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2008年7月30日 (水)

相対論の幾何学(第Ⅰ部-4:空間曲面(1))

3次元空間内の曲面をパラメータu,vの平面内の領域Dで定義されるベクトル値関数(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),(u,v)∈Dによって定義します。

 

ただしx,y,zはu,vで3回連続偏微分可能(C3-級)で,2行3列のヤコービ行列:t(∂/∂u,∂/∂v)の階数は2とします。

v=bを固定して,uだけ変化させるとき,関数(u,b)は曲線を表わします。この曲線はもちろん,曲面(u,v)の上にあります。

 

そして,u=aにおけるこの曲線の接ベクトルをu(a,b)≡(∂/∂u)(a,b)と書きます。

 

同様にu=aを固定して得られる曲線(a,v)のv=bにおける接ベクトルを,v(a,b)≡(∂/∂v)(a,b)と書きます。 

仮定によって,t(∂/∂u,∂/∂v)の階数が2なのでt(u(a,b),v(a,b))の階数は2です。これはu(a,b)とv(a,b)が1次独立なベクトルであることを意味します。

何故なら,一般にn次元実線形数空間に属するm<nなるm個のベクトル1,2,..,mが一次独立であるための条件は,n×m行列:A≡t(1,2,..,m)の成分から作られるm次の小行列式の中に値がゼロでないものが存在することだからです。

今仮に,1,2,..,mが一次従属だとすれば,その定義からゼロでないm次元の数ベクトル:=(x1,x2,..,xm)≠0 が存在して,x11+x22+..+xmm0 が成立します。すなわち,A=0,またはtt0 となります。

 

そこで実内積:(i,j)≡itj(i,j)成分とするm次の正方行列を考えると,これはtAAですが,今の場合には or tが,tAAを係数行列とするm元一次連立方程式,つまり(tAA)=0,またはt(tAA)t0自明でない解になることを意味します。

 

そして,t(tAA)t0自明でない解を持つための必要十分条件はdet(tAA)=0 ですから,1,2,..,mが一次従属であるための条件がdet(tAA)=0 であることがわかります。

ところで,正方行列でない行列tAとAの積の行列式は,m次の小行列式の積和として,det(tAA)=Σ(j1,j2,..,jm)det{t(j1,j2,..,jm)}det{A(j1,j2,..jm)}のように展開表現されます。

 

行列とその転置行列の行列式は相等しいので,上の展開式の右辺各項はdet{t(j1,j2,..,jm)}det{A(j1,j2,..,jm)}=[det{A(j1,j2,..,jm)}]20 となります。

 

結局,1,2,..,mが一次従属であること,したがってdet(tAA)=0 なることはAのm次の小行列式が全てゼロとなって,行列Aの階数がmより小さいことを意味することがわかります。

以上から,A≡t(1,2,..,,m)とするとき,1,2,..,,mが1次独立であることと,"Aの成分から作られるm次の小行列式の中に値がゼロでないものが存在すること",つまり階数がm以上であることは同等であることが示されました。

したがって,点(a,b)における曲面(u,v)の接平面(tangent plane)は,u(a,b)とv(a,b)で張られることがわかります。そこで任意の接ベクトルはuvの1次結合として,ξu+ηvなる形に書けます。 

そこで,後の便宜上uvの"内積=スカラー積"をE≡(u,u)=u2,F≡(u,v)=(v,u),G≡(v,v)=v2と書き,同時にこれらを成分とする1行目が(E,F)=[(u,u),(u,v)],2行目が(F,G)=[(u,v),(v,v)]の対称行列を考えておきます。

すると,E,F,Gはu,vの関数であり,一般の接ベクトルξuと+ηvの長さの平方は|ξuと+ηv|2u+ηvu+ηv)=Eξ22Fξη+Gη2と書けます。 

,(u,v)平面内にu=u(t),v=v(t)なる曲線を取り,それに対応して写される曲面(u,v)上の曲線(t)≡(u(t),v(t))を想定します。

 

この曲線の各点(t)における接ベクトルはd/dt=u(du/dt)+v(dv/dt)です。

 

そして,その接ベクトルの長さの平方は|d/dt|2(d/dt,d/dt)=E(du/dt)22F(du/dt)(dv/dt)+G(dv/dt)2となります。

 

そこで,tがαからβまで動くときの曲線(t)の長さは∫αβ{E(du/dt)22F(du/dt)(dv/dt)+G(dv/dt)2}1/2dtで与えられます。 

それ故,特に形式的にI≡E(dudu)+2F(dudv)+G(dvdv)なるものを考え,Iを曲面(u,v)の第1基本形式と呼びます。

 

一方,d/dt=u(du/dt)+v(dv/dt)も形式的にduduvdvと表現できるので,第1基本形式はI=(d,d)とも書けます。

 

これは,ベクトルの平方を示しているので非負です。それ故,第1基本形式を2次形式と見るときには,これは正値形式になっています。

ここで,uvの"外積=ベクトル積":u×vを考えると,これはuvの両方に垂直ですから,uvが作る接平面に垂直です。

 

そこで,≡(u×v)/|u×v|と定義すると,は曲面(u,v)の単位法ベクトルになります。

このを用いた形式:Π≡-(d,d)を作り,これを曲面(u,v)の第2基本形式と呼びます。これには,見ただけではどのような幾何学的意味があるかはよくわかりませんが次第にはっきりしてきます。

(u×v)/|u×v|なので,これはu,vと直交しています。すなわち,(u,)=0, (v,)=0 です。

 

これを,さらに偏微分すると(uu,)+(u,u)=0, (uv,)+(u,v)=0 ,(vu,)+(v,u)=0 ,(vv,)+(v,v)=0 となります。

 

そこで3つのu,vの関数L,M,NをL≡(uu,)=-(u,u),M≡(uv,)=(vu,)=-(u,v)=(v,u),N≡(vv,)=-(v,v)と定義します。

このとき:Π≡-(d,d)=-(udu+vdv,udu+vdv)=L(dudu)+2M(dudv)+N(dvdv)と書けます。

そしてu,v,は明らかに1次独立ですから,3次元空間の任意のベクトルはこれらの1次結合として表わされます。例えばuu=Γuuud+Γvuuv+L,uv=Γuuvu+Γvuvv+M,vu=Γuvuu+Γvvuv+M,vv=Γuvvu+Γvvvv+Nと表わせます。

 

これをガウスの式といい,係数Γをクリストッフェルの記号(Christoffel's symbol)といいます。

 一方,(,)=1 (一定)より,(u,)=0,(v,)=0 ですから,u=Au+Bvと書けば,-L=(u,u)=EA+FB,-M=(v,u)=FA+GBが成立します。

 

 そこでEG-F20 なら,A,Bについて解くことができてA=(FM-GL)/(EG-F2),B=(FL-EM)/(EG-F2)となります。

 

 そこで,結局u{(FM-GL)/(EG-F2)}u{(FL-EM)/(EG-F2)}vと書けます。

 

 同様にv{(FN-GM)/(EG-F2)}u{(FM-EN)/(EG-F2)}vです。この2式をワインガルテンの(Weingarten's  formula)と言います。

これらは空間曲線に対するフレネ・セレの公式(Frenet-Serret's formula):'=1,1'=κ2,2'=-κ1+τ3,3'=-τ2の空間曲面におけるアナロジーと考えることができます。

第2基本形式:Π≡-(d,d)=-(udu+vdv,udu+vdv)=L(dudu)+2M(dudv)+N(dvdv)の幾何学的意味を理解するために,この空間のある単位ベクトル:αを固定して,関数fをf(u,v)≡(α,(u,v))で定義します。

 

これは(u,v)のα方向の成分を示しています。つまり,例えばαがxy平面に垂直なz軸方向の単位ベクトルならf(u,v)は曲面(u,v)のxy面(z=0)からの高さに相当するものです。

曲面上の1点0(u0,v0)を固定し,αをその点での法ベクトルとします。すなわちα(u0,v0)とします。

 

このとき,(α,u(u0,v0))=0,(α,v(u0,v0))=0 ですから,このαに対する関数f(u,v)=(α,(u,v))のu,vの微小変化に対する変動は0(u0,v0)ではdf=(α,d)=(α,u)du+(α,v)dv=0 になります。

 

つまり,例えばα(u0,v0)がxy平面に垂直なz軸方向の単位ベクトルなら,0(u0,v0)での接平面はαに垂直故,水平xy面であること,すなわち曲面の高さが臨界値(極大値,極小値を含む停留値)に達していることを意味します。

ここで,0(u0,v0)の近傍でのfの挙動を調べるため,fuu,fuv,fvu,fvvを成分とする対称行列を考えます。これはfのヘッセの行列と呼ばれ,Hfと表記されます。

 

今はα(u0,v0),f(u0,v0)=(α,(u0,v0))ですから,fuu,fuv,fvu,fvvは,それぞれL(u0,v0),M(u0,v0),M(u0,v0),N(u0,v0)となります。

 

そこで,第2基本形式がΠ=-(d,d)=L(dudu)+2M(dudv)+N(dvdv)=(du,dv)Hf(u0,v0)t(du,dv)と書けるので,これが0(u0,v0)で正値2次形式になるとすると,(du,dv)Hf(u0,v0)t(du,dv)≧0 です。

すなわち,df=0 によりΔfへの任意の微小なΔu,Δvの1次の変動量の寄与はゼロなので,総変動量ΔfはΔf≡f(u0+Δu,v0+Δv)-f(u0,v0) ~ (Δu,Δv)Hf(u0,v0)t(Δu,Δv)なる形のΔu,Δvの対称2次式となります。

 

それ故,右辺が正値ということは,(u0,v0)でf(u,v)が下に凸であることを意味し,曲面(u,v)は点(u0,v0)で極小値を取ります。

 

同様に,第2基本形式Π=-(d,d)が0(u0,v0)で負値2次形式なら(u0,v0)でf(u,v)は上に凸となり,曲面(u,v)は点(u0,v0)で極大値を取ります。

第2基本形式Πが正値になるのは,Π=L(dudu)+2M(dudv)+N(dvdv)の判別式DがD/4=M2-LN<0 を満たし,かつL,N>0 の場合であり,負値になるのはD/4=M2-LN<0 で,かつL,N<0 の場合です。

 

また,D/4=M2-LN>0 のなら,その正負については何も言えず,第2基本形式Πは不定値になり,曲面(u,v)は(u0,v0)の近傍では馬の鞍型になります。

短いけれど,今日はここまでにします。

参考文献:小林昭七著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房),佐藤正次,永井 治 編「基礎過程 線型代数学」(学術図書出版)

 

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