球対称時空解(シュヴァルツシルト解)の導出(2)

　前回は,捩率がゼロのＬｅｖｉ－Ｃｉｖｉｔａ接続の接続係数Γをクリストッフェル記号(Christoffelの記号)として表現したところで終わりました。

今回はまず,これらの接続係数によって,リーマンの曲率テンソル(Riemannian curvature)を定義します。

クリストッフェル記号から１つの(1,3)型の混合テンソル:Ｒ^ρ_σμν≡∂Γ^ρ_σμ/∂ｘ^ν－∂Γ^ρ_σν/∂ｘ^μ＋Γ^λ_σμΓ^ρ_λν－Γ^λ_σνΓ^ρ_λμを作ります。

これを.リーマンの曲率テンソルと呼びます。

この曲率テンソルは,Ｒ_λμνρ≡ｇ_λσＲ^σ_μνρなる共変表現では,対称テンソル,および反対称テンソルの性質:Ｒ_λμνρ＝Ｒ_νρλμ,およびＲ_λμνρ＝－Ｒ_μλνρ＝－Ｒ_λμρν＝Ｒ_μλρνを有します。

また,Ｒ_λμνρ＋Ｒ_λρμν＋Ｒ_λνρμ＝0 なる巡回対称性を持っています。

さらに共変微分と関連した性質として,ビアンキ(Bianki)の恒等式と呼ばれる恒等式:Ｒ^α_βμν;λ＋Ｒ^α_βνλ;μ＋Ｒ^α_βλμ;ν＝0 を満足します。

時空多様体上の任意の点Ｐを起点とする微小な四辺形ＰＱＲＳの頂点Ｐ,Ｑ,Ｒ,Ｓの座標をそれぞれｘ^μ,ｘ^μ＋ｄｘ^μ,ｘ^μ＋ｄｘ^μ＋Δｘ^μ,ｘ^μ＋Δｘ^μとします。

点Ｐから四辺形ＰＱＲＳの辺に沿って,Ｐ→Ｑ→Ｒ,およびＰ→Ｓ→Ｒの異なる２つの道筋で移動するとき,任意の微分可能なベクトル場Ａ_μ(ｘ)のＡ_μ(Ｐ)からの変化分を,それぞれΔＡ_μ(ＰＱＲ),およびΔＡ_μ(ＰＳＲ)と書いて,それらの差を計算します。

これは,ΔＡ_μ(ＰＱＲ)－ΔＡ_μ(ＰＳＲ)＝(∂Γ^ρ_σμ/∂ｘ^ν－∂Γ^ρ_σν/∂ｘ^μ＋Γ^λ_σμΓ^ρ_λν－Γ^λ_σνΓ^ρ_λμ)Ａ_ρｄｘ^μΔｘ^ν＝Ｒ^ρ_σμνＡ_ρｄｘ^μΔｘ^νとなります。 

例えば,Ａ_μ(Ｑ)＝Ａ_μ(Ｐ)＋Γ^ρ_μν(Ｐ)Ａ_ρ(Ｐ)ｄｘ^νなので,ΔＡ_μ(ＰＱＲ)＝Γ^ρ_μλ(Ｐ)Ａ_ρ(Ｐ)ｄｘ^λ＋Γ^ρ_μν(Ｑ)Ａ_ρ(Ｑ)Δｘ^ν＝Γ^ρ_μλ(Ｐ)Ａ_ρ(Ｐ)ｄｘ^λ＋{Γ^ρ_μν(Ｐ)＋(∂Γ^ρ_μν/∂ｘ^λ)ｄｘ^λ}{Ａ_ρ(Ｐ)＋Γ^σ_ρλ(Ｐ)Ａ_σ(Ｐ)ｄｘ^λ}Δｘ^νです。

そこで,曲率テンソルＲ^ρ_σμνというのは,"閉曲線＝微小四辺形"の囲む面積がゼロの極限での,上記のＡ_μの経路による差の比率を{ΔＡ_μ(ＰＱＲ)－ΔＡ_μ(ＰＳＲ)}/(ｄｘ^μΔｘ^ν)＝Ｒ^ρ_σμνＡ_ρによって表現する際の係数と解釈されます。 

※(注):ここでは,"重力場の方程式を解く"という本題の説明を急ぐため,曲率の意味などの説明を最小限に留めました。

しかし,ここで述べた接続や曲率等の２次元や３次元での初等幾何学における直感的な概念との関連や,多様体の上の微分幾何学でのアファイン接続(アフィン接続)との関連の話などは後に独立なブログ記事として詳述する予定です。※

そして,曲率テンソルを縮約して得られる２階共変テンソルＲ_μν≡Ｒ^ρ_μνρ＝－Ｒ^ρ_μρν＝∂Γ^ρ_μν/∂ｘ^ρ－∂Γ^ρ_μρ/∂ｘ^ν＋Γ^λ_μνΓ^ρ_λρ－Γ^λ_μρΓ^ρ_λνをリッチテンソル(Ricci tensor)と呼びます。

これの右辺の第１,２項は,∂Γ^ρ_μρ/∂ｘ^ν＝(1/2)∂_ν(ｇ^λρ∂_μｇ_λρ)＝∂_μ∂_νln{(－ｇ)^1/2}(ｇ＝det(ｇ_μν))と表わせるので,Ｒ_νμ＝Ｒ_μνが成立します。すなわち,Ｒ_μνは対称テンソルです。

また,Ｒ_μνをさらに縮約したＲ＝ｇ^μνＲ_μνをスカラー曲率と呼びます。

次に,重力場ｇ_μνの下での粒子の運動方程式を求めます。

粒子に働く力が重力だけの場合には,重力に従って自由落下する系として局所ローレンツ系(局所慣性系)を取ることができます。

この系では,どんな自由粒子も系と共に自由落下するわけですから,この系を基準にすると,無重力の慣性運動です。

粒子の時空座標をｘ^μとして,対応する局所ローレンツ系(局所慣性系)での同じ位置の座標をＸ^μとすると,λを任意パラメータとして粒子の軌道はｘ^μ＝ｘ^μ(λ),あるいはＸ^μ＝Ｘ^μ(λ)で表現されます。

そうした軌道を解として与える運動方程式は,局所慣性系では無重力故,ｄ²Ｘ^μ/ｄλ²＝0 と書けます。

この方程式に,粒子の質量パラメータｍが入ってないことは,"自由重力運動は(慣性)質量には無関係である"というガリレイ以来の等価原理を示しています。

さて,Ｘ^μはｘ^μの関数であること,つまりＸ^μ＝ｆ^μ(ｘ⁰,ｘ¹,ｘ²,ｘ³)なる形式で表わされることを考えると,ｄＸ^μ/ｄλ＝(∂Ｘ^μ/∂ｘ^ν)(ｄｘ^ν/ｄλ)となります。

それ故,ｄ²Ｘ^μ/ｄλ²＝0 は(∂Ｘ^μ/∂ｘ^ν)(ｄ²ｘ^ν/ｄλ²)＋(∂²Ｘ^μ/∂ｘ^σ∂ｘ^ν)(ｄｘ^ν/ｄλ)(ｄｘ^σ/ｄλ)＝0 に帰着します。

さらに両辺に(∂ｘ^ρ/∂Ｘ^μ)を掛けてμで縮約すると,結局ｄ²ｘ^ρ/ｄλ²＋(∂ｘ^ρ/∂Ｘ^μ)(∂²Ｘ^μ/∂ｘ^σ∂ｘ^ν)(ｄｘ^ν/ｄλ)(ｄｘ^σ/ｄλ)＝0 なる方程式が得られます。

ところが,前に記述したように,座標変換に際して接続係数Γは等式Γ'^δ_μν＝(∂ｘ^ρ/∂ｘ'^μ)(∂ｘ^σ/∂ｘ'^ν)(∂ｘ'^δ/∂ｘ^ε)Γ^ε_ρσ＋(∂ｘ'^δ/∂ｘ^ρ)(∂²ｘ^ρ/∂ｘ'^μ∂ｘ'^ν)を満たします。

この式で,ｘをＸに置き換えると,局所ローレンツ系では無重力故Γ＝0 ですから,Γ'^δ_μν＝(∂ｘ'^δ/∂Ｘ^ρ)(∂²Ｘ^ρ/∂ｘ'^μ∂ｘ'^ν)となります。

さらに,ｘ',Γ'をそれぞれｘ,Γに書き直せば,Γ^δ_μν＝(∂ｘ^δ/∂Ｘ^ρ)(∂²Ｘ^ρ/∂ｘ^μ∂ｘ^ν)となって,局所ローレンツ系の座標を用いた接続係数の表現を得ます。

そこで,(∂ｘ^ρ/∂Ｘ^μ)(∂²Ｘ^μ/∂ｘ^σ∂ｘ^ν)＝Γ^ρ_σνなる式を用いれば,上記のｘ^μ＝ｘ^μ(λ)に対する方程式がｄ²ｘ^ρ/ｄλ²＋Γ^ρ_σν(ｄｘ^ν/ｄλ)(ｄｘ^σ/ｄλ)＝0 となることがわかります。

以上の変形の途中では,ｄ²Ｘ^μ/ｄλ²＝0 の左辺が反変ベクトルであるという性質が常に保持されていますから,この方程式は確かに相対性原理から要求されるテンソル方程式の形をしています。

直感的な見方では,局所系Ｘ^μ＝Ｘ^μ(λ)は粒子に固定されて共に自由落下する座標系であるため,粒子は無重力と感じて慣性の法則ｄ²Ｘ^μ/ｄλ²＝0 を満たいますが,一般の加速系ｘ^μ＝ｘ^μ(λ)から見ると,ｄ²ｘ^ρ/ｄλ²＋Γ^ρ_σν(ｄｘ^ν/ｄλ)(ｄｘ^σ/ｄλ)＝0 の左辺第２項に見られるような見かけの重力(＝慣性力)が出現したと解釈されます。

仮に"接続係数＝クリストッフェル記号":Γがテンソルであったなら,ある座標系で恒等的にΓ≡0 であるという無重力の性質は,一般座標変換でどのような座標系から見ても保持されるわけです。

そうであれば,何らかの加速系に移ってもゼロと異なる重力が出現することは有り得ないわけですが,実は"Γがテンソルでないおかげで"ゼロでない重力が出現したと見ることができます。

余談ですが,かつて15年以上も前に,ニフティのパソコン通信のフォーラムで,"永久重力(Ｒ≠0)も非永久重力(Ｒ＝0 の慣性力)も共に一般相対性理論の対象であり,特別に区別する必要はない"という内容の私を含む数人の主張と次の主張が対立したことがありました。

"一般相対性理論というのは曲率Ｒがゼロでない,いわゆる永久重力場についてのみ論じるべきものである。

曲率Ｒがゼロであって局所的ではなく大域的にも重力を消せるような非永久重力場,つまり見かけの重力場などは座標系をうまく選べば,重力が消せるのだから,別に一般相対性理論の対象ではなく特殊相対性理論の対象であり,明確に区別されるべきだ。

例えばリンドラー時空などは,実は時空としての構造は特殊相対論の時空と同じなのでミンコフスキー時空と呼ぶべきである。"

というものです。結局は平行線をたどったものでした。

もっとも,リンドラー時空をミンコフスキー時空と呼ぶべきであるという主張については,言葉の定義の問題なので意見は割れましたが。。

相対論関連では,このテーマは"双子のパラドックス"と並んで,何度も現われたトピックスでした。

その頃,私が主張したかったのは,

"曲率Ｒがゼロか否かというのは時空を平坦と見なせるのが,大域的であるかそれとも局所的であるかということ(あるいは潮汐力の有無)と関わっているだけで,理論に付随した１つの重要な幾何学的性質であることは間違いないが,一般相対論にとっては何ら本質的なことではない。

むしろ,歴史的に見ても平坦な時空から加速系に移ったときに現われる"見掛けの重力＝慣性力"を見掛けではなく,"永久重力＝真の重力"と同一視して区別しないことこそが本質的で,これは等価原理の発想そのものである。

逆に,一般相対論の思想のエッセンスである。"

という内容のことでした。

議論すればするほど,双方の認識に大した差はないことがわかって,私自身の理解も深まってゆきました。

すれ違いの原因は,何を本質的と考えるのか？という水掛け論だったのかもしれません。

ちょっと脱線しましたが本題に戻ります。

粒子の軌道:ｘ^μ＝ｘ^μ(λ)の接ベクトルはｕ^μ＝ｄｘ^μ/ｄλですが,一般にはｕ^μをＰ(ｘ^μ)からＱ(ｘ^μ＋ｄｘ^μ)まで平行移動しても,それはＱ点での接ベクトルと一致しません。

しかし,特に移動に伴なって接ベクトルが一致するような道筋を測地線といいます。

Ａ^μの共変微分による平行移動はＤＡ^μ＝(∂Ａ^μ/∂ｘ^ν＋Γ^μ_σνＡ^σ)ｄｘ^ν＝ｄＡ^μ－δＡ^μ,δＡ^μ＝－Γ^μ_σνＡ^σｄｘ^νと表現できますが,この式でＡ^μをｕ^μ≡ｄｘ^μ/ｄλに置き換えれば,δｕ^μ＝δ(ｄｘ^μ/ｄλ)＝－Γ^μ_σν(ｄｘ^σ/ｄλ)(ｄｘ^ν/ｄλ)ｄλとなります。

測地線の定義によれば,測地線に沿った平行移動ではδｕ^μがｄｕ^μ＝ｄ(ｄｘ^μ/ｄλ)＝(ｄ²ｘ^μ/ｄλ²)ｄλと一致して,Ｄｕ^μ＝ｄｕ^μ－δｕ^μ＝Ｄ(ｄｘ^μ/ｄλ)＝0 となります。

すなわち,ｄ²ｘ^μ/ｄλ²＋Γ^μ_σν(ｄｘ^σ/ｄλ)(ｄｘ^ν/ｄλ)＝0 なる方程式の解が測地線を与えることになります。

これは時空の２点間の距離が極値となる道筋,つまりδ∫_P^Qｄｓ＝0 となるＰ→Ｑの道筋を与えるものです。

そして,この方程式は先に与えた粒子の運動方程式と完全に一致していますから,通常,重力場の中での粒子の自由運動の軌跡を測地線と呼びます。

ところで,固有時間τをｃ²ｄτ＝ｄｓ²＝ｇ_μνｄｘ^μｄｘ^ν＝η_μνｄＸ^μｄＸ^νで定義します。

軌道対象の粒子が光子のように光速ｃで運動する質量ゼロの粒子でないなら,その運動に伴なう座標の変動ｄｘ^μはヌル(null:ｄｓ²＝ｃ²ｄτ²＝0)ではないので,軌道ｘ^μ＝ｘ^μ(λ)のパラメータλをτに取ってｘ^μ＝ｘ^μ(τ)と表わすことができます。

この場合には,接ベクトルｕ^μ≡ｄｘ^μ/ｄλは４元速度に一致しｕ^μ＝ｄｘ^μ/ｄτとなります。そして,測地線の方程式もｄ²ｘ^μ/ｄτ²＋Γ^μ_σν(ｄｘ^σ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)＝0 となります。

しかし,光のように質量がゼロの粒子では,ｄｘ^μがヌルベクトルでｄτ＝0 ですからτは定数でτをパラメータとすることはできません。

そこで,光の軌跡,測地線の方程式はλをτ以外の任意パラメータのまま残して,ｄ²ｘ^μ/ｄλ²＋Γ^μ_σν(ｄｘ^σ/ｄλ)(ｄｘ^ν/ｄλ)＝0 とし,拘束条件としてヌル条件ｇ_μν(ｄｘ^σ/ｄλ)(ｄｘ^ν/ｄλ)＝0 を追加したものになります。

運動が非相対論的で,かつ弱い重力場の場合には,ｇ_μν≡η_μν＋ｈ_μνで|ｈ_μν|＜＜1とすると,|ｄｘ^k/ｄτ|～|ｄｘ^k/ｄｔ|/ｃ～|ｖ^k/ｃ|＜＜1 (ｖ^k≡ｄｘ^k/ｄｔ;ｋ＝1,2,3)で,|ｄｘ⁰/ｄτ|～１なので,測地線の方程式:ｄ²ｘ^μ/ｄτ²＋Γ^μ_σν(ｄｘ^σ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)＝0 は近似的に空間軌道を示す方程式:(1/ｃ²)(ｄ²ｘ^ｋ/ｄｔ²)＋Γ^k₀₀＝0 になります。

そして,Γの定義から,弱い重力場では,Γ^k₀₀＝(1/2)ｇ^kν(2∂₀ｇ_ν0－∂_νｇ₀₀)～(1/2)η^kν(2∂₀ｇ_ν0－∂_νｇ₀₀)～(1/2)∂_kｈ₀₀ なる近似が可能です。

それ故,結局粒子の従う方程式としてｄ²ｘ^ｋ/ｄｔ²＝－(ｃ²/2)∂_kｈ₀₀なる非相対論近似の式が得られます。

そこで,ｈ₀₀＝2Φ_N/ｃ²と置けば,これはΦ_Nを非相対論での万有引力ポテンシャルとしたニュートンの運動方程式ｄ²ｘ/ｄｔ²＝－∇Φ_Nに一致します。

そしてニュートンの重力場の方程式はρを質量密度として,∇²Φ_N＝4πＧρと表わされます。

弱い重力場の近似では,ｇ₀₀＝1＋ｈ₀₀ ～１＋2Φ_N/ｃ²なので,ニュートンの重力場の方程式は,∇²ｇ₀₀＝8πＧρ/ｃ²と同等であることがわかりました。

さて,エネルギー運動量テンソルをＴ^μνとすると,これは時空を構成する物質を理想流体として時空の各点での物質の４元速度をｕ^μ＝ｄｘ^μ/ｄτ,密度をρ,圧力をＰとすれば特殊相対論ではＴ^μν＝(Ｐ/ｃ²＋ρ)ｕ^μｕ^ν－Ｐη^μνと表わされます。

そして,その保存則は∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 と表現されます。

これを自然に一般相対論に拡張すれば,Ｔ^μν＝(Ｐ/ｃ²＋ρ)ｕ^μｕ^ν－Ｐｇ^μνとなり,保存則も微分を共変微分で置き換えることで,Ｔ^μν_;ν＝Ｔ_μν^;ν＝0 と書けます。

そして,Ｐ＝0 のときには,Ｔ₀₀＝Ｔ⁰⁰＝ρｃ²ですから,ニュートンの重力場の方程式:∇²Φ_N＝4πＧρは,∇²ｇ₀₀＝(8πＧ/ｃ⁴)Ｔ₀₀の弱い重力場の近似式に相当すると考えられます。

これの拡張として,相対性原理を満たす重力場の方程式としてＧ_μν＝κＴ_μνなる形の方程式を想定します。

ただしＴ_μν＝(Ｐ/ｃ²＋ρ)ｕ_μｕ_ν－Ｐｇ_μνです。

ｇ_μνから得られる２階共変テンソルＧ_μνの最も一般的な形として,Ｇ_μν≡αＲ_μν＋βｇ_μνＲ＋γｇ_μνなる形式を考えます。

このとき,保存則Ｔ^μν_;ν＝Ｔ_μν^;ν＝0 から,Ｇ_μνの満たすべき条件としてＧ^μν_;ν＝Ｇ_μν^;ν＝0 が得られます。

一方,ビアンキの恒等式Ｒ^ρ_λμν;τ＋Ｒ^ρ_λτμ;ν＋Ｒ^ρ_λντ;μ＝0 から,νをρに変えて縮約するとＲ_λμ;τ＋Ｒ^ρ_λτμ;ρ－Ｒ_λτ;μ＝0 ですが,さらにｇ^λμを掛けて縮約するとＲ_;τ－Ｒ^ρ_τ;ρ－Ｒ^μ_τ;μ＝0 が得られます。

最後の式はＲ_;τ－2Ｒ^μ_τ;μ＝0 であり,結局,{Ｒ^μ_τ－(1/2)δ^μ_τＲ}_;μ＝0 ,あるいは{Ｒ_μτ－(1/2)ｇ_μτＲ}^;μ＝0 と書けます。

それ故,Ｇ_μν≡Ｒ_μν－(1/2)ｇ_μνＲと置けば,Ｇ_μν^;ν＝0 が満たされることになります。

そこで,Ｇ_μνをこのように定義すれば,Ｇ_μν＝κＴ_μνから共変な重力場の方程式として,Ｒ_μν－(1/2)ｇ_μνＲ＝κＴ_μνが得られます。

さらに上式の両辺にｇ^μνを掛けて縮約すると,Ｒ－2Ｒ＝κＴ,ただしＴ≡ｇ^μνＴ_μνですから,Ｒ＝－κＴを得ます。それ故,重力場の方程式はＲ_μν＝κ{Ｔ_μν－(1/2)ｇ_μνＴ}とも書けます。

ところで,Ｔ^μν＝(Ｐ/ｃ²＋ρ)ｕ^μｕ^ν－Ｐｇ^μνにおいて,ρｃ²＞＞Ｐ,(ｖ/ｃ)²＜＜1の場合には,上に求めた相対論での重力場の方程式は近似的に,Ｒ₀₀＝κＴ₀₀/2＝κρｃ²/2となります。

そして,ｇ_μν＝η_μν＋ｈ_μν,|ｈ_μν|＜＜１と書ける場合にはＲ_μν＝∂Γ^ρ_μν/∂ｘ^ρ－∂Γ^ρ_μρ/∂ｘ^ν＋Γ^λ_μνΓ^ρ_λρ－Γ^λ_μρΓ^ρ_λνより,Ｒ₀₀＝∂Γ^ρ₀₀/∂ｘ^ρ－∂Γ^ρ_0ρ/∂ｘ⁰＋Γ^λ₀₀Γ^ρ_λρ－Γ^λ_0ρΓ^ρ_λ0です。

時間変動がほとんどないとすれば,意味を持つのはΓ^k₀₀のｘ^kによる微分だけですから,結局,Ｒ₀₀ ～　∂_kΓ^k₀₀です。

さらに,既に前記事で述べたように,Γ^k₀₀＝(1/2)ｇ^kν(2∂₀ｇ_ν0－∂_νｇ₀₀)～(1/2)η^kν(2∂₀ｇ_ν0－∂_νｇ₀₀)～－(1/2)η^kl∂_lｈ₀₀なので,∂_kΓ^k₀₀ ～ －(1/2)η^kl∂_k∂_lｈ₀₀＝(1/2)∇²ｈ₀₀＝(1/2)∇²ｇ₀₀となります。

結局,弱重力近似ではＲ₀₀～(1/2)∇²ｇ₀₀となることがわかります。

したがってＲ₀₀＝κＴ₀₀/2＝κρｃ²/2 は,近似的に∇²ｇ₀₀＝κρｃ²となりますが,これと先に別の考察から求めたニュートンの重力場の方程式に同等な方程式:∇²ｇ₀₀＝8πＧρ/ｃ²とを比較して等置すると,定数κが8πＧ/ｃ⁴に一致すべきことがわかります。

以上から重力場の方程式:Ｒ_μν－(1/2)ｇ_μνＲ＝κＴ_μν,あるいはＲ_μν＝κ{Ｔ_μν－(1/2)ｇ_μνＴ}において,係数κの値がκ＝8πＧ/ｃ⁴と明確に定められました。

なお,Ｇ_μν＝Ｒ_μν－(1/2)ｇ_μνＲの右辺に－Λｇ_μνなる項を加えてもｇ_μν^;λ＝0 故,保存則Ｇ_μν^;ν＝0 は保持されます。

そこで,最も一般的な重力場の方程式は,Ｒ_μν－(1/2)ｇ_μνＲ－Λｇ_μν＝κＴ_μν,κ＝8πＧ/ｃ⁴となるはずです。

Ｒ_μν－(1/2)ｇ_μνＲ－Λｇ_μν＝κＴ_μνの左辺の－Λｇ_μν,またはこれを右辺に移項した式Ｒ_μν－(1/2)ｇ_μνＲ＝κＴ_μν＋Λｇ_μνのΛｇ_μνを宇宙項と呼びます。

これはΛ＞0 なら距離に比例した斥力を与えます。

通常は,Λ＝0 とした宇宙項のないもの:Ｒ_μν－(1/2)ｇ_μνＲ＝κＴ_μν,κ＝8πＧ/ｃ⁴を重力場の方程式,またはアインシュタインの方程式と呼びます。

そして,本題の球対称時空解は,この宇宙項がないと仮定した方程式の解の１つです。

今日はここまでにします。

参考文献：佐藤文隆,原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

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