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2008年6月22日 (日)

ネーターの定理と電磁エネルギー運動量テンソル

電磁場と相対論に関するシリーズ記事は一応終了しましたが,最後の物質中の電磁力学における電磁エネルギー運動量テンソルについてのMinkowskiの表現形式とAbrahamのそれについての論題が少し気になりました。

 

これは,解析力学における「Noether(ネーター)の定理」と関連づけて更に掘り下げた考察を行なうことが可能であると感じ,いささか個人的興味が湧いたので少し論じてみたいと思います。

電磁場に限らず,4次元Minkowski空間内の領域Σに例えば連続体の各点における変位などを表現した古典的な場φ(x)={φi(x)}があって系のLagrangian密度が場φi(x)とその1階微分∂μφi(x)の関数として

i(x),∂μφi (x))で表わされるとします。

このとき,作用積分は,S[φ]=∫Σ4i,∂μφi)

で与えられます。

 

そして場の従う基本的な運動方程式はφi(x)の変分に対する作用Sの

停留条件:δS=0 から決まります。

 

すなわち,系を支配する運動方程式は,δS/δφi

=∂/∂φi-∂μ{∂/{∂μφi }]=0 で与えられます。

 

これはよく知られた,Euler-Lagrange方程式です。

そして,「Noetherの定理」は"ある連続変換の下で作用Sが不変な場合には,その変換に対応した保存量が必ず存在する。"という定理です。

これの証明は,既に2008年2/29の記事「ネーターの定理と場理論」で行ないましたが,ここでは改めて概略的な証明を与えることにします。

 

以下,証明です。

ε>0 を無限小パラメータとし,時空座標の変換μ→xμ*=xμ+εημ,および,それとは独立な場の変換φi(x)→φ*i(x)=φi(x)+εgij,∂μφj)があるとします。

 

これは,座標の変分δμ=εημと共に場のLie(リー)変分:

δLφi()=εGij,∂μφj)=ε[ij,∂μφj)-ημμφi]

があるとして表現されます。

 

この変換の下で作用積分Sが不変である,すなわちS[φ]=S[φ*]が成立する,という対称性が存在するとします。

このことは,Lagrangian密度のLie変分が高々全微分であること,

つまり,恒等的に,δL

(x,φi*(x),∂μφi*(x))-(x,φi(x),∂μφi(x))

=ε∂μμj(x),∂νφi(x))と書けるある関数:

μj,∂νφi)が存在することを意味します。

 

この命題については,先述の記事,2008年2/29の「ネーターの定理と場理論」に詳しい証明を与えてありますから,ここでは改めて証明することはせず単に認めることにします。

他方,変換:x=xμ+εημi*(x)=φi(x)+εGij,∂μφj)の下でのLagrangianのLie変分δLを素朴なεの1次の変分項という意味で計算します。

 

δL(x,φi*(x),∂μφi*(x))-(x,φi(x),∂μφi(x))

=Σi[(∂/∂φi)εGij,∂μφj)+

{∂/∂(∂μφi)}ε∂μij,∂μφj)]-(∂μ)εημ

と書けます。 

さらに,先に述べたEuler-Lagrange方程式:

/∂φi-∂μ{∂/∂(∂μφi)}=0 によって,

上式の右辺の∂/∂φiμ{∂/∂(∂μφi)}

で置き換えます。

 

このとき,δL=εΣi[∂μ{∂/∂(∂μφi)}εGij,∂μφj)

+{∂/∂(∂μφi)}∂μij,∂μφj)]-ε(∂μμ

=ε∂μi{∂/∂(∂μφi)}Gij,∂μφj)-ημ]

となります。

 

ただし,ε>0,および時空座標の変換:x=xμ+εημにおけるパラメータημが点xに依らない定数の大域的変換を仮定しています。

そこで,2つの方法で得られたのリー変分δLを等置することから,

δL=ε∂μi{∂/∂(∂μφi)}Gij,∂μφj)-ημ]

=ε∂μμj,∂μφi)が得られます。

 

εは任意の定数パラメータなので,結局,

 

μi{∂/∂(∂μφi)}Gij,∂μφj)-ημμj,∂μφi)]

=0

 

が成立することがわかります。

これは,jμ(x)≡Σi{∂/∂(∂μφi)}Gij,∂μφj)-ημ

μj,∂νφi)とおけば,∂μμ0 ,

つまり,カレントjμ(x)の保存を意味します。

 

こう定義したカレントjμ(x)を"Noether-current"と呼びます。

つまり,上記カレントjμ(x)の第 0 成分を用いて,Q(t)≡∫j0(,t)d3なる量Q(t)を定義すると,∂μμ0 の結果から,

dQ/dt=0 となって,Q(t)はtに依らないことがわかります。

 

tに依らず一定なので,Q(t)は単にQと書いてもよく,このQがカレント密度(,t)に対応する1つの保存量になるというわけです。

 

Qは保存量ですから,ある1つの物理量と同定されます。

 

以上で「Noetherの定理」の証明は終わりました。

ここで,古典解析力学で多体系に対して定義されるPoisson括弧式:

 

[u,v]P.B.

≡Σs[(∂u/∂qs)(∂v/∂ps)-(∂u/∂ps)(∂v/∂qs)]

 

を連続体の場の理論に拡張します。

 

場φi(x)に正準共役な運動量πi(x)をπi(x)≡/∂(∂0φi)

で定義して,Poisson括弧式を,

  

[u,v]P.B.

Σi[(∂u/∂φi)(∂v/∂πi)-(∂u/∂πi)(∂v/∂φi)]

 

とします。

これを使用すると,場の量φ={φi(x)}とNoeter保存量:Qについては,

i(x),Q]P.B.Σk[(∂φi/∂φk)(∂Q/∂πk)-(∂φi/∂πk)

(∂Q/∂φk)]∂Q/∂πiと書けます。

 

Q=∫j0(,t)d3,j0(,t)=j0(x)

=Σk{∂/∂(∂0φk)}Gkj,∂μφj)-η00j,∂νφi)

=Σkkj,∂μφj)πk(x)η00j,∂νφi)

です。

 

ij,∂μφj),μj,∂νφi)が∂0φj,またはπjと独立な場合,

∂Q/∂πiij,∂μφj)なので,

i(x),Q]P.B.=Gij,∂μφj)なる等式が得られます。 

すなわち,この無限小変換に際しては,δLφi=ε∂Q/∂πi

εi(x),Q]P.B.が成立します。

 

このような関係を満たす量Qを,この変換の生成子(generator)

と呼びます。

 

理論を不変(作用を不変)に保つ対称性変換に対しては,Noether保存量Qが常にその変換の生成子になっていると考えられます。

一方LπiδL{/∂(∂0φi)}=∂(δL)/∂(∂0φi)

=ε{∂(∂μμ)/∂(∂0φi)}ですが,先にも述べたように,

μj,∂νφi)が,∂0φjまたはπjと独立な場合を想定するなら,

δLπi=0 です。

 

また,i(x),Q]P.B.Σk[(∂πi/∂φk)(∂Q/∂πk)-(∂πi/∂πk)(∂Q/∂φk)]=-∂Q/∂φiであることもわかります。

 

そこで,φi(x),πi(x)の汎関数で与えられる任意の物理量を,

A=A(φjj)とすると,この対称性変換によるAのLie変分は

 

δLA=Σk[(∂A/∂φk)δLφk(∂A/∂πk)δLπk(x)]で,

δLπk=0 ゆえ,δLA=εΣk(∂A/∂φk)δLφkとなります。

 

一方,ε[,Q]P.B.=εΣk[(∂A/∂φk)(∂Q/∂πk)-(∂A/∂πk)(∂Q/∂φk)]Σk[(∂A/∂φk)δLφkε(∂A/∂πk)(∂Q/∂φk)]と書けます。

 

物理量QがδLφi=ε∂Q/∂πiεi(x),Q]P.B.を満たし,変換の生成子となっている場合,

 

一般にδLA=ε[,Q]P.B.となるであろうという予測に基づいて考察していたのですが,今のところは,どうもうまくいきません。

 

古典論でLie微分とPoisson括弧は,HamiltonianをHとして,

A/dt=[,H]P.B.なる関係があることから類推して,

 

Lie変分についてもPoisson括弧は同等な内容を与えるであろうと思ったのですが,当面はこの項目の議論を延期します。(Pendingです。)

 

(Arnoldの「古典力学の数学的方法」やAi.George(ジョージ・アイ)の「物理学におけるリー代数」,あるいは微分幾何や力学系の本でも読めばいいのかしら。。)

今は古典場の話をしているのですが,u,vが量子論の演算子,または作用素である場合には[u,v]を交換子:[u,v]≡uv-vuと定義します。

 

古典論のPoisson括弧と量子論の交換子の間に[u,v]P.B.=[u,v]/(ihc)なる対応原理を与えれば,これは古典論を量子化して量子論にすることと同等であるという命題が,Diracらによって示された,という歴史的経緯もあります。

 

ただし,hc≡h/(2π)はPlanck定数です。

この対応原理を適用すれば,古典論の生成子Qに対する

i(x),Q]P.B.=Gij,∂μφj)なる基本式は,

 

Qが演算子であって,φi(x)が量子場を示す演算子である場合には,

(i/hc)[i(x)]=Gij,∂μφj)なる表式に変わります。

 

そこで,この対称性変換での量子場の無限小変換は,

φi(x)+δLφi()=φi(x)+εij,∂μφj)

φi(x)+(iε/hc)[i(x)] と書けます。

ここで,θをパラメータとする場φi(x)のユニタリ(unitary)変換:

exp(iθ/hc)φi(x)exp(-iθ/hc)を考えると,

 

この変換において,特にθが無限小:θ=εの場合,

 

これはexp(iε/hc)φi(x)exp(-iε/hc)

φi(x)+(iε/hc)[i(x)]と書けるので,

 

φi(x)+εij,∂μφj)

=exp(iε/hc)φi(x)exp(-iε/hc) となります。

 

したがって,この変換に伴なって場が受ける変換は,Noether保存量Qに相当する演算子を生成子(generator)としたユニタリ変換という形で表現されることがわかります。

そして,古典場の場合と同様,Aをφi(x),πi(x)の任意の汎関数とすると,δL(iε/hc)[,]ですから,

exp(iε/hc)Aexp(-iε/hc)=AδLAとなるはずです。 

これ以上の余談的な考察を続けるには,対称性変換が線型リー群と呼ばれる変換群を形成し,群全体の代数的性質を決定するには無限小(接触)変換を調べれば十分であること,

 

それ故,"群の生成子の線型結合やそのPoisson括弧,または交換子で構成される線形空間=リー環,あるいはリー代数"の構造を調べればよい,とかいった数学的議論になると思われるので,

 

何かその種の数学の本を参照しなければ無理ですが,この記事での本題ではないので,そうしたことは,またの機会に譲って次に移ります。

,必要なのは場のエネルギー運動量テンソルですが,これは並進,つまり,時空座標の平行移動変換:x=xμ+εημ=xμ-δμに対して作用が不変なこと,

 

すなわち,時空の一様性,言い換えると時空座標の原点をどこに取ろうと理論は同じであるという性質から得られるNoether保存量です。

 

この対称性を有するLagrangian密度は,これまで前提としてきた最も一般的な形の座標xを陽に含んだもの:(x,φi(x),∂μφi(x))ではなくて,xを陽には含まない(φi(x),∂μφi(x))なる形と考えます。

そして,この場合の変換ではgi0 なので,x=xμ+εημ=xμ-δμに伴なうφiのLie変分はδLφi(x)=εGij,∂μφi)=δρρφj(x)となります。

また,Sだけでなくもこの座標変換の不変量であると考えると,δL=ε∂μi{∂/∂(∂μφi)}Gij,∂μφj)]=ε∂μμj,∂μφi)=δρρ が成立します

そこで,関数が座標xに陽には依存しない場合のNoeter保存カレントの表式:jμ(x)=Σi{∂/∂(∂μφi)}Gij,∂μφj)μj,∂νφi)の両辺にεを掛けた等式で,εGij,∂μφi)=δρρφjμj,∂νφi)=δρρを代入します。

 

この時空座標の平行移動の対称変換については「Noetherお定理」の証明における最後の式ε∂μμ(x)=0 を意味するものとして,δρμi{∂/∂(∂μφi)}∂ρφi-δρμ]0 なる恒等式が得られます。

したがって,この場合は唯一の無限小パラメータεに関する恒等式:

ε∂μμ(x)=0 から,唯一のカレントjμ(x)の保存:

μμ(x)=0を導き出した前記の証明での手続きにおけるものとは違う形の恒等式が得られます。

 

すなわち,ρ=0,1,2,3の各々に対応した独立な4つの任意パラメータδρに関する恒等式:δρμi{∂/∂(∂μφi)}∂ρφi-δρμ]0

を得ます。

 

それぞれのρに対応して,∂μρμ(x)=0 を満たす4つのNoether保存カレントjρμ(x)が存在することがわかります。

 

それらは,jρμ(x)=Σi{∂/∂(∂μφi)}∂ρφi-δρμ

で表現されます。 

そして,これら時空座標の平行移動に対する理論の不変性に伴なうカレントjρμ(x)を特にTρμ(x)と書いて,これを(正準)エネルギー運動量テンソル(canonical energy-momentum tensor)と呼びます。

 

この場合,保存カレントjμ(x)の第ゼロ成分から構成され,変換の生成子を形成するNoether保存量:Q=∫j0(,t)d3も4つの保存カレントjρμ(x)=Tρμ(x)に対応して,ρ=0,1,2,3の各々の平行移動変換の生成子を形成します。

これら4つの"生成子=Noether保存量"をQρ≡∫Tρ0(,t)d3と表記することにします。

 

さらに,混合テンソル表現;Tμν=Σi{∂/∂(∂νφi)}∂μφi-δμνを反変テンソル表現に変えて,

 

μν=ημρρν=Σi {∂/∂(∂νφi)}∂μφi(x)-ημν

と表わせば,Qμ=∫Tμ0(,t)d3と書けます。 

ところが,元々Noether保存カレントやNoether保存量は,全体に共通の定数を乗じても保存方程式を満たす保存量としての意味は同じです。

 

これは,単位はどのように取ってもかまわない,という意味でもありますが,要するに,その定義には定数係数だけの任意性があり一般に一意には決まりません。

しかし,時間の一様性,つまり時間tについての無限小平行移動:t*=t-ηに対する不変性に伴なう"Noether保存量=生成子"は系のエネルギーEであり,空間についての無限小平行移動*δに対する不変性に伴なう"Noether保存量=生成子"は系の運動量である,とされています。 

また,0=∫T00(x)d3=∫i{∂/∂(∂0φi)}∂0φi]3の右辺は,系のLagrangianをL=∫3と書いたとき,

 

多粒子系のHamiltonian:H=Σi{∂L/∂(dqi/dt)}(dqi/dt)

-L=Σii(dqi/dt)-Lの連続体への拡張になっていることが

明らかです。

 

それ故,0系のエネルギーEを意味すると考えられるので,

0=E=∫T00(x)d3と書けます。 

ところが,時空座標の無限小の平行移動x=xμ-δμのうち,特に保存量:Q0の存在を保証する第ゼロ成分の座標x0=ctに関する平行移動:

*0=x0-δ0を,時間座標tに関するそれで表現すると,

ct*=ct-δ0,またはt*=t-δ0/cとなります。

そこで,恒等式δρμρμ(x)=δρμi{∂/∂(∂μφi)}∂ρφi(x)-δρμ]0 から決まるカレントρμ(x)によって,

0=E=∫T00(x)d3を与える恒等式のρ=0 の成分に対する係数パラメータはδ0ではなく,t*=t-δ0/cに対応してδ0/cです。

 

パラメータ係数δρの無限小変換から定まるカレントρμ(x),あるいは保存量Qρをρについて対等に扱うと,

 

ρ=0 のt*=t-δ0/cに対応するQ0=Eから,保存量の反変ベクトル

μ(Q0,)が,4元運動量PμによりQμ=Pμ/c=(E,/c)

と表現できることがわかります。

余談ですが,一般に時空の一様性は,対象領域が空間の一部に限定されたような場合には成立しません。

 

例えば熱統計力学を考察する際に通常設定される狭い箱の中に閉じ込められた多粒子系というモデルでは,空間の一様性に起因する運動量保存は成立せず,時間の一様性によるエネルギー保存のみが成立します。

さて,電磁場の場合,私がかつて学生時代の専門としていたQED(量子電磁力学)のように微視的個数の電子と光子の衝突散乱などを対象とする場合,

   

空気のような媒質中の現象を対象とする場合は,物質中の電場,磁場でも真空中の微視的効果の巨視的平均と考える「Lorentzの電子論」と同じく,基本的に光子を表わすものとして真空中の電磁場のみを考えます。

そして真空中の物理系であれば「電磁気学と相対論(6)(真空中の電磁気学5)」で書いたように,不変質量密度がμ0で携帯電流密度がsμの真空中にある連続物質の帯電体も含め,

 

系全体のLagrangian密度は=-(c2ε0/4)Fμνμν-Aμμ-μ02=(-c2ε0/4)(∂Aν/∂xμ-∂Aμ/∂xν)(∂Aν/∂xμ-∂Aμ/∂xν)-Aμμ-μc2(1-2/c2)1/2と書けます。

 

そして,自由物質場の項:-μ02や電磁場と物質電荷密度の相互作用項-Aμμを除いた自由電磁場のLagrangian密度項は,

E≡-(c2ε0/4)Fμνμνとなります。

この総Lagrangian密度に対して上述のEuler-Lagrangeの運動方程式:

{∂/∂φi}-∂μ{∂L/(∂μφi)}=0 における場φi(x)を,

電磁場Aν(x)に置き換えれば,確かに電磁場のMaxwell方程式:

∂Fμν/∂xν=-sμ/(c2ε0)が得られます。

そして,このLagrangian密度からNoether定理に基づく系の(正準)エネルギー運動量テンソルの反変テンソル表現Tμνを求めると,

μν=Σi{∂/∂(∂νφi)}∂μφi(x)-ημν

{∂/∂(∂νρ)}∂μρ-ημνL となります。

 

これが,先に別の考察から得られたエネルギー運動量テンソルの表現:

 

μνθμν+Sμνμν≡μ0μν,

μν≡-(c2ε0)[Fλμλν-(1/4)ημν(Fσρσρ)]

=-(c2ε0)[ημδλδλν-(1/4)ημν(Fσρσρ)]

 

と完全に一致すればよかったのですが,実は∂tμν/∂xν=0 を満たす

テンソルtμνだけ違っています。

すなわち,真空中で特に物質場を無視した電磁場単独のLagrangian密度:

E=-(c2ε0/4)Fμνμνに対し,Noether保存量として得られるエネルギー運動量テンソルの反変テンソル表現は,

 

Eμν{∂E/∂(∂νρ)}∂μρ-ημνE

=-(c2ε0)[-ημδδλλν-(1/4)ημν(Fσρσρ)]

 

となります。

 

上にも述べたように,この表現は真空中の電磁気学のこれまでの議論から得られた電磁エネルギー運動量テンソルの表現:

μν=-(c2ε0)[ημδλδλν-(1/4)ημν(Fσρσρ)]

とは微妙に異なっていて.

 

μν≡-(c2ε0μδλδλνとすれば

μν=TEμνμνとなります。

 

Noetherの定理によって,もちろん∂TEμν/∂xν=0 ですが,

運動方程式:∂Fμν/∂xν=0 より,明らかに

∂tμν/∂xν=-(c2ε0μδ(∂λνδ)Fλν=0 ですから

 

Eμν,Sμνのいずれを電磁エネルギー運動量テンソルとして採用しても問題はありません。

 

しかし,Sμνの方は対称テンソルでかつtraceless(対角和がゼロ)という閉じた系でのエネルギー運動量テンソルの条件を全て満足していますから,

 

通常は素朴なNoetherカレントTEμνではなく,これにtμνを加えたSμνを電磁エネルギー運動量テンソルとします。

 

物質中と異なり真空中の電磁場については,これで異論もなく全く問題はありません。

 

一方,物質中の電磁場に対するMinlowskiの電磁エネルギー運動量テンソルSμνもAbrahamのそれ:Aμν,元々物質が電磁気的に等方的な場合,

 

すなわち,εを誘電率,μを透磁率として,Hμνν/c2

=εFμνν,Fμνλ+Fνλμ+Fλμν

=μ(Hμνλ+Hνλμ+Hλμν)と書ける場合,

 

ε→ε0,μ→μ0としたとき真空のSμνに帰するよう作られています。

そして,Minkowskiの電磁エネルギー運動量テンソル:Sμν=-ηνσμλσλ+(1/4)Fλσλσημνが,(正準)エネルギー運動量テンソル:

Eμν=ημρEρν{∂E/∂(∂νρ)}∂μρ-ημνE に,

μνを除いて一致するような電磁場のLagrangian密度Eを考えて,

E=-(1/4)Fλσλσとします。

 

これは,ε→ε0,μ→μ0では確かに真空中のLagrangian密度:

E=-(c2ε0/4)Fμνμνに一致します。

 

このE=-(1/4)Fλσλσにおいて,λσ=∂λσ-∂σλであり,

0系ではE0=-(1/4)0λσ0λσ=-(2ε/4)F0λσ0λσです。

 

(正準)エネルギー運動量テンソル:TE0μνはTE0μν+t0μν

{∂E0/∂(∂0νρ)}∂0μ-ημνE0+t0μν

=-ηνσ0μλ0σλ+(1/4)F0λσ0λσημν=S0μν

となります。

 

すなわち,静止系S0ではTE0μν+t0μνはMinkowskiの電磁エネルギー運動量テンソルS0μνに一致します。

 

そこで,テンソルの性質から任意のS系においてもTEμν+tμν=ημρEρν{∂E/∂(∂νρ)}∂μρ-ημνE+tμν=Sμνです。

  

それ故,Noether理論による電磁エネルギー運動量テンソルTEμν+tμνが,Minkowskiの電磁エネルギー運動量テンソルSμνに一致することがわかります。

さらに,系全体のLagrangian密度は携帯電流密度sμを全電流密度Jμに変えた形のE-Aμμ-μ02

(1/4)Fλσλσ-Aμμ-μc2(1-u2/c2)1/2になります。

 

そこで,Aν(x)についてのEuler-Lagrangeの運動方程式

{∂/∂Aν}-∂μ{∂L/(∂μν)}=0 も拡張されたMaxwell方程式

である∂Hμν/∂xν=-Jμになります。

 

したがって,Noetherの定理の観点から電磁エネルギー運動量テンソルを見直すなら,Abrahamの表現と比較してMinkowskiの表現の優越性が示されるようです。

 

部分的な電磁場のみのテンソル:TEμν+tμν=Sμνが非対称でも,物質場を含めた全体のテンソルμν=θμν+Sμνは対称テンソルになることが可能なので,電磁エネルギー運動量テンソルについてはMinkowskiの非対称な表現でも問題ないと思います。

 

参考文献:九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館),L.Fonda and G.C.Ghirardy 著「Symmetry Principles In Quantum Physics」(Marcel Dekker Inc. New.York(1970))

 

PS:「インターネット検索」から,Michael Forger and Hartmann Römerによる表題「Currents and the Energy-Momentum Tensor in Classical Field Theory」の2003年の論文:

(http://arxiv.org/abs/hep-th/0307199)を見つけて入手しましたが,

印刷すると91ページの大部で読むだけでも大変です。

そこで,取り合えずざっと眺めてみましたが,その限りでは上で論じたような計量が平坦なημνの時空上だけではなく,一般の曲がった計量gμνを持つ時空上の話を想定しているようです。

 

平坦な時空でNoether保存量としてエネルギー運動量テンソルを得る基になった時空の対称性,すなわち単純な"時空座標の平行移動に対する不変性=時空の大域的一様性"は曲がった時空においては局所的領域で考える必要があることなども述べられています。

そして,電磁場のようなゲージ(gauge)場と物質場との総和の総Lagrangian:L=Lg+Lmを考えているわけですが,

 

gを自由ゲージ場のLagrangianとして,物質場とゲージ場の相互作用項はLmの中に含めた表現を取るとき,gについては論じる必要がなく改善された正しい総エネルギー運動量テンソルは物質場のLagrangianLmのみから決まるということが述べられています。

次に,上のLmをさらに物質場と"時空自身の重力場=ゲージ場"とに分割して改めてLg+Lmと書けば,Noether保存量として得られる総エネルギー運動量テンソルTμνはTμν=-2δLm/δgμνなる式で与えられ,

これはgμνが対称なので必然的に対称テンソルであるという話を数学的に展開しているようです。

 

これは真空中の場であり,それゆえ上記ブログ記事での物質中の電磁場のMinkowskiやAbrahamの話とは関係がなさそうです。

 

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