括弧は同等な内容を与えるであろうと思ったのですが,当面はこの項目の議論を延期します。(Pendingです。)

(Arnoldの「古典力学の数学的方法」やAi.George(ジョージ・アイ)の「物理学におけるリー代数」,あるいは微分幾何や力学系の本でも読めばいいのかしら。。)

今は古典場の話をしているのですが,ｕ,ｖが量子論の演算子,または作用素である場合には[ｕ,ｖ]を交換子:[ｕ,ｖ]≡ｕｖ－ｖｕと定義します。

古典論のPoisson括弧と量子論の交換子の間に[ｕ,ｖ]_Ｐ.Ｂ.＝[ｕ,ｖ]/(ｉｈ_c)なる対応原理を与えれば,これは古典論を量子化して量子論にすることと同等であるという命題が,Diracらによって示された,という歴史的経緯もあります。

ただし,ｈ_c≡ｈ/(2π)はPlanck定数です。

この対応原理を適用すれば,古典論の生成子Ｑに対する

[φ_i(ｘ),Ｑ]_P.B.＝Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)なる基本式は,

Ｑが演算子であって,場φ_i(ｘ)が量子場を示す演算子である場合には,

(ｉ/ｈ_c)[Ｑ,φ_i(ｘ)]＝Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)なる表式に変わります。

そこで,この対称性変換での量子場の無限小変換は,

φ_i(ｘ)＋δ_Lφ_i(ｘ)＝φ_i(ｘ)＋εＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)

＝φ_i(ｘ)＋(ｉε/ｈ_c)[Ｑ,φ_i(ｘ)]　と書けます。

ここで,θをパラメータとする場φ_i(ｘ)のユニタリ(unitary)変換:

exp(iθＱ/ｈ_c)φ_i(ｘ)exp(－iθＱ/ｈ_c)を考えると,

この変換において,特にθが無限小:θ＝εの場合,

これはexp(iεＱ/ｈ_c)φ_i(ｘ)exp(－iεＱ/ｈ_c)

＝φ_i(ｘ)＋(ｉε/ｈ_c)[Ｑ,φ_i(ｘ)]と書けるので,

φ_i(ｘ)＋εＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)

＝exp(iεＱ/ｈ_c)φ_i(ｘ)exp(－iεＱ/ｈ_c) となります。

したがって,この変換に伴なって場が受ける変換は,Noether保存量Ｑに相当する演算子を生成子(generator)としたユニタリ変換という形で表現されることがわかります。

そして,古典場の場合と同様,Ａをφ_i(ｘ),π_i(ｘ)の任意の汎関数とすると,δ_LＡ＝(ｉε/ｈ_c)[Ｑ,Ａ]ですから,

exp(iεＱ/ｈ_c)Ａexp(－iεＱ/ｈ_c)＝Ａ＋δ_LＡとなるはずです。 

これ以上の余談的な考察を続けるには,対称性変換が線型リー群と呼ばれる変換群を形成し,群全体の代数的性質を決定するには無限小(接触)変換を調べれば十分であること,

それ故,"群の生成子の線型結合やそのPoisson括弧,または交換子で構成される線形空間＝リー環,あるいはリー代数"の構造を調べればよい,とかいった数学的議論になると思われるので,

何かその種の数学の本を参照しなければ無理ですが,この記事での本題ではないので,そうしたことは,またの機会に譲って次に移ります。

今,必要なのは場のエネルギー運動量テンソルですが,これは並進,つまり,時空座標の平行移動変換:ｘ^*μ＝ｘ^μ＋εη^μ＝ｘ^μ－δ^μに対して作用が不変なこと,

すなわち,時空の一様性,言い換えると時空座標の原点をどこに取ろうと理論は同じであるという性質から得られるNoether保存量です。

この対称性を有するLagrangian密度Ｌは,これまで前提としてきた最も一般的な形の座標ｘを陽に含んだもの:Ｌ(ｘ,φ_i(ｘ),∂_μφ_i(ｘ))ではなくて,ｘを陽には含まないＬ(φ_i(ｘ),∂_μφ_i(ｘ))なる形と考えます。

そして,この場合の変換ではｇ_i≡0 なので,ｘ^*μ＝ｘ^μ＋εη^μ＝ｘ^μ－δ^μに伴なうφ_iのLie変分はδ_Lφ_i(ｘ)＝εＧ_i(φ_j,∂_μφ_i)＝δ^ρ∂_ρφ_j(ｘ)となります。

また,ＳだけでなくＬもこの座標変換の不変量であると考えると,δ_LＬ＝ε∂_μ[Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)]＝ε∂_μＸ^μ(φ_j,∂_μφ_i)＝δ^ρ∂_ρＬ が成立します。

そこで,関数Ｌが座標ｘに陽には依存しない場合のNoeter保存カレントの表式:ｊ^μ(ｘ)＝Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)－Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)の両辺にεを掛けた等式で,εＧ_i(φ_j,∂_μφ_i)＝δ^ρ∂_ρφ_j,εＸ^μ(φ_j,∂_νφ_i)＝δ^ρ∂_ρＬを代入します。

この時空座標の平行移動の対称変換については「Noetherお定理」の証明における最後の式ε∂_μｊ^μ(ｘ)＝0 を意味するものとして,δ^ρ∂_μ[Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}∂_ρφ_i－δ_ρ^μＬ]＝0 なる恒等式が得られます。

したがって,この場合は唯一の無限小パラメータεに関する恒等式:

ε∂_μｊ^μ(ｘ)＝0 から,唯一のカレントｊ^μ(ｘ)の保存:

∂_μｊ^μ(ｘ)＝0を導き出した前記の証明での手続きにおけるものとは違う形の恒等式が得られます。

すなわち,ρ＝0,1,2,3の各々に対応した独立な４つの任意パラメータδ^ρに関する恒等式:δ^ρ∂_μ[Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}∂_ρφ_i－δ_ρ^μＬ]＝0

を得ます。

それぞれのρに対応して,∂_μｊ_ρ^μ(ｘ)＝0 を満たす４つのNoether保存カレントｊ_ρ^μ(ｘ)が存在することがわかります。

それらは,ｊ_ρ^μ(ｘ)＝Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}∂_ρφ_i－δ_ρ^μＬ

で表現されます。 

そして,これら時空座標の平行移動に対する理論の不変性に伴なうカレントｊ_ρ^μ(ｘ)を特にＴ_ρ^μ(ｘ)と書いて,これを(正準)エネルギー運動量テンソル(canonical energy-momentum tensor)と呼びます。

この場合,保存カレントｊ^μ(ｘ)の第ゼロ成分から構成され,変換の生成子を形成するNoether保存量:Ｑ＝∫ｊ⁰(ｘ,t)ｄ³ｘも４つの保存カレントｊ_ρ^μ(ｘ)＝Ｔ_ρ^μ(ｘ)に対応して,ρ＝0,1,2,3の各々の平行移動変換の生成子を形成します。

これら４つの"生成子＝Noether保存量"をＱ_ρ≡∫Ｔ_ρ⁰(ｘ,t)ｄ³ｘと表記することにします。

さらに,混合テンソル表現;Ｔ_μ^ν＝Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_νφ_i)}∂_μφ_i－δ_μ^νＬを反変テンソル表現に変えて,

Ｔ^μν＝η^μρＴ_ρ^ν＝Σ_i {∂Ｌ/∂(∂_νφ_i)}∂^μφ_i(ｘ)－η^μνＬ

と表わせば,Ｑ^μ＝∫Ｔ^μ0(ｘ,t)ｄ³ｘと書けます。 

ところが,元々Noether保存カレントやNoether保存量は,全体に共通の定数を乗じても保存方程式を満たす保存量としての意味は同じです。

これは,単位はどのように取ってもかまわない,という意味でもありますが,要するに,その定義には定数係数だけの任意性があり一般に一意には決まりません。

しかし,時間の一様性,つまり時間ｔについての無限小平行移動:ｔ^*＝ｔ－ηに対する不変性に伴なう"Noether保存量＝生成子"は系のエネルギーＥであり,空間ｘについての無限小平行移動ｘ^*＝ｘ－δに対する不変性に伴なう"Noether保存量＝生成子"は系の運動量Ｐである,とされています。 

また,Ｑ⁰＝∫Ｔ⁰⁰(ｘ)ｄ³ｘ＝∫[Σ_i{∂Ｌ/∂(∂₀φ_i)}∂⁰φ_i－Ｌ]ｄ³ｘの右辺は,系のLagrangianをＬ＝∫Ｌｄ³ｘと書いたとき,

多粒子系のHamiltonian:Ｈ＝Σ_i{∂Ｌ/∂(ｄｑ_i/ｄｔ)}(ｄｑ_i/ｄｔ)

－Ｌ＝Σ_iｐ_i(ｄｑ_i/ｄｔ)－Ｌの連続体への拡張になっていることが

明らかです。

それ故,Ｑ⁰は系のエネルギーＥを意味すると考えられるので,

Ｑ⁰＝Ｅ＝∫Ｔ⁰⁰(ｘ)ｄ³ｘと書けます。 

ところが,時空座標の無限小の平行移動ｘ^*μ＝ｘ^μ－δ^μのうち,特に保存量:Ｑ⁰の存在を保証する第ゼロ成分の座標ｘ⁰＝ｃｔに関する平行移動:

ｘ^*0＝ｘ⁰－δ⁰を,時間座標ｔに関するそれで表現すると,

ｃｔ^*＝ｃｔ－δ⁰,またはｔ^*＝ｔ－δ⁰/ｃとなります。

そこで,恒等式δ^ρ∂_μＴ_ρ^μ(ｘ)＝δ^ρ∂_μ[Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}∂_ρφ_i(ｘ)－δ_ρ^μＬ]＝0 から決まるカレントＴ_ρ^μ(ｘ)によって,

Ｑ⁰＝Ｅ＝∫Ｔ⁰⁰(ｘ)ｄ³ｘを与える恒等式のρ＝0 の成分に対する係数パラメータはδ⁰ではなく,ｔ^*＝ｔ－δ⁰/ｃに対応してδ⁰/ｃです。

パラメータ係数δ^ρの無限小変換から定まるカレントＴ_ρ^μ(ｘ),あるいは保存量Ｑ^ρをρについて対等に扱うと,

ρ＝0 のｔ^*＝ｔ－δ⁰/ｃに対応するＱ⁰＝Ｅから,保存量の反変ベクトル

Ｑ^μ＝(Ｑ⁰,Ｑ)が,４元運動量Ｐ^μによりＱ^μ＝Ｐ^μ/ｃ＝(Ｅ,Ｐ/ｃ)

と表現できることがわかります。

余談ですが,一般に時空の一様性は,対象領域が空間の一部に限定されたような場合には成立しません。

例えば熱統計力学を考察する際に通常設定される狭い箱の中に閉じ込められた多粒子系というモデルでは,空間の一様性に起因する運動量保存は成立せず,時間の一様性によるエネルギー保存のみが成立します。

さて,電磁場の場合,私がかつて学生時代の専門としていたQED(量子電磁力学)のように微視的個数の電子と光子の衝突散乱などを対象とする場合,

空気のような媒質中の現象を対象とする場合は,物質中の電場,磁場でも真空中の微視的効果の巨視的平均と考える「Lorentzの電子論」と同じく,基本的に光子を表わすものとして真空中の電磁場のみを考えます。

そして真空中の物理系であれば「電磁気学と相対論(6)(真空中の電磁気学５)」で書いたように,不変質量密度がμ⁰で携帯電流密度がｓ_μの真空中にある連続物質の帯電体も含め,

系全体のLagrangian密度はＬ＝－(ｃ²ε₀/4)Ｆ_μνＦ^μν－Ａ^μｓ_μ－μ⁰ｃ²＝(－ｃ²ε₀/4)(∂Ａ^ν/∂ｘ_μ－∂Ａ^μ/∂ｘ_ν)(∂Ａ_ν/∂ｘ^μ－∂Ａ_μ/∂ｘ^ν)－Ａ^μｓ_μ－μｃ²(1－ｕ²/ｃ²)^1/2と書けます。

そして,自由物質場の項:－μ⁰ｃ²や電磁場と物質電荷密度の相互作用項－Ａ^μｓ_μを除いた自由電磁場のLagrangian密度項は,

Ｌ_E≡－(ｃ²ε₀/4)Ｆ_μνＦ^μνとなります。

この総Lagrangian密度Ｌに対して上述のEuler-Lagrangeの運動方程式:

{∂Ｌ/∂φ_i}－∂_μ{∂Ｌ/(∂_μφ_i)}＝0 における場φ_i(ｘ)を,

電磁場Ａ^ν(ｘ)に置き換えれば,確かに電磁場のMaxwell方程式:

∂Ｆ^μν/∂ｘ^ν＝－ｓ_μ/(ｃ²ε₀)が得られます。

そして,このLagrangian密度ＬからNoether定理に基づく系の(正準)エネルギー運動量テンソルの反変テンソル表現Ｔ^μνを求めると,

Ｔ^μν＝Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_νφ_i)}∂_μφ_i(ｘ)－η^μνＬ

＝{∂Ｌ/∂(∂_νＡ^ρ)}∂_μＡ^ρ－η^μνＬ　となります。

これが,先に別の考察から得られたエネルギー運動量テンソルの表現:

Ｔ^μν＝θ^μν＋Ｓ^μν,θ^μν≡μ⁰Ｕ^μＵ^ν,

Ｓ^μν≡－(ｃ²ε₀)[Ｆ_λ^μＦ^λν－(1/4)η^μν(Ｆ_σρＦ^σρ)]

＝－(ｃ²ε₀)[η^μδＦ_λδＦ^λν－(1/4)η^μν(Ｆ_σρＦ^σρ)]

と完全に一致すればよかったのですが,実は∂ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 を満たす

テンソルｔ^μνだけ違っています。

すなわち,真空中で特に物質場を無視した電磁場単独のLagrangian密度:

Ｌ_E＝－(ｃ²ε₀/4)Ｆ_μνＦ^μνに対し,Noether保存量として得られるエネルギー運動量テンソルの反変テンソル表現は,

Ｔ_E^μν＝{∂Ｌ_E/∂(∂_νＡ^ρ)}∂_μＡ^ρ－η^μνＬ_E

＝－(ｃ²ε₀)[－η^μδ∂_δＡ_λＦ^λν－(1/4)η^μν(Ｆ_σρＦ^σρ)]

となります。

上にも述べたように,この表現は真空中の電磁気学のこれまでの議論から得られた電磁エネルギー運動量テンソルの表現:

Ｓ^μν＝－(ｃ²ε₀)[η^μδＦ_λδＦ^λν－(1/4)η^μν(Ｆ_σρＦ^σρ)]

とは微妙に異なっていて.

ｔ^μν≡－(ｃ²ε₀)η^μδ∂_λＡ_δＦ^λνとすれば

Ｓ^μν＝Ｔ_E^μν＋ｔ^μνとなります。

Noetherの定理によって,もちろん∂Ｔ_E^μν/∂ｘ^ν＝0 ですが,

運動方程式:∂Ｆ^μν/∂ｘ^ν＝0 より,明らかに

∂ｔ^μν/∂ｘ^ν＝－(ｃ²ε₀)η^μδ(∂_λ∂_νＡ_δ)Ｆ^λν＝0 ですから

Ｔ_E^μν,Ｓ^μνのいずれを電磁エネルギー運動量テンソルとして採用しても問題はありません。

しかし,Ｓ^μνの方は対称テンソルでかつtraceless(対角和がゼロ)という閉じた系でのエネルギー運動量テンソルの条件を全て満足していますから,

通常は素朴なNoetherカレントＴ_E^μνではなく,これにｔ^μνを加えたＳ^μνを電磁エネルギー運動量テンソルとします。

物質中と異なり真空中の電磁場については,これで異論もなく全く問題はありません。

一方,物質中の電磁場に対するMinlowskiの電磁エネルギー運動量テンソルＳ^μνもAbrahamのそれ:Ｓ_A^μνも,元々物質が電磁気的に等方的な場合,

すなわち,εを誘電率,μを透磁率として,Ｈ^μνＵ_ν/ｃ²

＝εＦ^μνＵ_ν,Ｆ^μνＵ^λ＋Ｆ^νλＵ^μ＋Ｆ^λμＵ^ν

＝μ(Ｈ^μνＵ^λ＋Ｈ^νλＵ^μ＋Ｈ^λμＵ^ν)と書ける場合,

ε→ε₀,μ→μ₀としたとき真空のＳ^μνに帰するよう作られています。

そして,Minkowskiの電磁エネルギー運動量テンソル:Ｓ^μν＝－η^νσＦ^μλＨ_σλ＋(1/4)Ｆ^λσＨ_λση^μνが,(正準)エネルギー運動量テンソル:

Ｔ_E^μν＝η^μρＴ_Eρ^ν＝{∂Ｌ_E/∂(∂_νＡ^ρ)}∂_μＡ^ρ－η^μνＬ_E に,

ｔ^μνを除いて一致するような電磁場のLagrangian密度Ｌ_Eを考えて,

Ｌ_E＝－(1/4)Ｆ^λσＨ_λσとします。

これは,ε→ε₀,μ→μ₀では確かに真空中のLagrangian密度:

Ｌ_E＝－(ｃ²ε₀/4)Ｆ_μνＦ^μνに一致します。

このＬ_E＝－(1/4)Ｆ^λσＨ_λσにおいて,Ｆ^λσ＝∂^λＡ^σ－∂^σＡ^λであり,

Ｓ⁰系ではＬ_E⁰＝－(1/4)Ｆ^0λσＨ⁰_λσ＝－(ｃ²ε/4)Ｆ^0λσＦ⁰_λσです。

(正準)エネルギー運動量テンソル:Ｔ_E^0μνはＴ_E^0μν＋ｔ^0μν

＝{∂Ｌ_E⁰/∂(∂⁰_νＡ^ρ)}∂⁰_μＡ^0ρ－η^μνＬ_E⁰＋ｔ^0μν

＝－η^νσＦ^0μλＨ⁰_σλ＋(1/4)Ｆ^0λσＨ⁰_λση^μν＝Ｓ^0μν

となります。

すなわち,静止系Ｓ⁰ではＴ_E^0μν＋ｔ^0μνはMinkowskiの電磁エネルギー運動量テンソルＳ^0μνに一致します。

そこで,テンソルの性質から任意のＳ系においてもＴ_E^μν＋ｔ^μν＝η^μρＴ_Eρ^ν＝{∂Ｌ_E/∂(∂_νＡ^ρ)}∂_μＡ^ρ－η^μνＬ_E＋ｔ^μν＝Ｓ^μνです。

それ故,Noether理論による電磁エネルギー運動量テンソルＴ_E^μν＋ｔ^μνが,Minkowskiの電磁エネルギー運動量テンソルＳ^μνに一致することがわかります。

さらに,系全体のLagrangian密度は携帯電流密度ｓ_μを全電流密度Ｊ_μに変えた形のＬ＝Ｌ_E－Ａ^μＪ_μ－μ⁰ｃ²

＝－(1/4)Ｆ^λσＨ_λσ－Ａ^μＪ_μ－μｃ²(1－ｕ²/ｃ²)^1/2になります。

そこで,Ａ^ν(ｘ)についてのEuler-Lagrangeの運動方程式

{∂Ｌ/∂Ａ^ν}－∂_μ{∂Ｌ/(∂_μＡ^ν)}＝0 も拡張されたMaxwell方程式

である∂Ｈ^μν/∂ｘ^ν＝－Ｊ^μになります。

したがって,Noetherの定理の観点から電磁エネルギー運動量テンソルを見直すなら,Abrahamの表現と比較してMinkowskiの表現の優越性が示されるようです。

部分的な電磁場のみのテンソル:Ｔ_E^μν＋ｔ^μν＝Ｓ^μνが非対称でも,物質場を含めた全体のテンソルＴ^μν＝θ^μν＋Ｓ^μνは対称テンソルになることが可能なので,電磁エネルギー運動量テンソルについてはMinkowskiの非対称な表現でも問題ないと思います。

参考文献:九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館),L.Fonda and G.C.Ghirardy 著「Symmetry Principles In Quantum Physics」(Marcel Dekker Inc. New.York(1970))

ＰＳ：「インターネット検索」から,Michael Forger and Hartmann Römerによる表題「Currents and the Energy-Momentum Tensor in Classical Field Theory」の2003年の論文:

(http://arxiv.org/abs/hep-th/0307199)を見つけて入手しましたが,

印刷すると91ページの大部で読むだけでも大変です。

そこで,取り合えずざっと眺めてみましたが,その限りでは上で論じたような計量が平坦なη_μνの時空上だけではなく,一般の曲がった計量ｇ_μνを持つ時空上の話を想定しているようです。

平坦な時空でNoether保存量としてエネルギー運動量テンソルを得る基になった時空の対称性,すなわち単純な"時空座標の平行移動に対する不変性＝時空の大域的一様性"は曲がった時空においては局所的領域で考える必要があることなども述べられています。

そして,電磁場のようなゲージ(gauge)場と物質場との総和の総Lagrangian:Ｌ＝Ｌ_g＋Ｌ_mを考えているわけですが,

Ｌ_gを自由ゲージ場のLagrangianとして,物質場とゲージ場の相互作用項はＬ_mの中に含めた表現を取るとき,Ｌ_gについては論じる必要がなく改善された正しい総エネルギー運動量テンソルは物質場のLagrangianＬ_mのみから決まるということが述べられています。

次に,上のＬ_mをさらに物質場と"時空自身の重力場＝ゲージ場"とに分割して改めてＬ_g＋Ｌ_mと書けば,Noether保存量として得られる総エネルギー運動量テンソルＴ^μνはＴ^μν＝－2δＬ_m/δｇ_μνなる式で与えられ,

これはｇ_μνが対称なので必然的に対称テンソルであるという話を数学的に展開しているようです。

これは真空中の場であり,それゆえ上記ブログ記事での物質中の電磁場のMinkowskiやAbrahamの話とは関係がなさそうです。

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