球対称時空解(シュヴァルツシルト解)の導出(3)

　さて,準備が整ったので,アインシュタインの重力場の方程式:Ｒ_μν－(1/2)ｇ_μνＲ＝κＴ_μν,κ＝8πＧ/ｃ⁴を解く作業に取り掛かります。

　この方程式に対して,Ｒ_μν≡0 のような自明な解ではなく,何か中心に星のような単一の重力源があると想定される場合の,実際に重要な意味のある球対称な解を求めます。

３次元空間の座標として極座標(ｒ,θ,φ)を用いることにします。ここでは,特に定常な時空を仮定せず,その場合も含んだ一般的な時間変化を許す球対称な時空を仮定します。

ただし,以下では簡単のために自然単位系ｃ＝Ｇ＝1を用いて計算し,解が得られてから,必要なら次元解析で元の単位に戻します。

このとき,自然単位系での球対称な時空の計量(metric)には,空間的に非対称なｄｒ,ｄθ,ｄφの積の項は現われず,また,時間微分ｄｔと空間の極座標の微分のクロス項としてはｄｔｄｒ項のみが存在すると想定されます。

したがって,初めからｄｓ²＝exp(2ψ)ｄｔ²＋2ａｄｔｄｒ－exp(λ)ｄｒ²－Ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)なる形の計量を仮定します。ここに,ψ,ａ,λ,Ｒ はｒとｔのみの関数です。

(※(注)：動径を表わす文字としてはＲを使用したかったのですが,そうするとリッチテンソルＲ_μνやスカラー曲率Ｒなどと混同してしまいそうなので,ここではイタリック文字Ｒ を採用しました。太字なのでベクトルを表現していると思われるかも知れませんが,ベクトルを意味するものではありません。)

そして,さらにｄｔ'≡η{exp(2ψ)ｄｔ＋ａｄｒ}と置けば,これから{exp(2ψ)ｄｔ＋2ａｄｒ}ｄｔ＝exp(－2ψ)(η^-1ｄｔ'＋ａｄｒ)(η^-1ｄｔ'－ａｄｒ)＝η^-2exp(－2ψ)ｄｔ'²－ａ²exp(－2ψ)ｄｒ²となることがわかります。

そこで,ｄｓ²＝η^-2exp(－2ψ)ｄｔ'²－{ａ²exp(－2ψ)＋exp(λ)}ｄｒ²－Ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)と書けて,ｔとｒの非対角項であるｄｔとｄｒの積の項は除去されます。

それ故,改めてη^-2exp(－2ψ)をexp(2ψ)に,ｄｔ'をｄｔに,ａ²exp(－2ψ)＋exp(λ)をexp(λ)に定義し直すと,ｄｓ²＝exp(2ψ)ｄｔ²－exp(λ)ｄｒ²－Ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)と簡単になります。

この最後の表現での計量テンソルｇ_μνのゼロでない成分は,ｇ₀₀＝exp(2ψ),ｇ₁₁＝－exp(λ),ｇ₂₂＝－Ｒ²,ｇ₃₃＝－Ｒ²sin²θのみです。

これから,ｇ_μνの逆行列である反変計量テンソルｇ^μνのゼロでない成分も,ｇ⁰⁰＝exp(－2ψ),ｇ¹¹＝－exp(－λ),ｇ²²＝－Ｒ^-2,ｇ³³＝－Ｒ^-2sin^-2θのみであることがわかります。

次にゼロでない接続係数Γを求めます。クリストッフェルの記号によるΓが,Γ^σ_μν＝(1/2)ｇ^σρ(ｇ_ρμ,ν＋ｇ_ρν,μ－ｇ_μν,ρ)で与えられることから,まず,Γ⁰₀₀＝(1/2)ｇ^0ρ(ｇ_ρ0,0＋ｇ_ρ0,0－ｇ_00,ρ)＝(1/2)ｇ⁰⁰ｇ_00,0＝(1/2)exp(－2ψ)2ψ^dexp(2ψ)＝ψ^dです。

ここで,時間ｔによる微分をψ^d≡ψ^dot≡∂ψ/∂ｔと表記しました。

以下,時間微分についてはψ^2d≡∂ψ^d/∂ｔ＝∂²ψ/∂ｔ² etc.と表記します。

また,Γ^k₀₀＝(1/2)ｇ^kρ(ｇ_ρ0,0＋ｇ_ρ0,0－ｇ_00,ρ)＝－(1/2)ｇ^kkｇ_00,kです。(ｋについて和を取りません。以下では特に断りませんので状況で判断してください。)

ｇ₀₀＝exp(2ψ)はｒとｔのみの関数なので,ｇ_00,kはｋ＝1以外ではゼロです。それ故,ゼロでないΓ^k₀₀はｋ＝1のΓ¹₀₀＝(1/2)exp(－λ){2ψ'exp(2ψ)}＝ψ'exp(2ψ－λ)のみです。

ここで,動径ｒによる微分をψ'≡∂ψ/∂ｒと表記しました。

以下,動径微分についてはψ^"≡∂ψ'/∂ｒ＝∂²ψ/∂ｒ² etc.と表記します。

Γ⁰_0k＝(1/2)ｇ⁰⁰ｇ_00,kより,この型でゼロでないのは,ｋ＝1のみでΓ⁰₀₁＝ψ'＝Γ⁰₁₀です。

また,Γ^l_0k＝(1/2)ｇ^llｇ_lk,0より,これはｌ＝ｋのときのみゼロではなくて,Γ^k_0k＝(1/2)ｇ^kkｇ_kk,0です。

具体的には,Γ¹₀₁＝λ^d/2＝Γ¹₁₀,Γ²₀₂＝Ｒ^d/Ｒ ＝Γ²₂₀,Γ³₀₃＝Ｒ^d/Ｒ ＝Γ³₃₀です。

Γ⁰_kl＝－(1/2)ｇ⁰⁰ｇ_kl,0より,この型もｌ＝ｋのときのみゼロでなくて,Γ⁰_kk＝－(1/2)ｇ⁰⁰ｇ_kk,0より,Γ⁰₁₁＝λ^dexp(λ－2ψ)/2,Γ⁰₂₂＝ＲＲ^dexp(－2ψ)/2,Γ⁰₃₃＝ＲＲ^dsin²θexp(－2ψ)/2です。

また,Γ^m_kl＝(1/2)ｇ^mm(ｇ_mk,l＋ｇ_ml,k－ｇ_kl,m)より,Γ¹_kl＝(1/2)ｇ¹¹(ｇ_1k,l＋ｇ_1l,k－ｇ_kl,1)ですが,この型でゼロでないのはΓ¹₁₁＝(1/2)ｇ¹¹ｇ_11,l＝λ'/2,Γ¹₂₂＝－(1/2)ｇ¹¹ｇ_22,l＝－ＲＲ'exp(－λ),Γ¹₃₃＝－(1/2)ｇ¹¹ｇ_33,l＝－ＲＲ'sin²θexp(－λ)です。

ｍ＝2,3についてゼロでないものは,Γ²₁₂＝(1/2)ｇ²²ｇ_22,1＝Ｒ'/Ｒ ＝Γ²₂₁,Γ³₁₃＝(1/2)ｇ³³ｇ_33,1＝Ｒ'/Ｒ ＝Γ³₃₁,Γ²₃₃＝－(1/2)ｇ²²ｇ_33,2＝－sinθcosθ,Γ³₂₃＝(1/2)ｇ³³ｇ_33,2＝cosθ/sinθ＝Γ³₃₂だけです。

以上から,リッチテンソルの成分Ｒ_μν＝Ｒ^ρ_μνρ＝∂Γ^ρ_μν/∂ｘ^ρ－∂Γ^ρ_μρ/∂ｘ^ν＋Γ^λ_μνΓ^ρ_λρ－Γ^λ_μρΓ^ρ_λνが具体的に計算できます。

対角成分は,Ｒ₀₀＝∂Γ^ρ₀₀/∂ｘ^ρ－∂Γ^ρ_0ρ/∂ｘ⁰＋Γ^λ₀₀Γ^ρ_λρ－Γ^λ_0ρΓ^ρ_λ0より,Ｒ₀₀＝(ψ"＋2ψ'²－ψ'λ')exp(2ψ－λ)－λ^2d/2－2Ｒ^2d/Ｒ ＋2(Ｒ^d/Ｒ )²＋ψ^dλ^d/2＋2ψ^dＲ^d/Ｒ ＋(－ψ'²＋ψ'λ'/2＋2ψ'Ｒ'/Ｒ )exp(2ψ－λ)－(λ^d/2)²－2(Ｒ^d/Ｒ )²＝－λ^2d/2－2Ｒ^2d/Ｒ －(λ^d/2)²＋ψ^dλ^d/2＋2ψ^dＲ^d/Ｒ ＋(ψ"＋ψ'²－ψ'λ'/2＋2ψ'Ｒ'/Ｒ )exp(2ψ－λ)です。

一方,Ｒ_kk＝∂Γ^ρ_kk/∂ｘ^ρ－∂Γ^ρ_kρ/∂ｘ^k＋Γ^λ_kkΓ^ρ_λρ－Γ^λ_kρΓ^ρ_λkより,まずＲ₁₁＝{λ^2d/2＋(λ^d/2)²－ψ^dλ^d/2＋λ^dＲ^d/Ｒ }exp(λ－2ψ)－ψ"－ψ'²－2Ｒ"/Ｒ ＋ψ'λ'/2＋λ'Ｒ'/Ｒ となります。

そして,Ｒ₂₂＝{ＲＲ^2d＋(Ｒ^d)²＋ＲＲ^dλ^d/2－ＲＲ^dψ^d}exp(－2ψ)－(Ｒ'²＋ＲＲ"－Ｒ'λ'/2＋ＲＲ'ψ')exp(－λ)－1,Ｒ₃₃＝{ＲＲ^2d＋(Ｒ ^d)²＋ＲＲ^dλ^d/2－ＲＲ^dψ^d}sin²θexp(－2ψ)－(Ｒ'²＋ＲＲ"－ＲＲ'λ'/2＋ＲＲ'ψ')sin²θexp(－λ)－sin²θ＝sin²θＲ₂₂です。

非対角成分でゼロでないのは,Ｒ₀₁＝∂Γ^ρ₀₁/∂ｘ^ρ－∂Γ^ρ_0ρ/∂ｘ¹＋Γ^λ₀₁Γ^ρ_λρ－Γ^λ_0ρΓ^ρ_λ1＝Ｒ₁₀のみで,Ｒ₀₁＝Ｒ₁₀＝－2Ｒ'^d/Ｒ ＋λ^dＲ'/Ｒ ＋2ψ'Ｒ^d/Ｒ です。

具体的な考察と計算から,その他の非対角成分は全てゼロであることがわかります。

また,スカラー曲率はＲ＝ｇ^μνＲ_μν＝{－λ^2d－(λ^d)²/2－4Ｒ^2d/Ｒ ＋2(Ｒ^d/Ｒ )²＋4ψ^dＲ^d/Ｒ －2Ｒ^dλ^d/Ｒ ＋ψ^dλ^d}exp(－2ψ)＋{2ψ"＋2ψ'²＋4Ｒ"/Ｒ ＋2(Ｒ'/Ｒ )²＋4ψ'Ｒ'/Ｒ －2Ｒ'λ'/Ｒ －ψ'λ'}exp(－λ)－2/Ｒ²と書けます。

ｃ＝Ｇ＝1の自然単位系での重力場の方程式:Ｒ_μν－(1/2)ｇ_μνＲ＝8πＴ_μνを,第２項の係数ｇ_μνがクロネッカーのデルタになる便利な混合テンソル表式で書くと,Ｒ_μ^ν－(1/2)δ_μ^νＲ＝ｇ^νλＲ_μλ－(1/2)δ_μ^νＲ＝8πＴ_μ^νとなります。

具体的には,まずＲ₀⁰－(1/2)Ｒ＝exp(－2ψ)Ｒ₀₀－(1/2)Ｒ＝{－λ^2d/2－2Ｒ^2d/Ｒ －(λ^d/2)²＋ψ^dλ^d/2＋2ψ^dＲ^d/Ｒ }exp(－2ψ)＋(ψ"＋ψ'²－ψ'λ'/2＋2ψ'Ｒ'/Ｒ )exp(－λ)－{－λ^2d/2－(λ^d/2)²－2Ｒ^2d/Ｒ ＋(Ｒ^d/Ｒ )²＋2ψ^dＲ^d/Ｒ －λ^dＲ^d/Ｒ ＋ψ^dλ^d/2}exp(－2ψ)－{ψ"＋ψ'²＋2Ｒ"/Ｒ ＋(Ｒ'/Ｒ )²＋2ψ'Ｒ'/Ｒ －λ'Ｒ'/Ｒ －ψ'λ'/2}exp(－λ)＋1/Ｒ²＝{λ^dＲ^d/Ｒ ＋(Ｒ^d/Ｒ )²}exp(－2ψ)＋{－2Ｒ"/Ｒ －(Ｒ'/Ｒ )²＋λ'Ｒ'/Ｒ }exp(－λ)＋1/Ｒ²です。

同様に,Ｒ₀¹－(1/2)δ₀¹Ｒ＝Ｒ₀¹＝－exp(－λ)Ｒ₀₁＝{2Ｒ'^d/Ｒ －λ^dＲ'/Ｒ －2ψ'Ｒ^d/Ｒ }exp(－λ)です。

Ｒ₁¹－(1/2)Ｒ＝－exp(－λ)Ｒ₁₁－(1/2)Ｒ＝{2Ｒ^2d/Ｒ ＋(Ｒ^d/Ｒ )²－2ψ^dＲ^d/Ｒ }exp(－2ψ)＋{－(Ｒ'/Ｒ )²－2ψ'Ｒ'/Ｒ }exp(－λ)＋1/Ｒ²,さらに,Ｒ₃₃＝sin²θＲ₂₂なのでＲ₂²－(1/2)Ｒ＝－Ｒ^-2Ｒ₂₂－(1/2)Ｒ＝Ｒ₃³－(1/2)Ｒ＝－Ｒ^-2sin^-2θＲ₃₃－(1/2)Ｒ＝{λ^2d/2＋(λ^d/2)²＋2Ｒ ^2d/Ｒ －λ^dψ^d/2－ψ^dＲ^d/Ｒ ＋λ^dＲ^d/(2Ｒ )}exp(－2ψ)＋{－ψ"－ψ'²－Ｒ"/Ｒ －ψ'(Ｒ'/Ｒ －λ'/2)＋λ'Ｒ'/(2Ｒ )}exp(－λ)です。

これ以外のＲ_μ^ν－(1/2)δ_μ^νＲは全てゼロです。

よって,重力場の方程式:Ｒ_μ^ν－(1/2)δ_μ^νＲ＝8πＴ_μ^νの自明でない成分は,Ｒ₀⁰－(1/2)Ｒ＝8πＴ₀⁰,Ｒ₀¹－(1/2)Ｒ＝8πＴ₀¹ (Ｒ₁⁰－(1/2)Ｒ＝8πＴ₁⁰),Ｒ₁¹－(1/2)Ｒ＝8πＴ₁¹,Ｒ₂²－(1/2)Ｒ＝8πＴ₂²,Ｒ₃³－(1/2)Ｒ＝8πＴ₃³です。

ただし,球対称解ではＲ₂²－(1/2)Ｒ＝Ｒ₃³－(1/2)ＲなのでＴ₂²＝Ｔ₃³であることが必要です。そして最後の２式は同じ１つの方程式になるはずです。

そこで,Ｒ_μ^ν－(1/2)δ_μ^νＲ＝8πＴ_μ^νの右辺のエネルギー運動量テンソルＴ_μ^νの具体的な形は,時空を連続体としたときの一般的な自然単位での完全流体の表現:Ｔ^μν＝(Ｐ＋ρ)ｕ^μｕ^ν－Ｐｇ^μν (ｕ^μ≡ｄｘ^μ/ｄτ)であると仮定します。

計量がｄｓ²＝exp(2ψ)ｄｔ²－exp(λ)ｄｒ²－Ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)で与えられる時空で,重力源のエネルギー運動量テンソルＴ_μ^νを与えるものとしての"宇宙の構成物体＝完全流体"が静止しているような座標系を想定します。

そうした準拠系ではｄｒ＝ｄθ＝ｄφ＝0 であり,自然単位ではｃ＝1よりｄτ＝ｄｓ＝exp(ψ)ｄｔなので,ｕ⁰＝ｄｘ⁰/ｄτ＝ｄｔ/ｄτ＝exp(－ψ),ｕ^k＝0 です。

そこで,この系ではｕ^k＝0 によって,エネルギー運動量テンソルＴ^μνの非対角成分は全てゼロです。対角成分はＴ⁰⁰＝ρexp(－2ψ),Ｔ¹¹＝Ｐexp(－λ),Ｔ²²＝ＰＲ^-2,Ｔ³³＝ＰＲ^-2sin^-2θで与えられます。

これからＴ₀⁰＝ρ,Ｔ₁¹＝Ｔ₂²＝Ｔ₃³＝－Ｐが得られます。そこで球対称時空解の必要条件であるＴ₂²＝Ｔ₃³は確かに満たされています。

そして,これらがエネルギー運動量テンソルの保存則を満たすべきである,という共変微分による条件式Ｔ_μ^ν_;ν＝0 は,Ｔ_μ^ν_;ν＝(－ｇ)^-1/2[∂{(－ｇ)^1/2Ｔ_μ^ν}/∂ｘ^ν]－(1/2)(∂ｇ_νλ/∂ｘ^μ)Ｔ^νλ＝0 と書き直せます。

ここで,ｇは行列式:ｇ＝det(ｇ_μν)で,今の場合は(－ｇ)^1/2＝exp(ψ＋λ/2)Ｒ²sinθです。

そこで,まず,μ＝0 に対してはＴ₀^ν_;ν＝exp(－ψ－λ/2)Ｒ^-2sin^-1θ[∂{ρexp(ψ＋λ/2)Ｒ²sinθ}/∂ｔ]－(1/2)(∂ｇ₀₀/∂ｘ⁰)Ｔ⁰⁰－(1/2)(∂ｇ₁₁/∂ｘ⁰)Ｔ¹¹－(1/2)(∂ｇ₂₂/∂ｘ⁰)Ｔ²²－(1/2)(∂ｇ₃₃/∂ｘ⁰)Ｔ³³＝0 です。

ｇ₀₀＝exp(2ψ),ｇ₁₁＝－exp(λ),ｇ₂₂＝－Ｒ²,ｇ₃₃＝－Ｒ²sin²θにより,これは∂ρ/∂ｔ＋(ρ＋Ｐ)(λ^d/2＋2Ｒ^d/Ｒ )＝0 を意味します。

以下,詳細は省略しますが,Ｔ₁^ν_;ν＝0 (μ＝1)より∂Ｐ/∂ｒ＋(ρ＋Ｐ)(∂ψ/∂ｒ)＝0 ,または∂ψ/∂ｒ＝－(∂Ｐ/∂ｒ)/(ρ＋Ｐ)が成立します。

また,Ｔ₂^ν_;ν＝0 (μ＝2)からは∂Ｐ/∂θ＝0 ,Ｔ₃^ν_;ν＝0 (μ＝3)からは∂Ｐ/∂φ＝0 が得られます。

これら∂Ｐ/∂θ＝0 ,∂Ｐ/∂φ＝0 は,圧力Ｐが球対称でｒ,ｔのみの関数であることを意味しており,∂ρ/∂ｔ＋(ρ＋Ｐ)(λ^d/2＋2Ｒ^d/Ｒ )＝0 ,および∂ψ/∂ｒ＝－(∂Ｐ/∂ｒ)/(ρ＋Ｐ)から,ρもまたｒ,ｔのみの関数であることがわかります。

さらに,ここでは時空を連続体,それも巨視的な流体と見たエネルギー運動量テンソルを論じており,密度ρや圧力Ｐなどの量は時空を構成する莫大な個数の原子や分子などの微視的粒子の集まりの巨視的な統計的平均値で与えられます。

一般に重力とは別の理由で,ρとＰは独立ではなく,Ｐ＝ｆ(ρ,Ｔ)なる形のＰとρを関係付ける状態方程式があると考えられます。

ここで,Ｔは絶対温度です。例えば分子量がＭの理想気体なら状態方程式は,Ｐ＝ρＲＴ/Ｍです。しかし,より正確には状態方程式は,Ｐ＝ｆ(ρ,Ｔ)という単純な形ではなく右辺の関数はρ,Ｔ以外の引数をも含むと思われます。

保存則Ｔ_μ^ν_;ν＝0 は,重力場が(Ｒ_μ^ν－(1/2)δ_μ^νＲ)_;ν＝0 を満たすことを要求するので,先に求めた連立方程式の４つ:Ｒ₀⁰－(1/2)Ｒ＝8πＴ₀⁰,Ｒ₀¹－(1/2)Ｒ＝8πＴ₀¹,Ｒ₁¹－(1/2)Ｒ＝8πＴ₁¹,Ｒ₂²－(1/2)Ｒ＝8πＴ₂²も,全てが独立ではないと考えられます。

また,状態方程式も重力場を規定すると思われます。

今,考えている局所的な時空の領域で重力源となる主要なエネルギー運動量テンソルを与える流体が静止しているとしましたが,そもそもテンソル方程式は座標系の取り方に依存しないはずなので,流体が運動していると見える場合にも流体と共に運動する座標系を取れば,この系では常に流体は静止していてエネルギー運動量テンソルはやはり対角成分のみとなります。

このような座標系は共動座標系と呼ばれています。したがって,球対称な時空を考えている今の問題では流体物質の運動も球対称なので座標ｒ,θ,φは共動座標系のそれとみなしてよいと考えられます。

共動座標系に乗った観測者の固有時間τはｄτ²＝exp(2ψ)ｄｔ²によって,ｄτ＝exp(ψ)ｄｔで与えられます。

特にτによる偏微分をＤ_τなる記号で表わすことにします。

例えばＲ＝Ｒ (ｒ,ｔ)のτによる偏微分はＤ_τＲ ですが,これは動径の速度に相当するので,これを記号Ｕで表現すると,Ｕ≡Ｄ_τＲ ≡∂Ｒ /∂τ＝exp(－ψ)Ｒ^dです。このＵをさらにｒで偏微分すると,Ｕ'＝exp(－ψ)(Ｒ'^d－ψ'Ｒ^d)となります。

ここで,唯一の非対角部分の方程式:Ｒ₀¹－(1/2)Ｒ＝8πＴ₀¹に着目すると,これの陽な形は 2Ｒ'^d/Ｒ －λ^dＲ'/Ｒ －2ψ'Ｒ^d/Ｒ ＝0 です。

これをλ^dについて解くと,λ^d＝2(Ｒ'^d－ψ'Ｒ^d)/Ｒ'となりますが,さらに両辺にexp(－ψ)を掛けるとexp(－ψ)λ^d＝Ｄ_τλ＝∂λ/∂τ＝2exp(－ψ)(Ｒ'^d－ψ'Ｒ^d)/Ｒ'＝2Ｕ'/Ｒ'なる表式が得られます。

さらに,Ｕ'/Ｒ'はＵ'/Ｒ'＝(∂Ｕ/∂ｒ)/(∂Ｒ /∂ｒ)＝(∂Ｕ/∂Ｒ )_tと変形できますから,結局,方程式Ｒ₀¹－(1/2)Ｒ＝8πＴ₀¹は,Ｄ_τλ＝2(∂Ｕ/∂Ｒ )_tなる関係式を意味することがわかります。

一方,8πＴ₀⁰＝Ｒ₀⁰－(1/2)Ｒは,8πρ＝{λ^dＲ^d/Ｒ ＋(Ｒ^d/Ｒ )²}exp(－2ψ)＋{－2Ｒ"/Ｒ －(Ｒ'/Ｒ )²＋λ'Ｒ'/Ｒ }exp(－λ)＋1/Ｒ ²と書けます。

ところが,λ^dＲ^dexp(－2ψ)＝exp(－ψ)Ｒ^dexp(－ψ)λ^d＝Ｄ_τＲ Ｄ_τλ＝2Ｕ(∂Ｕ/∂Ｒ )＝∂Ｕ²/∂Ｒ ですから,これは8πρＲ ²＝1＋Ｕ²＋Ｒ (∂Ｕ²/∂Ｒ )－{2ＲＲ"＋(Ｒ')²}exp(－λ)－ＲＲ'{exp(－λ)}'となります。

この式はexp(－λ)を未知関数とする１階線型微分方程式と見ることができます。

そして,ｒ＝0 空間原点近傍でも局所的に平坦であると見なせるので,原点を回る円周の長さを2πΔＲ とすると,この円の動径はΔＲ ＝(∂Ｒ /∂ｒ)Δｒ＝(－ｇ₁₁)^1/2Δｒ＝exp(λ/2)Δｒで与えられますから,ｒ→ 0 ではexp(λ)＝(∂Ｒ /∂ｒ)²と考えられます。

そこで,exp(λ)≡(∂Ｒ /∂ｒ)²[1/{1＋ｆ(ｒ,ｔ)}]＝(Ｒ')²/(1＋ｆ)と置くと exp(－λ)＝(Ｒ')^-2(1＋ｆ),{exp(－λ)}'＝－2Ｒ"(Ｒ')^-3(1＋ｆ)＋(Ｒ')^-2ｆ'となります。

8πρＲ²＝1＋Ｕ²＋Ｒ (∂Ｕ²/∂Ｒ )－{2ＲＲ"＋(Ｒ')²}exp(－λ)－ＲＲ'{exp(－λ)}'に,これらを代入すると,8πρＲ²＝1＋Ｕ²＋Ｒ(∂Ｕ²/∂Ｒ )－{2ＲＲ"/(Ｒ')²＋1}(1＋ｆ)＋{2ＲＲ"/(Ｒ')²}(1＋ｆ)－Ｒ ｆ'/Ｒ'＝Ｕ²＋Ｒ (∂Ｕ²/∂Ｒ )－{ｆ＋Ｒ (∂ｆ/∂Ｒ )}＝∂(Ｒ Ｕ²－Ｒ ｆ)/∂Ｒ となります。

そこで,結局,8πＴ₀⁰＝Ｒ₀⁰－(1/2)Ｒは,8πＲ²ρ＝∂{Ｒ (Ｕ²－ｆ)}/∂Ｒ ,あるいはＲ (Ｕ²－ｆ)＝2∫₀^Ｒ 4πρξ²ｄξなる等式を意味することになります。

この定積分表示は,左辺がＲ ＝0 でゼロなので成立するわけです。

そして,動径Ｒ はｒ,ｔのみの関数:Ｒ＝Ｒ (ｒ,ｔ)なので,ｍ≡∫₀^Ｒ 4πρξ ²ｄξと定義すると,ｍもｒ,ｔの関数:ｍ＝ｍ(ｒ,ｔ)であることがわかり,結局,Ｒ (Ｕ²－ｆ)＝2ｍ,よりｆ＝Ｕ²－2ｍ/Ｒ が得られてｆの形が決まります。

そして,ｍ＝∫₀^Ｒ 4πρξ²ｄξなる表式はｍ|_{Ｒ =0} ,かつ(∂ｍ/∂Ｒ )_t＝4πＲ²ρと表現することもできます。

こうして,exp(λ)＝(Ｒ')²/(1＋ｆ)で定義されたｆが決まったので,代入するとexp(λ)＝(Ｒ')²/(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ ),あるいはexp(－λ)＝(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )/(Ｒ')²が得られます。

さらに,8πＴ₀⁰＝Ｒ₀⁰－(1/2)Ｒより,8πＲ²ρ＝{Ｒ λ^dＲ^d ＋(Ｒ^d)²}exp(－2ψ)＋{－2ＲＲ"－(Ｒ')²＋ＲＲ'λ'}exp(－λ)＋1,および8πＴ₁¹＝Ｒ₁¹－(1/2)Ｒより,8πＲ²Ｐ＝{2ＲＲ^2d＋(Ｒ^d)²－2ＲＲ^dψ^d}exp(－2ψ)＋{－(Ｒ')²－2ＲＲ'ψ'}exp(－λ)＋1,が成立します。

これらを,辺々加えて２で割れば,4πＲ²(ρ－Ｐ)＝{(Ｒ^d)²＋Ｒλ^dＲ^d /2＋ＲＲ^2d－ＲＲ^dψ^d}＋exp(－2ψ)－{(Ｒ')²＋ＲＲ"－ＲＲ'λ'/2＋ＲＲ'ψ'}exp(－λ)＋1＝1＋Ｕ²＋Ｒ(∂Ｕ²/∂Ｒ )/2＋Ｒ exp(－ψ)[∂{exp(－ψ)Ｒ ^d}/∂τ]－exp(－λ/2)[∂{exp(－λ/2)ＲＲ'}/∂ｒ]－exp(－λ)ＲＲ'ψ'を得ます。

ところが既に示したように,exp(－λ)＝(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )/(Ｒ')²ですから,exp(λ/2)＝(∂Ｒ /∂ｒ)(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )^-1/2です。

つまり,exp(λ/2)ｄｒ＝ｄＲ (1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )^-1/2と書けるので,exp(－λ/2)(∂/∂ｒ)＝(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )^1/2(∂/∂Ｒ ),あるいはexp(－λ/2)Ｒ ^'＝(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )^1/2です。

また,ψ'＝∂ψ/∂ｒ＝－(∂Ｐ/∂ｒ)/(ρ＋Ｐ),そしてＤ_τＵ＝exp(－ψ)Ｕ^d＝exp(－ψ)[∂{exp(－ψ)Ｒ ^d}/∂τ]です。

したがって,先の方程式は4πＲ²(ρ－Ｐ)＝1＋Ｕ²＋(1/2)Ｒ(∂Ｕ²/∂Ｒ )＋ＲＤ_τＵ－(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )^1/2(∂/∂Ｒ){Ｒ(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )^1/2}＋{Ｒ (1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )/(ρ＋Ｐ)}(∂Ｐ/∂Ｒ )_t＝ＲＤ_τＵ＋{Ｒ (1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )/(ρ＋Ｐ)}(∂Ｐ/∂Ｒ ) _t＋1＋Ｕ²＋Ｒ(∂Ｕ²/∂Ｒ )/2－(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )－(1/2)Ｒ{(∂Ｕ²/∂Ｒ )＋2ｍ/Ｒ ²－8πＲ ρ}と簡単になります。

結局,最終的な方程式として,Ｄ_τＵ＝－{(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )/(ρ＋Ｐ)}(∂Ｐ/∂Ｒ )_t－(ｍ＋4πＲ³Ｐ)/Ｒ²}なる式を得ます。

これは,一般相対論における球対称時空での完全流体の運動方程式を表わしていると考えられます。

実際,この方程式においてＵ²＜＜1,2ｍ/Ｒ ＜＜1,Ｐ＜＜ρの極限を取れば,∂ｕ/∂ｔ＝－(1/ρ)(∂Ｐ/∂Ｒ )－ｍ/Ｒ²が得られます。

これはｃ＝Ｇ＝1の自然単位から通常の単位に戻せば,∂ｕ/∂ｔ＝－∇Ｐ/ρ－Ｇｍ/ｒ ²となります。

つまり,この近似では方程式は,原点に大きさｍの質量がある場合のニュートンの万有引力の場の中での密度ρの完全流体の運動方程式であるオイラーの方程式に一致しています。

なお,定常の場合,すなわち,Ｄ_τＵ＝0 ,Ｕ＝Ｄ_τＲ ＝0 の場合には,一般的な運動方程式から,(∂Ｐ/∂Ｒ )_t＝－(ρ＋Ｐ)(ｍ＋4πＲ³Ｐ)/{Ｒ ²(1－2ｍ/Ｒ )}なる式を得ます。

これをＴＯＶ方程式(Tolman-Oppenheimer-Volkoff's equation)と呼びます。

ＴＯＶ方程式は,通常の単位では(∂Ｐ/∂Ｒ )_t＝－(ρ＋Ｐ/ｃ²)(Ｇｍ＋4πＧＲ³Ｐ/ｃ²)/{Ｒ²(1－2Ｇｍ/ｃ²Ｒ )}と書けます。

これは後で内部解を求めるときにも使用する予定です。

今日はここまでにします。

参考文献：佐藤文隆,原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

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