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2008年7月

2008年7月30日 (水)

相対論の幾何学(第Ⅰ部-4:空間曲面(1))

3次元空間内の曲面をパラメータu,vの平面内の領域Dで定義されるベクトル値関数(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),(u,v)∈Dによって定義します。

 

ただしx,y,zはu,vで3回連続偏微分可能(C3-級)で,2行3列のヤコービ行列:t(∂/∂u,∂/∂v)の階数は2とします。

v=bを固定して,uだけ変化させるとき,関数(u,b)は曲線を表わします。この曲線はもちろん,曲面(u,v)の上にあります。

 

そして,u=aにおけるこの曲線の接ベクトルをu(a,b)≡(∂/∂u)(a,b)と書きます。

 

同様にu=aを固定して得られる曲線(a,v)のv=bにおける接ベクトルを,v(a,b)≡(∂/∂v)(a,b)と書きます。 

仮定によって,t(∂/∂u,∂/∂v)の階数が2なのでt(u(a,b),v(a,b))の階数は2です。これはu(a,b)とv(a,b)が1次独立なベクトルであることを意味します。

何故なら,一般にn次元実線形数空間に属するm<nなるm個のベクトル1,2,..,mが一次独立であるための条件は,n×m行列:A≡t(1,2,..,m)の成分から作られるm次の小行列式の中に値がゼロでないものが存在することだからです。

今仮に,1,2,..,mが一次従属だとすれば,その定義からゼロでないm次元の数ベクトル:=(x1,x2,..,xm)≠0 が存在して,x11+x22+..+xmm0 が成立します。すなわち,A=0,またはtt0 となります。

 

そこで実内積:(i,j)≡itj(i,j)成分とするm次の正方行列を考えると,これはtAAですが,今の場合には or tが,tAAを係数行列とするm元一次連立方程式,つまり(tAA)=0,またはt(tAA)t0自明でない解になることを意味します。

 

そして,t(tAA)t0自明でない解を持つための必要十分条件はdet(tAA)=0 ですから,1,2,..,mが一次従属であるための条件がdet(tAA)=0 であることがわかります。

ところで,正方行列でない行列tAとAの積の行列式は,m次の小行列式の積和として,det(tAA)=Σ(j1,j2,..,jm)det{t(j1,j2,..,jm)}det{A(j1,j2,..jm)}のように展開表現されます。

 

行列とその転置行列の行列式は相等しいので,上の展開式の右辺各項はdet{t(j1,j2,..,jm)}det{A(j1,j2,..,jm)}=[det{A(j1,j2,..,jm)}]20 となります。

 

結局,1,2,..,mが一次従属であること,したがってdet(tAA)=0 なることはAのm次の小行列式が全てゼロとなって,行列Aの階数がmより小さいことを意味することがわかります。

以上から,A≡t(1,2,..,,m)とするとき,1,2,..,,mが1次独立であることと,"Aの成分から作られるm次の小行列式の中に値がゼロでないものが存在すること",つまり階数がm以上であることは同等であることが示されました。

したがって,点(a,b)における曲面(u,v)の接平面(tangent plane)は,u(a,b)とv(a,b)で張られることがわかります。そこで任意の接ベクトルはuvの1次結合として,ξu+ηvなる形に書けます。 

そこで,後の便宜上uvの"内積=スカラー積"をE≡(u,u)=u2,F≡(u,v)=(v,u),G≡(v,v)=v2と書き,同時にこれらを成分とする1行目が(E,F)=[(u,u),(u,v)],2行目が(F,G)=[(u,v),(v,v)]の対称行列を考えておきます。

すると,E,F,Gはu,vの関数であり,一般の接ベクトルξuと+ηvの長さの平方は|ξuと+ηv|2u+ηvu+ηv)=Eξ22Fξη+Gη2と書けます。 

,(u,v)平面内にu=u(t),v=v(t)なる曲線を取り,それに対応して写される曲面(u,v)上の曲線(t)≡(u(t),v(t))を想定します。

 

この曲線の各点(t)における接ベクトルはd/dt=u(du/dt)+v(dv/dt)です。

 

そして,その接ベクトルの長さの平方は|d/dt|2(d/dt,d/dt)=E(du/dt)22F(du/dt)(dv/dt)+G(dv/dt)2となります。

 

そこで,tがαからβまで動くときの曲線(t)の長さは∫αβ{E(du/dt)22F(du/dt)(dv/dt)+G(dv/dt)2}1/2dtで与えられます。 

それ故,特に形式的にI≡E(dudu)+2F(dudv)+G(dvdv)なるものを考え,Iを曲面(u,v)の第1基本形式と呼びます。

 

一方,d/dt=u(du/dt)+v(dv/dt)も形式的にduduvdvと表現できるので,第1基本形式はI=(d,d)とも書けます。

 

これは,ベクトルの平方を示しているので非負です。それ故,第1基本形式を2次形式と見るときには,これは正値形式になっています。

ここで,uvの"外積=ベクトル積":u×vを考えると,これはuvの両方に垂直ですから,uvが作る接平面に垂直です。

 

そこで,≡(u×v)/|u×v|と定義すると,は曲面(u,v)の単位法ベクトルになります。

このを用いた形式:Π≡-(d,d)を作り,これを曲面(u,v)の第2基本形式と呼びます。これには,見ただけではどのような幾何学的意味があるかはよくわかりませんが次第にはっきりしてきます。

(u×v)/|u×v|なので,これはu,vと直交しています。すなわち,(u,)=0, (v,)=0 です。

 

これを,さらに偏微分すると(uu,)+(u,u)=0, (uv,)+(u,v)=0 ,(vu,)+(v,u)=0 ,(vv,)+(v,v)=0 となります。

 

そこで3つのu,vの関数L,M,NをL≡(uu,)=-(u,u),M≡(uv,)=(vu,)=-(u,v)=(v,u),N≡(vv,)=-(v,v)と定義します。

このとき:Π≡-(d,d)=-(udu+vdv,udu+vdv)=L(dudu)+2M(dudv)+N(dvdv)と書けます。

そしてu,v,は明らかに1次独立ですから,3次元空間の任意のベクトルはこれらの1次結合として表わされます。例えばuu=Γuuud+Γvuuv+L,uv=Γuuvu+Γvuvv+M,vu=Γuvuu+Γvvuv+M,vv=Γuvvu+Γvvvv+Nと表わせます。

 

これをガウスの式といい,係数Γをクリストッフェルの記号(Christoffel's symbol)といいます。

 一方,(,)=1 (一定)より,(u,)=0,(v,)=0 ですから,u=Au+Bvと書けば,-L=(u,u)=EA+FB,-M=(v,u)=FA+GBが成立します。

 

 そこでEG-F20 なら,A,Bについて解くことができてA=(FM-GL)/(EG-F2),B=(FL-EM)/(EG-F2)となります。

 

 そこで,結局u{(FM-GL)/(EG-F2)}u{(FL-EM)/(EG-F2)}vと書けます。

 

 同様にv{(FN-GM)/(EG-F2)}u{(FM-EN)/(EG-F2)}vです。この2式をワインガルテンの(Weingarten's  formula)と言います。

これらは空間曲線に対するフレネ・セレの公式(Frenet-Serret's formula):'=1,1'=κ2,2'=-κ1+τ3,3'=-τ2の空間曲面におけるアナロジーと考えることができます。

第2基本形式:Π≡-(d,d)=-(udu+vdv,udu+vdv)=L(dudu)+2M(dudv)+N(dvdv)の幾何学的意味を理解するために,この空間のある単位ベクトル:αを固定して,関数fをf(u,v)≡(α,(u,v))で定義します。

 

これは(u,v)のα方向の成分を示しています。つまり,例えばαがxy平面に垂直なz軸方向の単位ベクトルならf(u,v)は曲面(u,v)のxy面(z=0)からの高さに相当するものです。

曲面上の1点0(u0,v0)を固定し,αをその点での法ベクトルとします。すなわちα(u0,v0)とします。

 

このとき,(α,u(u0,v0))=0,(α,v(u0,v0))=0 ですから,このαに対する関数f(u,v)=(α,(u,v))のu,vの微小変化に対する変動は0(u0,v0)ではdf=(α,d)=(α,u)du+(α,v)dv=0 になります。

 

つまり,例えばα(u0,v0)がxy平面に垂直なz軸方向の単位ベクトルなら,0(u0,v0)での接平面はαに垂直故,水平xy面であること,すなわち曲面の高さが臨界値(極大値,極小値を含む停留値)に達していることを意味します。

ここで,0(u0,v0)の近傍でのfの挙動を調べるため,fuu,fuv,fvu,fvvを成分とする対称行列を考えます。これはfのヘッセの行列と呼ばれ,Hfと表記されます。

 

今はα(u0,v0),f(u0,v0)=(α,(u0,v0))ですから,fuu,fuv,fvu,fvvは,それぞれL(u0,v0),M(u0,v0),M(u0,v0),N(u0,v0)となります。

 

そこで,第2基本形式がΠ=-(d,d)=L(dudu)+2M(dudv)+N(dvdv)=(du,dv)Hf(u0,v0)t(du,dv)と書けるので,これが0(u0,v0)で正値2次形式になるとすると,(du,dv)Hf(u0,v0)t(du,dv)≧0 です。

すなわち,df=0 によりΔfへの任意の微小なΔu,Δvの1次の変動量の寄与はゼロなので,総変動量ΔfはΔf≡f(u0+Δu,v0+Δv)-f(u0,v0) ~ (Δu,Δv)Hf(u0,v0)t(Δu,Δv)なる形のΔu,Δvの対称2次式となります。

 

それ故,右辺が正値ということは,(u0,v0)でf(u,v)が下に凸であることを意味し,曲面(u,v)は点(u0,v0)で極小値を取ります。

 

同様に,第2基本形式Π=-(d,d)が0(u0,v0)で負値2次形式なら(u0,v0)でf(u,v)は上に凸となり,曲面(u,v)は点(u0,v0)で極大値を取ります。

第2基本形式Πが正値になるのは,Π=L(dudu)+2M(dudv)+N(dvdv)の判別式DがD/4=M2-LN<0 を満たし,かつL,N>0 の場合であり,負値になるのはD/4=M2-LN<0 で,かつL,N<0 の場合です。

 

また,D/4=M2-LN>0 のなら,その正負については何も言えず,第2基本形式Πは不定値になり,曲面(u,v)は(u0,v0)の近傍では馬の鞍型になります。

短いけれど,今日はここまでにします。

参考文献:小林昭七著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房),佐藤正次,永井 治 編「基礎過程 線型代数学」(学術図書出版)

 

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2008年7月27日 (日)

恒例の巣鴨盆踊り

 7月25日(金),26日(土),27日(日)に巣鴨駅の南口ロータリーで巣鴨一丁目商店街主催?の盆踊り大会がありました。

 夕方18時頃開始で,終わりは何時か知りませんが,たまたま金曜日の19時頃と日曜日の19時半頃通りかかり,ポケットにデジタルカメラを持っていたので,取りました。

 金曜日は屋台のやきそばを夕食にして見ていました。

 電池が切れたけど,すぐ近くに100円ショップがあったので買いました。写真は左から25日(金),27日(日)です。

 人物を撮るのは,知人の接写しかしたことなかったので,ワイドや望遠ってどうとればいいのか,それとも望遠レンズが必要なのか?わからずにテキトーに取った写真です。

 私は少しオタク気味なので,子供中心の構図ですが,この解像度でこのサイズなら顔などはほとんどわからないので,肖像権は問題にならないでしょう。

 次は,このところ2年続けて見に行ってる8月2日(土)に西台,高島平である板橋花火大会かな。。

 (バックナンバー2006年8/6の記事「花火大会,」と2007年8/5の記事,「花火大会」を参照:このときはカメラなしでした。,)

 ちなみに表示されている最近1年間より前のバックナンバーを見るには「バックナンバー」という文字をクリックしてね。。。

          

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相対論の幾何学(第Ⅰ部-3:空間曲線(補遺))

記事「相対論の幾何学(第Ⅰ部-1:平面曲線 )」の最後で次のような平面曲線の曲率についての法則を述べましたが,前回の相対論の幾何学(第Ⅰ部-2:空間曲線)」において,これを空間曲線に拡張するという作業を落としていたので補遺として述べておきます。

(再掲記事)

ここで平面曲線(s)(a≦s≦b)の始点(a)と終点(b)が一致する,すなわち(a)=(b)なるとき,これは閉曲線と呼ばれます。

 

この閉曲線の曲率をκ(s)とするとき,m≡{∫abκ(s)ds}/(2π)で与えられるmは常に整数となることを示すことができます。

すなわち,曲率がκ(s)のこの曲線(s)(a≦s≦b)でsの変域を0≦s≦lとすると,上の証明におけるように(s)=(∫0scos{∫0tκ(u)du}dt,∫0ssin{∫0tκ(u)du}dt),(0≦s≦l)と表現できます。

 

そこでθ(s)≡∫0sκ(u)duと置けば(s)の接ベクトル'(s)=d/dsは'(s)=(cos{θ(s)},sin{θ(s)})と表わされ,θ(0)=0 によりθ(s)はsにおける接線'(s)がs=0 の接ベクトル'(0)となす角度を示しています。

 

そこで(s),(0≦s≦l)が滑らかな閉曲線:(0)=(s)なら,これは'(0)='(s)を意味し,偏角θ(l)=∫0lκ(s)dsは 2πの整数倍でなければならないことがわかります。(再掲終わり)

 

と書きました。この性質を空間曲線に拡張します。

上記記事のxy座標で記述される平面曲線では,その曲率がκ=x'y"-y'x"=(xd2d-yd2d)/{(xd)2(yd)2}3/2なる形で与えられることを見ました。

 

一方,空間曲線の曲率はκ=|"|=|d ×2d|/|d|3で与えられることを知りましたが,平面曲線は空間曲線の特別な場合でしかありませんから,両者が同じ概念を表わすものなら,それらは値としても一致するはずです。

 

実際,両者の曲率の定義は,空間曲線でのそれが非負であるのに対し,平面曲線のそれはパラメータsの増加に従って閉曲線の進む向きが正か負かの違いによって符号が変わるという違いを除けば一致します。

空間曲線については次の定理が成立することが知られています。

[定理6]:(フェンチェルの定理(Fenchel's theoem))

 空間内の閉曲線(s)(a≦s≦b;(a)=r(b))の曲率をκ(s)とすると∫abκ(s)ds≧2πである。

 以下ではこれを証明しますが,そのためにまず平面曲線で回転数:m≡{∫abκ(s)ds}/(2π)が常に整数になるというのを修正して,全曲率を∫ab|κ (s)|dsと定義するときこれは2π以上であること,つまり∫ab|κ (s)|ds≧2πであることを示しておきます。

 

 これもフェンチェルの定理と呼ばれます。

平面曲線の各点(s)に対して,2(s)に平行な,原点を始点とする単位ベクトルを対応させてこれも2(s)と表記します。こうした曲線と単位円の終点の対応を2(s)=g((s))と表現してガウスの表示と呼びます。

すると(s)が閉曲線を描くときには,g((s))の終点は単位円の上で周上を行きつ戻りつして,左回転,右回転を繰り返して連続的に変動しながら結局は元に戻るわけです。

 

半径がρ(ρ>0)の円の曲率はκ(s)=1/ρですから,sの微小変化ΔsをΔs=ρΔθと書いて角度Δθの単位円の中心を回る微小回転と見れば,κ(s)Δs=Δs/ρ=Δθであり,∫abκ(s)dsはg((s))が単位円上で移動する距離の代数和になることがわかります。

 

この意味では回転数m≡{∫abκ(s)ds}/(2π)が常に整数となるのは当然と思われます。

すなわち,上に示したことから,平面曲線では∫abκ(s)ds=2mπ,m=0,±1,±2,..ですが,∫ab|κ(s)|ds≧|∫abκ(s)ds|よりm=0 以外では,確かに∫ab|κ(s)|ds≧2πが成立します。

 

そこで,m=0,すなわち∫abκ(s)ds=0 の場合だけを考えれば十分です。

 

今,κ(s)の正味の総和への正負の回転の寄与を分けて,κ±(s)≡(1/2){|κ(s)|±κ(s)}≧0 とすると,κ(s)=κ(s)-κ(s),|κ(s)|=κ(s)+κ(s)なので∫abκ(s)ds=∫abκ(s)ds=(1/2){∫ab |κ(s)|ds}です。

 

それ故,∫abκ(s)dsがπ以上になることを示せばよいことになります。

ab |κ(s)|dsは|Δθ|=|κ(s)|Δsの総和であり,実際に閉曲線が左回転κ(s)と右回転κ(s)とから成ってそれらが相殺するとき,各々の回転角の絶対値の総和がそれぞれπを越えることは有限な内部領域を持つ閉曲線では直感的には自明です。

 

そこで厳密な証明(accurate proof)ではないかもしれませんが,以上の考察から平面閉曲線(s)(a≦s≦b)の曲率κ(s)については∫ab|κ (s)|ds≧2πが成立することが示されたと考えます。

次に空間曲線の場合の証明に入ります。

(定理6の証明)

 空間曲線を(s)とし,それのある平面Π:(,0)=0(は平面の法線単位ベクトル)の上への射影を(s)とします。このとき(s)はΠ上の平面曲線であって(,(s)-0)=0 を満足します。

 

 そして(s)-(s)は(s)から平面Πへの垂線なので(s)-(s)=K(s),つまり(s)=(s)-K(s)と書けます。

したがって,(s)-0(s)-0-K(s)より,K(s)=(,(s)-0)が得られます。すなわち(s)=(s)-(,(s)-0)です。

 そこで,初めから00 と座標原点を含むように平面Πを選んでおけば,平面Πの方程式は(,)=0 です。(s)のΠへの射影である平面曲線(s)は,(s)=(s)-(,(s))と表わされます。

 

 そして,(a)=(b)より(a)=(b)なので(s)はsをパラメータとする平面閉曲線です。

 このときd/ds=d/ds-(,d/ds)/で,|d/ds|=1すから一般に|d/ds|≠1ですから,空間曲線(s)の弧長s(ds=|d|)は,実は平面曲線(s)についてはds=|d|を満たす弧長ではなく一般のパラメータです。

さて,平面Π上での平面曲線(s)の曲率をκpと書くと,その絶対値|κp|は空間曲線での曲率の特別な場合の値に相当し,今の場合sは弧長ではないので|κp|=|"|/|'|3となります。ただし,'≡d/ds etc.の表記を用いることにしています。

ところで,空間ベクトルの外積の絶対値|×|を大きさが評価しやすい形に変換すると,|×|={22(,)2}1/20 となることがわかります。

 

これは,のなす角がθのとき|×|=||||sinθなる形に書けるという直感的イメージからもわかります。

そこで,|κp|={'2"2(',")2}1/2/|'|3となります。これに(,),つまり,'='-(,')n,p"="-(,")を代入します。

まず,'2{'2(,')2}となるので,|'|={'2(,')2}1/2です。同様に"2{"2(,")2}です。

 

また,(',")=(',")-(,')(,")ですから,|"|2'2"2(',")2{'2(,')2}{"2(,")2}-{(',")-(,')(,")}2'2"2(,")2'2(,')2"2(',")22(',")(,')(,")と書けます。

さらに,'=1であり|'|=|1|=1で,かつ(',')=(1,1)=1 (一定)なので(',")=0 となり,|"|2"2(,")2(,')2"2を得ますから,結局,p|={"2(,")2(,')2"2}1/2/{'2(,')2}3/2なる表現を得ます。

そして,この平面曲線の弧長はdsではなく|d|ですから,全曲率は∫|κp||d|=∫abp||'|ds=|=∫ab[{'2"2(',")2}1/2/|'|2]ds=∫ab[{"2(,")2(,')2"2}1/2/{1(,')2}]dsです。

 

ここで,',"がとなす角をそれぞれθ12と置けば(,')=cosθ1,(,")=|"|cosθ2より,'2(,')21-cos2θ1sin3θ1,"2(,")2(,')2"2"2(1-cos2θ2cos2θ1), (,")=cosθ2=(d/ds)(,')=-θ1'sinθ1ですから∫p||d|=∫{|"|(1-cos2θ2cos2θ1)/(1-cos2θ1)}dsです。

一方,∫abκds=∫ab|"|ds=∫ab{'2"2(',")2}1/2ds=∫ab|"|dsです。

 

1-(1-cos2θ2cos2θ1)/(1-cos2θ1)=cos2θ2/(1-cos2θ1)≧0 ですから,結局∫abκds≧∫p||d|≧2πが成立することが示されました。(証明終わり)

短いけれど,今日はここまでにします。

参考文献:小林昭七著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房),梅原雅顕,山田光太郎 著「曲線と曲面」(裳華房)

 

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2008年7月25日 (金)

通り魔事件の件数

 10日くらい前の7/14のブログ記事「食品偽装,その他について」に対する耕士さんのコメントから感じたのですが,世間の着目度を操作して,その他の重要な社会問題から目を逸らすためかと邪推されるほどマスコミの報道が目立っているので,私も通り魔事件は昨今急に増えてきたような感じがしていました。

 ところが,その内容はともあれ,件数だけなら実は過去の方が多かったみたいですね。 ⇒ http://kangaeru.s59.xrea.com/toorima.htm

※PS:「世間の着目度を操作して」というのは考え過ぎのようです。

 人的な力,イデオロギー操作が社会に大きい影響を与える云々という唯心論的傾向の発想は基本的には持っていませんが,それでも,それなりの影響はあると思います。

 むしろ,この時期にタイミングよく次々と通り魔事件etc.が起こるものだ。。という程度の感想です。とはいえ,決して事件そのものを軽視しているわけではありませんが。。。

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トトビッグ(totoBIG)の賞金

 サッカーくじのトトビッグ(toto BIG)って,ときどき1口300円を10口3000円くらい購入していますが,もちろん当たったためしはありません。

 10口だと,コンピュータが勝手に全13試合の勝ち負け引き分けの組み合わせの予想を10通りやってくれて,そのうちの1通りの予想でも全試合の勝敗引分の結果とピッタリ合えば,当選して1等の賞金がもらえるわけです。

 確か,1試合だけはずれても2等の賞金がもらえて,4等くらいまであるのじゃなかったか?と思いますが,たとえ13試合じゃなく10試合であったとしても確率的にとても当たるもんではないですね。

 ただし1等と2等は1試合だけの違いなので確率的には3倍しか違いませんが,だからといって2等の賞金が1等の3分の1とはいかないようです。

 2等は,1等とは雲泥の差があって,もらえる賞金は2桁以上違うようです。

 この点は競馬の3連複の当たる確率が,組み合わせが全て対等であるとして,3連単と比べて3!=6倍の当選確率で,オッズもほぼその通りで誤差はっても配当金が大体6分の1程度なのとは違いますね。

 やはり,トトはギャンブルとしては,宝くじやロト6などに近いのでしょうか?

 実際,宝くじには所得税などの税金は特別にかからないみたいだけど,競馬の配当金はちゃんと税金を取られるみたいです。

 もっとも馬券が当たって配当金をもらった人が,実際に正直に申告しているかどうか?は甚だ疑問ですがね。。

 トトの税金は,どうなのかとチョッと調べてみたら,トトビッグについては宝くじと同じ扱いみたいですね。

 あまりにも高額賞金には,逆に税金をかけないということでしょうか?。。

 昔,コンピュータ予想ではなく自分で勝敗を考えて買ったことも十数回ありますが,さすがに当たったことがあるのはミニトトだけで3千円くらい買って1万8千円くらいをもらったのが最高です。

 (競馬でも,あまり大きいレースじゃなくて,単勝で本命と対抗ばかり買っていると結構当たります。)

 まあ,ミニトトは5試合しかなくて,1試合当りの選択肢は勝ち負け引き分けの3通りなので全通りの組み合わせの数は3×3×3×3×3=35=273通りしかありません。

 単純に考えても,勝ち負け引き分けの確率が全く同じなら,当たる確率は1/273です。

 しかも中にはプロと高校生の試合じゃないか?と思われるような組み合わせもあって,そういうのは明らかにほぼ100%でプロが勝つので,その試合はくじの購入者にとって勝ち負け引き分けの確率が同じというわけではなくて,ほぼ100%で当たるので,全5試合が当たる確率は1/81に減ります。

 そういうのが,2試合もあれば当たる確率は1/27になりますから,どうしても当てたいなら,1口100円で2700円分買えば必ず当たるということになりますが,ミニトトじゃ1等賞金はたかだか10倍程度なので,当っても1000円くらいにしかならないのじゃ赤字ですね。

 まあ,別に全通り買う必要はないし,プロと高校生の試合と思われるものでも心配なら勝ちだけじゃなくて勝ちと引き分けの2通りを買えばいいのです。

 その試合について当たる確率が2通りで66.66..%だったのが,ほぼ100%に変わるわけですから,適当に買っても全5試合を当てるのは結構やさしいのですが,ミニトトの稼ぎだと,せいぜい預金の利息程度にしかならないので,ミニトトはお金持ちが大量に買うのでなければあまり意味がないようです。

 ミニトトは,私のような競馬だと穴狙いの貧乏人には,魅力を感じないのでやめたという経緯があります。

 もっとも宝くじやロト6は,ルーレットに矢を射るというような全くの偶然に期待するだけのくじであるのに対して,トトは一応人間のやるスポーツであるプロのサッカーの試合の勝負を予想するので,競馬と同じく本命,対抗,穴,ダークホースといった予想をすることが可能です。

 専門家に聞けば,それなりの合理的な分析が与えられて当たる確率が上がる可能性のあるものです。

 競馬なら,数年前のディープインパクトなどの大本命がいて,それを単勝で買えばおそらく100円で110円の配当金かもしれませんが,それでも銀行の普通預金よりははるかにましですから,借金しても1億円分馬券を買って,それでもオッズが下がらなければ,1千万円の儲けになりますね。

 でも,確か当時の有馬記念だったかの引退レースの単勝オッズは,丁度100円で買っても損はないけど,もうけはゼロだったかなあ。手数料分赤字かも。。

 しかし,トトも,コンピュータの予想に任せて何も考えずに買うしかないのなら,勝敗分析などは入る余地がないので考える手間は省けるけれど,結局,宝くじやロト6と同じく全くの偶然に頼るしかないので,サッカーの試合である必要さえないと思われますね。

 もちろん,トトビッグではなくちゃんと自分で予想できる本来のサッカーくじと思われる普通のトトもあるようですが,TVなどの宣伝効果もあって買う人は少ないようで,当たっても賞金は桁が違うらしいです。

 まあ,サッカー協会だったかスポーツ振興会だったかも,普通のトトの時代にはなかなかくじが売れなくて苦労していたみたいです。

 トトビッグをきっかけに日本でもらえるくじの賞金の上限は一人4億円から6億円に引き上げられたようで,トトの場合当たりが出ない週もあってくじの売上金のうち当選賞金に割り当てられるお金は次週へと繰り越されるようです。

 最近は総額が60億以上になって,1等の6億当選者が10人以上も出ているらしいです。(あやかりたいもんだ。)

 昨日知人に尋ねられて,ちょっとトト13試合の全通りを買うといくらになるかを計算してみると,組み合わせは313=1594323通りですね。

 別に電卓に頼らなくても313というのは, 34=81を3回掛けてさらに3倍すればいいだけです。81×81×81×3=1594323 ですね。

 もしも暗算に頼るかないのであれば,大体81を3回掛けるのは80を3回掛けるのと大差はなくて,それは8×8×8=64×8=512に1000を掛けるのと同じです。それを3倍するのは,大体1500×1000です。

 つまり,お札だとおよそ千円札が1500枚ということは,1万円札なら150枚ということだから,ということで150万通りより少し多い程度だという計算ができて実際正解の1594323 通りと変わりのないものが得られますね。

 1口300円なので300×1594323=4億7829万6900円買えば全通りです。うーん無理だな。。えーっ,全通り買ったら100%当たりで,今なら確実に6億円もらえるんだよ。。

 ということは,買えば100%で1億2千万円以上もうかって税金もかからないし,競馬と違って4億7829万も買ったからと言ってオッズが下がる心配もないんですよ。

 だったら,必ず6億円が入るという担保で少々利子が高くても数日間借りてトトをやれば1億円以上は儲かりますね。

 もしも,コンピュータ予想ではなく自前の予想で配当金が同じなら原理的には必ずもうかるんですが,コンピュータ予想というのは高額購入すると重複した予想をするのでしょうかね。。。( → totoオフィシャルサイト )  

PS:さっき飲み屋で得意になってこの話をしたら,女の子にバカにされました。

 オッズは上がらないけど60億のプールで15人以上当ったら4億円程度にしかないから約8千万円損するとね。。

 やはり,私は長生きするタイプなのかな。。将棋指しててもよく王手に気づかなくて取られてアッと思うという反則負けが多いですから。。。

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2008年7月23日 (水)

相対論の幾何学(第Ⅰ部-2:空間曲線)

 さて,3次元の空間曲線に入ります。

 ds=(dx2+dy2+dz2)1/2で定義された弧長sをパラメータとする3次元のベクトル値関数:r(s)=(x(s),y(s),z(s))(a≦s≦b)を,空間における曲線と定義します。

sの定義によって|d/ds|=1ですから,1(s)≡'(s)≡d/ds=(x'(s),y'(s),z'(s))は単位ベクトルです。

 

つまり,内積:(1(s),1(s))=|1(s)|2が常に1で,一定ですから,(d1(s)/ds,1(s))=(1'(s),1(s))=0 です。

 

よって1'(s)は1(s)と直交しています。

 

1'(s)の大きさをκ(s)と書き,曲線r(s)の曲率と呼びます。すなわち,κ(s)≡|1'(s)|=(1'(s),1'(s))1/20 ですね。

 

また,曲率の逆数:ρ(s)≡1/κ(s)を曲率半径と呼びます。 

 平面曲線の場合は1(s)と直交するもう1つの基底単位ベクトル2(s)を1(s)を正の向きにπ/2だけ回転したベクトルと定義し,1'(s)=κ(s)2(s)によって曲率κ(s)を定義しました。

 

 空間曲線では1(s)と直交する単位ベクトルは無数にあるので,こうした方法では基底単位ベクトルの1つである2(s)を決めることができません。

 そこで,κ(s)=|1'(s)|≠0 のときには,逆に1'(s)≡κ(s)2(s),または2(s)≡1'(s)/κ(s)から2(s)を定義します。

 

 しかし,sにおける曲率がゼロ,つまりκ(s)=0 で,そこでsの近傍では(s)が直線の場合は,そこでは一意的な2(s)を決めることができません。

 

 以下では,全てのsについてκ(s)≠0 ,つまりκ(s)>0 であるとして話を進めます。

 

 この場合には(1'(s),2(s))=κ(s)です。sを省略した記法では(1',2)=κですね。

 以下,特に必要な場合を除いてsを省略します。

空間において12の両方に垂直なベクトルは2つあって,一方は1,2と右手系,他方は左手系を作りますが,特に右手系を作るものを採り,それを3と定義します。

 

すなわち,31×2とします。こうして選ばれた1,2,3をフレネの標構(Frenet frame)と呼びます。このとき,(i,j)=δij(i,j=1,2,3)となっています。

2(s)を延長した(s)の法線を主法線,3(s)を延長した(s)の法線を従法線,または陪法線と呼びます。

 (i,j)=δij(i,j=1,2,3)をsで微分すると,(i',j)+(i,j')=0 です。

 

 特に(2',1)+(2,1')=0 ですから,(2,1')=κにより,(2',1)=-κを得ます。

 

 また,(k',k)=0 (k=1,2,3)ですが,特に(2',2)=0 です。したがって,ある数τが存在して2'=-κ1+τ3と書けます。この式から,(3,2')=τとなることもわかります。

 さらに1'=κ2により,(3,1')=0 ですから,(3',1)+(3,1')=0 は(3',1)=0 を意味します。

 

 また,(3',2)+(3,2')=0 により,(3',2)=-τです。(3',3)=0 ですから,結局,3'=-τ2となります。

以上をまとめると,'=1, 1'=κ2, 2'=-κ1+τ3, 3'=-τ2と書けます。これを空間曲線のフレネ・セレの公式(Frenet-Serret's formula)といいます。

 

また,τ=τ(s)を捩率(るいりつ)と呼びます。捩率の逆数: 1/τ(s)は捩率半径,または第二曲率半径と呼ばれることもあるようです。

そして,これらの関係をi'=Σjijj,(i1,2,3)なる線形関係式で系統的に表わしたもの,つまり,t(1',2',3')=At(1,2,3)なる表現として与える3次の係数行列をA=(ij)とすると,これは平面の場合と同じく交代行列(ji=-aij)です。

 特に曲線(s)がある平面,例えば(α,)=c (α0:定ベクトル,c:定数)の上にある場合には,(α,(s))=cが成立します。

 

 これの両辺をsで微分すると,(α,1)0 であり,さらにsで微分すると(α2)0 となりますが,今はκ≠0 と仮定しているので,(α,2)0 です。

さらに(α,2)0 の両辺をsで微分して,それに2'=-κ1+τ3なる表式を代入すると,(α3)0 が得られます。

 

平面の法線ベクトルαは既に1,e2と直交することがわかっていて,しかもゼロではないので,α3は平行でなければならないので(α,3)0 です。そこで,上の(α3)0 はτ=0 を意味します。

以上から,次の命題:[定理3]が成立することが示されました。

[定理3]:空間曲線(s)の曲率κ(s)が常に正(ゼロでない)のとき,捩率τ(s)がいたるところゼロになるのは,(s)が1つの平面に含まれるとき,またそのときに限られる。

ここで,平面曲線においてしたように,空間曲線での曲率,および捩率のの陽な表現を求めておきます。

まず,1'より,1'="=κ2です。そこで1×1'=' ×"=κ1×2=κ3ですから,κ=|"|を得ます。

 

また,1"/κ=(3)/κ=2'+ κ'2/κ= -κ1+τ3+κ'2/κです。ただし(3)≡d"/dsです。

 

故に,τ=(3,1")/κ=(3,(3))/κ=(1×2,(3))/κですから,τ=(",(3))/|"|2を得ます。

 

ちなみに,|(",(3))|は',",(3)で作られる平行六面体の体積を示しています。

空間曲線が(s)=(x(s),y(s),z(s))なる表現ではなく,一般のパラメータtで表現されている場合:(t)=(x(t),y(t),z(t))の場合には,d(t)≡d/dt,2d(t)≡d2/dt2なる表記を用いれば,dt/ds=1/|d(t)|なので,1'=d/|d|,1'="=1d/|d|です。

 

そこで,d1|d|より2d1d|d|+1(d|d|/dt)です。,それ故,r"=1×1'=(1×1d)/|d|=(d ×2d)/|d|3となります。

 

以上から,κ=|"|=|d ×2d|/|d|3を得ます。

一方,τ=(",(3))/|"|2の方ですが,2d1d|d|+1(d|d|/dt)より,3d12d|d|+21d(d|d|/dt)+1(d2|d|/dt2)です。

 

また,1'="=1d/|d|より,1"=r(3)12d/|d|21d(d|d|/dt)/|d|3なので,(3)3d/|d|331d(d|d|/dt)/|d|31(d2|d|/dt2)/|d|3を得ます。

そして,(",1)=(1×1',1)=0 ,(",1d.)=(1×1',1')/|d|=0 なので,(",(3))=(",3d)/|d|3と書けます。

 

さらに,上で求めたように"=(d ×2d)/|d|3ですから,結局,τ=(d ×2d,3d)/|d ×2d|なる表式が得られます。

 

これで,曲率,捩率の陽な表現も得られました。

次に,空間曲線の基本的な性質として次の[定理4]が成立することを示すことができます。

 

これの内容は平面曲線の場合の[定理1]の空間曲線への拡張です。

 

この定理の証明は平面曲線の[定理1]の証明とほぼ同じで,2次の回転行列Tを3次のそれに変更し,曲率を曲率と捩率の2つに変えるだけの直線的な拡張なので,定理の内容だけ述べて証明は割愛します。

[定理4]:(s),r^(s);(0≦s≦l)を共に弧長sをパラメータとする長さlの2つの空間曲線とする。

 

これらが,回転と平行移動で重ね合わせることができる(合同の)ための必要十分条件は両者の曲率,および捩率が一致することである。すなわちκ(s)=κ^(s),およびτ(s)=τ^(s)が成立することである。

さらに,κ(s)>0 およびτ(s)が与えられたとき,これらをそれぞれ曲率,および捩率とする空間曲線(s)が上の[定理4]の合同変換による任意性を除いて一意的に存在することを示しておきます。

これは,既知のκ(s),τ(s)によって,"行列A=A(s)が既知のときsの未知関数t(1(s),2(s),3(s))に対する微分方程式(d/ds)t(1(s),2(s),3(s))=A(s)t(1(s),2(s),3(s))の初期条件t(1(0),2(0),3(0))を満たす解が一意的に存在する。"という命題を示すことに帰着します。

そして,上記命題は,よく知られた常微分方程式の解の存在と一意性の定理において,微分方程式が線型であって係数がA(s)で与えられる場合に相当しています。そこで,解の存在と一意性は保証されます。

 

形式的ですが具体的にt(1(s),2(s),3(s))={∫0(u)du}t(1(0),2(0),3(0))なる形で,t(1(s),2(s),3(s))に対する一意的な解を表現することができます。

  

そして,このt(1(s),2(s),3(s))の一意解から,を積分定数ベクトルとしてκ(s),τ(s)をそれぞれ曲率,捩率とする空間曲線(s)は,(s)=∫0s1(u)du+なる形で一意的に得られます。

このことから,平面曲線での[定理2]に相当する次の[定理5]の成立することが示されました。

[定理5]:(曲線論の基本定理)  

パラメータsの閉区間:[a,b]で定義された滑らかな関数κ(s),τ(s)(a≦s≦b)が与えられ,これらのsに対してκ(s)>0 とする。

 

このとき,sを弧長としてκ(s)を曲率,τ(s)を捩率とする平面曲線(s)(a≦s≦b)が存在する。

 

さらに,このような曲線は"回転と平行移動"(=合同変換)で写すことが可能なものを除いて一意的である。

今日はここまでにします。

 

参考文献:小林昭七著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房),梅原雅顕,山田光太郎 著「曲線と曲面」(裳華房),スミルノフ 著「高等数学教程(4)」(Ⅱ巻 第二分冊) (共立出版)

 

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2008年7月21日 (月)

相対論の幾何学(第Ⅰ部-1:平面曲線)

 相対性理論,特に一般相対性理論の運動学を表現するための基本的な部分は,ほとんど時空多様体の上での幾何学,それも微分幾何学そのものであると言ってもよいくらいなので,それを理解するために直感的なイメージから抽象的な概念)にわたる系統的で数学的な説明を試行してみます。

できるだけ平易な部分から始めたいので,まず2次元平面内の曲線から始めます。平面の"座標=位置ベクトル"を≡(x,y)とし,平面曲線をパラメータ(媒介変数)表示で(t)(x(t),y(t))と書くことにします。

 

ここで,tは時間を意味するわけではなく単なるパラメータです。そして(t)のtによる微分d/dt=(dx/dt,dy/dt)を特にd(t)≡dot(t)=(xd(t),yd(t))と表記することにします。

 ちなみに,もし(t)が時間tによる粒子の運動の軌跡を示すのであれば,d(t)=d/dtは運動の速度ベクトルを示します。

 

 そして,このときにはd(t)の大きさ|d(t)|≡[{xd(t)}2{yd(t)}2]1/2は速さを示し,2d(t)=(x2d(t),y2d(t))≡d2/dt2(d2/dt2,d2/dt2)は加速度ベクトルです。

 曲線(t)(a<t<b)の長さ(弧長)は∫ab|d(t)|dtで与えられます。そこで,s(t)≡∫0t|d(u)|duと定義すれば,s(t)はtが 0 からtまで変動するときに描く曲線の長さです。

 

 そして微積分学の基本定理によってsd(t)=|d(t)|です。

 全てのtでsd(t)=|d(t)|≠0 なら常にds/dt=|d(t)|>0 なので,s(t)はtの単調増加関数です。そこで単調増加の逆関数が存在します。

 

 もし,sd(t)=0 の点があればそこではtは一意的ではありませんが,連続になるようなtを選択してs=s(t)の1つの逆関数をt=t(s)と書き,これを(t)に代入することで曲線を表現するパラメータとしてtの代わりにsを採用することができます。

簡単のために,この表示での曲線(t(s))(x(t(s)),y(t(s)))を,改めて(s)(x(s),y(s))と表記します。

 

そして,曲線のsによる微分d/ds=(dx/ds,dy/ds)を'(s)=(x'(s),y'(s))と書くことにします。

このとき,d/ds=(d/dt)(dt/ds)より,|'(s)|=| d(t)|(dt/ds)=ds/ds=1 ですから,'(s)=d/dsは単位ベクトルになります。

 

そこで'(s)=d/dsを1(s)と表記することにします。すなわち,1(s)='(s)です。

 

幾何学的には,s=s0に対応する1(s0)は曲線上の点(s0)における接ベクトルを表わしており,その点での接線の方程式は(s)=(s0)+1(s0)(s-s0)で与えられます。

同じ平面上で1(s)に垂直な単位ベクトルは2つありますが,1(s)を"正の向き=反時計回り"にπ/2だけ回転した方の単位ベクトルを2(s)とします。

 

1(s)と2(s)が垂直なことはパラメータsを省略した表現では(1,2)=0 と表現されます。

 

また,定義から,1',(1,1)=1,(2,2)=1です。ただし,(1,1),(1,2) etc.は内積を示しています。

ここで,(1,1)=1,(2,2)=1をsで微分すると,(1',1)=0,(2',2)=0 が得られます。

 

平面上のベクトルは2次元,つまり12の独立な2つの単位ベクトルの線型結合で表わされます。

 

12は直交基底なので,(1',1)=0 はあるスカラー値κが存在して1'=κ2と書けること意味します。

 

ここで,表記にパラメータsを復活させると1'(s)=κ(s)2(s)となって,κは定数ではなくsの関数であることが強調された表現となります。

同様に,(2',2)=0 により2'は1の定数倍で表わされますが,(1,2)=0 をsで微分した式(1',2)+(1,2')=0 に1'=κ2を代入すると(1,2')=-κなることがわかりますから,結局2'=-κ1を得ます。 

以上から,1'=01+κ2, 2'=-κ1+02 となり,i'=Σjijj(i=1,2)なる線型変換の表現が可能です。

 

すなわち,t(1',2')=At(1,2)なる表現を与える2次の正方行列をA=(ij)とすると,これは交代行列(ji=-aij)になります。

 

また,1'(s)=κ(s)2(s)により1'(s)は曲線上の点(s)における接線ベクトル1(s)に垂直で長さが|κ(s)|のベクトルを示しています。

もしも,曲線が半径aの円なら,これは原点を中心とする場合,(t)(x(t),y(t))=(acost,asint)(a>0)と表現されます。このとき,d(t)=(xd(t),yd(t))=(-asint,acost)でs(t)=∫ot|d(u)|du=atです。

そこで,この円はsをパラメータとする表現では(s)(x(s),y(s))=(acos(s/a),asin(s/a))となります。

 

したがって,1(s)='(s)(-sin(s/a),cos(s/a)),2(s)=(-cos(s/a),-sin(s/a))と書けますから,1'(s)(-(1/a)cos(s/a),-(1/a)sin(s/a))=(1/a)2(s)となります。それ故,この場合にはκ(s)=(1/a)(一定)です。

そして,2'(s)((1/a)sin(s/a),-(1/a)cos(s/a))=-(1/a)1(s)ですから,2'(s)=-κ(s)1(s)も確かに満足されています。

一般の曲線においても円の半径aに相当するρ(s)≡1/κ(s)を曲率半径と呼び,その逆数で円の場合の1/aに相当するκ(s)=1/ρ(s)を曲率と呼ぶことにします。

逆に曲率がκ(s)=1/ρ(s)=1/a>0 (一定)の曲線を(s)とするとき,これが円になることを証明しておきましょう。

まず,(s)+2(s)/κ(s)=(s)+a2(s)は円の中心の位置べクルになると予想されるので,これをsで微分すると,今のκ(s)=1/aの場合には1(s)+a{-(1/a)1(s)}=0 となります。

 

したがって,(s)+a2(s)はsによらない定点ですから,この点を0と置けば,これは円の中心になる資格があります。

 

そして,実際に|0(s)|=a(一定)ですから,(s)は0を中心としa=1/κを半径とする円を表わしていることがわかります。

ここで,曲率κ(s)を座標(x(s),y(s))によって陽に表現する式を求めておきます。

  

まず,1(x',y')なので,2(-y',x')と書けます。

 

1'=(x",y")なので,(1',e1)=x"x'+y"y'=(1/2)(d/ds)(x'2+y'2)=(1/2)(ds2/ds)=0 です。

また,(1',e2)=x'y"-y'x"ですから,1'κ2で定義される曲率κは,κ=(1',e2)='y"-y'x"と表わされます。

パラメーターが弧長sではなく一般のtである場合はd/ds=(d/dt)(dt/ds)を用いればs微分による表現をt微分によるそれに変換できます。

 

dt/ds=(ds/dt)-11/{(xd)2(yd)2}1/21/|d(t)|ですから,d/ds={1/|d(t)|}(d/dt)ですね。

 

そこで,1(x',y')(xd,yd)/|d(t)|=d(t)/|d(t)|,2(-y',x')(-yd,d)/|d(t)|です。

 

さらに1'=(d1/dt)/|d(t)|なので,曲率はκ=(1',e2)=(d1/dt,2)/|d(t)|と表現されます。

 

ここで,1d(t)/|d(t)|よりd(t)=1|d(t)|ですが,この両辺をtで微分すると2d(t)=(d1/dt)|d(t)|+1(d|d(t)|/dt)となります。

 

そして(1,e2)=0 ですから(2d(t),2)=(d1/dt,2)|d(t)|,つまり(d1/dt,2)=(2d(t),2)/|d(t)|です。 

したがって,結局,曲率はκ=(d1/dt,2)/|d(t)|=(2d(t),2)/|d(t)|2(xd2d-yd2d)/{(xd)2(yd)2}3/2と表わされることがわかりました。 

合同変換による移動を除けば,平面曲線は曲率のみで決まることを示す定理を2つ述べておきます。

[定理1]:(s),r^(s);(0≦s≦l)を共に弧長sをパラメータとする長さlの2つの平面曲線とする。

 

これらが回転と平行移動で重ね合わせることができる(合同である)ための必要十分条件は両者の曲率が一致することである。

(証明)2曲線が合同で,それ故,2次の回転行列(=直交行列)をT (tTT=TtT=I)として,r^(s)が(s)からの回転と平行移動によってr^(s)=T{(s)-(0)}+r^(0)と表現できるとします。

このとき両辺をsで微分すると^1(s)=dr^(s)/ds=T{d(s)/ds}=T1(s)が得られます。

 

そしてTは平面上での回転を示しているので,1(s),e^1(s)をそれぞれ正の向きにπ/2だけ回転させた2(s),e^2(s)に対してもe^2(s)=T2(s)が成立します。

これら^1(s)=T1(s),e^2(s)=T2(s)をさらにsで微分するとe^1'(s)=T1’(s),e^2'(s)=T2’(s)となります。

 

ところが1'(s)=κ(s)2(s),e2'(s)=-κ(s)1(s)より,T1'(s)=κ(s)T2(s),T2'(s)=-κ(s)T1(s)です。

 

すなわち,e^1'(s)=κ(s)e^2(s),e^2'(s)=-κ(s)e^1(s)が成立します。

 

したがって,合同な2曲線の曲率は一致することがわかりました。

逆に2曲線の曲率κ(s),κ^(s)が等しいとき,局所的には回転行列P(s) (t(s)P(s)=P(s)t(s))によってdr^(s)=P(s)d(s)と書けますから,e^1(s)=P(s)1(s),e^2(s)=P(s)2(s)です。

 

これをsで微分すると,e^1'(s)=P(s)1'(s)+P'(s)1(s)=P'(s)1(s)+P(s)κ(s)2(s)となります。

 

一方,仮定κ^(s)=κ(s)によりe^1'(s)=κ^(s)e^2(s)=κ^(s)P(s)2(s)=P(s)κ(s)2(s)も成立します。

それ故,恒等的にP'(s)1(s)=0 となることが必要です。これはP'(s)=0 を意味します。

 

したがって,P(s)=T(一定),tTT=TtT=Iと書くことができます。すなわち,dr^(s)=Td(s)ですが,これを積分するとを積分定数のベクトルとして,r^(s)=T(s)+となります。

 

これにs=0 を代入することによって,^(0)-T(0)が得られます。

 

結局,r^(s)=T{(s)-(0)}+^(0)という形の回転プラス平行移動の変換によって,(s)を^(s)にピッタリと重ねあわせることが可能であることが示されました。

 

(証明終わり)

[定理2]:(曲線論の基本定理):パラメータsの閉区間[0,l]で定義された滑らかな関数κ(s)(0≦s≦l)に対して,sを弧長としκ(s)を曲率とする平面曲線(s)(0≦s≦l)が存在する。

 

さらに,このような曲線は回転と平行移動で写すことが可能なものを除いて一意的である。

(証明)後半の一意性の部分は定理1そのものです。

また,与えられたκ(s)に対して曲線(s)を(s)=(x(s),y(s)),x(s)≡∫0scos{∫0tκ(u)du}dt,y(s)≡∫0ssin{∫0tκ(u)du}dtによって定義すれば,d/ds=(cos{∫0sκ(u)du},sin{∫0sκ(u)du})により|d/ds|=1なので,sは確かにこの曲線(s)の弧長です。

そこで,1(s)=d/ds=(cos{∫0sκ(u)du},sin{∫0sκ(u)du})と置くことができて,2(s)は2(s)=(-sin{∫0sκ(u)du},cos{∫0sκ(u)du})となります。

 

したがって1'(s)=d1/ds=κ(s)(-sin{∫0sκ(u)du},cos{∫0sκ(u)du})=κ(s)2(s)を得ます。

 

かくして,前半部分も証明されました。

 

(証明終わり)

さて,平面曲線(s)(a≦s≦b)は,その始点(a)と終点(b)が一致する,すなわち(a)=(b)なるとき,閉曲線と呼ばれます。

 

そして,閉曲線の曲率がκ(s)で与えられるとき,m≡{∫abκ(s)ds}/(2π)で定義される値mは常に整数(0,±1,±2,..)となることを示すことができます。

すなわち,曲率がκ(s)のこの曲線(s)(a≦s≦b)においてsの変域を特に 0≦s≦lとすると,上の証明におけるように(s)=(∫0scos{∫0tκ(u)du}dt,∫0ssin{∫0tκ(u)du}dt),(0≦s≦l)と表現できます。

 

そこで,θ(s)≡∫0sκ(u)duと置けば,(s)の接ベクトル'(s)=d/dsは'(s)=(cos{θ(s)},sin{θ(s)})と表わされ,θ(0)=0 によりθ(s)は,sにおける接線'(s)がs=0 における接線'(0)となす角度を示しています。

 

そこで(s),(0≦s≦l)が滑らかな閉曲線:(0)=(l)なら,これは'(0)='(l)を意味し,偏角θ(l)=∫0lκ(s)dsは2πの整数倍でなければならないことがわかります。

そこで,一般に 0≦s≦lではなく,a≦s≦bで定義された曲率がκ(s)の閉曲線(s)((a)=(b))においても,積分値m≡{∫abκ(s)ds}/(2π)はm={(θ(b)-θ(a))/(2π)は常に整数になることが示されたことになります。

 

この整数mを回転数と言います。

今日はここまでにして,次回は3次元の空間曲線から始めます。

参考文献:梅原雅顕,山田光太郎 著「曲線と曲面」(裳華房),小林昭七著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房)

 

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2008年7月17日 (木)

重力崩壊とブラックホール(2)

の重力崩壊の話題の続きです。

 

遠方の観測者から見た重力崩壊と観測者の時間の関係を考えます。

圧力Pがゼロの場合の星の表面の運動はシュヴァルツシルト時空における自由落下運動と同じです。特に動径方向の運動を考えれば十分だと思われます。

シュヴァルツシルト時空の計量はds2(1-2m/r)dt2-dr2/(1-2m/r)-r2(dθ2sin2θdφ2)ですが,この時空では計量テンソルの成分gμνでゼロでないものは,g001-2m/r,g11=-(1-2m/r)-1,g22=-r2,g33=-r2sin2θのみです。

この重力場の中での粒子の運動方程式,すなわち測地線の方程式はd2ρ/dλ2+Γρσν(dxν/dλ)(dxσ/dλ)=0 で与えられます。

 

ここでΓρμνは接続係数と呼ばれるもので,Γσμν=(gσρ/2)(gρν,μ+gρμ,ν-gμν;ρ)です。陽な形に書かれた接続係数をクリストッフェルの記号とも言います。(捩率ゼロの接続の場合)

この方程式d2ρ/dλ2+Γρσν(dxν/dλ)(dxσ/dλ)=0 において,光ではない質量のある物質の運動を想定してμ=0,λ=sとし,θ,φが一定の動径r方向の軌道のみが問題になる場合を考えると,d2t/ds2+Γ000(dt/ds)2+(Γ001+Γ010)(dt/ds)(dr/ds)+Γ011(dr/ds)2=0 となります。

ここで,以前の00exp(2ψ),g11=-exp(λ)なる表現では接続係数はΓ000=ψd, Γ001=Γ010=ψ',Γ011λdexp(λ-2ψ)/2でした。

 

ただし,ψd≡∂ψ/∂t,ψ’≡∂ψ/∂r,λd≡∂λ/∂t etc.なる記法を用いています。

 

今の場合には,exp(2ψ)=1-2m/r,exp(λ)=(1-2m/r)-1,ψd=λd=0 であって,mは時間によらず,rにも独立な積分定数です。

 

 故に,Γ000=Γ011=0 ,Γ001+Γ010)=2ψ'=d{ln(r-2m)-ln(r)}/dr=2m/{r(r-2m)}=(rg/r2)/(1-rg/r)です。

 

ここで,最後の式で,シュヴァルツシルト半径という意味でrg2m (2Gm/c2)としました。

そこで,d2/ds2(rg/r2)(1-rg/r)-1(dt/ds)(dr/ds)=0 です。

 

T≡dt/dsとおけば,dT/ds=-(rg/r2)(1-rg/r)-1(dr/ds),or ∫dT/T=-∫dr(rg/r2)(1-rg/r)-1です。

 

すなわち,lnT=lnr-ln(r-g)+const.です。そこでdt/ds=T=k(1-rg/r)-1です。

一方,μ=1の測地線は2/ds2+Γ100(dt/ds)2+(Γ101+Γ110)(dt/ds)(dr/ds)+Γ111(dr/ds)2=0 です。

 

そしてΓ100=ψ'exp(2ψ-λ),Γ101=Γ110=λd/2,Γ111=λ'/2より,Γ100=(1/2){exp(2ψ)}'exp(-λ)=(1/2)(rg/r2)(1-rg/r)101+Γ110=0 ,Γ111=λ'/2=(d/dr){(-1/2)ln(1-rg/r)}=(-1/2)(rg/r2)(1-rg/r)-1です。

 

それ故,d2r/ds2+ (1/2)(rg/r2)(1-rg/r)(dt/ds)2-(1/2)(rg/r2)(1-rg/r)-1(dr/ds)2=0 となります。

これに,dt/ds=k(1-rg/r)-1を代入してdr/dsを解けば解軌道が得られますが,計量の表現ds2(1-rg/r)dt2(1-rg/r)-1dr2を用いて直接求める方が簡単です。

 

すなわち,1=(1-rg/r)(dt/ds)2(1-rg/r)-1(dr/ds)2から,(dr/ds)2=k2(1-rg/r)=rg{1/r-1/r(0)}が得られます。

 

ただし,r(0)はdr/ds=0 のときのrの値でr(0)≡rg/(1-k2),またはk21-rg/r(0)で定義されます。

sの代わりに軌道のパラメータを遠方の観測者にとっての固有時間tで表わせば,(dr/dt)2(dr/ds)2(ds/dt)2=rg{1/r-1/r(0)}-2(1-rg/r)2(1-rg/r)2[1-(1-rg/r)/{1-rg/r(0)}]となります。

 

今の場合は,dr/dt<0 に対応する自由落下を考察しているので,動径r方向の運動はdr/dt=-(1-rg/r)[1-(1-rg/r)/{1-rg/r(0)}]1/2で与えられます。

ここで,r(0)=∞,つまりr→ ∞でdr/ds→ 0 ,or dr/dt→ 0 ,k2 1 (ds2=c2dt2)とすれば,dr/dt=-(rg/r)1/2(1-rg/r),または-∫dt=∫dr(r/rg)3/2(r/rg1)-1です。

 

ξ≡(r/rg)1/2と変数置換すれば,右辺=2g3/3+ξ+(1/2)ln{(ξ-1)/(ξ+1)}+const.]となります。

したがって,ct/rg=-(2/3)(r/rg)3/22(r/rg)1/2ln[{(r/rg)1/21}/{(r/rg)1/21}]+const.です。

 

これにより,今の場合の自由落下ならr→rgでt→ ∞ となり,事象の地平面に到達するのに無限大の座標時間がかかります。

逆にdr/dt>0 の場合,つまり落下とは逆で星の表面から物体を発する放物運動を考察しているのであれば,∫dt=∫dr(r/rg)3/2(r/rg1)-12g3/3+ξ+(1/2)ln{(ξ-1)/(ξ+1)}+const.]なので,ct/rg(2/3)(r/rg)3/22(r/rg)1/2ln[{(r/rg)1/21}/{(r/rg)1/21}]+const.となります。

 

そこで,面の内側から事象の地平面に到達するにも無限大の時間がかかります。これは内部から脱出不可能であることを意味しています。

光の道筋を求める場合は,ds=0 なので, 0=ds2(1-rg/r)dt2(1-rg/r)-1dr2により,dt=(1-rg/r)-1drとなりますから,動径がrのところから出た光が観測者の位置の動径robまで到達するのに要する時間をTとすると,T=∫robdr(1-rg/r)-1=rob-r+rgln{(rob-rg)/(r-rg)}となるはずです。

 

そこでr→rgならT→ ∞ となります。これによって,星の重力崩壊の際に表面から出た光が観測者に到達するには無限大の時間がかかることがわかり,観測者はあたかも星の収縮が止まったように観測すると思われます。

表面から光を放出する物質の固有時間dτと世界時間dtとの関係は,近似的にcdτ={(1-rg/r)-(1-rg/r)-1(dr/dt)2}1/2dt~ (1-rg/r)dtと表現されます。

 

ここでdr/dt=-(1-rg/r)[1-(1-rg/r)/{1-rg/r(0)}]1/2,かつ(rg/r)<<0 によりdr/dt~-(rg/r)1/2(1-rg/r)と書けることを用いました。

さらにT=∫rrobdr(1-rg/r)-1=rob-r+rgln{(rob-rg)/(r-rg)}により,r→rgのときの世界時間tとrの関係はrob-r+rgln(rob-rg)に比べて-rgln(r-rg)が支配的になるのでt~ -rgln(r-rg)+const. or (r-rg) ∝ exp(-t/rg)です。

 

そこでr→rgのとき,光の振動数ν ∝ (1/Δt)の時間変化は(1/Δt)∝(r-rg)/rgなので,(ν/ν0)∝ exp(-t/rg),あるいはν∝ν0 exp(-t/rg)なる式で与えられます。

 

ただしν0(r-rg)/rg>>1の遠方の自由空間位置での光の振動数です。

これらを評価する際の実際の時間スケールはrg/c~ 10-5(m/M)sec程度です。(mは対象とする星の質量Mは太陽の質量です。)

 

動径方向以外に出る光をも考慮して,詳細な計算を実行し星のエネルギーを星の明るさLによって表現すると,明るさLはr→rgで,L∝L0 exp{-4t/(33/2g))のように減衰していくことがわかります。

 

遠方の観測者にとって星の重力崩壊が止まっているように見える場合でも,星の明るさの方は急激に減衰して,星はまたたくまに暗くなってゆくのが観測されるはずです。

座標時間=世界時間は重力落下につれて,t~ -rgln(r-rg)+const.なる傾向を示すのに対し,固有時間τはdr/dτ~ -(r/rg)1/2,r~(3/2)2/3g1/30(r)-τ)2/3のような緩やかな関係を示すことを強調しておきます。

 

ここでτ0(r)はrから出発して星の中心=原点(origin:r=0)に到達したときのτの値です。

球対称のシュヴァルツシルト解では,計量がds2(1-rg/r)dt2-dr2/(1-rg/r)-r2(dθ2sin2θdφ2)なので,r=rgにおいてg000 ,g11=-∞ となります。

 

そこでr=rgでは計量としての意味が失われるため,これは時空の特異点であるように見えますが,これは見掛けの上のことであって,r=rgは真の特異点ではありません。

実際,スカラー曲率の平方はR2=Rμνσρμνσρ12(rg)2/r6と計算されますから,これはr=rgなる面が何の特異性も示さず,真の特異点はr=0 のみであることを示しています。

r=rgが特異面にならないような座標系としてはds2(1-rg/r)dt2-dr2/(1-rg/r)-r2(dθ2sin2θdφ2)なる計量の(t,r,θ,φ)から,新座標(t',r',θ',φ')をt=t'± rgln(r'/rg1)(r>rg),t=t'± rgln(1-r'/rg)(r>rg),r=r',θ=θ',φ=φ'なる変換によって与えるエディントン・フィンケルシュタイン座標(Eddington-Finkelstein coordinate),

 

変数(t,r)をu=±(r/rg1)-1/2exp{r/(2rg)}cosh{t/(2rg)},v=±(r/rg1)-1/2exp{r/(2rg)}sinh{t/(2rg)}でu,vの符号に合わせて符号±を取るような座標変数(u,v)に変換するクルスカル座標(Kruskal coordinate)などがあります。

しかし,物理的に見ると,r=rgの球面には,やはり特異な性質があるようです。

 

その主なものは,この面内に入った粒子は再び外へ出てくることができないということです。このr=rg2Gm/c2の球面をシュヴァルツシルト面と言います。

シュヴァルツシルト時空で,(r,θ,φ)が一定の質点を考えると,これの描く世界線はds2(1-rg/r)dt2です。

 

そしてr>rgならds20 で時間的(time-like)ですから,ds2=cdT2-dX2-dY2-dZ2なる局所ローレンツ系の表現でdX=dY=dZ=0 として質点がその位置に留まることができます。

 

しかし,r<rgのシュヴァルツシルト面の内側なら(r,θ,φ)が一定dr=dθ=dφ=0 というのは,ds20 を意味し空間的(space-like)です。

 

これは局所ローレンツ座標(cT,)では|d|=(dX2+dY2+dZ2)1/2>c|dT|を意味しますから,物質がこのような世界線を取ることは不可能です。

 

そこでdr,dθ,dφがゼロではないとすることによってds20 と運動を表わす時間的なものにするためには,物質は静止状態ではなく動かざるを得ません。

光の道筋はdr/dt=±(1-rg/r)ですが,この境界である光円錐の向きを考えれば,ds20 はr>rgなら-(1-rg/r)-1dr<dt<(1-rg/r)-1drで,r<rgならdt<(1-rg/r)-1dr,dt>-(1-rg/r)-1drであること意味します。

 

r<rgのときには動径rが時間軸の役割を果たすように見えます。

古典論では,r>rgの観測者はr<rgに入った粒子から情報を得のることはできません。

 

r<rgの領域をブラックホールといい,r=rgをのシュヴァルツシルト面を事象の地平面ともいいます。

ここまでは,私が所持している通常のいくつかの書物に書かれている内容について,それらの行間を埋めてブログで平易に解説できるようにまとめたものですが,以下では持論をも書いてみます。

すなわち,2008年6/19の記事「重力崩壊によるブラックホール形成についての小考察」で書いている内容ですが,

 

これは重力崩壊の途中での事象の地平面r=rg2Gm/c2の球面を与えるmは落下している星の表面の動径位置がrのときに,半径rの内部の質量m(r)を意味しており,それゆえrg2Gm(r)/c2と書けば,落下に伴なって変化するrと共に(r),したがってrgも変わってゆくというものです。

そこで,遠方の観測者にとっての固有時間tで表わした星の表面の自由落下の動径r方向の運動方程式であるdr/dt=-(1-rg/r)[1-(1-rg/r)/{1-rg/r(0)}]1/2において,r(0)=∞,つまりr→ ∞でdr/ds→ 0 or dr/dt→ 0 ,k2 1 (ds2=c2dt2)であるとして,dr/dt=-(rg/r)1/2(1-rg/r)なるものを考察しますが,

 

右辺のrg2Gm/c2の表現ではmを固定された星の質量と考えるのではなく,rより内側に既に崩落し累積している部分の物質の総質量m=m(r)と考えます。

今の場合は星の表面が自由落下し重力崩壊をしている最中なので,動径gが示す球面は,重力崩壊中ではない安定した星の固定された事象の地平面を意味するのではなくて,rgもm(r)と共に変動するrの関数であると考えるわけです。

そして,例えば星の構成物質の密度ρが一様でm=m(r)=4πρr3/3と書ける場合なら,g/r=2m/r=8πGρr2/(3c2)によって,dr/dt=-{8πGρr2/(3c2)}1/2{1-8πGρr2/(3c2)}=-{8πGρ/(3c2)}1/2{1-8πGρr2/(3c2)}となります。

これは初等的に積分できて,t=-{8πGρ/(3c2)}1/2lnr+(1/2)[ln|r+{3c2/(8πGρ)1/2}|+ln|r-{3c2/(8πGρ)1/2}|+constとなります。

 

例えば太陽程度の密度ρ~1kg/m3 を仮定すれば{3c2/(8πGρ)1/2} ~ 1011kmです。

したがって,重力崩壊中の星の表面の半径rについては,崩壊の最初から星の落下物質の位置の動径はr<{3c2/(8πGρ)}1/2(≒1011km)を満たすはずですから,解はt=-{8πGρ/(3c2)}1/2lnr+(1/2)ln{3c2/(8πGρ)-r2}+constです。

 

星の中心r=0 に向かって崩落してゆく過程では,最終到達点である中心:r=0 以外には全く特異点はなく,世界時間で見ても重力崩壊は有限な短時間で終了し,決して無限大時間を要することなど有り得ないと結論されます。

  

(太陽なら,t=-{8πGρ/(3c2)}1/2lnr+(1/2)ln{3c2/(8πGρ)-r2}+const.にr=rg≒3km=3000mを代入したものから,太陽半径r=RS≒7×108mを代入したものを引いた時間です。)

 

一様密度の星という特殊なモデルで考察しましたが,遠方の観測者にとってもブラックホールの形成時間が有限になるという結論は一般的に成立すると考えられ,モデルの選択には依らないと思われます。

参考文献:佐藤文隆,原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

 

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2008年7月14日 (月)

食品偽装,その他について

 食品偽装事件について正直な感想を一言

 業者のカタを持つわけじゃないけどウソはウソ,法律違反は違反として,中国産ウナギだろうとブラジル産鶏肉だろうと,私のような安い舌には恐らく判別できないだろうし,商品自体は決して毒だというわけではなくて立派な食品です。

 食べられるだけで幸せなことだと思うのは私だけでしょうか。。自給率が低いくせに国産がいいという信仰や贅沢は好きくないです。

 関係ないけど,私が在宅時にはほとんど常時つけっぱなしで見ているお気に入りの某TV朝日は,またしても秋葉原の通り魔事件にかこつけて弱者をイジメているようです。。

 既に死んだ人間よりも今生きている人間のほうが大事だろうに。。

 食べ物,飲み物を供えた人々もそんな狭い了見を持っているとは思えないし,ひょっとして空腹な人の助けになるならそれを望んでいるかも知れません。。

 本当に空腹だろうが,いたづらだろうが飲食物が本来の目的に使用されるならそれでいいじゃないか。。。

 世界中に飢えた人々の存在することを思えば,飲食物を粗末に捨ててしまうなんて考えられません。

 死者への冒涜だなんて。。

 そんなのは飽食して衣食住に心配がなく本当は通り魔事件なんて対岸の火事だと思っている正義面した大テレビ局関係者のあんたに言われたくありません。。

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2008年7月13日 (日)

重力崩壊とブラックホール(1)

 今日は,すぐ前に記述した重力場の球対称時空解の続きとして,星の重力崩壊の初等的モデルについて計算をしてみます。

なお,一般相対論とは直接関係しない星の構造や進化については,2006年11/29「星の重力平衡とエネルギーの流れ」から,続く11/30の「星の構造(ポリトロープガス球とエムデン解)」,12/1「星の進化とチャンドラセカール質量」のシリーズで書いたことがあります。

 これらは,2006年11/25,26の「高密度状態での陽子の中性子化(1)」,「高密度状態での陽子の中性子化(2)」から続いて,11/27「電離平衡のサハの式」,「高温状態での電子対発生」というプラズマ状態での核反応など,どちらかというと微視的メカニズムに主眼を置いていたシリーズの続きとして書いたものです。

 

 巨視的現象である重力崩壊についての記事は2006年8/25の「ブラックホールの形成時間」や,2008年6/19の「重力崩壊によるブラックホール形成についての小考察」程度であまり詳細な計算を記述していませんでした。

 そこで,今回は重力崩壊について,より詳細に考察,計算してみます。

 まず,後の便宜上,一般相対論での固有長さ,固有時,固有体積の概念を共動座標系に伴なう量として明確に定義しておきます。

 一般に,任意の準拠系:Rにおける準拠点の座標をxμとし,同じ点の局所慣性系:Iにおける座標をXμとすると,ds2=gμνdxμdxν=ημνdXμdXνであり,dXμ(∂Xμ/∂xν)dxνです。

 

 そこで,計量テンソルについて,μν(∂Xρ/∂xμ)(∂Xσ/∂xνρσなる変換式が成立します。

 

 また,Rにおける準拠点の局所慣性系:Iにおける速度をとすると,vk/c=dXk/dX0(∂Xk/∂x0)/(∂X0/∂x0)と書けます。(Rに固定された準拠点なのでdxk=0 )

Rにおいて空間的に近接した任意の準拠点A,Bを取り,その空間座標をそれぞれ,xk,xk+dxkとします。

 

そして,Aが静止しBも近似的に静止している局所慣性系I0を取って,そこでのAの局所座標をXμとします。

 

このとき,I0におけるAの速度についてはvk/c=0 なので,∂Xk/∂x00 が成立しています。

そこで,I0でのある測定時刻におけるA,Bの同時的な空間距離は,dXk(∂Xk/∂xν)dxν(∂Xk/∂xl)dxlで与えられます。

 

そこで,この同時刻での3次元ベクトル(dXk)の空間的な長さをdσと書いて固有長さと呼びます。

 

つまり,dσ2≡Σk=13(dXk)2=γijdxidxjij(∂Xk/∂xi)(∂Xk/∂xj)=(∂X0/∂xi)(∂X0/∂xj)-gijと定義します。

 

係数,γijは空間計量テンソルと呼ばれます。

ところで,gμ0(∂X0/∂xμ)(∂X0/∂x0)-(∂Xk/∂xμ)(∂Xk/∂x0)=(∂X0/∂xμ)(∂X0/∂x0)より,gi0(∂X0/∂xi)(∂X0/∂x0),(∂X0/∂x0)=(g00)1/2です。

 

それ故,γi(∂X0/∂xi)=gi0/(g00)1/2と定義すればij=-gij+γiγj=-gij+gi0j0/g00と書けます。

 

よって,一般に-γijは計量テンソルgμνの空間部分gijに等しくはなくて,-γij=gijが成立するのはgi00,あるいはγi0 (i=1,2,3)の場合のみです。

そして,準拠系内に与えられた準拠点Aに静止する標準時計Cにおいては,dxk0 なので,その描く世界線はds2=g00(dx0)2で与えられます。

t=x0/cはAに置いた座標時計の示す時間ですが,Cの示す時間変動はds2=c2dτ2を満たす固有時τで与えられます。

 

これはCに対して瞬間静止する慣性系I0での時空座標をX(0)μ表現するとき,ds2はRとI0のどちらの座標系から見ても不変であり,dX(0)k0,dX(0)0=cT(0)なので,ds2=c2dτ2=c2(dT(0))2ですからdT(0)=dτですが,時間T(0)0中に静止して時を刻む標準時計の時間だからです。

そして,ds2=g00(dx0)2dτ=(g00)1/2dtを意味するので,(g00)1/2は標準時計C(共動座標系)と座標時計の時間の進む速さの比を示しています。

さらに,γ≡det(γij)とすると,gij=-γij+gi0j0/g00によって,γ=-g/g00;g≡det(gμν)が得られます。

 

共動座標系での4次元不変体積を示す等式dΣ=cdTdXdYdZdet(∂Xμ/∂xν)(Πν=03dxν)=(-g)1/2ν=03dxν)を,固有時間cdτ=(g00)1/2dx0=cdTで割ったものを3次元の固有体積と呼び,dVp=γ1/2dx1dx2dx3と書きます。

これらを用いて,さらに,星の質量と関連した重力質量と固有質量の概念を述べておきましょう。

 

共動座標系で星の中心を原点とする球対称時空の計量はc=G=1の自然単位ではds2exp(2ψ)dt2exp(λ)dr2-r2(dθ2sin2θdφ2)です。

 

上述の固有体積の表現におけるγ1/2はγ1/2exp(λ/2)r2sinθで与えられるので動径rとr+drに挟まれた球殻の固有体積は,dVpexp(λ/2)r2dr∫sinθdθdΦ4πr2exp(λ/2)drです。

そこで,星の中の動径rの位置での核子の数密度をnN(r)とすると,全核子数は共動座標系では固有体積で積分して,NN4π∫0RN(r)exp(λ/2)r2dr=4π∫0RN(r){1-2m(r)/r}-1/22drです。

 

そこで核子の質量をmNとし,それ以外の微小質量の電子などの質量を無視すれば,星の密度はρm(r)=mNN(r)で与えられ,密度と固有体積の積の積分で与えられる星の質量をMm=∫0Rρm(r)dVp4π∫0Rρm(r){1-2m(r)/r}-1/22drと書いて,これを星の静止固有質量と呼びます。

 さらに,(静止エネルギー)+(運動エネルギー+相互作用エネルギー)の全エネルギーによる密度をρ(r)≡ρm(r)+ρI(r)と書けば,ρm(r)のみの寄与による質量Mmは,ρI(r)をも加えた効果を加えた質量Mp=∫0Rρ(r)dVp4π∫0Rρ(r){1-2m(r)/r}-1/22drに変わります。

 

 このMpを星の固有質量と呼びます。これに対し,密度と座標系に依存する通常の体積の積の積分で与えられる質量M≡4π∫0Rρ(r)r2dr=m(R)を重力質量といいます。

 ニュートンの万有引力の近似では,普通の単位でm(r)/r→Gm(r)/(c2)<<1,ρm(r)>>ρI(r)なので,M≡4π∫0Rρ(r)r2dr=∫0Rm(r)+ρI(r)}exp(-λ/2)dVp=∫0Rm(r)+ρI(r)}{1-2m(r)/r}1/2dVp~∫0Rρm(r)dVp+∫0RρI(r)dVp-∫0Rm(r)m(r)/r}dVp=Mm(UI-Ω)です。

 

 ここにΩ≡∫0Rm(r)m(r)/r}dVpは万有引力による結合エネルギー,I≡∫0RρI(r)dVpは内部エネルギーです。通常の単位ならM=Mm(UI-Ω)/c2,Ω≡G∫0Rm(r)m(r)/r}dVp,UI≡c20RρI(r)dVpです。

  

 一方,p=∫0Rρ(r)dVp=Mm+UI/c2ですから,重力結合による質量欠損はΔM=Mp-M=Ω/c2です。

 

 中性子星のモデルで計算すると,多くの場合Mp>Mm>Mですが,重力Ωが十分大きいとMp>M>Mmとなります。

 

 これはΩ>UIが実現したためであろうと解釈されますから,重力だけでなく,内部エネルギーUIもまた現実に星の質量に寄与していることがわかります。

特に圧力:P=0 の物質をダスト物質と呼びますが,以下では星が球状のダスト物質でできている場合の重力崩壊を考察します。

 

また,時空の計量はds2exp(2ψ)dt2exp(λ)dr22(dθ2sin2θdφ2)ですが,=rと置けるとは限らない一般の場合を考えます。

さて,以前の記事で既述したことを用いれば次のようになります。

共動座標系に乗った観測者の固有時間τはdτ2=exp(2ψ)dt2,つまりdτ=exp(ψ)dtで与えられ,それ故τによる偏微分をDτなる記号で表わすことにすれば,例えば(r,t)のτによる偏微分はDτと書けますが,さらにDτをUと表記すると,U≡Dτ≡∂/∂τ=exp(-ψ)dです。

 

ただし時間微分d≡∂/∂tとしています。

 

そして,Uをさらにrで偏微分するとU'=exp(-ψ)('d-ψ'd)exp(-ψ)'d-ψ'Uとなります。

 

ただし動径微分を'≡∂/∂retc.と表記しています。

そして,Dτln'= exp(-ψ)'d/'=U'/'+Uψ'/'によってτln'=(∂U/∂ )t+U(∂ψ/∂ )tです。

 

exp(λ/2)='(1+22m/ )-1/2より,λ/2=ln '-(1/2)ln(1+22m/ ),Dτλ=2τln'-τln(1+22m/ ),またDτλ=2U'/'=2(∂U/∂ )tです。

 

故に,2(∂U/∂ )t2(∂U/∂ )t2U(∂ψ/∂ )tτln(1+22m/ )となります。すなわち,Dτln(1+22m/ )=2U(∂ψ/∂ )tです。

 

そこで,エネルギー運動量テンソルの保存則を示す条件式μν0 の1つ(∂ψ/∂r)t=-(∂P/∂r)t/(ρ+P)を代入することにより,実際に解ける形の運動方程式Dτln(1+22m/ )1/2(∂ψ/∂)t=-U(∂P/∂)t/(ρ+P)が得られます。

今は星がダスト球であって,P=0 なので,1+22m(r,t)/ =(時間的に一定)となり,また(∂ψ/∂r)t=0 なのでψは空間座標rに依存しません。

 

ψがtだけの関数なので,共動座標系の固有時間:dτ=exp(ψ)dtで与えられるτを改めて座標時間tと考えます。

 

すると,Dτt=∂/∂tを意味するので,上述のU=Dτ exp(-ψ)dはU=dと書けます。

そこで,1+22m(r,t)/ =(時間的に一定)の左辺の(r,t)が時間tに独立∂m/∂t=0 でm(r,t)=m(r)と表現できるなら,(1/2)( d)2-m(r)/=(一定)となって,これはニュートン力学の万有引力の中での自由落下の際の(力学的エネルギー)=(運動エネルギー+位置エネルギー)の保存の式と同じになります。

そして,実際にtm=∂m/∂t=0 を示すこともできます。

 

まず,tln(1+22m/)1/2=-U(∂P/∂)t/(ρ+P)から,(1/2)Dtln(1+22m/)=(UDtU+mt/2-Dt/)/(1+22m/)=-U(∂P/∂)t/(ρ+P)です。

これに,以前の記事で得られた運動方程式tU=-{(1+22m/)/(ρ+P)}(∂P/∂)t-(m+4π3)/2}を代入すると,-U(∂P/∂)t/(ρ+P)+(t/2-mU/24πPU-Dt/)/(1+22m/)=-U(∂P/∂)t/(ρ+P)を得ます。

 

したがって,Dtm=-4π2PUですから,P=0 のときは確かに,Dtm=∂m/∂t=0 が成立します。

 さて,運動方程式(1/2)(d)2-m(r)/=(一定)の右辺の一定値を{Γ(r)21}/2 と書いて,(d)22m(r)/=Γ(r)21とします。

 

 するとexp(λ/2)=(∂/∂r)(1+22m/)-1/2,およびU=dから,exp(λ)=(∂/∂r)2/Γ(r)2と書けます。

 

 これによって,Γ(r)20 なる条件が得られます。

 

 そして,時空計量はds2=dt2{'/Γ(r)}2dr22(dθ2sin2θdφ2)と表わされます。

方程式(d)22m(r)/=Γ(r)21の重力崩壊:d0 に対応する解は各rに対して,∫d[/{2m+(Γ21)}]1/2=-∫dtで与えられます。

ここでr=(一定)では,d(∂/∂t)rであり,m(r)もΓ(r)も時間的に一定の定数と考えることができるとしています。

そこで21>0 の場合は=0 になる時刻をt=t0 とおけば,(Γ21)-1/20[/{+2m/(Γ21)}]1/2=t-t0です。

 

積分を実行すると,最終的な形として0(r)-t21)-1{2m+(Γ21)2}1/22m(Γ21)-3/2sinh-1[{(Γ21)/(2m)}1/2],sinh-1(x)=ln{x+(x-1)1/2}が得られます。

 

そこで,→ 0 のとき,{2m+(Γ21)2}1/2 (2m)1/2(1/2)(2m)1/221)/(2m),すなわちt0(r)-t (2/3)(2m)1/23/2となることがわかります。

また21<0 の場合はt0(r)-t(1-Γ2)-1{2m+(1-Γ2)2}1/22m(1-Γ2)-3/2sin-1[{(1-Γ2)/(2m)}1/2]です。

 

このときも→ 0で,t0(r)-t (2/3)(2m)1/23/2です。

 

そしてΓ21=0 の場合には,d=-(2m/)1/2より=(3/2)2/3(2m)1/3{t0(r)-t}2/3が得られます。

以上から,t→0(r)(→ 0)の極限では,Γ2の値に関わらず,~(3/2)2/3(2m)1/3{t0(r)-t}2/3となることがわかります。

この最後の表式から,t→0(r)においてexp(λ/2)=(∂/∂r)Γ-1 6-1/3'm-2/3Γ-1(t0-t)2/3(2/3)1/3(2m)1/30-1(t0-t)-1/3により,exp(λ/2) ~ (2/3)1/3(2m)1/30-1(t0-t)-1/3となります。

 

そこで,exp(λ/2)drに比例した動径方向の固有距離は,t→0(r)では無限大に発散し,一方,固有体積はVp∝∫2exp(λ/2)dr∝∫{t0(r)-t}drなので,ゼロに近づきます。

 

また,(∂m/∂)t2ρよりρ='/(2')ですが,t→0(r)では,  (3/2)2/3(2m)1/3{t0(r)-t}2/3なので,結局ρはρ∝ ('/m){t0(r)-t}-1のように挙動します。

そして,m=m(r)により,(∂m/∂)t2ρはd/dr=2ρ(∂/∂r)tと書けます。

 

もしも一様密度の星ならρ=ρ(t),かつP=0 なので,重力場の方程式μν(1/2)δμνR=8πTμνの右辺:8πTμνは全てtだけの関数になるため(r,t)≡a(t)g(r)と変数分離が可能で,特にg(r)≡r,すなわち(r,t)≡a(t)rなる解も可能です。

実際,重力場の方程式の成分で自明でないものは{λdd/(d/)2}exp(-2ψ)+{-2"/('/)2+λ''/}exp(-λ)+1/28πρ,{2'd/-λd'/2ψ'd/}exp(-λ)0 ,{22d/(d/)2dd/}exp(-2ψ)+{-('/)22ψ''/}exp(-λ)+1/2=-8πP,{λ2d/2d/2)22d/-λdψd/2-ψdd/+λdd/(2)}exp(-2ψ)+{-ψ"-ψ'2"/-ψ'('/-λ'/2)+λ''/(2)}exp(-λ)=-8πPの4つだけです。

これは,今の場合,P=0,ρ=ρ(t),ψ≡0 なので,これらを代入すれば{λdd/(d/)2}+{-2"/('/)2+λ''/}exp(-λ)+1/28πρ,{2'd/-λd'/}exp(-λ)0 ,{22d/(d/)2}-('/)2exp(-λ)+1/2=0 ,{λ2d/2d/2)22d/+λdd/(2)}+{"/+λ''/(2)}exp(-λ)=0 と書けます。

そこで(r,t)≡a(t)g(r)と置くことができれば,これらはλdd/a(ad/a)2+{-2g"/g(g'/g)2+λ'g'/g}exp(-λ)+1/(a22)=8πρ(t),{2d'/(ag)-λd'/g}exp(-λ)=0 ,2a2d/a(ad/a)2-(g'/g)2exp(-λ)+1/(a22)=0 ,λ2d/2d/2)22d/a+λdd/(2a){-g"/g+λ'g'/(2g)}exp(-λ)=0 なる連立方程式になります。

2番目の方程式{2d'/(ag)-λd'/g}exp(-λ)=0 からg'≠0 ならλd=2d/aとなります。

 

そこでλ2d=22d/a-2(ad/a)2です。

 

これらを残りの式に代入すると,3(ad/a)2+{-2g"/g(g'/g)2+λ''/g}exp(-λ)+1/(a22)=8πρ(t),2a2d/a(ad/a)2-(g'/g)2exp(-λ)+1/(a22)=0 ,2a2d/a+(ad/a)2+{-g"/g+λ''/(2g)}exp(-λ)=0 となります。

 

得られた3つのうちの2番目の式 2a2d/a(ad/a)2-(g'/g)2exp(-λ)+1/(a22)=0 から1番目の式 3(ad/a)2+{-2g"/g(g'/g)2+λ''/g}exp(-λ)+1/(a22)=8πρを引いて2で割ると,2d/a-(ad/a)2+{g"/g-λ''/(2g)}exp(-λ)=-4πρです。

 

また,3番目の式は,2a2d/a(ad/a)2{g"/g-λ''/(2g)}exp(-λ)=0 です。

 

これらを辺々加えると,3a2d/a-4πρ,あるいはa2d=-4πρa/3となります。

 

よって,d/dt{(ad)2+4πρa2/3}=0 ,すなわち(ad)2+4πρa2/3=const.が得られます。

 

そこで,ρ=ρ(t)の場合には,実際に(r,t)≡a(t)g(r)なる仮定からg(r)とは独立にa(t)を解くことができます。

 

またg'≡0 の場合には,(r,t)はa(t)の定数倍ですから明らかに変数分離可能です。

 

したがって,いずれにしても一様密度の星ρ=ρ(t)の場合には(r,t)≡a(t)g(r)なる変数分離解が可能なことが示されました。

 

しかし,(ad)2+4πρa2/3=(定数)なる表式では,両辺にg(r)2を掛けたとき,(d)2m(r)/=(定数)g(r)2となり,先の一般的に成立する式(d)22m(r)/=Γ(r)21とは係数や符号が微妙に合致しないような気がするので,どこかに間違いがあるかもしれません。

 

特に,g(r)≡rの特別な場合を仮定しても,a2d=-4πρa/3,(ad)2+4πρa2/3=(定数)が成立することに変わりはなく,例えば2a2d/a(ad/a)2-(g'/g)2exp(-λ)+1/(a22)=0 は(g'/g)2exp(-λ)-1/(a22)=-4πρ(t)を意味します。

 

これにg=r,g'=1を代入すると(1/r2){exp(-λ)-1/a2}=-4πρ(t)となり,これとa2d=-4πρa/3,λd=2d/aを連立させたa=a(t)を未知関数とする方程式は確かに解を持ちますから,(r,t)≡a(t)rなる形の解も可能です。

 

(r,t)≡a(t)rなる形で,a(0)=1,つまり(r,0)=rの解では,mの定義(r,t)=∫0 4πρξ2dξにおいて,一様密度ρ=ρ(t)により,m(r,t)=4πρ3/3=4πρ(t)a(t)33/3ですが,左辺は時間に無関係であって,m(r,t)=m(r)と書けますから,ρ(t)a(t)3ρ(0)(一定)となります。

このとき,一般的な運動方程式(d)22m(r)/=Γ(r)21から,Γ(r)21+(ad)228πρ(0)r2/(3a)=1+r2{(ad)28πρ(0)/(3a)}となりますが,∂Γ(r)2/∂t=0 なので,(ad)28πρ(0)/(3a)=-k=一定,Γ(r)21-kr2と書くことができます。

それ故,計量ds2=dt2{ '/Γ(r)}2dr22(dθ2sin2θdφ2)はds2=dt2-a(t)2{dr2/(1-kr2)-r2(dθ2sin2θdφ2)}となって,一様等方宇宙モデルのロバートソン・ウォーカー計量(Robertson-Walker metric)と同じ形をしています。

しかし,ロバートソン・ウォーカー計量ではa(t)は宇宙の空間的規模を示すパラメータで,膨張宇宙の初期条件a(0)=0 と,膨張の境界条件ad0 を持つ場合の解であり,rの変域も違っています。

  

一方,今の場合,a(t)は星の半径に対し=a(t)rで与えられるパラメータであって,重力崩壊の初期条件a(0)=1と収縮の境界条件ad0 に対応しています。

そして,(ad)28πρ(0)/(3a)=-kは初等的に解けます。ad(0)=0 なる初期条件を与えると,これはk=8πρ(0)/3を意味します。

 

そして重力崩壊の初期条件a(0)=1,ad(0)=0と収縮の境界条件ad0 を満たす解はad=-{k(1/a-1)}1/2より,∫da[a/{k(1-a)}]1/2=-∫dtです。

変数置換によって積分を実行すると,解は結局t=(η+sinη)/(2k1/2),a=(1/2)(1+cosη)=cos2(η/2)となります。

 

これはt=0 でη=0 によってa(0)=1を満足していて,η=πではa(0)=0 となるので,η=πに対応する時刻をt=TとするとT=π/(2k1/2)=(π/2)[3/{8πρ(0)}]1/2です。

 

つまり,t=0 で静止していた球状の一様密度のガス球が,有限時間Tの後には中心の1点に崩壊することを示していると思われます。

今日は一応,これで中断します。

 

ここまでの話は,星の内部各点に固定された"共動座標の時間=固有時間"をtとして,これを中心とした見方をしてきましたが,次回は遠方の観測者から見た重力崩壊現象と,その観測者の座標系の時間などについて考察する予定です。

 

例えば光子に固定した質量のない仮想標準時計は,その光子と共にたとえ50光年離れた星で反射されて100年後に帰ってきても,全く時を刻まないはずですから,ある意味で高速物体に固定された"共動座標の時間=固有時間"など実際の観測さえむずかしいような量には,物理としてどの程度興味を覚えるかは私自身も疑問ですね。

参考文献:佐藤文隆,原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店),メラー著「相対性理論」(みすず書房)

 

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2008年7月10日 (木)

盗作騒動に思う

 一般庶民にはどうでもいい話だけど,同じ物書きとしてのプライドなんでしょうか?違う分野のマッキーのフレーズの盗作云々を論じるよりも,

 「スターウォーズ」のダースベーダーが,「銀河鉄道999」の星野鉄郎の父親である黒騎士とそっくりなプロットであるとかの問題を論じたほうがベターじゃないでしょうか? >松本零士さん。

 私としては,SFもそうですが,むしろ四畳半やサルマタケ関連の方がもっと好きで,昔から松本さんのファンだし,槙原もカミングアウトしているとか関係なく出てきた当時から好きな方です。

 (マッキーを初めて見たときは牧伸二に似てるなあと思った。)

 ですから,大きなお世話でしょうが,仲良くやってもらいたいなと思います。。

 もっともSFじゃないけど,黒澤監督「用心棒」の海外版リメイクと称されているらしい「荒野の用心棒」なども,リメイクという名のパクリ(盗作)だし,特に海外のSF関連の映画は日本の漫画,アニメからのパクリが多いらしいです。

 ,しかも確かにパクリだ,好きだからファンだからパクったと公言しているものも多いらしいのです。

 「スターウォーズ」にしても私が知らないだけで誰でも知っている既成事実だとか,それを承知で,実は自分が原作者なんだぞ。。というような「大人の対応」をしているとかなら,やはり大きなお世話なんでしょうが。。。

 今回の問題も,当人が認める認めないに関わらず「大人の対応」で,いかがなものでしょうか。。大きなお世話?

 (もはやお金がからんでいるので結局は示談なんでしょうけど。。) 

  もしかしたら「大人の対応」=「お金の対応」???

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2008年7月 9日 (水)

球対称時空解(シュヴァルツシルト解)の導出(4)

 球対称時空解の続きです。

 

 具体的に,真空中の重力場の方程式の球対称解を求めます。

再び,一般的な球対称時空の計量(metric):ds2exp(2ψ)dt2exp(λ)dr22(dθ2sin2θdφ2)に戻ります。

 

(r,t)なので,d=(∂ /∂t)dt+(∂ /∂r)dr=ddt+'drですが,特に,物質非存在の真空を対象とするような共動座標など考える必要のない静的な場合や,物質が存在しても定常な場合では,d=∂ /∂t=0 です。

そこで,このときには (r),'=d /drであってdr='-1となりますから,これを代入すれば計量はds2exp(2ψ)dt2'-2exp(λ)d22(dθ2sin2θdφ2)となります。

 

そして,'-2exp(λ)を改めてexp(λ)と定義し直し,を単にrと書くなら(あるいは,単に(r)≡rとして'=d /dr=1とするなら),さらにds2exp(2ψ)dt2exp(λ)dr2-r2(dθ2sin2θdφ2)と簡単になります。

これは,これまで得られた重力場の方程式で=rとし,'=1,"=0 ,d2d0 とすることを意味します。

,空間原点r=0 には物質やエネルギーの重力源が集中して存在しても,その点を除く位置(r≠0 の領域)は物質のない真空であって,密度がρ=0 ,圧力がP=0 であり,それ故,そこではエネルギー運動量テンソルμν(P+ρ)uμν-Pgμνが全てゼロであるような場合を考えます。

このとき,r≠0 のμν=0 の領域での重力場の方程式は,μν(1/2)δμν0 となります。

 

この方程式で,さらに定常:d=λd=ψd0 であって,=rとしてよい場合を考えると,先のゼロでない4つの成分に対する方程式:00(1/2)R=0 ,R01-(1/2)R=0 ,R11-(1/2)R=0 ,R22-(1/2)R=0 は,2つめの式が 0=0 と自明な恒等式となって無意味です。

 

残りの3つには意味があって,(-1/r2+λ'/r)exp(-λ)+1/r20 ,(-1/r22ψ'/r)exp(-λ)+1/r20 ,{-ψ"-ψ'2-ψ'(1/r-λ'/2)+λ'/(2r)}exp(-λ)0 と簡単化された式になります。

前の2つの方程式からλ'+2ψ'=0 となりますが,これはλ+2ψ=(定数)を意味します。

 

そして,r→ ∞では時空は平坦なはずなのでds2exp(2ψ)dt2exp(λ)dr2-r2(dθ2sin2θdφ2)における2つの係数は,exp(2ψ),exp(λ)→1,つまり,ψ,λ→ 0 となります。

 

それ故,λ+2ψ→ 0となるのでλ+2ψ=(定数)の定数はゼロに等しく,λ+2ψ=0 が成立するはずです。

一方,(-1/r2+λ'/r)exp(-λ)+1/r20 より,(1-rλ')exp(-λ)=1,すなわちd(rexp(-λ))/dr=1です。

 

そこで,Cを積分定数としてexp(-λ)=1+C/r=exp(2ψ)です。

 

ここで,前記事での等式exp(-λ)=(1+22m/ )/(')2からの類推から,C=-2mとおくと,結局exp(-λ)=1-2m/r=exp(2ψ)と書けます。

λ=-ln(1-2m/r)=ln(r)-ln(r-2m)ですから,rで微分するとλ'=1/r-1/(r-2m)=-2ψ',λ"=-1/r2+1/(r-2m)2=-2ψ"です。

λ+2ψ=0 より,重力場の3番目の方程式-ψ"-ψ'2-ψ'(1/r -λ'/2)+λ'/(2r)0 で,ψ=-λ/2を代入すれば,λ"-λ'22λ'/r=0 が得られます。

 

左辺に,上で求めたλ'=1/r-1/(r-2m),λ"=-1/r2+1/(r-2m)2を代入すると,これは確かにゼロになるので,1,2番目の連立方程式の解は3番目の方程式を満足します。

以上から,重力場の球対称な真空定常解を表現する解は,exp(-λ)=1-2m/r=exp(2ψ)によって与えられると考えられます。

これは元々の計量:ds2exp(2ψ)dt2exp(λ)dr2-r2(dθ2sin2θdφ2)が,ds2(1-2m/r)dt2-dr2/(1-2m/r)-r2(dθ2sin2θdφ2)と表わされることを意味します。

 

この表現の解は,シュヴァルツシルトの(外部)解としてよく知られているものです。この計量が表わす時空をシュヴァルツシルト時空と呼びます。

次に動径 については =rとして'=1,"=0 ,d2d0 とすることができるけれど,以外の変数の時間変化:λdd etc.については,必ずしもゼロではない非定常な球対称真空解を求めることを考えてみます。

この場合,ゼロでない4つの方程式00(1/2)R=0 ,R01-(1/2)R=0 ,R11-(1/2)R=0 ,R22-(1/2)R=0 は,次のようになります。

 

(-1/r2+λ'/r)exp(-λ)+1/r20 ,(-λd/r) exp(-λ)0 ,{(-1/r22ψ'/r)exp(-λ)+1/r20 ,(λ2d/2d/2)2-λdψd/2)exp(-2ψ)+{-ψ"-ψ'2-ψ'(1/r-λ'/2)+λ'/(2r)}exp(-λ)0 の4つです。

そして2番目の方程式(-λd/r)exp(-λ)0 から,λd0 であることがわかります。

 

これを最後の4番目の方程式に代入すると,{-ψ"-ψ'2-ψ'(1/r-λ'/2)+λ'/(2r)}exp(-λ)0 となります。

 

その結果,2番目以外の残る3つの方程式系は前の定常性を仮定した方程式系と全く一致します。

 

これは非定常真空解も,定常解である同じシュヴァルツシルト時空であることを意味しています。

 

これはバーコフの定理(Birkhoff's theorem)として,よく知られている事実です。

バーコフの定理は,"球対称の真空解は常に定常解であること,あるいは球対称に分布した物質が,たとえ動径方向に時間的に変化しても,球対称性を破ることがなくて星の総質量mが不変であれば,外場としての時空は定常なシュヴァルシルト時空であること,

 

そして,内部の時間変動によって重力波が発生したりすることなどはないこと”を意味しています。

なお,シュヴァルツシルトの(外部)解を自然単位から通常の単位に戻すのは,単に2mを2Gm/c2とするだけですから,通常の単位での,シュヴァルツシルトの計量はds2=c2dτ2{1-2/(2)}dt2-dr2/{1-2/(2)}-r2(dθ2sin2θdφ2)となります。

続いて,球状の星の内側の場を表わす,定常な球対称内部解を求めることを考えます。

密度ρが一様であるような星を考えます。ρ=一定なので,m(r)=∫0r4πr2ρdr=4πρr3/3です。

 

そこで,exp(-λ)=1-2m/r=1-8πρr2/3,あるいは exp(λ)=(1-2m/r)-1(1-8πρr2/3)-1ですね。

星の内部は真空ではなく,物質が存在するので,先に求めた真空の外部解に対応する表式:exp(-λ)=1-2m/rを星の内部に流用するのは適切ではないような気がします。

 

しかし,rよりも外側の物質質量の,半径rの位置での重力への寄与は,ニュートンの万有引力の場合と同様,球対称性の故に完全に相殺されてゼロとなり,この位置の重力への全ての寄与は外部が真空であるか否かに関わりなく,rの内部の質量m(r)のみであると考えられます。

 

そこで,依然として,シュヴァルツシルトの外部解の式が有効でありexp(-λ)=1-2m/r=1-8πρr2/3としてよいと思います。

  

もっとも,一般的な重力場の方程式は線型ではなく,もはや重ね合わせの原理は成立しないので,"全体の重力は,それを構成する部分の寄与の単純和で与えられる"という論理が,この場合にも適用可能かどうか,いささか自信がありませんが。。。

 

※PS:非線型で重ね合わせの原理が成立しないということは,グリーン関数が使えない,つまり,量子論だとファインマン・ダイアグラムの基になるファインマン伝播関数=プロパゲータも使えなけりゃ,スペクトル展開もできません。。

 

もっとも普通の意味の摂動論からして成立しないでしょう。非線形だから級数展開が意味を持たないのはとても困ります。

 

数値計算に頼る他ない流体力学のナビエ・ストークス方程式などと同様,"重力場恐るべし"ということを再確認しましたね。。

 

今の球対称重力場の特別な場合は,ゼロでない4つの重力場の方程式のうち,最後の方程式以外は線型になっていて,シュヴァルツシルト外部解は線型方程式だけから導出されるのですが,それが最後の非線形な式λ"-λ'22λ'/r=0 を満たすかどうかで解になるかどうかがテストされるわけです。

 

これ以外の方程式はλとexp(-λ)の両方について線型ですが,λ=λ1,λ=λ2が共にλ'の2次式であるλ"-λ'22λ'/r=0 を満たすときに,λ≡λ1+λ2も解であるならλ12'=0 であるべきことがわかります。

 

r→ ∞でexp(λ)→1すなわちλ→ 0 なる境界条件を無視すれば,λ1'=1/r-1/(r-2m1),λ2'=1/r-1/(r-2m2)より,??? ← 方程式が線型でないので当たり前ですね。

 

結局,非線形方程式を重ね合わせで説明するのは誤りで,導出の経過はどうあれ最終的に求められたものが解であるかどうかは方程式に代入してみて,それらの式が確かに満足されるかどうかだけで決まります。

 

球対称内部解が確かに解であることを確かめればいいのです。

 

とはいえ,mを定数と考える限り外部解が解であることは既にわかっていて,それはmが定数なら一般解exp(-λ)=1+C/r=exp(2ψ)での積分定数Cが=2mと置けることを保証しています。

 

しかし,m ∝r3の場合,exp(-λ)=1-2m/r=1-8πρr2/3の場合には真空中の定常解についての方程式(-1/r2+λ'/r)exp(-λ)+1/r20 ,すなわち1/r2[1-(d/dr){rexp(-λ)}]=0 に対してλの一般解がexp(-λ)=1+C/r=exp(2ψ)で与えられるべきであるという真空解の条件が満足されません。

 

しかし,解の導出の途中過程で真空中の外部解に基づく考察がなされていても,最終的な球対称内部解は外部解が満たす真空中の方程式 1/r2[1-(d/dr){rexp(-λ)}]=0 ではなく,もっと一般的なゼロでない密度ρに対する方程式 1/r2[1-(d/dr){rexp(-λ)}]=8πρと等価なTOV方程式を満たすことがわかるので,これは解である要件を満足しています。(PS終わり)※

 

一方,以前,定常の場合,τU=0 ,U=τ 0 の場合には,一般的な運動方程式から,TOV方程式(Tolman-Oppenheimer-Volkoff's equation):(∂P/∂ )t=-(ρ+P)(m+4π 3)/{ 2(12m/ )}が成立することを述べました。

 

これは今の場合には,-dP/dr=4πr3(ρ/3)(ρ+P)/{r2(1-8πρr2/3)},すなわち-dP/{(P+ρ)(P+ρ/3)}=4πrdr/(1-8πρr2/3)の成立を意味します

そこで,両辺を積分すると,{3/(2ρ)}ln{(P+ρ)/(P+ρ/3)}=-{3/(4ρ)}ln(1-8πρr2/3)+定数より(P+ρ)/(3P+ρ)=A/(1-8πρr2/3)1/2となります。

 

これはr=RS(星の表面;RSは星の半径)で,圧力がゼロ(P=0)という境界条件を与えると,A=(1-8πρRS2/3)1/2,or (P(r)+ρ)/(3P(r)+ρ)=(1-8πρRS2/3)1/2/(1-8πρr2/3)1/2となります。

そこで,この星の質量をMとするとM=m(RS)=4πρRS3/3なので,逆にρ=3M/(4πRS3)です。

 

したがって,(r)={3M/(4πRS3)}[{(1-2M/RS)1/2(1-2Mr2/RS3)1/2}/{(1-2Mr2/RS3)1/23(1-2M/RS)1/2}]を得ます。

ところで,TOV方程式は,前の記事で時空連続体を完全流体と仮定し,一般の重力場の方程式μν(1/2)δμνR=8πTμν右辺のエネルギー運動量テンソルμνが自然単位でμν(P+ρ)uμν-Pgμν (uμ≡dxμ/dτ)なる形に表現される場合,

 

しかも,球対称である条件u0=dx0/dτ=dt/dτ=exp(-ψ),ukdxk/dτ=0 が満たされる場合の定常状態での解に対して得られたものです。

そして,一般にエネルギー運動量テンソルの保存則を示す条件式μν0 は,μν(-g)-1/2[∂{(-g)1/2μν}/∂xν]-(1/2)(∂gνλ/∂xμ)Tνλ0 と変形できます。

 

00ρ,T112233=-Pなので,それらは∂ρ/∂t+(ρ+P)(λd/2+2 d/ )=0 ,∂ψ/∂r=-(∂P/∂r)/(ρ+P),∂P/∂θ=∂P/∂φ=0 の4つの式に帰することは既に見ました。

定常な星の内部解を求めている今の場合は,P=P(r)ですから,∂P/∂θ=∂P/∂φ=0 は最初から満たされていて,ρ=一定であり,λd/2= d0 です。

 

そこで,∂ρ/∂t+(ρ+P)(λd/2+2 d/ )=0 も自明ですから,意味のある式は,∂ψ/∂r=-(∂P/∂r)/(ρ+P)のみですが,これは今の場合にはdψ/dr=-(dP/dr)/(ρ+P)です。

右辺にTOV方程式:-dP/dr=4πr3(ρ/3)(ρ+P)/{r2(1-8πρr2/3)}を代入すると,dψ/dr=4πr(ρ/3)/(1-8πρr2/3)ですから,ψ(r)=∫[4πr(ρ/3)/(1-8πρr2/3)]dr=4π∫rdr(P+ρ/3)/(1-2Mr2/RS3)]を得ます。

そこで,u≡(1-2Mr2/RS3)1/2,{S3/(2M)}udu=-rdrと変数rをuに置換し,(P+ρ)/(3P+ρ)=A/(1-2Mr2/RS3)1/2,A=(1-2M/RS)1/2から,(P+ρ)/(3P+ρ)=1/3+(2ρ/9)/(P+ρ/3)=A/uによってP+ρ/3=(2ρ/3){u/(3A-u)}とします。

 

ρ=3M/(4πRS3)より,ψ(r)=4π∫rdr(P+ρ/3)/(1-2Mr2/RS3)=∫du/(u-3A)=ln|u-3A|+定数と積分されます。

したがって,exp(2ψ)=B[3(1-2M/RS)1/2(1-2Mr2/RS3)1/2]2(Bは積分定数)ですが,r=RSでシュヴァルツシルトの外部解exp(2ψ)=1-2M/RSに一致することを要求すれば,B=1/4を得ます。

 

すなわち,exp(2ψ)=(1/4)[3(1-2M/RS)1/2(1-2Mr2/RS3)1/2]2exp(-