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2008年7月 9日 (水)

球対称時空解(シュヴァルツシルト解)の導出(4)

 球対称時空解の続きです。

 

 具体的に,真空中の重力場の方程式の球対称解を求めます。

再び,一般的な球対称時空の計量(metric):ds2exp(2ψ)dt2exp(λ)dr22(dθ2sin2θdφ2)に戻ります。

 

(r,t)なので,d=(∂ /∂t)dt+(∂ /∂r)dr=ddt+'drですが,特に,物質非存在の真空を対象とするような共動座標など考える必要のない静的な場合や,物質が存在しても定常な場合では,d=∂ /∂t=0 です。

そこで,このときには (r),'=d /drであってdr='-1となりますから,これを代入すれば計量はds2exp(2ψ)dt2'-2exp(λ)d22(dθ2sin2θdφ2)となります。

 

そして,'-2exp(λ)を改めてexp(λ)と定義し直し,を単にrと書くなら(あるいは,単に(r)≡rとして'=d /dr=1とするなら),さらにds2exp(2ψ)dt2exp(λ)dr2-r2(dθ2sin2θdφ2)と簡単になります。

これは,これまで得られた重力場の方程式で=rとし,'=1,"=0 ,d2d0 とすることを意味します。

,空間原点r=0 には物質やエネルギーの重力源が集中して存在しても,その点を除く位置(r≠0 の領域)は物質のない真空であって,密度がρ=0 ,圧力がP=0 であり,それ故,そこではエネルギー運動量テンソルμν(P+ρ)uμν-Pgμνが全てゼロであるような場合を考えます。

このとき,r≠0 のμν=0 の領域での重力場の方程式は,μν(1/2)δμν0 となります。

 

この方程式で,さらに定常:d=λd=ψd0 であって,=rとしてよい場合を考えると,先のゼロでない4つの成分に対する方程式:00(1/2)R=0 ,R01-(1/2)R=0 ,R11-(1/2)R=0 ,R22-(1/2)R=0 は,2つめの式が 0=0 と自明な恒等式となって無意味です。

 

残りの3つには意味があって,(-1/r2+λ'/r)exp(-λ)+1/r20 ,(-1/r22ψ'/r)exp(-λ)+1/r20 ,{-ψ"-ψ'2-ψ'(1/r-λ'/2)+λ'/(2r)}exp(-λ)0 と簡単化された式になります。

前の2つの方程式からλ'+2ψ'=0 となりますが,これはλ+2ψ=(定数)を意味します。

 

そして,r→ ∞では時空は平坦なはずなのでds2exp(2ψ)dt2exp(λ)dr2-r2(dθ2sin2θdφ2)における2つの係数は,exp(2ψ),exp(λ)→1,つまり,ψ,λ→ 0 となります。

 

それ故,λ+2ψ→ 0となるのでλ+2ψ=(定数)の定数はゼロに等しく,λ+2ψ=0 が成立するはずです。

一方,(-1/r2+λ'/r)exp(-λ)+1/r20 より,(1-rλ')exp(-λ)=1,すなわちd(rexp(-λ))/dr=1です。

 

そこで,Cを積分定数としてexp(-λ)=1+C/r=exp(2ψ)です。

 

ここで,前記事での等式exp(-λ)=(1+22m/ )/(')2からの類推から,C=-2mとおくと,結局exp(-λ)=1-2m/r=exp(2ψ)と書けます。

λ=-ln(1-2m/r)=ln(r)-ln(r-2m)ですから,rで微分するとλ'=1/r-1/(r-2m)=-2ψ',λ"=-1/r2+1/(r-2m)2=-2ψ"です。

λ+2ψ=0 より,重力場の3番目の方程式-ψ"-ψ'2-ψ'(1/r -λ'/2)+λ'/(2r)0 で,ψ=-λ/2を代入すれば,λ"-λ'22λ'/r=0 が得られます。

 

左辺に,上で求めたλ'=1/r-1/(r-2m),λ"=-1/r2+1/(r-2m)2を代入すると,これは確かにゼロになるので,1,2番目の連立方程式の解は3番目の方程式を満足します。

以上から,重力場の球対称な真空定常解を表現する解は,exp(-λ)=1-2m/r=exp(2ψ)によって与えられると考えられます。

これは元々の計量:ds2exp(2ψ)dt2exp(λ)dr2-r2(dθ2sin2θdφ2)が,ds2(1-2m/r)dt2-dr2/(1-2m/r)-r2(dθ2sin2θdφ2)と表わされることを意味します。

 

この表現の解は,シュヴァルツシルトの(外部)解としてよく知られているものです。この計量が表わす時空をシュヴァルツシルト時空と呼びます。

次に動径 については =rとして'=1,"=0 ,d2d0 とすることができるけれど,以外の変数の時間変化:λdd etc.については,必ずしもゼロではない非定常な球対称真空解を求めることを考えてみます。

この場合,ゼロでない4つの方程式00(1/2)R=0 ,R01-(1/2)R=0 ,R11-(1/2)R=0 ,R22-(1/2)R=0 は,次のようになります。

 

(-1/r2+λ'/r)exp(-λ)+1/r20 ,(-λd/r) exp(-λ)0 ,{(-1/r22ψ'/r)exp(-λ)+1/r20 ,(λ2d/2d/2)2-λdψd/2)exp(-2ψ)+{-ψ"-ψ'2-ψ'(1/r-λ'/2)+λ'/(2r)}exp(-λ)0 の4つです。

そして2番目の方程式(-λd/r)exp(-λ)0 から,λd0 であることがわかります。

 

これを最後の4番目の方程式に代入すると,{-ψ"-ψ'2-ψ'(1/r-λ'/2)+λ'/(2r)}exp(-λ)0 となります。

 

その結果,2番目以外の残る3つの方程式系は前の定常性を仮定した方程式系と全く一致します。

 

これは非定常真空解も,定常解である同じシュヴァルツシルト時空であることを意味しています。

 

これはバーコフの定理(Birkhoff's theorem)として,よく知られている事実です。

バーコフの定理は,"球対称の真空解は常に定常解であること,あるいは球対称に分布した物質が,たとえ動径方向に時間的に変化しても,球対称性を破ることがなくて星の総質量mが不変であれば,外場としての時空は定常なシュヴァルシルト時空であること,

 

そして,内部の時間変動によって重力波が発生したりすることなどはないこと”を意味しています。

なお,シュヴァルツシルトの(外部)解を自然単位から通常の単位に戻すのは,単に2mを2Gm/c2とするだけですから,通常の単位での,シュヴァルツシルトの計量はds2=c2dτ2{1-2/(2)}dt2-dr2/{1-2/(2)}-r2(dθ2sin2θdφ2)となります。

続いて,球状の星の内側の場を表わす,定常な球対称内部解を求めることを考えます。

密度ρが一様であるような星を考えます。ρ=一定なので,m(r)=∫0r4πr2ρdr=4πρr3/3です。

 

そこで,exp(-λ)=1-2m/r=1-8πρr2/3,あるいは exp(λ)=(1-2m/r)-1(1-8πρr2/3)-1ですね。

星の内部は真空ではなく,物質が存在するので,先に求めた真空の外部解に対応する表式:exp(-λ)=1-2m/rを星の内部に流用するのは適切ではないような気がします。

 

しかし,rよりも外側の物質質量の,半径rの位置での重力への寄与は,ニュートンの万有引力の場合と同様,球対称性の故に完全に相殺されてゼロとなり,この位置の重力への全ての寄与は外部が真空であるか否かに関わりなく,rの内部の質量m(r)のみであると考えられます。

 

そこで,依然として,シュヴァルツシルトの外部解の式が有効でありexp(-λ)=1-2m/r=1-8πρr2/3としてよいと思います。

  

もっとも,一般的な重力場の方程式は線型ではなく,もはや重ね合わせの原理は成立しないので,"全体の重力は,それを構成する部分の寄与の単純和で与えられる"という論理が,この場合にも適用可能かどうか,いささか自信がありませんが。。。

 

※PS:非線型で重ね合わせの原理が成立しないということは,グリーン関数が使えない,つまり,量子論だとファインマン・ダイアグラムの基になるファインマン伝播関数=プロパゲータも使えなけりゃ,スペクトル展開もできません。。

 

もっとも普通の意味の摂動論からして成立しないでしょう。非線形だから級数展開が意味を持たないのはとても困ります。

 

数値計算に頼る他ない流体力学のナビエ・ストークス方程式などと同様,"重力場恐るべし"ということを再確認しましたね。。

 

今の球対称重力場の特別な場合は,ゼロでない4つの重力場の方程式のうち,最後の方程式以外は線型になっていて,シュヴァルツシルト外部解は線型方程式だけから導出されるのですが,それが最後の非線形な式λ"-λ'22λ'/r=0 を満たすかどうかで解になるかどうかがテストされるわけです。

 

これ以外の方程式はλとexp(-λ)の両方について線型ですが,λ=λ1,λ=λ2が共にλ'の2次式であるλ"-λ'22λ'/r=0 を満たすときに,λ≡λ1+λ2も解であるならλ12'=0 であるべきことがわかります。

 

r→ ∞でexp(λ)→1すなわちλ→ 0 なる境界条件を無視すれば,λ1'=1/r-1/(r-2m1),λ2'=1/r-1/(r-2m2)より,??? ← 方程式が線型でないので当たり前ですね。

 

結局,非線形方程式を重ね合わせで説明するのは誤りで,導出の経過はどうあれ最終的に求められたものが解であるかどうかは方程式に代入してみて,それらの式が確かに満足されるかどうかだけで決まります。

 

球対称内部解が確かに解であることを確かめればいいのです。

 

とはいえ,mを定数と考える限り外部解が解であることは既にわかっていて,それはmが定数なら一般解exp(-λ)=1+C/r=exp(2ψ)での積分定数Cが=2mと置けることを保証しています。

 

しかし,m ∝r3の場合,exp(-λ)=1-2m/r=1-8πρr2/3の場合には真空中の定常解についての方程式(-1/r2+λ'/r)exp(-λ)+1/r20 ,すなわち1/r2[1-(d/dr){rexp(-λ)}]=0 に対してλの一般解がexp(-λ)=1+C/r=exp(2ψ)で与えられるべきであるという真空解の条件が満足されません。

 

しかし,解の導出の途中過程で真空中の外部解に基づく考察がなされていても,最終的な球対称内部解は外部解が満たす真空中の方程式 1/r2[1-(d/dr){rexp(-λ)}]=0 ではなく,もっと一般的なゼロでない密度ρに対する方程式 1/r2[1-(d/dr){rexp(-λ)}]=8πρと等価なTOV方程式を満たすことがわかるので,これは解である要件を満足しています。(PS終わり)※

 

一方,以前,定常の場合,τU=0 ,U=τ 0 の場合には,一般的な運動方程式から,TOV方程式(Tolman-Oppenheimer-Volkoff's equation):(∂P/∂ )t=-(ρ+P)(m+4π 3)/{ 2(12m/ )}が成立することを述べました。

 

これは今の場合には,-dP/dr=4πr3(ρ/3)(ρ+P)/{r2(1-8πρr2/3)},すなわち-dP/{(P+ρ)(P+ρ/3)}=4πrdr/(1-8πρr2/3)の成立を意味します

そこで,両辺を積分すると,{3/(2ρ)}ln{(P+ρ)/(P+ρ/3)}=-{3/(4ρ)}ln(1-8πρr2/3)+定数より(P+ρ)/(3P+ρ)=A/(1-8πρr2/3)1/2となります。

 

これはr=RS(星の表面;RSは星の半径)で,圧力がゼロ(P=0)という境界条件を与えると,A=(1-8πρRS2/3)1/2,or (P(r)+ρ)/(3P(r)+ρ)=(1-8πρRS2/3)1/2/(1-8πρr2/3)1/2となります。

そこで,この星の質量をMとするとM=m(RS)=4πρRS3/3なので,逆にρ=3M/(4πRS3)です。

 

したがって,(r)={3M/(4πRS3)}[{(1-2M/RS)1/2(1-2Mr2/RS3)1/2}/{(1-2Mr2/RS3)1/23(1-2M/RS)1/2}]を得ます。

ところで,TOV方程式は,前の記事で時空連続体を完全流体と仮定し,一般の重力場の方程式μν(1/2)δμνR=8πTμν右辺のエネルギー運動量テンソルμνが自然単位でμν(P+ρ)uμν-Pgμν (uμ≡dxμ/dτ)なる形に表現される場合,

 

しかも,球対称である条件u0=dx0/dτ=dt/dτ=exp(-ψ),ukdxk/dτ=0 が満たされる場合の定常状態での解に対して得られたものです。

そして,一般にエネルギー運動量テンソルの保存則を示す条件式μν0 は,μν(-g)-1/2[∂{(-g)1/2μν}/∂xν]-(1/2)(∂gνλ/∂xμ)Tνλ0 と変形できます。

 

00ρ,T112233=-Pなので,それらは∂ρ/∂t+(ρ+P)(λd/2+2 d/ )=0 ,∂ψ/∂r=-(∂P/∂r)/(ρ+P),∂P/∂θ=∂P/∂φ=0 の4つの式に帰することは既に見ました。

定常な星の内部解を求めている今の場合は,P=P(r)ですから,∂P/∂θ=∂P/∂φ=0 は最初から満たされていて,ρ=一定であり,λd/2= d0 です。

 

そこで,∂ρ/∂t+(ρ+P)(λd/2+2 d/ )=0 も自明ですから,意味のある式は,∂ψ/∂r=-(∂P/∂r)/(ρ+P)のみですが,これは今の場合にはdψ/dr=-(dP/dr)/(ρ+P)です。

右辺にTOV方程式:-dP/dr=4πr3(ρ/3)(ρ+P)/{r2(1-8πρr2/3)}を代入すると,dψ/dr=4πr(ρ/3)/(1-8πρr2/3)ですから,ψ(r)=∫[4πr(ρ/3)/(1-8πρr2/3)]dr=4π∫rdr(P+ρ/3)/(1-2Mr2/RS3)]を得ます。

そこで,u≡(1-2Mr2/RS3)1/2,{S3/(2M)}udu=-rdrと変数rをuに置換し,(P+ρ)/(3P+ρ)=A/(1-2Mr2/RS3)1/2,A=(1-2M/RS)1/2から,(P+ρ)/(3P+ρ)=1/3+(2ρ/9)/(P+ρ/3)=A/uによってP+ρ/3=(2ρ/3){u/(3A-u)}とします。

 

ρ=3M/(4πRS3)より,ψ(r)=4π∫rdr(P+ρ/3)/(1-2Mr2/RS3)=∫du/(u-3A)=ln|u-3A|+定数と積分されます。

したがって,exp(2ψ)=B[3(1-2M/RS)1/2(1-2Mr2/RS3)1/2]2(Bは積分定数)ですが,r=RSでシュヴァルツシルトの外部解exp(2ψ)=1-2M/RSに一致することを要求すれば,B=1/4を得ます。

 

すなわち,exp(2ψ)=(1/4)[3(1-2M/RS)1/2(1-2Mr2/RS3)1/2]2exp(-λ)です。

 

こうして,exp(2ψ),exp(λ)の1つの解が得られましたが,これをシュヴァルツシルトの内部解と呼びます。

しかし,これが物理的に意味を持つ解であるためには,星の総質量Mと半径RSには,ある制限が付きます。

 

以下,これを説明します。

 

(r)={3M/(4πRS3)}[{(1-2M/RS)1/2(1-2Mr2/RS3)1/2}/{(1-2Mr2/RS3)1/23(1-2M/RS)1/2}]において,r=0 として星の中心の圧力P(0)を求めると,P(0)={3M/(4πRS3)}[{(1-2M/RS)1/21}/{1-3(1-2M/RS)1/2}]となります。

 

ここで,A=(1-2M/RS)1/2とおけば,これは(0)={3M/(4πRS3)}{(A-1)/(1-3A)}と書けます。

 

Aの定義から明らかに,A-1<0 ですから,中心圧力(0)が正の値であるためには,1-3A<0 が必要です。

つまり,合理的な中心圧力を得るには,9A21,すなわち 9M/4<RSが必要になりますが,Mを通常単位のGM/c2に戻すと,これは 9GM/(4c2)<RSを意味します。

  

これがシュヴァルツシルトの内部解が物理的に意味を持つ解であるための条件であると考えられます。

 

これが満足されないなら,半径Mが連続的に増加してゆく途中で,r=0での星の中心圧力(0)がどこかで∞になってしまうような非物理的閾値を通過すると思われるからです。

ところで,シュヴァルツシルト(外部)解:ds2=c2dτ2{1-2/(2)}dt2-dr2/{1-2/(2)}-r2(dθ2sin2θdφ2)でmを星の質量Mにすると,ds2=c2dτ2{1-2GM/(2)}dt2-dr2/{1-2GM/(2)}-r2(dθ2sin2θdφ2)と書けます。

 

この表現では,1-2GM/(2)0 となる半径r=rg≡2GM/c2に計量の分母がゼロになる特異点があるように見えます。このrg≡2GM/c2はシュヴァルツシルト半径と呼ばれています。

そこで,もし質量Mの星の半径RSがシュヴァルツシルト半径rgよりも小さい:RS<rgなら,星の外部の真空領域,半径がr>RSの領域にr<rgなるシュヴァルツシルト半径の内側が存在することになります。

 

このような星はブラックホールと呼ばれていて,シュヴァルツシルト半径r=rgにおける球面は光も脱出できない面なので事象の地平面と呼ばれます。

 

そして,星がブラックホールであるための条件は,RS<rg=2GM/c2,またはM>2S/(2G)と書くことができます。

 

逆に半径Sが固定されているときの限界質量:2S/(2G)をMgと書けば,同じブラックホールの条件は質量表現でM>gと書けます。

一方,先に求めたシュヴァルツシルトの内部解が物理的に意味を持つ条件 9GM/(4c2)<RSは,rg,またはMgを用いるとRS(9/8)rg,またはM<(8/9)Mgと書けます。

 

これらは,シュヴァルツシルトの内部解が物理的に意味を持つなら,この球対称星はブラックホールであるための条件を決して満足しないことを意味します。

 

こうしたシュヴァルツシルトの内部解が存在するための条件については,以前の2006年8/25の記事「ブラックホールの形成時間」にも証明抜きで書いています。

しかし,そもそもシュヴァルツシルトの内部解は,球対称な星で密度が一様であるとの理想化から求めた単なる1つの模型です。

 

上に述べたことが,実際に完全には球状でなく密度が一様でもない星を重力源とするような現実のブラックホールの存在を否定するわけではないと思います。

一応,今回のテーマについては,これで終わりにします。

 

続く記事の予定として,このテーマを自然に引き継ぐものとして,2006年8/25の「ブラックホールの形成時間」や2008年6/19の「重力崩壊によるブラックホール形成についての小考察」の記事とも深く関連した重力崩壊についての初歩的な部分の計算,数値計算に頼らずともできる部分の考察に移行するか,

 

あるいは,自分でも完全には釈然としない一般相対論の時空多様体の幾何学の意味を通常の空間曲線や曲面の直感的で平易な概念と結びつけて物理的に解釈したり,

 

または擬リーマン多様体の微分幾何学を数学的に追求して,さらに接続概念やゲージ概念との関連を深めてゆくか?

 

今のところ迷っていますが,順番はどうあれ何も無ければ結局,全てをやることになりそうです。

参考文献:佐藤文隆,原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

  

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コメント

 どもhirotaさん。。TOSHIです。

 >>球対称性の故に完全に相殺
 >これには「逆二乗則」も必要じゃなかっ たんですか?

 これも含めて今なお考え中です。

           TOSHI

投稿: TOSHI | 2008年7月11日 (金) 18時28分

>球対称性の故に完全に相殺
これには「逆二乗則」も必要じゃなかったんですか?

投稿: hirota | 2008年7月11日 (金) 17時49分

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