重力崩壊とブラックホール(2)

星の重力崩壊の話題の続きです。

遠方の観測者から見た重力崩壊と観測者の時間の関係を考えます。

圧力Ｐがゼロの場合の星の表面の運動はシュヴァルツシルト時空における自由落下運動と同じです。特に動径方向の運動を考えれば十分だと思われます。

シュヴァルツシルト時空の計量はｄｓ²＝(1－2ｍ/ｒ)ｄｔ²－ｄｒ²/(1－2ｍ/ｒ)－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)ですが,この時空では計量テンソルの成分ｇ_μνでゼロでないものは,ｇ₀₀＝1－2ｍ/ｒ,ｇ₁₁＝－(1－2ｍ/ｒ)^-1,ｇ₂₂＝－ｒ²,ｇ₃₃＝－ｒ²sin²θのみです。

この重力場の中での粒子の運動方程式,すなわち測地線の方程式はｄ²ｘ^ρ/ｄλ²＋Γ^ρ_σν(ｄｘ^ν/ｄλ)(ｄｘ^σ/ｄλ)＝0 で与えられます。

ここでΓ^ρ_μνは接続係数と呼ばれるもので,Γ^σ_μν＝(ｇ^σρ/2)(ｇ_ρν,μ＋ｇ_ρμ,ν－ｇ_μν；ρ)です。陽な形に書かれた接続係数をクリストッフェルの記号とも言います。(捩率ゼロの接続の場合)

この方程式ｄ²ｘ^ρ/ｄλ²＋Γ^ρ_σν(ｄｘ^ν/ｄλ)(ｄｘ^σ/ｄλ)＝0 において,光ではない質量のある物質の運動を想定してμ＝0,λ＝ｓとし,θ,φが一定の動径ｒ方向の軌道のみが問題になる場合を考えると,ｄ²ｔ/ｄｓ²＋Γ⁰₀₀(ｄｔ/ｄｓ)²＋(Γ⁰₀₁＋Γ⁰₁₀)(ｄｔ/ｄｓ)(ｄｒ/ｄｓ)＋Γ⁰₁₁(ｄｒ/ｄｓ)²＝0 となります。

ここで,以前のｇ₀₀＝exp(2ψ),ｇ₁₁＝－exp(λ)なる表現では接続係数はΓ⁰₀₀＝ψ^d, Γ⁰₀₁＝Γ⁰₁₀＝ψ',Γ⁰₁₁＝λ^dexp(λ－2ψ)/2でした。

ただし,ψ^d≡∂ψ/∂ｔ,ψ’≡∂ψ/∂ｒ,λ^d≡∂λ/∂ｔ etc.なる記法を用いています。

今の場合には,exp(2ψ)＝1－2ｍ/ｒ,exp(λ)＝(1－2ｍ/ｒ)^-1で,ψ^d＝λ^d＝0 であって,ｍは時間によらず,ｒにも独立な積分定数です。

　故に,Γ⁰₀₀＝Γ⁰₁₁＝0 ,Γ⁰₀₁＋Γ⁰₁₀)＝2ψ'＝ｄ{ln(ｒ－2ｍ)－ln(ｒ)}/ｄｒ＝2ｍ/{ｒ(ｒ－2ｍ)}＝(ｒ_g/ｒ²)/(1－ｒ_g/ｒ)です。

ここで,最後の式で,シュヴァルツシルト半径という意味でｒ_g≡2ｍ (2Ｇｍ/ｃ²)としました。

そこで,ｄ²ｔ/ｄｓ²＋(ｒ_g/ｒ²)(1－ｒ_g/ｒ)^-1(ｄｔ/ｄｓ)(ｄｒ/ｄｓ)＝0 です。

Ｔ≡ｄｔ/ｄｓとおけば,ｄＴ/ｄｓ＝－(ｒ_g/ｒ²)(1－ｒ_g/ｒ)^-1Ｔ(ｄｒ/ｄｓ),or ∫ｄＴ/Ｔ＝－∫ｄｒ(ｒ_g/ｒ²)(1－ｒ_g/ｒ)^-1です。

すなわち,lnＴ＝lnｒ－ln(ｒ－ｒ_g)＋const.です。そこでｄｔ/ｄｓ＝Ｔ＝ｋ(1－ｒ_g/ｒ)^-1です。

一方,μ＝1の測地線はｄ²ｒ/ｄｓ²＋Γ¹₀₀(ｄｔ/ｄｓ)²＋(Γ¹₀₁＋Γ¹₁₀)(ｄｔ/ｄｓ)(ｄｒ/ｄｓ)＋Γ¹₁₁(ｄｒ/ｄｓ)²＝0 です。

そしてΓ¹₀₀＝ψ'exp(2ψ－λ),Γ¹₀₁＝Γ¹₁₀＝λ^d/2,Γ¹₁₁＝λ'/2より,Γ¹₀₀＝(1/2){exp(2ψ)}'exp(－λ)＝(1/2)(ｒ_g/ｒ²)(1－ｒ_g/ｒ),Γ¹₀₁＋Γ¹₁₀＝0 ,Γ¹₁₁＝λ'/2＝(ｄ/ｄｒ){(－1/2)ln(1－ｒ_g/ｒ)}＝(－1/2)(ｒ_g/ｒ²)(1－ｒ_g/ｒ)^-1です。

それ故,ｄ²ｒ/ｄｓ²＋ (1/2)(ｒ_g/ｒ²)(1－ｒ_g/ｒ)(ｄｔ/ｄｓ)²－(1/2)(ｒ_g/ｒ²)(1－ｒ_g/ｒ)^-1(ｄｒ/ｄｓ)²＝0 となります。

これに,ｄｔ/ｄｓ＝ｋ(1－ｒ_g/ｒ)^-1を代入してｄｒ/ｄｓを解けば解軌道が得られますが,計量の表現ｄｓ²＝(1－ｒ_g/ｒ)ｄｔ²－(1－ｒ_g/ｒ)^-1ｄｒ²を用いて直接求める方が簡単です。

すなわち,1＝(1－ｒ_g/ｒ)(ｄｔ/ｄｓ)²－(1－ｒ_g/ｒ)^-1(ｄｒ/ｄｓ)²から,(ｄｒ/ｄｓ)²＝ｋ²－(1－ｒ_g/ｒ)＝ｒ_g{1/ｒ－1/ｒ(0)}が得られます。

ただし,ｒ(0)はｄｒ/ｄｓ＝0 のときのｒの値でｒ(0)≡ｒ_g/(1－ｋ²),またはｋ²≡1－ｒ_g/ｒ(0)で定義されます。

ｓの代わりに軌道のパラメータを遠方の観測者にとっての固有時間ｔで表わせば,(ｄｒ/ｄｔ)²＝(ｄｒ/ｄｓ)²(ｄｓ/ｄｔ)²＝ｒ_g{1/ｒ－1/ｒ(0)}ｋ^-2(1－ｒ_g/ｒ)²＝(1－ｒ_g/ｒ)²[1－(1－ｒ_g/ｒ)/{1－ｒ_g/ｒ(0)}]となります。

今の場合は,ｄｒ/ｄｔ＜0 に対応する自由落下を考察しているので,動径ｒ方向の運動はｄｒ/ｄｔ＝－(1－ｒ_g/ｒ)[1－(1－ｒ_g/ｒ)/{1－ｒ_g/ｒ(0)}]^1/2で与えられます。

ここで,ｒ(0)＝∞,つまりｒ→ ∞でｄｒ/ｄｓ→ 0 ,or ｄｒ/ｄｔ→ 0 ,ｋ²→ 1 (ｄｓ²＝ｃ²ｄｔ²)とすれば,ｄｒ/ｄｔ＝－(ｒ_g/ｒ)^1/2(1－ｒ_g/ｒ),または－∫ｄｔ＝∫ｄｒ(ｒ/ｒ_g)^3/2(ｒ/ｒ_g－1)^-1です。

ξ≡(ｒ/ｒ_g)^1/2と変数置換すれば,右辺＝2ｒ_g[ξ³/3＋ξ＋(1/2)ln{(ξ－1)/(ξ＋1)}＋const.]となります。

したがって,ｃｔ/ｒ_g＝－(2/3)(ｒ/ｒ_g)^3/2－2(ｒ/ｒ_g)^1/2－ln[{(ｒ/ｒ_g)^1/2－1}/{(ｒ/ｒ_g)^1/2＋1}]＋const.です。

これにより,今の場合の自由落下ならｒ→ｒ_gでｔ→ ∞ となり,事象の地平面に到達するのに無限大の座標時間がかかります。

逆にｄｒ/ｄｔ＞0 の場合,つまり落下とは逆で星の表面から物体を発する放物運動を考察しているのであれば,∫ｄｔ＝∫ｄｒ(ｒ/ｒ_g)^3/2(ｒ/ｒ_g－1)^-1＝2ｒ_g[ξ³/3＋ξ＋(1/2)ln{(ξ－1)/(ξ＋1)}＋const.]なので,ｃｔ/ｒ_g＝(2/3)(ｒ/ｒ_g)^3/2＋2(ｒ/ｒ_g)^1/2＋ln[{(ｒ/ｒ_g)^1/2－1}/{(ｒ/ｒ_g)^1/2＋1}]＋const.となります。

そこで,面の内側から事象の地平面に到達するにも無限大の時間がかかります。これは内部から脱出不可能であることを意味しています。

光の道筋を求める場合は,ｄｓ＝0 なので, 0＝ｄｓ²＝(1－ｒ_g/ｒ)ｄｔ²－(1－ｒ_g/ｒ)^-1ｄｒ²により,ｄｔ＝(1－ｒ_g/ｒ)^-1ｄｒとなりますから,動径がｒのところから出た光が観測者の位置の動径ｒ_obまで到達するのに要する時間をＴとすると,Ｔ＝∫_r^ｒobｄｒ(1－ｒ_g/ｒ)^-1＝ｒ_ob－ｒ＋ｒ_gln{(ｒ_ob－ｒ_g)/(ｒ－ｒ_g)}となるはずです。

そこでｒ→ｒ_gならＴ→ ∞ となります。これによって,星の重力崩壊の際に表面から出た光が観測者に到達するには無限大の時間がかかることがわかり,観測者はあたかも星の収縮が止まったように観測すると思われます。

表面から光を放出する物質の固有時間ｄτと世界時間ｄｔとの関係は,近似的にｃｄτ＝{(1－ｒ_g/ｒ)－(1－ｒ_g/ｒ)^-1(ｄｒ/ｄｔ)²}^1/2ｄｔ～ (1－ｒ_g/ｒ)ｄｔと表現されます。

ここでｄｒ/ｄｔ＝－(1－ｒ_g/ｒ)[1－(1－ｒ_g/ｒ)/{1－ｒ_g/ｒ(0)}]^1/2,かつ(ｒ_g/ｒ)＜＜0 によりｄｒ/ｄｔ～－(ｒ_g/ｒ)^1/2(1－ｒ_g/ｒ)と書けることを用いました。

さらにＴ＝∫_r^robｄｒ(1－ｒ_g/ｒ)^-1＝ｒ_ob－ｒ＋ｒ_gln{(ｒ_ob－ｒ_g)/(ｒ－ｒ_g)}により,ｒ→ｒ_gのときの世界時間ｔとｒの関係はｒ_ob－ｒ＋ｒ_gln(ｒ_ob－ｒ_g)に比べて－ｒ_gln(ｒ－ｒ_g)が支配的になるのでｔ～ －ｒ_gln(ｒ－ｒ_g)＋const. or (ｒ－ｒ_g) ∝ exp(－ｔ/ｒ_g)です。

そこでｒ→ｒ_gのとき,光の振動数ν ∝ (1/Δｔ)の時間変化は(1/Δｔ)∝(ｒ－ｒ_g)/ｒ_gなので,(ν/ν₀)∝ exp(－ｔ/ｒ_g),あるいはν∝ν₀ exp(－ｔ/ｒ_g)なる式で与えられます。

ただしν₀は(ｒ－ｒ_g)/ｒ_g＞＞1の遠方の自由空間位置での光の振動数です。

これらを評価する際の実際の時間スケールはｒ_g/ｃ～ 10^-5(ｍ/Ｍ_◎)sec程度です。(ｍは対象とする星の質量Ｍ_◎は太陽の質量です。)

動径方向以外に出る光をも考慮して,詳細な計算を実行し星のエネルギーを星の明るさＬによって表現すると,明るさＬはｒ→ｒ_gで,Ｌ∝Ｌ₀ exp{－4ｔ/(3^3/2ｒ_g))のように減衰していくことがわかります。

遠方の観測者にとって星の重力崩壊が止まっているように見える場合でも,星の明るさの方は急激に減衰して,星はまたたくまに暗くなってゆくのが観測されるはずです。

座標時間＝世界時間は重力落下につれて,ｔ～ －ｒ_gln(ｒ－ｒ_g)＋const.なる傾向を示すのに対し,固有時間τはｄｒ/ｄτ～ －(ｒ/ｒ_g)^1/2,ｒ～(3/2)^2/3ｒ_g^1/3(τ₀(ｒ)－τ)^2/3のような緩やかな関係を示すことを強調しておきます。

ここでτ₀(ｒ)はｒから出発して星の中心＝原点(origin:ｒ＝0)に到達したときのτの値です。

球対称のシュヴァルツシルト解では,計量がｄｓ²＝(1－ｒ_g/ｒ)ｄｔ²－ｄｒ²/(1－ｒ_g/ｒ)－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)なので,ｒ＝ｒ_gにおいてｇ₀₀＝0 ,ｇ₁₁＝－∞ となります。

そこでｒ＝ｒ_gでは計量としての意味が失われるため,これは時空の特異点であるように見えますが,これは見掛けの上のことであって,ｒ＝ｒ_gは真の特異点ではありません。

実際,スカラー曲率の平方はＲ²＝Ｒ^μνσρＲ_μνσρ＝12(ｒ_g)²/ｒ⁶と計算されますから,これはｒ＝ｒ_gなる面が何の特異性も示さず,真の特異点はｒ＝0 のみであることを示しています。

ｒ＝ｒ_gが特異面にならないような座標系としてはｄｓ²＝(1－ｒ_g/ｒ)ｄｔ²－ｄｒ²/(1－ｒ_g/ｒ)－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)なる計量の(ｔ,ｒ,θ,φ)から,新座標(ｔ',ｒ',θ',φ')をｔ＝ｔ'± ｒ_gln(ｒ'/ｒ_g－1)(ｒ＞ｒ_g),ｔ＝ｔ'± ｒ_gln(1－ｒ'/ｒ_g)(ｒ＞ｒ_g),ｒ＝ｒ',θ＝θ',φ＝φ'なる変換によって与えるエディントン・フィンケルシュタイン座標(Eddington-Finkelstein coordinate),

変数(ｔ,ｒ)をｕ＝±(ｒ/ｒ_g－1)^-1/2exp{ｒ/(2ｒ_g)}cosh{ｔ/(2ｒ_g)},ｖ＝±(ｒ/ｒ_g－1)^-1/2exp{ｒ/(2ｒ_g)}sinh{ｔ/(2ｒ_g)}でｕ,ｖの符号に合わせて符号±を取るような座標変数(ｕ,ｖ)に変換するクルスカル座標(Kruskal coordinate)などがあります。

しかし,物理的に見ると,ｒ＝ｒ_gの球面には,やはり特異な性質があるようです。

その主なものは,この面内に入った粒子は再び外へ出てくることができないということです。このｒ＝ｒ_g＝2Ｇｍ/ｃ²の球面をシュヴァルツシルト面と言います。

シュヴァルツシルト時空で,(ｒ,θ,φ)が一定の質点を考えると,これの描く世界線はｄｓ²＝(1－ｒ_g/ｒ)ｄｔ²です。

そしてｒ＞ｒ_gならｄｓ²＞0 で時間的(time-like)ですから,ｄｓ²＝ｃｄＴ²－ｄＸ²－ｄＹ²－ｄＺ²なる局所ローレンツ系の表現でｄＸ＝ｄＹ＝ｄＺ＝0 として質点がその位置に留まることができます。

しかし,ｒ＜ｒ_gのシュヴァルツシルト面の内側なら(ｒ,θ,φ)が一定ｄｒ＝ｄθ＝ｄφ＝0 というのは,ｄｓ²＜0 を意味し空間的(space-like)です。

これは局所ローレンツ座標(ｃＴ,Ｒ)では|ｄＲ|＝(ｄＸ²＋ｄＹ²＋ｄＺ²)^1/2＞ｃ|ｄＴ|を意味しますから,物質がこのような世界線を取ることは不可能です。

そこでｄｒ,ｄθ,ｄφがゼロではないとすることによってｄｓ²＞0 と運動を表わす時間的なものにするためには,物質は静止状態ではなく動かざるを得ません。

光の道筋はｄｒ/ｄｔ＝±(1－ｒ_g/ｒ)ですが,この境界である光円錐の向きを考えれば,ｄｓ²＞0 はｒ＞ｒ_gなら－(1－ｒ_g/ｒ)^-1ｄｒ＜ｄｔ＜(1－ｒ_g/ｒ)^-1ｄｒで,ｒ＜ｒ_gならｄｔ＜(1－ｒ_g/ｒ)^-1ｄｒ,ｄｔ＞－(1－ｒ_g/ｒ)^-1ｄｒであること意味します。

ｒ＜ｒ_gのときには動径ｒが時間軸の役割を果たすように見えます。

古典論では,ｒ＞ｒ_gの観測者はｒ＜ｒ_gに入った粒子から情報を得のることはできません。

ｒ＜ｒ_gの領域をブラックホールといい,ｒ＝ｒ_gをのシュヴァルツシルト面を事象の地平面ともいいます。

ここまでは,私が所持している通常のいくつかの書物に書かれている内容について,それらの行間を埋めてブログで平易に解説できるようにまとめたものですが,以下では持論をも書いてみます。

すなわち,2008年６/19の記事「重力崩壊によるブラックホール形成についての小考察」で書いている内容ですが,

これは重力崩壊の途中での事象の地平面ｒ＝ｒ_g＝2Ｇｍ/ｃ²の球面を与えるｍは落下している星の表面の動径位置がｒのときに,半径ｒの内部の質量ｍ(ｒ)を意味しており,それゆえｒ_g＝2Ｇｍ(ｒ)/ｃ²と書けば,落下に伴なって変化するｒと共にｍ(ｒ),したがってｒ_gも変わってゆくというものです。

そこで,遠方の観測者にとっての固有時間ｔで表わした星の表面の自由落下の動径ｒ方向の運動方程式であるｄｒ/ｄｔ＝－(1－ｒ_g/ｒ)[1－(1－ｒ_g/ｒ)/{1－ｒ_g/ｒ(0)}]^1/2において,ｒ(0)＝∞,つまりｒ→ ∞でｄｒ/ｄｓ→ 0 or ｄｒ/ｄｔ→ 0 ,ｋ²→ 1 (ｄｓ²＝ｃ²ｄｔ²)であるとして,ｄｒ/ｄｔ＝－(ｒ_g/ｒ)^1/2(1－ｒ_g/ｒ)なるものを考察しますが,

右辺のｒ_g＝2Ｇｍ/ｃ²の表現ではｍを固定された星の質量と考えるのではなく,ｒより内側に既に崩落し累積している部分の物質の総質量ｍ＝ｍ(ｒ)と考えます。

今の場合は星の表面が自由落下し重力崩壊をしている最中なので,動径ｒ_gが示す球面は,重力崩壊中ではない安定した星の固定された事象の地平面を意味するのではなくて,ｒ_gもｍ(ｒ)と共に変動するｒの関数であると考えるわけです。

そして,例えば星の構成物質の密度ρが一様でｍ＝ｍ(ｒ)＝4πρｒ³/3と書ける場合なら,ｒ_g/ｒ＝2ｍ/ｒ＝8πＧρｒ²/(3ｃ²)によって,ｄｒ/ｄｔ＝－{8πＧρｒ²/(3ｃ²)}^1/2{1－8πＧρｒ²/(3ｃ²)}＝－{8πＧρ/(3ｃ²)}^1/2ｒ{1－8πＧρｒ²/(3ｃ²)}となります。

これは初等的に積分できて,ｔ＝－{8πＧρ/(3ｃ²)}^1/2lnｒ＋(1/2)[ln|ｒ＋{3ｃ²/(8πＧρ)^1/2}|＋ln|ｒ－{3ｃ²/(8πＧρ)^1/2}|＋constとなります。

例えば太陽程度の密度ρ～１kg/ｍ³ を仮定すれば{3ｃ²/(8πＧρ)^1/2} ～ 10¹¹kmです。

したがって,重力崩壊中の星の表面の半径ｒについては,崩壊の最初から星の落下物質の位置の動径はｒ＜{3ｃ²/(8πＧρ)}^1/2(≒10¹¹km)を満たすはずですから,解はｔ＝－{8πＧρ/(3ｃ²)}^1/2lnｒ＋(1/2)ln{3ｃ²/(8πＧρ)－ｒ²}＋constです。

星の中心ｒ＝0 に向かって崩落してゆく過程では,最終到達点である中心:ｒ＝0 以外には全く特異点はなく,世界時間で見ても重力崩壊は有限な短時間で終了し,決して無限大時間を要することなど有り得ないと結論されます。

(太陽なら,ｔ＝－{8πＧρ/(3ｃ²)}^1/2lnｒ＋(1/2)ln{3ｃ²/(8πＧρ)－ｒ²}＋const.にｒ＝ｒ_g≒３ｋｍ＝3000ｍを代入したものから,太陽半径ｒ＝Ｒ_S≒７×10⁸ｍを代入したものを引いた時間です。)

一様密度の星という特殊なモデルで考察しましたが,遠方の観測者にとってもブラックホールの形成時間が有限になるという結論は一般的に成立すると考えられ,モデルの選択には依らないと思われます。

参考文献：佐藤文隆,原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

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