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2008年8月

2008年8月29日 (金)

相対論の幾何学(第Ⅰ部-9:曲面上の幾何(1))

 さて,またまた相対論の幾何学の続きです。

(u,v)平面内の領域Dの上で定義される空間曲面(u,v)上の各点に対して第1基本形式:I=(d,d)=Edudu+2Fdudv+Gdvdvが与えられているとします。

 

すなわち,領域Dにおいて定義されたu,vの関数:E,F,Gが与えられているとします。

 

ただし,常にI=(d,d)>0 ですから右辺が第1基本形式を表現するためには正値である必要があります。それ故,E>0 で判別式が負,つまりEG-F2>0 であるとします。

このように,D上の正値2次形式で与えられた第1基本形式をD上のリーマン計量(Riemannian metric)といいます。

一方,曲面上の曲線の長さを弧長パラメ-タをsで表わすとds=|d|,つまりds2=(d,d)です。

 

そこで,習慣上はRiemann計量を,I=(d,d)=Edudu+2Fdudv+Gdvdvという表現の代わりに,ds2=Edudu+2Fdudv+Gdvdvなる表現で書くのが普通です。

 

u,vをu1,u2と表記し,E=g11,F=g12=g21,G=g22として,Einsteinの縮約の規約を用いてI=ds2=gijduidujと表わす表現の方が馴染み深いかもしれません。

一般に,(u,v)座標平面内の領域Dとは別に,(x,y)座標平面内の領域D'があって,それぞれに"Riemann計量=第1基本形式":Edudu+2Fdudv+Gdvdv,および,E'dxdx+2F'dxdy+G'dydyが与えられているとします。

 

このとき,DとD'の間に微分可能な写像u=u(x,y),v=v(x,y)によって1対1の対応が与えられていて,この変換をEdudu+2Fdudv+Gdvdvに代入したときE'dxdx+2F'dxdy+G'dydyが得られる場合には,そうした対応は等長対応と呼ばれ,これら2つのRiemann計量は本質的に同じものとみなされます。

前の記事では,θ12をD上の1次独立な1次微分形式としてd=θ11+θ22と表現することから,I=(d,d)=θ1θ1+θ2θ2なる表式を得ました。

  

まず,これの逆として,与えられたRiemann計量:ds2=Edudu+2Fdudv+Gdvdvから,D上の1次独立な1次微分形式θ12が存在して,ds2=θ1θ1+θ2θ2と表わせることを証明します。

まず1=a11du+a12dv,θ2=a21du+a22dvとします。

 

このとき,ds2=θ1θ1+θ2θ2とds2=Edudu+2Fdudv+Gdvdvの両立は,E=(a11)2+(a12)2,F=a1121+a1222,G=(a21)2+(a22)2を意味します。

 

そこで例えばa11=E1/2,a12=0,a21=F/E1/2,a22=(EG-F2)1/2/E1/2とすれば,これらは満たされるので,確かに1次独立なある1次微分形式θ12を使ってds2=θ1θ1+θ2θ2と表わせることが示されました。

また,前の記事でも示したように,θ12が与えられればω21≡b1θ1+b2θ2と置いて,これがω21=-ω12,および第1構造式:dθ1=θ2∧ω21,dθ2=-θ1∧ω21を満たすことから,dθ1=-1θ1∧θ2,dθ2=-2θ1∧θ2です。

 

そこで,ω211θ1+b2θ2を決める係数b1,b2,したがってω21=-ω1211=ω220 は全て決まります。

 

このω11,ω21,ω1222を成分とする2×2交代行列Ω≡(ωji)を接続形式と呼びます。

こうして得られるω21から,第2構造式dω21=Kθ1∧θ2によってKを定義し,これをGaussの曲率と呼びます。

ここで,θ12とは別のdu,dvの1次微分形式θ^1,θ^2があってds2=θ1θ1+θ2θ2同じように,ds2=θ^1θ^1+θ^2θ^2と書けると仮定します。

 

θ^1,θ^2もθ12と同じくdu,dvの1次微分形式であり,θ12が1次独立なので,θ^1=s11θ1+s12θ2,θ^2=s21θ1+s22θ2と書けるはずです。

 

これは,θ^≡t(θ^1,θ^2),θt12)と列ベクトルで表わせば行列形式でθ^=Sθと書けます。ここにS≡(sij)です。

 

そして,これの転置を取れば,tθ^=tθtS,つまり(θ^1,θ^2)=(θ12)tSです。そこで,結局θ^1θ^1+θ^2θ^2tθ^θ^=tθtSStθと書けます。

 

ところがθ^1θ^1+θ^2θ^2=θ1θ1+θ2θ2,すなわちtθ^θ^=tθθという仮定でしたから,これはtSS=I(Iは単位行列)が成立することを意味します。それ故,Sは直交行列です。

次に,上のθ^=Sθの外微分を取ればdθ^=dS∧θ+Sdθとなります。一方,第1構造式:dθ1=θ2∧ω21,dθ2=θ1∧ω12はベクトルと行列による表現ではdθ=-Ω∧θと書けます。

そこでdθ^=dS∧θ+Sdθの右辺でSdθ=-SΩ∧θと書けるのでdθ^=dS∧θ-SΩ∧θです。

 

さらに,右辺のθθ=S-1θ^を代入すると,dθ^=dSS-1θ^-SΩ-1θ^=-(-dSS-1+SΩ-1)∧θ^となります。

 

それ故,Ω^≡-dSS-1+SΩ-1と定義すればdθ^=-Ω^θ^となってθ^についても第1構造式の形に書けます。

 

そして,Ω^≡-dSS-1+SΩ-1の転置を取れば,tS=S-1,tΩ=-Ωにより,tΩ^=-Sd(S-1)-SΩ-1=dSS-1-SΩ-1=-Ω^となり,確かにΩ^も交代行列です。

こうして,I=ds2=θ1θ1+θ2θ2を与えるdu,dvの独立な1次微分形式θ12をθ^1,θ^2に変えたとき,対応する接続形式Ω=(ωji)は,Ω^=(ω^ji)=-dSS-1+SΩ-1なる形に変換されることがわかりました。

次に,同じくθ12をθ^1,θ^2に変えたとき,Gaussの曲率の変換性K→ K^の性質を調べるために,Ω^=-dSS-1+SΩ-1Ω^S=-dS+SΩと書いて両辺の外微分を取ります。

(Ω^S)=d(-dS+SΩ)=d(SΩ)で最右辺はdS∧Ω+SdΩですが,左辺は(Ω^S)=dΩ^S-Ω^∧dSであり,これの右辺第2項に再びΩ^=-dSS-1+SΩ-1を代入すれば,(Ω^S)=dΩ^S+dSS-1∧dS-SΩ-1∧dSとなります。

それ故,dΩ^S+dSS-1∧dS-SΩ-1∧dS=dS∧Ω+SdΩ,または右からS-1を掛けてdΩ^+dSS-1∧dS-1-SΩ-1∧dS-1=dS∧ΩS-1+SdΩS-1となります。

 

つまり,dΩ^=SdΩS-1-dSS-1∧dS-1+SΩ-1∧dS-1+dSS-1∧SΩS-1です。

ところが,dSS-1∧dS-10 であり,t(dS-1)=Sd(-1)=d(S-1)-dS-1=-dS-1ですから,dS-1は交代行列です。

 

また,SΩ-1が交代行列であることもわかるので,SΩ-1∧dS-1+dS-1∧SΩ-10 です。

以上から,dΩ^=SdΩS-1なる変換性が得られました。

 

これを,第2構造式dω21=Kθ1∧θ2,dω^21=K^θ^1∧θ^2に代入すると,K^θ^1∧θ^2(detS)(Kθ1∧θ2)を得ます。

 

一方,θ^1=s11θ1+s12θ2,θ^2=s21θ1+s22θ2  or θ^=Sθから,明らかにθ^1∧θ^2(detS)(θ1∧θ2)です。

 

したがって,K^=Kが結論されます。

そこで,Gaussの曲率KはRiemann計量ds2にのみ依存し,第1基本形式I=ds2=θ1θ1+θ2θ2を与えるdu,dvの1次微分形式θ12の選択には無関係であることがわかりました。

 

特に,以前の空間曲面の論議では,Gaussの曲率Kは第2基本形式Π≡-(d,d)=-(udu+vdv,udu+vdv)=L(dudu)+2M(dudv)+N(dvdv)=θ1ω13+θ2ω23の停留条件や固有値を与える2次方程式の解の積で定義された量だったのですが,今の方法からは,Kは第1基本形式だけから決まることが示されたのです。

この事実は,Gaussによって初めて発見され,"最も素晴らしい定理"(Theorema egregium)と名付けられました。

 

こうして,Gaussの曲率K≡κ1κ2が第1基本形式だけから決まるのに対し,平均曲率H≡(κ1+κ2)/2 の方は第1基本形式だけでは決まらないことを,反例を挙げて示すことができますが,これは割愛します。

次に,Riemann計量ds2を用いて,Gaussの曲率Kを具体的に表わすことを試みます。

Kはdu,dvの独立な1次微分形式θ12の選択には無関係に決まる量なので,最初の方で書いたようにθ1=a11du+a12dv,θ2=a21du+a22dv,ds2=θ1θ1+θ2θ2=Edudu+2Fdudv+Gdvdvにおいて,a11=E1/2,a12=0,a21=F/E1/2,a22=(EG-F2)1/2/E1/2とする特殊な表式を採用してみます。

 

すなわち,θ1=E1/2du, θ2=FE-1/2du+(EG-F2)1/2-1/2dvなる表式を採用します。

このとき,θ1θ2(EG-F2)1/2du∧dv,dθ1=-(∂E1/2/∂v)du∧dv,dθ2=-[∂(FE-1/2)/∂v+∂{(EG-F2)1/2-1/2}/∂u]du∧dvとなります。

 

一方,前にω21≡b1θ1+b2θ2と置くと,第1構造式dθ1=θ2∧ω21,dθ2=-θ1∧ω21から,dθ1=-1θ1∧θ2,dθ2=-2θ1∧θ2となるため,これからb1,b2が決まると書きました。

 

実際,今のケースでは,1(∂E1/2/∂v)(EG-F2)-1/2,b2[∂(FE-1/2)/∂v+∂{(EG-F2)1/2-1/2}/∂u](EG-F2)-1/2が得られることがわかります。

 

これによって,ω21[(∂E1/2/∂v1+(∂(FE-1/2)/∂v+∂{(EG-F2)1/2-1/2}/∂v)θ2]/(EG-F2)1/2と書けます。

故に,ω21[(∂E1/2/∂v)E1/2du+(∂(FE-1/2)/∂v+∂{(EG-F2)1/2-1/2}/∂u){FE-1/2du+(EG-F2)1/2-1/2dv}]/(EG-F2)1/2=(∂E1/2/∂v)E1/2+(∂(FE-1/2)/∂v+∂{(EG-F2)1/2-1/2}/∂u)FE-1/2]du/(EG-F2)1/2+(∂(FE-1/2)/∂v+∂{(EG-F2)1/2-1/2}/∂u)-1/2dvと書けます。

これの外微分を取って,dω21=fdu∧dvなる形式を求め,それをθ1θ2(EG-F2)1/2du∧dvで割れば,ω21θ1θ2に従うKが得られるはずですが,今は疲れたのでPendingにします。

参考文献:小林 昭七 著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房)

 

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2008年8月25日 (月)

有限な1次元空間の運動量演算子の境界条件

 以前の2007年5月24日の記事「有限な1次元空間に限定された運動量演算子」に関連した問題で運動量演算子を規定するために,波動関数に課せられる境界条件の妥当性などが種々の掲示板やブログで問題になっているようなので,私のブログ記事を再掲し,内容説明をして少し補足しておくことにします。

     (再掲記事)↓

 表題の1次元空間での座標表示のSchrödinger表現の運動量演算子p=-ihcd/dx(hc≡h/(2π),hはPlanck定数)に関する問題は,私は以前個人的に考察したことがあります.

 

 これは,2001年頃に,岩波講座物理学[第2版]「量子力学Ⅱ」の第Ⅵ部の量子力学の構造において,物理量を表わす演算子の定義域とその自己共役性との関係に関わる問題として考察しました。

  

 その際に,ノートに記述した覚え書きを抜粋して書いてみます。

 まず,状態空間であるHilbert空間をHとします。

 

 もしも状態ベクトルを波動関数で表わす空間という意味で用いる場合には,Hは2乗可積分な関数族の空間L2です。

 

 そして,Hのベクトルに作用する線形演算子Aの定義域D(A)はHの部分空間であり,Hにおいて稠密であるとします。

 また,D(A)に属する任意の状態ベクトル(or 波動関数)φ,ψに対して,<φ|A|ψ>=<Aφ|ψ>となる場合にはAをエルミート演算子と呼びますが,その上さらにAの定義域D(A)がHで稠密な場合にはAは対称演算子である,といいます。

 ついでに,D(A)に属する状態ベクトルの列{ψn}があって,"ノルム収束=強収束"の意味での極限lim n→∞ψn=φ,lim n→∞(Aψn)=χが共に存在するとき,
必ずφ,χ(A)となって,Aφ=χが常に成立するとき,Aは閉じているとか,Aは閉演算子であるといいます。
 
 今,D(A)はHで稠密(dense)であるとします。

 

 このとき,Hに属する状態ベクトルφによっては,∀ψ(A)に対し<φ|A|ψ>=<χ|ψ>を満たすχHが存在することがあります。

 

 このようなφの全体をD(A*)と記し,χ≡A*φによって,D(A*)を定義域とするAの共役と呼ばれる線形演算子A*を定義します。

 Aが対称演算子のときには,∀φ
(A)に対してχ≡Aφとすることで,必ず<φ|A|ψ>=<χ|ψ>が成り立つので,D(A*)の方が集合としてD(A)より大きくなります。D(A)⊂D(A*)⊂Hです。

 

 特にD(A*)=D(A)の場合には,A*=Aと書いてこの場合の演算子Aを自己共役演算子であるといいます。

 Aが自己共役演算子であるときには,これは虚数固有値を持たないので観測量となる必要条件を満たしています。

 

 以下では,Aが"物理的観測可能量=observable"であるということと,Aが自己共役演算子であるということを同一視します。

 

 すなわち,Aが観測量であるための必要十分条件はAが自己共役演算子であることとします。

 ところが,1次元剛体壁(x=0,x=a)の間の区間[0,a]を動く粒子についての運動量演算子pが定義できるとして,

 

 これが区間(-∞,∞)において定義される通常のSchrödinger表示の運動量演算子と同じくp=-ihcd/dxであるとすると,これの[0,a]で定義された波動関数ψ(x)に対する作用はpψ=-ihc(dψ/dx)です。

 

 そして,p=-ihcd/dxの定義域Dは, 

 D≡{ψ(x):ψ(0)=ψ(a)=0,ψ2は[0,a]で絶対連続で(dψ/dx)2(0,a)} で定義される関数族として与えられます。

 ψ(x)が[0,a]で絶対連続であるとは,[0,a]でLebesgue積分可能な関数f(x)があって,∀x∈[0,a]に対して,ψ(x)=ψ(0)+∫0f(x)dxと表現できることをいいます。

 とにかく,このように定義したDはHilbert空間:H=L2(0,a)で稠密であることがわかります。

 

 そして証明はしませんがpは対称演算子であり,かつ閉演算子でもあります。しかしpは自己共役演算子ではありませんから,それは観測量であるための必要十分条件を満足しません。

 すなわち,例えばφ(x)=exp(ikx)に対してχ(x)=hckexp(ikx)とすれば<φ|p|ψ>=<χ|ψ>が全てのψ
(p)(=演算子pの定義域)に対して成立するのに,φ(x)=exp(ikx)はDには属さない,(φ(0)=φ(a)=0 を満たさない)からです。

 

 つまり,D(p)=Dが成り立ちませんから,Dを定義域とするp=-ihcd/dxは自己共役演算子の条件を満足しません。

 実際,物理的に見ても剛体壁のため粒子は往復運動を続けるしかないので,この系では決して運動量が確定することはありません。

 

 つまり,こうした状況では,そもそもpは観測量であるという要件を満たしていません。

 ということで,そもそもこのDに属する境界条件を満たすp=-ihcd/dxの固有状態は存在が不可能です。

 

 したがって,通常,状態はDに属する波動関数で表現されるにもかかわらず,これを展開できるような同じ境界条件を満足する固有関数もないという不都合な状況になっています。

 

 (もっとも自由空間(-∞,∞)での運動量p=-ihcd/dxの固有関数も完全なので束縛条件=境界条件に関わらずFourier展開という意味で展開することはできますが,それにどんな意味があるかは疑問です。)

 そこでpを拡大して,αを0
α2πのある定数としてL2(0,a)の部分空間D[α]をD[α]≡{ψ(x):ψ(a)=exp(iα)ψ(0),[0,a]で絶対連続で(dψ/dx)2(0,a)}と定義し,その作用は前と同じく,p=-ihcd/dxであるとします。

 

 すると,<φ|p|ψ>=<χ|ψ>なることは,

0φ*(-ihcdψ/dx)dx=∫0*ψ)dx(ψ[α])

と表現されます。

 これを満たすχ
∈Hの存在を許すφの範囲D[α,p*]が,正しくD[α]に一致し,その他,対称性,稠密性も示せるので,結局こう定義すればpは自己共役演算子であるといえます。

 

 そこで,この定義では全ての状態ψ∈Hにおける運動量pの観測量としての確率解釈(<ψ|p|ψ>がpの期待値を与えるという解釈)を行うことができます。

 つまり,この定義では,x軸を正の向きに走っていた粒子がx=aに達した途端にψ(0)=exp(-iα)ψ(a)によって,exp(-iα)の位相のずれを受ける程度で反対の端x=0 に顔を出し,再び正の向きに走り続けることを表わしているからです。

 数学的には,これはαの無数の選択に伴って運動量の演算子pの自己共役演算子への拡大の仕方が無数にあること(pには多義性あること)を意味しています。

 円のような周期運動ならα=0 としたいわゆる周期的境界条件:

ψ(a)=ψ(0)とするのが妥当ですが,そうでないケースに,これを取っても一般性を失わないと考えられます。

 つまり,ψ(x)=Csin(knx) (kn=nπ/a)
というように,剛体境界条件にこだわる限り,

 

 自由空間(-∞,∞)での自由粒子の状態ベクトルとしての固有状態の波動関数:exp(ikx)が状態空間H==L2には属していないという困難に類似して,量子論でのpの物理的意味付け自体が,結構むずかしいのではないかと思われます。

 

 要約すると,1次元の剛体壁で囲まれた箱という物理系は,古典的描像では,粒子が往復運動をしているので,

 

 ある位置座標での運動量あるいは速度を観測するとき,量子論におけるような不確定性原理というものは存在しないので,確定値としてその時刻時刻の逆向きの運動量あるいは速度を観測できます。

 

 しかし,それを量子力学の対象と考える場合,

 特に時間に無関係な"定常状態=エネルギー一定のあるエネルギー固有状態"だけの問題として捉える場合には,

  

 観測対象の物理量がその定常状態における保存量でないならば,私にはその"物理量の確定値=固有値"を観測しようという行為が何らかの意味を持つとは思えません。

 

 この定常状態でも,人間の目視あるいは観測装置によって運動量あるいは速度を観測することはもちろん可能ですが,

 

 それは定常状態での時間的平均値を観測するのではなく,その観測時刻における瞬時値の観測量であり定常状態の量ではありません。

 

 この場合に瞬時値として観測される運動量,あるいは速度は,箱の中の粒子の定常状態の範囲内で定義された運動量ではなくて,(-∞,∞)で与えられた一般的なそれであり,位置座標xを同時に確定することはできず,xについてはΔxだけぼやけています。

 

 もしも,これを1次元の剛体壁(x=0,x=a)で囲まれた箱の中の定常状態での量と見るならば,それは無限回独立に繰り返し観測された(-∞,∞)で与えられた,別の一般的定義による運動量,あるいは速度の"期待値=平均値"とみるべきであり,そして位置の不確定さΔxとしてはΔx=aと考えるべきです。

 

 一般に,物理学での,ある物理系で物理量=観測量として定義され名称を与えられているものは,パラメータである位置座標や時刻を除けば時間的な保存量に対してのみであると考えられます。

  

 1次元の剛体壁という境界条件の下では非定常状態として考えると,壁にぶつかるまでの微小時間帯では運動量あるいは速度は保存量ですが,この力学系を定常状態として,

 

 つまり時間というパラメータを度外視した時間を含まないSchrödinger方程式の解空間の範囲において考える限りでは,これは保存量ではなく"物理量=観測量(observable)"とは考えられません。

 

 そこで,そうした運動量の保存しない,"定常状態=エネルギー固有状態"のみを考えるという問題設定ならば,私であればそもそも運動量を観測するという必要性を感じません。

 

 ただ,1次元の箱の中の1粒子でも,量子論では無関係な全体にかかる位相を無視した定式化をして,粒子が往復運動をするという描像を忘れ,運動量が保存量となるような境界条件を与えるなら,(-∞,∞)領域での一般的な運動量と同様,1つの物理量として定義可能なように,定義を拡張することはできます。

 参考文献:岩波講座 現代物理学の基礎「第2版」4「量子力学Ⅱ」(再掲終わり)※

さて,本題ですが,これは対象とする系の演算子p=-ihcd/dxの定義域をD={ψ(x):ψ(0)=ψ(a)=0,[0,a]で絶対連続でdψ/dx2(0,a)}とした理由を示すことです。

 

どんな量子力学の状況であろうと,規格化するしないに関わらず1粒子波動関数ψ(x)に対しては,ψ*(x)ψ(x)dxがその粒子の存在確率に比例する量を示していると解釈されるので,ψ(x)はそのノルムの2乗が可積分なL2空間に属します。

 

このψ(x)に1次元Schrödinger表現の運動量演算子p=-ihcd/dxを作用させたもの:-ihcdψ/dxも定義できて期待値が計算可能であるべきだと考えられます。

運動量演算子の定義域についての条件は,できるだけ緩い方がいいと考えられるので,-ihcdψ/dxも可積分であるべきという条件をも考慮してdψ/dx2(0,a)としたのですが,この条件についてはこれで必要十分かといわれると必ずしも是とは断言できませんが。。。

そして,Schrödinger方程式:ψ=-{hc2/(2m)}d2ψ/dx2+V(x)ψ=Eψにおいて粒子が1次元剛体壁(x=0,x=a)の間に閉じ込められているという設定は,

 

左辺のHamiltonian:≡-{hc2/(2m)}d2/dx2+V(x)のポテンシャルV(x)が区間 [0,a]ではV(x)=0 であり,それ以外のx<0,またはx>aではV(x)=∞ であるという設定と同等であると考えられます。

 実際,物理的に考えて右辺のエネルギー固有値E(定常状態ではエネルギー期待値と同じ)は有限であるべきであり,また全確率に比例する∫-∞ψ*(x)ψ(x)dxも有限ですから,測度がゼロのxの区間を除けば,ψ(x)自身も有限です。

 

 そこで,一般に右辺の絶対値は有限:|Eψ|<∞なので左辺の絶対値も有限で|-{hc2/(2m)}d2ψ/dx2+V(x)ψ|< ∞ です。

ところがx軸上[0,a]を除く区間ではV(x)=∞ ですから,その区間でψ(x)が恒等的にゼロでないなら,|V(x)ψ|=∞となりますから,

  

この項と-{hc2/(2m)}d2ψ/dx2が相殺して-{hc2/(2m)}d2ψ/dx2+V(x)ψが右辺のEψと同じく有限になるためには,少なくともx軸上[0,a]を除く区間で常に|d2ψ/dx2|=∞ となることが必要です。

方程式d2ψ/dx2=C1(定数)を普通に解けば,ψ(x)=C1x+C2ですが,もしも[0,a]を除く区間ではC1=∞ の場合には,この関数ψ(x)=C1x+C2は[0,a]では有限であるとしても,確率の条件∫-∞ψ*(x)ψ(x)dx<∞ が満足されるはずはありません。

 

そこで,[0,a]を除く区間で,測度がゼロの区間を除けばψ(x)は恒等的にゼロであると考えられます。

 

したがって,粒子の存在確率は[0,a]以外ではゼロなので,この範囲に閉じ込められているという設定に同等であると思われるわけです。

そもそも2乗可積分な関数の空間L2に属する2つの関数f,gが,xでの積分には寄与しない測度ゼロのxの部分以外では等しい:f=gなら,測度ゼロの部分のみで2つの関数に有限差があっても,それらは恒等的に等しいとみなされます。

 

つまり,"ほとんど至るところで"f=0 なる関数fは,全て,関数空間でのゼロ関数と同定されます。

 そして,ψ(x)がSchrödinger方程式:-{hc2/(2m)}d2ψ/dx2+V(x)ψ=Eψの解になるためには,d2ψ/dx2が存在する必要があるので,通常はdψ/dxが連続かつ微分可能である必要があります。

 

 ただし,それはポテンシャルV(x)が有限:|V(x)|<∞ のときに限られます。

しかし,今のケースのようにx=0,aの境界でV(x)=0 から,V(x)=∞ の剛体障壁に飛躍するときには,その限りではありません。

 

例えばx=aの壁の左右でのdψ/dxをそれぞれ(dψ/dx),(dψ/dx)とおけばd2ψ/dx2はlimΔx→0[{(dψ/dx)-(dψ/dx)}/Δx]となり,これがaの右側で|V(x)ψ|=∞ なる項V(x)ψと相殺する必要があるので,必ずしも境界でdψ/dxが連続である必要はないのです。

 しかし,少なくともψ(x)は微分可能でdψ/dxが存在する必要はあるので,ψ(x)は絶対連続であり特にψ(0)=ψ(a)=0 となる必要があると考えられます。

 これで運動量演算子の定義域Dを与えるために設定された条件の存在理由についての説明を終わります。

 

 蛇足ですが,運動量演算子の定義域Dというのは,あくまで波動関数ψの属する空間,x表示の状態空間であるHilbert空間:L2の部分空間の意味であって,波動関数ψ(x)の定義域である1次元x座標の空間の部分空間のことではありません。

 

 確かに,今の場合粒子は[0,a]に閉じ込められていますが,それは波動関数ψ(x)がこの区間のみでゼロでなくて,[0,a]以外では恒等的にゼロであるという意味です。

 

 そこで,[0,a]をψ(x)の定義域と設定しても問題としては大差ないので,以前の記事ではそうした扱いをしていますが,

 

 一般に物理系の如何によらず,1次元の系では全x空間(-∞,∞)を波動関数ψ(x)の定義域とするのが慣例となっているので,演算子の定義域との混同を避けるため,以下では慣例に従う定義域:(-∞,∞)に変更した話を対象とします。

 

 一方,状態空間L2の部分集合としての運動量演算子の定義域DやD[α]は,今の場合のように粒子が長さaの範囲に閉じ込められているという設定では,x=0,aでゼロであるべき,という条件で規定しようとD[α]でα=0 の周期的境界条件で規定しようと,

 

 その固有値pが連続な全てのp^=-ihcd/dxの固有関数スペクトル;<x|p>=Aexp(ipx/hc)(x∈(-∞,∞)(Aは規格化定数)の完全系で展開される波動関数ψ(x)全体から成る全状態空間L2ではありません。

 

 それらは,区間[0,a]以外ではゼロで,[0,a]では離散的なpn=nπhc/a (n=0,±1,±2,..)を満たすp値に限定されたp=-ihcd/dxの固有関数スペクトルです。

 

 すなわち,<x|pn>=Bexp(ipnx/hc)(x∈[0,a];Bは規格化定数),<x|pn>= 0 (x<0 または x>a)で級数展開される波動関数ψ(x)の集合の部分集合であり,L2[0,a]の部分空間です。

 

(もしも,D[α]でα≠0 とするならpn=(nπ+α)hc/a(n=0,±1,±2,..)です。)

 

※(注) 実は,2006年7/22の記事「黒体輻射(空洞輻射)と空洞の形状」で考察したことですが,自由粒子が有限な領域に閉じ込められていること,つまり局在化していることと,運動量pが連続ではなく離散的であることは同等な意味を持ちます。

 

 逆に,エネルギーEや運動量pが有限な限界(切断)で押さえられるなら,それに双対な時間tや空間xの方は離散化されます。つまり時空座標が量子化されます。

 

 自由粒子の場合には,運動量pが離散的であることはエネルギーE(=運動エネルギーT)が離散的であることと同等です。

 

 Planckの黒体(空洞)輻射実験の場合なら,これは輻射光子の波数ベクトルと振動数ω=ckが離散的で,ω=ω1,ω2,..と書けることを意味し,E=hcωnにより空洞の中のエネルギー準位を規定します。

   

 そして前記ブログ記事では,輻射が閉じ込められている空洞の体積Vが有限であって,その大きさスケールLがL=V1/3であるときには,

 

 実際の実験室での空洞の形状をそのまま考慮して容器境界で剛体壁の境界条件を取ろうと,空洞を1辺がLの立方体に理想化して周期的境界条件を設定しようと,Vが同じであれば問題にとって本質的な差異は生じない,ということを論じています。

  

 つまり,本質的なのは不確定性原理:ΔpΔx~ h/2 であり,そのために,有限領域への局在を余儀なくされていてΔx≦Lの場合,つまり,"光子の波=輻射電磁波"がL以上には拡がることができない場合には,

 

 Δp≧h/L=πhc/Lとなって,運動量pに格子のようなπhc/Lのオーダーの離散的刻みが生じざるを得ないことになります。(注終わり)

  

 演算子の定義域がL2全体ではなく,その部分空間のDである場合でも,[0,a]以外でのψ(x)≡0 をも含めて波動関数ψ(x)の定義域は(-∞,∞)ですから,決してψ(x)の定義域が[0,a]に限定されるという風に誤解しないでください。

 

 運動量演算子;p=-ihcd/dxの定義域と呼んでいるので,それは別にDに限定せず,全状態空間でもよいように感じるかもしれませんが,

 

 実はここでいう演算子の作用すべき定義域というのは,対象とする物理系における波動方程式の解全体から成る解空間のことを指しています。

 

 つまり今の場合は境界条件を与えることで解が一意に決まることが可能になる偏微分方程式,すなわち定常状態のSchrödinger方程式の解の集合を定義域と呼んでいるのです。

 

 物理的に意味のある状態関数はSchrödinger方程式の解だけであり,それ以外のベクトルに観測量の演算子を作用させても無意味なので解空間を演算子の定義域とするのは自然なことですね。

 

 ところで,1次元Schrödinger表現の運動量演算子:p=-ihcd/dxについて関数空間での演算子の定義域を伴なう自己共役性ではなく,単にHermite性という意味だけなら∫-∞{φ*(x)(dψ/dx)}dx=[φ*(x)ψ(x)] -∞-∫-∞{φ*(x)(dψ/dx)}dxと書けるので,

 

 φ(±∞)=ψ(±∞)=0 なら,いつでも<φ|p|ψ>=∫-∞{φ*(x)(-ihcdψ/dx)}dx=∫-∞{(-ihcdφ/dx)*ψ(x)}dx=<pφ|ψ>が成立します。

 

今の場合も,[0,a]の外側のx<0,またはx>aではφ(x)=ψ(x)=0 なので,x=±∞ではφ(x)やψ(x)がゼロという要件は確かに満たされています。

  

そこで,その他の境界条件が運動量演算子の定義域Dを規定する条件であろうと,D[α]を規定するそれであろうと,運動量演算子の表現p=-ihcd/dxのHermite性は成立し全く問題はありません。

 

過去記事「有限な1次元空間に限定された運動量演算子」で述べたかったことのエッセンスは,今の定常状態の問題は自由粒子以外では一般に[,p]≠0 であることに起因するものです。

 

例えばちょっと違うけれど,粒子のスピン角運動量算子では,[s,s]≠0 なので,z軸のスピンsを測定した結果,アップ(up)かダウン(down)かが完全に確定した状態では,

 

これとは独立なx軸のスピンsを測定しても,これらを同時に決めることは不可能なので意味がないのではないか?というような話ですね。

 

PS:この話題とは直接関係ないですが,定常状態のSchrödinger方程式:ψ=Eψは,エネルギーの保存則:E=T+V(Tは運動エネルギーでT=p2/(2m)=mv2/2,Vは位置エネルギー)を示していますが,

 

古典論でも量子論でも非相対論では,エネルギーに明確な基準点,または原点があるわけではありません。

 

例えば,粒子の受ける力が電磁気のCoulomb力や,万有引力であれば,位置エネルギーVはV=-K/r+(定数)(K>0)なる形で与えられますが,

 

これは,"慣性の法則が成立するとされている場所=無限遠:r=∞"でV=0 となるように右辺の(定数)をゼロに取ってエネルギーの基準とするのが慣例となっています。

 

しかし,今の例の場合r→ 0 に対してV→-∞ となるので位置エネルギーには下限がないことがわかります。

 

また,V=-K/r+C(Cは定数)と設定しCを如何なる値に取って基準を変えようと,対象とする系の本質的な記述には無関係である,という曖昧さがあります。

 

量子論の方程式ψ=Eψにおいても,Tを変えないでVのみV→V+Cとシフトしても,E→E+Cとすれば同じψが解となって理論は不変であるといえます。

 

上述のように,位置エネルギーVには下限がないように見えますが,運動エネルギーTには明確な下限があります。

 

すなわち,古典論では明らかにT=p2/(2m)=mv2/2≧0 です。

 

そして量子論でも1次元の運動量演算子p=-ihcd/dxの期待値は実数ですから,T=p2/(2m)=(-ihcd/dx)2/(2m)は演算子として正値 or 非負です。

 

で,運動エネルギ-Tの方は基準をこう定めると絶対的,一意的かというとそうでもありません。

 

実際,位置エネルギーVを無視した自由粒子の運動ならGalileiの相対性原理が成立します。

 

つまりこれはGalilei変換に対して理論が不変,すなわち,どの慣性系を基準にして記述しても本質的に同じである場合ですね。

 

そうすると,1次元で考えた場合に,ある慣性系でT=p2/(2m)=mv2/2 と書けるとき,その慣性系に対して原点が相体速度uで運動する別の慣性系を基準にすると,v→ v-uとなるので,

 

T=mv2/2→ m(v-u)2/2と変わりますから,こういう意味では運動エネルギ-Tも絶対的ではなく相対的にころころ変わる量です。

 

例えば地上にいる人が見ると,音速程度で慣性飛行しているジェット機内のシートに着席している人も,やはり音速程度で運動しているので,

 

人の質量mは大したことはなくても運動エネルギ-:T=mv2/2 はかなり大きいですが,慣性飛行しているジェット機を基準系に取れば,その人は着席して静止しているだけですから,T=0 ですね。

 

Hamiltonian:=T+V自身が正値2次形式となる例としては,調和振動子=p2/(2m)+mω22/2≧0 があります。

 

古典論だと静止することが可能なので,エネルギー=Eの下限は確かにゼロで,それはp=x=0 の静止の場合です。

 

量子論では不確定性原理があって,pとxが同時に確定値を取ることはできず,"固有値=期待値"Eの下限は正の零点エネルギーとなるのはよく知られています。

 

前の話に戻りますが,基準を変えて,=p2/(2m)+mω22/2+C(Cは定数)としても問題に変わりはないので,例えばCを-∞ に近い非常に大きい負の数としてもかまいませんから,そういう意味ではエネルギー=Eに下限はなくなります。

 

しかし零点エネルギーに相当する"エネルギーが最低の安定な状態=基底状態"は,Cを加減する操作とは本質的に無関係な存在なので,わざわざ下限はないなどと考える必要はないでしょう。

 

また,水素様原子の電子のHamiltonianはc.g.s.単位で=p2/(2m)-Ze22/rです。

 

これは位置エネルギーがV=-Ze22/rであり,前にも述べたようにこれには下限がなく,このままでは電子が原子核に落ち込むまでは常に不安定で,ほぼ瞬時にr=0 まで落下してしまい,原子はこわれてしまって安定に存在できない,という困難がありました。

 

そして,これを回避しようとしたのが量子論の動機の1つでもあったことはよく知られています。

 

だからといって,これに定数C=∞ を加えるというような操作をするのはは,あまり意味がないでしょう。

 

本論の剛体障壁の井戸型ポテンシャルの問題でも無理に任意定数Cを加えた一般化した体系の1つとして問題を考えなくても,箱の中ではV=0 ,外ではV=∞ の設定で考えれば,

 

これで他の基準Cが異なる全ての場合を扱うのと同等になりますから,単純なわかりやすい特殊例だけでの話の方がいいと私的には思います。

 

なお,粒子場を第2量子化した場理論では"エネルギー下限の状態=基底状態"の存在を仮定して真空と呼んで特別扱いします。

 

Diracの空孔理論では自由粒子の負エネルギー電子の海があって,そのままでは系のエネルギーが最低,とはいってもdefiniteではなくて-∞ですが,Pauliの排他律によって電子状態には縮退が許されないので,その状態からさらに下のより安定な状態へと落ち込まないという話もありました。

 

これから,半導体の正孔からのアナロジーで,その電子の海の空孔が"負エネルギーの電子の反粒子=正エネルギーの陽電子"と同一視できるという発見的な話もありました。

 

しかし,Diracの空孔理論は電子がFermi粒子(Fermion)だから成立するもので,縮退可能なBose粒子(Boson)には適用できません。

 

まあ,単なる理論ですから,それらの問題が場の理論で完全に解決したわけではありませんが,

 

真空をエネルギーが最低の基底状態としてその状態のエネルギーをゼロと指定し,それから粒子が生成する演算子を施して得られる状態にさらに生成,消滅演算子を掛けて状態を得るようなFock空間を設定することで,一応の解決を見ています。

 

真空のエネルギーがゼロでなければならないのは,ゼロという数が ∞ と同じく"大きな対称性"を持つからです。

 

例えば長さがゼロの空間ベクトルなら,有限長さのベクトルとは異なって座標系の軸の回転に対して,その成分を変えません。

 

これは球対称性の例です。

 

そして,例えば温度が高くなるとか,あるきっかけでゼロでない状態に移ると今の話の対称性であれば,球対称性という対称性が破れて最低状態でなくなり相転移などが起こるとかいう話もあるようです。

 

PS:量子力学の微妙な数学的定式化の部分を論じるのなら,予め基礎的な知見が必要だと思います。

 

そのための参考としては,以前,kafukaさんの質問を意識して書いた2007年8/8のブログ記事「量子力学の基礎(表示の話)(1)」,「量子力学の基礎(表示の話)(2) の2つがあります。

 

興味おありなら参照してください。

 

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2008年8月24日 (日)

神に愛されたい(=永眠希望)

 自分なりにせいいっぱい生きてきたから強がりじゃなくて,そろそろ神様が愛してくれないかなあ などと思う今日この頃です。

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2008年8月23日 (土)

盲目の男が運転して実刑

 フランスで目のみえないジャーナリストが飲酒の上,車を運転してつかまって罰金と実刑をくらったらしいです。

 (「酒を飲んで無免許運転,盲目の男に実刑判決!!フランス,国際ニュース」)

 盲目だけれど,どうしても生まれて一度でも運転してみたかったとのこと,自分の身も危ないので酒でも飲まなければできなかったのでしょうね。

 悲しい話ですね。。。

 いろいろなニュースを読むと,ときどき私の琴線に触れることがあって思わず感情移入してしまいますが,こうしたときには視野が狭くなって主観的で一面的な見方しかできなくなるのが私の欠点かもしれません。

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2008年8月21日 (木)

相対論の幾何学(第Ⅰ部-8:空間曲面(4):微分形式)

相対論の幾何学(空間曲面)の続きです。

前回は,曲面(u,v)上の点の変位d=θ11θ22に対して外微分の公式(d)=((dx),(dy),(dz))0 を適用することから,第1構造式:dθj=Σi=12θi∧ωij(j=1.2),つまりdθ1=θ2∧ω21,dθ2=θ1∧ω12を得ました。

 

そしてωi3=Σj=12ijθj (i=1,2)の係数について,12=b21が成立すること,すなわち,t1323)=Bt12)の係数行列Bが対称行列であることも自然に得られました。

そこで,次にd(di)=0 なる等式にdi=Σj=13ωijjを代入します。iは 0次微分形式,ωijは1次微分形式なので,これはΣj=13dωijj-Σj=13ωij∧dj=Σk=13{(dωik-Σj=13ωijωjk)k}=0 と変形できます。それ故,dωik=Σj=13ωijωjkが成立します。

 

そして,特にk=1,2,つまり接平面成分を考えます。i=1,2の場合にはωi3=Σj=12ijθj (i=1,2)を考慮することにより,dωik=Σj=13ωijωjk=Σj=12ωijωjk+ωi3ω3k=Σj=12ωijωjk+ωk3ωi3,すなわちdωikΣj=12ωijωjk+Σh,j=12khijθj∧θjなる式を得ます。

結局,dωik=Σj=12ωijωjk(1/2){Σh,j=12(khijkjihj∧θj} (i,k=1,2)なる表現が得られます。

 

ところが以前に述べたようにωik(i,k=1,2)で作られる行列は交代行列であるため,独立な成分は唯一つなので,例えばω21だけを考えれば十分です。

 

そして,ω21についての式は,dω21=Σj=12ω2jωj1(1/2){Σh,j=12(1h2j1j2hj∧θj}=(112212211∧θ2(detB)θ1∧θ2です。

ここで,Gausの曲率K≡κ1κ212は主曲率)がK=detB=11221221で与えられるので,dω21=Kθ1∧θ2と書けることがわかります。

 

これは第2構造式と呼ばれます。

一方,dωik=Σj=13ωijωjkでk=3の法線成分dωi3=Σj=12ωijωj3において,i=1,2の場合を考えて,ωi3=Σj=12ijθj (i=1,2)をこれに代入すると,(Σj=12ijθj)=Σj=12ij(Σk=12jkθk)}となります。

 

そして,この式の左辺はΣj=12(dij∧θjijdθj)と展開できますから,さらにdθj=Σi=12θi∧ωij(j=1.2)を代入するとΣj=12(dij∧θj)-Σj,k=12(ijωkj∧θk)となります。

以上から,結局Σk=12{(dikΣj=12ijωkj-Σj=12jkωij)∧θk}=0 が得られます。左辺の( )の中は1次微分形式ですから,これをθ1,θ2の線型結合で表わせます。

 

そこで,線型結合のθ1,θ2係数をbik,lと表わしてdikΣj=12ijωkj-Σj=12jkωij=Σl=12ik,lθlと書けば,上で得られた式がΣk,l=12ik,lθl∧θk0 を意味することがわかります。

このとき,上の最後の式の左辺はiとkの交換について対称なので,もちろんbik,l=bki,lですが,上述のΣk,l=12ik,lθl∧θk0 は独立なθl∧θkの1次関係式としては,(1/2)Σk,l=12(bik,l-bil,k)θl∧θk0 という形になるのでbik,l=bil,k,特にbi2,1=bi1,2が成立します。

 

これをMainardi-Codazziの式と呼びます。

すなわち,係数の集合を改めて{bij,k}と書けば,結局,これはbij,kが添字(i,j,k)について完全対称であることに他なりません。

 

これと第2構造式:dω21=Kθ1∧θ2,K=detB=11221221を合わせて,曲面論の基本式と呼びます。

既に空間曲線の項で,弧長パラメータsの関数としてκ=κ(s)>0,τ=τ(s)が与えられれば,これらをそれぞれ曲率,捩率(るいりつ)とする空間曲線が存在して本質的には一意に決まることを述べました。

空間曲面の場合にも同様な命題を考えてみます。

 

(u,v)平面内の領域Dの上の全ての点で,1次独立な1次微分形式θ12を取ったとき,第1基本形式をI=(d,d)=θ1θ1+θ2θ2,第2基本形式をΠ=-(d,d3)=Σi,j=12ijθiθj (ただし,bji=bij)とする曲面(u,v);(u,v)∈Dが存在するだろうか?

  

そして存在すれば本質的に一意に決まるであろうか?

 

という問題を考えます。

まず,既に述べたことから,1次微分形式θ12が与えられたとき空間にある正規直交基底:1,2,3 (ただし31×2)を取って,d≡θ11+θ22とおけば,第1基本形式は確かにI=(d,d)=θ1θ1+θ2θ2となります。

 

そして,di=Σj=13ωijjと書けば,(i,j)=δijにより1次微分形式ωijについてωijωji0 が成立し,第1構造式:dθj=Σi=12θi∧ωij(j=1.2)も満たされることがわかります。

しかし,実は独立な1次微分形式θ12が与えられたとき,こうした性質を持つ1次微分形式ωij,したがって正規直交標構1,2,3は一意的に決まることがわかります。

すなわち12が与えられたとき,ω21≡b1θ1+b2θ2と置いて,これがω21=-ω12,および第1構造式dθ1=θ2∧ω21,dθ2=-θ1∧ω21を満たすとすれば,dθ1=-1θ1∧θ2,dθ2=-2θ1∧θ2です。

 

そこで,ω211θ1+b2θ2を決める係数b1,b2,したがってω21=-ω1211=ω220 は全て一意的に決まります。

また,多様体に関わる知識から,1次独立な1次微分形式(余接空間のベクトル)θ12に対してこれに双対な接ベクトル場(接空間のベクトル=接ベクトル)の基底1,2が一意的に存在してθi(j)=δijを満たすようにできることがわかります。

 

ただし,θi(j)というのは余接空間のベクトルθ12と接空間のベクトル1,2の内積で以下のように定義されます。

まず,連続微分可能なu,vの任意関数ξ=ξ(u,v),η=η(u,v)に対し,(ξ,η)≡ξ(∂/∂u)+η(∂/∂v)なる形の微分演算子(方向微分)全体の集合を(u,v)空間のベクトル場と定義すると,これは(∂/∂u),(∂/∂v)を基底とする2次元の"線型空間=ベクトル空間"を作ることがわかります。

この空間では(∂/∂u),(∂/∂v)を基底と考えれば,ξ,ηはベクトルξ(∂/∂u)+η(∂/∂v)の成分と考えられるので,このベクトルは成分表示では,(ξ,η)と書くことができます。

 

そして,この2次元ベクトル空間を接空間と呼びます。

 

このように呼ぶ理由については後述する予定です。

一方,1次微分形式φ(f,g)≡fdu+gdvの全体もdu,dvを基底とする2次元の線型空間(ベクトル空間)を作ります。

 

そして(ξ,η)とφ(f,g)に対して,φ()≡fξ+gηなる演算を定義し,これをベクトル(f,g)とベクトル(ξ,η)の1つの内積と考えることにします。

 

先のθi(j)(i,j=1,2)は,この内積φ()において,φをθijに置き換えたものに相当します。

このとき,内積φ()によって,ベクトル(f,g)=fdu+gdvは,対応する接空間のベクトル(ξ,η)=ξ(∂/∂u)+η(∂/∂v)に双対なべクトルであると考えることができます。

 

そこで,1次微分形式:φ=fdu+gdv全体の作る空間を,接空間に双対な空間であるという意味で余接空間と呼びます。

ここで,2次元多様体の話から3次元空間内の曲面の話に戻ります。

空間曲面S:(u,v)上の点(u,v)における接平面は1次独立な2つのベクトル/∂u,v/∂vによって張られますが,こうして得られる点での"接空間(接平面)=2次元ベクトル空間"をT(S)で表わすことにします。

 

(S)はuvの1次結合:ξ+ηv =ξ(∂/∂u)+η(∂/∂v)=(ξ,η)[]の形のベクトル全体の集合です。

 

(S)の各ベクトル(ξ,η)[]は接ベクトルと呼ばれます。

(S)の各接ベクトル(ξ,η)[]=ξ+ηv は,,vを基底とする斜交座標系では(ξ,η)と成分表示されます。

 

そこで,空間曲面S:(u,v),および,点(u,v)を固定して考える限り,同じ成分表示を持つベクトル (ξ,η)[]と接ベクトル場の元(ξ,η)は完全に1対1に対応するので,これらを同一視してよいと考えられます。

したがって,先に述べた(∂/∂u),(∂/∂v)を基底とする2次元の線型空間(ベクトル空間)をも接空間と呼び,同じ記号T(S)で表わすことにします。

ところで曲面S上の曲線を(u,v)平面上の曲線u=u(s),v=v(s)によって(s)≡r(u(s),v(s))で定義するとき,

 

曲線上の点(s)における接ベクトルは,d/ds

=(du/ds)(∂/∂u)+(dv/ds)(∂/∂v)

=(du/ds)+(dv/ds)で与えられますから,

/dsは,成分表示が(du/ds,dv/ds)のT(S)

の1つの元です。

この接ベクトルはパラメータsを時刻tに変更すれば,点の速度ベクトルに相当するので,特に≡(du/ds)(∂/∂u)+(dv/ds)(∂/∂v)なる記号で表わすことにします。

 

逆に,点における任意の接ベクトルξ+ηv はのこの点を通るある曲線(s)≡r(u(s),v(s))における接ベクトルd/ds=(du/ds)(∂/∂u)+(dv/ds)(∂/∂v)=[]で表わすことができます。

 

というのは,一般に力学系としての常微分方程式系:du/ds=ξ(u,v),dv/ds=η(u,v)の解u=u(s),v=v(s)の存在することが保証されているからです。

 

こうして任意のT(S)の接ベクトルξ(∂/∂u)+η(∂/∂v)を,d/ds,あるいは=(du/ds)(∂/∂u)+(dv/ds)(∂/∂v)と同一視できます。

 

一方,の任意関数ψ=ψ()の曲面S上の曲線(s)≡r(u(s),v(s))上の点における微分dψ/dsは,dψ/ds=(dψ/d)(d/ds)=(dψ/d)([])と表わされます。

 

ただし,dψ/d≡∇ψです。

 

そこで,d/dsをdψ/ds=(dψ/d)(d/ds)に写す写像を記号dψで表わし,微分写像(微分演算子)と呼ぶことにします。

 

つまり,d/ds=[]→dψ/ds=(dψ/d)([])なる写像を,d/ds=[] →dψ/ds={dψ()}[]と考え,dψを演算子に対する写像:dψ()とするわけです。

 

ここで曲面S:(u,v)に対しψ(u,v)≡ψ((u,v))とすれば,dψ/dr=∇ψにおいてdrはSの接平面に属する接ベクトルですからdψ=(dψ/d)dr=(dψ/d){(∂/∂u)du+(∂/∂v)dv}です。

 

この式でdv=0 とすれば∂ψ/∂u=(dψ/d)(∂/∂u)=(dψ/d)uを得ます。同様にdu=0 から∂ψ/∂v=(dψ/d)(∂/∂v)=(dψ/d)vです

 

そこで,d/ds=ξu+ηvなら,dψ/ds=(dψ/d)(d/ds)=(dψ/d)(ξu+ηv)=ξ(∂ψ/∂u)+η(∂ψ/∂v)です。

 

ところでd/ds=ξu+ηvにおいて,ξ=du/ds,η=dv/dsでしたから,結局dψ/ds=ξ(∂ψ/∂u)+η(∂ψ/∂v)=(∂ψ/∂u)(du/ds)+(∂ψ/∂v)(dv/ds)です。

 

トートロジー(同義語反復)のようですが,上の式でψ=uを代入するとdu/ds=ξ,ψ=vを代入するとdv/ds=ηです。

 

これらは写像du,dvをd/ds=ξu+ηvにそれぞれ作用させるとξ,ηになることを意味しています。

 

一方,d/dsにdψを作用させるとdψ/ds=ξ(∂ψ/∂u)+η(∂ψ/∂v)となりますから,結局,写像dψの作用は(∂ψ/∂u)du+(∂ψ/∂v)dvの作用と同じであることがわかります。

 

したがって,結局dψは写像としてdψ=(∂ψ/∂u)du+(∂ψ/∂v)dvなる合成関数の微分則を満たします。

 

このことから,dψはdu,dvから成る1次微分形式,特に完全微分を示す完全形式と同一視してよいと思われます。

 

そして逆に任意の1次微分形式φ≡fdu+gdvが与えられたとき,これを微分写像と考えて,φ()=φ{ξ(∂/∂u)+η(∂/∂v)}=fdu()+gdv()とします。

 

しかし,du()=du{ξ(∂/∂u)+η(∂/∂v)}=ξ,またはdu/ds=ξ,そしてdv()=dv{ξ(∂/∂u)+η(∂/∂v)}=η,またはdv/ds=ηなので,φ()=fξ+gηとなります。

 

これは前に(f,g)と(ξ,η)の内積として定義した同じ記号のφ()に一致します。

 

こうして,線型写像の空間としての余接空間のベクトルと接空間のベクトルの内積φ()の意味も明確になりました。

 

さて,前述の1次微分形式と接ベクトル場の内積の定義から,1次独立な1次微分形式θi=ai1du+ai2dv(i=1,2)が与えられたときベクトル場j(j=1,2)がj=bj1(∂/∂u)+bj2(∂/∂v)で与えられると仮定するとθi(j)=Σk=12ikjk(i,j=1,2)と書けます。

そこで1=a11du+a12dvとθ2=a21du+a22dvが1次独立であるという仮定により,θ12をdu,dvで表わしたこの係数の係数行列は逆行列を持つため,θi(j)=Σk=12ikjk=δijを満たすbjk(j,k=1,2)が一意的に決まると結論されます。

長々と説明してきましたが,要するに,与えられたθ1=a11du+a12dv,とθ2=a21du+a22dvに対し,

 

Σk=12ikjk=δij (i,j=1,2)を満たすbjk(j,k=1,2)を用いてj=bj1+bj2とおけば,ddu+dvとd=θ11+θ22なる表現が一致するわけです。

しかし,接平面の基底:1,2の内積は,

(i,j)=bi1j1(,u)+bi1j2(,v)+bi2j1(v,u)+bi2j2(v,v)=Ebi1j1+F(bi1j2+bi2j1)+Gbi2j2となりますから,

 

内積を通常の意味に取る限りは,正規直交基底の条件:(i,j)=δijが満たされるとは限りません。

そこで,j=bj1(∂/∂u)+bj2(∂/∂v)(j=1,2)を基底とした表現のベクトル=a1+b2=c1+d2の内積を新たに<,>≡ac+bdで定義して,1,2がとにかく<i,j>=δijを満たし正規直交基底の接平面部分になるようにします。

 

この定義では,の長さ(ノルム)は||≡<,>1/2です。

そして,これによって12の外積:1×2として接平面の法ベクトル3を与えます。

 

既に係数ωijのうち,ω21=-ω12,およびω11=ω220 は,ω211θ1+b2θ2を決める係数b1,b2がわかるために,一意的に得られることを述べましたが,

  

i,j>=δijを満たす正規直交標構1,2,3が得られたので,di=Σj=13ωijjに対して<di,j>=ωijを用いることで全ての係数ωijも決定されます。

こうして得られたω21に対して,dω21dω21=Kθ1∧θ2なる第2構造式の形に書けるはずなので,これから,u,vの関数としてGaussの曲率Kを求めます。

 

第1基本形式I=(d,d)=θ1θ1+θ2θ2,第2基本形式Π=-(d,d3)=Σi,j=12ijθiθj(ただしbji=bij)が満たされるなら,

K=detB=11221221となるはずなので,

 

dω21=Kθ1∧θ2を満たすKにとって,K=b11221221なる式が成立することは曲面(u,v)が存在してKがその曲面のGaussの曲率となるための必要条件です。

また,dikΣj=12ijωkj-Σj=12jkωij=Σj=12ik,lθlと書くとbi2,1=bi1,2も曲面(u,v)が存在するための必要条件です。

逆に,K=b11221221,bi2,1=bi1,2が満たされていれば第1基本形式I=(d,d)=θ1θ1+θ2θ2,第2基本形式Π=-(d,d3)=Σi,j=12ijθiθj(ただしbji=bij)を満たす空間曲面(u,v)が存在し,これは合同変換を除けば一意的であるという定理が成り立ちます。

これは曲面論の基本定理と呼ばれています。

 

このことはK=b11221221,bi2,1=bi1,2が,ある偏微分方程式の積分可能条件になっていることを意味します。

 

これについては後日の話題にします。

今日はここで終わります。

 

今回は14,5年くらい前,40代中盤で必要に迫られて再勉強した微分可能多様体などについてのノートを再読したりして,忘れていたことを思い出すために少し考えたのでかなり手間取りました。

次回からは実際に空間曲面の上での長さをRiemann(リーマン)計量として,計量を持つRiemann多様体関連の話,そして平行移動と接続,測地線,曲率などの考察に入る予定です。

参考文献:小林昭七 著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房),松本 幸夫 著「多様体の基礎」(東京大学出版会),B.F.シュッツ(B.F.Schutz)著(江里口 良治,二間瀬 敏文 訳)「相対論入門(下)」(丸善出版)

 

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2008年8月17日 (日)

相対論の幾何学(第Ⅰ部-7空間曲面(3))

相対論の幾何学(空間曲面)の続きです。

これまでの議論では,空間ベクトルの基底として曲面(u,v)の各点におけるu,v,を用いてきましたが,その代わりに互いに直交する単位ベクトルの系,すなわち正規直交系を使った表現による定式化を試みます。新しい基底は正規直交標構と呼ばれます。

曲面(u,v)に対する各点での正規直交標構はまだ未定義ですが,これらを記号1,2,3と表わすと,"内積=スカラー積"について,(i,j)=δijを満足することが正規直交標構であるための必要十分条件となります。

ここで,"内積=スカラー積"の記号(i,j) etc.は(i,j)≡tijを意味します。ただし,右辺の積は行列の積を意味します。

 

i etc.で表わされる空間のベクトルは成分を縦に並べた列ベクトルとし,tiは列ベクトルiの転置行列で,成分を横に並べた行ベクトルを意味します。

接平面を構成する1,2については任意性がありますが,これらの1組は例えば,u,vが既知のとき,1u/|u|,2{v(v,1)1}/|v(v,1)1|と置けば得られます。

 

次に,1,2にが決まっていれば,331×2なる"外積=ベクトル積"で定義されます。この定義から,3は接平面の単位法ベクトルとなりますから,符号を除いて,以前の方法で与えた単位法ベクトルと同じです。

上のように,1u/|u|,2{v(v,1)1}/|v(v,1)1|で定めた1,2であれば,31×2は以前の方法での単位法ベクトルの定義:e≡(u×v)/|u×v|と完全に一致していて,3となります。

 

もしも,3=-なら12を入れ替えて定義して,とにかく31×2となるようにしておきます。 

ここで接平面の以前の基底u,vを新基底1,2で表わす基底間の線型変換が,u111+a122,v=a211+a222,または(i,j)成分がajiで与えられる2×2行列によって(u,v)=(1,2)Aで表わされるとします。

ただし,ここでの(u,v)=(1,2)Aでは,特別に(u,v),(1,2)は内積tuv ,t12を表わすのではなく,u,v1,2を成分として横に並べた行ベクトルを意味するとしています。 

そして,上の表現(u,v)=(1,2)Aから,外積についての公式u×v(detA)(1×2)=(detA)3も成立しますが,今は31×2(u×v)/|u×v|となるように基底を取っているので,detAはゼロではなく,いたるところでdetA>0 です。

 

ただし,detAはAの行列式を表わしています。

次に,曲線(u,v)上でのdu,dvに伴なう微小変位udu+vdvで与えられます。

 

これはd=(111+a122)du+(211+a222)dv=(11du+a21dv)1(12du+a22dv)2と変形されます。

 

そこで,θ1≡a11du+a21dv2≡a12du+a22dvとおけば,θ11+θ22となり,dr1,2の線型結合で書けます。

曲面(u,v)の第1基本形式IはI≡E(dudu)+2F(dudv)+G(dvdv)=(d,d)=tです。E=(u,u)=tuu,F=(u,v) =tuv,G=(v,v)=tvvですが,I=(d,d)=tt=θ1θ1+θ2θ2と表現されます。 

さらに,iの微分iも,空間のベクトルなのでd1=ω111+ω122+ω133,2=ω211+ω222+ω233,3=ω311+ω322+ω333,つまりdi=Σj=13ωijjと表わせます。

 

これは,(i,j)成分がωji3×3行列をΩとすると,d(1,2,3)=(d1,d2,d3)=(1,2,3)Ωと書けます。

 

ただし,di(∂i/∂u)du+(∂i/∂v)dv=Σj=13ωijjなので,dはu,vの1次の無限小であり,それ故,ωijは全てdu,dvの線型結合で与えられます。

そして,(i,j)=δijより,(di,j)+(i,dj)=0 ですから,i=Σj=1ωijjによってωij+ωji0 (i,j=1,2,3)が得られます。つまり,Ωは交代行列(反対称行列)で,対角成分は全てゼロ:ω11=ω22=ω330 です。

それ故,曲面(u,v)の第2基本形式:Π≡-(d,d)=-(udu+vdv,udu+vdv)=L(dudu)+2M(dudv)+N(dvdv),L=-(u,u),M=-(u,v),N=-(v,v)については,Π=-(d,d3)=-(θ11+θ22311+ω322)=-θ1ω31-θ2ω32=θ1ω13+θ2ω23と書けます。 

ところで1=a11du+a21dv2=a12du+a22dv,すなわち,t12)=At(du,dv)ですが,detA≠0 よりAの逆行列A-1が存在しますから,両辺の左からA-1を掛けることにより,t(du,dv)=A-1t12)を得ます。

さらに前に述べたようにijは全てdu,dvの線型結合で与えられますから,t(du,dv)=A-1t12)によりωijはθ12の線型結合で書けます。

 

すなわち13=b11θ1+b12θ223=b21θ1+b22θ2,あるいは,(i,j)成分がbijの2×2行列Bによってt1323)=Bt12)の形に書けます。

これを用いれば,Π=θ1ω13+θ2ω2312)t1323)=(θ12)Bt12)=Σi,j=12ijθiθjとなって,Πはθの二次形式の形になります。

 そして,上のBが対称行列であることも証明しておきます。 

(証明)d3udu+vdvの両辺とuの内積を取れば-Ldu-Mdv=(d3,u)=(ω311+ω322,a111+a122)となります。そこで,Ldu+Mdv=ω1311+ω2312が成立します。

 

 同様に,Mdu+Ndv=ω1321+ω2322が成立します。

 

 したがって,第1行が(L,M),第2行が(M,N)の行列をSとすると,St(du,dv)=tt1323)=tABt12)=ttBAt(du,dv)ですから,変数du,dvの独立性からS=tABAとなることがわかります。 

そこで,S=tABA,つまりtS=ttBAですからSの対称性tS=SとdetA≠0 によって,Bの対称性:tB=Bが得られます。

 

(証明終わり)

このことから実行列Bの固有値は実数値であることがわかります。

すなわち,Bの固有値をλとしこれに属する固有ベクトル(複素数を成分とする2次元の列ベクトル)を≠0とすればB=λですが,とこれの"複素内積=ユニタリ内積"を取るとt*=λt*=λ||2となります。

そして,この両辺の複素共役を取るとBが実行列なのでt*=λ*||2となりますが,さらに転置を取るとt*t=λ*||2です。

 

これにtB=Bを代入すればt*=λ*||2が得られます。そこで,λ*||2=λ||2が成立しますが,≠0 ですから,λ*=λ,つまりλが実数であることがわかるのです。

以上から,Bの2つの固有値は実数であることがわかりましたが,これらは先に定義した曲線(u,v)の主曲率κ12に一致します。 

というのは,S=tABAによって,B=t(-1)SA-1=AA-1t(-1)SA-1=A(tAA)-1SA-1なので,Iを単位行列とする固有値方程式:det(B-λI)=0 において,B-λI=A{(tAA)-1-λI}-1ですから,固有値方程式はdet{(tAA)-1-λI}=0 と等価です。

ところが,行列として(u,v)=(1,2)Aが成立するのでt(u,v)(u,v)=tt(1,2)(1,2)Aと書けますが,tij=δijによりt(1,2)(1,2)=Iですから,行列tAAはtAA=t(u,v)(u,v)と表現されます。

そしてE=tuu,F=tuv,G=tvvですから,tAA=t(u,v)(u,v)は1行目が(E,F)=(tuu,tuv),2行目が(F,G)=(tuv,tvv)の対称行列です。

 

それ故,tAAの逆行列:(tAA)-1は1行目が(EG-F2)-1(G,-F),2行目が(EG-F2)-1(-F,E)の行列となります。したがって,行列(EG-F2){(tAA)-1S-λI}は1行目が((GL-FM)(EG-F2)λ,GM-FN),2行目が(-FL+EM,(-FM+EN)-(EG-F2)λ)の行列です。

以上から行列Bの固有値λに対する方程式det[(tAA)-1S-λ]=0 は(EG-F2)2λ2(EG-F2)(EN+GL-2FM)λ+(GL-FM)(-FM+EN)-(GM-FN)(-FL+EM)=0 となります。左辺の最後の2つの定数項の和は(EG-F2)(LN-M2)と因数分解されます。

 

そこで,結局,EG-F20 の場合は(EG-F22(EN+GL-2FM)λ+LN-M20 と同値になり,これは主曲率κ12を2つの解とするλの2次方程式に一致します。 

これによって行列Bの2つの実数固有値が主曲率κ12になることが示されました。

 

そこで,ガウスの曲率はK=κ1κ2(LN-M2)/(EG-F2)=detB=b1122-b1221であり,平均曲率はH=(κ1κ2)/2=(EN+GL-2FM)/{2(EG-F2)}=(1/2)traceB=(1/2)(b11+b22)です。

さらに,dθ11+θ22(1,2)t12),3(1,2)t3132)=-(1,2)t1223)=-(1,2)Bt12)より,κがBの固有値でt12)が=κを満たす固有ベクトルに一致するならd3=-κ(1,2),すなわち3=-κとなります。

 

正規直交標構を用いた表現では行列Bの2つの固有値が主曲率κになるということの意味も明確です。 

さて,これまでadu+bdvのような微分表現を用いてきましたが,これは2変数の場合の外微分形式,または単に微分形式と呼ばれるものの特別な場合であると考えられます。

(u,v)平面内の領域D上で定義された微分形式とは,D上の微分du,dvの線型結合の和や積という形で与えられるものですが,"和=加法"はともかく,"積=乗法"は微分を単純に掛け合わせただけというわけではなく,ベクトルの外積と同じ乗法規則を持つという性質によって規定される演算であり,特別な記号∧を用いてdu∧dv etc.と書かれ外積と呼ばれます。

乗法規則は基本的にdu∧du=0 ,dv∧dv=0 ,du∧dv=-dv∧duで代表されます。

 

単なる関数は 0次微分形式,fdu+gdvは1次微分形式,fdu∧dvは2次微分形式と呼ばれますが,これらの"積=外積"に関しては通常の結合則,分配則が成立するとします。

例えば,2つの1次微分形式α≡a1du+a2dv,β≡b1du+b2dvの積はα∧β=(a1du+a2dv)∧(b1du+b2dv)=a12du∧dv+a21dv∧du=(a12-a21)du∧dvなる2次微分形式になります。

 

この係数a12-a21,1行目が(a1,a2),2行目が(b1,b2)の行列の行列式に一致しています。

さらに,明らかにα∧α=0 ,β∧β=0 ,α∧β=-β∧αが成立し,α∧β≠0 なることはβ=cαと表わせないこと,つまりαとβが1次独立なることに同値であることもわかります。

そして2次微分形式γ≡fdu∧dvから結合法則を満たすものとして,γ∧α,γ∧βなどで3次以上の微分形式を定義しようとしても,これらは各項に,必ずdu∧du,dv∧dvを含むのでゼロになって意味を成しません。

次に外微分dを次のように定義します。0次微分形式fに対してはdf≡(∂f/∂u)du+(∂f/∂v)dv,1次微分形式φ=fdu+gdvに対してはdφ≡df∧du+dg∧dv=(∂f/∂v)dv∧du+(∂g/∂u)du∧dv=(-∂f/∂v+∂g/∂u)du∧dv,2次微分形式ψ=fdu∧dvに対してはdψ≡df∧du∧dv={(∂f/∂u)du+(∂f/∂v)dv}du∧dv=0 です。

元々,微分形式を外微分形式とも呼ぶのは,この形式が"外積代数=グラスマン代数(Grassman algebra)"を満たす上記の外微分演算を含んでいるからです。

 

また,微分形式は多様体上の点における"余接空間=接空間の双対空間"に属する微分と呼ばれる線形写像の外積などというように多様体上の交代テンソル場などと関連して定義されることが多いようですが,素朴にはユークリッド空間Rnの上での積分における不変測度を表現したものでしょう。

 

つまり,今の場合だと2次微分形式:ψ=fdu∧dvの向き付けされた(符号つきの測度を持つ)積分表現∫ψ=∫f(u,v)dudvが積分変数の変換(→置換積分):x=x(u,v),y=(u,v)の際に,ヤコービアンをJ≡det(∂(u,v)/∂(x,y))として,∫ψ=∫f(x,y)Jdxdyとなる構造を積分記号をはずした内部の演算として形式的に捉えたのが微分形式の発想であったと思います。

 

以下,証明は省略しますが外微分に対しては次のような公式が成立します。

 

(1)f,gが共に 0次微分形式ならd(fg)=df・g+f・dg

(2)fが 0次,φが1次ならd(fφ)=df∧φ+f∧dφ,d(φf)=dφ∧f-φ∧df

(3)任意の微分形式θに対してd(dθ)=0 が成立する。

 

という公式です。 

 

最後の式(3)を,θが 0次形式,dθ=(∂f/∂u)du+(∂f/∂v)dvの場合に示しておきます。

 

すなわち,d(dθ)=(∂2f/∂u∂v)du∧dv+(∂2f/∂v∂u)dv∧du=0 ですね。

 

そして,"可縮な領域においては閉形式は完全形式である。"というポアンカレの補題(Poincareの補題)"が成立します。これは"1点にホモトープな任意の領域ではdφ=0 ならφ=dθを満たすθが必ず存在する。"という定理です。

 

これは物理学では"渦なし=回転がゼロ:rot0 "ならスカラーポテンシャルφが存在して=gradφ=∇φと書けること,また,湧き出し吸い込みがない=発散がゼロ:div=∇=0 ならベクトルポテンシャルが存在して=rot=∇×と書けることなどを示すものです。

 

これらの詳細,および一般的証明については2006年10/21の記事「ポアンカレの補題」を参照してください。

 

さて,曲面(u,v)上でd=(dx,dy,dz)をd=θ11+θ22と書くと,d(d)=((dx),(dy),(dz) )0 ですから,0=dθ11-θ1∧d1θ22-θ2∧d2=dθ11-θ1j=13ω1jj)+θ22-θ2j=13ω2jj)です。

 

すなわち,(dθ1-Σi=12θi∧ωi1)1(dθ2-Σi=12θi∧ωi2)2i=12θi∧ωi3)30 です。1,2,3は1次独立なのでdθj=Σi=12θi∧ωij(j=1.2),Σi=12θi∧ωi30 が得られます。

dθj=Σi=12θi∧ωij(j=1.2)は第1構造式と呼ばれます。ωijを成分とする行列Ωは交代行列なので,これはdθ1=θ2∧ω21,dθ2=θ1∧ω12を意味します。

 

一方i=12θi∧ωi30 にω13=b11θ1+b12θ223=b21θ1+b22θ2 or ωi3=Σj=12ijθjを代入すれば,Σi,j=12ijθi∧θj0 を得ます。

 

そこで,この式は(b12-b21)θ1∧θ20 ,つまりb12=b21を意味します。これから,行列Bが対称行列であることが再確認されます。

 

次に,di=Σj=13ωijj(i=1,2)とd(di)=0 により,Σj=13(dωijj-ωij∧dj)=0 ,それ故dωikΣj=13ωij∧ωjkです。

 

特にk=1,2に対しi=1,2の場合にはωi3Σj=12ijθjよりdωikΣj=13ωij∧ωjkΣj=12ωij∧ωjkωk3∧ωi3Σj=12ωij∧ωjkΣh,j=12khijθh∧θjを得ます。

微分形式による定式化の途中ですが今日はここまでにします。

 

参考文献:小林昭七 著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房)

 

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2008年8月15日 (金)

塚田真希チャン

イヤー。。塚田真希チャンって笑うとかわいいですねぇ。。。

(写真は産経ニュース  http://sankei.jp.msn.com/photos/sports/martialarts/080816/mrt0808162233010-p2.htm  より。。。)

         

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2008年8月14日 (木)

三角関数を含むある関数の定積分

 今日はちょっと気になる計算があったので計算をしてみました。実はT_NAKAさんのブログの2008年8/10の記事「 T_NAKAの阿房ブログ(高次モーメントを考える)」に関連したものです。。

 普通は公式集にあるものなら全面的にそれに頼り,わざわざ確かめたりもしませんが,偶々,所持している岩波の数学公式集,丸善の新数学公式集を見ても,適合するものが全く見つからなかったため,自力で計算せざるを得ず,実行しました。

 

 夏休み中で頭もボーッとしているし,最初予想していた結果と違っていたこともあって,かなり手間取りました。

計算するのは,定積分:Ik≡∫-∞k(x)dx=∫-∞dx[xkcos2x/{x2-(π/2)2}2]=∫-∞dx[xkcos2x/{(x-π/2)2(x+π/2)2}](k=0,1,2,..)です。

これはkが奇数なら被積分関数:fk(x)=xkcos2x/{x2-(π/2)2}2が,xの奇関数なので,その積分はゼロですから,以下ではkは偶数であるとし,fk(x)がxの偶関数の場合のみを計算します。

x=±π/2はfk(x)の特異点,特に極であるように見えますが,実は真の特異点ではありません。

 

例えばy≡x-π/2と変数変換すれば,fk(x)=xkcos2x/{(x-π/2)2(x+π/2)2}=(y+π/2)ksin2y/{y2(y+π)2}なので,y→ 0ではfk(x)→ (π/2)k2,y→ -πではfk(x)→ (-π/2)k/(-π)2となります。

 

そこで,y=0,-π,すなわち,x=±π/2は,fk(x)の真の特異点ではなく,これらの点でx→±π/2でのfk(x)の極限値をfk(±π/2)と定義すれば被積分関数fk(x)はx=±π/2でも連続なので,普通に積分を実行することができます。

 しかし,実際にxを実数のままで,この積分を評価するのはかなり面倒なのでxを複素変数zに変えて,複素z平面である閉曲線Cを周回する積分を考えてみます。

 

 その際,cos2z=[{exp(iz)+exp(-iz)}/2]2={exp(2iz)+exp(-2iz)+2}/4 なので,Ik(C)≡∫Ck(z)dz=∫Cdz[zk{exp(2iz)+exp(-2iz)+2}/{4(z-π/2)2(z+π/2)2}](k=0,1,2,..)を計算します。

 

 これ自身は,上に述べたようにz=±π/2も含めてfk(z)が全z平面で解析的なのでCが閉曲線の場合には常にIk(C)=0 です。

まず,∫Cdz[zkexp(2iz)/{(z-π/2)2(z+π/2)2}を考えます。原点を中心としR>>1で実軸上[-R,R]を直径=2Rとする上半円周をCとします。

  

ただし,今の場合,被積分関数はfk(z)ではなく,その一部gk(z)≡zkexp(2iz)/{(z-π/2)2(z+π/2)2}です。

 

これに対しては,z=±π/2 は確かに真の特異点(極)なので,Cは点±π/2 の周りでは特別に回避経路としてA±≡limε→ +0{z(θ)|z(θ)=±π/2+εexp(iθ),θ:π→ 0 (時計回り)}で与えられる微小半径ε>0 の上半円周経路を含むとします。

そして,Cの無限遠を意味する半径Rの円周上の点z=Rexp(iθ)=R(cosθ+isinθ) (0≦θ≦π)では,|∫gk(z)dz|=πR|zkexp(2iz){(z-π/2)2(z+π/2)2}|z|=R ~πRk-3exp(-2Rsinθ)→ 0 ですから,これの寄与は無視できます。

 

結局,0=∫C+dz[zkexp(2iz)/{(z-π/2)2(z+π/2)2}]=∫-∞dz[zkexp(2iz)/{(z-π/2)2(z+π/2)2}]+A+Aなる表現で書けます。

 

ここで,微小半円経路A±を回る積分の寄与を同じ記号A±で省略する表現をしました。

∫gk(z)dzにおけるA±の寄与を評価する必要がありますが,これは被積分関数のローラン展開において 1/(z±π/2)の係数に(-πi)を掛けたもので与えられます。

 

これはAの場合には,limz→(-π/2)(d/dz)[(z+π/2)2k(z)]で与えられます。

 

すなわち,limz→(-π/2)(d/dz)[zkexp(2iz)/(z-π/2)2]=limz→(-π/2)[{(kzk-1+2izk)/(z-π/2)2-2zk/(z-π/2)3}exp(2iz)]=-(-π/2)k-1(k-πi)(-π)-2+2(-π/2)k(-π)-3=(πk-3/2k-1)(k-1-πi)です。

 

したがって,結局A=(-πi)(πk-3/2k-1)(k-1-πi)が得られました。ここで,kが偶数であることを用いました。

同様にAの場合には,limz→π/2(d/dz)[(z+π/2)2k(z)]=limz→π/2[{(kzk-1+2izk)/(z+π/2)2-2zk/(z+π/2)3}exp(2iz)]=(π/2)k-1(k+πi)π-2-2(π/2)kπ-3=(πk-3/2k-1)(k-1-πi)ですから,A=(-πi)(πk-3/2k-1)(k-1-πi)=Aです。

 

以上のことから,∫-∞dz[zkexp(2iz)/{(z-π/2)2(z+π/2)2}]=-(A+A)=-2A=(2πi)(πk-3/2k-1)(k-1-πi)が得られました。

また,被積分関数gk(z)≡zkexp(-2iz)/{(z-π/2)2(z+π/2)2}に対しては,原点を中心としR>>1で実軸上[-R,R]を直径=2Rとする下半円周をCとすれば,同様な考察から 0=∫C-dz[zkexp(-2iz)/{(z-π/2)2(z+π/2)2}]=∫-∞dz[zkexp(2iz)/{(z-π/2)2(z+π/2)2}]+B+Bを得ます。

 

ここで,B±はA±と同様に実軸上の特異点±π/2を回避する微小な下半円周経路B±≡limε→ +0{z(θ)|z(θ)=±π/2+εexp(iθ),θ:-π→ 0 (反時計回り)}における積分の寄与です。

そして,B+B=2B=(2πi)(πk-3/2k-1)(k-1+πi)となりますから,∫-∞dz[zkexp(-2iz)/{(z-π/2)2(z+π/2)2}]=-(B+B)=-2B=(-2πi)(πk-3/2k-1)(k-1+πi)です。

したがって,cos(2x)={exp(2iz)+exp(-2iz)}/2によって,上に得られた2つの積分等式を加え合わせて2で割ると,∫-∞dx[xkcos(2x)/{x2-(π/2)2}2]=∫-∞dx[xkcos(2x)/{(x-π/2)2(x+π/2)2}]=2(π/2)k-1が得られます。

一方,∫Cdz[zk/{(z-π/2)2(z+π/2)2}]において±π/2は2位の極なので留数はゼロですから,例えば閉路Cを,C=Cに取れば 0=∫C+dz[zk/{(z-π/2)2(z+π/2)2}]=∫-∞dz[zk/{(z-π/2)2(z+π/2)2}]+lim R→∞|z|=Rdz[zk/{(z-π/2)2(z+π/2)2}]となります。

被積分関数がgk±(z)=zkexp(±2iz)/{(z-π/2)2(z+π/2)2}の場合と異なり,zk/{(z-π/2)2(z+π/2)2}の場合にはC=Cに取ろうと,C=Cに取ろうと,半円の半径R→ ∞で円周積分が必ずしもゼロにはなりません。

以上から,2∫-∞dx[xkcos2x/{x2-(π/2)2}2]=∫-∞dx[xk{1+cos(2x)}/{x2-(π/2)2}2]=∫-∞dx[xk/{x2-(π/2)2}2]+∫-∞dx[xkcos(2x)/{x2-(π/2)2}2]=-lim R→∞|z|=Rdz[zk/{z2-(π/2)2}2]+2(π/2)k-1が得られました。

右辺第1項はz=Rexp(iθ),dz=iRexp(iθ)dθによって∫|z|=Rdz[zk/{(z-π/2)2(z+π/2)2}]=iR∫0πdθ[Rkexp(ikθ)/{(Rexp(iθ)-π/2)2(Rexp(iθ)+π/2)2}]となりますから,R→∞では|∫|z|=Rdz[zk/{(z-π/2)2(z+π/2)2}]|~πRk+1/R4と書けます。

 

-∞dx[xk/{x2-(π/2)2}2]は実関数の実数積分であり,被積分関数はkが偶数ならx∈(-∞,∞)では非負なので,この積分の符号は非負です。

 したがって,kが偶数故k=2mとおくと,この項はm=0,1,すなわちk=0,2では(k+1)<4 によって,ゼロに収束しますが,m≧2 or k≧4 では,(k+1)>4 なので ∞ に発散します。

 以上からIk≡∫-∞k(x)dx=∫-∞dx[xkcos2x/{x2-(π/2)2}2]=∫-∞dx[xkcos2x/{(x-π/2)2(x+π/2)2}](k=0,1,2,..)はkが偶数の場合,k=0,2 ならIk=(π/2)k-1となって有限値,kが4以上のk=4,6,..ならIk=∞+(π/2)k-1となって∞ に発散するという結果が得られました。

 kが奇数の場合ならIkはゼロです。

 しかし,この結果には少し自信がありません。

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2008年8月11日 (月)

将棋合宿に行ってきました。

 8月9,10日にTOSHIというハンドルで将棋チェスネットの夏合宿に参加してきました。

 この合宿は別名,関東オフとも呼ばれていて今回ははじめて関東圏ではない場所=愛知県の名古屋の南方の知多半島の内海(うつみ, or うちうみ)で 開かれました。

 今年の幹事の文十郎さんのテリトリーがこの近辺であるからということらしいですが, 私自身のテリトリーは東京圏以外は主として中国地方と関西で,名古屋近辺ではお泊まりしたのは生まれてはじめてでした。

 9日朝5時半に現在のネットでの名人である"たいと"さんに4人乗りですが6人まで乗れる車でわざわざお迎えにきて頂いて自宅を出発し,都内で将棋プロの北島忠雄六段を隣のシートにお迎えし,都下で「柿木将棋」で有名な柿木義一さんを助手席にお迎えして高速に載ったのが午前8時頃でした。 

 意外と一般道を走るほうが時間がかかるものですね。

 途中は,足柄インターや浜名湖パーキングなどトイレ休憩のほかは4人で積もる話をしながら目的地に向かいました。

 それから5時間で着いたのですが下りはお盆の帰省ラッシュの始まりのせいか岡崎付近で渋滞がありました。

 帰りも同じメンバーでしたが2時間ほど早く午後2時過ぎに出発して7時半には帰ってきましたから,やはり行きは道が混んでいたのでしょう。。

 例によって,私以外の車中の皆さんには,寂しがりやの変態ジジイの歳のせいかとりとめのない自己中心のおしゃべりの聞き役になって頂いて有り難うございました。

 特に北島先生には失礼な話も延々とやってしまいどうもすみませんでした。

 さて,プロ,女流プロも含めた合計18名で夕食前には最低4局は終了させるという対局予定なので,民宿「八嶋荘」に到着後,14時前後から休む間もなく,とにかくいるメンバーだけで持ち時間20分秒読み30秒の対局を始めました。

 私はメンバーのうち公式レーテイングが1485点という最低点で最高点の仮レーティング2300~2400点?の北島プロは私とは1000点くらい差がありますが,昔からレーティング差によって自動的に手合いを決め,勝敗次第で次の相手も自動的に決まるという柿木さんのソフトでプロも含めて対等に4,5局くらいの対局をして順位を決めることになっています。

 結局,ゴルフなどと同じくハンデ戦を行なうわけです。2枚落ち(飛車角落ち)が最高のハンデで下手の方には手合いの選択権があります。

 例えば2枚落ち以上と宣告されても平手(先手)を選択してもいいわけですが,角落ち以上なのに飛車落ちを選択するという有利な選択は許されません。

 私はもちろん勝負にシビアですから大きいハンデをそのまま採用します。  

 過去には,そのハンデのおかげで決勝以外は角落ち以上の下手を持って準優勝したこともありましたが決勝の香落ち下手は苦手という理由で平手を選択しました。

 実は後で聞くと決勝相手が居飛車党でしたので香落ちが正解だったと後悔したこともありました。

 (香落ち上手は左香車がないので振飛車にするのが普通です。)

 結局,夕食前は4局とも飛車落ち下手でした。

 第1局目が当時の藤井竜王もタイトル戦に採用したという新戦法「西田スペシャル=ミレニアム」の創始者として将棋界では全国的にも有名な"だにい"さん(西田さん)で,彼とは久しぶりの対局でした。

 私は最近はインターネットで平手対局ばかりやっていて駒落ちは2005年に同じ夏合宿で指して以来でしたので,本で読んだ飛車落ち定跡もかなりぼやけていた上に"だにい"さんという人が定跡通りに指す人ではなく,右玉戦法や雁木などが得意という私からみると「変態将棋」が好きな人であることを忘れていたこともあり,相手玉が薄いので攻め過ぎて順当負けしました。

 実はチェスクロックが久しぶりなのでちょくちょくボタンを押すのを忘れて自分だけ時間が切れて秒読みになりましたが,切れ負けではないし30秒は意外に長いので,まあいいやと思っていました。

 しかし勝負どころで時間がないのは少しあせりますね。

 その後の対局でもしばしばチェスクロックを忘れましたが対局相手に指摘されたり(やさしいですね),間違えて隣の他人のクロックを押したりしました。

 まあ,後で帰りの車中で聞いたのですが,隣のマスに駒を打って反則負けしたという"たいと"さんには負けました。。。(何の勝負じゃ?)

 2局目の相手は柿木さんでした。

 ずっと前は角落ちだったのでまた強くなったのかと思いましたが,ほぼうろ覚えの飛車落ち定跡通りに進んで下手の私が優勢になりました。 

 まあ,元々飛車1枚多いので途中まで有利なのは当たり前なのですが最後に格好いいよそゆきの手を指して負けました。

 3局目は東海地方のリーグ戦メンバーで初手合いの"あきら"さんでした。序盤に角交換される,いわゆる「お神酒指し」をされましたが,上手の玉形が不安定で桂馬が入ると有利になる手順があって,鉄面皮の私に比べて"あきら"さんが人見知りしたこともあったのでしょうか,私は何とか片目を開けさせてもらいました。

 "あきら"さんは渡辺明竜王に似ていて,真面目で男らしいがやさしいという印象が残りました。

 後で遊びで平手で指して,きっちり負かされました。

 4局目は関西の"ていちゃん"のお二人の友人の一人で阿部さんという方でした。私は将棋大観などで身につけた飛車落ち定跡通りに指せばよくなると思って指しましたが,阿部さんは定跡通らしく実力通り負かされました。

 あとで所司和晴プロによる定跡を教えていただきました。

 この戦法は私自身の昔の将棋の先生=花村先生門下の関口先生に少し聞いたことがあったのですが,持久戦は棋風に合わないので私はやらない戦法です。

 私自身はどんな戦法でも裏も含めて完全に定跡を体得できるほどの実力がないので寄せ合いで負けることが多く,どちらにしても同じという思いがあるので,どちらかというと,つい攻めていて気持ちがいい急戦を選ぶ傾向になってしまいます。

 ハンデがあるのは,最初から少々のミスがあるのも前提に入っていて,下手が勝つことがあるのはハンデほどの差がないか,フロックであろうと私は思っています。

 それにしても阿部ちゃんのキャラクターは面白いと思い,個人的にとても気に入りました。関西のお笑い芸人のボケ役か,あるいは大店のボンボンのようにゆったり鷹揚で,狭い日本の中なのにセカセカしない大人(たいじん)の印象を受けました。

 "ていちゃん"のお二人の友人のもう一人の"景虎さん"とも遊びで平手対局をしました。四間飛車でしたので最近の若い人はあまりご存知でないだろうと思われる加藤一二三流の棒銀を指しました。

 角を成らせて飛車が成ったところで互角のはずなのですが駒得になったので優勢かなと思って例によって寄せを失敗して負けました。

 景虎さんというからには上杉謙信(長尾景虎)が好きなのでしょうが,私にはヒデとロザンナのヒデを精悍にした感じに見えました。

 夕食前5時半頃にネット主催者で浜崎医院の浜崎 卓先生の関東からの車が到着して同乗の上田初美女流二段と野田澤彩乃女流1級もこられました。

 実は参加予定のバンカナこと坂東香奈子女流2級が体調不良で,野田澤女流1級が代打として来てくれたのです。

 2006,2007年は坂東さんが来られたけれど,たまたま私は二日酔いのドタキャンと入院手術後で参加できず会えなかったので,彼女にお会いしたいという気持ちもありましたが,健康ならまた会える機会もあるだろうし,上田さん,野田澤さんと会えたのも「他生の縁」でしょう。

 女流は昔ヤマトちゃんのファンでしたが最近はジジイになったせいか男子プロも含めて関心が薄れてしまい,お二人のこともその方面では有名な方とも知らなかったのですが,上田二段のことは事前にネットで調べました。野田澤1級は到着まで知らなかったので帰ってから調べました。

 彼女のブログ「 女流棋士野田澤彩乃のひだまり将棋」 を発見して,ちょっと読ませてもらいました。 

 プロフィールの写真はちょっとオバサンくさいので差し替えたほうがいいと思いますよ。。。さっそくリンクさせてもらいます。

 何,水瓶座?おんなじだね。。上田さんもネットにある写真イメージより実物の方がやせていて,2人とも実物はもっとかわいいのですがね。。。

 風呂上りのスッピン姿の2人を取った写真もあり,また私を中にした記念写真もあるのですが,私のキモイ顔がバレルこともあるので,これらの写真のブログ掲載はやめておきます。

 いつも何故かリレー将棋=連将棋で一緒のチームになり最弱の私が迷惑をかける強豪のヒコさん,15年くらい前からネット上で旧知で"ていちゃん"同様,特別になつかしく中国出張中だったのにオリンピックが始まるのと入れ替わりに,オフのために一時帰国したという"まーさん(内藤さん)"や,埼玉県の強豪で県代表にもなったと聞いた人格者のDECAさんも我々の到着の前後には到着しました。

 DECAさんはたいとさんと同じく「変態手詰まり将棋」で,かつて攻めけ気ばかりの私に「将棋は攻めてはいけないよ」ということを教えて頂いた先輩です。

 そして東海地方の「終盤の漫才師」"ふーたん"さん(藤田五段)とオフ常連の将棋も強いけどチャンギ,シャンチー,チェスなども好きなJIROさん(今回は用意してきたのに対戦相手がいなくて残念でしたね)も到着しました。

 結局,私の初日の対戦結果は1勝3敗でした。DECAさんに,「これで全敗ではないのでとにかく最下位は免れた。」と冗談を言いました。

 さて,夕食はまずビールで乾杯した後に;宿=愛知県南知多町山海;; 「八嶋荘」のオバチャンに全員の記念写真を取ってもらいました。

 料理は,この宿が文十郎さんのお馴染みということもあるのでしょうか,料金は安いのに鯛の姿造り,あわびの踊りやき,伊勢海老の活造りなど特別料理も含めた豪華なものでした。

 主催者の浜崎先生は左側に女流の上田先生,右側に女流の野田澤先生を従えて両手に花の状態でした。お2人とも風呂上りの甚平姿で色っぽく,私もずうずうしく野田澤先生の右側に席を取って,野田澤さんに「中学生みたいに見えるよ。」とか失礼な言葉を吐いたりし,まわりの男共とは昔話に花が咲いたりしてテキトーに盛り上がりました。

 丁度,そばの海水浴場のあたりでは花火大会らしく夕食後花火も見ました。

 次の日の朝食も同じ席で女流棋士(野沢菜チャン)をコンパニオン扱いしました。(ゴメンネ)

 将棋は弱いくせに生来の目立ちたがりで宴会屋の性格は隠せませんでしたが,まあこういった席では自分が楽しくて他人に迷惑をかけなければいいのでしょうね。。

 で,夕食後は毎年恒例のリレー将棋=連将棋です。

 18人なので5人のチームと4人のチームが2つの4チームで一人が一手40秒の持ち時間で一手交代で指しますが,これは将棋を指導するのが仕事のプロでも対等に楽しめる企画だと思います。

 今回初参加の女流にも大いに楽しんでもらえたのではないでしょうか?。

 チームは北島チーム,上田チー,ム,野田澤チーム,DECAチームの4つで,レーティングを考慮した組分けで私は上田チームに入り,やはりヒコさんと同じチ-ムでした。

 序盤で振飛車党が飛車を振り,次のメンバーが居飛車党なので居飛車に戻したりというギャグもあり,前の指し手の意図がわかっていてもワザと違う手を指したりすることも常ですが,さすがに終盤だけはきっちりと寄せてしまいます。

 最後は負け組では誰が投了するかがミソで,何とか少しでも延ばして投了の"権利"を他人に譲る努力をし,ひたすら責任逃れを追求するのがテーマになります。

 一方勝ちがほぼ確定の組は誰が引導をわたすか,誰が相手に「負けました。」と頭を下げてもらって優越感にひたるいい役回りを貰うかがミソになりますね。

 私が入っている組は"受け狙い"が中心のメンバーが二人(浜崎さんとだにいさん)もいるので優勝はむずかしいと思っていたら,何とか2連勝で上田チーム優勝だと思っていたら,リーグ戦だからということで,もう1局2敗のチームと対局して負けました。

 浜崎センセの2局続けての"うっかりで油断させる戦法?”は最後は効かなかったようです。

結果は柿木さんの将棋チェスネットへの投稿をコピーさせてもらいます。

 ・北島六段、まー、JIRO、景虎、Tei
 ・上田二段、ヒコ、だにい、浜崎 卓、TOSHI
 ・野田澤1級、たいと、柿木、阿部
 ・DECA、藤田、文十郎、あきら

  北島チーム:2勝1敗
  上田チーム:2勝1敗
  野田澤チーム:1勝2敗
  DECAチーム:1勝2敗
  ○北島-野田澤× ○上田-DECA× ×北島-上田○ 

  ×野田澤-DECA○ ○北島-DECA× ○野田澤-上田×

       
 そういえば,昔,このリレー将棋を初めて企画したのは当時将棋フォーラムメンバーで,1回だけ参加したタバサさん(元女流アマ名人)であったと記憶しています。

 その際バイクで来ていた若いメンバーのワイルドキットさんはRT(リアルタイム対局)でも1勝もしたことがなく将棋が好きでもないというフォ-ラムでは変わり者でした。

 私が「こんなのメンバーに入れたら勝てない」などと言ったのを聞かれてタバサさんに説教されたという思い出もありますね。

 でもリレー将棋は酒飲んだあとで楽しみでやる限り強い弱いはあまり関係ないようです。

 2勝1敗同士でも両チームの直接対局で勝ってるから優勝と思ったけど事前にルールを決めてなかったので違うみたいですね。

 さて2日目は指導対局が中心でしたが,まずは公式対局でたいと名人に2枚落ち下手で勝たせてもらいました。

 たいとさんの見落としでしょう。平手だと無理な角切りでしょうが駒落ち下手なら無理ではなかったと思っています。とにかく両目が開きました。

 あとは指導対局のみで,まず北島先生に3面指しの2枚落ち下手で挑戦しました。

 上手に飛車を取らせても僅かに優勢かなという感じで勝負をして後で先生に聞くとその通りだったらしいのですが,"寄せは俗手で"ということわざ通りに桂馬で王手のふんどしをかけて十分だった(実は本人が気づいてなかったらしい^^;)のに反して,"よそゆきの手"を連発し,投了すればいいのに受けにならない受けをしてみじめに負けました。

 (相手によっては棋譜を汚すのが趣味だったりします。←悪趣味!!)

 2年前には同じ手合いで先生の見落としで勝った記憶がありましたが,それはフロックなのでしょう,今回は負けました。

 まあ勝っても2枚落ちなので自慢にはなりませんが。。

 またこれは今回とは関係なく自慢ですが3年前には蛸島女流に飛車落ち下手で上手のうっかりで拾わせて頂いたこともあります。 

 最後に,私はロリコンおやじで小柄でオバサン中学生風に見えてメガネをかけているという4拍子ぴったりの好みキャラの野田澤女流(野沢菜ちゃん)に平手で挑戦しました。

 一応,駒落ちでも平手でも指導将棋に過ぎないでしょうが,商売上平手だと簡単に負けるわけにはいかないだろうと思った私なりの番外作戦ですね。

 勝負の方は,恐らく上手の飛車の上に桂馬を捨てて飛車成りが王手になったところまでは,私へのサービスなんでしょうが,またしても角を捨てて華々しく寄せてやろうというスケベ根性が出て,結局は渡したその角で王手龍取りを食らったところで私の投了となりました。

 負け惜しみですがフェミニストの私にとっては,これで良かったのでしょう。。。

 私自身の今回の将棋の総評としては,序盤では守るくせに中盤以降の定跡無関係のところでは”気合だぁとか,気合負けしちゃいけない,とかから迷ったときはいっちゃぇ”となってしまうところが大きな欠点ですかね。

 全部が全部そうじゃなくて,それがいいこともあるでしょうが,きっと一手でもどこかで守りを入れておけば結果が違うのでは。。

 といつも思いますが反省していません。

 反省しない人間は将棋に限らず勝負事には向いていないかもしれません。

 勝ってうれしい,負けてくやしいのない仙人になるにはまだ早いですし,生きてる意味が希薄になります。

 きれい汚いに関わらず,恥ずかしいというのも含めて動物的な感情があるからこそ人間ですね。

 余談はさておき,ここでお開きになり成績発表になったのですが宿への到着がまちまちで対局数がいろいろなので単純に勝率で順位を決めたということで上田女流が6勝2敗で優勝,まーさんとだにいさんが5勝2敗で2位,北島プロが11勝5敗で4位,野田澤女流は4勝4敗で10位,私は2勝5敗で14位でした。

 2勝3敗だと思ってたら例年と違って指導対局の2敗まで入ってたので最下位危なかったですね。

 表彰式ではプロは賞品辞退ということでそれ以外の順位が上から順に賞品を取りました。

 昔は最新版の「柿木将棋」とか今より豪華なものも頂きましたが,参加者全員に賞品はあるのですが不景気のせいかせいぜい扇子や棋書くらいですね。

 私は将棋連盟のマグカップ(これで2つ目)をもらいました。

 とにかく久しぶりで楽しかったのですが,たいとさんの車で帰宅して軽食をとってからテレビでオリンピックを見る予定をたてていたのに今日の朝まで熟睡してしまいました。

 やはり病気前とは体力的に違っていて宿の階段の昇り降りさえしんどいので見栄をはるのも大変ですね。

 ブログをご覧になっているメンバーの皆さんで,私のマイペースを迷惑と感じられた方がおられたら,悪気はないのでお許しください。

 私自身は腹蔵なく好きな人ばかりなので機会があったら,またお会いしたいです。プロの方も素人が相手だと腰が低いのはわかりますが楽しんでもらえたらいいですね。。。

 来年の夏合宿=関東オフはやはりこの季節の湯河原の杉の宿で開催する予定らしいですが,私が最弱ではなく昔のように私が平均くらいになるような参加者にも来てもらいたいと思います。

 もっといえば将棋よりも温泉でもいいと思います。 (全体写真は参加者からクレイムがあれば削除します。)                                               

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2008年8月 7日 (木)

相対論の幾何学(第Ⅰ部-6:coffee break)

 ちょっと夏バテなのか,あるいは一時的に急性熱射病もどきにかかったのか,最近日常生活さえ,息苦しく酸欠気味に感じるので,コーヒー・ブレイクということで,ちょっと物理的な方に戻って軽い話題をします。

前記事の最後で求めた2次元曲面に束縛された粒子(生物)にとっての意味のある運動方程式(d2k/dt2)+Γkij(dui/dt)(duj/dt)=0 を再考してみます。

これの基本となる方程式は,ニュートンの運動の法則を示す微分方程式d2/dt2/mの右辺の外力が曲面に垂直な束縛力:mβのみであるとした式d2/dt2=βです。

これを曲面(u,v)を表わすパラメータ:(u,v)=(u1,u2)で表現すると(/∂ui)(d2i/dt2)+(2/∂ui∂uj)(dui/dt)(duj/dt)=βとなります。

 

左辺第2項の係数である曲面の2階導関数∂2/∂ui∂ujは3次元空間を張る3つの独立なベクトル:∂/∂uk(k=1,2),で展開すると,∂2/∂ui∂uj=Γkij(∂/∂uk)+hijと書けます。

 

そこで,∂2/∂ui∂ujをこれで置き換えることにより,法ベクトルに垂直な接平面成分の式(/∂uk){(d2k/dt2)+Γkij(dui/dt)(duj/dt)}=0 と,=法線方向の成分の式hij(dui/dt)(duj/dt)=βの互いに独立な2つの方程式が得られます。

 そして,2次元生物には知ることのできない後者の法線成分の式は無視して,2次元曲面上の軌道のみを記述した前者(/∂uk){(d2k/dt2)+Γkij(dui/dt)(duj/dt)}=0 に着目します。

 

 これは外力の接平面成分がゼロなので,右辺がゼロベクトルなのですね。そして,2つの(/∂uk)は1次独立なので,その係数はゼロですから,d2k/dt2Γkij(dui/dt)(duj/dt)=0 が得られるわけです。

 

これは外力が全くなくて単に慣性の法則に従う粒子が2次元曲面の上ではどのように運動するかを記述する式となっています。

一方,4次元時空の一般座標xμ(x0,)=(ct,x,y,z)に対応する局所ローレンツ座標をXμ(X0,)=(cT,X,Y,Z)とした一般相対論の動力学でも,ニュートン力学と同じく,"ローレンツ系(慣性系)では外力がゼロの粒子は直線運動をする。"という慣性の法則,すなわち,dXμ=(一定)が成り立ちます。

 

これを適当なパラメータλを用いた軌道曲線Xμ(λ)によってd2μ/dλ2=0 と表わしたものが,測地線の方程式d2ρ/dλ2+Γρσν(dxν/dλ)(dxσ/dλ)=0 ;Γσμν=(∂xσ/∂Xρ)(∂2σ/∂xμ∂xν)となります。

先にベースとした方程式d2/dt2=βと,今のd2μ/dλ2=0 は一見異なる種類の方程式であるように見えます。

 

しかし,前者から得られる接平面上の式(/∂uk){(d2k/dt2)+Γkij(dui/dt)(duj/dt)}=0法線方向の式:hij(dui/dt)(duj/dt)=βとは全く無関係で,例えばβ=0 とした運動方程式d2/dt20 であっても接平面上の方程式は変わりません。

 

そして,一般相対性理論で,この3次元空間内の2次元曲面の法線の第3の方向に相当するものは,4次元時空を4次元曲面と考えたとき,それに垂直な5次元目ということになりますから,この余分の仮想次元に関する方程式は我々には認識できないし,我々には無関係です。

 

そこで,この次元に関する成分の表現が空間曲面のそれと4次元時空のそれとで食い違っていても無視していいと思われます。

 こうした運動学と動力学の法則を結合させた物理的な直観に根ざした考察とは別に,測地線にはベクトル場やテンソル場の平行移動概念に伴なう共変微分とかアファイン接続(アフィン接続)などのような物理学とは独立な数学の1分野である幾何学の対象としての意味もあります。

測地線という言葉は計量を持つ多様体上での最短距離,すなわち平坦な空間では直線に相当するものですが,実は擬リーマン多様体であるローレンツ多様体の計量ds22dτ=μνdxμdxν=ημνdXμdXν=c2dT22では,AB間の距離∫ABds=c∫ABdτ=∫AB(μνdxμdxν)1/2が最長となる経路を示すものです。

 つまり,シルヴェスターの慣性律にしたがって,ローレンツ多様体の計量はミンコフスキー(Minkowski)計量と同じ構造なので,その上では三角形の2辺の和が他の一辺よりも短かいのです。

 

 すなわち,"真っ直ぐ"進むよりも回り道をしたほうが,進んだ距離∫ABds=c∫ABdτが短かくなるのですね。

 

 通常の時間的(time-like)運動では,静止状態も含め外力がない状態で(重力は外力でないと考えています)自然に過ごすよりも,宇宙船などに乗って星間旅行をする場合のように,自由落下に逆らう機械的力を受けて回り道をすると,彼に特有の固有時間である∫ABdτは短かくなるということですね。

 

 ここら辺の話については,2006年5/6の記事「測地線(双子のパラドックス)」や,2007年5/15の記事「シルヴェスターの慣性律とローレンツ多様体」も参照してみてください。

 そして測地線を最短,または最長経路と考える空間の幾何学は自然現象とは直接には関係ない数学の1分野ですが,もしも物理学の分野である力学のラグランジアンLをL≡-m∫ds=-mc∫dτ=-m∫(μνdxμdxν)1/2と定義すれば,"実際の物理的運動はLを最小とするべきである"という最小作用の原理に従う運動の軌跡が測地線になることから,幾何学と力学を結合させた考察を行なうことができるわけです。

 このシリーズは,まだまだ続ける予定でガウス・ボンネの定理(Gauss-Bonnet's theorem)を扱ったり,微分形式による話,あるいはもっと抽象的な微分幾何を使用した定式化,そして空間曲面の曲率とリーマンの曲率との数学的関係,または物理的関係などをも書く予定です。

 今日の記事はいつもより短かいものですし,珍らしく薀蓄だけに頼ったので参考文献はありません。

 

 私は能天気なので,年中盆と正月と花見などが頭の中に同居しているようなものですが,まあ人並みに夏休みでもということで私事ですが週末の8/9,10に「将棋チェスネット」での毎年恒例の関東オフ合宿に参加するため,愛知県知多市の方に行ってきます。

 

 これには,前はほぼ毎年参加していたのですが,2005年7月の湯河原だったか熱海だったかを最後に,病気などでドタキャンしたりしたこともあって,久しぶりです。

 

将棋チェスネット」はパソコン通信ニフティ・サーブ時代の「将棋フォーラム:FSHOGI」の有志が,フォーラム制度がニフティ(現@nifty)で廃止になったあとも続けているネットです。

 

 これの前身は,私がインターネット時代より前の1991年にパソコン通信の世界にどっぷり漬かるきっかけになったものです。

 

 年1回夏の湯河原オフはニフティ時代に始まったものです。

  

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2008年8月 3日 (日)

相対論の幾何学(第Ⅰ部-5:空間曲面(2))

続きです。前記事では空間曲面(u,v)に対する第2基本形式ΠをΠ(du,dv)≡-(d,d)=-(udu+vdv,udu+vdv)=L(dudu)+2M(dudv)+N(dvdv)で定義しました。

そして,この第2基本形式Π(du,dv)は曲面(u,v)上の点0(u0,v0)における"接平面に垂直な成分=曲面の高さ"の変分を表わすという意味を持つことがわかりました。

 

つまり,α(u0,v0)をこの点0での法ベクトルとしてα方向の高さを示す関数をf(u,v)≡(α,(u,v))で表現すれば微小変位:Δu,Δvに対するfの変動がΔf≡f(u0+Δu,v0+Δv)-f(u0,v0)=L(u0,v0)(ΔuΔu)+2M(u0,v0)(ΔuΔv)+N(u0,v0)(ΔvΔv)=Π(u0,v0)(Δu,Δv) → Π(u0,v0)(du,dv)で与えられることを見ました。

曲面(u,v)上の各点での第2基本形式の正負の符号によって,その点の近傍の曲面での局所的な形状が決まることがわかりました。

さらに第2基本形式の曲面の曲がり方への定量的関係を見るために曲面上の曲線の曲率を求めてみます。

sを弧長パラメータとして(u(s),v(s))に対応する曲面(u,v)上の空間曲線(s)≡(u(s),v(s))を定義します。これの曲率を計算するわけですが,既に以前の記述で空間曲線の曲率κ(s)については,これがκ(s)≡|"(s)|=|d2/ds2|で定義されることを述べました。

 

ところで'(s)=d/dsは(s)の接ベクトルなので,これは点(s)において曲面(u,v)に接していますが,"(s)=d2/ds2の方は一般に曲面(u,v)の接平面上のベクトルではありません。

そこで,"(s)を点(s)での曲面の接ベクトル成分gと法ベクトル成分nの和に分解します。つまり,"(s)=gnと書きます。

 

g曲線(s)の測地的曲率ベクトル,nを法曲率ベクトルと呼びます。

これらの曲率のベクトル成分のうちで,まず曲面(u,v)の接平面に垂直な成分であるnについて詳細に考察します。

nは法ベクトルなので,単位法ベクトル(u×v)/|u×v|を用いてn=κnと表現されます。この値:κnを法曲率と呼びます。

法曲率は,さらにκn(n,)=("-g,)=(",)=-(',')=-(d/ds,d/ds)=-(u(du/ds)+v(dv/ds),u(du/ds)+v(dv/ds))=L(du/ds)(du/ds)+2M(du/ds)(dv/ds)+N(dv/ds)(dv/ds)となります。

 

これは,法曲率κn(s)が大域的な曲線全体(s)ではなく局所的な接ベクトル'(s)だけから決まることを示す表現となっています。

ここで,曲面(u,v)上の1点0(u0,v0)における任意の単位接ベクトルをとすれば,はある(u0,v0)の関数である2つのパラメータ:ξ=ξ(u0,v0),η=η(u0,v0)によって=ξu(u0,v0)+ηv(u0,v0),かつ||=1なる形で表わされます。

 

そこで,第2基本形式と同じ記号Πを用いてΠ()≡Π(ξ,η)=Lξ2+2Mξη+Nη2と定義すれば,上に与えた法曲率κn(s)は,κn(s)=Π('(s))と表現されることがわかります。

ここで,||2=Eξ2+2Fξη+Gη2=1なので,が点0を中心とする接平面上の単位円の周上にある,つまりが単位接ベクトルであるという条件の下で,接ベクトル=ξu+ηvの法線成分を与える関数:Π()=Lξ2+2Mξη+Nη2の最大値,最小値を求める問題を考えてみます。

この問題は,λ()≡(Lξ2+2Mξη+Nη2)/(Eξ2+2Fξη+Gη2)なる量が無条件で(ただし(ξ,η)≠(0,0))最大値,最小値を取る問題と同等です。

何故なら,||=1の条件下ではλ()=(Lξ2+2Mξη+Nη2)=Π()ですが,またλ()の定義から明らかに任意の数c(c≠0)に対してλ(c)=λ()が成立します。

 

最大値を例に取るなら,ある(ただし≠0)でλ()が最大になるなら,その値は単位ベクトル/||における値:λ(/||)に等しいので,それは||=1の条件下での最大値でもあることがわかります。

 

また,逆に||=1の条件下でのλ()の最大値は無条件下での(ただし(ξ,η)≠(0,0))λ()の最大値に等しいこともいえるからです。

そして,λ()≡(Lξ2+2Mξη+Nη2)/(Eξ2+2Fξη+Gη2)なる式は,Lξ2+2Mξη+Nη2-λ()(Eξ2+2Fξη+Gη2)=0 ,つまりΠ()-λ()||2=0 なる等式と同値です。

 

一方,λ()が最大値,最小値を取るための必要条件は∂λ/∂ξ=0,かつ∂λ/∂η=0 で与えられます。

 

そこで,等式の両辺をξ,ηで微分して,∂λ/∂ξ,∂λ/∂ηをゼロと置けば,(L-λE)ξ+(M-λF)η=0,(M-λF)ξ+(N-λG)η=0 なる式が得られます。

 

これは,Lξ+Mη=λ(Eξ+Fη),Mξ+Nη=λ(Fξ+Gη)とも書けます。

これを,ξ,ηを未知数とする連立1次方程式と考えると,方程式が(ξ,η)≠(0,0)なる自明でない解を持つためには,係数行列の行列式がゼロになることが必要十分条件になります。

 

すなわち,(L-λE)(N-λG)-(M-λF)20,つまり(EG-F22(EN+GL-2FM)λ+LN-M20 が成立する必要があります。

このλの2次方程式の2つの根をλ=κ12とすると,根と係数の関係から,κ1κ2(LN-M2)/(EG-F2),かつ(κ1+κ2)/2=(EN+GL-2FM)/{2(EG-F2)}と書けます。

 

これらをK≡κ1κ2,H≡(κ1+κ2)/2なる記号で表わして,Kをガウスの曲率,Hを平均曲率と呼びます。

また,κ1とκ2を主曲率と呼び,κ1=Π(1),κ2=Π(2)を満たす単位ベクトル1,2の方向を点0における主方向と言います。

 

そして,1,2u,vの線型結合としての表現をi=ξiu(u0,v0)+ηiv(u0,v0) (i=1,2)と書けば,λにその固有値κiを代入した式としてLξi+Mηi=κi(Eξi+Fηi),Mξi+Nηi=κi(Fξi+Gηi)なる線型関係式が得られます。

上の最後の等式の両辺に左からii)を掛けてベクトルの内積を取ると,(ξii)t(Lξj+Mηj,Mξj+Nηj)=κjii)t(Eξj+Fηj,Fξj+Gηj)となります。

 

E,F,GやL,M,Nで構成されるこれらの式の係数行列は,対称行列なので(ξii)t(Lξj+Mηj,Mξj+Nηj),(ξii)t(Eξj+Fηj,Fξj+Gηj)は,iとjの交換について対称です。

 

それ故,κ211)t(Eξ2+Fη2,Fξ2+Gη2)=κ122)t(Eξ1+Fη1,Fξ1+Gη1)が成立します。

そこで,もしも固有値λの2つの値κ12が異なる場合1≠κ2なら,(ξ11)t(Eξ2+Fη2,Fξ2+Gη2)=0 です。

 

したがって,κ1≠κ2なら(1,2)=Eξ1ξ2+F1η2+ξ2η1)+Gη1η211)t(Eξ2+Fη2,Fξ2+Gη2)=0 となって,2つの主方向は直交します。

一方,固有値λの2つの値が等しい場合:つまりκ1=κ2=κなら最大値と最小値が一致するので,0(s0)=(u0,v0)における接ベクトルの法曲率κnはあらゆる方向で常にκn=κとなります。

 

そこで,(Lξ2+2Mξη+Nη2)=κ(Eξ2+2Fξη+Gη2)であり,この点0ではあらゆる方向が主方向となります。こうした点を曲面の臍点(umbolic point)と呼びます。

 

ガウスの曲率Kがゼロのときは,||=1の条件下でのΠ()≡Lξ2+2Mξη+Nη2の最小値がゼロなわけですから,これは曲面(u,v)上の曲線(s)=(u(s),v(s))において曲線上のある点0(s0)=(u0,v0)での法曲率κn(s0)=Π('(s0))がゼロになるような接ベクトルが存在することを意味します。

 

よって,K=0 のときのこの点の近傍における局所的な曲面の形状は平坦であると言われます。

また,K>0 となる点は楕円点,K<0 となる点は双曲点,そしてK=0 となる点は放物点と呼ばれます。

 

第1基本形式I≡E(dudu)+2F(dudv)+G(dvdv)=(d,d)は常に非負なので,(ξ,η)≠(0,0)ではEξ2+2Fξη+Gη2は常に正ですから,D/4=EG-F20 です。

 

そこでK=(LN-M2)/(EG-F2)の符号はLN-M2の符号と同じです。前にも述べたように,これの符号が下に凸,上に凸,鞍点などの曲面の局所構造を表現します。

一方,平均曲率H≡(κ1+κ2)/2 がゼロのときは局所的な曲面を極小曲面と呼びます。この呼称は,次のような理由からです。

 

曲面上の点0(u0,v0)の近傍の(u,v)∈Rを定義域とする局所曲面(u,v)において,この曲面を法ベクトル(u,v)方向に移動させた新しい曲面^(u,v)(u,v)+δ;変分δはδ≡εf(u,v)(u,v)((u,v)∈R,f(u,v)は任意関数)を作ります。

 

の面積:A(f,ε)≡∫∫|^×^v|dudvを考えると,HがゼロのときにdA/dε=0 となってε=0 の元々の曲面(u,v)の面積が極小となるためです。

 

実際,dA/dε=∫∫f|××|dudvとなりますが,前記事で与えたワインガルテンの式から,={(FM-GL)+(FL-EM)}/(EG-F2),={(FN-GM)+(FM-EN)}/(EG-F2)です。

 

これを用いると,×={(FM-GL)/(EG-F2)}(×),×={(FM-EN)/(EG-F2)}(×)なのでdA/dε=∫∫f|(2FM-GL-EN)/(EG-F2)}(×)|dudv,つまりdA/dε=-∫∫fH|×|dudvが得られます。

 

ところが,|×v|={||2|v|2-(,v)2}1/2=(EG-F2)1/2ですから,結局,dA/dε=-∫∫fH(EG-F2)1/2dudvと書けます。

 

したがって,Rを点0(u0,v0)を与える(u0,v0)の近傍の(u,v)領域とすれば,この領域Rに対応する曲面の面積A(f,ε)が極小であること,つまりdA/dε=0 であることは,平均曲率H=(κ1+κ2)/2 がゼロであることと同等であることがわかります。

次に,主として曲率の接ベクトル成分である測地的曲率ベクトルgに関する話題に移ります。

 

一般相対論での曲がった4次元時空上の粒子運動を2次元曲面上に束縛された粒子の運動と同一視して比較することを考えて,面を示すパラメータ,つまり多様体の上に書いた地図座標(u,v)を(u1,u2)と表記して曲面(u,v)を(u1,u2)と書き直してみます。

このとき,基底をなす接ベクトルu(∂/∂u),v(∂/∂v)は,i(∂/∂ui)となり,一般の接平面上のベクトルを示す線型結合ξu+ηvパラメータξ,ηをξi(i=1,2)と添字表現に書き直してξi,iと表現されます。

 

そこで,E≡(u,u)=u2,F≡(u,v)=(v,u),G≡(v,v)=v2なる表記を通常の多様体の計量の記号gij(,i,,j)=(∂/∂ui,∂/∂uj)に変更すると,接ベクトル:ξu+ηv=ξi,iの長さの平方(Eξ2+2Fξη+Gη2)は,gijξiξjとなります。

 

これは相対論の記法に慣れている人なら,ds2=gijdξidξjと書いた方が馴染み深いでしょう。

ところで,u,vによる2階微分の表式:uu=Γuuu+Γvuuv+L,uv=Γuuvu+Γvuvv+M,vu=Γuvuu+Γvvuv+M,vv=Γuvvu+Γvvvv+Nでは,2次元の曲面内に束縛されて,3つ目の次元である法ベクトルを認識できない粒子(生物?)にとっては,L,M,Nは無関係な量でクリストッフェル記号Γのみが重要です。

 

これは,添字表現では,i,j=∂2/∂ui∂uj=Γkij(∂/∂uk)+hij(u1,u2)と書けます。

そして,(uv,u)=Γuv(u,u)+Γvuv(u,)etc.の添字表現は(∂2/∂ui∂uj,∂/∂ul)=Γkij(∂/∂uk,∂/∂ul),すなわち,glkΓkij(∂2/∂ui∂uj,∂/∂ul)です。

 

ところが,(∂gli/∂uj)=(∂2/∂ui∂uj,∂/∂ul)+(∂/∂ui,∂2/∂ul∂uj),(∂glj/∂ui)=(∂2/∂uj∂ui,∂/∂ul)+(∂/∂uj,∂2/∂ul∂ui)であり,

 

(∂gij/∂ul)=(∂2/∂ui∂ul,∂/∂uj)+(∂/∂ui,∂2/∂ul∂uj)なので,結局glkΓkij=(1/2)(∂gli/∂uj+∂gli/∂uj-∂gij/∂ul)なる表式が得られます。

 

そこで,(gij)の逆行列を(gij)≡(gij)-1で定義すれば,Γkij(gkl/2)(gli,j+glj,i-gij,l)となります。

 

これは,2008年7/2の記事「球対称時空解(シュヴァルツシルト解)の導出(1)」で与えた一般相対論での接続係数としてのクリストッフェル記号の表現式σμν(gσρ/2)(gρν,μ+gρμ,ν-gμν,ρ);(gμν)≡(gμν)-1と時空の次元の違いを除いて完全に一致します。

 

これを時空の一般座標xμと局所ローレンツ系の座標Xμを用いて表現すると,2008年7/5の記事「球対称時空解(シュヴァルツシルト解)の導出(2)」や7/13の記事「重力崩壊とブラックホール(1)」において,

 

μν=(∂Xρ/∂xμ)(∂Xσ/∂xνρσ,かつΓσμν=(∂xσ/∂Xρ)(∂2σ/∂xμ∂xν),または(∂Xρ/∂xσ)Γσμν2ρ/∂xμ∂xνとなります。

 

さらに,両辺に(∂Xρ/∂xτ)を掛けてρで縮約すると,τσΓσμν=(∂2ρ/∂xμ∂xν)(∂Xρ/∂xτ)となります。

 

と書いた式になっています。

 

この最後の式も,曲面に束縛されて,束縛力以外には全く外力を受けない粒子に対するΓの表式:glkΓkij(∂2/∂ui∂uj,∂/∂ul)と形が全く一致しています。

 

これらのことから,束縛運動を表わす空間3次元の位置ベクトルr=(x,y,z)=(x1,x2,x3)が曲がった4次元空間の局所ローレンツ座標Xμ=(X0,)=(X0,X1,X2,X3)に対応し,一方,2次元のパラメータ(u,v)=(u1,u2)が4次元空間の時空座標xμ=(x0,)=(x0,x1,x2,x3)に対応することがわかります。

そして,2次元曲面に張り付いていて3つ目の次元を知らない粒子(生物)にとって何の力も働いていない場合の粒子の運動方程式を考えてみます。

このとき2次元生物には認識できませんが,実は粒子を曲面上に束縛するための未知の束縛力があり,それが接平面に垂直な向きの力であるとしてβ(1,u2)(u1,u2)と表わされるとします。

  

そうすれば,結局粒子の運動方程式はd2(t)/dt2=β(t)()と書けるはずです。これは"(s)=gn=β(s)()と書いても同じことです。

そして,これは(/∂ui)(d2i/dt2)+(2/∂ui∂uj)(dui/dt)(duj/dt)=β(t)()と変形できます。

 

2/∂ui∂ujを互いに独立な接ベクトル成分と法ベクトル成分に分解した表現:∂2/∂ui∂uj=Γkij(∂/∂uk)+hijをこの式の左辺に代入すれば,(/∂uk){(d2k/dt2)+Γkij(dui/dt)(duj/dt)}=0,ij(dui/dt)(duj/dt)=βを得ます。

 

前者は最初に述べた測地的曲率ベクトルgについて,g0 なることを意味し,これに従う曲面上の曲線路を測地線と呼びます。

 

そして,これのみが2次元曲面に束縛された生物にとって意味のある運動方程式です。

 

これは独立なベクトル:(/∂uk)の係数をゼロとおくことで(d2k/dt2)+Γkij(dui/dt)(duj/dt)=0 なる表式になります。

 

最後の式は曲面の上に書いた局所的な地図のxy座標であるukに対する方程式ですが,このg0 なる2次元測地線が以前に述べた曲がった4次元時空での測地線に対応するということのより詳細な意味については次回の記事で述べたいと思います。

参考文献:小林昭七著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房),大森秀樹 著「(数学セミナー増刊)入門現代の数学(8):力学的な微分幾何」(日本評論社),大森英樹 著「一般力学系と場の幾何学」(岩波書店)

 

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