重力崩壊とブラックホール(1)

　今日は,すぐ前に記述した重力場の球対称時空解の続きとして,星の重力崩壊の初等的モデルについて計算をしてみます。

なお,一般相対論とは直接関係しない星の構造や進化については,2006年11/29「星の重力平衡とエネルギーの流れ」から,続く11/30の「星の構造(ポリトロープガス球とエムデン解)」,12/1「星の進化とチャンドラセカール質量」のシリーズで書いたことがあります。

　これらは,2006年11/25,26の「高密度状態での陽子の中性子化(1)」,「高密度状態での陽子の中性子化(2)」から続いて,11/27「電離平衡のサハの式」,「高温状態での電子対発生」というプラズマ状態での核反応など,どちらかというと微視的メカニズムに主眼を置いていたシリーズの続きとして書いたものです。

　巨視的現象である重力崩壊についての記事は2006年８/25の「ブラックホールの形成時間」や,2008年６/19の「重力崩壊によるブラックホール形成についての小考察」程度であまり詳細な計算を記述していませんでした。

　そこで,今回は重力崩壊について,より詳細に考察,計算してみます。

　まず,後の便宜上,一般相対論での固有長さ,固有時,固有体積の概念を共動座標系に伴なう量として明確に定義しておきます。

　一般に,任意の準拠系:Ｒにおける準拠点の座標をｘ^μとし,同じ点の局所慣性系:Ｉにおける座標をＸ^μとすると,ｄｓ²＝ｇ_μνｄｘ^μｄｘ^ν＝η_μνｄＸ^μｄＸ^νであり,ｄＸ^μ＝(∂Ｘ^μ/∂ｘ^ν)ｄｘ^νです。

　そこで,計量テンソルについて,ｇ_μν＝(∂Ｘ^ρ/∂ｘ^μ)(∂Ｘ^σ/∂ｘ^ν)η_ρσなる変換式が成立します。

　また,Ｒにおける準拠点の局所慣性系:Ｉにおける速度をｖとすると,ｖ^k/ｃ＝ｄＸ^k/ｄＸ⁰＝(∂Ｘ^k/∂ｘ⁰)/(∂Ｘ⁰/∂ｘ⁰)と書けます。(Ｒに固定された準拠点なのでｄｘ^k＝0 )

Ｒにおいて空間的に近接した任意の準拠点Ａ,Ｂを取り,その空間座標をそれぞれ,ｘ^k,ｘ^k＋ｄｘ^kとします。

そして,Ａが静止しＢも近似的に静止している局所慣性系Ｉ⁰を取って,そこでのＡの局所座標をＸ^μとします。

このとき,Ｉ⁰におけるＡの速度ｖについてはｖ^k/ｃ＝0 なので,∂Ｘ^k/∂ｘ⁰＝0 が成立しています。

そこで,Ｉ⁰でのある測定時刻におけるＡ,Ｂの同時的な空間距離は,ｄＸ^k＝(∂Ｘ^k/∂ｘ^ν)ｄｘ^ν＝(∂Ｘ^k/∂ｘ^l)ｄｘ^lで与えられます。

そこで,この同時刻での３次元ベクトル(ｄＸ^k)の空間的な長さをｄσと書いて固有長さと呼びます。

つまり,ｄσ²≡Σ_k=1³(ｄＸ^k)²＝γ_ijｄｘⁱｄｘ^j,γ_ij≡(∂Ｘ^k/∂ｘⁱ)(∂Ｘ^k/∂ｘ^j)＝(∂Ｘ⁰/∂ｘⁱ)(∂Ｘ⁰/∂ｘ^j)－ｇ_ijと定義します。

係数,γ_ijは空間計量テンソルと呼ばれます。

ところで,ｇ_μ0＝(∂Ｘ⁰/∂ｘ^μ)(∂Ｘ⁰/∂ｘ⁰)－(∂Ｘ^k/∂ｘ^μ)(∂Ｘ^k/∂ｘ⁰)＝(∂Ｘ⁰/∂ｘ^μ)(∂Ｘ⁰/∂ｘ⁰)より,ｇ_i0＝(∂Ｘ⁰/∂ｘⁱ)(∂Ｘ⁰/∂ｘ⁰),(∂Ｘ⁰/∂ｘ⁰)＝(ｇ₀₀)^1/2です。

それ故,γ_i≡(∂Ｘ⁰/∂ｘⁱ)＝ｇ_i0/(ｇ₀₀)^1/2と定義すれば,γ_ij＝－ｇ_ij＋γ_iγ_j＝－ｇ_ij＋ｇ_i0ｇ_j0/ｇ₀₀と書けます。

よって,一般に－γ_ijは計量テンソルｇ_μνの空間部分ｇ_ijに等しくはなくて,－γ_ij＝ｇ_ijが成立するのはｇ_i0＝0,あるいはγ_i＝0 (ｉ＝1,2,3)の場合のみです。

そして,準拠系内に与えられた準拠点Ａに静止する標準時計Ｃにおいては,ｄｘ^k＝0 なので,その描く世界線はｄｓ²＝ｇ₀₀(ｄｘ⁰)²で与えられます。

ｔ＝ｘ⁰/ｃはＡに置いた座標時計の示す時間ですが,Ｃの示す時間変動はｄｓ²＝ｃ²ｄτ²を満たす固有時τで与えられます。

これはＣに対して瞬間静止する慣性系Ｉ⁰での時空座標をＸ^(0)μで表現するとき,ｄｓ²はＲとＩ⁰のどちらの座標系から見ても不変であり,ｄＸ^(0)k＝0,ｄＸ⁽⁰⁾⁰＝ｃＴ⁽⁰⁾なので,ｄｓ²＝ｃ²ｄτ²＝ｃ²(ｄＴ⁽⁰⁾)²ですからｄＴ⁽⁰⁾＝ｄτですが,時間Ｔ⁽⁰⁾はＩ⁰中に静止して時を刻む標準時計の時間だからです。

そして,ｄｓ²＝ｇ₀₀(ｄｘ⁰)²はｄτ＝(ｇ₀₀)^1/2ｄｔを意味するので,(ｇ₀₀)^1/2は標準時計Ｃ(共動座標系)と座標時計の時間の進む速さの比を示しています。

さらに,γ≡det(γ_ij)とすると,ｇ_ij＝－γ_ij＋ｇ_i0ｇ_j0/ｇ₀₀によって,γ＝－ｇ/ｇ₀₀;ｇ≡det(ｇ_μν)が得られます。

共動座標系での４次元不変体積を示す等式ｄΣ＝ｃｄＴｄＸｄＹｄＺ＝det(∂Ｘ^μ/∂ｘ^ν)(Π_ν＝0³ｄｘ^ν)＝(－ｇ)^1/2(Π_ν＝0³ｄｘ^ν)を,固有時間ｃｄτ＝(ｇ₀₀)^1/2ｄｘ⁰＝ｃｄＴで割ったものを３次元の固有体積と呼び,ｄＶ_p＝γ^1/2ｄｘ¹ｄｘ²ｄｘ³と書きます。

これらを用いて,さらに,星の質量と関連した重力質量と固有質量の概念を述べておきましょう。

共動座標系で星の中心を原点とする球対称時空の計量はｃ＝Ｇ＝1の自然単位ではｄｓ²＝exp(2ψ)ｄｔ²－exp(λ)ｄｒ²－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)です。

上述の固有体積の表現におけるγ^1/2はγ^1/2＝exp(λ/2)ｒ²sinθで与えられるので動径ｒとｒ＋ｄｒに挟まれた球殻の固有体積は,ｄＶ_p＝exp(λ/2)ｒ²ｄｒ∫sinθｄθｄΦ＝4πｒ²exp(λ/2)ｄｒです。

そこで,星の中の動径ｒの位置での核子の数密度をｎ_N(ｒ)とすると,全核子数は共動座標系では固有体積で積分して,Ｎ_N＝4π∫₀^Rｎ_N(ｒ)exp(λ/2)ｒ²ｄｒ＝4π∫₀^Rｎ_N(ｒ){1－2ｍ(ｒ)/ｒ}^-1/2ｒ²ｄｒです。

そこで核子の質量をｍ_Nとし,それ以外の微小質量の電子などの質量を無視すれば,星の密度はρ_m(ｒ)＝ｍ_Nｎ_N(ｒ)で与えられ,密度と固有体積の積の積分で与えられる星の質量をＭ_m＝∫₀^Rρ_m(ｒ)ｄＶ_p＝4π∫₀^Rρ_m(ｒ){1－2ｍ(ｒ)/ｒ}^-1/2ｒ²ｄｒと書いて,これを星の静止固有質量と呼びます。

　さらに,(静止エネルギー)＋(運動エネルギー＋相互作用エネルギー)の全エネルギーによる密度をρ(ｒ)≡ρ_m(ｒ)＋ρ_I(ｒ)と書けば,ρ_m(ｒ)のみの寄与による質量Ｍ_mは,ρ_I(ｒ)をも加えた効果を加えた質量Ｍ_p＝∫₀^Rρ(ｒ)ｄＶ_p＝4π∫₀^Rρ(ｒ){1－2ｍ(ｒ)/ｒ}^-1/2ｒ²ｄｒに変わります。

　このＭ_pを星の固有質量と呼びます。これに対し,密度と座標系に依存する通常の体積の積の積分で与えられる質量Ｍ≡4π∫₀^Rρ(ｒ)ｒ²ｄｒ＝ｍ(Ｒ)を重力質量といいます。

　ニュートンの万有引力の近似では,普通の単位でｍ(ｒ)/ｒ→Ｇｍ(ｒ)/(ｃ²ｒ)＜＜1,ρ_m(ｒ)＞＞ρ_I(ｒ)なので,Ｍ≡4π∫₀^Rρ(ｒ)ｒ²ｄｒ＝∫₀^R{ρ_m(ｒ)＋ρ_I(ｒ)}exp(－λ/2)ｄＶ_p＝∫₀^R{ρ_m(ｒ)＋ρ_I(ｒ)}{1－2ｍ(ｒ)/ｒ}^1/2ｄＶ_p～∫₀^Rρ_m(ｒ)ｄＶ_p＋∫₀^Rρ_I(ｒ)ｄＶ_p－∫₀^R{ρ_m(ｒ)ｍ(ｒ)/ｒ}ｄＶ_p＝Ｍ_m＋(Ｕ_I－Ω)です。

　ここにΩ≡∫₀^R{ρ_m(ｒ)ｍ(ｒ)/ｒ}ｄＶ_pは万有引力による結合エネルギー,Ｕ_I≡∫₀^Rρ_I(ｒ)ｄＶ_pは内部エネルギーです。通常の単位ならＭ＝Ｍ_m＋(Ｕ_I－Ω)/ｃ²,Ω≡Ｇ∫₀^R{ρ_m(ｒ)ｍ(ｒ)/ｒ}ｄＶ_p,Ｕ_I≡ｃ²∫₀^Rρ_I(ｒ)ｄＶ_pです。

　一方,Ｍ_p＝∫₀^Rρ(ｒ)ｄＶ_p＝Ｍ_m＋Ｕ_I/ｃ²ですから,重力結合による質量欠損はΔＭ＝Ｍ_p－Ｍ＝Ω/ｃ²です。

　中性子星のモデルで計算すると,多くの場合Ｍ_p＞Ｍ_m＞Ｍですが,重力Ωが十分大きいとＭ_p＞Ｍ＞Ｍ_mとなります。

　これはΩ＞Ｕ_Iが実現したためであろうと解釈されますから,重力だけでなく,内部エネルギーＵ_Iもまた現実に星の質量に寄与していることがわかります。

特に圧力:Ｐ＝0 の物質をダスト物質と呼びますが,以下では星が球状のダスト物質でできている場合の重力崩壊を考察します。

また,時空の計量はｄｓ²＝exp(2ψ)ｄｔ²－exp(λ)ｄｒ²－Ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)ですが,Ｒ＝ｒと置けるとは限らない一般の場合を考えます。

さて,以前の記事で既述したことを用いれば次のようになります。

共動座標系に乗った観測者の固有時間τはｄτ²＝exp(2ψ)ｄｔ²,つまりｄτ＝exp(ψ)ｄｔで与えられ,それ故τによる偏微分をＤ_τなる記号で表わすことにすれば,例えばＲ＝Ｒ(ｒ,ｔ)のτによる偏微分はＤ_τＲと書けますが,さらにＤ_τＲをＵと表記すると,Ｕ≡Ｄ_τＲ≡∂Ｒ/∂τ＝exp(－ψ)Ｒ^dです。

ただし時間微分をＲ^d≡∂Ｒ/∂ｔとしています。

そして,Ｕをさらにｒで偏微分するとＵ'＝exp(－ψ)(Ｒ'^d－ψ'Ｒ^d)＝exp(－ψ)Ｒ'^d－ψ'Ｕとなります。

ただし動径微分をＲ'≡∂Ｒ/∂ｒetc.と表記しています。

そして,Ｄ_τlnＲ'＝ exp(－ψ)Ｒ'^d/Ｒ'＝Ｕ'/Ｒ'＋Ｕψ'/Ｒ'によってＤ_τlnＲ'＝(∂Ｕ/∂Ｒ )_t＋Ｕ(∂ψ/∂Ｒ )_tです。

exp(λ/2)＝Ｒ'(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )^-1/2より,λ/2＝lnＲ '－(1/2)ln(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ ),Ｄ_τλ＝2Ｄ_τlnＲ'－Ｄ_τln(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ ),またＤ_τλ＝2Ｕ'/Ｒ'＝2(∂Ｕ/∂Ｒ )_tです。

故に,2(∂Ｕ/∂Ｒ )_t＝2(∂Ｕ/∂Ｒ )_t＋2Ｕ(∂ψ/∂Ｒ )_t－Ｄ_τln(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )となります。すなわち,Ｄ_τln(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )＝2Ｕ(∂ψ/∂Ｒ )_tです。

そこで,エネルギー運動量テンソルの保存則を示す条件式Ｔ_μ^ν_;ν＝0 の１つ(∂ψ/∂ｒ)_t＝－(∂Ｐ/∂ｒ)_t/(ρ＋Ｐ)を代入することにより,実際に解ける形の運動方程式Ｄ_τln(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )^1/2＝Ｕ(∂ψ/∂Ｒ)_t＝－Ｕ(∂Ｐ/∂Ｒ)_t/(ρ＋Ｐ)が得られます。

今は星がダスト球であって,Ｐ＝0 なので,1＋Ｕ²－2ｍ(ｒ,ｔ)/Ｒ ＝(時間的に一定)となり,また(∂ψ/∂ｒ)_t＝0 なのでψは空間座標ｒに依存しません。

ψがｔだけの関数なので,共動座標系の固有時間:ｄτ＝exp(ψ)ｄｔで与えられるτを改めて座標時間ｔと考えます。

すると,Ｄ_τはＤ_t＝∂/∂ｔを意味するので,上述のＵ＝Ｄ_τＲ ＝exp(－ψ)Ｒ^dはＵ＝Ｒ^dと書けます。

そこで,1＋Ｕ²－2ｍ(ｒ,ｔ)/Ｒ ＝(時間的に一定)の左辺のｍ(ｒ,ｔ)が時間ｔに独立∂ｍ/∂ｔ＝0 でｍ(ｒ,ｔ)＝ｍ(ｒ)と表現できるなら,(1/2)(Ｒ ^d)²－ｍ(ｒ)/Ｒ＝(一定)となって,これはニュートン力学の万有引力の中での自由落下の際の(力学的エネルギー)＝(運動エネルギー＋位置エネルギー)の保存の式と同じになります。

そして,実際にＤ_tｍ＝∂ｍ/∂ｔ＝0 を示すこともできます。

まず,Ｄ_tln(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ)^1/2＝－Ｕ(∂Ｐ/∂Ｒ)_t/(ρ＋Ｐ)から,(1/2)Ｄ_tln(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ)＝(ＵＤ_tＵ＋ｍＤ_tＲ/Ｒ²－Ｄ_tｍ/Ｒ)/(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ)＝－Ｕ(∂Ｐ/∂Ｒ)_t/(ρ＋Ｐ)です。

これに,以前の記事で得られた運動方程式Ｄ_tＵ＝－{(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ)/(ρ＋Ｐ)}(∂Ｐ/∂Ｒ)_t－(ｍ＋4πＲ³Ｐ)/Ｒ²}を代入すると,－Ｕ(∂Ｐ/∂Ｒ)_t/(ρ＋Ｐ)＋(ｍＤ_tＲ/Ｒ²－ｍＵ/Ｒ²－4πＲＰＵ－Ｄ_tｍ/Ｒ)/(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ)＝－Ｕ(∂Ｐ/∂Ｒ)_t/(ρ＋Ｐ)を得ます。

したがって,Ｄ_tｍ＝－4πＲ²ＰＵですから,Ｐ＝0 のときは確かに,Ｄ_tｍ＝∂ｍ/∂ｔ＝0 が成立します。

　さて,運動方程式(1/2)(Ｒ^d)²－ｍ(ｒ)/Ｒ＝(一定)の右辺の一定値を{Γ(ｒ)²－1}/2 と書いて,(Ｒ^d)²－2ｍ(ｒ)/Ｒ＝Γ(ｒ)²－1とします。

　するとexp(λ/2)＝(∂Ｒ/∂ｒ)(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ)^-1/2,およびＵ＝Ｒ^dから,exp(λ)＝(∂Ｒ/∂ｒ)²/Γ(ｒ)²と書けます。

　これによって,Γ(ｒ)²＞0 なる条件が得られます。

　そして,時空計量はｄｓ²＝ｄｔ²－{Ｒ'/Γ(ｒ)}²ｄｒ²－Ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)と表わされます。

方程式(Ｒ^d)²－2ｍ(ｒ)/Ｒ＝Γ(ｒ)²－1の重力崩壊:Ｒ^d＜0 に対応する解は各ｒに対して,∫ｄＲ[Ｒ/{2ｍ＋(Γ²－1)Ｒ}]^1/2＝－∫ｄｔで与えられます。

ここでｒ＝(一定)では,Ｒ^d＝(∂Ｒ/∂ｔ)_rであり,ｍ(ｒ)もΓ(ｒ)も時間的に一定の定数と考えることができるとしています。

そこで,Γ²－1＞0 の場合はＲ＝0 になる時刻をｔ＝ｔ₀ とおけば,(Γ²－1)^-1/2∫₀^ＲｄＲ[Ｒ/{Ｒ＋2ｍ/(Γ²－1)}]^1/2＝ｔ－ｔ₀です。

積分を実行すると,最終的な形としてｔ₀(ｒ)－ｔ＝(Γ²－1)^-1{2ｍＲ＋(Γ²－1)Ｒ²}^1/2－2ｍ(Γ²－1)^-3/2sinh^-1[{(Γ²－1)Ｒ/(2ｍ)}^1/2],sinh^-1(ｘ)＝ln{ｘ＋(ｘ－1)^1/2}が得られます。

そこで,Ｒ → 0 のとき,{2ｍＲ＋(Γ²－1)Ｒ²}^1/2 ～ (2ｍＲ)^1/2＋(1/2)(2ｍＲ)^1/2(Γ²－1)Ｒ/(2ｍ),すなわちｔ₀(ｒ)－ｔ～ (2/3)(2ｍ)^1/2Ｒ^3/2となることがわかります。

また,Γ²－1＜0 の場合はｔ₀(ｒ)－ｔ＝(1－Γ²)^-1{2ｍＲ＋(1－Γ²)Ｒ²}^1/2＋2ｍ(1－Γ²)^-3/2sin^-1[{(1－Γ²)Ｒ/(2ｍ)}^1/2]です。

このときもＲ → 0で,ｔ₀(ｒ)－ｔ～ (2/3)(2ｍ)^1/2Ｒ^3/2です。

そしてΓ²－1＝0 の場合には,Ｒ^d＝－(2ｍ/Ｒ)^1/2よりＲ＝(3/2)^2/3(2ｍ)^1/3{ｔ₀(ｒ)－ｔ}^2/3が得られます。

以上から,ｔ→ｔ₀(ｒ)(Ｒ → 0)の極限では,Γ²の値に関わらず,Ｒ ～(3/2)^2/3(2ｍ)^1/3{ｔ₀(ｒ)－ｔ}^2/3となることがわかります。

この最後の表式から,ｔ→ｔ₀(ｒ)においてexp(λ/2)＝(∂Ｒ/∂ｒ)Γ^-1 ～ 6^-1/3ｍ'ｍ^-2/3Γ^-1(ｔ₀－ｔ)^2/3＋(2/3)^1/3(2ｍ)^1/3ｔ₀'Γ^-1(ｔ₀－ｔ)^-1/3により,exp(λ/2) ～ (2/3)^1/3(2ｍ)^1/3ｔ₀'Γ^-1(ｔ₀－ｔ)^-1/3となります。

そこで,exp(λ/2)ｄｒに比例した動径方向の固有距離は,ｔ→ｔ₀(ｒ)では無限大に発散し,一方,固有体積はＶ_p∝∫Ｒ²exp(λ/2)ｄｒ∝∫{ｔ₀(ｒ)－ｔ}ｄｒなので,ゼロに近づきます。

また,(∂ｍ/∂Ｒ)_t＝4πＲ²ρよりρ＝ｍ'/(4πＲ²Ｒ')ですが,ｔ→ｔ₀(ｒ)では,Ｒ ～ (3/2)^2/3(2ｍ)^1/3{ｔ₀(ｒ)－ｔ}^2/3なので,結局ρはρ∝ (ｍ'/ｍ){ｔ₀(ｒ)－ｔ}^-1のように挙動します。

そして,ｍ＝ｍ(ｒ)により,(∂ｍ/∂Ｒ)_t＝4πＲ²ρはｄｍ/ｄｒ＝4πＲ²ρ(∂Ｒ/∂ｒ)_tと書けます。

もしも一様密度の星ならρ＝ρ(ｔ),かつＰ＝0 なので,重力場の方程式Ｒ_μ^ν－(1/2)δ_μ^νＲ＝8πＴ_μ^νの右辺:8πＴ_μ^νは全てｔだけの関数になるためＲ(ｒ,ｔ)≡ａ(ｔ)ｇ(ｒ)と変数分離が可能で,特にｇ(ｒ)≡ｒ,すなわちＲ(ｒ,ｔ)≡ａ(ｔ)ｒなる解も可能です。

実際,重力場の方程式の成分で自明でないものは{λ^dＲ^d/Ｒ＋(Ｒ^d/Ｒ)²}exp(－2ψ)＋{－2Ｒ"/Ｒ－(Ｒ'/Ｒ)²＋λ'Ｒ'/Ｒ}exp(－λ)＋1/Ｒ²＝8πρ,{2Ｒ^'d/Ｒ－λ^dＲ'/Ｒ－2ψ'Ｒ^d/Ｒ}exp(－λ)＝0 ,{2Ｒ^2d/Ｒ＋(Ｒ^d/Ｒ)²－2ψ^dＲ^d/Ｒ}exp(－2ψ)＋{－(Ｒ'/Ｒ)²－2ψ'Ｒ'/Ｒ}exp(－λ)＋1/Ｒ²＝－8πＰ,{λ^2d/2＋(λ^d/2)²＋Ｒ^2d/Ｒ－λ^dψ^d/2－ψ^dＲ^d/Ｒ＋λ^dＲ^d/(2Ｒ)}exp(－2ψ)＋{－ψ"－ψ'²－Ｒ"/Ｒ－ψ'(Ｒ'/Ｒ－λ'/2)＋λ'Ｒ'/(2Ｒ)}exp(－λ)＝－8πＰの４つだけです。

これは,今の場合,Ｐ＝0,ρ＝ρ(ｔ),ψ≡0 なので,これらを代入すれば{λ^dＲ^d/Ｒ＋(Ｒ^d/Ｒ)²}＋{－2Ｒ"/Ｒ－(Ｒ'/Ｒ)²＋λ'Ｒ'/Ｒ}exp(－λ)＋1/Ｒ²＝8πρ,{2Ｒ'^d/Ｒ－λ^dＲ'/Ｒ}exp(－λ)＝0 ,{2Ｒ^2d/Ｒ＋(Ｒ^d/Ｒ)²}－(Ｒ'/Ｒ)²exp(－λ)＋1/Ｒ²＝0 ,{λ^2d/2＋(λ^d/2)²＋Ｒ^2d/Ｒ＋λ^dＲ^d/(2Ｒ)}＋{－Ｒ"/Ｒ＋λ'Ｒ'/(2Ｒ)}exp(－λ)＝0 と書けます。

そこでＲ(ｒ,ｔ)≡ａ(ｔ)ｇ(ｒ)と置くことができれば,これらはλ^dａ^d/ａ＋(ａ^d/ａ)²＋{－2ｇ"/ｇ－(ｇ'/ｇ)²＋λ'ｇ'/ｇ}exp(－λ)＋1/(ａ²ｇ²)＝8πρ(ｔ),{2ａ^dｇ'/(ａｇ)－λ^dｇ'/ｇ}exp(－λ)＝0 ,2ａ^2d/ａ＋(ａ^d/ａ)²－(ｇ'/ｇ)²exp(－λ)＋1/(ａ²ｇ²)＝0 ,λ^2d/2＋(λ^d/2)²＋ａ^2d/ａ＋λ^dａ^d/(2ａ)＋{－ｇ"/ｇ＋λ'ｇ'/(2ｇ)}exp(－λ)＝0 なる連立方程式になります。

２番目の方程式{2ａ^dｇ'/(ａｇ)－λ^dｇ'/ｇ}exp(－λ)＝0 からｇ'≠0 ならλ^d＝2ａ^d/ａとなります。

そこでλ^2d＝2ａ^2d/ａ－2(ａ^d/ａ)²です。

これらを残りの式に代入すると,3(ａ^d/ａ)²＋{－2ｇ"/ｇ－(ｇ'/ｇ)²＋λ'ｇ'/ｇ}exp(－λ)＋1/(ａ²ｇ²)＝8πρ(ｔ),2ａ^2d/ａ＋(ａ^d/ａ)²－(ｇ'/ｇ)²exp(－λ)＋1/(ａ²ｇ²)＝0 ,2ａ^2d/ａ＋(ａ^d/ａ)²＋{－ｇ"/ｇ＋λ'ｇ'/(2ｇ)}exp(－λ)＝0 となります。

得られた３つのうちの２番目の式 2ａ^2d/ａ＋(ａ^d/ａ)²－(ｇ'/ｇ)²exp(－λ)＋1/(ａ²ｇ²)＝0 から１番目の式 3(ａ^d/ａ)²＋{－2ｇ"/ｇ－(ｇ'/ｇ)²＋λ'ｇ'/ｇ}exp(－λ)＋1/(ａ²ｇ²)＝8πρを引いて２で割ると,ａ^2d/ａ－(ａ^d/ａ)²＋{ｇ"/ｇ－λ'ｇ'/(2ｇ)}exp(－λ)＝－4πρです。

また,３番目の式は,2ａ^2d/ａ＋(ａ^d/ａ)²－{ｇ"/ｇ－λ'ｇ'/(2ｇ)}exp(－λ)＝0 です。

これらを辺々加えると,3ａ^2d/ａ＝－4πρ,あるいはａ^2d＝－4πρａ/3となります。

よって,ｄ/ｄｔ{(ａ^d)²＋4πρａ²/3}＝0 ,すなわち(ａ^d)²＋4πρａ²/3＝const.が得られます。

そこで,ρ＝ρ(ｔ)の場合には,実際にＲ(ｒ,ｔ)≡ａ(ｔ)ｇ(ｒ)なる仮定からｇ(ｒ)とは独立にａ(ｔ)を解くことができます。

またｇ'≡0 の場合には,Ｒ(ｒ,ｔ)はａ(ｔ)の定数倍ですから明らかに変数分離可能です。

したがって,いずれにしても一様密度の星ρ＝ρ(ｔ)の場合にはＲ(ｒ,ｔ)≡ａ(ｔ)ｇ(ｒ)なる変数分離解が可能なことが示されました。

しかし,(ａ^d)²＋4πρａ²/3＝(定数)なる表式では,両辺にｇ(ｒ)²を掛けたとき,(Ｒ^d)²＋ｍ(ｒ)/Ｒ＝(定数)ｇ(ｒ)²となり,先の一般的に成立する式(Ｒ^d)²－2ｍ(ｒ)/Ｒ＝Γ(ｒ)²－1とは係数や符号が微妙に合致しないような気がするので,どこかに間違いがあるかもしれません。

特に,ｇ(ｒ)≡ｒの特別な場合を仮定しても,ａ^2d＝－4πρａ/3,(ａ^d)²＋4πρａ²/3＝(定数)が成立することに変わりはなく,例えば2ａ^2d/ａ＋(ａ^d/ａ)²－(ｇ'/ｇ)²exp(－λ)＋1/(ａ²ｇ²)＝0 は(ｇ'/ｇ)²exp(－λ)－1/(ａ²ｇ²)＝－4πρ(ｔ)を意味します。

これにｇ＝ｒ,ｇ'＝1を代入すると(1/ｒ²){exp(－λ)－1/ａ²}＝－4πρ(ｔ)となり,これとａ^2d＝－4πρａ/3,λ^d＝2ａ^d/ａを連立させたａ＝ａ(ｔ)を未知関数とする方程式は確かに解を持ちますから,Ｒ(ｒ,ｔ)≡ａ(ｔ)ｒなる形の解も可能です。

Ｒ(ｒ,ｔ)≡ａ(ｔ)ｒなる形で,ａ(0)＝1,つまりＲ(ｒ,0)＝ｒの解では,ｍの定義ｍ(ｒ,ｔ)＝∫₀^Ｒ 4πρξ²ｄξにおいて,一様密度ρ＝ρ(ｔ)により,ｍ(ｒ,ｔ)＝4πρＲ³/3＝4πρ(ｔ)ａ(ｔ)³ｒ³/3ですが,左辺は時間に無関係であって,ｍ(ｒ,ｔ)＝ｍ(ｒ)と書けますから,ρ(ｔ)ａ(ｔ)³＝ρ(0)(一定)となります。

このとき,一般的な運動方程式(Ｒ^d)²－2ｍ(ｒ)/Ｒ＝Γ(ｒ)²－1から,Γ(ｒ)²＝1＋(ａ^d)²ｒ²－8πρ(0)ｒ²/(3ａ)＝1＋ｒ²{(ａ^d)²－8πρ(0)/(3ａ)}となりますが,∂Γ(ｒ)²/∂ｔ＝0 なので,(ａ^d)²－8πρ(0)/(3ａ)＝－ｋ＝一定,Γ(ｒ)²＝1－ｋｒ²と書くことができます。

それ故,計量ｄｓ²＝ｄｔ²－{Ｒ '/Γ(ｒ)}²ｄｒ²－Ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)はｄｓ²＝ｄｔ²－ａ(ｔ)²{ｄｒ²/(1－ｋｒ²)－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)}となって,一様等方宇宙モデルのロバートソン・ウォーカー計量(Robertson-Walker metric)と同じ形をしています。

しかし,ロバートソン・ウォーカー計量ではａ(ｔ)は宇宙の空間的規模を示すパラメータで,膨張宇宙の初期条件ａ(0)＝0 と,膨張の境界条件ａ^d＞0 を持つ場合の解であり,ｒの変域も違っています。

一方,今の場合,ａ(ｔ)は星の半径Ｒに対しＲ＝ａ(ｔ)ｒで与えられるパラメータであって,重力崩壊の初期条件ａ(0)＝1と収縮の境界条件ａ^d＜0 に対応しています。

そして,(ａ^d)²－8πρ(0)/(3ａ)＝－ｋは初等的に解けます。ａ^d(0)＝0 なる初期条件を与えると,これはｋ＝8πρ(0)/3を意味します。

そして重力崩壊の初期条件ａ(0)＝1,ａ^d(0)＝0と収縮の境界条件ａ^d＜0 を満たす解はａ^d＝－{ｋ(1/ａ－1)}^1/2より,∫ｄａ[ａ/{ｋ(1－ａ)}]^1/2＝－∫ｄｔです。

変数置換によって積分を実行すると,解は結局ｔ＝(η＋sinη)/(2ｋ^1/2),ａ＝(1/2)(1＋cosη)＝cos²(η/2)となります。

これはｔ＝0 でη＝0 によってａ(0)＝1を満足していて,η＝πではａ(0)＝0 となるので,η＝πに対応する時刻をｔ＝ＴとするとＴ＝π/(2ｋ^1/2)＝(π/2)[3/{8πρ(0)}]^1/2です。

つまり,ｔ＝0 で静止していた球状の一様密度のガス球が,有限時間Ｔの後には中心の１点に崩壊することを示していると思われます。

今日は一応,これで中断します。

ここまでの話は,星の内部各点に固定された"共動座標の時間＝固有時間"をｔとして,これを中心とした見方をしてきましたが,次回は遠方の観測者から見た重力崩壊現象と,その観測者の座標系の時間などについて考察する予定です。

例えば光子に固定した質量のない仮想標準時計は,その光子と共にたとえ50光年離れた星で反射されて100年後に帰ってきても,全く時を刻まないはずですから,ある意味で高速物体に固定された"共動座標の時間＝固有時間"など実際の観測さえむずかしいような量には,物理としてどの程度興味を覚えるかは私自身も疑問ですね。

参考文献：佐藤文隆,原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店),メラー著「相対性理論」(みすず書房)

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　http://www.rakuten.co.jp/trs-kenko-land/　 健康関連商品の店「ＴＲＳ健康ランド」－,黒ウコン,ＳＣＳ(洗浄剤)などの専売店  ←　この店は私TOSHIが店長をしています。

http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン！メディエーター巣鴨店」

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。 

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