相対論の幾何学(第Ⅰ部-2:空間曲線)

　さて,３次元の空間曲線に入ります。

　ｄｓ＝(ｄｘ²＋ｄｙ²＋ｄｚ²)^1/2で定義された弧長ｓをパラメータとする３次元のベクトル値関数:r(ｓ)＝(ｘ(ｓ),ｙ(ｓ),ｚ(ｓ))(ａ≦ｓ≦ｂ)を,空間における曲線と定義します。

ｓの定義によって|ｄｒ/ｄｓ|＝1ですから,ｅ₁(ｓ)≡ｒ'(ｓ)≡ｄｒ/ｄｓ＝(ｘ'(ｓ),ｙ'(ｓ),ｚ'(ｓ))は単位ベクトルです。

つまり,内積:(ｅ₁(ｓ),ｅ₁(ｓ))＝|ｅ₁(ｓ)|²が常に１で,一定ですから,(ｄｅ₁(ｓ)/ｄｓ,ｅ₁(ｓ))＝(ｅ₁'(ｓ),ｅ₁(ｓ))＝0 です。

よってｅ₁'(ｓ)はｅ₁(ｓ)と直交しています。

ｅ₁'(ｓ)の大きさをκ(ｓ)と書き,曲線ｒ(ｓ)の曲率と呼びます。すなわち,κ(ｓ)≡|ｅ₁'(ｓ)|＝(ｅ₁'(ｓ),ｅ₁'(ｓ))^1/2≧0 ですね。

また,曲率の逆数:ρ(ｓ)≡1/κ(ｓ)を曲率半径と呼びます。　

　平面曲線の場合はｅ₁(ｓ)と直交するもう１つの基底単位ベクトルｅ₂(ｓ)をｅ₁(ｓ)を正の向きにπ/2だけ回転したベクトルと定義し,ｅ₁'(ｓ)＝κ(ｓ)ｅ₂(ｓ)によって曲率κ(ｓ)を定義しました。

　空間曲線ではｅ₁(ｓ)と直交する単位ベクトルは無数にあるので,こうした方法では基底単位ベクトルの１つであるｅ₂(ｓ)を決めることができません。

　そこで,κ(ｓ)＝|ｅ₁'(ｓ)|≠0 のときには,逆にｅ₁'(ｓ)≡κ(ｓ)ｅ₂(ｓ),またはｅ₂(ｓ)≡ｅ₁'(ｓ)/κ(ｓ)からｅ₂(ｓ)を定義します。

　しかし,ｓにおける曲率がゼロ,つまりκ(ｓ)＝0 で,そこでｓの近傍ではｒ(ｓ)が直線の場合は,そこでは一意的なｅ₂(ｓ)を決めることができません。

　以下では,全てのｓについてκ(ｓ)≠0 ,つまりκ(ｓ)＞0 であるとして話を進めます。

　この場合には(ｅ₁'(ｓ),ｅ₂(ｓ))＝κ(ｓ)です。ｓを省略した記法では(ｅ₁',ｅ₂)＝κですね。

　以下,特に必要な場合を除いてｓを省略します。

空間においてｅ₁とｅ₂の両方に垂直なベクトルは２つあって,一方はｅ₁,ｅ₂と右手系,他方は左手系を作りますが,特に右手系を作るものを採り,それをｅ₃と定義します。

すなわち,ｅ₃≡ｅ₁×ｅ₂とします。こうして選ばれたｅ₁,ｅ₂,ｅ₃をフレネの標構(Frenet frame)と呼びます。このとき,(ｅ_i,ｅ_j)＝δ_ij(i,j＝1,2,3)となっています。

ｅ₂(ｓ)を延長したｒ(ｓ)の法線を主法線,ｅ₃(ｓ)を延長したｒ(ｓ)の法線を従法線,または陪法線と呼びます。

　(ｅ_i,ｅ_j)＝δ_ij(i,j＝1,2,3)をｓで微分すると,(ｅ_i',ｅ_j)＋(ｅ_i,ｅ_j')＝0 です。

　特に(ｅ₂',ｅ₁)＋(ｅ₂,ｅ₁')＝0 ですから,(ｅ₂,ｅ₁')＝κにより,(ｅ₂',ｅ₁)＝－κを得ます。

　また,(ｅ_k',ｅ_k)＝0 (ｋ＝1,2,3)ですが,特に(ｅ₂',ｅ₂)＝0 です。したがって,ある数τが存在してｅ₂'＝－κｅ₁＋τｅ₃と書けます。この式から,(ｅ₃,ｅ₂')＝τとなることもわかります。

　さらにｅ₁'＝κｅ₂により,(ｅ₃,ｅ₁')＝0 ですから,(ｅ₃',ｅ₁)＋(ｅ₃,ｅ₁')＝0 は(ｅ₃',ｅ₁)＝0 を意味します。

　また,(ｅ₃',ｅ₂)＋(ｅ₃,ｅ₂')＝0 により,(ｅ₃',ｅ₂)＝－τです。(ｅ₃',ｅ₃)＝0 ですから,結局,ｅ₃'＝－τｅ₂となります。

以上をまとめると,ｒ'＝ｅ₁, ｅ₁'＝κｅ₂, ｅ₂'＝－κｅ₁＋τｅ₃, ｅ₃'＝－τｅ₂と書けます。これを空間曲線のフレネ・セレの公式(Frenet-Serret's formula)といいます。

また,τ＝τ(ｓ)を捩率(るいりつ)と呼びます。捩率の逆数: 1/τ(ｓ)は捩率半径,または第二曲率半径と呼ばれることもあるようです。

そして,これらの関係をｅ_i'＝Σ_jａ_ijｅ_j,(ｉ＝1,2,3)なる線形関係式で系統的に表わしたもの,つまり,^t(ｅ₁',ｅ₂',ｅ₃')＝Ａ^t(ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃)なる表現として与える３次の係数行列をＡ＝(ａ_ij)とすると,これは平面の場合と同じく交代行列(ａ_ji＝－ａ_ij)です。

　特に曲線ｒ(ｓ)がある平面,例えば(α,ｒ)＝ｃ (α≠0:定ベクトル,ｃ:定数)の上にある場合には,(α,ｒ(ｓ))＝ｃが成立します。

　これの両辺をｓで微分すると,(α,ｅ₁)＝0 であり,さらにｓで微分すると(α,κｅ₂)＝0 となりますが,今はκ≠0 と仮定しているので,(α,ｅ₂)＝0 です。

さらに(α,ｅ₂)＝0 の両辺をｓで微分して,それにｅ₂'＝－κｅ₁＋τｅ₃なる表式を代入すると,(α,τｅ₃)＝0 が得られます。

平面の法線ベクトルαは既にｅ₁,ｅ₂と直交することがわかっていて,しかもゼロではないので,αとｅ₃は平行でなければならないので(α,ｅ₃)≠0 です。そこで,上の(α,τｅ₃)＝0 はτ＝0 を意味します。

以上から,次の命題:[定理３]が成立することが示されました。

[定理３]：空間曲線ｒ(ｓ)の曲率κ(ｓ)が常に正(ゼロでない)のとき,捩率τ(ｓ)がいたるところゼロになるのは,ｒ(ｓ)が１つの平面に含まれるとき,またそのときに限られる。

ここで,平面曲線においてしたように,空間曲線での曲率,および捩率のの陽な表現を求めておきます。

まず,ｅ₁＝ｒ'より,ｅ₁'＝ ｒ"＝κｅ₂です。そこでｅ₁×ｅ₁'＝ｒ' ×ｒ"＝κｅ₁×ｅ₂＝κｅ₃ですから,κ＝|ｒ'×ｒ"|を得ます。

また,ｅ₁"/κ＝ｒ⁽³⁾/κ＝ｅ₂'＋ κ'ｅ₂/κ＝ －κｅ₁＋τｅ₃＋κ'ｅ₂/κです。ただしｒ⁽³⁾≡ｄｒ"/ｄｓです。

故に,τ＝(ｅ₃,ｅ₁")/κ＝(ｅ₃,ｒ⁽³⁾)/κ＝(ｅ₁×ｅ₂,ｒ⁽³⁾)/κですから,τ＝(ｒ'×ｒ",ｒ⁽³⁾)/|ｒ'×ｒ"|²を得ます。

ちなみに,|(ｒ'×ｒ",ｒ⁽³⁾)|はｒ',ｒ",ｒ⁽³⁾で作られる平行六面体の体積を示しています。

空間曲線がｒ(ｓ)＝(ｘ(ｓ),ｙ(ｓ),ｚ(ｓ))なる表現ではなく,一般のパラメータｔで表現されている場合:ｒ(ｔ)＝(ｘ(ｔ),ｙ(ｔ),ｚ(ｔ))の場合には,ｒ^d(ｔ)≡ｄｒ/ｄｔ,ｒ^2d(ｔ)≡ｄ²ｒ/ｄｔ²なる表記を用いれば,ｄｔ/ｄｓ＝1/|ｒ^d(ｔ)|なので,ｅ₁＝ｒ'＝ｒ^d/|ｒ^d|,ｅ₁'＝ｒ"＝ｅ₁^d/|ｒ^d|です。

そこで,ｒ^d＝ｅ₁|ｒ^d|よりｒ^2d＝ｅ₁^d|ｒ^d|＋ｅ₁(ｄ|ｒ^d|/ｄｔ)です。,それ故,ｒ'×ｒ"＝ｅ₁×ｅ₁'＝(ｅ₁×ｅ₁^d)/|ｒ^d|＝(ｒ^d ×ｒ^2d)/|ｒ^d|³となります。

以上から,κ＝|ｒ'×ｒ"|＝|ｒ^d ×ｒ^2d|/|ｒ^d|³を得ます。

一方,τ＝(ｒ'×ｒ",ｒ⁽³⁾)/|ｒ'×ｒ"|²の方ですが,ｒ^2d＝ｅ₁^d|ｒ^d|＋ｅ₁(ｄ|ｒ^d|/ｄｔ)より,ｒ^3d＝ｅ₁^2d|ｒ^d|＋2ｅ₁^d(ｄ|ｒ^d|/ｄｔ)＋ｅ₁(ｄ²|ｒ^d|/ｄｔ²)です。

また,ｅ₁'＝ｒ"＝ｅ₁^d/|ｒ^d|より,ｅ₁"＝ｒ⁽³⁾＝ｅ₁^2d/|ｒ^d|²－ｅ₁^d(ｄ|ｒ^d|/ｄｔ)/|ｒ^d|³なので,ｒ⁽³⁾＝ｒ^3d/|ｒ^d|³－3ｅ₁^d(ｄ|ｒ^d|/ｄｔ)/|ｒ^d|³＋ｅ₁(ｄ²|ｒ^d|/ｄｔ²)/|ｒ^d|³を得ます。

そして,(ｒ'×ｒ",ｅ₁)＝(ｅ₁×ｅ₁',ｅ₁)＝0 ,(ｒ'×ｒ",ｅ₁^d_.)＝(ｅ₁×ｅ₁',ｅ₁')/|ｒ^d|＝0 なので,(ｒ'×ｒ",ｒ⁽³⁾)＝(ｒ'×ｒ",ｒ^3d)/|ｒ^d|³と書けます。

さらに,上で求めたようにｒ'×ｒ"＝(ｒ^d ×ｒ^2d)/|ｒ^d|³ですから,結局,τ＝(ｒ^d ×ｒ^2d,ｒ^3d)/|ｒ^d ×ｒ^2d|なる表式が得られます。

これで,曲率,捩率の陽な表現も得られました。

次に,空間曲線の基本的な性質として次の[定理４]が成立することを示すことができます。

これの内容は平面曲線の場合の[定理１]の空間曲線への拡張です。

この定理の証明は平面曲線の[定理１]の証明とほぼ同じで,２次の回転行列Ｔを３次のそれに変更し,曲率を曲率と捩率の２つに変えるだけの直線的な拡張なので,定理の内容だけ述べて証明は割愛します。

[定理４]:ｒ(ｓ),ｒ^(ｓ);(0≦ｓ≦ｌ)を共に弧長ｓをパラメータとする長さｌの２つの空間曲線とする。

これらが,回転と平行移動で重ね合わせることができる(合同の)ための必要十分条件は両者の曲率,および捩率が一致することである。すなわちκ(ｓ)＝κ^(ｓ),およびτ(ｓ)＝τ^(ｓ)が成立することである。

さらに,κ(ｓ)＞0 およびτ(ｓ)が与えられたとき,これらをそれぞれ曲率,および捩率とする空間曲線ｒ(ｓ)が上の[定理４]の合同変換による任意性を除いて一意的に存在することを示しておきます。

これは,既知のκ(ｓ),τ(ｓ)によって,"行列Ａ＝Ａ(ｓ)が既知のときｓの未知関数^t(ｅ₁(ｓ),ｅ₂(ｓ),ｅ₃(ｓ))に対する微分方程式(ｄ/ｄｓ)^t(ｅ₁(ｓ),ｅ₂(ｓ),ｅ₃(ｓ))＝Ａ(ｓ)^t(ｅ₁(ｓ),ｅ₂(ｓ),ｅ₃(ｓ))の初期条件^t(ｅ₁(0),ｅ₂(0),ｅ₃(0))を満たす解が一意的に存在する。"という命題を示すことに帰着します。

そして,上記命題は,よく知られた常微分方程式の解の存在と一意性の定理において,微分方程式が線型であって係数がＡ(ｓ)で与えられる場合に相当しています。そこで,解の存在と一意性は保証されます。

形式的ですが具体的に^t(ｅ₁(ｓ),ｅ₂(ｓ),ｅ₃(ｓ))＝{∫₀^ｓＡ(ｕ)ｄｕ}^t(ｅ₁(0),ｅ₂(0),ｅ₃(0))なる形で,^t(ｅ₁(ｓ),ｅ₂(ｓ),ｅ₃(ｓ))に対する一意的な解を表現することができます。

そして,この^t(ｅ₁(ｓ),ｅ₂(ｓ),ｅ₃(ｓ))の一意解から,ｃを積分定数ベクトルとしてκ(ｓ),τ(ｓ)をそれぞれ曲率,捩率とする空間曲線ｒ(ｓ)は,ｒ(ｓ)＝∫₀^sｅ₁(ｕ)ｄｕ＋ｃなる形で一意的に得られます。

このことから,平面曲線での[定理２]に相当する次の[定理５]の成立することが示されました。

[定理５]:(曲線論の基本定理)　　

パラメータｓの閉区間:[ａ,ｂ]で定義された滑らかな関数κ(ｓ),τ(ｓ)(ａ≦ｓ≦ｂ)が与えられ,これらのｓに対してκ(ｓ)＞0 とする。

このとき,ｓを弧長としてκ(ｓ)を曲率,τ(ｓ)を捩率とする平面曲線ｒ(ｓ)(ａ≦ｓ≦ｂ)が存在する。

さらに,このような曲線は"回転と平行移動"(＝合同変換)で写すことが可能なものを除いて一意的である。

今日はここまでにします。

参考文献:小林昭七著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房),梅原雅顕,山田光太郎 著「曲線と曲面」(裳華房),スミルノフ 著「高等数学教程(4)」(Ⅱ巻 第二分冊) (共立出版)

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