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2008年8月 3日 (日)

相対論の幾何学(第Ⅰ部-5:空間曲面(2))

続きです。前記事では空間曲面(u,v)に対する第2基本形式ΠをΠ(du,dv)≡-(d,d)=-(udu+vdv,udu+vdv)=L(dudu)+2M(dudv)+N(dvdv)で定義しました。

そして,この第2基本形式Π(du,dv)は曲面(u,v)上の点0(u0,v0)における"接平面に垂直な成分=曲面の高さ"の変分を表わすという意味を持つことがわかりました。

 

つまり,α(u0,v0)をこの点0での法ベクトルとしてα方向の高さを示す関数をf(u,v)≡(α,(u,v))で表現すれば微小変位:Δu,Δvに対するfの変動がΔf≡f(u0+Δu,v0+Δv)-f(u0,v0)=L(u0,v0)(ΔuΔu)+2M(u0,v0)(ΔuΔv)+N(u0,v0)(ΔvΔv)=Π(u0,v0)(Δu,Δv) → Π(u0,v0)(du,dv)で与えられることを見ました。

曲面(u,v)上の各点での第2基本形式の正負の符号によって,その点の近傍の曲面での局所的な形状が決まることがわかりました。

さらに第2基本形式の曲面の曲がり方への定量的関係を見るために曲面上の曲線の曲率を求めてみます。

sを弧長パラメータとして(u(s),v(s))に対応する曲面(u,v)上の空間曲線(s)≡(u(s),v(s))を定義します。これの曲率を計算するわけですが,既に以前の記述で空間曲線の曲率κ(s)については,これがκ(s)≡|"(s)|=|d2/ds2|で定義されることを述べました。

 

ところで'(s)=d/dsは(s)の接ベクトルなので,これは点(s)において曲面(u,v)に接していますが,"(s)=d2/ds2の方は一般に曲面(u,v)の接平面上のベクトルではありません。

そこで,"(s)を点(s)での曲面の接ベクトル成分gと法ベクトル成分nの和に分解します。つまり,"(s)=gnと書きます。

 

g曲線(s)の測地的曲率ベクトル,nを法曲率ベクトルと呼びます。

これらの曲率のベクトル成分のうちで,まず曲面(u,v)の接平面に垂直な成分であるnについて詳細に考察します。

nは法ベクトルなので,単位法ベクトル(u×v)/|u×v|を用いてn=κnと表現されます。この値:κnを法曲率と呼びます。

法曲率は,さらにκn(n,)=("-g,)=(",)=-(',')=-(d/ds,d/ds)=-(u(du/ds)+v(dv/ds),u(du/ds)+v(dv/ds))=L(du/ds)(du/ds)+2M(du/ds)(dv/ds)+N(dv/ds)(dv/ds)となります。

 

これは,法曲率κn(s)が大域的な曲線全体(s)ではなく局所的な接ベクトル'(s)だけから決まることを示す表現となっています。

ここで,曲面(u,v)上の1点0(u0,v0)における任意の単位接ベクトルをとすれば,はある(u0,v0)の関数である2つのパラメータ:ξ=ξ(u0,v0),η=η(u0,v0)によって=ξu(u0,v0)+ηv(u0,v0),かつ||=1なる形で表わされます。

 

そこで,第2基本形式と同じ記号Πを用いてΠ()≡Π(ξ,η)=Lξ2+2Mξη+Nη2と定義すれば,上に与えた法曲率κn(s)は,κn(s)=Π('(s))と表現されることがわかります。

ここで,||2=Eξ2+2Fξη+Gη2=1なので,が点0を中心とする接平面上の単位円の周上にある,つまりが単位接ベクトルであるという条件の下で,接ベクトル=ξu+ηvの法線成分を与える関数:Π()=Lξ2+2Mξη+Nη2の最大値,最小値を求める問題を考えてみます。

この問題は,λ()≡(Lξ2+2Mξη+Nη2)/(Eξ2+2Fξη+Gη2)なる量が無条件で(ただし(ξ,η)≠(0,0))最大値,最小値を取る問題と同等です。

何故なら,||=1の条件下ではλ()=(Lξ2+2Mξη+Nη2)=Π()ですが,またλ()の定義から明らかに任意の数c(c≠0)に対してλ(c)=λ()が成立します。

 

最大値を例に取るなら,ある(ただし≠0)でλ()が最大になるなら,その値は単位ベクトル/||における値:λ(/||)に等しいので,それは||=1の条件下での最大値でもあることがわかります。

 

また,逆に||=1の条件下でのλ()の最大値は無条件下での(ただし(ξ,η)≠(0,0))λ()の最大値に等しいこともいえるからです。

そして,λ()≡(Lξ2+2Mξη+Nη2)/(Eξ2+2Fξη+Gη2)なる式は,Lξ2+2Mξη+Nη2-λ()(Eξ2+2Fξη+Gη2)=0 ,つまりΠ()-λ()||2=0 なる等式と同値です。

 

一方,λ()が最大値,最小値を取るための必要条件は∂λ/∂ξ=0,かつ∂λ/∂η=0 で与えられます。

 

そこで,等式の両辺をξ,ηで微分して,∂λ/∂ξ,∂λ/∂ηをゼロと置けば,(L-λE)ξ+(M-λF)η=0,(M-λF)ξ+(N-λG)η=0 なる式が得られます。

 

これは,Lξ+Mη=λ(Eξ+Fη),Mξ+Nη=λ(Fξ+Gη)とも書けます。

これを,ξ,ηを未知数とする連立1次方程式と考えると,方程式が(ξ,η)≠(0,0)なる自明でない解を持つためには,係数行列の行列式がゼロになることが必要十分条件になります。

 

すなわち,(L-λE)(N-λG)-(M-λF)20,つまり(EG-F22(EN+GL-2FM)λ+LN-M20 が成立する必要があります。

このλの2次方程式の2つの根をλ=κ12とすると,根と係数の関係から,κ1κ2(LN-M2)/(EG-F2),かつ(κ1+κ2)/2=(EN+GL-2FM)/{2(EG-F2)}と書けます。

 

これらをK≡κ1κ2,H≡(κ1+κ2)/2なる記号で表わして,Kをガウスの曲率,Hを平均曲率と呼びます。

また,κ1とκ2を主曲率と呼び,κ1=Π(1),κ2=Π(2)を満たす単位ベクトル1,2の方向を点0における主方向と言います。

 

そして,1,2u,vの線型結合としての表現をi=ξiu(u0,v0)+ηiv(u0,v0) (i=1,2)と書けば,λにその固有値κiを代入した式としてLξi+Mηi=κi(Eξi+Fηi),Mξi+Nηi=κi(Fξi+Gηi)なる線型関係式が得られます。

上の最後の等式の両辺に左からii)を掛けてベクトルの内積を取ると,(ξii)t(Lξj+Mηj,Mξj+Nηj)=κjii)t(Eξj+Fηj,Fξj+Gηj)となります。

 

E,F,GやL,M,Nで構成されるこれらの式の係数行列は,対称行列なので(ξii)t(Lξj+Mηj,Mξj+Nηj),(ξii)t(Eξj+Fηj,Fξj+Gηj)は,iとjの交換について対称です。

 

それ故,κ211)t(Eξ2+Fη2,Fξ2+Gη2)=κ122)t(Eξ1+Fη1,Fξ1+Gη1)が成立します。

そこで,もしも固有値λの2つの値κ12が異なる場合1≠κ2なら,(ξ11)t(Eξ2+Fη2,Fξ2+Gη2)=0 です。

 

したがって,κ1≠κ2なら(1,2)=Eξ1ξ2+F1η2+ξ2η1)+Gη1η211)t(Eξ2+Fη2,Fξ2+Gη2)=0 となって,2つの主方向は直交します。

一方,固有値λの2つの値が等しい場合:つまりκ1=κ2=κなら最大値と最小値が一致するので,0(s0)=(u0,v0)における接ベクトルの法曲率κnはあらゆる方向で常にκn=κとなります。

 

そこで,(Lξ2+2Mξη+Nη2)=κ(Eξ2+2Fξη+Gη2)であり,この点0ではあらゆる方向が主方向となります。こうした点を曲面の臍点(umbolic point)と呼びます。

 

ガウスの曲率Kがゼロのときは,||=1の条件下でのΠ()≡Lξ2+2Mξη+Nη2の最小値がゼロなわけですから,これは曲面(u,v)上の曲線(s)=(u(s),v(s))において曲線上のある点0(s0)=(u0,v0)での法曲率κn(s0)=Π('(s0))がゼロになるような接ベクトルが存在することを意味します。

 

よって,K=0 のときのこの点の近傍における局所的な曲面の形状は平坦であると言われます。

また,K>0 となる点は楕円点,K<0 となる点は双曲点,そしてK=0 となる点は放物点と呼ばれます。

 

第1基本形式I≡E(dudu)+2F(dudv)+G(dvdv)=(d,d)は常に非負なので,(ξ,η)≠(0,0)ではEξ2+2Fξη+Gη2は常に正ですから,D/4=EG-F20 です。

 

そこでK=(LN-M2)/(EG-F2)の符号はLN-M2の符号と同じです。前にも述べたように,これの符号が下に凸,上に凸,鞍点などの曲面の局所構造を表現します。

一方,平均曲率H≡(κ1+κ2)/2 がゼロのときは局所的な曲面を極小曲面と呼びます。この呼称は,次のような理由からです。

 

曲面上の点0(u0,v0)の近傍の(u,v)∈Rを定義域とする局所曲面(u,v)において,この曲面を法ベクトル(u,v)方向に移動させた新しい曲面^(u,v)(u,v)+δ;変分δはδ≡εf(u,v)(u,v)((u,v)∈R,f(u,v)は任意関数)を作ります。

 

の面積:A(f,ε)≡∫∫|^×^v|dudvを考えると,HがゼロのときにdA/dε=0 となってε=0 の元々の曲面(u,v)の面積が極小となるためです。

 

実際,dA/dε=∫∫f|××|dudvとなりますが,前記事で与えたワインガルテンの式から,={(FM-GL)+(FL-EM)}/(EG-F2),={(FN-GM)+(FM-EN)}/(EG-F2)です。

 

これを用いると,×={(FM-GL)/(EG-F2)}(×),×={(FM-EN)/(EG-F2)}(×)なのでdA/dε=∫∫f|(2FM-GL-EN)/(EG-F2)}(×)|dudv,つまりdA/dε=-∫∫fH|×|dudvが得られます。

 

ところが,|×v|={||2|v|2-(,v)2}1/2=(EG-F2)1/2ですから,結局,dA/dε=-∫∫fH(EG-F2)1/2dudvと書けます。

 

したがって,Rを点0(u0,v0)を与える(u0,v0)の近傍の(u,v)領域とすれば,この領域Rに対応する曲面の面積A(f,ε)が極小であること,つまりdA/dε=0 であることは,平均曲率H=(κ1+κ2)/2 がゼロであることと同等であることがわかります。

次に,主として曲率の接ベクトル成分である測地的曲率ベクトルgに関する話題に移ります。

 

一般相対論での曲がった4次元時空上の粒子運動を2次元曲面上に束縛された粒子の運動と同一視して比較することを考えて,面を示すパラメータ,つまり多様体の上に書いた地図座標(u,v)を(u1,u2)と表記して曲面(u,v)を(u1,u2)と書き直してみます。

このとき,基底をなす接ベクトルu(∂/∂u),v(∂/∂v)は,i(∂/∂ui)となり,一般の接平面上のベクトルを示す線型結合ξu+ηvパラメータξ,ηをξi(i=1,2)と添字表現に書き直してξi,iと表現されます。

 

そこで,E≡(u,u)=u2,F≡(u,v)=(v,u),G≡(v,v)=v2なる表記を通常の多様体の計量の記号gij(,i,,j)=(∂/∂ui,∂/∂uj)に変更すると,接ベクトル:ξu+ηv=ξi,iの長さの平方(Eξ2+2Fξη+Gη2)は,gijξiξjとなります。

 

これは相対論の記法に慣れている人なら,ds2=gijdξidξjと書いた方が馴染み深いでしょう。

ところで,u,vによる2階微分の表式:uu=Γuuu+Γvuuv+L,uv=Γuuvu+Γvuvv+M,vu=Γuvuu+Γvvuv+M,vv=Γuvvu+Γvvvv+Nでは,2次元の曲面内に束縛されて,3つ目の次元である法ベクトルを認識できない粒子(生物?)にとっては,L,M,Nは無関係な量でクリストッフェル記号Γのみが重要です。

 

これは,添字表現では,i,j=∂2/∂ui∂uj=Γkij(∂/∂uk)+hij(u1,u2)と書けます。

そして,(uv,u)=Γuv(u,u)+Γvuv(u,)etc.の添字表現は(∂2/∂ui∂uj,∂/∂ul)=Γkij(∂/∂uk,∂/∂ul),すなわち,glkΓkij(∂2/∂ui∂uj,∂/∂ul)です。

 

ところが,(∂gli/∂uj)=(∂2/∂ui∂uj,∂/∂ul)+(∂/∂ui,∂2/∂ul∂uj),(∂glj/∂ui)=(∂2/∂uj∂ui,∂/∂ul)+(∂/∂uj,∂2/∂ul∂ui)であり,

 

(∂gij/∂ul)=(∂2/∂ui∂ul,∂/∂uj)+(∂/∂ui,∂2/∂ul∂uj)なので,結局glkΓkij=(1/2)(∂gli/∂uj+∂gli/∂uj-∂gij/∂ul)なる表式が得られます。

 

そこで,(gij)の逆行列を(gij)≡(gij)-1で定義すれば,Γkij(gkl/2)(gli,j+glj,i-gij,l)となります。

 

これは,2008年7/2の記事「球対称時空解(シュヴァルツシルト解)の導出(1)」で与えた一般相対論での接続係数としてのクリストッフェル記号の表現式σμν(gσρ/2)(gρν,μ+gρμ,ν-gμν,ρ);(gμν)≡(gμν)-1と時空の次元の違いを除いて完全に一致します。

 

これを時空の一般座標xμと局所ローレンツ系の座標Xμを用いて表現すると,2008年7/5の記事「球対称時空解(シュヴァルツシルト解)の導出(2)」や7/13の記事「重力崩壊とブラックホール(1)」において,

 

μν=(∂Xρ/∂xμ)(∂Xσ/∂xνρσ,かつΓσμν=(∂xσ/∂Xρ)(∂2σ/∂xμ∂xν),または(∂Xρ/∂xσ)Γσμν2ρ/∂xμ∂xνとなります。

 

さらに,両辺に(∂Xρ/∂xτ)を掛けてρで縮約すると,τσΓσμν=(∂2ρ/∂xμ∂xν)(∂Xρ/∂xτ)となります。

 

と書いた式になっています。

 

この最後の式も,曲面に束縛されて,束縛力以外には全く外力を受けない粒子に対するΓの表式:glkΓkij(∂2/∂ui∂uj,∂/∂ul)と形が全く一致しています。

 

これらのことから,束縛運動を表わす空間3次元の位置ベクトルr=(x,y,z)=(x1,x2,x3)が曲がった4次元空間の局所ローレンツ座標Xμ=(X0,)=(X0,X1,X2,X3)に対応し,一方,2次元のパラメータ(u,v)=(u1,u2)が4次元空間の時空座標xμ=(x0,)=(x0,x1,x2,x3)に対応することがわかります。

そして,2次元曲面に張り付いていて3つ目の次元を知らない粒子(生物)にとって何の力も働いていない場合の粒子の運動方程式を考えてみます。

このとき2次元生物には認識できませんが,実は粒子を曲面上に束縛するための未知の束縛力があり,それが接平面に垂直な向きの力であるとしてβ(1,u2)(u1,u2)と表わされるとします。

  

そうすれば,結局粒子の運動方程式はd2(t)/dt2=β(t)()と書けるはずです。これは"(s)=gn=β(s)()と書いても同じことです。

そして,これは(/∂ui)(d2i/dt2)+(2/∂ui∂uj)(dui/dt)(duj/dt)=β(t)()と変形できます。

 

2/∂ui∂ujを互いに独立な接ベクトル成分と法ベクトル成分に分解した表現:∂2/∂ui∂uj=Γkij(∂/∂uk)+hijをこの式の左辺に代入すれば,(/∂uk){(d2k/dt2)+Γkij(dui/dt)(duj/dt)}=0,ij(dui/dt)(duj/dt)=βを得ます。

 

前者は最初に述べた測地的曲率ベクトルgについて,g0 なることを意味し,これに従う曲面上の曲線路を測地線と呼びます。

 

そして,これのみが2次元曲面に束縛された生物にとって意味のある運動方程式です。

 

これは独立なベクトル:(/∂uk)の係数をゼロとおくことで(d2k/dt2)+Γkij(dui/dt)(duj/dt)=0 なる表式になります。

 

最後の式は曲面の上に書いた局所的な地図のxy座標であるukに対する方程式ですが,このg0 なる2次元測地線が以前に述べた曲がった4次元時空での測地線に対応するということのより詳細な意味については次回の記事で述べたいと思います。

参考文献:小林昭七著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房),大森秀樹 著「(数学セミナー増刊)入門現代の数学(8):力学的な微分幾何」(日本評論社),大森英樹 著「一般力学系と場の幾何学」(岩波書店)

 

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