相対論の幾何学(第Ⅰ部-8:空間曲面(4):微分形式)

相対論の幾何学(空間曲面)の続きです。

前回は,曲面ｒ(ｕ,ｖ)上の点の変位ｄｒ＝θ¹ｅ₁＋θ²ｅ₂に対して外微分の公式ｄ(ｄｒ)＝(ｄ(ｄｘ),ｄ(ｄｙ),ｄ(ｄｚ))＝0 を適用することから,第１構造式:ｄθ^j＝Σ_i=1²θⁱ∧ω_i^j(ｊ＝1.2),つまりｄθ¹＝θ²∧ω₂¹,ｄθ²＝θ¹∧ω₁²を得ました。

そしてω_i³＝Σ_j=1²ｂ_ijθ^j (ｉ＝1,2)の係数について,ｂ₁₂＝ｂ₂₁が成立すること,すなわち,^t(ω₁³,ω₂³)＝Ｂ^t(θ¹,θ²)の係数行列Ｂが対称行列であることも自然に得られました。

そこで,次にｄ(ｄｅ_i)＝0 なる等式にｄｅ_i＝Σ_j=1³ω_i^jｅ_jを代入します。ｅ_iは 0次微分形式,ω_i^jは１次微分形式なので,これはΣ_j=1³ｄω_i^jｅ_j－Σ_j=1³ω_i^j∧ｄｅ_j＝Σ_k=1³{(ｄω_i^k－Σ_j=1³ω_i^j∧ω_j^k)ｅ_k}＝0 と変形できます。それ故,ｄω_i^k＝Σ_j=1³ω_i^j∧ω_j^kが成立します。

そして,特にｋ＝1,2,つまり接平面成分を考えます。ｉ＝1,2の場合にはω_i³＝Σ_j=1²ｂ_ijθ^j (ｉ＝1,2)を考慮することにより,ｄω_i^k＝Σ_j=1³ω_i^j∧ω_j^k＝Σ_j=1²ω_i^j∧ω_j^k＋ω_i³∧ω₃^k＝Σ_j=1²ω_i^j∧ω_j^k＋ω_k³∧ω_i³,すなわちｄω_i^k＝Σ_j=1²ω_i^j∧ω_j^k＋Σ_h,j=1²ｂ_khｂ_ijθ^j∧θ^jなる式を得ます。

結局,ｄω_i^k＝Σ_j=1²ω_i^j∧ω_j^k＋(1/2){Σ_h,j=1²(ｂ_khｂ_ij－ｂ_kjｂ_ih)θ^j∧θ^j} (ｉ,ｋ＝1,2)なる表現が得られます。

ところが以前に述べたようにω_i^k(ｉ,ｋ＝1,2)で作られる行列は交代行列であるため,独立な成分は唯一つなので,例えばω₂¹だけを考えれば十分です。

そして,ω₂¹についての式は,ｄω₂¹＝Σ_j=1²ω₂^j∧ω_j¹＋(1/2){Σ_h,j=1²(ｂ_1hｂ_2j－ｂ_1jｂ_2h)θ^j∧θ^j}＝(ｂ₁₁ｂ₂₂－ｂ₁₂ｂ₂₁)θ¹∧θ²＝(detＢ)θ¹∧θ²です。

ここで,Gausの曲率Ｋ≡κ₁κ₂(κ₁,κ₂は主曲率)がＫ＝detＢ＝ｂ₁₁ｂ₂₂－ｂ₁₂ｂ₂₁で与えられるので,ｄω₂¹＝Ｋθ¹∧θ²と書けることがわかります。

これは第２構造式と呼ばれます。

一方,ｄω_i^k＝Σ_j=1³ω_i^j∧ω_j^kでｋ＝3の法線成分ｄω_i³＝Σ_j=1²ω_i^j∧ω_j³において,ｉ＝1,2の場合を考えて,ω_i³＝Σ_j=1²ｂ_ijθ^j (ｉ＝1,2)をこれに代入すると,ｄ(Σ_j=1²ｂ_ijθ^j)＝Σ_j=1²{ω_i^j∧(Σ_k=1²ｂ_jkθ^k)}となります。

そして,この式の左辺はΣ_j=1²(ｄｂ_ij∧θ^j＋ｂ_ijｄθ^j)と展開できますから,さらにｄθ^j＝Σ_i=1²θⁱ∧ω_i^j(ｊ＝1.2)を代入するとΣ_j=1²(ｄｂ_ij∧θ^j)－Σ_j,k=1²(ｂ_ijω_k^j∧θ^k)となります。

以上から,結局Σ_k=1²{(ｄｂ_ik－Σ_j=1²ｂ_ijω_k^j－Σ_j=1²ｂ_jkω_i^j)∧θ^k}＝0 が得られます。左辺の( )の中は１次微分形式ですから,これをθ¹,θ²の線型結合で表わせます。

そこで,線型結合のθ¹,θ²の係数をｂ_ik,lと表わしてｄｂ_ik－Σ_j=1²ｂ_ijω_k^j－Σ_j=1²ｂ_jkω_i^j＝Σ_l=1²ｂ_ik,lθ^lと書けば,上で得られた式がΣ_k,l=1²ｂ_ik,lθ^l∧θ^k＝0 を意味することがわかります。

このとき,上の最後の式の左辺はｉとｋの交換について対称なので,もちろんｂ_ik,l＝ｂ_ki,lですが,上述のΣ_k,l=1²ｂ_ik,lθ^l∧θ^k＝0 は独立なθ^l∧θ^kの１次関係式としては,(1/2)Σ_k,l=1²(ｂ_ik,l－ｂ_il,k)θ^l∧θ^k＝0 という形になるのでｂ_ik,l＝ｂ_il,k,特にｂ_i2,1＝ｂ_i1,2が成立します。

これをMainardi-Codazziの式と呼びます。

すなわち,係数の集合を改めて{ｂ_ij,k}と書けば,結局,これはｂ_ij,kが添字(ｉ,ｊ,ｋ)について完全対称であることに他なりません。

これと第２構造式:ｄω₂¹＝Ｋθ¹∧θ²,Ｋ＝detＢ＝ｂ₁₁ｂ₂₂－ｂ₁₂ｂ₂₁を合わせて,曲面論の基本式と呼びます。

既に空間曲線の項で,弧長パラメータｓの関数としてκ＝κ(ｓ)＞0,τ＝τ(ｓ)が与えられれば,これらをそれぞれ曲率,捩率(るいりつ)とする空間曲線が存在して本質的には一意に決まることを述べました。

空間曲面の場合にも同様な命題を考えてみます。

(ｕ,ｖ)平面内の領域Ｄの上の全ての点で,１次独立な１次微分形式θ¹,θ²を取ったとき,第１基本形式をＩ＝(ｄｒ,ｄｒ)＝θ¹θ¹＋θ²θ²,第２基本形式をΠ＝－(ｄｒ,ｄｅ₃)＝Σ_i,j=1²ｂ_ijθⁱθ^j (ただし,ｂ_ji＝ｂ_ij)とする曲面ｒ＝ｒ(ｕ,ｖ)；(ｕ,ｖ)∈Ｄが存在するだろうか？

そして存在すれば本質的に一意に決まるであろうか？

という問題を考えます。

まず,既に述べたことから,１次微分形式θ¹,θ²が与えられたとき空間にある正規直交基底:ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃ (ただしｅ₃＝ｅ₁×ｅ₂)を取って,ｄｒ≡θ¹ｅ₁＋θ²ｅ₂とおけば,第１基本形式は確かにＩ＝(ｄｒ,ｄｒ)＝θ¹θ¹＋θ²θ²となります。

そして,ｄｅ_i＝Σ_j=1³ω_i^jｅ_jと書けば,(ｅ_i,ｅ_j)＝δ_ijにより１次微分形式ω_i^jについてω_i^j＋ω_jⁱ＝0 が成立し,第１構造式:ｄθ^j＝Σ_i=1²θⁱ∧ω_i^j(ｊ＝1.2)も満たされることがわかります。

しかし,実は独立な１次微分形式θ¹,θ²が与えられたとき,こうした性質を持つ１次微分形式ω_i^j,したがって正規直交標構ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃は一意的に決まることがわかります。

すなわち,θ¹,θ²が与えられたとき,ω₂¹≡ｂ₁θ¹＋ｂ₂θ²と置いて,これがω₂¹＝－ω₁²,および第１構造式ｄθ¹＝θ²∧ω₂¹,ｄθ²＝－θ¹∧ω₂¹を満たすとすれば,ｄθ¹＝－ｂ₁θ¹∧θ²,ｄθ²＝－ｂ₂θ¹∧θ²です。

そこで,ω₂¹＝ｂ₁θ¹＋ｂ₂θ²を決める係数ｂ₁,ｂ₂,したがってω₂¹＝－ω₁²,ω₁¹＝ω₂²＝0 は全て一意的に決まります。

また,多様体に関わる知識から,１次独立な１次微分形式(余接空間のベクトル)θ¹,θ²に対してこれに双対な接ベクトル場(接空間のベクトル＝接ベクトル)の基底ｅ₁,ｅ₂が一意的に存在してθⁱ(ｅ_j)＝δⁱ_jを満たすようにできることがわかります。

ただし,θⁱ(ｅ_j)というのは余接空間のベクトルθ¹,θ²と接空間のベクトルｅ₁,ｅ₂の内積で以下のように定義されます。

まず,連続微分可能なｕ,ｖの任意関数ξ＝ξ(ｕ,ｖ),η＝η(ｕ,ｖ)に対し,Ｘ_(ξ,η)≡ξ(∂/∂ｕ)＋η(∂/∂ｖ)なる形の微分演算子(方向微分)全体の集合を(ｕ,ｖ)空間のベクトル場と定義すると,これは(∂/∂ｕ),(∂/∂ｖ)を基底とする２次元の"線型空間＝ベクトル空間"を作ることがわかります。

この空間では(∂/∂ｕ),(∂/∂ｖ)を基底と考えれば,ξ,ηはベクトルξ(∂/∂ｕ)＋η(∂/∂ｖ)の成分と考えられるので,このベクトルは成分表示では,(ξ,η)と書くことができます。

そして,この２次元ベクトル空間を接空間と呼びます。

このように呼ぶ理由については後述する予定です。

一方,１次微分形式φ^(ｆ,g)≡ｆｄｕ＋ｇｄｖの全体もｄｕ,ｄｖを基底とする２次元の線型空間(ベクトル空間)を作ります。

そしてＸ_(ξ,η)とφ^(ｆ,g)に対して,φ(Ｘ)≡ｆξ＋ｇηなる演算を定義し,これをベクトル(ｆ,ｇ)とベクトル(ξ,η)の１つの内積と考えることにします。

先のθⁱ(ｅ_j)(ｉ,j＝1,2)は,この内積φ(Ｘ)において,φをθⁱにＸをｅ_jに置き換えたものに相当します。

このとき,内積φ(Ｘ)によって,ベクトル(ｆ,ｇ)＝ｆｄｕ＋ｇｄｖは,対応する接空間のベクトル(ξ,η)＝ξ(∂/∂ｕ)＋η(∂/∂ｖ)に双対なべクトルであると考えることができます。

そこで,１次微分形式:φ＝ｆｄｕ＋ｇｄｖ全体の作る空間を,接空間に双対な空間であるという意味で余接空間と呼びます。

ここで,２次元多様体の話から３次元空間内の曲面の話に戻ります。

空間曲面Ｓ:ｒ(ｕ,ｖ)上の点ｒ＝ｒ(ｕ,ｖ)における接平面は１次独立な２つのベクトルｒ_ｕ≡∂ｒ/∂ｕ,ｒ_v≡∂ｒ/∂ｖによって張られますが,こうして得られる点ｒでの"接空間(接平面)＝２次元ベクトル空間"をＴ_ｒ(Ｓ)で表わすことにします。

Ｔ_ｒ(Ｓ)はｒ_uとｒ_vの１次結合:ξｒ_ｕ＋ηｒ_v ＝ξ(∂ｒ/∂ｕ)＋η(∂ｒ/∂ｖ)＝Ｘ_(ξ,η)[ｒ]の形のベクトル全体の集合です。

Ｔ_ｒ(Ｓ)の各ベクトルＸ_(ξ,η)[ｒ]は接ベクトルと呼ばれます。

Ｔ_ｒ(Ｓ)の各接ベクトルＸ_(ξ,η)[ｒ]＝ξｒ_ｕ＋ηｒ_v は,ｒ_ｕ,ｒ_vを基底とする斜交座標系では(ξ,η)と成分表示されます。

そこで,空間曲面Ｓ:ｒ(ｕ,ｖ),および,点ｒ＝ｒ(ｕ,ｖ)を固定して考える限り,同じ成分表示を持つベクトル Ｘ_(ξ,η)[ｒ]と接ベクトル場の元Ｘ_(ξ,η)は完全に１対１に対応するので,これらを同一視してよいと考えられます。

したがって,先に述べた(∂/∂ｕ),(∂/∂ｖ)を基底とする２次元の線型空間(ベクトル空間)をも接空間と呼び,同じ記号Ｔ_ｒ(Ｓ)で表わすことにします。

ところで曲面Ｓ上の曲線を(ｕ,ｖ)平面上の曲線ｕ＝ｕ(ｓ),ｖ＝ｖ(ｓ)によってｒ(ｓ)≡ｒ(ｕ(ｓ),ｖ(ｓ))で定義するとき,

曲線上の点ｒ＝ｒ(ｓ)における接ベクトルは,ｄｒ/ｄｓ

＝(ｄｕ/ｄｓ)(∂ｒ/∂ｕ)＋(ｄｖ/ｄｓ)(∂ｒ/∂ｖ)

＝(ｄｕ/ｄｓ)ｒ_ｕ＋(ｄｖ/ｄｓ)ｒ_ｖで与えられますから,

ｄｒ/ｄｓは,成分表示が(ｄｕ/ｄｓ,ｄｖ/ｄｓ)のＴ_ｒ(Ｓ)

の１つの元です。

この接ベクトルはパラメータｓを時刻ｔに変更すれば,点の速度ベクトルに相当するので,特にＶ_ｒ≡(ｄｕ/ｄｓ)(∂/∂ｕ)＋(ｄｖ/ｄｓ)(∂/∂ｖ)なる記号で表わすことにします。

逆に,点ｒにおける任意の接ベクトルξｒ_ｕ＋ηｒ_v はのこの点を通るある曲線ｒ(ｓ)≡ｒ(ｕ(ｓ),ｖ(ｓ))における接ベクトルｄｒ/ｄｓ＝(ｄｕ/ｄｓ)(∂ｒ/∂ｕ)＋(ｄｖ/ｄｓ)(∂ｒ/∂ｖ)＝Ｖ_ｒ[ｒ]で表わすことができます。

というのは,一般に力学系としての常微分方程式系:ｄｕ/ｄｓ＝ξ(ｕ,ｖ),ｄｖ/ｄｓ＝η(ｕ,ｖ)の解ｕ＝ｕ(ｓ),ｖ＝ｖ(ｓ)の存在することが保証されているからです。

こうして任意のＴ_ｒ(Ｓ)の接ベクトルξ(∂/∂ｕ)＋η(∂/∂ｖ)を,ｄｒ/ｄｓ,あるいはＶ_ｒ＝(ｄｕ/ｄｓ)(∂/∂ｕ)＋(ｄｖ/ｄｓ)(∂/∂ｖ)と同一視できます。

一方,ｒの任意関数ψ＝ψ(ｒ)の曲面Ｓ上の曲線ｒ＝ｒ(ｓ)≡ｒ(ｕ(ｓ),ｖ(ｓ))上の点における微分ｄψ/ｄｓは,ｄψ/ｄｓ＝(ｄψ/ｄｒ)(ｄｒ/ｄｓ)＝(ｄψ/ｄｒ)(Ｖ_ｒ[ｒ])と表わされます。

ただし,ｄψ/ｄｒ≡∇ψです。

そこで,ｄｒ/ｄｓをｄψ/ｄｓ＝(ｄψ/ｄｒ)(ｄｒ/ｄｓ)に写す写像を記号ｄψで表わし,微分写像(微分演算子)と呼ぶことにします。

つまり,ｄｒ/ｄｓ＝Ｖ_ｒ[ｒ]→ｄψ/ｄｓ＝(ｄψ/ｄｒ)(Ｖ_ｒ[ｒ])なる写像を,ｄｒ/ｄｓ＝Ｖ_ｒ[ｒ] →ｄψ/ｄｓ＝{ｄψ(Ｖ_ｒ)}[ｒ]と考え,ｄψを演算子に対する写像：Ｖ_ｒ→ｄψ(Ｖ_ｒ)とするわけです。

ここで曲面Ｓ:ｒ＝ｒ(ｕ,ｖ)に対しψ(ｕ,ｖ)≡ψ(ｒ(ｕ,ｖ))とすれば,ｄψ/ｄｒ＝∇ψにおいてｄｒはＳの接平面に属する接ベクトルですからｄψ＝(ｄψ/ｄｒ)ｄｒ＝(ｄψ/ｄｒ){(∂ｒ/∂ｕ)ｄｕ＋(∂ｒ/∂ｖ)ｄｖ}です。

この式でｄｖ＝0 とすれば∂ψ/∂ｕ＝(ｄψ/ｄｒ)(∂ｒ/∂ｕ)＝(ｄψ/ｄｒ)ｒ_uを得ます。同様にｄｕ＝0 から∂ψ/∂ｖ＝(ｄψ/ｄｒ)(∂ｒ/∂ｖ)＝(ｄψ/ｄｒ)ｒ_vです。

そこで,ｄｒ/ｄｓ＝ξｒ_u＋ηｒ_vなら,ｄψ/ｄｓ＝(ｄψ/ｄｒ)(ｄｒ/ｄｓ)＝(ｄψ/ｄｒ)(ξｒ_u＋ηｒ_v)＝ξ(∂ψ/∂ｕ)＋η(∂ψ/∂ｖ)です。

ところでｄｒ/ｄｓ＝ξｒ_u＋ηｒ_vにおいて,ξ＝ｄｕ/ｄｓ,η＝ｄｖ/ｄｓでしたから,結局ｄψ/ｄｓ＝ξ(∂ψ/∂ｕ)＋η(∂ψ/∂ｖ)＝(∂ψ/∂ｕ)(ｄｕ/ｄｓ)＋(∂ψ/∂ｖ)(ｄｖ/ｄｓ)です。

トートロジー(同義語反復)のようですが,上の式でψ＝ｕを代入するとｄｕ/ｄｓ＝ξ,ψ＝ｖを代入するとｄｖ/ｄｓ＝ηです。

これらは写像ｄｕ,ｄｖをｄｒ/ｄｓ＝ξｒ_u＋ηｒ_vにそれぞれ作用させるとξ,ηになることを意味しています。

一方,ｄｒ/ｄｓにｄψを作用させるとｄψ/ｄｓ＝ξ(∂ψ/∂ｕ)＋η(∂ψ/∂ｖ)となりますから,結局,写像ｄψの作用は(∂ψ/∂ｕ)ｄｕ＋(∂ψ/∂ｖ)ｄｖの作用と同じであることがわかります。

したがって,結局ｄψは写像としてｄψ＝(∂ψ/∂ｕ)ｄｕ＋(∂ψ/∂ｖ)ｄｖなる合成関数の微分則を満たします。

このことから,ｄψはｄｕ,ｄｖから成る１次微分形式,特に完全微分を示す完全形式と同一視してよいと思われます。

そして逆に任意の１次微分形式φ≡ｆｄｕ＋ｇｄｖが与えられたとき,これを微分写像と考えて,φ(Ｖ_ｒ)＝φ{ξ(∂/∂ｕ)＋η(∂/∂ｖ)}＝ｆｄｕ(Ｖ_ｒ)＋ｇｄｖ(Ｖ_ｒ)とします。

しかし,ｄｕ(Ｖ_ｒ)＝ｄｕ{ξ(∂/∂ｕ)＋η(∂/∂ｖ)}＝ξ,またはｄｕ/ｄｓ＝ξ,そしてｄｖ(Ｖ_ｒ)＝ｄｖ{ξ(∂/∂ｕ)＋η(∂/∂ｖ)}＝η,またはｄｖ/ｄｓ＝ηなので,φ(Ｖ_ｒ)＝ｆξ＋ｇηとなります。

これは前に(ｆ,ｇ)と(ξ,η)の内積として定義した同じ記号のφ(Ｘ)に一致します。

こうして,線型写像の空間としての余接空間のベクトルと接空間のベクトルの内積φ(Ｘ)の意味も明確になりました。

さて,前述の１次微分形式と接ベクトル場の内積の定義から,１次独立な１次微分形式θⁱ＝ａⁱ₁ｄｕ＋ａⁱ₂ｄｖ(ｉ＝1,2)が与えられたときベクトル場ｅ_j(ｊ＝1,2)がｅ_j＝ｂ_j¹(∂/∂ｕ)＋ｂ_j²(∂/∂ｖ)で与えられると仮定するとθⁱ(ｅ_j)＝Σ_k=1²ａⁱ_kｂ_j^k(ｉ,ｊ＝1,2)と書けます。

そこで,θ¹＝ａ¹₁ｄｕ＋ａ¹₂ｄｖとθ²＝ａ²₁ｄｕ＋ａ²₂ｄｖが１次独立であるという仮定により,θ¹,θ²をｄｕ,ｄｖで表わしたこの係数の係数行列は逆行列を持つため,θⁱ(ｅ_j)＝Σ_k=1²ａⁱ_kｂ_j^k＝δⁱ_jを満たすｂ_j^k(ｊ,ｋ＝1,2)が一意的に決まると結論されます。

長々と説明してきましたが,要するに,与えられたθ¹＝ａ¹₁ｄｕ＋ａ¹₂ｄｖ,とθ²＝ａ²₁ｄｕ＋ａ²₂ｄｖに対し,

Σ_k=1²ａⁱ_kｂ_j^k＝δⁱ_j (ｉ,ｊ＝1,2)を満たすｂ_j^k(ｊ,ｋ＝1,2)を用いてｅ_j＝ｂ_j¹ｒ_ｕ＋ｂ_j²ｒ_ｖとおけば,ｄｒ＝ｒ_ｕｄｕ＋ｒ_ｖｄｖとｄｒ＝θ¹ｅ₁＋θ²ｅ₂なる表現が一致するわけです。

しかし,接平面の基底:ｅ₁,ｅ₂の内積は,

(ｅ_i,ｅ_j)＝ｂ_i¹ｂ_j¹(ｒ_ｕ,ｒ_u)＋ｂ_i¹ｂ_j²(ｒ_ｕ,ｒ_v)＋ｂ_i²ｂ_j¹(ｒ_v,ｒ_u)＋ｂ_i²ｂ_j²(ｒ_v,ｒ_v)＝Ｅｂ_i¹ｂ_j¹＋Ｆ(ｂ_i¹ｂ_j²＋ｂ_i²ｂ_j¹)＋Ｇｂ_i²ｂ_j²となりますから,

内積を通常の意味に取る限りは,正規直交基底の条件:(ｅ_i,ｅ_j)＝δ_ijが満たされるとは限りません。

そこで,ｅ_j＝ｂ_j¹(∂/∂ｕ)＋ｂ_j²(∂/∂ｖ)(ｊ＝1,2)を基底とした表現のベクトルＸ＝ａｅ₁＋ｂｅ₂とＹ＝ｃｅ₁＋ｄｅ₂の内積を新たに＜Ｘ,Ｙ>≡ａｃ＋ｂｄで定義して,ｅ₁,ｅ₂がとにかく＜ｅ_i,ｅ_j＞＝δ_ijを満たし正規直交基底の接平面部分になるようにします。

この定義では,Ｘの長さ(ノルム)は|Ｘ|≡＜Ｘ,Ｘ>^1/2です。

そして,これによってｅ₁とｅ₂の外積:ｅ₁×ｅ₂として接平面の法ベクトルｅ₃を与えます。

既に係数ω_i^jのうち,ω₂¹＝－ω₁²,およびω₁¹＝ω₂²＝0 は,ω₂¹＝ｂ₁θ¹＋ｂ₂θ²を決める係数ｂ₁,ｂ₂がわかるために,一意的に得られることを述べましたが,

＜ｅ_i,ｅ_j＞＝δ_ijを満たす正規直交標構ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃が得られたので,ｄｅ_i＝Σ_j=1³ω_i^jｅ_jに対して＜ｄｅ_i,ｅ_j＞＝ω_i^jを用いることで全ての係数ω_i^jも決定されます。

こうして得られたω₂¹に対して,ｄω₂¹はｄω₂¹＝Ｋθ¹∧θ²なる第２構造式の形に書けるはずなので,これから,ｕ,ｖの関数としてGaussの曲率Ｋを求めます。

第１基本形式Ｉ＝(ｄｒ,ｄｒ)＝θ¹θ¹＋θ²θ²,第２基本形式Π＝－(ｄｒ,ｄｅ₃)＝Σ_i,j=1²ｂ_ijθⁱθ^j(ただしｂ_ji＝ｂ_ij)が満たされるなら,

Ｋ＝detＢ＝ｂ₁₁ｂ₂₂－ｂ₁₂ｂ₂₁となるはずなので,

ｄω₂¹＝Ｋθ¹∧θ²を満たすＫにとって,Ｋ＝ｂ₁₁ｂ₂₂－ｂ₁₂ｂ₂₁なる式が成立することは曲面ｒ(ｕ,ｖ)が存在してＫがその曲面のGaussの曲率となるための必要条件です。

また,ｄｂ_ik－Σ_j=1²ｂ_ijω_k^j－Σ_j=1²ｂ_jkω_i^j＝Σ_j=1²ｂ_ik,lθ^lと書くとｂ_i2,1＝ｂ_i1,2も曲面ｒ(ｕ,ｖ)が存在するための必要条件です。

逆に,Ｋ＝ｂ₁₁ｂ₂₂－ｂ₁₂ｂ₂₁,ｂ_i2,1＝ｂ_i1,2が満たされていれば第１基本形式Ｉ＝(ｄｒ,ｄｒ)＝θ¹θ¹＋θ²θ²,第２基本形式Π＝－(ｄｒ,ｄｅ₃)＝Σ_i,j=1²ｂ_ijθⁱθ^j(ただしｂ_ji＝ｂ_ij)を満たす空間曲面ｒ(ｕ,ｖ)が存在し,これは合同変換を除けば一意的であるという定理が成り立ちます。

これは曲面論の基本定理と呼ばれています。

このことはＫ＝ｂ₁₁ｂ₂₂－ｂ₁₂ｂ₂₁,ｂ_i2,1＝ｂ_i1,2が,ある偏微分方程式の積分可能条件になっていることを意味します。

これについては後日の話題にします。

今日はここで終わります。

今回は14,5年くらい前,40代中盤で必要に迫られて再勉強した微分可能多様体などについてのノートを再読したりして,忘れていたことを思い出すために少し考えたのでかなり手間取りました。

次回からは実際に空間曲面の上での長さをRiemann(リーマン)計量として,計量を持つRiemann多様体関連の話,そして平行移動と接続,測地線,曲率などの考察に入る予定です。

参考文献:小林昭七 著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房),松本 幸夫 著「多様体の基礎」(東京大学出版会),Ｂ.Ｆ.シュッツ(B.F.Schutz)著(江里口 良治,二間瀬 敏文 訳)「相対論入門(下)」(丸善出版)

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