有限な１次元空間の運動量演算子の境界条件

　以前の2007年５月24日の記事「有限な１次元空間に限定された運動量演算子」に関連した問題で運動量演算子を規定するために,波動関数に課せられる境界条件の妥当性などが種々の掲示板やブログで問題になっているようなので,私のブログ記事を再掲し,内容説明をして少し補足しておくことにします。

※     (再掲記事)↓

　表題の１次元空間での座標表示のSchrödinger表現の運動量演算子ｐ＝－iｈ_cｄ/ｄｘ(ｈ_c≡ｈ/(2π),ｈはPlanck定数)に関する問題は,私は以前個人的に考察したことがあります.

　これは,2001年頃に,岩波講座物理学[第2版]「量子力学Ⅱ」の第Ⅵ部の量子力学の構造において,物理量を表わす演算子の定義域とその自己共役性との関係に関わる問題として考察しました。

　その際に,ノートに記述した覚え書きを抜粋して書いてみます。

　まず,状態空間であるHilbert空間をＨとします。

　もしも状態ベクトルを波動関数で表わす空間という意味で用いる場合には,Ｈは２乗可積分な関数族の空間Ｌ²です。

　そして,Ｈのベクトルに作用する線形演算子Ａの定義域Ｄ(Ａ)はＨの部分空間であり,Ｈにおいて稠密であるとします。

　また,Ｄ(Ａ)に属する任意の状態ベクトル(or 波動関数)φ,ψに対して,＜φ|Ａ|ψ＞＝＜Ａφ|ψ＞となる場合にはＡをエルミート演算子と呼びますが,その上さらにＡの定義域Ｄ(Ａ)がＨで稠密な場合にはＡは対称演算子である,といいます。

　ついでに,Ｄ(Ａ)に属する状態ベクトルの列{ψ_n}があって,"ノルム収束＝強収束"の意味での極限lim _n→∞ψ_n＝φ,lim _n→∞(Ａψ_n)＝χが共に存在するとき,必ずφ,χ∈Ｄ(Ａ)となって,Ａφ＝χが常に成立するとき,Ａは閉じているとか,Ａは閉演算子であるといいます。
　
　今,Ｄ(Ａ)はＨで稠密(dense)であるとします。

　このとき,Ｈに属する状態ベクトルφによっては,∀ψ∈Ｄ(Ａ)に対し＜φ|Ａ|ψ＞＝＜χ|ψ＞を満たすχ∈Ｈが存在することがあります。

　このようなφの全体をＤ(Ａ^*)と記し,χ≡Ａ^*φによって,Ｄ(Ａ^*)を定義域とするＡの共役と呼ばれる線形演算子Ａ^*を定義します。

　Ａが対称演算子のときには,∀φ∈Ｄ(Ａ)に対してχ≡Ａφとすることで,必ず＜φ|Ａ|ψ＞＝＜χ|ψ＞が成り立つので,Ｄ(Ａ^*)の方が集合としてＤ(Ａ)より大きくなります。Ｄ(Ａ)⊂Ｄ(Ａ^*)⊂Ｈです。

　特にＤ(Ａ^*)＝Ｄ(Ａ)の場合には,Ａ^*＝Ａと書いてこの場合の演算子Ａを自己共役演算子であるといいます。

　Ａが自己共役演算子であるときには,これは虚数固有値を持たないので観測量となる必要条件を満たしています。

　以下では,Ａが"物理的観測可能量＝observable"であるということと,Ａが自己共役演算子であるということを同一視します。

　すなわち,Ａが観測量であるための必要十分条件はＡが自己共役演算子であることとします。

　ところが,１次元剛体壁(ｘ＝0,ｘ＝ａ)の間の区間[0,ａ]を動く粒子についての運動量演算子ｐが定義できるとして,

　これが区間(－∞,∞)において定義される通常のSchrödinger表示の運動量演算子と同じくｐ＝－iｈ_cｄ/ｄｘであるとすると,これの[0,ａ]で定義された波動関数ψ(ｘ)に対する作用はｐψ＝－iｈ_c(ｄψ/ｄｘ)です。

　そして,ｐ＝－iｈ_cｄ/ｄｘの定義域Ｄは,　

　Ｄ≡{ψ(ｘ):ψ(0)＝ψ(ａ)＝0,ψ∈Ｌ²は[0,ａ]で絶対連続で(ｄψ/ｄｘ)∈Ｌ²(0,ａ)} で定義される関数族として与えられます。

　ψ(ｘ)が[0,ａ]で絶対連続であるとは,[0,ａ]でLebesgue積分可能な関数ｆ(ｘ)があって,∀ｘ∈[0,ａ]に対して,ψ(ｘ)＝ψ(0)＋∫₀^ｘｆ(ｘ)ｄｘと表現できることをいいます。

　とにかく,このように定義したＤはHilbert空間:Ｈ＝Ｌ²(0,ａ)で稠密であることがわかります。

　そして証明はしませんがｐは対称演算子であり,かつ閉演算子でもあります。しかしｐは自己共役演算子ではありませんから,それは観測量であるための必要十分条件を満足しません。

　すなわち,例えばφ(ｘ)＝exp(iｋｘ)に対してχ(ｘ)＝ｈ_cｋexp(iｋｘ)とすれば＜φ|ｐ|ψ＞＝＜χ|ψ＞が全てのψ∈Ｄ(ｐ)(＝演算子ｐの定義域)に対して成立するのに,φ(ｘ)＝exp(iｋｘ)はＤには属さない,(φ(0)＝φ(ａ)＝0 を満たさない)からです。

　つまり,Ｄ(ｐ)＝Ｄが成り立ちませんから,Ｄを定義域とするｐ＝－iｈ_cｄ/ｄｘは自己共役演算子の条件を満足しません。

　実際,物理的に見ても剛体壁のため粒子は往復運動を続けるしかないので,この系では決して運動量が確定することはありません。

　つまり,こうした状況では,そもそもｐは観測量であるという要件を満たしていません。

　ということで,そもそもこのＤに属する境界条件を満たすｐ＝－iｈ_cｄ/ｄｘの固有状態は存在が不可能です。

　したがって,通常,状態はＤに属する波動関数で表現されるにもかかわらず,これを展開できるような同じ境界条件を満足する固有関数もないという不都合な状況になっています。

　(もっとも自由空間(－∞,∞)での運動量ｐ＝－iｈ_cｄ/ｄｘの固有関数も完全なので束縛条件＝境界条件に関わらずFourier展開という意味で展開することはできますが,それにどんな意味があるかは疑問です。)

　そこでｐを拡大して,αを0≦α＜2πのある定数としてＬ²(0,ａ)の部分空間Ｄ[α]をＤ[α]≡{ψ(ｘ):ψ(ａ)＝exp(iα)ψ(0),[0,ａ]で絶対連続で(ｄψ/ｄｘ)∈Ｌ²(0,ａ)}と定義し,その作用は前と同じく,ｐ＝－iｈ_cｄ/ｄｘであるとします。

　すると,＜φ|ｐ|ψ＞＝＜χ|ψ＞なることは,

∫₀^ａφ^*(－iｈ_cｄψ/ｄｘ)ｄｘ＝∫₀^ａ(χ^*ψ)ｄｘ(∀ψ∈Ｄ[α])

と表現されます。

　これを満たすχ∈Ｈの存在を許すφの範囲Ｄ[α,ｐ*]が,正しくＤ[α]に一致し,その他,対称性,稠密性も示せるので,結局こう定義すればｐは自己共役演算子であるといえます。

　そこで,この定義では全ての状態ψ∈Ｈにおける運動量ｐの観測量としての確率解釈(＜ψ|ｐ|ψ＞がｐの期待値を与えるという解釈)を行うことができます。

　つまり,この定義では,ｘ軸を正の向きに走っていた粒子がｘ＝ａに達した途端にψ(0)＝exp(－iα)ψ(ａ)によって,exp(－iα)の位相のずれを受ける程度で反対の端ｘ＝0 に顔を出し,再び正の向きに走り続けることを表わしているからです。

　数学的には,これはαの無数の選択に伴って運動量の演算子ｐの自己共役演算子への拡大の仕方が無数にあること(ｐには多義性あること)を意味しています。

　円のような周期運動ならα＝0 としたいわゆる周期的境界条件:

ψ(ａ)＝ψ(0)とするのが妥当ですが,そうでないケースに,これを取っても一般性を失わないと考えられます。

　つまり,ψ(x)＝Ｃsin(ｋ_nｘ) (ｋ_n＝ｎπ/ａ)というように,剛体境界条件にこだわる限り,

　自由空間(－∞,∞)での自由粒子の状態ベクトルとしての固有状態の波動関数:exp(ｉｋｘ)が状態空間Ｈ＝＝Ｌ²には属していないという困難に類似して,量子論でのｐの物理的意味付け自体が,結構むずかしいのではないかと思われます。

　要約すると,１次元の剛体壁で囲まれた箱という物理系は,古典的描像では,粒子が往復運動をしているので,

　ある位置座標での運動量あるいは速度を観測するとき,量子論におけるような不確定性原理というものは存在しないので,確定値としてその時刻時刻の逆向きの運動量あるいは速度を観測できます。

　しかし,それを量子力学の対象と考える場合,

　特に時間に無関係な"定常状態＝エネルギー一定のあるエネルギー固有状態"だけの問題として捉える場合には,

　観測対象の物理量がその定常状態における保存量でないならば,私にはその"物理量の確定値＝固有値"を観測しようという行為が何らかの意味を持つとは思えません。

　この定常状態でも,人間の目視あるいは観測装置によって運動量あるいは速度を観測することはもちろん可能ですが,

　それは定常状態での時間的平均値を観測するのではなく,その観測時刻における瞬時値の観測量であり定常状態の量ではありません。

　この場合に瞬時値として観測される運動量,あるいは速度は,箱の中の粒子の定常状態の範囲内で定義された運動量ではなくて,(－∞,∞)で与えられた一般的なそれであり,位置座標ｘを同時に確定することはできず,ｘについてはΔｘだけぼやけています。

　もしも,これを１次元の剛体壁(ｘ＝0,ｘ＝ａ)で囲まれた箱の中の定常状態での量と見るならば,それは無限回独立に繰り返し観測された(－∞,∞)で与えられた,別の一般的定義による運動量,あるいは速度の"期待値＝平均値"とみるべきであり,そして位置の不確定さΔｘとしてはΔｘ＝ａと考えるべきです。

　一般に,物理学での,ある物理系で物理量＝観測量として定義され名称を与えられているものは,パラメータである位置座標や時刻を除けば時間的な保存量に対してのみであると考えられます。

　１次元の剛体壁という境界条件の下では非定常状態として考えると,壁にぶつかるまでの微小時間帯では運動量あるいは速度は保存量ですが,この力学系を定常状態として,

　つまり時間というパラメータを度外視した時間を含まないSchrödinger方程式の解空間の範囲において考える限りでは,これは保存量ではなく"物理量＝観測量(observable)"とは考えられません。

　そこで,そうした運動量の保存しない,"定常状態＝エネルギー固有状態"のみを考えるという問題設定ならば,私であればそもそも運動量を観測するという必要性を感じません。

　ただ,１次元の箱の中の１粒子でも,量子論では無関係な全体にかかる位相を無視した定式化をして,粒子が往復運動をするという描像を忘れ,運動量が保存量となるような境界条件を与えるなら,(－∞,∞)領域での一般的な運動量と同様,１つの物理量として定義可能なように,定義を拡張することはできます。

　参考文献：岩波講座 現代物理学の基礎「第２版」４「量子力学Ⅱ」(再掲終わり)※

さて,本題ですが,これは対象とする系の演算子ｐ＝－iｈ_cｄ/ｄｘの定義域をＤ＝{ψ(ｘ)：ψ(0)＝ψ(ａ)＝0,[0,ａ]で絶対連続でｄψ/ｄｘ∈Ｌ²(0,ａ)}とした理由を示すことです。

どんな量子力学の状況であろうと,規格化するしないに関わらず１粒子波動関数ψ(ｘ)に対しては,ψ^*(ｘ)ψ(ｘ)ｄｘがその粒子の存在確率に比例する量を示していると解釈されるので,ψ(ｘ)はそのノルムの２乗が可積分なＬ²空間に属します。

このψ(ｘ)に１次元Schrödinger表現の運動量演算子ｐ＝－iｈ_cｄ/ｄｘを作用させたもの:－iｈ_cｄψ/ｄｘも定義できて期待値が計算可能であるべきだと考えられます。

運動量演算子の定義域についての条件は,できるだけ緩い方がいいと考えられるので,－iｈ_cｄψ/ｄｘも可積分であるべきという条件をも考慮してｄψ/ｄｘ∈Ｌ²(0,ａ)としたのですが,この条件についてはこれで必要十分かといわれると必ずしも是とは断言できませんが。。。

そして,Schrödinger方程式:Ｈψ＝－{ｈ_c²/(2ｍ)}ｄ²ψ/ｄｘ²＋Ｖ(ｘ)ψ＝Ｅψにおいて粒子が１次元剛体壁(ｘ＝0,ｘ＝ａ)の間に閉じ込められているという設定は,

左辺のHamiltonian:Ｈ≡－{ｈ_c²/(2ｍ)}ｄ²/ｄｘ²＋Ｖ(ｘ)のポテンシャルＶ(ｘ)が区間 [0,ａ]ではＶ(ｘ)＝0 であり,それ以外のｘ＜0,またはｘ＞ａではＶ(ｘ)＝∞ であるという設定と同等であると考えられます。

　実際,物理的に考えて右辺のエネルギー固有値Ｅ(定常状態ではエネルギー期待値と同じ)は有限であるべきであり,また全確率に比例する∫_-∞^∞ψ^*(ｘ)ψ(ｘ)ｄｘも有限ですから,測度がゼロのｘの区間を除けば,ψ(ｘ)自身も有限です。

　そこで,一般に右辺の絶対値は有限:|Ｅψ|＜∞なので左辺の絶対値も有限で|－{ｈ_c²/(2ｍ)}ｄ²ψ/ｄｘ²＋Ｖ(ｘ)ψ|＜ ∞ です。

ところがｘ軸上[0,ａ]を除く区間ではＶ(ｘ)＝∞ ですから,その区間でψ(ｘ)が恒等的にゼロでないなら,|Ｖ(ｘ)ψ|＝∞となりますから,

この項と－{ｈ_c²/(2ｍ)}ｄ²ψ/ｄｘ²が相殺して－{ｈ_c²/(2ｍ)}ｄ²ψ/ｄｘ²＋Ｖ(ｘ)ψが右辺のＥψと同じく有限になるためには,少なくともｘ軸上[0,ａ]を除く区間で常に|ｄ²ψ/ｄｘ²|＝∞ となることが必要です。

方程式ｄ²ψ/ｄｘ²＝Ｃ₁(定数)を普通に解けば,ψ(ｘ)＝Ｃ₁ｘ＋Ｃ₂ですが,もしも[0,ａ]を除く区間ではＣ₁＝∞ の場合には,この関数ψ(ｘ)＝Ｃ₁ｘ＋Ｃ₂は[0,ａ]では有限であるとしても,確率の条件∫_-∞^∞ψ^*(ｘ)ψ(ｘ)ｄｘ＜∞ が満足されるはずはありません。

そこで,[0,ａ]を除く区間で,測度がゼロの区間を除けばψ(ｘ)は恒等的にゼロであると考えられます。

したがって,粒子の存在確率は[0,ａ]以外ではゼロなので,この範囲に閉じ込められているという設定に同等であると思われるわけです。

そもそも２乗可積分な関数の空間Ｌ²に属する２つの関数ｆ,ｇが,ｘでの積分には寄与しない測度ゼロのｘの部分以外では等しい:ｆ＝ｇなら,測度ゼロの部分のみで２つの関数に有限差があっても,それらは恒等的に等しいとみなされます。

つまり,"ほとんど至るところで"ｆ＝0 なる関数ｆは,全て,関数空間でのゼロ関数と同定されます。

　そして,ψ(ｘ)がSchrödinger方程式:－{ｈ_c²/(2ｍ)}ｄ²ψ/ｄｘ²＋Ｖ(ｘ)ψ＝Ｅψの解になるためには,ｄ²ψ/ｄｘ²が存在する必要があるので,通常はｄψ/ｄｘが連続かつ微分可能である必要があります。

　ただし,それはポテンシャルＶ(ｘ)が有限:|Ｖ(ｘ)|＜∞ のときに限られます。

しかし,今のケースのようにｘ＝0,ａの境界でＶ(ｘ)＝0 から,Ｖ(ｘ)＝∞ の剛体障壁に飛躍するときには,その限りではありません。

例えばｘ＝ａの壁の左右でのｄψ/ｄｘをそれぞれ(ｄψ/ｄｘ)_－,(ｄψ/ｄｘ)_＋とおけばｄ²ψ/ｄｘ²はlim_Δｘ→0[{(ｄψ/ｄｘ)_＋－(ｄψ/ｄｘ)_－}/Δｘ]となり,これがａの右側で|Ｖ(ｘ)ψ|＝∞ なる項Ｖ(ｘ)ψと相殺する必要があるので,必ずしも境界でｄψ/ｄｘが連続である必要はないのです。

　しかし,少なくともψ(ｘ)は微分可能でｄψ/ｄｘが存在する必要はあるので,ψ(ｘ)は絶対連続であり特にψ(0)＝ψ(ａ)＝0 となる必要があると考えられます。

　これで運動量演算子の定義域Ｄを与えるために設定された条件の存在理由についての説明を終わります。

　蛇足ですが,運動量演算子の定義域Ｄというのは,あくまで波動関数ψの属する空間,ｘ表示の状態空間であるHilbert空間:Ｌ²の部分空間の意味であって,波動関数ψ(ｘ)の定義域である１次元ｘ座標の空間の部分空間のことではありません。

　確かに,今の場合粒子は[0,ａ]に閉じ込められていますが,それは波動関数ψ(ｘ)がこの区間のみでゼロでなくて,[0,ａ]以外では恒等的にゼロであるという意味です。

　そこで,[0,ａ]をψ(ｘ)の定義域と設定しても問題としては大差ないので,以前の記事ではそうした扱いをしていますが,

　一般に物理系の如何によらず,１次元の系では全ｘ空間(－∞,∞)を波動関数ψ(ｘ)の定義域とするのが慣例となっているので,演算子の定義域との混同を避けるため,以下では慣例に従う定義域:(－∞,∞)に変更した話を対象とします。

　一方,状態空間Ｌ²の部分集合としての運動量演算子の定義域ＤやＤ[α]は,今の場合のように粒子が長さａの範囲に閉じ込められているという設定では,ｘ＝0,ａでゼロであるべき,という条件で規定しようとＤ[α]でα＝0 の周期的境界条件で規定しようと,

　その固有値ｐが連続な全てのｐ^＝－iｈ_cｄ/ｄｘの固有関数スペクトル;＜ｘ|ｐ＞＝Ａexp(iｐｘ/ｈ_c)(ｘ∈(－∞,∞)(Ａは規格化定数)の完全系で展開される波動関数ψ(ｘ)全体から成る全状態空間Ｌ²ではありません。

　それらは,区間[0,ａ]以外ではゼロで,[0,ａ]では離散的なｐ_n＝ｎπｈ_c/ａ (ｎ＝0,±1,±2,..)を満たすｐ値に限定されたｐ＝－iｈ_cｄ/ｄｘの固有関数スペクトルです。

　すなわち,＜ｘ|ｐ_n＞＝Ｂexp(iｐ_nｘ/ｈ_c)(ｘ∈[0,ａ];Ｂは規格化定数),＜ｘ|ｐ_n＞＝ 0 (ｘ＜0 または ｘ＞ａ)で級数展開される波動関数ψ(ｘ)の集合の部分集合であり,Ｌ²[0,ａ]の部分空間です。

(もしも,Ｄ[α]でα≠0 とするならｐ_n＝(ｎπ＋α)ｈ_c/ａ(ｎ＝0,±1,±2,..)です。)

※(注) 実は,2006年7/22の記事「黒体輻射(空洞輻射)と空洞の形状」で考察したことですが,自由粒子が有限な領域に閉じ込められていること,つまり局在化していることと,運動量ｐが連続ではなく離散的であることは同等な意味を持ちます。

　逆に,エネルギーＥや運動量ｐが有限な限界(切断)で押さえられるなら,それに双対な時間ｔや空間ｘの方は離散化されます。つまり時空座標が量子化されます。

　自由粒子の場合には,運動量ｐが離散的であることはエネルギーＥ(＝運動エネルギーＴ)が離散的であることと同等です。

　Planckの黒体(空洞)輻射実験の場合なら,これは輻射光子の波数ベクトルｋと振動数ω＝ｃｋが離散的で,ω＝ω_1,ω_2,..と書けることを意味し,Ｅ_ｎ＝ｈ_cω_nにより空洞の中のエネルギー準位を規定します。

　そして前記ブログ記事では,輻射が閉じ込められている空洞の体積Ｖが有限であって,その大きさスケールＬがＬ＝Ｖ^1/3であるときには,

　実際の実験室での空洞の形状をそのまま考慮して容器境界で剛体壁の境界条件を取ろうと,空洞を１辺がＬの立方体に理想化して周期的境界条件を設定しようと,Ｖが同じであれば問題にとって本質的な差異は生じない,ということを論じています。

　つまり,本質的なのは不確定性原理:ΔｐΔｘ～ ｈ/2 であり,そのために,有限領域への局在を余儀なくされていてΔｘ≦Ｌの場合,つまり,"光子の波＝輻射電磁波"がＬ以上には拡がることができない場合には,

　Δｐ≧ｈ/Ｌ＝πｈ_c/Ｌとなって,運動量ｐに格子のようなπｈ_c/Ｌのオーダーの離散的刻みが生じざるを得ないことになります。(注終わり)※

　演算子の定義域がＬ²全体ではなく,その部分空間のＤである場合でも,[0,ａ]以外でのψ(ｘ)≡0 をも含めて波動関数ψ(ｘ)の定義域は(－∞,∞)ですから,決してψ(ｘ)の定義域が[0,ａ]に限定されるという風に誤解しないでください。

　運動量演算子;ｐ＝－iｈ_cｄ/ｄｘの定義域と呼んでいるので,それは別にＤに限定せず,全状態空間でもよいように感じるかもしれませんが,

　実はここでいう演算子の作用すべき定義域というのは,対象とする物理系における波動方程式の解全体から成る解空間のことを指しています。

　つまり今の場合は境界条件を与えることで解が一意に決まることが可能になる偏微分方程式,すなわち定常状態のSchrödinger方程式の解の集合を定義域と呼んでいるのです。

　物理的に意味のある状態関数はSchrödinger方程式の解だけであり,それ以外のベクトルに観測量の演算子を作用させても無意味なので解空間を演算子の定義域とするのは自然なことですね。

　ところで,１次元Schrödinger表現の運動量演算子:ｐ＝－iｈ_cｄ/ｄｘについて関数空間での演算子の定義域を伴なう自己共役性ではなく,単にHermite性という意味だけなら∫_-∞^∞{φ*(ｘ)(ｄψ/ｄｘ)}ｄｘ＝[φ*(ｘ)ψ(ｘ)] _-∞^∞－∫_-∞^∞{φ*(ｘ)(ｄψ/ｄｘ)}ｄｘと書けるので,

　φ(±∞)＝ψ(±∞)＝0 なら,いつでも＜φ|ｐ|ψ＞＝∫_-∞^∞{φ*(ｘ)(－iｈ_cｄψ/ｄｘ)}ｄｘ＝∫_-∞^∞{(－iｈ_cｄφ/ｄｘ)*ψ(ｘ)}ｄｘ＝＜ｐφ|ψ＞が成立します。

今の場合も,[0,ａ]の外側のｘ＜0,またはｘ＞ａではφ(ｘ)＝ψ(ｘ)＝0 なので,ｘ＝±∞ではφ(ｘ)やψ(ｘ)がゼロという要件は確かに満たされています。

そこで,その他の境界条件が運動量演算子の定義域Ｄを規定する条件であろうと,Ｄ[α]を規定するそれであろうと,運動量演算子の表現ｐ＝－iｈ_cｄ/ｄｘのHermite性は成立し全く問題はありません。

過去記事「有限な１次元空間に限定された運動量演算子」で述べたかったことのエッセンスは,今の定常状態の問題は自由粒子以外では一般に[Ｈ,ｐ]≠0 であることに起因するものです。

例えばちょっと違うけれど,粒子のスピン角運動量算子では,[ｓ_ｘ,ｓ_ｚ]≠0 なので,ｚ軸のスピンｓ_ｚを測定した結果,アップ(up)かダウン(down)かが完全に確定した状態では,

これとは独立なｘ軸のスピンｓ_ｘを測定しても,これらを同時に決めることは不可能なので意味がないのではないか？というような話ですね。

ＰＳ:この話題とは直接関係ないですが,定常状態のSchrödinger方程式:Ｈψ＝Ｅψは,エネルギーの保存則:Ｅ＝Ｔ＋Ｖ(Ｔは運動エネルギーでＴ＝ｐ²/(2ｍ)＝ｍｖ²/2,Ｖは位置エネルギー)を示していますが,

古典論でも量子論でも非相対論では,エネルギーに明確な基準点,または原点があるわけではありません。

例えば,粒子の受ける力が電磁気のCoulomb力や,万有引力であれば,位置エネルギーＶはＶ＝－Ｋ/ｒ＋(定数)(Ｋ＞0)なる形で与えられますが,

これは,"慣性の法則が成立するとされている場所＝無限遠:ｒ＝∞"でＶ＝0 となるように右辺の(定数)をゼロに取ってエネルギーの基準とするのが慣例となっています。

しかし,今の例の場合ｒ→ 0 に対してＶ→－∞ となるので位置エネルギーには下限がないことがわかります。

また,Ｖ＝－Ｋ/ｒ＋Ｃ(Ｃは定数)と設定しＣを如何なる値に取って基準を変えようと,対象とする系の本質的な記述には無関係である,という曖昧さがあります。

量子論の方程式Ｈψ＝Ｅψにおいても,Ｔを変えないでＶのみＶ→Ｖ＋Ｃとシフトしても,Ｅ→Ｅ＋Ｃとすれば同じψが解となって理論は不変であるといえます。

上述のように,位置エネルギーＶには下限がないように見えますが,運動エネルギーＴには明確な下限があります。

すなわち,古典論では明らかにＴ＝ｐ²/(2ｍ)＝ｍｖ²/2≧0 です。

そして量子論でも１次元の運動量演算子ｐ＝－iｈ_cｄ/ｄｘの期待値は実数ですから,Ｔ＝ｐ²/(2ｍ)＝(－iｈ_cｄ/ｄｘ)²/(2ｍ)は演算子として正値 or 非負です。

で,運動エネルギ－Ｔの方は基準をこう定めると絶対的,一意的かというとそうでもありません。

実際,位置エネルギーＶを無視した自由粒子の運動ならGalileiの相対性原理が成立します。

つまりこれはGalilei変換に対して理論が不変,すなわち,どの慣性系を基準にして記述しても本質的に同じである場合ですね。

そうすると,１次元で考えた場合に,ある慣性系でＴ＝ｐ²/(2ｍ)＝ｍｖ²/2 と書けるとき,その慣性系に対して原点が相体速度ｕで運動する別の慣性系を基準にすると,ｖ→ ｖ－ｕとなるので,

Ｔ＝ｍｖ²/2→ ｍ(ｖ－ｕ)²/2と変わりますから,こういう意味では運動エネルギ－Ｔも絶対的ではなく相対的にころころ変わる量です。

例えば地上にいる人が見ると,音速程度で慣性飛行しているジェット機内のシートに着席している人も,やはり音速程度で運動しているので,

人の質量ｍは大したことはなくても運動エネルギ－:Ｔ＝ｍｖ²/2 はかなり大きいですが,慣性飛行しているジェット機を基準系に取れば,その人は着席して静止しているだけですから,Ｔ＝0 ですね。

Hamiltonian:Ｈ＝Ｔ＋Ｖ自身が正値２次形式となる例としては,調和振動子Ｈ＝ｐ²/(2ｍ)＋ｍω²ｘ²/2≧0 があります。

古典論だと静止することが可能なので,エネルギーＨ＝Ｅの下限は確かにゼロで,それはｐ＝ｘ＝0 の静止の場合です。

量子論では不確定性原理があって,ｐとｘが同時に確定値を取ることはできず,"固有値＝期待値"Ｅの下限は正の零点エネルギーとなるのはよく知られています。

前の話に戻りますが,基準を変えて,Ｈ＝ｐ²/(2ｍ)＋ｍω²ｘ²/2＋Ｃ(Ｃは定数)としても問題に変わりはないので,例えばＣを－∞ に近い非常に大きい負の数としてもかまいませんから,そういう意味ではエネルギーＨ＝Ｅに下限はなくなります。

しかし零点エネルギーに相当する"エネルギーが最低の安定な状態＝基底状態"は,Ｃを加減する操作とは本質的に無関係な存在なので,わざわざ下限はないなどと考える必要はないでしょう。

また,水素様原子の電子のHamiltonianはc.g.s.単位でＨ＝ｐ²/(2ｍ)－Ｚｅ²ｘ²/ｒです。

これは位置エネルギーがＶ＝－Ｚｅ²ｘ²/ｒであり,前にも述べたようにこれには下限がなく,このままでは電子が原子核に落ち込むまでは常に不安定で,ほぼ瞬時にｒ＝0 まで落下してしまい,原子はこわれてしまって安定に存在できない,という困難がありました。

そして,これを回避しようとしたのが量子論の動機の１つでもあったことはよく知られています。

だからといって,これに定数Ｃ＝∞ を加えるというような操作をするのはは,あまり意味がないでしょう。

本論の剛体障壁の井戸型ポテンシャルの問題でも無理に任意定数Ｃを加えた一般化した体系の１つとして問題を考えなくても,箱の中ではＶ＝0 ,外ではＶ＝∞ の設定で考えれば,

これで他の基準Ｃが異なる全ての場合を扱うのと同等になりますから,単純なわかりやすい特殊例だけでの話の方がいいと私的には思います。

なお,粒子場を第２量子化した場理論では"エネルギー下限の状態＝基底状態"の存在を仮定して真空と呼んで特別扱いします。

Diracの空孔理論では自由粒子の負エネルギー電子の海があって,そのままでは系のエネルギーが最低,とはいってもdefiniteではなくて－∞ですが,Pauliの排他律によって電子状態には縮退が許されないので,その状態からさらに下のより安定な状態へと落ち込まないという話もありました。

これから,半導体の正孔からのアナロジーで,その電子の海の空孔が"負エネルギーの電子の反粒子＝正エネルギーの陽電子"と同一視できるという発見的な話もありました。

しかし,Diracの空孔理論は電子がFermi粒子(Fermion)だから成立するもので,縮退可能なBose粒子(Boson)には適用できません。

まあ,単なる理論ですから,それらの問題が場の理論で完全に解決したわけではありませんが,

真空をエネルギーが最低の基底状態としてその状態のエネルギーをゼロと指定し,それから粒子が生成する演算子を施して得られる状態にさらに生成,消滅演算子を掛けて状態を得るようなFock空間を設定することで,一応の解決を見ています。

真空のエネルギーがゼロでなければならないのは,ゼロという数が ∞ と同じく"大きな対称性"を持つからです。

例えば長さがゼロの空間ベクトルなら,有限長さのベクトルとは異なって座標系の軸の回転に対して,その成分を変えません。

これは球対称性の例です。

そして,例えば温度が高くなるとか,あるきっかけでゼロでない状態に移ると今の話の対称性であれば,球対称性という対称性が破れて最低状態でなくなり相転移などが起こるとかいう話もあるようです。

ＰＳ:量子力学の微妙な数学的定式化の部分を論じるのなら,予め基礎的な知見が必要だと思います。

そのための参考としては,以前,kafukaさんの質問を意識して書いた2007年８/８のブログ記事「量子力学の基礎(表示の話)(1)」,「量子力学の基礎(表示の話)(2) 」の２つがあります。

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