相対論の幾何学(第Ⅰ部-11:曲面上の幾何(3))

相対論の幾何学の続きです。今日は平行移動とか共変微分などの概念の幾何学的意味について記述してみます。

さて,曲面ｒ(ｕ,ｖ)上で定義された接ベクトル場Ｘ(ｕ,ｖ)があるとき,曲面上の曲線ｒ(ｔ)≡ｒ(ｕ(ｔ),ｖ(ｔ))の各点においては,Ｘ(ｔ)≡Ｘ(ｕ(ｔ),ｖ(ｔ))と書くことにします。

このとき,もちろんＸ(ｔ)は３次元空間の３つの成分を持つパラメータｔのベクトル値関数ですから,それに対してｔによる微分係数ｄＸ/ｄｔが定義できます。

　そして,ｄＸ/ｄｔも３成分の空間のベクトルですが,これは点ｒ(ｕ(ｔ),ｖ(ｔ))でＸ(ｔ)を含むｒ(ｕ,ｖ)の接平面の上の"ベクトル＝接ベクトル"とは限りません。そこでｄＸ/ｄｔを曲面の接ベクトルと法ベクトルの和として表わします。

　すなわち,ｄＸ/ｄｔ＝ＤＸ/ｄｔ＋δＸ/ｄｔとします。ここでＤＸ/ｄｔは接ベクトル,δＸ/ｄｔは法ベクトルを示す記号です。

　以前に書いたように,曲面ｒ(ｕ,ｖ)上に束縛された粒子の運動学を想定して,それ以外の曲面に垂直な成分の空間の存在を無視すると,意味のある微分係数はＤＸ/ｄｔだけです。これを接ベクトル場Ｘの曲線ｒ(ｔ)に沿っての共変微分と呼びます。

ここで,共変微分ＤＸ/ｄｔは曲面の第１基本形式のみに依存し,曲面の３次元空間内の相対的位置を示す第２基本形式には依存しないという重要な性質を持つことを証明します。

この性質は,共変微分ＤＸ/ｄｔは"曲面ｒ(ｕ,ｖ)上に束縛された生物が測定できる長さ＝リーマン計量(Riemannian metric)"だけで決まり,彼らには認識できない第３の次元の空間の要素には左右されないことを意味します。

接ベクトルＸを含む接平面の正規直交基底をｅ₁,ｅ₂とし,単位法ベクトルをｅ₃≡ｅ₁×ｅ₂とします。

Ｘ＝ξ¹ｅ₁＋ξ²ｅ₂とすると,ｄＸ/ｄｔ＝(ｄξ¹/ｄｔ＋ξ¹ω₁¹/ｄｔ＋ξ²ω₂¹/ｄｔ)ｅ₁＋(ｄξ²/ｄｔ＋ξ¹ω₁²/ｄｔ＋ξ²ω₂²/ｄｔ)ｅ₂＋(ξ¹ω₁³/ｄｔ＋ξ²ω₂³/ｄｔ)ｅ₃となります。

ここで,ｄｅ_i＝Σ_j=1³ω_i^jｅ_j,あるいは(ｉ,ｊ)成分がω_jⁱの３×３行列Ωによる表現:ｄ(ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃)＝(ｄｅ₁,ｄｅ₂,ｄｅ₃)＝(ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃)Ωを用いました。

ただし,ω/ｄｔという一見変な記号を用いました。これは,ω＝ａｄｕ＋ｂｄｖのとき,ω/ｄｔ＝ａ(ｄｕ/ｄｔ)＋ｂ(ｄｖ/ｄｔ)なることを意味します。

ところで,ω¹₁,ω₂¹,ω₁²,ω₂²を成分とする２×２行列Ωは交代行列なのでω₁¹＝ω₂²＝0 ですから,ｄＸ/ｄｔ＝ＤＸ/ｄｔ＋δＸ/ｄｔによってＤＸ/ｄｔ＝(ｄξ¹/ｄｔ＋ξ²ω₂¹/ｄｔ)ｅ₁＋(ｄξ²/ｄｔ＋ξ¹ω₁²/ｄｔ)ｅ₂,δＸ/ｄｔ＝(ξ¹ω₁³/ｄｔ＋ξ²ω₂³/ｄｔ)ｅ₃となります。

上のＤＸ/ｄｔの表現式はω₂¹＝－ω₁²,すなわち接続形式のみを含み,第２基本形式:Π＝－(ｄｒ,ｄｅ₃)＝－(θ¹ｅ₁＋θ²ｅ₂,ω₃¹ｅ₁＋ω₃²ｅ₂)＝－θ¹ω₃¹－θ²ω₃²＝θ¹ω₁³＋θ²ω₂³を定義する量であるω₁³,ω₂³を含みません。

以前の記事で示したように,θ¹,θ²に対し,ω₂¹≡ｂ₁θ¹＋ｂ₂θ²と置いてこれがω₂¹＝－ω₁²,および第１構造式ｄθ¹＝θ²∧ω₂¹,ｄθ²＝－θ¹∧ω₂¹を満たすという要求から,ｄθ¹＝－ｂ₁θ¹∧θ²,ｄθ²＝－ｂ₂θ¹∧θ²によって,係数ｂ₁,ｂ₂,したがってω₂¹＝－ω₁²,ω₁¹＝ω₂²＝0 が全て決まります。

このω¹₁,ω₂¹,ω₁²,ω₂²を成分とする２×２交代行列Ωを接続形式と呼ぶわけです。

以上で,ＤＸ/ｄｔがリーマン計量だけで決まることが証明されました。

特に,ＤＸ/ｄｔ＝0 なる場合は曲面に垂直な空間の存在を無視した世界では,これは事実上Ｘが停留値を取る(変分がゼロの)場合に相当します。

このとき,Ｘはこの曲線に平行であると言います。

この場合にはｄＸ/ｄｔ＝δＸ/ｄｔであり,この曲線に沿っての移動ｒ(ｔ)→ｒ(ｔ＋ｄｔ)＝ｒ(ｔ)＋ｄｒ＝ｒ(ｔ)＋Ｄｒに対して,Ｘ(ｔ)→Ｘ(ｔ)＋ｄＸ＝Ｘ(ｔ)＋δＸです。

この移動は,ベクトルＸ(ｔ)の曲面内の成分が不変のまま,その向きを変えないという意味で平行移動と呼ばれます。

平行移動である条件:ＤＸ/ｄｔ＝0 はｄξ¹/ｄｔ＋ξ²ω₂¹/ｄｔ＝0,かつｄξ²/ｄｔ＋ξ¹ω₁²/ｄｔ＝0 ,すなわちｄξⁱ/ｄｔ＋Σ_j=1²ξ^jω_jⁱ/ｄｔ＝0 (ｉ＝1,2)と書けます。

そしてパラメータｔの変域を[ａ,ｂ]とすると,この常微分方程式の系は初期条件ξⁱ(ａ)＝αⁱの下で一意的な解を持つはずです。

ここまでを要約します。

(ｕ,ｖ)平面内の領域Ｄ上にリーマン計量ｄｓ²が与えられたとき,これを独立な１次微分形式θ¹,θ²によってｄｓ²＝θ¹θ¹＋θ²θ²と表現します。

θ¹,θ²に対応する基底ｅ₁,ｅ₂によって,接ベクトルＸを,Ｘ＝ξ¹ｅ₁＋ξ²ｅ₂と表現すると,曲線(ｕ(ｔ),ｖ(ｔ))に沿った共変微分ＤＸ/ｄｔ＝(ｄξ¹/ｄｔ＋ξ²ω₂¹/ｄｔ)ｅ₁＋(ｄξ²/ｄｔ＋ξ¹ω₁²/ｄｔ)ｅ₂がゼロの場合にＸはこの曲線に沿って平行であるという。

となります。

そして,すぐ前の記事でθ¹,θ²とは別の１次微分形式θ^¹,θ^²があってｄｓ²＝θ¹θ¹＋θ²θ²と同じようにｄｓ²＝θ^¹θ^¹＋θ^²θ^²と書けるとすれば,θ^¹＝ｓ¹₁θ¹＋ｓ¹₂θ²,θ^²＝ｓ²₁θ¹＋ｓ²₂θ²,すなわちＳ≡(ｓⁱ_j),θ^≡^t(θ^¹,θ^²),θ≡^t(θ¹,θ²)と置いてθ^＝Ｓθと表わすとき,Ｓが^tＳＳ＝Ｉを満たす直交行列になること,

そしてθ^¹,θ^²の双対基低をｅ^₁,ｅ^₂としてｅ^₁＝ｔ¹₁ｅ₁＋ｔ²₁ｅ₂,ｅ^₂＝ｔ¹₂ｅ₁＋ｔ²₂ｅ₂,すなわちＴ≡(ｔⁱ_j),ｅ^≡(ｅ^₁,ｅ^₂),ｅ≡(ｅ₁,ｅ₂)とｅ^＝ｅＴと表わせば,ＳＴ＝Ｉなる関係式が得られ^tＳ＝Ｓ^-1＝Ｔとなることがわかっています。

ξ≡^t(ξ¹,ξ²),ｅ≡(ｅ₁,ｅ₂)とした表現では,ＤＸ/ｄｔ＝(ｄξ¹/ｄｔ＋ξ²ω₂¹/ｄｔ)ｅ₁＋(ｄξ²/ｄｔ＋ξ¹ω₁²/ｄｔ)ｅ₂は,ＤＸ/ｄｔ＝ｅ{ｄξ/ｄｔ＋(Ω/ｄｔ)ξ}と書けます。

ｅ^＝ｅＴ＝ｅＳ^-1,およびＸ＝ｅξ＝ｅ^ξ^＝ｅＳ^-1ξ^とよりξ^＝Ｓξ,さらに第１構造式の不変性:ｄθ＝－Ω∧θ,ｄθ^＝－Ω^∧θ^の要求から,関係式Ω^＝ＳΩＳ^-1－ｄＳＳ^-1が得られます。

これを用いれば,ｅ^{ｄξ^/ｄｔ＋(Ω^/ｄｔ)ξ^}＝ｅＳ^-1{Ｓｄξ/ｄｔ＋(ｄＳ/ｄｔ)ξ＋(ＳΩＳ^-1/ｄｔ－ｄＳＳ^-1)Ｓξ}＝ｅ{ｄξ/ｄｔ＋(Ω/ｄｔ)ξ},すなわち,ＤＸ/ｄｔ＝ｅ^{ｄξ^/ｄｔ＋(Ω^/ｄｔ)ξ^}が成立することがわかります。

したがって,ＤＸ/ｄｔはリーマン計量ｄｓ²のみに依存し,ｄｓ²＝θ¹θ¹＋θ²θ²を満たすθ¹,θ²の選択には依りません。

「相対論の幾何学(第Ⅰ部－5:空間曲面(2))」では曲面ｒ(ｕ,ｖ)上の空間曲線ｒ(ｓ)≡ｒ(ｕ(ｓ),ｖ(ｓ))に対してｒ"(ｓ)≡ｄ²ｒ/ｄｓ²を点ｒ(ｓ)での曲面の接ベクトルｋ_gと法ベクトルｋ_nの和に分解してｒ”(ｓ)＝ｋ_g＋ｋ_nと書き,ｋ_gを曲線ｒ(ｓ)の測地的曲率ベクトル,ｋ_nを法曲率ベクトルと呼ぶと書きました。

そしてｋ_g＝0 ,すなわちｒ"(ｓ)＝ｋ_nとなるときにｒ(ｓ)を測地線と呼びました。ここではｋ_gが第１基本形式,すなわちリーマン計量だけで決まるベクトルで,したがって測地線もリーマン計量だけで決まることを示します。

まず,ｒ'(ｓ)≡ｄｒ/ｄｓを正規直交系(ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃)を用いてｒ'(ｓ)＝Σ_i=1²ξⁱｅ_iと書き,これをｓで微分するとｒ"(ｓ)＝Σ_i=1²(ｄξⁱ/ｄｓｅ_i＋ξⁱｄｅ_i/ｄｓ)＝Σ_i=1²(ｄξⁱ/ｄｓ＋Σ_j=1²ξⁱω_i^j/ｄｓ)ｅ_i＋Σ_i=1²(ξⁱω_i³/ｄｓ)ｅ₃です。

そこで,ｋ_g＝Σ_i=1²(ｄξⁱ/ｄｓ＋Σ_j=1²ξⁱω_i^j/ｄｓ)ｅ_i,ｋ_n＝Σ_i=1²(ξⁱω_i³/ｄｓ)ｅ₃となります。そしてＸ≡ｒ'(ｓ)と書けばｋ_g＝ＤＸ/ｄｓ,ｋ_n＝δＸ/ｄｓです。

すなわち,測地線曲率ベクトル:ｋ_gはｒ'(ｓ)の共変微分であり,ｒ(ｓ)が測地線であることはｋ_g＝0を意味しますから,Ｘ＝ｒ'(ｓ)に対しＤＸ/ｄｓ＝0 なること,つまり接ベクトルｒ'(ｓ)が曲線ｒ(ｓ)自身に平行であることを意味します。

ＤＸ/ｄｓ＝0 ,Ｘ＝Σ_i=1²ξⁱｅ_iはｕ,ｖに対する２階常微分方程式ですから,出発点ｕ(0)＝ｕ₀,ｖ(0)＝ｖ₀,および,その点における単位ベクトルＸ₀＝ξ₀¹ｅ₁＋ξ₀²ｅ₂が与えられたとき, Ｘ(0)＝Ｘ₀とする解として測地線(ｕ(ｓ),ｖ(ｓ))が存在して一意的に決まります。

こうして,３次元空間内の曲面ｒ(ｕ,ｖ)あるいは曲線ｒ(ｓ)という概念から離れて,(ｕ,ｖ)平面内の曲面(多様体)に対するものとして測地線が定義されることが言えます。

ｋ_g＝Σ_i=1²(ｄξⁱ/ｄｓ＋Σ_j=1²ξⁱω_i^j/ｄｓ)ｅ_i,ｋ_n＝Σ_i=1²(ξⁱω_i³/ｄｓ)ｅ₃を再考します。

ｒ'(ｓ)は単位ベクトルですから,ｅ₁(ｓ)≡ｒ'(ｓ)と定義し,このｅ₁に垂直で曲面に接するものをｅ₂とします。

ｅ₁からｅ₂へ回転する向きが,ｒ_uからｒ_vへ回転する向きになるように選べば,ｅ₁に対してｅ₂は一意的です。

ところが,(ｒ'(ｓ),ｒ'(ｓ))＝1をｓで微分すると(ｒ"(ｓ),ｒ'(ｓ))＝0 なので,ｒ"(ｓ)＝ｋ_g＋ｋ_nはｒ'(ｓ)＝ｅ₁と直交するため,ｋ_g＝κ_gｅ₂,ｋ_n＝κ_nｅ₃  (ただしｅ₃≡ｅ₁×ｅ₂)と書けます。

κ_gを測地的曲率,κ_nを法曲率と呼ぶことは既に述べた通りです。

この特別な正規直交標構:(ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃)ではκ_g＝(ｄｅ₁/ｄｓ,ｅ₂)＝ω₁²/ｄｓ(ｅ₂,ｅ₂)＝ω₁²/ｄｓとなります。

これは,ｋ_g＝Σ_i=1²(ｄξⁱ/ｄｓ＋Σ_j=1²ξⁱω_i^j/ｄｓ)ｅ_iで恒常的にξ¹＝1,ξ²＝0としても得られます。同様にκ_n＝ω₁³/ｄｓです。

以前に求めたように測地線の方程式は,ｄ²ｕ^k/ｄｓ²＋Σ_i,j=1²Γ^k_ij(ｄｕⁱ/ｄｓ)(ｄｕ^j/ｄｓ)＝0 です。ただし, Γ^k_ij＝(∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ^j,∂ｒ/∂ｕ^l)/(∂²ｒ/∂ｕ^k,∂ｒ/∂ｕ^l )＝ｇ_kl ^-1(∂ｇ_li/∂ｕ^j)＝(ｇ_kl ^-1/2)(∂ｇ_li/∂ｕ^j＋∂ｇ_lj/∂ｕⁱ)です。

ξⁱ＝ｄｕⁱ/ｄｓを代入すれば,ｄξ^k/ｄｓ＋Γ^k_ijξⁱξ^j＝0 ですが,これがＤＸ/ｄｓ＝0 ,Ｘ＝Σ_i=1²ξⁱｅ_iを示すｄξⁱ/ｄｓ＋Σ_j=1²ξⁱω_i^j/ｄｓ＝0 と同じ式であることは明らかです。

上記のことを要約します。

３次元空間内とは限らず,一般にリ－マン計量が付与された(ｕ,ｖ)の連続微分可能な関数で定義された曲面(多様体)があって,その上の各点Ｐ＝(ｕ,ｖ)で定義されたベクトル場Ｘ(Ｐ)があるとします。

そして,(ｕ,ｖ)平面での変位(ｕ,ｖ)→(ｕ＋Δｕ,ｖ＋Δｖ)に対応する曲面上の微小変位Ｐ→Ｑに対して,ベクトル場Ｘ(Ｐ)がＸ(Ｐ)→Ｘ(Ｐ)＋ΔＸ＝Ｘ(Ｑ)なる変動を受けるとき,この微小変動ΔＸを接平面成分ＤＸと法線成分δＸに分けてΔＸ＝ＤＸ＋δＸと書きます。

このとき,ＤＸを共変微分と呼び,特に接ベクトル場ですから元々接平面成分しか持たないＸ(Ｐ)の"共変微分＝変動の接平面成分"がゼロ,つまりＤＸ＝0 となるような特別な方向の変位:Ｐ→Ｑ＝(ｕ,ｖ)→(ｕ＋Δｕ,ｖ＋Δｖ)とそれに伴なうベクトル場の移動:Ｘ(Ｐ)→Ｘ(Ｐ)＋δＸ＝Ｘ(Ｑ)を平行移動と呼びます。

すなわち,こうした移動Ｐ→Ｑでは,その前後での点ＰとＱの接平面は異なりますから,それらをそれぞれΠ_P,Π_Qで表わすとＸ(Ｐ)はΠ_P上のベクトル,Ｘ(Ｑ)はΠ_Q上のベクトルです。

そして,特に,移動後のＸ(Ｑ)のΠ_P成分はＸ(Ｐ)と同じで,全く不変であって,Ｘ(Ｑ)がＸ(Ｐ)と異なるのはΠ_Pに垂直な軸の成分だけの場合には,この移動を平行移動と呼ぶわけです。

そして,曲線パラメータを時刻ｔに取ったとき,Ｘ(Ｐ)がＰにおける速度を示す場合,すなわちＸ(Ｐ)＝ｄｒ/ｄｔの場合には,移動によって速度が変わらない平行移動の向きの軌跡(力学だと無重力のような外力のない慣性の法則に従う運動の軌跡)を測地線と呼びます。

短かいですが今日はここで終わります。

参考文献:小林昭七 著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房)

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