球対称時空解(シュヴァルツシルト解)の導出(4)

　球対称時空解の続きです。

　具体的に,真空中の重力場の方程式の球対称解を求めます。

再び,一般的な球対称時空の計量(metric):ｄｓ²＝exp(2ψ)ｄｔ²－exp(λ)ｄｒ²－Ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)に戻ります。

Ｒ＝Ｒ(ｒ,ｔ)なので,ｄＲ＝(∂Ｒ /∂ｔ)ｄｔ＋(∂Ｒ /∂ｒ)ｄｒ＝Ｒ^dｄｔ＋Ｒ'ｄｒですが,特に,物質非存在の真空を対象とするような共動座標など考える必要のない静的な場合や,物質が存在しても定常な場合では,Ｒ^d＝∂Ｒ /∂ｔ＝0 です。

そこで,このときにはＲ＝Ｒ (ｒ),Ｒ'＝ｄＲ /ｄｒであってｄｒ＝Ｒ'^-1ｄＲとなりますから,これを代入すれば計量はｄｓ²＝exp(2ψ)ｄｔ²－Ｒ'^-2exp(λ)ｄＲ²－Ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)となります。

そして,Ｒ'^-2exp(λ)を改めてexp(λ)と定義し直し,Ｒを単にｒと書くなら(あるいは,単にＲ＝Ｒ(ｒ)≡ｒとしてＲ'＝ｄＲ /ｄｒ＝1とするなら),さらにｄｓ²＝exp(2ψ)ｄｔ²－exp(λ)ｄｒ²－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)と簡単になります。

これは,これまで得られた重力場の方程式でＲ＝ｒとし,Ｒ'＝1,Ｒ"＝0 ,Ｒ^d＝Ｒ^2d＝0 とすることを意味します。

今,空間原点ｒ＝0 には物質やエネルギーの重力源が集中して存在しても,その点を除く位置(ｒ≠0 の領域)は物質のない真空であって,密度がρ＝0 ,圧力がＰ＝0 であり,それ故,そこではエネルギー運動量テンソルＴ^μν＝(Ｐ＋ρ)ｕ^μｕ^ν－Ｐｇ^μνが全てゼロであるような場合を考えます。

このとき,ｒ≠0 のＴ^μν＝0 の領域での重力場の方程式は,Ｒ_μ^ν－(1/2)δ_μ^νＲ＝0 となります。

この方程式で,さらに定常:Ｒ^d＝λ^d＝ψ^d＝0 であって,Ｒ＝ｒとしてよい場合を考えると,先のゼロでない４つの成分に対する方程式:Ｒ₀⁰－(1/2)Ｒ＝0 ,Ｒ₀¹－(1/2)Ｒ＝0 ,Ｒ₁¹－(1/2)Ｒ＝0 ,Ｒ₂²－(1/2)Ｒ＝0 は,２つめの式が 0＝0 と自明な恒等式となって無意味です。

残りの３つには意味があって,(－1/ｒ²＋λ'/ｒ)exp(－λ)＋1/ｒ²＝0 ,(－1/ｒ²－2ψ'/ｒ)exp(－λ)＋1/ｒ²＝0 ,{－ψ"－ψ'²－ψ'(1/ｒ－λ'/2)＋λ'/(2ｒ)}exp(－λ)＝0 と簡単化された式になります。

前の２つの方程式からλ'＋2ψ'＝0 となりますが,これはλ＋2ψ＝(定数)を意味します。

そして,ｒ→ ∞では時空は平坦なはずなのでｄｓ²＝exp(2ψ)ｄｔ²－exp(λ)ｄｒ²－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)における２つの係数は,exp(2ψ),exp(λ)→１,つまり,ψ,λ→ 0 となります。

それ故,λ＋2ψ→ 0となるのでλ＋2ψ＝(定数)の定数はゼロに等しく,λ＋2ψ＝0 が成立するはずです。

一方,(－1/ｒ²＋λ'/ｒ)exp(－λ)＋1/ｒ²＝0 より,(1－ｒλ')exp(－λ)＝1,すなわちｄ(ｒexp(－λ))/ｄｒ＝1です。

そこで,Ｃを積分定数としてexp(－λ)＝1＋Ｃ/ｒ＝exp(2ψ)です。

ここで,前記事での等式exp(－λ)＝(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )/(Ｒ')²からの類推から,Ｃ＝－2ｍとおくと,結局exp(－λ)＝1－2ｍ/ｒ＝exp(2ψ)と書けます。

λ＝－ln(1－2ｍ/ｒ)＝ln(ｒ)－ln(ｒ－2ｍ)ですから,ｒで微分するとλ'＝1/ｒ－1/(ｒ－2ｍ)＝－2ψ',λ"＝－1/ｒ²＋1/(ｒ－2ｍ)²＝－2ψ"です。

λ＋2ψ＝0 より,重力場の３番目の方程式－ψ"－ψ'²－ψ'(1/ｒ －λ'/2)＋λ'/(2ｒ)＝0 で,ψ＝－λ/2を代入すれば,λ"－λ'²＋2λ'/ｒ＝0 が得られます。

左辺に,上で求めたλ'＝1/ｒ－1/(ｒ－2ｍ),λ"＝－1/ｒ²＋1/(ｒ－2ｍ)²を代入すると,これは確かにゼロになるので,１,２番目の連立方程式の解は３番目の方程式を満足します。

以上から,重力場の球対称な真空定常解を表現する解は,exp(－λ)＝1－2ｍ/ｒ＝exp(2ψ)によって与えられると考えられます。

これは元々の計量:ｄｓ²＝exp(2ψ)ｄｔ²－exp(λ)ｄｒ²－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)が,ｄｓ²＝(1－2ｍ/ｒ)ｄｔ²－ｄｒ²/(1－2ｍ/ｒ)－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)と表わされることを意味します。

この表現の解は,シュヴァルツシルトの(外部)解としてよく知られているものです。この計量が表わす時空をシュヴァルツシルト時空と呼びます。

次に動径Ｒ についてはＲ ＝ｒとしてＲ'＝1,Ｒ"＝0 ,Ｒ^d＝Ｒ^2d＝0 とすることができるけれど,Ｒ以外の変数の時間変化:λ^d,ψ^d etc.については,必ずしもゼロではない非定常な球対称真空解を求めることを考えてみます。

この場合,ゼロでない４つの方程式Ｒ₀⁰－(1/2)Ｒ＝0 ,Ｒ₀¹－(1/2)Ｒ＝0 ,Ｒ₁¹－(1/2)Ｒ＝0 ,Ｒ₂²－(1/2)Ｒ＝0 は,次のようになります。

(－1/ｒ²＋λ'/ｒ)exp(－λ)＋1/ｒ²＝0 ,(－λ^d/ｒ) exp(－λ)＝0 ,{(－1/ｒ²－2ψ'/ｒ)exp(－λ)＋1/ｒ²＝0 ,(λ^2d/2＋(λ^d/2)²－λ^dψ^d/2)exp(－2ψ)＋{－ψ"－ψ'²－ψ'(1/ｒ－λ'/2)＋λ'/(2ｒ)}exp(－λ)＝0 の４つです。

そして２番目の方程式(－λ^d/ｒ)exp(－λ)＝0 から,λ^d＝0 であることがわかります。

これを最後の４番目の方程式に代入すると,{－ψ"－ψ'²－ψ'(1/ｒ－λ'/2)＋λ'/(2ｒ)}exp(－λ)＝0 となります。

その結果,２番目以外の残る３つの方程式系は前の定常性を仮定した方程式系と全く一致します。

これは非定常真空解も,定常解である同じシュヴァルツシルト時空であることを意味しています。

これはバーコフの定理(Birkhoff's theorem)として,よく知られている事実です。

バーコフの定理は,"球対称の真空解は常に定常解であること,あるいは球対称に分布した物質が,たとえ動径方向に時間的に変化しても,球対称性を破ることがなくて星の総質量ｍが不変であれば,外場としての時空は定常なシュヴァルシルト時空であること,

そして,内部の時間変動によって重力波が発生したりすることなどはないこと”を意味しています。

なお,シュヴァルツシルトの(外部)解を自然単位から通常の単位に戻すのは,単に2ｍを2Ｇｍ/ｃ²とするだけですから,通常の単位での,シュヴァルツシルトの計量はｄｓ²＝ｃ²ｄτ²＝{1－2Ｇｍ/(ｃ²ｒ)}ｄｔ²－ｄｒ²/{1－2Ｇｍ/(ｃ²ｒ)}－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)となります。

続いて,球状の星の内側の場を表わす,定常な球対称内部解を求めることを考えます。

密度ρが一様であるような星を考えます。ρ＝一定なので,ｍ(ｒ)＝∫₀^r4πｒ²ρｄｒ＝4πρｒ³/3です。

そこで,exp(－λ)＝1－2ｍ/ｒ＝1－8πρｒ²/3,あるいは exp(λ)＝(1－2ｍ/ｒ)^-1＝(1－8πρｒ²/3)^-1ですね。

星の内部は真空ではなく,物質が存在するので,先に求めた真空の外部解に対応する表式:exp(－λ)＝1－2ｍ/ｒを星の内部に流用するのは適切ではないような気がします。

しかし,ｒよりも外側の物質質量の,半径ｒの位置での重力への寄与は,ニュートンの万有引力の場合と同様,球対称性の故に完全に相殺されてゼロとなり,この位置の重力への全ての寄与は外部が真空であるか否かに関わりなく,ｒの内部の質量ｍ(ｒ)のみであると考えられます。

そこで,依然として,シュヴァルツシルトの外部解の式が有効でありexp(－λ)＝1－2ｍ/ｒ＝1－8πρｒ²/3としてよいと思います。

もっとも,一般的な重力場の方程式は線型ではなく,もはや重ね合わせの原理は成立しないので,"全体の重力は,それを構成する部分の寄与の単純和で与えられる"という論理が,この場合にも適用可能かどうか,いささか自信がありませんが。。。

※ＰＳ:非線型で重ね合わせの原理が成立しないということは,グリーン関数が使えない,つまり,量子論だとファインマン・ダイアグラムの基になるファインマン伝播関数＝プロパゲータも使えなけりゃ,スペクトル展開もできません。。

もっとも普通の意味の摂動論からして成立しないでしょう。非線形だから級数展開が意味を持たないのはとても困ります。

数値計算に頼る他ない流体力学のナビエ・ストークス方程式などと同様,"重力場恐るべし"ということを再確認しましたね。。

今の球対称重力場の特別な場合は,ゼロでない４つの重力場の方程式のうち,最後の方程式以外は線型になっていて,シュヴァルツシルト外部解は線型方程式だけから導出されるのですが,それが最後の非線形な式λ"－λ'²＋2λ'/ｒ＝0 を満たすかどうかで解になるかどうかがテストされるわけです。

これ以外の方程式はλとexp(－λ)の両方について線型ですが,λ＝λ₁,λ＝λ₂が共にλ'の２次式であるλ"－λ'²＋2λ'/ｒ＝0 を満たすときに,λ≡λ₁＋λ₂も解であるならλ₁'λ₂'＝0 であるべきことがわかります。

ｒ→ ∞でexp(λ)→１すなわちλ→ 0 なる境界条件を無視すれば,λ₁'＝1/ｒ－1/(ｒ－2ｍ₁),λ₂'＝1/ｒ－1/(ｒ－2ｍ₂)より,？？？ ← 方程式が線型でないので当たり前ですね。

結局,非線形方程式を重ね合わせで説明するのは誤りで,導出の経過はどうあれ最終的に求められたものが解であるかどうかは方程式に代入してみて,それらの式が確かに満足されるかどうかだけで決まります。

球対称内部解が確かに解であることを確かめればいいのです。

とはいえ,ｍを定数と考える限り外部解が解であることは既にわかっていて,それはｍが定数なら一般解exp(－λ)＝1＋Ｃ/ｒ＝exp(2ψ)での積分定数ＣがＣ＝2ｍと置けることを保証しています。

しかし,ｍ ∝ｒ³の場合,exp(－λ)＝1－2ｍ/ｒ＝1－8πρｒ²/3の場合には真空中の定常解についての方程式(－1/ｒ²＋λ'/ｒ)exp(－λ)＋1/ｒ²＝0 ,すなわち1/ｒ²[1－(ｄ/ｄｒ){ｒexp(－λ)}]＝0 に対してλの一般解がexp(－λ)＝1＋Ｃ/ｒ＝exp(2ψ)で与えられるべきであるという真空解の条件が満足されません。

しかし,解の導出の途中過程で真空中の外部解に基づく考察がなされていても,最終的な球対称内部解は外部解が満たす真空中の方程式 1/ｒ²[1－(ｄ/ｄｒ){ｒexp(－λ)}]＝0 ではなく,もっと一般的なゼロでない密度ρに対する方程式 1/ｒ²[1－(ｄ/ｄｒ){ｒexp(－λ)}]＝8πρと等価なＴＯＶ方程式を満たすことがわかるので,これは解である要件を満足しています。(ＰＳ終わり)※

一方,以前,定常の場合,Ｄ_τＵ＝0 ,Ｕ＝Ｄ_τＲ ＝0 の場合には,一般的な運動方程式から,ＴＯＶ方程式(Tolman-Oppenheimer-Volkoff's equation):(∂Ｐ/∂Ｒ )_t＝－(ρ＋Ｐ)(ｍ＋4πＲ ³Ｐ)/{Ｒ ²(1－2ｍ/Ｒ )}が成立することを述べました。

これは今の場合には,－ｄＰ/ｄｒ＝4πｒ³(ρ/3＋Ｐ)(ρ＋Ｐ)/{ｒ²(1－8πρｒ²/3)},すなわち－ｄＰ/{(Ｐ＋ρ)(Ｐ＋ρ/3)}＝4πｒｄｒ/(1－8πρｒ²/3)の成立を意味します。

そこで,両辺を積分すると,{3/(2ρ)}ln{(Ｐ＋ρ)/(Ｐ＋ρ/3)}＝－{3/(4ρ)}ln(1－8πρｒ²/3)＋定数より(Ｐ＋ρ)/(3Ｐ＋ρ)＝Ａ/(1－8πρｒ²/3)^1/2となります。

これはｒ＝Ｒ_S(星の表面;Ｒ_Sは星の半径)で,圧力がゼロ(Ｐ＝0)という境界条件を与えると,Ａ＝(1－8πρＲ_S²/3)^1/2,or (Ｐ(ｒ)＋ρ)/(3Ｐ(ｒ)＋ρ)＝(1－8πρＲ_S²/3)^1/2/(1－8πρｒ²/3)^1/2となります。

そこで,この星の質量をＭとするとＭ＝ｍ(Ｒ_S)＝4πρＲ_S³/3なので,逆にρ＝3Ｍ/(4πＲ_S³)です。

したがって,Ｐ(ｒ)＝{3Ｍ/(4πＲ_S³)}[{(1－2Ｍ/Ｒ_S)^1/2－(1－2Ｍｒ²/Ｒ_S³)^1/2}/{(1－2Ｍｒ²/Ｒ_S³)^1/2－3(1－2Ｍ/Ｒ_S)^1/2}]を得ます。

ところで,ＴＯＶ方程式は,前の記事で時空連続体を完全流体と仮定し,一般の重力場の方程式Ｒ_μ^ν－(1/2)δ_μ^νＲ＝8πＴ_μ^νの右辺のエネルギー運動量テンソルＴ_μ^νが自然単位でＴ^μν＝(Ｐ＋ρ)ｕ^μｕ^ν－Ｐｇ^μν (ｕ^μ≡ｄｘ^μ/ｄτ)なる形に表現される場合,

しかも,球対称である条件ｕ⁰＝ｄｘ⁰/ｄτ＝ｄｔ/ｄτ＝exp(－ψ),ｕ^k＝ｄｘ^k/ｄτ＝0 が満たされる場合の定常状態での解に対して得られたものです。

そして,一般にエネルギー運動量テンソルの保存則を示す条件式Ｔ_μ^ν_;ν＝0 は,Ｔ_μ^ν_;ν＝(－ｇ)^-1/2[∂{(－ｇ)^1/2Ｔ_μ^ν}/∂ｘ^ν]－(1/2)(∂ｇ_νλ/∂ｘ^μ)Ｔ^νλ＝0 と変形できます。

Ｔ₀⁰＝ρ,Ｔ₁¹＝Ｔ₂²＝Ｔ₃³＝－Ｐなので,それらは∂ρ/∂ｔ＋(ρ＋Ｐ)(λ^d/2＋2Ｒ ^d/Ｒ )＝0 ,∂ψ/∂ｒ＝－(∂Ｐ/∂ｒ)/(ρ＋Ｐ),∂Ｐ/∂θ＝∂Ｐ/∂φ＝0 の４つの式に帰することは既に見ました。

定常な星の内部解を求めている今の場合は,Ｐ＝Ｐ(ｒ)ですから,∂Ｐ/∂θ＝∂Ｐ/∂φ＝0 は最初から満たされていて,ρ＝一定であり,λ^d/2＝Ｒ ^d＝0 です。

そこで,∂ρ/∂ｔ＋(ρ＋Ｐ)(λ^d/2＋2Ｒ ^d/Ｒ )＝0 も自明ですから,意味のある式は,∂ψ/∂ｒ＝－(∂Ｐ/∂ｒ)/(ρ＋Ｐ)のみですが,これは今の場合にはｄψ/ｄｒ＝－(ｄＰ/ｄｒ)/(ρ＋Ｐ)です。

右辺にＴＯＶ方程式:－ｄＰ/ｄｒ＝4πｒ³(ρ/3＋Ｐ)(ρ＋Ｐ)/{ｒ²(1－8πρｒ²/3)}を代入すると,ｄψ/ｄｒ＝4πｒ(ρ/3＋Ｐ)/(1－8πρｒ²/3)ですから,ψ(ｒ)＝∫[4πｒ(ρ/3＋Ｐ)/(1－8πρｒ²/3)]ｄｒ＝4π∫ｒｄｒ(Ｐ＋ρ/3)/(1－2Ｍｒ²/Ｒ_S³)]を得ます。

そこで,ｕ≡(1－2Ｍｒ²/Ｒ_S³)^1/2,{Ｒ_S³/(2Ｍ)}ｕｄｕ＝－ｒｄｒと変数ｒをｕに置換し,(Ｐ＋ρ)/(3Ｐ＋ρ)＝Ａ/(1－2Ｍｒ²/Ｒ_S³)^1/2,Ａ＝(1－2Ｍ/Ｒ_S)^1/2から,(Ｐ＋ρ)/(3Ｐ＋ρ)＝1/3＋(2ρ/9)/(Ｐ＋ρ/3)＝Ａ/ｕによってＰ＋ρ/3＝(2ρ/3){ｕ/(3Ａ－ｕ)}とします。

ρ＝3Ｍ/(4πＲ_S³)より,ψ(ｒ)＝4π∫ｒｄｒ(Ｐ＋ρ/3)/(1－2Ｍｒ²/Ｒ_S³)＝∫ｄｕ/(ｕ－3Ａ)＝ln|ｕ－3Ａ|＋定数と積分されます。

したがって,exp(2ψ)＝Ｂ[3(1－2Ｍ/Ｒ_S)^1/2－(1－2Ｍｒ²/Ｒ_S³)^1/2]²(Ｂは積分定数)ですが,ｒ＝Ｒ_Sでシュヴァルツシルトの外部解exp(2ψ)＝1－2Ｍ/Ｒ_Sに一致することを要求すれば,Ｂ＝1/4を得ます。

すなわち,exp(2ψ)＝(1/4)[3(1－2Ｍ/Ｒ_S)^1/2－(1－2Ｍｒ²/Ｒ_S³)^1/2]²＝exp(－λ)です。

こうして,exp(2ψ),exp(λ)の１つの解が得られましたが,これをシュヴァルツシルトの内部解と呼びます。

しかし,これが物理的に意味を持つ解であるためには,星の総質量Ｍと半径Ｒ_Sには,ある制限が付きます。

以下,これを説明します。

Ｐ(ｒ)＝{3Ｍ/(4πＲ_S³)}[{(1－2Ｍ/Ｒ_S)^1/2－(1－2Ｍｒ²/Ｒ_S³)^1/2}/{(1－2Ｍｒ²/Ｒ_S³)^1/2－3(1－2Ｍ/Ｒ_S)^1/2}]において,ｒ＝0 として星の中心の圧力Ｐ(0)を求めると,Ｐ(0)＝{3Ｍ/(4πＲ_S³)}[{(1－2Ｍ/Ｒ_S)^1/2－1}/{1－3(1－2Ｍ/Ｒ_S)^1/2}]となります。

ここで,Ａ＝(1－2Ｍ/Ｒ_S)^1/2とおけば,これはＰ(0)＝{3Ｍ/(4πＲ_S³)}{(Ａ－1)/(1－3Ａ)}と書けます。

Ａの定義から明らかに,Ａ－1＜0 ですから,中心圧力Ｐ(0)が正の値であるためには,1－3Ａ＜0 が必要です。

つまり,合理的な中心圧力を得るには,9Ａ²＞1,すなわち 9Ｍ/4＜Ｒ_Sが必要になりますが,Ｍを通常単位のＧＭ/ｃ²に戻すと,これは 9ＧＭ/(4ｃ²)＜Ｒ_Sを意味します。

これがシュヴァルツシルトの内部解が物理的に意味を持つ解であるための条件であると考えられます。

これが満足されないなら,半径Ｍが連続的に増加してゆく途中で,ｒ＝0での星の中心圧力Ｐ(0)がどこかで∞になってしまうような非物理的閾値を通過すると思われるからです。

ところで,シュヴァルツシルト(外部)解:ｄｓ²＝ｃ²ｄτ²＝{1－2Ｇｍ/(ｃ²ｒ)}ｄｔ²－ｄｒ²/{1－2Ｇｍ/(ｃ²ｒ)}－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)でｍを星の質量Ｍにすると,ｄｓ²＝ｃ²ｄτ²＝{1－2ＧＭ/(ｃ²ｒ)}ｄｔ²－ｄｒ²/{1－2ＧＭ/(ｃ²ｒ)}－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)と書けます。

この表現では,1－2ＧＭ/(ｃ²ｒ)＝0 となる半径ｒ＝ｒ_g≡2ＧＭ/ｃ²に計量の分母がゼロになる特異点があるように見えます。このｒ_g≡2ＧＭ/ｃ²はシュヴァルツシルト半径と呼ばれています。

そこで,もし質量Ｍの星の半径Ｒ_Sがシュヴァルツシルト半径ｒ_gよりも小さい:Ｒ_S＜ｒ_gなら,星の外部の真空領域,半径がｒ＞Ｒ_Sの領域にｒ＜ｒ_gなるシュヴァルツシルト半径の内側が存在することになります。

このような星はブラックホールと呼ばれていて,シュヴァルツシルト半径ｒ＝ｒ_gにおける球面は光も脱出できない面なので事象の地平面と呼ばれます。

そして,星がブラックホールであるための条件は,Ｒ_S＜ｒ_g＝2ＧＭ/ｃ²,またはＭ＞ｃ²Ｒ_S/(2Ｇ)と書くことができます。

逆に半径Ｒ_Sが固定されているときの限界質量:ｃ²Ｒ_S/(2Ｇ)をＭ_gと書けば,同じブラックホールの条件は質量表現でＭ＞Ｍ_gと書けます。

一方,先に求めたシュヴァルツシルトの内部解が物理的に意味を持つ条件 9ＧＭ/(4ｃ²)＜Ｒ_Sは,ｒ_g,またはＭ_gを用いるとＲ_S＞(9/8)ｒ_g,またはＭ＜(8/9)Ｍ_gと書けます。

これらは,シュヴァルツシルトの内部解が物理的に意味を持つなら,この球対称星はブラックホールであるための条件を決して満足しないことを意味します。

こうしたシュヴァルツシルトの内部解が存在するための条件については,以前の2006年８/25の記事「ブラックホールの形成時間」にも証明抜きで書いています。

しかし,そもそもシュヴァルツシルトの内部解は,球対称な星で密度が一様であるとの理想化から求めた単なる１つの模型です。

上に述べたことが,実際に完全には球状でなく密度が一様でもない星を重力源とするような現実のブラックホールの存在を否定するわけではないと思います。

一応,今回のテーマについては,これで終わりにします。

続く記事の予定として,このテーマを自然に引き継ぐものとして,2006年８/25の「ブラックホールの形成時間」や2008年６/19の「重力崩壊によるブラックホール形成についての小考察」の記事とも深く関連した重力崩壊についての初歩的な部分の計算,数値計算に頼らずともできる部分の考察に移行するか,

あるいは,自分でも完全には釈然としない一般相対論の時空多様体の幾何学の意味を通常の空間曲線や曲面の直感的で平易な概念と結びつけて物理的に解釈したり,

または擬リーマン多様体の微分幾何学を数学的に追求して,さらに接続概念やゲージ概念との関連を深めてゆくか？

今のところ迷っていますが,順番はどうあれ何も無ければ結局,全てをやることになりそうです。

参考文献：佐藤文隆,原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

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