球対称時空解(シュヴァルツシルト解)の導出(1)

　覚書きとして,アインシュタインの重力場の方程式の真空中での球対称解であるシュヴァルツシルト解を具体的に導出する過程もブログに残しておきたいと思ったので記事にします。(検索でヒットしやすいように,日本語表記ではシュワルツシルト解,あるいはシュバルツシルト解(schwartzschild))とも言われることを補記しておきます。) 

　まずは,重力場の方程式を解くために最低限必要と思われる一般相対性理論の基本的知見をまとめておくことから始めます。

時空上の各点Ｐ(ｘ);ｘ＝ｘ^μ＝(ｘ⁰,ｘ)＝(ｃｔ,ｘ,ｙ,ｚ)において,これと近接した点Ｑ(ｘ＋ｄｘ)；ｘ＋ｄｘ＝ｘ^μ＋ｄｘ^μ＝(ｘ⁰＋ｄｘ⁰,ｘ＋ｄｘ)との間の"４次元的距離ＰＱ＝計量"の平方ｄｓ²をｄｓ²＝ｇ_μνｄｘ^μｄｘ^νによって与えるｄｘ^μｄｘ^νの係数２階対称共変テンソルｇ_μνを計量テンソルと呼びます。

ここで,無限小の４次元的距離,すなわち計量とは時空点(事象)Ｐの局所近傍を平坦なミンコフスキー計量(Minkowski metric)で表わしたときの座標をＸ^μ＝(Ｘ⁰,Ｘ)＝(ｃＴ,Ｘ,Ｙ,Ｚ)とするとき,ｄｓ²＝ｇ_μνｄｘ^μｄｘ^ν＝η_μνｄＸ^μｄＸ^ν＝(ｄＸ⁰)²－ｄＸ²＝ｃ²ｄＴ²－ｄＸ²－ｄＹ²－ｄＺ²で与えられるスカラー量のことです。

なお,η_μνはη₀₀＝－η₁₁＝－η₂₂＝－η₃₃＝1 以外の非対角成分が全てゼロのミンコフスキー計量テンソルです。また縮約に際してはアインシュタインの規約を使用しています。

特に,ｄｓ²＜0 のときには,座標系の取り方次第で,対象とする２点がｄＴ＝0 の事象,つまり同時刻になることが可能なので,この２点は空間的(space-like)に離れていると言われます。

他方,ｄｓ²＞0 のときには,座標系の取り方次第でｄＸ＝0 (空間的に同じ点)になることが可能なので時間的(time-like)に離れていると言われます。

また,特にｄｓ²＝0 なら光的(light-like)であると言われます。

物理量は一般にテンソル量で与えられますが,以下ではまずテンソルとは何かについて述べます。

ある座標系での４次元座標がｘ^μで与えられる時空点が,別の座標系ではｘ'^μなる４次元座標に変わるというような座標系の一般座標変換は,ｄｘ^μ＝(∂ｘ^μ/∂ｘ'^ν)ｄｘ'^νによって表現することができますが,この時空座標ｘ^μと同じように,Ａ^μ＝(∂ｘ^μ/∂ｘ'^ν)Ａ'^νで変換される量Ａ^μを反変ベクトルと呼び,上添字で表現します。

一方,座標変換に対して全く不変な量をスカラーと呼びます。

例えば,１つのスカラー量をφとすれば上記の一般座標変換に対する変換性は∂φ/∂ｘ^μ＝(∂ｘ'^ν/∂ｘ^μ)(∂φ/∂ｘ'^ν)と書けます。スカラー量の時空座標による微分(∂φ/∂ｘ^μ)と同じように,Ａ_μ＝(∂ｘ'^ν/∂ｘ^μ)Ａ'_νと変換される量(Ａ_μ)を共変ベクトルと呼び下添字で表現します。

そしてテンソルとはＡ_ρτ..^μν.. (ただし,μ,ν,..,ρ,τ,..＝0,1,2,3)なる共変添字と反変添字を持ち,次のような変換性を持つ数全体のことです。

つまり一般座標変換に対してＡ_ρτ..^μνκ..＝(∂ｘ^μ/∂ｘ'^α)(∂ｘ^ν/∂ｘ'^β)(∂ｘ^κ/∂ｘ'^γ)..(∂ｘ'^δ/∂ｘ^ρ)(∂ｘ'^ε/∂ｘ^τ)..Ａ'_δε..^αβγ..なる変換性を持つ数の集合のことです。

スカラー,ベクトルというのは添字が 0 個,１個の特別なテンソルのことです。個々のベクトルは"長さと向きという関係で類別された同値類と呼ばれる集合です。

この集合は,その代表元が高校で初めて学んで以来の我々に馴染み深いベクトル概念と同じく１つの矢印で描写されます。

こうしたベクトルやテンソルが一種の集合であるという描像は,違う座標系から見ると成分は違って見えても,実は成分には関係ない幾何学的実体を指していて,個々の数成分Ａ_ρτ..^μν..は実体を投影した単なるラベルに過ぎない,と考えれば,受け入れやすい概念ではないかと思います。

さらに言えば,普通の空間ベクトルａ,ｂに対して内積(スカラー積)を(ａ,ｂ)と書くと,ａを固定してｂを変数ベクトルｘに変更して,内積を取るという操作をａ(ｘ)≡(ａ,ｘ)なる３次元空間Ｒ³から実数空間Ｒへの写像と考えれば,これは線型写像なのでベクトルａを1つの線型写像と同一視できます。

したがって,個々のベクトルは３次元空間Ｒ³から実数空間Ｒへの線型写像と１対１に対応しており,結局,Ｒ³からＲへの線型写像の全体と同一視することができます。

この３次元空間のベクトルｘに対する線型写像全体は明らかに元々の空間Ｒと同相ですが,これを区別してｘの属する空間Ｒ に双対な空間(dual space)といいます。

そこで,数学的には２階共変テンソルＡ＝(Ａ_μν)をＡ(ｘ,ｙ)≡Ａ^μνｘ^μｙ^νによってＲ^(3,1)×Ｒ^(3,1)から実数空間Ｒへの双線型写像を与える幾何学的実体として定義できます。

したがって,テンソルというのは多様体の上での多重線型写像全体で構成される双対空間の直積空間の元と考えることもできるでしょう。

さて,テンソルのうちで成分が上添字しか持たないものを反変テンソル,下添字しか持たないものを共変テンソルと呼びます。

そして元々の定義の一般のテンソルは混合テンソルとも呼びます。

計量テンソルｇ_μνは先にも述べたように共変テンソルですが,ｇ_μνを４×４正方行列Ｇの成分と見たときの逆行列Ｇ^-1は反変テンソルとなります。

そこで,Ｇ^-1の成分をｇ^μνと書いて反変計量テンソルと呼びます。すなわち,ｇ_μλｇ^λν＝δ_μ^νです。

そして反変ベクトルＡ^μに対してＡ^μ＝ｇ^μλＢ_λを与える共変ベクトルＢ_μを特にＡ_μと表記してＡ^μ＝ｇ^μλＡ_λと書けば,Ａ_μ＝ｇ_μλＡ^λが成立します。

Ａ_μ＝(∂ｘ'^ν/∂ｘ^μ)Ａ'_νにより,∂Ａ_μ/∂ｘ^ρ＝(∂²ｘ'^ν/∂ｘ^ρ∂ｘ^μ)Ａ'_ν＋(∂ｘ'^κ/∂ｘ^ρ)(∂ｘ'^ν/∂ｘ^μ)(∂Ａ'_ν/∂ｘ'^κ)ですから,∂Ａ_μ/∂ｘ^νは２階共変テンソルではありません。

これはｘ^μ→ｘ^μ＋ｄｘ^μに対してｄＡ_μ＝(∂Ａ_μ/∂ｘ^ν)ｄｘ^νが共変ベクトルにならないことと同値です。

そこで,ＤＡ_μ≡(∂Ａ_μ/∂ｘ^ν－Γ^ρ_μνＡ_ρ)ｄｘ^νと形式的に定義してＤＡ_μが共変ベクトルになる,つまりＤＡ_μ＝(∂ｘ'^ν/∂ｘ^μ)ＤＡ'_νが成立するようにΓ^ρ_μνなる係数を決めることができれば,共変でない量であるｄＡ_μの代わりに相対論にとって好都合な共変ベクトル量ＤＡ_μが得られます。

これは,平行移動ｘ^μ→ｘ^μ＋ｄｘ^μに対して,Ａ^μ(ｘ)はＡ^μ(ｘ)→Ａ^μ(ｘ＋ｄｘ)＝Ａ^μ(ｘ)＋ｄＡ_μ,ｄＡ_μ＝(∂Ａ_μ/∂ｘ^ν)ｄｘ^νと変化を受けますが,一般に時空座標のμ軸は曲がっているので,新しい座標点ｘ＋ｄｘにおける新しいμ軸に対するベクトル場Ａ^μの成分は単純にＡ^μ(ｘ)のｘをｘ＋ｄｘに変えたもの,Ａ^μ(ｘ＋ｄｘ)＝Ａ^μ(ｘ)＋ｄＡ_μではないからです。

そこで,共変ベクトル量ＤＡ_μはｘ＋ｄｘにおけるＡ^μの真ののμ軸成分がＡ^μに比例したｄｘの１次の補正を受けたＡ'^μ(ｘ＋ｄｘ)≡Ａ^μ(ｘ)＋ＤＡ_μ＝Ａ^μ(ｘ＋ｄｘ)－Γ^ρ_μνＡ_ρｄｘ^νになるとして定義したものです。

そして,このときの∂Ａ_μ/∂ｘ^ν－Γ^ρ_μνＡ_ρを共変ベクトルＡ_μの共変微分と呼びＡ_μ；νと書きます。つまりＡ_μ；ν≡∂Ａ_μ/∂ｘ^ν－Γ^ρ_μνＡ_ρです。

Ａ_μ；νはテンソルですが,∂Ａ_μ/∂ｘ^νはテンソルではないですから,Γ^ρ_μνＡ_ρもテンソルではありません。

したがって,まだ具体的な正体が不明な係数:Γ^ρ_μνもテンソルではないことがわかります。この係数Γを接続係数と呼びます。

一方,スカラー量Ａ_μＢ^μの座標変換による変化を考えると,これについてはｄ(Ａ_μＢ^μ)＝{∂(Ａ_μＢ^μ)/∂ｘ^ν}ｄｘ^ν＝Ｄ(Ａ_μＢ^μ)と考えることができます。

そこで(ＤＡ_μ)Ｂ^μ＋Ａ_μ(ＤＢ^μ)＝{(∂Ａ_μ/∂ｘ^ν)Ｂ^μ＋Ａ_μ(∂Ｂ^μ/∂ｘ^ν)}ｄｘ^νなる等式からＡ_μ(ＤＢ^μ)＝{Ａ_μ(∂Ｂ^μ/∂ｘ^ν)＋Γ^ρ_μνＡ_ρＢ^μ}ｄｘ^νを得ます。

よって,反変ベクトルＢ^μの共変微分はＤＢ^μ≡(∂Ｂ^μ/∂ｘ^ν＋Γ^μ_ρνＢ^ρ)ｄｘ^ν,およびＢ^μ_；ν≡∂Ｂ^μ/∂ｘ^ν＋Γ^μ_ρνＢ^ρによって定義すればよいことがわかります。

そして,Ａ_μ；νが実際に２階共変テンソルであるためには,Ａ'_μ；ν＝(∂ｘ^ρ/∂ｘ'^μ) (∂ｘ^σ/∂ｘ'^ν)Ａ_ρ；σ,

つまり∂Ａ'_μ/∂ｘ'^ν－Γ'^δ_μνＡ’_δ＝(∂ｘ^ρ/∂ｘ'^μ)(∂ｘ^σ/∂ｘ'^ν)(∂Ａ_ρ/∂ｘ^σ－Γ^ε_ρσＡ_ε)が成立する必要があります。

これから途中計算を省略すると,必要な条件としてΓ'^δ_μν＝(∂ｘ^ρ/∂ｘ'^μ)(∂ｘ^σ/∂ｘ'^ν)(∂ｘ'^δ/∂ｘ^ε)Γ^ε_ρσ＋(∂ｘ'^δ/∂ｘ^ρ)(∂²ｘ^ρ/∂ｘ'^μ∂ｘ'^ν)が得られます。

これは接続係数Γ^ρ_μνがテンソルでないことを陽に示しています。

さらにＡ_μ；νがテンソルなら,Ａ^μ_；ν＝∂Ａ^μ/∂ｘ^ν＋Γ^μ_ρνＡ^ρもテンソルです。

よって反変テンソルと共変テンソルの関係からＡ_μ；ν＝ｇ_μλＡ^λ_；νですから,結局Ａ_μ；ν＝(ｇ_μλＡ^λ)_；ν＝ｇ_μλ；νＡ^λ＋ｇ_μλＡ^λ_；ν＝ｇ_μλ；νＡ^λ＋Ａ_μ；νと書けます。

そこで,ｇ_μλ；νＡ^λ＝0 が任意のベクトルＡ^μに対して常に成立するため,時空のあらゆる点で常にｇ_μλ；ν＝0 が成立することがわかります。

そして,Ｔ^μν≡Ａ^μＢ^νとおくと,Ｔ^μν_;ρ＝Ａ^μ_;ρＢ^ν＋Ａ^μＢ^ν_;ρ,であり,Ｔ_μν≡Ａ_μＢ_νとおくとＴ_μν;ρ＝Ａ_μ;ρＢ_ν＋Ａ_μＢ_ν;ρが成立するので,一般に２階テンソルの共変微分はＴ^μν_;ρ＝Ｔ^μν_,ρ＋Γ^μ_λρＴ^λν＋Γ^ν_λρＴ^μλ,およびＴ_μν;ρ＝Ｔ_μν,ρ－Γ^λ_μρＴ_λν－Γ^λ_νρＴ_μλとなることがわかります。

ただし,簡単のためにＴ^μν_,ρ≡∂Ｔ^μν/∂ｘ^ρ,Ｔ_μν,ρ≡∂Ｔ_μν/∂ｘ^ρなる通常の微分表記を使用しました。

ｇ_μν；ρ＝0 はｇ_μν；ρ＝ｇ_μν,ρ－Γ^σ_μρｇ_σν－Γ^σ_νρｇ_μσ＝0 を意味しますが,これはΓ_ν|μρ≡ｇ_σνΓ^σ_μρと定義して新しい記号を導入すれば,ｇ_μν；ρ＝ｇ_μν,ρ－Γ_ν|μρ－Γ_μ|νρ＝0 とも書けます。

したがって,Γ_ν|μρ＋Γ_μ|νρ＝ｇ_μν,ρですが,この等式の添字に置換を施すとΓ_ρ|νμ＋Γ_ν|ρμ＝ｇ_ρμ,ν,Γ_μ|ρν＋Γ_ρ|μν＝ｇ_ρν,μも得られます。

そこで,Γ_ν|αβ＝Γ_ν|βαなる対称性を仮定すると,Γ_ρ|νμ＝(1/2)(ｇ_ρν,μ＋ｇ_ρμ,ν－ｇ_μν,ρ),あるいはΓ^σ_μν＝(ｇ^σρ/2)(ｇ_ρν,μ＋ｇ_ρμ,ν－ｇ_μν,ρ)が得られ,これは確かにΓ_ν|αβ＝Γ_ν|βαを満たしています。

こうした,Γ_ν|αβ＝Γ_ν|βαという対称性を持つ特別な接続をレヴィ・チヴィタ(Levi-Civita)接続といい,上のように計量の陽な形に書ける接続係数Γをクリストッフェルの記号(Christoffel's symbol)と呼びます。

今日はここまでにします。

参考文献：佐藤文隆,原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

ＰＳ：最近,他の掲示板やブログで重力場の中の物体やブラックホールなどの話に関連して,ランダウ著の「場の古典論」からの参照,引用が見られ,その本は私も持っているので読んでみましたが,何故かページ数が合わないだけではなく,そもそも宇宙論関係に切り込んだ内容がほとんど書かれていません。

(ＰＳ:宇宙論といっても,せいぜい膨張宇宙モデル程度の話です。)

しかし,先日久しぶりに本屋街に行くと,この本の新版らしい第６版というのがあったので立ち読みしたところ,前半の９章まではほぼ同じでしたが,後半の内容が私の蔵書のそれとは大幅に違っていることに気づきました。

そうです,私の持っているのは旧ソ連でランダウが事故に会って事実上学者生命が終わった以前に出版されたものの翻訳で,贈訂新版となっていてかなり古いものです。

私もその後改訂版が出ていたのは知っていましたが,どうせ大して変わっていないだろうと勝手に思い込んでいました。リフシッツによるところが大きいのでしょうが,仕方ないのでこれも買って同じタイトルが２冊になりました。

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http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。 

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