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2008年7月 7日 (月)

球対称時空解(シュヴァルツシルト解)の導出(3)

 さて,準備が整ったので,アインシュタインの重力場の方程式:μν(1/2)gμνR=κTμν,κ=8πG/c4を解く作業に取り掛かります。

 この方程式に対して,μν≡0 のような自明な解ではなく,何か中心に星のような単一の重力源があると想定される場合の,実際に重要な意味のある球対称な解を求めます。

3次元空間の座標として極座標(r,θ,φ)を用いることにします。ここでは,特に定常な時空を仮定せず,その場合も含んだ一般的な時間変化を許す球対称な時空を仮定します。

 

ただし,以下では簡単のために自然単位系c=G=1を用いて計算し,解が得られてから,必要なら次元解析で元の単位に戻します。

このとき,自然単位系での球対称な時空の計量(metric)には,空間的に非対称なdr,dθ,dφの積の項は現われず,また,時間微分dtと空間の極座標の微分のクロス項としてはdtdr項のみが存在すると想定されます。

 

したがって,初めからds2exp(2ψ)dt22adtdr-exp(λ)dr22(dθ2sin2θdφ2)なる形の計量を仮定します。ここに,ψ,a,λ, はrとtのみの関数です。

  

(※(注):動径を表わす文字としてはRを使用したかったのですが,そうするとリッチテンソルRμνやスカラー曲率Rなどと混同してしまいそうなので,ここではイタリック文字 を採用しました。太字なのでベクトルを表現していると思われるかも知れませんが,ベクトルを意味するものではありません。)

 

そして,さらにdt'≡η{exp(2ψ)dt+adr}と置けば,これから{exp(2ψ)dt+2adr}dt=exp(-2ψ)(η-1dt'+adr)(η-1dt'-adr)=η-2exp(-2ψ)dt'2-a2exp(-2ψ)dr2となることがわかります。

 

そこで,ds2=η-2exp(-2ψ)dt'2{a2exp(-2ψ)+exp(λ)}dr22(dθ2sin2θdφ2)と書けて,tとrの非対角項であるdtとdrの積の項は除去されます。

それ故,改めてη-2exp(-2ψ)をexp(2ψ)に,dt'をdtに,a2exp(-2ψ)+exp(λ)をexp(λ)に定義し直すと,ds2exp(2ψ)dt2exp(λ)dr22(dθ2sin2θdφ2)と簡単になります。

 

この最後の表現での計量テンソルgμνのゼロでない成分は,g00exp(2ψ),g11=-exp(λ),g22=-2,g33=-2sin2θのみです。

 

これから,gμνの逆行列である反変計量テンソルgμνのゼロでない成分も,g00exp(-2ψ),g11=-exp(-λ),g22=--2,g33=--2sin-2θのみであることがわかります。

次にゼロでない接続係数Γを求めます。クリストッフェルの記号によるΓが,Γσμν(1/2)gσρ(gρμ+gρν-gμν)で与えられることから,まず,Γ000(1/2)g(gρ0,0+gρ0,0-g00,ρ)=(1/2)g0000,0(1/2)exp(-2ψ)2ψdexp(2ψ)=ψdです。

 

ここで,時間tによる微分をψdψdot≡∂ψ/∂tと表記しました。

 

以下,時間微分についてはψ2d≡∂ψd/∂t=∂2ψ/∂t2 etc.と表記します。

また,Γk00(1/2)g(gρ0,0+gρ0,0-g00,ρ)=-(1/2)gkk00,kです。(kについて和を取りません。以下では特に断りませんので状況で判断してください。)

 

00exp(2ψ)はrとtのみの関数なので,g00,kはk=1以外ではゼロです。それ故,ゼロでないΓk00はk=1のΓ100(1/2)exp(-λ){2ψ'exp(2ψ)}=ψ'exp(2ψ-λ)のみです。

 

ここで,動径rによる微分をψ'≡∂ψ/∂rと表記しました。

 

以下,動径微分についてはψ"≡∂ψ'/∂r=∂2ψ/∂r2 etc.と表記します。

Γ00k(1/2)g0000,kより,この型でゼロでないのは,k=1のみでΓ001=ψ'=Γ010です。

 

また,Γl0k(1/2)glllk,0より,これはl=kのときのみゼロではなくて,Γk0k(1/2)gkkkk,0です。

 

具体的には,Γ101=λd/2=Γ110202d/ =Γ220303d/ =Γ330です。

Γ0kl=-(1/2)g00kl,0より,この型もl=kのときのみゼロでなくて,Γ0kk=-(1/2)g00kk,0より,Γ011=λdexp(λ-2ψ)/2022RRdexp(-2ψ)/2033RRdsin2θexp(-2ψ)/2です。

また,Γmkl(1/2)gmm(gmk,l+gml,k-gkl,m)より1kl(1/2)g11(g1k,l+g1l,k-gkl,1)ですが,この型でゼロでないのはΓ111(1/2)g1111,l=λ'/2,Γ122=-(1/2)g1122,l=-RR'exp(-λ),Γ133=-(1/2)g1133,l=-RR'sin2θexp(-λ)です。

 

m=2,3についてゼロでないものは,Γ212(1/2)g2222,1'/ Γ221313(1/2)g3333,1'/ Γ331233=-(1/2)g2233,2=-sinθcosθ323(1/2)g3333,2cosθ/sinθ=Γ332だけです。

以上から,リッチテンソルの成分Rμν=Rρμνρ=∂Γρμν/∂xρ-∂Γρμρ/∂xν+ΓλμνΓρλρ-ΓλμρΓρλνが具体的に計算できます。

対角成分は,00=∂Γρ00/∂xρ-∂Γρ/∂x0+Γλ00Γρλρ-ΓλΓρλ0より,00(ψ"+2ψ'2-ψ'λ')exp(2ψ-λ)-λ2d/2-22d/ 2(d/ )2+ψdλd/2+2ψdd/ (-ψ'2ψ'λ'/2+2ψ''/ )exp(2ψ-λ)-(λd/2)22(d/ )2=-λ2d/2-22d/ d/2)2+ψdλd/2+2ψdd/ (ψ"+ψ'2-ψ'λ'/2+2ψ''/ )exp(2ψ-λ)です。

 

一方,Rkk=∂Γρkk/∂xρ-∂Γρ/∂xk+ΓλkkΓρλρ-ΓλΓρλkより,まず112d/2+(λd/2)2-ψdλd/2+λdd/ }exp(λ-2ψ)-ψ"-ψ'22"/ +ψ'λ'/2+λ''/ となります。

そして,R22{RR2d(d)2RRdλd/2-RRdψd}exp(-2ψ)-('2RR"'λ'/2+RR'ψ')exp(-λ)-1,R33{RR2d( d)2RRdλd/2-RRdψd}sin2θexp(-2ψ)-('2RR"RR'/2+RR'ψ')sin2θexp(-λ)-sin2θ=sin2θR22です。

非対角成分でゼロでないのは,R01=∂Γρ01/∂xρ-∂Γρ/∂x1+Γλ01Γρλρ-ΓλΓρλ1=R10のみで,R01=R10=-2'd/ +λd'/ 2ψ'd/ です。

 

具体的な考察と計算から,その他の非対角成分は全てゼロであることがわかります。

また,スカラー曲率はR=gμνμν{-λ2dd)2/2-42d/ 2(d/ )2dd/ 2dλd/ +ψdλd}exp(-2ψ)+{2ψ"+2ψ'24"/ 2('/ )24ψ''/ 2'λ'/ -ψ'λ'}exp(-λ)-2/2と書けます。

c=G=1の自然単位系での重力場の方程式:μν(1/2)gμνR=8πTμνを,第2項の係数gμνがクロネッカーのデルタになる便利な混合テンソル表式で書くと,Rμν-(1/2)δμνR=gνλμλ-(1/2)δμνR=8πTμνとなります。

具体的には,まずR00-(1/2)R=exp(-2ψ)R00-(1/2)R={-λ2d/2-22d/ d/2)2+ψdλd/2+2ψdd/ }exp(-2ψ)(ψ"+ψ'2-ψ'λ'/2+2ψ''/ )exp(-λ){-λ2d/2d/2)222d/ (d/ )2dd/ -λdd/ +ψdλd/2}exp(-2ψ)-{ψ"+ψ'22"/ ('/ )22ψ''/ -λ''/ -ψ'λ'/2}exp(-λ)+1/2{λdd/ (d/ )2}exp(-2ψ)+{-2"/ ('/ )2+λ''/ }exp(-λ)+1/2です。

 

同様に,01(1/2)δ01R=R01=-exp(-λ)01{2'd/ -λd'/ 2ψ'd/ }exp(-λ)です。

11(1/2)R=-exp(-λ)11(1/2)R{22d/ (d/ )2dd/ }exp(-2ψ)+{-('/ )22ψ''/ }exp(-λ)+1/2,さらに,33sin2θ22なので22(1/2)R=-222(1/2)R33(1/2)R=-2sin-2θ33(1/2)R{λ2d/2d/2)22 2d/ -λdψd/2-ψdd/ +λdd/(2 )}exp(-2ψ)+{-ψ"-ψ'2"/ -ψ'('/ -λ'/2)+λ''/(2 )}exp(-λ)です。

 

これ以外のμν(1/2)δμνRは全てゼロです。

よって,重力場の方程式:μν(1/2)δμνR=8πTμνの自明でない成分は,00(1/2)R=8πT00,R01-(1/2)R=8πT01 (R10-(1/2)R=8πT10),R11-(1/2)R=8πT11,R22-(1/2)R=8πT22,R33-(1/2)R=8πT33です。

 

ただし,球対称解ではR22-(1/2)R=R33-(1/2)RなのでT22=T33であることが必要です。そして最後の2式は同じ1つの方程式になるはずです。

そこで,Rμν-(1/2)δμνR=8πTμν右辺のエネルギー運動量テンソルμνの具体的な形は,時空を連続体としたときの一般的な自然単位での完全流体の表現:μν(P+ρ)uμν-Pgμν (uμ≡dxμ/dτ)であると仮定します。

計量がds2exp(2ψ)dt2exp(λ)dr22(dθ2sin2θdφ2)で与えられる時空で,重力源のエネルギー運動量テンソルTμνを与えるものとしての"宇宙の構成物体=完全流体"が静止しているような座標系を想定します。

 

そうした準拠系ではdr=dθ=dφ=0 であり,自然単位ではc=1よりdτ=ds=exp(ψ)dtなので,0=dx0/dτ=dt/dτ=exp(-ψ),uk0 です。

そこで,この系ではuk0 によって,エネルギー運動量テンソルTμν非対角成分は全てゼロです。対角成分は00ρexp(-2ψ),11exp(-λ),22-2,33-2sin-2θで与えられます。

 

これから00ρ,T112233=-Pが得られます。そこで球対称時空解の必要条件であるT22=T33は確かに満たされています。

そして,これらがエネルギー運動量テンソルの保存則を満たすべきである,という共変微分による条件式μν0 は,μν(-g)-1/2[∂{(-g)1/2μν}/∂xν]-(1/2)(∂gνλ/∂xμ)Tνλ0 と書き直せます。

 

ここで,gは行列式:g=det(gμν)で,今の場合は(-g)1/2exp(ψ+λ/2)R2sinθです。

そこで,まず,μ=0 に対しては0νexp(-ψ-λ/2)-2sin-1θ[∂{ρexp(ψ+λ/2)2sinθ}/∂t]-(1/2)(∂g00/∂x0)T00(1/2)(∂g11/∂x0)T11(1/2)(∂g22/∂x0)T22(1/2)(∂g33/∂x0)T330 です。

 

00exp(2ψ),g11=-exp(λ),g22=-2,g33=-2sin2θにより,これは∂ρ/∂t+(ρ+P)(λd/2+2d/ )=0 を意味します。

以下,詳細は省略しますが,1ν0 (μ=1)より∂P/∂r+(ρ+P)(∂ψ/∂r)=0 ,または∂ψ/∂r=-(∂P/∂r)/(ρ+P)が成立します。

 

また,T2ν0 (μ=2)からは∂P/∂θ=0 ,T3ν0 (μ=3)からは∂P/∂φ=0 が得られます。

 

これら∂P/∂θ=0 ,∂P/∂φ=0 は,圧力Pが球対称でr,tのみの関数であることを意味しており,∂ρ/∂t+(ρ+P)(λd/2+2d/ )=0 ,および∂ψ/∂r=-(∂P/∂r)/(ρ+P)から,ρもまたr,tのみの関数であることがわかります。

さらに,ここでは時空を連続体,それも巨視的な流体と見たエネルギー運動量テンソルを論じており,密度ρや圧力Pなどの量は時空を構成する莫大な個数の原子や分子などの微視的粒子の集まりの巨視的な統計的平均値で与えられます。

 

一般に重力とは別の理由で,ρとPは独立ではなく,P=f(ρ,T)なる形のPとρを関係付ける状態方程式があると考えられます。

 

ここで,Tは絶対温度です。例えば分子量がMの理想気体なら状態方程式は,P=ρRT/Mです。しかし,より正確には状態方程式は,P=f(ρ,T)という単純な形ではなく右辺の関数はρ,T以外の引数をも含むと思われます。

保存則Tμν0 は,重力場が(μν(1/2)δμνR)0 を満たすことを要求するので,先に求めた連立方程式の4つ:00(1/2)R=8πT00,R01-(1/2)R=8πT01,R11-(1/2)R=8πT11,R22-(1/2)R=8πT22も,全てが独立ではないと考えられます。

 

また,状態方程式も重力場を規定すると思われます。

今,考えている局所的な時空の領域で重力源となる主要なエネルギー運動量テンソルを与える流体が静止しているとしましたが,そもそもテンソル方程式は座標系の取り方に依存しないはずなので,流体が運動していると見える場合にも流体と共に運動する座標系を取れば,この系では常に流体は静止していてエネルギー運動量テンソルはやはり対角成分のみとなります。

このような座標系は共動座標系と呼ばれています。したがって,球対称な時空を考えている今の問題では流体物質の運動も球対称なので座標r,θ,φは共動座標系のそれとみなしてよいと考えられます。

共動座標系に乗った観測者の固有時間τはdτ2=exp(2ψ)dt2によって,dτ=exp(ψ)dtで与えられます。

 

特にτによる偏微分をDτなる記号で表わすことにします。

 

例えば (r,t)のτによる偏微分はDτ ですが,これは動径の速度に相当するので,これを記号Uで表現すると,U≡Dτ ≡∂ /∂τ=exp(-ψ)dです。このUをさらにrで偏微分すると,U'=exp(-ψ)('d-ψ'd)となります。

ここで,唯一の非対角部分の方程式:R01-(1/2)R=8πT01に着目すると,これの陽な形は 2'd/ -λd'/ 2ψ'd/ 0 です。

 

これをλdについて解くと,λd2('d-ψ'd)/'となりますが,さらに両辺にexp(-ψ)を掛けるとexp(-ψ)λdτλ=∂λ/∂τ=2exp(-ψ)('d-ψ'd)/'=2U'/'なる表式が得られます。

 

さらに,U'/'U'/'=(∂U/∂r)/(∂ /∂r)=(∂U/∂ )tと変形できますから,結局,方程式01(1/2)R=8πT01は,Dτλ=2(∂U/∂ )tなる関係式を意味することがわかります。

一方,8πT00=R00-(1/2)Rは,8πρ={λdd/ (d/ )2}exp(-2ψ)+{-2"/ ('/ )2+λ''/ }exp(-λ)+1/ 2と書けます。

 

ところがddexp(-2ψ)=exp(-ψ)dexp(-ψ)λdτ τλ=2U(∂U/∂ )=∂U2/∂ ですから,これは8πρ 21+U2 (∂U2/∂ )-{2RR"+(')2}exp(-λ)-'{exp(-λ)}'となります。

 

この式はexp(-λ)を未知関数とする1階線型微分方程式と見ることができます。

そして,r=0 空間原点近傍でも局所的に平坦であると見なせるので,原点を回る円周の長さを2πΔ とすると,この円の動径はΔ (∂ /∂r)Δr=(-g11)1/2Δr=exp(λ/2)Δrで与えられますから,r→ 0 ではexp(λ)=(∂ /∂r)2と考えられます。

そこで,exp(λ)≡(∂ /∂r)2[1/{1+f(r,t)}]=(')2/(1+f)と置くと exp(-λ)=(')-2(1+f),{exp(-λ)}'=-2"(')-3(1+f)+(')-2f'となります。

 

8πρ21+U2 (∂U2/∂ )-{2RR"+(')2}exp(-λ)-'{exp(-λ)}'に,これらを代入すると,8πρ21+U2+R(∂U2/∂ )-{2RR"/(')21}(1+f)+{2RR"/(')2}(1+f)- f'/'=U2 (∂U2/∂ )-{f+ (∂f/∂ )}=∂( 2 )/∂ となります。

そこで,結局,8πT00=R00-(1/2)Rは,8π2ρ=∂{ (U2-f)}/∂ ,あるいは (U2-f)=2∫0 4πρξ2dξなる等式を意味することになります。

 

この定積分表示は,左辺が 0 でゼロなので成立するわけです。

 

そして,動径 はr,tのみの関数: (r,t)なので,m≡∫0 4πρξ 2dξと定義すると,mもr,tの関数:m=m(r,t)であることがわかり,結局, (U2-f)=2m,よりf=U22m/ が得られてfの形が決まります。

そして,m=∫0 4πρξ2dξなる表式はm| =0 ,かつ(∂m/∂ )t2ρと表現することもできます。

 

こうして,exp(λ)(')2/(1+f)で定義されたfが決まったので,代入するとexp(λ)(')2/(1+22m/ ),あるいはexp(-λ)=(1+22m/ )/(')2が得られます。

さらに,8πT00=R00-(1/2)Rより,8π2ρ={ λdd (d)2}exp(-2ψ)+{-2RR"-(')2RR'λ'}exp(-λ)+1,および8πT11=R11-(1/2)Rより,8π2P={2RR2d(d)22RRdψd}exp(-2ψ)+{-(')22RR'ψ'}exp(-λ)+1,が成立します。

 

これらを,辺々加えて2で割れば,2(ρ-P)={(d)2λdd /2+RR2dRRdψd}+exp(-2ψ)-{(')2RR"RR'λ'/2+RR'ψ'}exp(-λ)+1=1+U2(∂U2/∂ )/2+ exp(-ψ)[∂{exp(-ψ) d}/∂τ]-exp(-λ/2)[∂{exp(-λ/2)RR'}/∂r]-exp(-λ)RR'ψ'を得ます。

ところが既に示したように,exp(-λ)=(1+22m/ )/(')2ですから,exp(λ/2)=(∂ /∂r)(1+22m/ )-1/2です。

 

つまり,exp(λ/2)dr=d (1+22m/ )-1/2と書けるので,exp(-λ/2)(∂/∂r)=(1+22m/ )1/2(∂/∂ ),あるいはexp(-λ/2) '(1+22m/ )1/2です。

 

また,ψ'=∂ψ/∂r=(∂P/∂r)/(ρ+P),そしてDτU=exp(-ψ)Udexp(-ψ)[∂{exp(-ψ) d}/∂τ]です。

したがって,先の方程式は2(ρ-P)=1+U2(1/2)(∂U2/∂ )+τU-(1+22m/ )1/2(∂/∂R){(1+22m/ )1/2}+{ (1+22m/ )/(ρ+P)}(∂P/∂ )tτU+{ (1+22m/ )/(ρ+P)}(∂P/∂ ) t1+U2(∂U2/∂ )/2-(1+22m/ )-(1/2){(∂U2/∂ )+2m/ 28π ρ}と簡単になります。

結局,最終的な方程式として,DτU=-{(1+22m/ )/(ρ+P)}(∂P/∂ )t-(m+4π3)/2}なる式を得ます。

 

これは,一般相対論における球対称時空での完全流体の運動方程式を表わしていると考えられます。

実際,この方程式において2<<1,2m/ <<1,P<<ρの極限を取れば,∂u/∂t=-(1/ρ)(∂P/∂ )-/2が得られます。

 

これはc=G=1の自然単位から通常の単位に戻せば,∂/∂t=-∇P/ρ-G/r 2となります。

 

つまり,この近似では方程式は,原点に大きさmの質量がある場合のニュートンの万有引力の場の中での密度ρの完全流体の運動方程式であるオイラーの方程式に一致しています。

なお,定常の場合,すなわち,τU=0 ,U=τ 0 の場合には,一般的な運動方程式から,(∂P/∂ )t=-(ρ+P)(m+4π3)/{ 2(12m/ )}なる式を得ます。

 

これをTOV方程式(Tolman-Oppenheimer-Volkoff's equation)と呼びます。

 

TOV方程式は,通常の単位では(∂P/∂ )t=-(ρ+P/c2)(Gm+4π3/c2)/{2(12Gm/2 )}と書けます。

 

これは後で内部解を求めるときにも使用する予定です。

今日はここまでにします。

参考文献:佐藤文隆,原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

  

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