相対論の幾何学(第Ⅰ部-1:平面曲線)

　相対性理論,特に一般相対性理論の運動学を表現するための基本的な部分は,ほとんど時空多様体の上での幾何学,それも微分幾何学そのものであると言ってもよいくらいなので,それを理解するために直感的なイメージから抽象的な概念)にわたる系統的で数学的な説明を試行してみます。

できるだけ平易な部分から始めたいので,まず２次元平面内の曲線から始めます。平面の"座標＝位置ベクトル"をｒ≡(ｘ,ｙ)とし,平面曲線をパラメータ(媒介変数)表示でｒ(ｔ)＝(ｘ(ｔ),ｙ(ｔ))と書くことにします。

ここで,ｔは時間を意味するわけではなく単なるパラメータです。そしてｒ(ｔ)のｔによる微分ｄｒ/ｄｔ＝(ｄｘ/ｄｔ,ｄｙ/ｄｔ)を特にｒ^d(ｔ)≡ｒ^dot(ｔ)＝(ｘ^d(ｔ),ｙ^d(ｔ))と表記することにします。

　ちなみに,もしｒ(ｔ)が時間ｔによる粒子の運動の軌跡を示すのであれば,ｒ^d(ｔ)＝ｄｒ/ｄｔは運動の速度ベクトルを示します。

　そして,このときにはｒ^d(ｔ)の大きさ|ｒ^d(ｔ)|≡[{ｘ^d(ｔ)}²＋{ｙ^d(ｔ)}²]^1/2は速さを示し,ｒ^2d(ｔ)＝(ｘ^2d(ｔ),ｙ^2d(ｔ))≡ｄ²ｒ/ｄｔ²＝(ｄ²ｘ/ｄｔ²,ｄ²ｙ/ｄｔ²)は加速度ベクトルです。

　曲線ｒ(ｔ)(ａ＜ｔ＜ｂ)の長さ(弧長)は∫_a^b|ｒ^d(ｔ)|ｄｔで与えられます。そこで,ｓ(ｔ)≡∫₀^t|ｒ^d(ｕ)|ｄｕと定義すれば,ｓ(ｔ)はｔが 0 からｔまで変動するときに描く曲線の長さです。

　そして微積分学の基本定理によってｓ^d(ｔ)＝|ｒ^d(ｔ)|です。

　全てのｔでｓ^d(ｔ)＝|ｒ^d(ｔ)|≠0 なら常にｄｓ/ｄｔ＝|ｒ^d(ｔ)|＞0 なので,ｓ(ｔ)はｔの単調増加関数です。そこで単調増加の逆関数が存在します。

　もし,ｓ^d(ｔ)＝0 の点があればそこではｔは一意的ではありませんが,連続になるようなｔを選択してｓ＝ｓ(ｔ)の１つの逆関数をｔ＝ｔ(ｓ)と書き,これをｒ(ｔ)に代入することで曲線を表現するパラメータとしてｔの代わりにｓを採用することができます。

簡単のために,この表示での曲線ｒ(ｔ(ｓ))＝(ｘ(ｔ(ｓ)),ｙ(ｔ(ｓ)))を,改めてｒ(ｓ)＝(ｘ(ｓ),ｙ(ｓ))と表記します。

そして,曲線のｓによる微分ｄｒ/ｄｓ＝(ｄｘ/ｄｓ,ｄｙ/ｄｓ)をｒ'(ｓ)＝(ｘ'(ｓ),ｙ'(ｓ))と書くことにします。

このとき,ｄｒ/ｄｓ＝(ｄｒ/ｄｔ)(ｄｔ/ｄｓ)より,|ｒ'(ｓ)|＝|ｒ ^d(ｔ)|(ｄｔ/ｄｓ)＝ｄｓ/ｄｓ＝1 ですから,ｒ'(ｓ)＝ｄｒ/ｄｓは単位ベクトルになります。

そこでｒ'(ｓ)＝ｄｒ/ｄｓをｅ₁(ｓ)と表記することにします。すなわち,ｅ₁(ｓ)＝ｒ'(ｓ)です。

幾何学的には,ｓ＝ｓ₀に対応するｅ₁(ｓ₀)は曲線上の点ｒ(ｓ₀)における接ベクトルを表わしており,その点での接線の方程式はｒ(ｓ)＝ｒ(ｓ₀)＋ｅ₁(ｓ₀)(ｓ－ｓ₀)で与えられます。

同じ平面上でｅ₁(ｓ)に垂直な単位ベクトルは２つありますが,ｅ₁(ｓ)を"正の向き＝反時計回り"にπ/2だけ回転した方の単位ベクトルをｅ₂(ｓ)とします。

ｅ₁(ｓ)とｅ₂(ｓ)が垂直なことはパラメータｓを省略した表現では(ｅ₁,ｅ₂)＝0 と表現されます。

また,定義から,ｅ₁＝ｒ',(ｅ₁,ｅ₁)＝1,(ｅ₂,ｅ₂)＝1です。ただし,(ｅ₁,ｅ₁),(ｅ₁,ｅ₂) etc.は内積を示しています。

ここで,(ｅ₁,ｅ₁)＝1,(ｅ₂,ｅ₂)＝1をｓで微分すると,(ｅ₁',ｅ₁)＝0,(ｅ₂',ｅ₂)＝0 が得られます。

平面上のベクトルは２次元,つまりｅ₁とｅ₂の独立な２つの単位ベクトルの線型結合で表わされます。

ｅ₁とｅ₂は直交基底なので,(ｅ₁',ｅ₁)＝0 はあるスカラー値κが存在してｅ₁'＝κｅ₂と書けること意味します。

ここで,表記にパラメータｓを復活させるとｅ₁'(ｓ)＝κ(ｓ)ｅ₂(ｓ)となって,κは定数ではなくｓの関数であることが強調された表現となります。

同様に,(ｅ₂',ｅ₂)＝0 によりｅ₂'はｅ₁の定数倍で表わされますが,(ｅ₁,ｅ₂)＝0 をｓで微分した式(ｅ₁',ｅ₂)＋(ｅ₁,ｅ₂')＝0 にｅ₁'＝κｅ₂を代入すると(ｅ₁,ｅ₂')＝－κなることがわかりますから,結局ｅ₂'＝－κｅ₁を得ます。 

以上から,ｅ₁'＝0ｅ₁＋κｅ₂, ｅ₂'＝－κｅ₁＋0ｅ₂ となり,ｅ_i'＝Σ_jａ_ijｅ_j(i＝1,2)なる線型変換の表現が可能です。

すなわち,^t(ｅ₁',ｅ₂')＝Ａ^t(ｅ₁,ｅ₂)なる表現を与える２次の正方行列をＡ＝(ａ_ij)とすると,これは交代行列(ａ_ji＝－ａ_ij)になります。

また,ｅ₁'(ｓ)＝κ(ｓ)ｅ₂(ｓ)によりｅ₁'(ｓ)は曲線上の点ｒ(ｓ)における接線ベクトルｅ₁(ｓ)に垂直で長さが|κ(ｓ)|のベクトルを示しています。

もしも,曲線が半径ａの円なら,これは原点を中心とする場合,ｒ(ｔ)＝(ｘ(ｔ),ｙ(ｔ))＝(ａcosｔ,ａsinｔ)(ａ＞0)と表現されます。このとき,ｒ^d(ｔ)＝(ｘ^d(ｔ),ｙ^d(ｔ))＝(－ａsinｔ,ａcosｔ)でｓ(ｔ)＝∫_o^t|ｒ^d(ｕ)|ｄｕ＝ａｔです。

そこで,この円はｓをパラメータとする表現ではｒ(ｓ)＝(ｘ(ｓ),ｙ(ｓ))＝(ａcos(ｓ/ａ),ａsin(ｓ/ａ))となります。

したがって,ｅ₁(ｓ)＝ｒ'(ｓ)＝(－sin(ｓ/ａ),cos(ｓ/ａ)),ｅ₂(ｓ)＝(－cos(ｓ/ａ),－sin(ｓ/ａ))と書けますから,ｅ₁'(ｓ)＝(－(1/ａ)cos(ｓ/ａ),－(1/ａ)sin(ｓ/ａ))＝(1/ａ)ｅ₂(ｓ)となります。それ故,この場合にはκ(ｓ)＝(1/ａ)(一定)です。

そして,ｅ₂'(ｓ)＝((1/ａ)sin(ｓ/ａ),－(1/ａ)cos(ｓ/ａ))＝－(1/ａ)ｅ₁(ｓ)ですから,ｅ₂'(ｓ)＝－κ(ｓ)ｅ₁(ｓ)も確かに満足されています。

一般の曲線においても円の半径ａに相当するρ(ｓ)≡1/κ(ｓ)を曲率半径と呼び,その逆数で円の場合の1/ａに相当するκ(ｓ)＝1/ρ(ｓ)を曲率と呼ぶことにします。

逆に曲率がκ(ｓ)＝1/ρ(ｓ)＝1/ａ＞0 (一定)の曲線をｒ(ｓ)とするとき,これが円になることを証明しておきましょう。

まず,ｒ(ｓ)＋ｅ₂(ｓ)/κ(ｓ)＝ｒ(ｓ)＋ａｅ₂(ｓ)は円の中心の位置べクルになると予想されるので,これをｓで微分すると,今のκ(ｓ)＝1/ａの場合にはｅ₁(ｓ)＋ａ{－(1/ａ)ｅ₁(ｓ)}＝0 となります。

したがって,ｒ(ｓ)＋ａｅ₂(ｓ)はｓによらない定点ですから,この点をｒ₀と置けば,これは円の中心になる資格があります。

そして,実際に|ｒ₀－ｒ(ｓ)|＝ａ(一定)ですから,ｒ(ｓ)はｒ₀を中心としａ＝1/κを半径とする円を表わしていることがわかります。

ここで,曲率κ(ｓ)を座標(ｘ(ｓ),ｙ(ｓ))によって陽に表現する式を求めておきます。

まず,ｅ₁＝(ｘ',ｙ')なので,ｅ₂＝(－ｙ',ｘ')と書けます。

ｅ₁'＝(ｘ",ｙ")なので,(ｅ₁',ｅ₁)＝ｘ"ｘ'＋ｙ"ｙ'＝(1/2)(ｄ/ｄｓ)(ｘ'²＋ｙ'²)＝(1/2)(ｄｓ²/ｄｓ)＝0 です。

また,(ｅ₁',ｅ₂)＝ｘ'ｙ"－ｙ'ｘ"ですから,ｅ₁'＝κｅ₂で定義される曲率κは,κ＝(ｅ₁',ｅ₂)＝ｘ'ｙ"－ｙ'ｘ"と表わされます。

パラメーターが弧長ｓではなく一般のｔである場合はｄ/ｄｓ＝(ｄ/ｄｔ)(ｄｔ/ｄｓ)を用いればｓ微分による表現をｔ微分によるそれに変換できます。

ｄｔ/ｄｓ＝(ｄｓ/ｄｔ)^-1＝1/{(ｘ^d)²＋(ｙ^d)²}^1/2＝1/|ｒ^d(ｔ)|ですから,ｄ/ｄｓ＝{1/|ｒ^d(ｔ)|}(ｄ/ｄｔ)ですね。

そこで,ｅ₁＝(ｘ',ｙ')＝(ｘ^d,ｙ^d)/|ｒ^d(ｔ)|＝ｒ^d(ｔ)/|ｒ^d(ｔ)|,ｅ₂＝(－ｙ',ｘ')＝(－ｙ^d,ｘ^d)/|ｒ^d(ｔ)|です。

さらにｅ₁'＝(ｄｅ₁/ｄｔ)/|ｒ^d(ｔ)|なので,曲率はκ＝(ｅ₁',ｅ₂)＝(ｄｅ₁/ｄｔ,ｅ₂)/|ｒ^d(ｔ)|と表現されます。

ここで,ｅ₁＝ｒ^d(ｔ)/|ｒ^d(ｔ)|よりｒ^d(ｔ)＝ｅ₁|ｒ^d(ｔ)|ですが,この両辺をｔで微分するとｒ^2d(ｔ)＝(ｄｅ₁/ｄｔ)|ｒ^d(ｔ)|＋ｅ₁(ｄ|ｒ^d(ｔ)|/ｄｔ)となります。

そして(ｅ₁,ｅ₂)＝0 ですから(ｒ^2d(ｔ),ｅ₂)＝(ｄｅ₁/ｄｔ,ｅ₂)|ｒ^d(ｔ)|,つまり(ｄｅ₁/ｄｔ,ｅ₂)＝(ｒ^2d(ｔ),ｅ₂)/|ｒ^d(ｔ)|です。 

したがって,結局,曲率はκ＝(ｄｅ₁/ｄｔ,ｅ₂)/|ｒ^d(ｔ)|＝(ｒ^2d(ｔ),ｅ₂)/|ｒ^d(ｔ)|²＝(ｘ^dｙ^2d－ｙ^dｘ^2d)/{(ｘ^d)²＋(ｙ^d)²}^3/2と表わされることがわかりました。 

合同変換による移動を除けば,平面曲線は曲率のみで決まることを示す定理を２つ述べておきます。

[定理１]:ｒ(ｓ),ｒ^(ｓ);(0≦ｓ≦ｌ)を共に弧長ｓをパラメータとする長さｌの２つの平面曲線とする。

これらが回転と平行移動で重ね合わせることができる(合同である)ための必要十分条件は両者の曲率が一致することである。

(証明)２曲線が合同で,それ故,２次の回転行列(＝直交行列)をＴ (^tＴＴ＝Ｔ^tＴ＝Ｉ)として,ｒ^(ｓ)がｒ(ｓ)からの回転と平行移動によってｒ^(ｓ)＝Ｔ{ｒ(ｓ)－ｒ(0)}＋ｒ^(0)と表現できるとします。

このとき両辺をｓで微分するとｅ^₁(ｓ)＝ｄｒ^(ｓ)/ｄｓ＝Ｔ{ｄｒ(ｓ)/ｄｓ}＝Ｔｅ₁(ｓ)が得られます。

そしてＴは平面上での回転を示しているので,ｅ₁(ｓ),ｅ^₁(ｓ)をそれぞれ正の向きにπ/2だけ回転させたｅ₂(ｓ),ｅ^₂(ｓ)に対してもｅ^₂(ｓ)＝Ｔｅ₂(ｓ)が成立します。

これらｅ^₁(ｓ)＝Ｔｅ₁(ｓ),ｅ^₂(ｓ)＝Ｔｅ₂(ｓ)をさらにｓで微分するとｅ^₁'(ｓ)＝Ｔｅ₁’(ｓ),ｅ^₂'(ｓ)＝Ｔｅ₂’(ｓ)となります。

ところがｅ₁'(ｓ)＝κ(ｓ)ｅ₂(ｓ),ｅ₂'(ｓ)＝－κ(ｓ)ｅ₁(ｓ)より,Ｔｅ₁'(ｓ)＝κ(ｓ)Ｔｅ₂(ｓ),Ｔｅ₂'(ｓ)＝－κ(ｓ)Ｔｅ₁(ｓ)です。

すなわち,ｅ^₁'(ｓ)＝κ(ｓ)ｅ^₂(ｓ),ｅ^₂'(ｓ)＝－κ(ｓ)ｅ^₁(ｓ)が成立します。

したがって,合同な２曲線の曲率は一致することがわかりました。

逆に２曲線の曲率κ(ｓ),κ^(ｓ)が等しいとき,局所的には回転行列Ｐ(ｓ) (^tＰ(ｓ)Ｐ(ｓ)＝Ｐ(ｓ)^tＰ(ｓ))によってｄｒ^(ｓ)＝Ｐ(ｓ)ｄｒ(ｓ)と書けますから,ｅ^₁(ｓ)＝Ｐ(ｓ)ｅ₁(ｓ),ｅ^₂(ｓ)＝Ｐ(ｓ)ｅ₂(ｓ)です。

これをｓで微分すると,ｅ^₁'(ｓ)＝Ｐ(ｓ)ｅ₁'(ｓ)＋Ｐ'(ｓ)ｅ₁(ｓ)＝Ｐ'(ｓ)ｅ₁(ｓ)＋Ｐ(ｓ)κ(ｓ)ｅ₂(ｓ)となります。

一方,仮定κ^(ｓ)＝κ(ｓ)によりｅ^₁'(ｓ)＝κ^(ｓ)ｅ^₂(ｓ)＝κ^(ｓ)Ｐ(ｓ)ｅ₂(ｓ)＝Ｐ(ｓ)κ(ｓ)ｅ₂(ｓ)も成立します。

それ故,恒等的にＰ'(ｓ)ｅ₁(ｓ)＝0 となることが必要です。これはＰ'(ｓ)＝0 を意味します。

したがって,Ｐ(ｓ)＝Ｔ(一定),^tＴＴ＝Ｔ^tＴ＝Ｉと書くことができます。すなわち,ｄｒ^(ｓ)＝Ｔｄｒ(ｓ)ですが,これを積分するとｑを積分定数のベクトルとして,r^(ｓ)＝Ｔｒ(ｓ)＋ｑとなります。

これにｓ＝0 を代入することによって,ｑ＝ｒ^(0)－Ｔｒ(0)が得られます。

結局,ｒ^(ｓ)＝Ｔ{ｒ(ｓ)－ｒ(0)}＋ｒ^(0)という形の回転プラス平行移動の変換によって,ｒ(ｓ)をｒ^(ｓ)にピッタリと重ねあわせることが可能であることが示されました。

(証明終わり)

[定理２]:(曲線論の基本定理):パラメータｓの閉区間[0,ｌ]で定義された滑らかな関数κ(ｓ)(0≦ｓ≦ｌ)に対して,ｓを弧長としκ(ｓ)を曲率とする平面曲線ｒ(ｓ)(0≦ｓ≦ｌ)が存在する。

さらに,このような曲線は回転と平行移動で写すことが可能なものを除いて一意的である。

(証明)後半の一意性の部分は定理１そのものです。

また,与えられたκ(ｓ)に対して曲線ｒ(ｓ)をｒ(ｓ)＝(ｘ(ｓ),ｙ(ｓ)),ｘ(ｓ)≡∫₀^scos{∫₀^tκ(ｕ)ｄｕ}ｄｔ,ｙ(ｓ)≡∫₀^ssin{∫₀^tκ(ｕ)ｄｕ}ｄｔによって定義すれば,ｄｒ/ｄｓ＝(cos{∫₀^sκ(ｕ)ｄｕ},sin{∫₀^sκ(ｕ)ｄｕ})により|ｄｒ/ｄｓ|＝1なので,ｓは確かにこの曲線ｒ(ｓ)の弧長です。

そこで,ｅ₁(ｓ)＝ｄｒ/ｄｓ＝(cos{∫₀^sκ(ｕ)ｄｕ},sin{∫₀^sκ(ｕ)ｄｕ})と置くことができて,ｅ₂(ｓ)はｅ₂(ｓ)＝(－sin{∫₀^sκ(ｕ)ｄｕ},cos{∫₀^sκ(ｕ)ｄｕ})となります。

したがってｅ₁'(ｓ)＝ｄｅ₁/ｄｓ＝κ(ｓ)(－sin{∫₀^sκ(ｕ)ｄｕ},cos{∫₀^sκ(ｕ)ｄｕ})＝κ(ｓ)ｅ₂(ｓ)を得ます。

かくして,前半部分も証明されました。

(証明終わり)

さて,平面曲線ｒ(ｓ)(ａ≦ｓ≦ｂ)は,その始点ｒ(ａ)と終点ｒ(ｂ)が一致する,すなわちｒ(ａ)＝ｒ(ｂ)なるとき,閉曲線と呼ばれます。

そして,閉曲線の曲率がκ(ｓ)で与えられるとき,ｍ≡{∫_a^bκ(ｓ)ｄｓ}/(2π)で定義される値ｍは常に整数(0,±1,±2,..)となることを示すことができます。

すなわち,曲率がκ(ｓ)のこの曲線ｒ(ｓ)(ａ≦ｓ≦ｂ)においてｓの変域を特に 0≦ｓ≦ｌとすると,上の証明におけるようにｒ(ｓ)＝(∫₀^scos{∫₀^tκ(ｕ)ｄｕ}ｄｔ,∫₀^ssin{∫₀^tκ(ｕ)ｄｕ}ｄｔ),(0≦ｓ≦ｌ)と表現できます。

そこで,θ(ｓ)≡∫₀^sκ(ｕ)ｄｕと置けば,ｒ(ｓ)の接ベクトルｒ'(ｓ)＝ｄｒ/ｄｓはｒ'(ｓ)＝(cos{θ(ｓ)},sin{θ(ｓ)})と表わされ,θ(0)＝0 によりθ(ｓ)は,ｓにおける接線ｒ'(ｓ)がｓ＝0 における接線ｒ'(0)となす角度を示しています。

そこでｒ(ｓ),(0≦ｓ≦ｌ)が滑らかな閉曲線:ｒ(0)＝ｒ(ｌ)なら,これはｒ'(0)＝ｒ'(ｌ)を意味し,偏角θ(ｌ)＝∫₀^lκ(ｓ)ｄｓは2πの整数倍でなければならないことがわかります。

そこで,一般に 0≦ｓ≦ｌではなく,ａ≦ｓ≦ｂで定義された曲率がκ(ｓ)の閉曲線ｒ(ｓ)(ｒ(ａ)＝ｒ(ｂ))においても,積分値ｍ≡{∫_a^bκ(ｓ)ｄｓ}/(2π)はｍ＝{(θ(ｂ)－θ(ａ))/(2π)は常に整数になることが示されたことになります。

この整数ｍを回転数と言います。

今日はここまでにして,次回は３次元の空間曲線から始めます。

参考文献:梅原雅顕,山田光太郎 著「曲線と曲面」(裳華房),小林昭七著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房)

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