三角関数を含むある関数の定積分

　今日はちょっと気になる計算があったので計算をしてみました。実はT_NAKAさんのブログの2008年8/10の記事「 T_NAKAの阿房ブログ(高次モーメントを考える)」に関連したものです。。

　普通は公式集にあるものなら全面的にそれに頼り,わざわざ確かめたりもしませんが,偶々,所持している岩波の数学公式集,丸善の新数学公式集を見ても,適合するものが全く見つからなかったため,自力で計算せざるを得ず,実行しました。

　夏休み中で頭もボーッとしているし,最初予想していた結果と違っていたこともあって,かなり手間取りました。

計算するのは,定積分:I_k≡∫_-∞^∞ｆ_k(ｘ)ｄｘ＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos²ｘ/{ｘ²－(π/2)²}²]＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos²ｘ/{(ｘ－π/2)²(ｘ＋π/2)²}](ｋ＝0,1,2,..)です。

これはｋが奇数なら被積分関数:ｆ_k(ｘ)＝ｘ^kcos²ｘ/{ｘ²－(π/2)²}²が,ｘの奇関数なので,その積分はゼロですから,以下ではｋは偶数であるとし,ｆ_k(ｘ)がｘの偶関数の場合のみを計算します。

ｘ＝±π/2はｆ_k(ｘ)の特異点,特に極であるように見えますが,実は真の特異点ではありません。

例えばｙ≡ｘ－π/2と変数変換すれば,ｆ_k(ｘ)＝ｘ^kcos²ｘ/{(ｘ－π/2)²(ｘ＋π/2)²}＝(ｙ＋π/2)^ksin²ｙ/{ｙ²(ｙ＋π)²}なので,ｙ→ 0ではｆ_k(ｘ)→ (π/2)^k/π²,ｙ→ －πではｆ_k(ｘ)→ (－π/2)^k/(－π)²となります。

そこで,ｙ＝0,－π,すなわち,ｘ＝±π/2は,ｆ_k(ｘ)の真の特異点ではなく,これらの点でｘ→±π/2でのｆ_k(ｘ)の極限値をｆ_k(±π/2)と定義すれば被積分関数ｆ_k(ｘ)はｘ＝±π/2でも連続なので,普通に積分を実行することができます。

　しかし,実際にｘを実数のままで,この積分を評価するのはかなり面倒なのでｘを複素変数ｚに変えて,複素ｚ平面である閉曲線Ｃを周回する積分を考えてみます。

　その際,cos²ｚ＝[{exp(iｚ)＋exp(－iｚ)}/2]²＝{exp(2iｚ)＋exp(－2iｚ)＋2}/4 なので,I_k(Ｃ)≡∫_Cｆ_k(ｚ)ｄｚ＝∫_Cｄｚ[ｚ^k{exp(2iｚ)＋exp(－2iｚ)＋2}/{4(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}](ｋ＝0,1,2,..)を計算します。

　これ自身は,上に述べたようにｚ＝±π/2も含めてｆ_k(ｚ)が全ｚ平面で解析的なのでＣが閉曲線の場合には常にI_k(Ｃ)＝0 です。

まず,∫_Cｄｚ[ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}を考えます。原点を中心としＲ＞＞1で実軸上[－Ｒ,Ｒ]を直径＝2Ｒとする上半円周をＣ_＋とします。

ただし,今の場合,被積分関数はｆ_k(ｚ)ではなく,その一部ｇ_k^＋(ｚ)≡ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}です。

これに対しては,ｚ＝±π/2 は確かに真の特異点(極)なので,Ｃ_＋は点±π/2 の周りでは特別に回避経路としてＡ_±≡lim_{ε→ +0}{ｚ(θ)|ｚ(θ)＝±π/2＋εexp(iθ),θ:π→ 0 (時計回り)}で与えられる微小半径ε＞0 の上半円周経路を含むとします。

そして,Ｃ_＋の無限遠を意味する半径Ｒの円周上の点ｚ＝Ｒexp(iθ)＝Ｒ(cosθ＋isinθ) (0≦θ≦π)では,|∫ｇ_k^＋(ｚ)ｄｚ|＝πＲ|ｚ^kexp(2iｚ){(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}_|z|=R ～πＲ^k-3exp(－2Ｒsinθ)→ 0 ですから,これの寄与は無視できます。

結局,0＝∫_C+ｄｚ[ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝∫_-∞^∞ｄｚ[ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＋Ａ_－＋Ａ_＋なる表現で書けます。

ここで,微小半円経路Ａ_±を回る積分の寄与を同じ記号Ａ_±で省略する表現をしました。

∫ｇ_k^＋(ｚ)ｄｚにおけるＡ_±の寄与を評価する必要がありますが,これは被積分関数のローラン展開において 1/(ｚ±π/2)の係数に(－πi)を掛けたもので与えられます。

これはＡ_－の場合には,lim_{z→(－π/2)}(ｄ/ｄｚ)[(ｚ＋π/2)²ｇ_k^＋(ｚ)]で与えられます。

すなわち,lim_{z→(－π/2)}(ｄ/ｄｚ)[ｚ^kexp(2iｚ)/(ｚ－π/2)²]＝lim_{z→(－π/2)}[{(ｋｚ^k-1＋2iｚ^k)/(ｚ－π/2)²－2ｚ^k/(ｚ－π/2)³}exp(2iｚ)]＝－(－π/2)^k-1(ｋ－πi)(－π)^-2＋2(－π/2)^k(－π)^-3＝(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1－πi)です。

したがって,結局Ａ_－＝(－πi)(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1－πi)が得られました。ここで,ｋが偶数であることを用いました。

同様にＡ_＋の場合には,lim_z→π/2(ｄ/ｄｚ)[(ｚ＋π/2)²ｇ_k^＋(ｚ)]＝lim_z→π/2[{(ｋｚ^k-1＋2iｚ^k)/(ｚ＋π/2)²－2ｚ^k/(ｚ＋π/2)³}exp(2iｚ)]＝(π/2)^k-1(ｋ＋πi)π^-2－2(π/2)^kπ^-3＝(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1－πi)ですから,Ａ_＋＝(－πi)(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1－πi)＝Ａ_－です。

以上のことから,∫_-∞^∞ｄｚ[ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝－(Ａ_－＋Ａ_＋)＝－2Ａ_－＝(2πi)(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1－πi)が得られました。

また,被積分関数ｇ_k^－(ｚ)≡ｚ^kexp(－2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}に対しては,原点を中心としＲ＞＞1で実軸上[－Ｒ,Ｒ]を直径＝2Ｒとする下半円周をＣ_－とすれば,同様な考察から 0＝∫_C-ｄｚ[ｚ^kexp(－2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝∫_-∞^∞ｄｚ[ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＋Ｂ_－＋Ｂ_＋を得ます。

ここで,Ｂ_±はＡ_±と同様に実軸上の特異点±π/2を回避する微小な下半円周経路Ｂ_±≡lim_{ε→ +0}{ｚ(θ)|ｚ(θ)＝±π/2＋εexp(iθ),θ:－π→ 0 (反時計回り)}における積分の寄与です。

そして,Ｂ_－＋Ｂ_＋＝2Ｂ_－＝(2πi)(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1＋πi)となりますから,∫_-∞^∞ｄｚ[ｚ^kexp(－2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝－(Ｂ_－＋Ｂ_＋)＝－2Ｂ_－＝(－2πi)(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1＋πi)です。

したがって,cos(2ｘ)＝{exp(2iｚ)＋exp(－2iｚ)}/2によって,上に得られた２つの積分等式を加え合わせて２で割ると,∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos(2ｘ)/{ｘ²－(π/2)²}²]＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos(2ｘ)/{(ｘ－π/2)²(ｘ＋π/2)²}]＝2(π/2)^k-1が得られます。

一方,∫_Cｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]において±π/2は２位の極なので留数はゼロですから,例えば閉路Ｃを,Ｃ＝Ｃ_＋に取れば 0＝∫_C+ｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝∫_-∞^∞ｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＋lim _R→∞∫_|z|＝Rｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]となります。

被積分関数がｇ_k^±(ｚ)＝ｚ^kexp(±2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}の場合と異なり,ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}の場合にはＣ＝Ｃ_＋に取ろうと,Ｃ＝Ｃ_－に取ろうと,半円の半径Ｒ→ ∞で円周積分が必ずしもゼロにはなりません。

以上から,2∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos²ｘ/{ｘ²－(π/2)²}²]＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^k{1＋cos(2ｘ)}/{ｘ²－(π/2)²}²]＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^k/{ｘ²－(π/2)²}²]＋∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos(2ｘ)/{ｘ²－(π/2)²}²]＝－lim _R→∞∫_|z|＝Rｄｚ[ｚ^k/{ｚ²－(π/2)²}²]＋2(π/2)^k-1が得られました。

右辺第１項はｚ＝Ｒexp(iθ),ｄｚ＝iＲexp(iθ)ｄθによって∫_|z|＝Rｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝ｉＲ∫₀^πｄθ[Ｒ^kexp(iｋθ)/{(Ｒexp(iθ)－π/2)²(Ｒexp(iθ)＋π/2)²}]となりますから,Ｒ→∞では|∫_|z|＝Rｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]|～πＲ^k+1/Ｒ⁴と書けます。

∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^k/{ｘ²－(π/2)²}²]は実関数の実数積分であり,被積分関数はｋが偶数ならｘ∈(－∞,∞)では非負なので,この積分の符号は非負です。

　したがって,ｋが偶数故ｋ＝2ｍとおくと,この項はｍ＝0,1,すなわちｋ＝0,2では(ｋ＋1)＜4 によって,ゼロに収束しますが,ｍ≧2 or ｋ≧4 では,(ｋ＋1)＞4 なので ∞ に発散します。

　以上からI_k≡∫_-∞^∞ｆ_k(ｘ)ｄｘ＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos²ｘ/{ｘ²－(π/2)²}²]＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos²ｘ/{(ｘ－π/2)²(ｘ＋π/2)²}](ｋ＝0,1,2,..)はｋが偶数の場合,ｋ＝0,2 ならＩ_k＝(π/2)^k-1となって有限値,ｋが４以上のｋ＝4,6,..ならＩ_k＝∞＋(π/2)^k-1となって∞ に発散するという結果が得られました。

　ｋが奇数の場合ならI_kはゼロです。

　しかし,この結果には少し自信がありません。

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