相対論の幾何学(第Ⅰ部-12:ガウス・ボンネの定理)

今日はガウス・ボンネの定理(Gauss-Bonnet's theorem)について述べます。

ユークリッド幾何学では平面上の三角形の内角の和はπであることがわかっていますが,例えば球面上では赤道や子午線などの大円である測地線で描いた三角形の内角の和はπよりも大きいことはよく知られています。ガウス・ボンネの定理はこれを説明できるものです。

この定理は,多様体(manifold)の曲率を位相幾何学での位相不変量であるオイラー数や種数(genus)と結びつける話になり,物理では弦(ひも)理論(string theory)などとも関連があります。

また,昨年３月末から４月末までの入院中に病床でほぼ１ヶ月間勉強した内容を４月22日に退院後,2007年４月24日から５月５日,５月15日から６月７日の２つに分けてブログ記事にまとめて連載したフックス型微分方程式入門の関連とも関係しているようですね。

フックス型微分方程式関連の連載記事は2007年４/24の「線形常微分方程式の確定特異点と不確定特異点」に始まり,５月後半の「超幾何微分方程式の代数関数解（シュワルツ）(1),(2),(3),(4),(5)」,６月の「有限なモノドロミー群と代数関数解」,「フックス関数の理論(1) (ポアンカレの登場)」,「フックス関数の理論(2) (ポアンカ レの理論) 」に終わるものです。

フックス群の基本領域がフックス型方程式の３つの確定特異点を頂点とする円弧三角形とその反転から成るため,最後は群の構造と非ユークリッド幾何に従う三角形の内角の和の話になっています。

さて,本題に入ります。

元々,外微分形式は積分記号の内部の演算を形式的に表現したものとして考案されたものであることは良く知られています。

(ｕ,ｖ)平面内のある領域をＤとするとき,Ｄで定義された１次微分形式φ＝ｆｄｕ＋ｇｄｖとＤ内の曲線Ｃ:ｕ＝ｕ(ｔ),ｖ＝ｖ(ｔ);ａ≦ｔ≦ｂが与えられたとき,微分形式φの線積分を∫_Cφ＝∫_a^bf(ｄｕ/ｄｔ)＋ｇ(ｄｖ/ｄｔ)ｄｔによって定義します。

また,Ｄにおいて２次微分形式ψ＝ｈｄｕ∧ｄｖが与えられたとき,Ｄに含まれる領域Ａ上でのψの積分を,∫_Aψ＝∫∫_Aｈｄｕｄｖで定義します。 

この定義では,∫_Aｆｄｖ∧ｄｕ＝－∫_Aｆｄｕ∧ｄｖ＝－∫∫_Aｆｄｕｄｖが成立し積分に２次微分形式の交代性が反映されます。 

また,(ｕ,ｖ)平面を(ｘ,ｙ)平面に変換する写像をｘ＝ｘ(ｕ,ｖ),ｙ＝ｙ(ｕ,ｖ)とすると,ｋｄｘ∧ｄｙ＝ｋ{(∂ｘ/∂ｕ)ｄｕ＋(∂ｘ/∂ｖ)ｄｖ}∧{(∂ｙ/∂ｕ)ｄｕ＋(∂ｙ/∂ｖ)ｄｖ}＝ｋ{(∂ｘ/∂ｕ)(∂ｙ/∂ｖ)－(∂ｘ/∂ｖ)(∂ｙ/∂ｕ)}ｄｕ∧ｄｖ＝ｋ{∂(ｘ,ｙ)/∂(ｕ,ｖ)}ｄｕ∧ｄｖとなります。

そこで,∫∫_Aｋ(ｘ,ｙ)ｄｘｄｙ＝∫∫_Aｋ(ｕ,ｖ){∂(ｘ,ｙ)/∂(ｕ,ｖ)}ｄｕｄｖなる重積分の座標変換不変性の公式とも,うまく整合しています。

特に,１次微分形式φがφ＝ｄｆと書けるときには,φ＝(∂ｆ/∂ｕ)ｄｕ＋(∂ｆ/∂ｖ)ｄｖなので,∫_Cφ＝∫_a^b[(∂ｆ/∂ｕ)(ｄｕ/ｄｔ)＋(∂ｆ/∂ｖ)(ｄｖ/ｄｔ)]ｄｔ,すなわち∫_Cｄｆ＝ｆ(ｕ(ｂ),ｖ(ｂ))－ｆ(ｕ(ａ),ｖ(ａ))と書けます。

これは微積分の基本定理に他なりません。

そして,これを２次元以上に拡張した微分形式の積分定理はストークスの定理(Stokesの定理)と呼ばれます。

このストークスの定理については,2006年10/21の記事「ポアンカレの補題」で紹介し,2007年12/20の記事「微分形式とベクトル解析 」ではかなり詳しく解説しています。

この定理は,任意の(ｋ－1)次微分形式ωと,その外微分ｄωのｋ次の領域Ａ,および (ｋ－1)次の境界∂Ａにおける積分について,∫_Aｄω＝∫_∂Aωなる等式が成立するというものです。

例えば,∫_Aｄω＝∫_∂Aωのωが１次微分形式φ＝ｆｄｕ＋ｇｄｖである場合を想定して,領域Ａが特に0≦ｕ≦ａ,0≦ｖ≦ｂなる矩形の場合を考えると,ｄφ＝(∂ｇ/∂ｕ－∂ｆ/∂ｖ)ｄｕ∧ｄｖより,∫_Aｄφ＝∫₀^a∫₀^b(∂ｇ/∂ｕ－∂ｆ/∂ｖ)ｄｕｄｖ＝∫₀^b{ｇ(ａ,ｖ)－ｇ(0,ｖ)}ｄｖ－∫₀^a{ｆ(ｕ,ｂ)－ｆ(ｕ,0)}ｄｕ＝∫₀^aｆ(ｕ,0)ｄｕ＋∫₀^bｇ(ａ,ｖ)ｄｖ＋∫_a⁰ｆ(ｕ,ｂ)ｄｕ＋∫_b⁰ｇ(0,ｂ)ｄｖです。

それ故,ストークスの公式∫_Aｄφ＝∫_∂Aφが確かに成立することが確かめられます。

以下では,ストークスの定理が成立することを認めて,本題であるガウス・ボンネの定理の記述に移ります。

ストークスの定理の証明については上記2007年12/20のブログ記事「微分形式とベクトル解析 」を参照してください。

さて,まず,(ｕ,ｖ)平面内の領域Ｄにリーマン計量ｄｓ²＝θ¹θ¹＋θ²θ²が与えられているとし,その構造方程式をｄθ¹＝－ω₂¹∧θ²,ｄθ²＝－ω₁²∧θ¹,およびｄω₂¹＝Ｋθ¹∧θ² (ω₁²＝－ω₂¹)とします。

ただし,Ｋはガウスの曲率です。

このとき,Ｄに含まれる領域Ａにおいてのｄω₂¹とω₂¹に対するストークスの定理∫_Aｄω₂¹＝∫_∂Aω₂¹によって,∫_AＫθ¹∧θ²＝∫_∂Aω₂¹が得られます。

そして,領域Ａの境界∂Ａは有限個の微分可能な曲線弧α₁,α₂,..を繋いだもので形成されているとします。

まず,α₁,α₂,..のうちの１つのα_iだけを固定して,それを単にαと書き,曲線上の点αの弧長パラメータｓによるベクトル表示をα(ｓ)とします。

そうすれば,α'(ｓ)＝ｄα/ｄｓはｓにおける単位接クトルですが,これがθ¹,θ²の双対基底ｅ₁,ｅ₂を用いてα'(ｓ)＝ξ¹ｅ₁＋ξ²ｅ₂ (ξ¹ξ¹＋ξ²ξ²＝1)と書けるとします。

このとき,ν≡－ξ²ｅ₁＋ξ¹ｅ₂とおけば,このベクトルνは曲面上でα'(ｓ)と直交する単位ベクトルです。 

一方,前記事では,曲面ｒ(ｕ,ｖ)上の曲線ｒ(ｓ)＝ｒ(ｕ(ｓ),ｖ(ｓ))に対しｒ'(ｓ)が一般の正規直交標構(ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃)を用いてｒ'(ｓ)＝ξ¹ｅ₁＋ξ²ｅ₂と表現されるとき,

ｒ"(ｓ)＝ｋ_g＋ｋ_nを満たす測地的曲率ベクトルｋ_gと法曲率ベクトルｋ_nが,ｋ_g＝Σ_i=1²(ｄξⁱ/ｄｓ＋Σ_j=1²ξⁱω_i^j/ｄｓ)ｅ_i,ｋ_n＝Σ_i=1²(ξⁱω_i³/ｄｓ)ｅ₃と表わされることを見ました。

そして,特に,ｅ₁(ｓ)≡ｒ'(ｓ)としｅ₁に垂直で曲面に接するものをｅ₂と選ぶ特別な正規直交標構(ξ¹＝1,ξ²＝0)では,ｋ_g＝κ_gｅ₂,ｋ_n＝κ_nｅ₃ (ｅ₃≡ｅ₁×ｅ₂)と書けることも見ました。

そこで,前記事でのｒ(ｓ)をα(ｓ)にｒ'(ｓ)をα'(ｓ)＝ξ¹ｅ₁＋ξ²ｅ₂に置き換えると,α(ｓ)に対する測地的曲率ベクトルは,ｋ_g＝(ｄξ¹/ｄｓ＋ξ²ω₂¹/ｄｓ)ｅ₁＋(ｄξ²/ｄｓ＋ξ¹ω₁²/ｄｓ)ｅ₂です。

さらにｋ_g＝κ_gν,またはκ_g＝(ｋ_g,ν)となることがわかります。

したがって,κ_gｄｓ＝(ｋ_gｄｓ,ν)＝({(ｄξ¹＋ξ²ω₂¹)ｅ₁＋(ｄξ²＋ξ¹ω₁²)ｅ₂},－ξ²ｅ₁＋ξ¹ｅ₂)＝ξ¹ｄξ²－ξ²ｄξ¹－ω₂¹が成立します。 

これは,ξ¹ξ¹＋ξ²ξ²＝１により,ξ¹＝cosφ,ξ²＝sinφとおけば,ξ¹ｄξ²－ξ²ｄξ¹＝ｄφなので,κ_gｄｓ＝ｄφ－ω₂¹と書けます。

よって,∫_αω₂¹＋∫_ακ_gｄｓ＝∫_αｄφが成立します。

ここでα'＝ cosφｅ₁＋sinφｅ₂なので,φ＝φ(ｓ)は幾何学的には点α＝α(ｓ)における曲線の接線α'＝α'(ｓ)が,その点でのｅ₁＝ｅ₁(ｓ)となす角ですね。

曲線α(ｓ)(0≦ｓ≦ｌ)が領域Ａの境界∂Ａの全体を示す閉曲線なら,α(0)＝α(l)です。それ故,cosφ(0)＝cosφ(l),sinφ(0)＝sinφ(l)ですから,リーマン計量ｄｓ²＝θ¹θ¹＋θ²θ²などに関係なく三角関数の周期性によってφ(l)＝φ(0)＋2ｋπ(ｋ＝0,±1,±2,..)です。

そして,特にα(ｓ)が円の場合にはｋ＝1でφ(l)＝φ(0)＋2πですから,α(ｓ)が空間の単純閉曲線なら,∫_αω₂¹＋∫_ακ_gｄｓ＝∫_αｄφ＝φ(l)－φ(0)＝2πです。

よって,今の曲線α(ｓ)(0≦ｓ≦ｌ)が境界∂Ａの全体の場合には,∫_∂Aｄφ＝2πであり,したがって∫_AＫθ¹∧θ²＝∫_∂Aω₂¹により∫_AＫθ¹∧θ²＋∫_∂Aκ_gｄｓ＝2πが得られます。

次にＡの境界∂Ａがｎ個の滑らかな曲線弧α₁,α₂,..α_nを順に繋ぐ閉曲線という一般の場合を考えます。

曲線弧α_iからα_i+1(ｉ＝1,2,..,ｎ－1)に移る際に接線α_i'の角φ_iが不連続にφ_i+1に変わる角をε_i (ただしα_nからα₁に移るときはε_n)とします。

曲線弧α₁,α₂,..,α_nの各々が直線分で全体として平面上のｎ角形を示す場合なら,角ε_iはｉ番目の頂点での外角に相当します。

したがって,α_iとα_i+1との連結点でのｓをｓ_iとするとき,φ_i+1(ｓ_i)＝φ_i(ｓ_i)＋ε_iです。

それ故,∫_∂Aｄφ＋Σ_i=1ⁿε_i＝Σ_i=1ⁿ{φ_i(ｓ_i)－φ_i(ｓ_i-1)}＋Σ_i=1ⁿε_i＝2πとなりますから∫_∂Aｄφ＝2π－Σ_i=1ⁿε_iと書けます。

以上から,一般の場合には∫_AＫθ¹∧θ²＋∫_∂Aκ_gｄｓ＝2π－Σ_i=1ⁿε_iなる等式が成立します。

これを,最も素朴な形のガウス・ボンネの定理と言います。

特に測地線の上ではκ_g＝0 ですから∫_AＫθ¹∧θ²＝2π－Σ_i=1ⁿε_iです。

こうした測地ｎ角形のｉ番目の内角をι_iと置けばε_i＝π－ι_iですから,Σ_i=1ⁿε_i＝ｎπ－Σ_i=1ⁿι_iとなります。

そこで,ガウス・ボンネの定理はｎ角形については,(内角の和)＝Σ_i=1ⁿι_i＝(ｎ－2)π＋∫_AＫθ¹∧θ²を意味します。

特にｎ＝3でｎ角形が３角形の場合なら,(内角の和)＝ι₁＋ι₂＋ι₃＝π＋∫_AＫθ¹∧θ²です。

リーマン計量が,ｄｓ²＝θ¹θ¹＋θ²θ²のとき,θ¹∧θ²は微小面積要素ｄＡを示していると考えられます。

そこで,∫_AＫθ¹∧θ²＝∫_AＫｄＡと書けば,ｄＡ＞0 により,ガウスの曲率Ｋがゼロのユークリッド平面内なら３角形の内角の和はπですが,球面や回転楕円面のように曲率Ｋが正の曲面内なら,内角の和はπより大きく,馬の鞍型のようにＫが負の曲面内なら,内角の和はπより小さいことがわかります。

ただし,この形のガウス・ボンネの定理が成立するのは(ｕ,ｖ)平面の領域Ａ⊂Ｄが単連結の場合のみで,Ａが同心円の円環領域のような場合には,これは成立しないことを強調しておきます。

次に,これまで(ｕ,ｖ)の関数としてｒ＝ｒ(ｕ,ｖ)と表わしてきた曲面Ｓが閉曲面の場合を考えます。

すなわち,(ｕ,ｖ)平面の領域ＤがＤ＝Σ_αＤ_αと分割され,曲面片の和集合として与えられ,各々のＤ_αにおいて閉曲面Ｓは,ｒ＝(ｘ,ｙ,ｚ)＝φ_α(ｕ,ｖ)＝(ｆ_α(ｕ,ｖ),ｇ_α(ｕ,ｖ),ｈ_α(ｕ,ｖ))で表わされる曲面片Ｕ_α≡φ_α(Ｄ_α)の和集合で与えられるとします。

ただし,Ｄ_αからＵ_αへの変換行列{∂(ｘ,ｙ,ｚ)/∂(ｕ,ｖ)}は全てのＤ_αの点において階数が２であるという接平面の存在条件を満たしているとします。

つまり,φ_αは確かに２次元曲面を表わす,Ｄ_α→Ｕ_αの同相写像であって,その逆写像φ_α^-1:Ｕ_α→Ｄ_αが常に存在し,Ｄ_α＝φ_α^-1(Ｕ_α)が成立するというわけです。

そして,Ｕ_α∩Ｕ_β≠φなる場合には,Ｄ_α,Ｄ_βの点(ｕ,ｖ)のうちでＵ_α∩Ｕ_β≠φに対応する部分を,それぞれＤ_αβ≡φ_α^-1(Ｕ_α∩Ｕ_β),Ｄ_βα≡φ_β^-1(Ｕ_α∩Ｕ_β)と定義して,Ｄ_αβ＝φ_α^-1・φ_β(Ｄ_βα)なる対応φ_α^-1・φ_βも同相写像であるとします。

これらは,私がかつて独習して学んだ多様体の定義と同じですね。 

曲面が全て境界となる辺と頂点を除いて互いに素な３頂点を持ち辺が曲線弧の三角形で囲まれた単連結領域の直和に分割できることは直感的には明らかですが,これを証明するのはかなり面倒なので,ここでは分割可能であると仮定して話を進めます。

要するに,対象をコンパクトな多様体であると仮定するわけです。

まあ,数値解析の手法としての有限要素法では,曲面で囲まれた領域を立体近似し,境界の閉曲面を曲線三角形ではなく直線三角形の直和に分割するので,通常の感覚では,これに違和感はないですね。

曲面Ｕ_α＝φ_α(Ｄ_α)での分割三角形の各辺に向きを付けて,三角形を辺の向きに周回するときに内部が左手に見えるようにします。

このとき,隣り合う三角形では共有する辺の向きは互いに正反対になって経路に沿った２つの線積分は打ち消し合います。

このように向きを付けることができることを,"向き付け可能である"といいます。

曲面上の各三角形領域をＴ_jとし,曲面Ｓ全体の三角形分割がｆ個のＴ_jの直和としてＳ＝Σ_j=1^fＴ_jと書けるとします。

各々のＴ_jを与える(ｕ,ｖ)平面上の三角形をＡ_jと書いてＴ_jの内角をι_j1,ι_j2,ι_j3とすれば,先の３角形に対するガウス・ボンネの定理はＴ_j,Ａ_jについて,∫_AjＫθ¹∧θ²＋∫_∂Ajκ_gｄｓ＝(ι_j1＋ι_j2＋ι_j3)－πとなります。

そして,コンパクトな閉曲面においては∫_DＫθ¹∧θ²＝Σ_j=1^f∫_AjＫθ¹∧θ²,かつ∫_∂Dκ_gｄｓ＝Σ_j=1^f∫_∂Ajκ_gｄｓ＝0ですから,∫_DＫθ¹∧θ²＝Σ_j=1^f(ι_j1＋ι_j2＋ι_j3)－ｆπなる等式を得ます。

ｆ個の三角形の頂点は全て閉曲面の内部にあり,頂点を共有する三角形の内角の和は全て2πですから,曲面全体での頂点の個数をｖとすればΣ_j=1^f(ι_j1＋ι_j2＋ι_j3)－ｆπ＝2ｖπ－ｆπ＝(2ｖ－ｆ)πです。

この場合には,ガウス・ボンネの定理は∫_DＫθ¹∧θ²＝(2ｖ－ｆ)πとなります。

ところで,各３角形Ｔ_jにはそれぞれ３個の辺があって,全て隣り合う３角形と共有していますから,辺の数をｅと置くと3ｆ＝2ｅです。そこで,2ｖ－ｆにｆ＝2ｅ－2ｆを代入すれば,2ｖ－ｆ＝2(ｖ－ｅ＋ｆ)ですから∫_DＫθ¹∧θ²＝2(ｖ－ｅ＋ｆ)πです。

ところで,ｖ－ｅ＋ｆ＝[(曲面Ｓの頂点の数)－(辺の数)＋(面の数)]をＳのオイラー数と呼び,χ(Ｓ)と書く習慣があります。

そこで,コンパクトで向き付け可能な２次元多様体Ｓについては,∫_DＫθ¹∧θ²＝2πχ(Ｓ)と書けます。

これが閉曲面に対するガウス・ボンネの定理の表現になります。

この等式の左辺は曲面Ｓだけで決まり,三角形分割の仕方に依存しないので右辺のオイラー数χ(Ｓ)も曲面Ｓだけで決まる位相不変量であることがわかります。

逆に,位相幾何学の知見からオイラー数は曲面Ｓだけで決まり,リーマン計量にはよらないので,左辺の∫_DＫθ¹∧θ²はθ¹,θ²の選択には独立であるということがわかります。

そして,一般にトーラスのように穴が開いて(取っ手が付いて)いるような多様体Ｓでは,こうした穴(取っ手)の数を種数と呼び,これをｇで表わして,Ｓを種数ｇの曲面と呼んで分類しますが,オイラー数はχ(Ｓ)＝2－2ｇで与えられることがわかっています。

普通の四面体や球のような立体なら,ｇ＝0 でχ(Ｓ)＝2ですから∫_DＫθ¹∧θ²＝2です 。また,トーラスならｇ＝１なのでχ(Ｓ)＝0 ですから∫_DＫθ¹∧θ²＝0 となります。

そこで,トーラスではＫ＞0 のところとＫ＜0 のところがあることがわかります。

ちなみにクライン(Klein)の壷は向き付け可能ではありません。 

今日はここで終わります。 

参考文献:小林昭七 著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房)

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