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2008年8月21日 (木)

相対論の幾何学(第Ⅰ部-8:空間曲面(4):微分形式)

相対論の幾何学(空間曲面)の続きです。

前回は,曲面(u,v)上の点の変位d=θ11θ22に対して外微分の公式(d)=((dx),(dy),(dz))0 を適用することから,第1構造式:dθj=Σi=12θi∧ωij(j=1.2),つまりdθ1=θ2∧ω21,dθ2=θ1∧ω12を得ました。

 

そしてωi3=Σj=12ijθj (i=1,2)の係数について,12=b21が成立すること,すなわち,t1323)=Bt12)の係数行列Bが対称行列であることも自然に得られました。

そこで,次にd(di)=0 なる等式にdi=Σj=13ωijjを代入します。iは 0次微分形式,ωijは1次微分形式なので,これはΣj=13dωijj-Σj=13ωij∧dj=Σk=13{(dωik-Σj=13ωijωjk)k}=0 と変形できます。それ故,dωik=Σj=13ωijωjkが成立します。

 

そして,特にk=1,2,つまり接平面成分を考えます。i=1,2の場合にはωi3=Σj=12ijθj (i=1,2)を考慮することにより,dωik=Σj=13ωijωjk=Σj=12ωijωjk+ωi3ω3k=Σj=12ωijωjk+ωk3ωi3,すなわちdωikΣj=12ωijωjk+Σh,j=12khijθj∧θjなる式を得ます。

結局,dωik=Σj=12ωijωjk(1/2){Σh,j=12(khijkjihj∧θj} (i,k=1,2)なる表現が得られます。

 

ところが以前に述べたようにωik(i,k=1,2)で作られる行列は交代行列であるため,独立な成分は唯一つなので,例えばω21だけを考えれば十分です。

 

そして,ω21についての式は,dω21=Σj=12ω2jωj1(1/2){Σh,j=12(1h2j1j2hj∧θj}=(112212211∧θ2(detB)θ1∧θ2です。

ここで,Gausの曲率K≡κ1κ212は主曲率)がK=detB=11221221で与えられるので,dω21=Kθ1∧θ2と書けることがわかります。

 

これは第2構造式と呼ばれます。

一方,dωik=Σj=13ωijωjkでk=3の法線成分dωi3=Σj=12ωijωj3において,i=1,2の場合を考えて,ωi3=Σj=12ijθj (i=1,2)をこれに代入すると,(Σj=12ijθj)=Σj=12ij(Σk=12jkθk)}となります。

 

そして,この式の左辺はΣj=12(dij∧θjijdθj)と展開できますから,さらにdθj=Σi=12θi∧ωij(j=1.2)を代入するとΣj=12(dij∧θj)-Σj,k=12(ijωkj∧θk)となります。

以上から,結局Σk=12{(dikΣj=12ijωkj-Σj=12jkωij)∧θk}=0 が得られます。左辺の( )の中は1次微分形式ですから,これをθ1,θ2の線型結合で表わせます。

 

そこで,線型結合のθ1,θ2係数をbik,lと表わしてdikΣj=12ijωkj-Σj=12jkωij=Σl=12ik,lθlと書けば,上で得られた式がΣk,l=12ik,lθl∧θk0 を意味することがわかります。

このとき,上の最後の式の左辺はiとkの交換について対称なので,もちろんbik,l=bki,lですが,上述のΣk,l=12ik,lθl∧θk0 は独立なθl∧θkの1次関係式としては,(1/2)Σk,l=12(bik,l-bil,k)θl∧θk0 という形になるのでbik,l=bil,k,特にbi2,1=bi1,2が成立します。

 

これをMainardi-Codazziの式と呼びます。

すなわち,係数の集合を改めて{bij,k}と書けば,結局,これはbij,kが添字(i,j,k)について完全対称であることに他なりません。

 

これと第2構造式:dω21=Kθ1∧θ2,K=detB=11221221を合わせて,曲面論の基本式と呼びます。

既に空間曲線の項で,弧長パラメータsの関数としてκ=κ(s)>0,τ=τ(s)が与えられれば,これらをそれぞれ曲率,捩率(るいりつ)とする空間曲線が存在して本質的には一意に決まることを述べました。

空間曲面の場合にも同様な命題を考えてみます。

 

(u,v)平面内の領域Dの上の全ての点で,1次独立な1次微分形式θ12を取ったとき,第1基本形式をI=(d,d)=θ1θ1+θ2θ2,第2基本形式をΠ=-(d,d3)=Σi,j=12ijθiθj (ただし,bji=bij)とする曲面(u,v);(u,v)∈Dが存在するだろうか?

  

そして存在すれば本質的に一意に決まるであろうか?

 

という問題を考えます。

まず,既に述べたことから,1次微分形式θ12が与えられたとき空間にある正規直交基底:1,2,3 (ただし31×2)を取って,d≡θ11+θ22とおけば,第1基本形式は確かにI=(d,d)=θ1θ1+θ2θ2となります。

 

そして,di=Σj=13ωijjと書けば,(i,j)=δijにより1次微分形式ωijについてωijωji0 が成立し,第1構造式:dθj=Σi=12θi∧ωij(j=1.2)も満たされることがわかります。

しかし,実は独立な1次微分形式θ12が与えられたとき,こうした性質を持つ1次微分形式ωij,したがって正規直交標構1,2,3は一意的に決まることがわかります。

すなわち12が与えられたとき,ω21≡b1θ1+b2θ2と置いて,これがω21=-ω12,および第1構造式dθ1=θ2∧ω21,dθ2=-θ1∧ω21を満たすとすれば,dθ1=-1θ1∧θ2,dθ2=-2θ1∧θ2です。

 

そこで,ω211θ1+b2θ2を決める係数b1,b2,したがってω21=-ω1211=ω220 は全て一意的に決まります。

また,多様体に関わる知識から,1次独立な1次微分形式(余接空間のベクトル)θ12に対してこれに双対な接ベクトル場(接空間のベクトル=接ベクトル)の基底1,2が一意的に存在してθi(j)=δijを満たすようにできることがわかります。

 

ただし,θi(j)というのは余接空間のベクトルθ12と接空間のベクトル1,2の内積で以下のように定義されます。

まず,連続微分可能なu,vの任意関数ξ=ξ(u,v),η=η(u,v)に対し,(ξ,η)≡ξ(∂/∂u)+η(∂/∂v)なる形の微分演算子(方向微分)全体の集合を(u,v)空間のベクトル場と定義すると,これは(∂/∂u),(∂/∂v)を基底とする2次元の"線型空間=ベクトル空間"を作ることがわかります。

この空間では(∂/∂u),(∂/∂v)を基底と考えれば,ξ,ηはベクトルξ(∂/∂u)+η(∂/∂v)の成分と考えられるので,このベクトルは成分表示では,(ξ,η)と書くことができます。

 

そして,この2次元ベクトル空間を接空間と呼びます。

 

このように呼ぶ理由については後述する予定です。

一方,1次微分形式φ(f,g)≡fdu+gdvの全体もdu,dvを基底とする2次元の線型空間(ベクトル空間)を作ります。

 

そして(ξ,η)とφ(f,g)に対して,φ()≡fξ+gηなる演算を定義し,これをベクトル(f,g)とベクトル(ξ,η)の1つの内積と考えることにします。

 

先のθi(j)(i,j=1,2)は,この内積φ()において,φをθijに置き換えたものに相当します。

このとき,内積φ()によって,ベクトル(f,g)=fdu+gdvは,対応する接空間のベクトル(ξ,η)=ξ(∂/∂u)+η(∂/∂v)に双対なべクトルであると考えることができます。

 

そこで,1次微分形式:φ=fdu+gdv全体の作る空間を,接空間に双対な空間であるという意味で余接空間と呼びます。

ここで,2次元多様体の話から3次元空間内の曲面の話に戻ります。

空間曲面S:(u,v)上の点(u,v)における接平面は1次独立な2つのベクトル/∂u,v/∂vによって張られますが,こうして得られる点での"接空間(接平面)=2次元ベクトル空間"をT(S)で表わすことにします。

 

(S)はuvの1次結合:ξ+ηv =ξ(∂/∂u)+η(∂/∂v)=(ξ,η)[]の形のベクトル全体の集合です。

 

(S)の各ベクトル(ξ,η)[]は接ベクトルと呼ばれます。

(S)の各接ベクトル(ξ,η)[]=ξ+ηv は,,vを基底とする斜交座標系では(ξ,η)と成分表示されます。

 

そこで,空間曲面S:(u,v),および,点(u,v)を固定して考える限り,同じ成分表示を持つベクトル (ξ,η)[]と接ベクトル場の元(ξ,η)は完全に1対1に対応するので,これらを同一視してよいと考えられます。

したがって,先に述べた(∂/∂u),(∂/∂v)を基底とする2次元の線型空間(ベクトル空間)をも接空間と呼び,同じ記号T(S)で表わすことにします。

ところで曲面S上の曲線を(u,v)平面上の曲線u=u(s),v=v(s)によって(s)≡r(u(s),v(s))で定義するとき,

 

曲線上の点(s)における接ベクトルは,d/ds

=(du/ds)(∂/∂u)+(dv/ds)(∂/∂v)

=(du/ds)+(dv/ds)で与えられますから,

/dsは,成分表示が(du/ds,dv/ds)のT(S)

の1つの元です。

この接ベクトルはパラメータsを時刻tに変更すれば,点の速度ベクトルに相当するので,特に≡(du/ds)(∂/∂u)+(dv/ds)(∂/∂v)なる記号で表わすことにします。

 

逆に,点における任意の接ベクトルξ+ηv はのこの点を通るある曲線(s)≡r(u(s),v(s))における接ベクトルd/ds=(du/ds)(∂/∂u)+(dv/ds)(∂/∂v)=[]で表わすことができます。

 

というのは,一般に力学系としての常微分方程式系:du/ds=ξ(u,v),dv/ds=η(u,v)の解u=u(s),v=v(s)の存在することが保証されているからです。

 

こうして任意のT(S)の接ベクトルξ(∂/∂u)+η(∂/∂v)を,d/ds,あるいは=(du/ds)(∂/∂u)+(dv/ds)(∂/∂v)と同一視できます。

 

一方,の任意関数ψ=ψ()の曲面S上の曲線(s)≡r(u(s),v(s))上の点における微分dψ/dsは,dψ/ds=(dψ/d)(d/ds)=(dψ/d)([])と表わされます。

 

ただし,dψ/d≡∇ψです。

 

そこで,d/dsをdψ/ds=(dψ/d)(d/ds)に写す写像を記号dψで表わし,微分写像(微分演算子)と呼ぶことにします。

 

つまり,d/ds=[]→dψ/ds=(dψ/d)([])なる写像を,d/ds=[] →dψ/ds={dψ()}[]と考え,dψを演算子に対する写像:dψ()とするわけです。

 

ここで曲面S:(u,v)に対しψ(u,v)≡ψ((u,v))とすれば,dψ/dr=∇ψにおいてdrはSの接平面に属する接ベクトルですからdψ=(dψ/d)dr=(dψ/d){(∂/∂u)du+(∂/∂v)dv}です。

 

この式でdv=0 とすれば∂ψ/∂u=(dψ/d)(∂/∂u)=(dψ/d)uを得ます。同様にdu=0 から∂ψ/∂v=(dψ/d)(∂/∂v)=(dψ/d)vです

 

そこで,d/ds=ξu+ηvなら,dψ/ds=(dψ/d)(d/ds)=(dψ/d)(ξu+ηv)=ξ(∂ψ/∂u)+η(∂ψ/∂v)です。

 

ところでd/ds=ξu+ηvにおいて,ξ=du/ds,η=dv/dsでしたから,結局dψ/ds=ξ(∂ψ/∂u)+η(∂ψ/∂v)=(∂ψ/∂u)(du/ds)+(∂ψ/∂v)(dv/ds)です。

 

トートロジー(同義語反復)のようですが,上の式でψ=uを代入するとdu/ds=ξ,ψ=vを代入するとdv/ds=ηです。

 

これらは写像du,dvをd/ds=ξu+ηvにそれぞれ作用させるとξ,ηになることを意味しています。

 

一方,d/dsにdψを作用させるとdψ/ds=ξ(∂ψ/∂u)+η(∂ψ/∂v)となりますから,結局,写像dψの作用は(∂ψ/∂u)du+(∂ψ/∂v)dvの作用と同じであることがわかります。

 

したがって,結局dψは写像としてdψ=(∂ψ/∂u)du+(∂ψ/∂v)dvなる合成関数の微分則を満たします。

 

このことから,dψはdu,dvから成る1次微分形式,特に完全微分を示す完全形式と同一視してよいと思われます。

 

そして逆に任意の1次微分形式φ≡fdu+gdvが与えられたとき,これを微分写像と考えて,φ()=φ{ξ(∂/∂u)+η(∂/∂v)}=fdu()+gdv()とします。

 

しかし,du()=du{ξ(∂/∂u)+η(∂/∂v)}=ξ,またはdu/ds=ξ,そしてdv()=dv{ξ(∂/∂u)+η(∂/∂v)}=η,またはdv/ds=ηなので,φ()=fξ+gηとなります。

 

これは前に(f,g)と(ξ,η)の内積として定義した同じ記号のφ()に一致します。

 

こうして,線型写像の空間としての余接空間のベクトルと接空間のベクトルの内積φ()の意味も明確になりました。

 

さて,前述の1次微分形式と接ベクトル場の内積の定義から,1次独立な1次微分形式θi=ai1du+ai2dv(i=1,2)が与えられたときベクトル場j(j=1,2)がj=bj1(∂/∂u)+bj2(∂/∂v)で与えられると仮定するとθi(j)=Σk=12ikjk(i,j=1,2)と書けます。

そこで1=a11du+a12dvとθ2=a21du+a22dvが1次独立であるという仮定により,θ12をdu,dvで表わしたこの係数の係数行列は逆行列を持つため,θi(j)=Σk=12ikjk=δijを満たすbjk(j,k=1,2)が一意的に決まると結論されます。

長々と説明してきましたが,要するに,与えられたθ1=a11du+a12dv,とθ2=a21du+a22dvに対し,

 

Σk=12ikjk=δij (i,j=1,2)を満たすbjk(j,k=1,2)を用いてj=bj1+bj2とおけば,ddu+dvとd=θ11+θ22なる表現が一致するわけです。

しかし,接平面の基底:1,2の内積は,

(i,j)=bi1j1(,u)+bi1j2(,v)+bi2j1(v,u)+bi2j2(v,v)=Ebi1j1+F(bi1j2+bi2j1)+Gbi2j2となりますから,

 

内積を通常の意味に取る限りは,正規直交基底の条件:(i,j)=δijが満たされるとは限りません。

そこで,j=bj1(∂/∂u)+bj2(∂/∂v)(j=1,2)を基底とした表現のベクトル=a1+b2=c1+d2の内積を新たに<,>≡ac+bdで定義して,1,2がとにかく<i,j>=δijを満たし正規直交基底の接平面部分になるようにします。

 

この定義では,の長さ(ノルム)は||≡<,>1/2です。

そして,これによって12の外積:1×2として接平面の法ベクトル3を与えます。

 

既に係数ωijのうち,ω21=-ω12,およびω11=ω220 は,ω211θ1+b2θ2を決める係数b1,b2がわかるために,一意的に得られることを述べましたが,

  

i,j>=δijを満たす正規直交標構1,2,3が得られたので,di=Σj=13ωijjに対して<di,j>=ωijを用いることで全ての係数ωijも決定されます。

こうして得られたω21に対して,dω21dω21=Kθ1∧θ2なる第2構造式の形に書けるはずなので,これから,u,vの関数としてGaussの曲率Kを求めます。

 

第1基本形式I=(d,d)=θ1θ1+θ2θ2,第2基本形式Π=-(d,d3)=Σi,j=12ijθiθj(ただしbji=bij)が満たされるなら,

K=detB=11221221となるはずなので,

 

dω21=Kθ1∧θ2を満たすKにとって,K=b11221221なる式が成立することは曲面(u,v)が存在してKがその曲面のGaussの曲率となるための必要条件です。

また,dikΣj=12ijωkj-Σj=12jkωij=Σj=12ik,lθlと書くとbi2,1=bi1,2も曲面(u,v)が存在するための必要条件です。

逆に,K=b11221221,bi2,1=bi1,2が満たされていれば第1基本形式I=(d,d)=θ1θ1+θ2θ2,第2基本形式Π=-(d,d3)=Σi,j=12ijθiθj(ただしbji=bij)を満たす空間曲面(u,v)が存在し,これは合同変換を除けば一意的であるという定理が成り立ちます。

これは曲面論の基本定理と呼ばれています。

 

このことはK=b11221221,bi2,1=bi1,2が,ある偏微分方程式の積分可能条件になっていることを意味します。

 

これについては後日の話題にします。

今日はここで終わります。

 

今回は14,5年くらい前,40代中盤で必要に迫られて再勉強した微分可能多様体などについてのノートを再読したりして,忘れていたことを思い出すために少し考えたのでかなり手間取りました。

次回からは実際に空間曲面の上での長さをRiemann(リーマン)計量として,計量を持つRiemann多様体関連の話,そして平行移動と接続,測地線,曲率などの考察に入る予定です。

参考文献:小林昭七 著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房),松本 幸夫 著「多様体の基礎」(東京大学出版会),B.F.シュッツ(B.F.Schutz)著(江里口 良治,二間瀬 敏文 訳)「相対論入門(下)」(丸善出版)

 

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