相対論の幾何学(第Ⅰ部-5:空間曲面(2))

続きです。前記事では空間曲面ｒ(ｕ,ｖ)に対する第２基本形式ΠをΠ(ｄｕ,ｄｖ)≡－(ｄｒ,ｄｅ)＝－(ｒ_uｄｕ＋ｒ_vｄｖ,ｅ_uｄｕ＋ｅ_vｄｖ)＝Ｌ(ｄｕｄｕ)＋2Ｍ(ｄｕｄｖ)＋Ｎ(ｄｖｄｖ)で定義しました。

そして,この第２基本形式Π(ｄｕ,ｄｖ)は曲面ｒ(ｕ,ｖ)上の点ｒ₀＝ｒ(ｕ₀,ｖ₀)における"接平面に垂直な成分＝曲面の高さ"の変分を表わすという意味を持つことがわかりました。

つまり,α≡ｅ(ｕ₀,ｖ₀)をこの点ｒ₀での法ベクトルとしてα方向の高さを示す関数をｆ(ｕ,ｖ)≡(α,ｒ(ｕ,ｖ))で表現すれば微小変位:Δｕ,Δｖに対するｆの変動がΔｆ≡ｆ(ｕ₀＋Δｕ,ｖ₀＋Δｖ)－ｆ(ｕ₀,ｖ₀)＝Ｌ(ｕ₀,ｖ₀)(ΔｕΔｕ)＋2Ｍ(ｕ₀,ｖ₀)(ΔｕΔｖ)＋Ｎ(ｕ₀,ｖ₀)(ΔｖΔｖ)＝Π_(u0,v0)(Δｕ,Δｖ) → Π_(u0,v0)(ｄｕ,ｄｖ)で与えられることを見ました。

曲面ｒ(ｕ,ｖ)上の各点での第２基本形式の正負の符号によって,その点の近傍の曲面での局所的な形状が決まることがわかりました。

さらに第２基本形式の曲面の曲がり方への定量的関係を見るために曲面上の曲線の曲率を求めてみます。

ｓを弧長パラメータとして(ｕ(ｓ),ｖ(ｓ))に対応する曲面ｒ(ｕ,ｖ)上の空間曲線ｒ(ｓ)≡ｒ(ｕ(ｓ),ｖ(ｓ))を定義します。これの曲率を計算するわけですが,既に以前の記述で空間曲線の曲率κ(ｓ)については,これがκ(ｓ)≡|ｒ"(ｓ)|＝|ｄ²ｒ/ｄｓ²|で定義されることを述べました。

ところでｒ'(ｓ)＝ｄｒ/ｄｓはｒ(ｓ)の接ベクトルなので,これは点ｒ(ｓ)において曲面ｒ(ｕ,ｖ)に接していますが,ｒ"(ｓ)＝ｄ²ｒ/ｄｓ²の方は一般に曲面ｒ(ｕ,ｖ)の接平面上のベクトルではありません。

そこで,ｒ"(ｓ)を点ｒ(ｓ)での曲面の接ベクトル成分ｋ_gと法ベクトル成分ｋ_nの和に分解します。つまり,ｒ"(ｓ)＝ｋ_g＋ｋ_nと書きます。

ｋ_gを曲線ｒ(ｓ)の測地的曲率ベクトル,ｋ_nを法曲率ベクトルと呼びます。

これらの曲率のベクトル成分のうちで,まず曲面ｒ(ｕ,ｖ)の接平面に垂直な成分であるｋ_nについて詳細に考察します。

ｋ_nは法ベクトルなので,単位法ベクトルｅ＝(ｒ_u×ｒ_v)/|ｒ_u×ｒ_v|を用いてｋ_n＝κ_nｅと表現されます。この値:κ_nを法曲率と呼びます。

法曲率は,さらにκ_n＝(ｋ_n,ｅ)＝(ｒ"－ｋ_g,ｅ)＝(ｒ",ｅ)＝－(ｒ',ｅ')＝－(ｄｒ/ｄｓ,ｄｅ/ｄｓ)＝－(ｒ_u(ｄｕ/ｄｓ)＋ｒ_v(ｄｖ/ｄｓ),ｅ_u(ｄｕ/ｄｓ)＋ｅ_v(ｄｖ/ｄｓ))＝Ｌ(ｄｕ/ｄｓ)(ｄｕ/ｄｓ)＋2Ｍ(ｄｕ/ｄｓ)(ｄｖ/ｄｓ)＋Ｎ(ｄｖ/ｄｓ)(ｄｖ/ｄｓ)となります。

これは,法曲率κ_n(ｓ)が大域的な曲線全体ｒ(ｓ)ではなく局所的な接ベクトルｒ'(ｓ)だけから決まることを示す表現となっています。

ここで,曲面ｒ(ｕ,ｖ)上の１点ｒ₀＝ｒ(ｕ₀,ｖ₀)における任意の単位接ベクトルをｗとすれば,ｗはある(ｕ₀,ｖ₀)の関数である２つのパラメータ:ξ＝ξ(ｕ₀,ｖ₀),η＝η(ｕ₀,ｖ₀)によってｗ＝ξｒ_u(ｕ₀,ｖ₀)＋ηｒ_v(ｕ₀,ｖ₀),かつ|ｗ|＝１なる形で表わされます。

そこで,第２基本形式と同じ記号Πを用いてΠ(ｗ)≡Π(ξ,η)＝Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²と定義すれば,上に与えた法曲率κ_n(ｓ)は,κ_n(ｓ)＝Π(ｒ'(ｓ))と表現されることがわかります。

ここで,|ｗ|²＝Ｅξ²＋2Ｆξη＋Ｇη²＝１なので,ｗが点ｒ₀を中心とする接平面上の単位円の周上にある,つまりｗが単位接ベクトルであるという条件の下で,接ベクトルｗ＝ξｒ_u＋ηｒ_vの法線成分を与える関数:Π(ｗ)＝Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²の最大値,最小値を求める問題を考えてみます。

この問題は,λ(ｗ)≡(Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²)/(Ｅξ²＋2Ｆξη＋Ｇη²)なる量が無条件で(ただし(ξ,η)≠(0,0))最大値,最小値を取る問題と同等です。

何故なら,|ｗ|＝１の条件下ではλ(ｗ)＝(Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²)＝Π(ｗ)ですが,またλ(ｗ)の定義から明らかに任意の数ｃ(ｃ≠0)に対してλ(ｃｗ)＝λ(ｗ)が成立します。

最大値を例に取るなら,あるｗ(ただしｗ≠0)でλ(ｗ)が最大になるなら,その値は単位ベクトルｗ/|ｗ|における値:λ(ｗ/|ｗ|)に等しいので,それは|ｗ|＝1の条件下での最大値でもあることがわかります。

また,逆に|ｗ|＝１の条件下でのλ(ｗ)の最大値は無条件下での(ただし(ξ,η)≠(0,0))λ(ｗ)の最大値に等しいこともいえるからです。

そして,λ(ｗ)≡(Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²)/(Ｅξ²＋2Ｆξη＋Ｇη²)なる式は,Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²－λ(ｗ)(Ｅξ²＋2Ｆξη＋Ｇη²)＝0 ,つまりΠ(ｗ)－λ(ｗ)|ｗ|²＝0 なる等式と同値です。

一方,λ(ｗ)が最大値,最小値を取るための必要条件は∂λ/∂ξ＝0,かつ∂λ/∂η＝0 で与えられます。

そこで,等式の両辺をξ,ηで微分して,∂λ/∂ξ,∂λ/∂ηをゼロと置けば,(Ｌ－λＥ)ξ＋(Ｍ－λＦ)η＝0,(Ｍ－λＦ)ξ＋(Ｎ－λＧ)η＝0 なる式が得られます。

これは,Ｌξ＋Ｍη＝λ(Ｅξ＋Ｆη),Ｍξ＋Ｎη＝λ(Ｆξ＋Ｇη)とも書けます。

これを,ξ,ηを未知数とする連立１次方程式と考えると,方程式が(ξ,η)≠(0,0)なる自明でない解を持つためには,係数行列の行列式がゼロになることが必要十分条件になります。

すなわち,(Ｌ－λＥ)(Ｎ－λＧ)－(Ｍ－λＦ)²＝0,つまり(ＥＧ－Ｆ²)λ²－(ＥＮ＋ＧＬ－2ＦＭ)λ＋ＬＮ－Ｍ²＝0 が成立する必要があります。

このλの２次方程式の２つの根をλ＝κ₁,κ₂とすると,根と係数の関係から,κ₁κ₂＝(ＬＮ－Ｍ²)/(ＥＧ－Ｆ²),かつ(κ₁＋κ₂)/2＝(ＥＮ＋ＧＬ－2ＦＭ)/{2(ＥＧ－Ｆ²)}と書けます。

これらをＫ≡κ₁κ₂,Ｈ≡(κ₁＋κ₂)/2なる記号で表わして,Ｋをガウスの曲率,Ｈを平均曲率と呼びます。

また,κ₁とκ₂を主曲率と呼び,κ₁＝Π(ｗ₁),κ₂＝Π(ｗ₂)を満たす単位ベクトルｗ₁,ｗ₂の方向を点ｒ₀における主方向と言います。

そして,ｗ₁,ｗ₂のｒ_u,ｒ_vの線型結合としての表現をｗ_i＝ξ_iｒ_u(ｕ₀,ｖ₀)＋η_iｒ_v(ｕ₀,ｖ₀) (ｉ＝1,2)と書けば,λにその固有値κ_iを代入した式としてＬξ_i＋Ｍη_i＝κ_i(Ｅξ_i＋Ｆη_i),Ｍξ_i＋Ｎη_i＝κ_i(Ｆξ_i＋Ｇη_i)なる線型関係式が得られます。

上の最後の等式の両辺に左から(ξ_i,η_i)を掛けてベクトルの内積を取ると,(ξ_i,η_i)^t(Ｌξ_j＋Ｍη_j,Ｍξ_j＋Ｎη_j)＝κ_j(ξ_i,η_i)^t(Ｅξ_j＋Ｆη_j,Ｆξ_j＋Ｇη_j)となります。

Ｅ,Ｆ,ＧやＬ,Ｍ,Ｎで構成されるこれらの式の係数行列は,対称行列なので(ξ_i,η_i)^t(Ｌξ_j＋Ｍη_j,Ｍξ_j＋Ｎη_j),(ξ_i,η_i)^t(Ｅξ_j＋Ｆη_j,Ｆξ_j＋Ｇη_j)は,ｉとｊの交換について対称です。

それ故,κ₂(ξ₁,η₁)^t(Ｅξ₂＋Ｆη₂,Ｆξ₂＋Ｇη₂)＝κ₁(ξ₂,η₂)^t(Ｅξ₁＋Ｆη₁,Ｆξ₁＋Ｇη₁)が成立します。

そこで,もしも固有値λの２つの値κ₁,κ₂が異なる場合:κ₁≠κ₂なら,(ξ₁,η₁)^t(Ｅξ₂＋Ｆη₂,Ｆξ₂＋Ｇη₂)＝0 です。

したがって,κ₁≠κ₂なら(ｗ₁,ｗ₂)＝Ｅξ₁ξ₂＋Ｆ(ξ₁η₂＋ξ₂η₁)＋Ｇη₁η₂＝(ξ₁,η₁)^t(Ｅξ₂＋Ｆη₂,Ｆξ₂＋Ｇη₂)＝0 となって,２つの主方向は直交します。

一方,固有値λの２つの値が等しい場合:つまりκ₁＝κ₂＝κなら最大値と最小値が一致するので,ｒ₀＝ｒ(ｓ₀)＝ｒ(ｕ₀,ｖ₀)における接ベクトルの法曲率κ_nはあらゆる方向で常にκ_n＝κとなります。

そこで,(Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²)＝κ(Ｅξ²＋2Ｆξη＋Ｇη²)であり,この点ｒ₀ではあらゆる方向が主方向となります。こうした点を曲面の臍点(umbolic point)と呼びます。

ガウスの曲率Ｋがゼロのときは,|ｗ|＝１の条件下でのΠ(ｗ)≡Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²の最小値がゼロなわけですから,これは曲面ｒ(ｕ,ｖ)上の曲線ｒ(ｓ)＝ｒ(ｕ(ｓ),ｖ(ｓ))において曲線上のある点ｒ₀＝ｒ(ｓ₀)＝ｒ(ｕ₀,ｖ₀)での法曲率κ_n(ｓ₀)＝Π(ｒ'(ｓ₀))がゼロになるような接ベクトルが存在することを意味します。

よって,Ｋ＝0 のときのこの点の近傍における局所的な曲面の形状は平坦であると言われます。

また,Ｋ＞0 となる点は楕円点,Ｋ＜0 となる点は双曲点,そしてＫ＝0 となる点は放物点と呼ばれます。

第１基本形式Ｉ≡Ｅ(ｄｕｄｕ)＋2Ｆ(ｄｕｄｖ)＋Ｇ(ｄｖｄｖ)＝(ｄｒ,ｄｒ)は常に非負なので,(ξ,η)≠(0,0)ではＥξ²＋2Ｆξη＋Ｇη²は常に正ですから,Ｄ/4＝ＥＧ－Ｆ²＞0 です。

そこでＫ＝(ＬＮ－Ｍ²)/(ＥＧ－Ｆ²)の符号はＬＮ－Ｍ²の符号と同じです。前にも述べたように,これの符号が下に凸,上に凸,鞍点などの曲面の局所構造を表現します。

一方,平均曲率Ｈ≡(κ₁＋κ₂)/2 がゼロのときは局所的な曲面を極小曲面と呼びます。この呼称は,次のような理由からです。

曲面上の点ｒ₀＝ｒ(ｕ₀,ｖ₀)の近傍の(ｕ,ｖ)∈Ｒを定義域とする局所曲面ｒ(ｕ,ｖ)において,この曲面を法ベクトルｅ(ｕ,ｖ)方向に移動させた新しい曲面ｒ^(ｕ,ｖ)≡ｒ(ｕ,ｖ)＋δｒ;変分δｒはδｒ≡εｆ(ｕ,ｖ)ｅ(ｕ,ｖ)((ｕ,ｖ)∈Ｒ,ｆ(ｕ,ｖ)は任意関数)を作ります。

この面積:Ａ(ｆ,ε)≡∫∫_Ｒ|ｒ^_ｕ×ｒ^_v|ｄｕｄｖを考えると,ＨがゼロのときにｄＡ/ｄε＝0 となってε＝0 の元々の曲面ｒ(ｕ,ｖ)の面積が極小となるためです。

実際,ｄＡ/ｄε＝∫∫_Ｒｆ|ｅ_ｕ×ｒ_ｖ＋ｒ_ｕ×ｅ_ｖ|ｄｕｄｖとなりますが,前記事で与えたワインガルテンの式から,ｅ_ｕ＝{(ＦＭ－ＧＬ)ｒ_ｕ＋(ＦＬ－ＥＭ)ｒ_ｖ}/(ＥＧ－Ｆ²),ｅ_ｖ＝{(ＦＮ－ＧＭ)ｒ_ｕ＋(ＦＭ－ＥＮ)ｒ_ｖ}/(ＥＧ－Ｆ²)です。

これを用いると,ｅ_ｕ×ｒ_ｖ＝{(ＦＭ－ＧＬ)/(ＥＧ－Ｆ²)}(ｒ_ｕ×ｒ_ｖ),ｒ_ｕ×ｅ_ｖ＝{(ＦＭ－ＥＮ)/(ＥＧ－Ｆ²)}(ｒ_ｕ×ｒ_ｖ)なのでｄＡ/ｄε＝∫∫_Ｒｆ|(2ＦＭ－ＧＬ－ＥＮ)/(ＥＧ－Ｆ²)}(ｒ_ｕ×ｒ_ｖ)|ｄｕｄｖ,つまりｄＡ/ｄε＝－∫∫_ＲｆＨ|ｒ_ｕ×ｒ_ｖ|ｄｕｄｖが得られます。

ところが,|ｒ_ｕ×ｒ_v|＝{|ｒ_ｕ|²|ｒ_v|²－(ｒ_ｕ,ｒ_v)²}^1/2＝(ＥＧ－Ｆ²)^1/2ですから,結局,ｄＡ/ｄε＝－∫∫_ＲｆＨ(ＥＧ－Ｆ²)^1/2ｄｕｄｖと書けます。

したがって,Ｒを点ｒ₀＝ｒ(ｕ₀,ｖ₀)を与える(ｕ₀,ｖ₀)の近傍の(ｕ,ｖ)領域とすれば,この領域Ｒに対応する曲面の面積Ａ(ｆ,ε)が極小であること,つまりｄＡ/ｄε＝0 であることは,平均曲率Ｈ＝(κ₁＋κ₂)/2 がゼロであることと同等であることがわかります。

次に,主として曲率の接ベクトル成分である測地的曲率ベクトルｋ_gに関する話題に移ります。

一般相対論での曲がった４次元時空上の粒子運動を２次元曲面上に束縛された粒子の運動と同一視して比較することを考えて,面を示すパラメータ,つまり多様体の上に書いた地図座標(ｕ,ｖ)を(ｕ¹,ｕ²)と表記して曲面ｒ(ｕ,ｖ)をｒ(ｕ¹,ｕ²)と書き直してみます。

このとき,基底をなす接ベクトルｒ_u≡(∂ｒ/∂ｕ),ｒ_v≡(∂ｒ/∂ｖ)はｒ_,i≡(∂ｒ/∂ｕⁱ)となり,一般の接平面上のベクトルを示す線型結合ξｒ_u＋ηｒ_vもパラメータξ,ηをξⁱ(ｉ＝1,2)と添字表現に書き直してξⁱｒ_,iと表現されます。

そこで,Ｅ≡(ｒ_u,ｒ_u)＝ｒ_u²,Ｆ≡(ｒ_u,ｒ_v)＝(ｒ_v,ｒ_u),Ｇ≡(ｒ_v,ｒ_v)＝ｒ_v²なる表記を通常の多様体の計量の記号ｇ_ij≡(ｒ_,i,ｒ_,j)＝(∂ｒ/∂ｕⁱ,∂ｒ/∂ｕ^j)に変更すると,接ベクトル:ξｒ_u＋ηｒ_v＝ξⁱｒ_,iの長さの平方(Ｅξ²＋2Ｆξη＋Ｇη²)は,ｇ_ijξⁱξ^jとなります。

これは相対論の記法に慣れている人なら,ｄｓ²＝ｇ_ijｄξⁱｄξ^jと書いた方が馴染み深いでしょう。

ところで,ｕ,ｖによる２階微分の表式:ｒ_uu＝Γ^ｕ_uuｒ_u＋Γ^v_uuｒ_v＋Ｌｅ,ｒ_uv＝Γ^u_uvｒ_u＋Γ^v_uvｒ_v＋Ｍｅ,ｒ_vu＝Γ^u_vuｒ_u＋Γ^v_vuｒ_v＋Ｍｅ,ｒ_vv＝Γ^u_vvｒ_u＋Γ^v_vvｒ_v＋Ｎｅでは,２次元の曲面内に束縛されて,３つ目の次元である法ベクトルｅを認識できない粒子(生物?)にとっては,Ｌ,Ｍ,Ｎは無関係な量でクリストッフェル記号Γのみが重要です。

これは,添字表現ではｒ_,i,j＝∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ^j＝Γ^k_ij(∂ｒ/∂ｕ^k)＋ｈ_ijｅ(ｕ¹,ｕ²)と書けます。

そして,(ｒ_uｖ,ｒ_u)＝Γ^ｕ_uｖ(ｒ_u,ｒ_u)＋Γ^v_uｖ(ｒ_u,ｒ_ｖ)etc.の添字表現は(∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ^j,∂ｒ/∂ｕ^l)＝Γ^k_ij(∂ｒ/∂ｕ^k,∂ｒ/∂ｕ^l),すなわち,ｇ_lkΓ^k_ij＝(∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ^j,∂ｒ/∂ｕ^l)です。

ところが,(∂ｇ_li/∂ｕ^j)＝(∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ^j,∂ｒ/∂ｕ^l)＋(∂ｒ/∂ｕⁱ,∂²ｒ/∂ｕ^l∂ｕ^j),(∂ｇ_lｊ/∂ｕⁱ)＝(∂²ｒ/∂ｕ^j∂ｕⁱ,∂ｒ/∂ｕ^l)＋(∂ｒ/∂ｕ^j,∂²ｒ/∂ｕ^l∂ｕⁱ)であり,

(∂ｇ_ij/∂ｕ^l)＝(∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ^l,∂ｒ/∂ｕ^j)＋(∂ｒ/∂ｕⁱ,∂²ｒ/∂ｕ^l∂ｕ^j)なので,結局ｇ_lkΓ^k_ij＝(1/2)(∂ｇ_li/∂ｕ^j＋∂ｇ_li/∂ｕ^j－∂ｇ_ij/∂ｕ^l)なる表式が得られます。

そこで,(ｇ_ij)の逆行列を(ｇ^ij)≡(ｇ_ij)^-1で定義すれば,Γ^k_ij＝(ｇ^kl/2)(ｇ_li,j＋ｇ_lj,i－ｇ_ij,l)となります。

これは,2008年７/２の記事「球対称時空解(シュヴァルツシルト解)の導出(1)」で与えた一般相対論での接続係数としてのクリストッフェル記号の表現式:Γ^σ_μν＝(ｇ^σρ/2)(ｇ_ρν,μ＋ｇ_ρμ,ν－ｇ_μν,ρ);(ｇ^μν)≡(ｇ_μν)^-1と時空の次元の違いを除いて完全に一致します。

これを時空の一般座標ｘ^μと局所ローレンツ系の座標Ｘ^μを用いて表現すると,2008年７/５の記事「球対称時空解(シュヴァルツシルト解)の導出(2)」や7/13の記事「重力崩壊とブラックホール(1)」において,

ｇ_μν＝(∂Ｘ^ρ/∂ｘ^μ)(∂Ｘ^σ/∂ｘ^ν)η_ρσ,かつΓ^σ_μν＝(∂ｘ^σ/∂Ｘ^ρ)(∂²Ｘ^σ/∂ｘ^μ∂ｘ^ν),または(∂Ｘ^ρ/∂ｘ^σ)Γ^σ_μν＝∂²Ｘ^ρ/∂ｘ^μ∂ｘ^νとなります。

さらに,両辺に(∂Ｘ^ρ/∂ｘ^τ)を掛けてρで縮約すると,ｇ_τσΓ^σ_μν＝(∂²Ｘ^ρ/∂ｘ^μ∂ｘ^ν)(∂Ｘ^ρ/∂ｘ^τ)となります。

と書いた式になっています。

この最後の式も,曲面に束縛されて,束縛力以外には全く外力を受けない粒子に対するΓの表式:ｇ_lkΓ^k_ij＝(∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ^j,∂ｒ/∂ｕ^l)と形が全く一致しています。

これらのことから,束縛運動を表わす空間３次元の位置ベクトルｒ＝(ｘ,ｙ,ｚ)＝(ｘ¹,ｘ²,ｘ³)が曲がった４次元空間の局所ローレンツ座標Ｘ^μ＝(Ｘ⁰,Ｘ)＝(Ｘ⁰,Ｘ¹,Ｘ²,Ｘ³)に対応し,一方,２次元のパラメータ(ｕ,ｖ)＝(ｕ¹,ｕ²)が４次元空間の時空座標ｘ^μ＝(ｘ⁰,ｘ)＝(ｘ⁰,ｘ¹,ｘ²,ｘ³)に対応することがわかります。

そして,２次元曲面に張り付いていて３つ目の次元を知らない粒子(生物)にとって何の力も働いていない場合の粒子の運動方程式を考えてみます。

このとき２次元生物には認識できませんが,実は粒子を曲面上に束縛するための未知の束縛力があり,それが接平面に垂直な向きの力であるとしてβ(ｕ¹,ｕ²)ｅ(ｕ¹,ｕ²)と表わされるとします。

そうすれば,結局粒子の運動方程式はｄ²ｒ(ｔ)/ｄｔ²＝β(ｔ)ｅ(ｔ)と書けるはずです。これはｒ"(ｓ)＝ｋ_g＋ｋ_n＝β(ｓ)ｅ(ｓ)と書いても同じことです。

そして,これは(∂ｒ/∂ｕⁱ)(ｄ²ｕⁱ/ｄｔ²)＋(∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ^j)(ｄｕⁱ/ｄｔ)(ｄｕ^j/ｄｔ)＝β(ｔ)ｅ(ｔ)と変形できます。

∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ^jを互いに独立な接ベクトル成分と法ベクトル成分に分解した表現:∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ^j＝Γ^k_ij(∂ｒ/∂ｕ^k)＋ｈ_ijｅをこの式の左辺に代入すれば,(∂ｒ/∂ｕ^k){(ｄ²ｕ^k/ｄｔ²)＋Γ^k_ij(ｄｕⁱ/ｄｔ)(ｄｕ^j/ｄｔ)}＝0,ｈ_ij(ｄｕⁱ/ｄｔ)(ｄｕ^j/ｄｔ)＝βを得ます。

前者は最初に述べた測地的曲率ベクトルｋ_gについて,ｋ_g＝0 なることを意味し,これに従う曲面上の曲線路を測地線と呼びます。

そして,これのみが２次元曲面に束縛された生物にとって意味のある運動方程式です。

これは独立なベクトル:(∂ｒ/∂ｕ^k)の係数をゼロとおくことで(ｄ²ｕ^k/ｄｔ²)＋Γ^k_ij(ｄｕⁱ/ｄｔ)(ｄｕ^j/ｄｔ)＝0 なる表式になります。

最後の式は曲面の上に書いた局所的な地図のｘｙ座標であるｕ^kに対する方程式ですが,このｋ_g＝0 なる２次元測地線が以前に述べた曲がった４次元時空での測地線に対応するということのより詳細な意味については次回の記事で述べたいと思います。

参考文献:小林昭七著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房),大森秀樹 著「(数学セミナー増刊)入門現代の数学(8):力学的な微分幾何」(日本評論社),大森英樹 著「一般力学系と場の幾何学」(岩波書店)

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