先進波と負エネルギー,反粒子について

　最近,ある掲示板で私が昔学生時代に考えたことのある

ちょっとした話題が出ていました。

　それは,電磁場(光子)の先進波,先進ポテンシャル,または

先進Green関数の解釈についての話で昔からよく論じられて

いる内容です。

　昔,QED,場の理論,や,その摂動のFeynman-diagramを初めて

習った学生の頃に,元々古典電磁気学の論題であったこの関連

の話に量子論的解釈をしたことを思い出したので書いてみます。

これを述べるためには,電磁気学の予備知識が必要です。

その説明をするために,まず,既に2007年12月のシリ－ズ記事:

「ヤングの干渉実験」,特に,12/６の記事:

「ヤングの干渉実験(2)(量子論)」12/９の記事

「ヤングの干渉実験(3)(量子論) 」において電磁光学の説明の

ために記述した部分を要約して再掲します。

電磁場のスカラーポテンシャルをφ(ｒ,ｔ),

ベクトルポテンシャルをＡ(ｒ,ｔ)とすると,電場Ｅ(ｒ,ｔ),

磁場Ｂ(ｒ,ｔ)はこれらのポテンシャルによって,

　Ｅ(ｒ,ｔ)＝－∇φ(ｒ,ｔ)－∂Ａ(ｒ,ｔ)/∂ｔ,

Ｂ(ｒ,ｔ)＝∇×Ａ(ｒ,ｔ)　と表現されます。

以下,簡単のため,適宜引数ｒ,ｔを省略します。

これらφ,Ａは電磁ポテンシャルと呼ばれます。

そしてφ,ＡによるＥ＝－∇φ－∂Ａ/∂ｔ,Ｂ＝∇×Ａなる表現式

は,任意関数Λを用いたゲージ変換と呼ばれる変換:

φ→φ＋∂Λ/∂ｔ,Ａ→Ａ－∇Λに対して不変です。

これをゲージ不変性といいます。

そして電磁場を記述する基本方程式である真空中の

マクスウェル(Maxwell)の方程式は,ポテンシャルＡ,φによる

表現では,

∇(∇Ａ)－∇²Ａ＋(1/ｃ²)(∂∇φ/∂ｔ)＋(1/ｃ²)(∂²Ａ/∂ｔ²)

＝μ₀Ｊ,－ε₀∇²φ－ε₀∇(∂Ａ/∂ｔ)＝ρ　なる形になります。

ここにρ(ｒ,ｔ)は電荷密度,Ｊ(ｒ,ｔ)は電流密度です。

特に相対論的に共変なゲージであるLorentz(Lorensゲージの

条件:∇Ａ＋(1/ｃ²)(∂φ/∂ｔ)＝0 を満たすようなゲージ

関数Λを採用すれば,上記の運動方程式は,

□Ａ＝(1/ｃ²)(∂²Ａ/∂ｔ²)－∇²Ａ＝μ₀Ｊ,

□φ＝(1/ｃ²)(∂²φ/∂ｔ²)－∇²φ＝ρ/ε₀

となります。

これはφとＡについて対称的,かつ簡明で共変性が明白な形です。

(※ □≡(1/ｃ²)(∂²/∂ｔ²)－∇²なる記号を用いましたが,

この微分演算子□はダランベルシャン(d'Alembertian)と

呼ばれます。※)

ところで,これ以外のゲージ条件を採用すると４次元時空の

座標変換:ｘ'^μ＝ａ^μ_νｘ^νに対し,４元ポテンシャル:

Ａ^μ＝(φ/ｃ,Ａ)の変換がＡ'^μ＝ａ^μ_νＡ^ν＋α^μ(Λ)の

ようになります。

つまり,通常の４元ベクトルとしてのLorentz変換の他に,

変換された座標系でも同じゲージ条件を満たすようにするるため

その都度,別の補正変換:α^μ(Λ)を受ける必要があります。

そこで,Ａ^μは座標系依存のベクトルとなって,相対論的に共変な

正しい４元ベクトルではなくなります。

したがって,非共変なゲージを採用したのでは,電磁ポテンシャル

は非局所的となり,電磁信号は光速を超えて相対論的因果律を破る

ことになると考えられます。

しかし,この問題点については,以前2006年10/９の記事

「非共変ゲージの非局所性(電磁場)」で論じたように,

現実に観測されるのは,場の量Ａ^μ＝(φ/ｃ,Ａ)ではなく,場の

強さであるＥとＢ,つまりＦ^μν≡∂Ａ^ν/∂ｘ_μ－∂Ａ^μ/∂ｘ_ν

であって,これらはゲージの選択には無関係なので共変であり,

局所性を破らないので,現実には相対論と無矛盾であることが

わかります。

つまり,"量子論において観測されるのは確率であって波動関数

ではない。",という話と同じく,電磁場を示す電磁ポテンシャル:

Ａ^μ＝(φ/ｃ,Ａ)は,量子論なら光子の波動関数に相当する

非観測量ですから,これを物理的な実在であると考えないなら,

全く矛盾は生じないわけです。

さて,時空座標をｘ^μ＝(ｃｔ,ｒ),電磁ポテンシャルを

Ａ^μ＝(φ/ｃ,Ａ),電荷密度,電流密度をＪ^μ＝(ｃρ,Ｊ)で記述

すればLorens条件:∇Ａ＋(1/ｃ²)(∂φ/∂ｔ)＝0 は,

∂Ａ^μ/∂ｘ^μ＝∂_μＡ^μ＝0 となり,

　運動方程式:□Ａ＝μ₀Ｊ,□φ＝ρ/ε₀ は,

□Ａ^μ＝∂^ν∂_νＡ^μ＝ｓ^μ(ただし,ｓ^μ≡Ｊ^μ/(ｃ²ε₀))

となります。

そして,特に電荷や電流の全くない:Ｊ^μ＝(ｃρ,Ｊ)＝0 の場合

の真空中の自由電磁場の方程式は,□Ａ^μ＝∂^ν∂_νＡ^μ＝0 です。

微分方程式:□Ａ^μ＝∂^ν∂_νＡ^μ＝ｓ^μは,

Ａ^μ(ｘ)＝{1/(2π)⁴}∫ｄ⁴ｋ[Ａ^^μ(ｋ)exp(－iｋｘ)]として

Ａ^μを平面波の重ね合わせ,すなわち,Fourier積分の形で

表わせば,同じく,

ｓ^μ(ｘ)＝{1/(2π)⁴}∫ｄ⁴ｋ[ｓ^^μ(ｋ)exp(－iｋｘ)なる

ｓ^μのFourier積分表式に対し,

代数方程式:ｋ²Ａ^^μ(ｋ)＝－ｓ^^μ(ｋ)　　に変わります。

特に,ｓ^μ＝Ｊ^μ/(ｃ²ε₀)＝0 の自由場の方程式;

□Ａ^μ＝－∂^ν∂_νＡ^μ＝0 は,光子質量がゼロであることに相当

して,ｋ²＝ｋ_μｋ^μ＝(ｋ⁰)²－ｋ²＝0 を満たします。

そこで,各自由平面波の波数ベクトルｋに対し,角振動数を

ω_k＝ｃ|ｋ|としてｋ^μ＝(ω_k/ｃ,ｋ)と書けば,

exp(－iｋｘ)＝exp{i(ｋｒ－ω_kｔ)},かつ

exp(iｋｘ)＝exp{－i(ｋｒ－ω_kｔ)}　です。

したがって,Ａ^^μ(ｋ)＝θ(ｋ⁰)δ(ｋ²)として自由電磁場をＡ^μ(ｘ)＝{1/(2π)⁴}∫ｄ⁴ｋ[θ(ｋ⁰)δ(ｋ²)exp(－iｋｘ)]と表わせば,これはＡ^μ(ｘ)＝Ａ^μ(ｒ,ｔ)＝{1/(2π)³}∫ｄ³ｋ(2|ｋ|)^-1[ε_k^μａ_kexp{(－i(ｋｒ－ω_kｔ))＋ε_-k^μａ_k^*μexp{i(ｋｒ－ω_kｔ)]となります。

ただし,ａ_kは定数係数,ε_k^μは偏光を表わす単位ベクトル:

ε_k²＝ε_kμε_k^μ＝(ε_k⁰)²－ε_k²＝－1で,Lorens条件:

ｋε_k＝ｋ_με_k^μ＝(ω_k/ｃ)ε_k⁰－ｋε_k＝0 を満たすように

与えられます。

θ(τ)はHeaviside関数,または階段関数と呼ばれるτの

関数です。これはτ＜0ならθ(τ)≡0,τ＞0 ならθ(τ)≡1

によって定義される関数です。

この関数は,τ＝0 では不連続で,そこでは,0と1の間であると

いうだけで特に指定はありませんが,常にθ(τ)＋θ(－τ)＝１

でｄθ(τ)/ｄτ＝δ(τ)なる性質を有します。

次に,一般の４元電流密度ｓ^μに対して,Lorensゲージの電磁場

の方程式:□Ａ^μ＝∂^ν∂_νＡ^μ＝ｓ^μを解きます。 

□Ａ^μ＝ｓ^μなる形から,形式的にＡ^μ＝□^-1ｓ^μと書けるので,

D'Alemgertian:□の逆演算子□^-1が得られればいいと思われます

が,これは以下に示すように,以前３次元のLaplacian:

△＝∇²の逆演算子△^-1を求めたのと同じ方法で得られます。

すなわち,もしも□Ｄ^＝1なるＤ^が見出されれば,□^-1＝Ｄ^

なので□Ａ^μ＝ｓ^μは形式的に,Ａ^μ＝□^-1ｓ^μ＝Ｄ^ｓ^μと書け

るわけです。

そして,微分演算子□に対し,□Ｄ^＝1を満たす逆演算子:

Ｄ^＝□^-1は積分演算子ですから,Ｄ^を□Ｄ(ｘ)＝δ⁴(ｘ)

を満たす関数Ｄ(ｘ)で表現すれば,結局,

Ａ^μ(ｘ)＝∫ｄ⁴ｙＤ(ｘ－ｙ)ｓ^μ(ｙ)

と書けることになります。

さらに,実際には微分方程式の解の積分定数に相当する斉次方程式:

□Ａ₀^μ＝0 の解Ａ₀^μをも考慮して,

Ａ^μ(ｘ)＝Ａ₀^μ(ｘ)＋∫ｄ⁴ｙＤ(ｘ－ｙ)ｓ^μ(ｙ)

となります。

そして,□Ｄ(ｘ)＝δ⁴(ｘ)を満たす関数Ｄ(ｘ)は微分演算子:

□に対応するグリーン関数(Green関数)と呼ばれます。

グリーン関数:Ｄ(ｘ)を具体的に求めるため,そのFourier積分

表示を,Ｄ(ｘ)＝(2π)^-4∫Ｄ^(ｋ)exp(－iｋｘ)ｄ⁴ｋと書けば,

δ⁴(ｘ)＝(2π)^-4∫exp(－iｋｘ)ｄ⁴ｋなので,

□Ｄ(ｘ)＝δ⁴(ｘ)は,Ｄ^(ｋ)＝－1/ｋ²を意味します。

　そこで,形式的にＤ(ｘ)＝－(2π)^-4∫[exp(－iｋｘ)/ｋ²]ｄ⁴ｋ

と書けます。

しかし,Ｄ^(ｋ)＝－1/ｋ²は分母がゼロになる点,

ｋ²＝(ｋ⁰)²－ｋ²＝0 になるところに特異点を持ちますから,

このままでは,well-definedではありません。

しかし,複素ｋ⁰平面での極ｋ⁰≡±|ｋ|付近のＤ^(ｋ)の挙動

次第で遠方でＤ(ｘ)が満たすべき境界条件が得られるので,

ｋ⁰積分の経路が極をどのように回避するかを指定すること

によって,Ｄ(ｘ)を決めることができます。

今,Ｄ^(ｋ)≡－1/(ｋ²＋iε)(ε＞0)と置いて,

Ｄ(ｘ)≡－lim_ε→＋0(2π)^-4∫[exp(－iｋｘ)/(ｋ²＋iε)]ｄ⁴ｋ

としてみます。

　このとき,

1/(ｋ²＋iε)＝1/{(ｋ⁰－|ｋ|＋iε)(ｋ⁰＋|ｋ|－iε)}

ですが,exp(－iｋｘ)＝exp(－iｋ⁰ｔ)exp(iｋｒ)なので,

極:ｋ⁰＝ω_k＝|ｋ|－iε(ε＞0)では,

exp(－iｋ⁰ｔ)＝exp(－i|ｋ|ｔ－εｔ)→ 0 as ｔ→＋∞,

　極:ｋ⁰＝－ω_k＝－|ｋ|＋iεでは,

exp(－iｋ⁰ｔ)＝exp(i|ｋ|ｔ＋εｔ)→ 0 as ｔ→－∞ です。

Ｄ(ｘ)＝－(2π)^-4∫[exp(－iｋｘ)/(ｋ²＋iε)]ｄ⁴ｋ

＝{i/(2π)³}∫{2(|ｋ|－iε)}^-1

[exp(iｋｒ－iｃ|ｋ|ｔ)＋exp(iｋｒ＋iｃ|ｋ|ｔ)]ｄ³ｋ

＝{i/(8π²)}∫ｄ|ｋ|ｄ(cosθ)

|ｋ|[exp{i(|ｋ||ｒ|cosθ－ｃ|ｋ|ｔ)}

＋exp{i{|ｋ||ｒ|cosθ＋ｃ|ｋ|ｔ)}]　　となります。

そして∫_-1¹ｄ(cosθ)[exp(i|ｋ||ｒ|cosθ)

＝[exp(i|ｋ||ｒ|)－exp(－i|ｋ||ｒ|)]/(i|ｋ||ｒ|)

＝2sin(|ｋ||ｒ|)/(|ｋ||ｒ|)です。

それ故,Ｄ(ｘ)＝－(2π)^-4∫[exp(－iｋｘ)/(ｋ²－iε)]ｄ⁴ｋ

＝Ｄ_ret(ｘ)－Ｄ_adv(ｘ)　と書けます。

ただし,Ｄ_ret(ｘ)≡{1/(8π²)}|ｒ|^-1∫₀^∞ｄ|ｋ|

[exp{i|ｋ|(|ｒ|－ｃｔ)}－exp{－i|ｋ|(|ｒ|－ｃｔ)}

＝{1/(8π²)}|ｒ|^-1∫_-∞^∞ｄ|ｋ|[exp{i(|ｋ|{|ｒ|－ｃｔ)}

＝{1/(4π|ｒ|)}δ(|ｒ|－ｃｔ)です。

また,Ｄ_adv(ｘ)≡{1/(8π²)}|ｒ|^-1∫₀^∞ｄ|ｋ|

[exp{i|ｋ|(|ｒ|＋ｃｔ)}－exp{－i|ｋ|(|ｒ|＋ｃｔ)}

＝{1/(8π²)}|ｒ|^-1∫_-∞^∞ｄ|ｋ|[exp{i(|ｋ|{|ｒ|＋ｃｔ)}

＝{1/(4π|ｒ|)}δ(|ｒ|＋ｃｔ)です。

したがって,Ｄ^(ｋ)≡－1/(ｋ²＋iε)(ε＞0)と選択し

Ｄ(ｘ)≡－lim_ε→＋0(2π)^-4∫[exp(－iｋｘ)/(ｋ²＋iε)]ｄ⁴ｋ

と定義したGreen関数は,

Ｄ(ｘ)＝{1/(4πｃ|ｒ|)}[δ(ｔ－|ｒ|/ｃ)－δ(ｔ＋|ｒ|/ｔ)]

となります。

よって,初めに意図した通り,確かにｔ→±∞,|ｒ|→∞でゼロに

なるという境界条件を満たすことがわかったので,これを電磁場

を考察する際の基本的なGreen関数として採用します。

要約すると,

Ｄ(ｘ)＝Ｄ(ｒ,ｔ)

＝{1/(4π|ｒ|)}[δ(|ｒ|－ｃｔ)－δ(|ｒ|＋ｃｔ)]

＝{1/(4πｃ|ｒ|)}[δ(ｔ－|ｒ|/ｃ)－δ(ｔ＋|ｒ|/ｔ)]

で,Ｄ(ｘ)＝Ｄ_ret(ｘ)－Ｄ_adv(ｘ);

Ｄ_ret(ｘ)≡Ｄ_ret(ｒ,ｔ)＝θ(ｔ)Ｄ(ｒ,ｔ),

Ｄ_adv(ｘ)≡Ｄ_adv(ｒ,ｔ)＝－θ(－ｔ)Ｄ(ｒ,ｔ)

です。

ここで,Ｄ_ret(ｒ,ｔ)＝θ(ｔ)Ｄ(ｒ,ｔ)

＝{1/(4πｃ|ｒ|)}δ(ｔ－|ｒ|/ｃ)を遅延Green関数,

Ｄ_adv(ｒ,ｔ)＝－θ(－ｔ)Ｄ(ｒ,ｔ)

＝{1/(4πｃ|ｒ|)}δ(ｔ＋|ｒ|/ｃ)を先進Green関数

と呼びます。

ｔ＞0 の未来での電磁場を予測するだけなら,そこでは

Ｄ(ｒ,ｔ)＝Ｄ_ret(ｒ,ｔ)なので,遅延Green関数だけで

十分です。

先に書いた

Ａ^μ(ｘ)＝Ａ₀^μ(ｘ)＋∫ｄ⁴ｙＤ(ｘ－ｙ)ｓ^μ(ｙ)は,

Ａ^μ(ｘ)＝Ａ₀^μ(ｘ)＋∫ｄ⁴ｙＤ_ret(ｘ－ｙ)ｓ^μ(ｙ)　となります。

あるいは,自由電磁波:Ａ₀^μ(ｘ)＝Ａ₀^μ(ｒ,ｔ)を無限の過去:

ｔ＝－∞における入射波:Ａ_in^μ(ｒ,ｔ)と考える散乱現象と

見れば,Ａ^μ(ｒ,ｔ)＝Ａ_in^μ(ｒ,ｔ)

＋ｃ∫_-∞^ｔｄｔ'∫ｄ³ｒ'Ｄ_ret(ｒ－ｒ',ｔ－ｔ')ｓ^μ(ｒ',ｔ')

と表現されます。

すなわち,Ａ^μ(ｒ,ｔ)＝Ａ_in^μ(ｒ,ｔ)

＋∫ｄ³ｒ'∫_-∞^ｔｄｔ'{1/(4π|ｒ－ｒ'|)}

δ(ｔ－ｔ'－|ｒ－ｒ'|/ｃ)ｓ^μ(ｒ',ｔ')

＝Ａ_in^μ(ｒ,ｔ)

＋{1/(4π)}∫ｄ³ｒ'[ｓ^μ(ｒ',ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ'|]

となります。

Ｊ^μ＝ｓ^μｃ²ε₀と戻しＡ_in^μ(ｒ,ｔ)＝0 の場合を仮定すれば,

φ(ｒ,ｔ)

＝{1/(4πε₀)}∫ｄ³ｒ'[ρ(ｒ',ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ'|],

かつＡ(ｒ,ｔ)

＝{μ₀/(4π)}∫ｄ³ｒ'[Ｊ(ｒ',ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ'|]

です。 

こうした意味で,これらのポテンシャルφ(ｒ,ｔ),Ａ(ｒ,ｔ)を

遅延ポテンシャルと呼び,その電磁波を遅延波と呼びれます。

　特に,Ａ^μ(ｒ,ｔ)＝∫Ａ^^μ(ｒ,ω)exp(－iωｔ)ｄω,または

Ａ^^μ(ｒ,ω)＝{1/(2π)}∫Ａ^μ(ｒ,ｔ)exp(iωｔ)ｄｔと電磁場

Ａ^μを振動数で展開し,

４元電流密度ｓ^μもｓ^μ(ｒ,ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃ)

＝∫ｓ^^μ(ｒ,ω)exp(－iω(ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃ))ｄω

＝∫ｓ^^μ(ｒ,ω)exp(iω|ｒ－ｒ'|/ｃ)exp(－iωｔ)

と展開してみます。

こうすれば,Ａ^μ(ｒ,ｔ)

＝Ａ_in^μ(ｒ,ｔ)＋{1/(4π)}∫ｄ³ｒ'

[ｓ^μ(ｒ',ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ']は,

Ａ^^μ(ｒ,ω)＝Ａ^_in^μ(ｒ,ω)＋{1/(4π)}∫ｄ³ｒ'

[ｓ^^μ(ｒ',ω)exp(iω|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ'|]

なる表現になります。

　したがって,Ｇ_ret(ｒ,ω)＝exp(iωｒ/ｃ)/(4πｒ) (ｒ≡|ｒ|)

と置けば,Ａ^^μ(ｒ,ω)＝Ａ^_in^μ(ｒ,ω)

＋∫ｄ³ｒ'Ｇ_ret(ｒ－ｒ',ω)ｓ^^μ(ｒ',ω)と表現できるため,

Ｇ_ret(ｒ,ω)を遅延Green関数と呼ぶこともあるようです。

グGreen関数Ｇ_ret(ｒ,ω)はHel,holtzの方程式のGreen関数と

なっていて,[△＋(ω/ｃ)²]Ｇ_ret(ｒ,ω)＝－δ³(ｒ)

を満たします。 

では,ｔ＜0 過去の電磁場を表現する先進グリーン関数:

Ｄ(ｒ,ｔ)＝－Ｄ_adv(ｒ,ｔ)＝θ(－ｔ)Ｄ(ｒ,ｔ)は何を意味する

のでしょうか？それともこれは不要なのでしょうか？

とりあえず,遅延Green関数と同じようにｔ＜0 対して,

Ａ^μ(ｘ)＝Ａ₀^μ(ｘ)－∫ｄ⁴ｙＤ_adv(ｘ－ｙ)ｓ^μ(ｙ)と

書いてみます。

自由電磁波Ａ₀^μ(ｘ)＝Ａ₀^μ(ｒ,ｔ)を無限の未来ｔ＝∞における

射出波:Ａ_out^μ(ｒ,ｔ)であると考えてみると,

Ａ^μ(ｒ,ｔ)＝Ａ_out^μ(ｒ,ｔ)

＋ｃ∫_∞^tｄｔ'∫ｄ³ｒ'Ｄ_adv(ｒ－ｒ',ｔ－ｔ')ｓ^μ(ｒ',ｔ')

と表現されます。

これは,現在のＡ_out^μ(ｒ,ｔ)から時間を遡るとこうなる,という

描像を示しているだけで,決して因果律に反して現在から過去

に向かう電磁波信号が存在することを意味するものでは

ありません。

例えば重力場の方程式でも解が満たすべき初期条件,あるいは

境界条件の違いによってブラックホールを与える解と,

ホワイトホール(あるいは,膨張する宇宙?)を与える解の両方が

あるのと同じく,方程式が時間反転対称なら遅延解と先進解が

あるのはごく普通のことです。

重力場でブラックホールを与える解というのは,初期には大きな

星が自分自身の"重さ＝重力"のせいで崩壊してゆく解のことです。

一方,ホワイトホールを与える解というのは規模は違いますが,

いわゆる宇宙全体が膨張するというビッグバンに相当する解で

宇宙論ではどちらも実際的に重要な役割を持ちます。

さて,電磁場の先進波はｔ＜0 で,

Ａ^μ(ｒ,ｔ)＝Ａ_out^μ(ｒ,ｔ)

＋{1/(4π)}∫ｄ³ｒ'[ｓ^μ(ｒ',ｔ＋|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ’|]

であり,ｓ^μ＝Ｊ^μ/(ｃ²ε₀)　です。

そこで,Ａ_out^μ(ｒ,ｔ)＝0 の場合には,

φ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}∫ｄ³ｒ'

[ρ(ｒ',ｔ＋|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ'|],

Ａ(ｒ,ｔ)＝{μ₀/(4π)}∫ｄ³ｒ'

[Ｊ(ｒ',ｔ＋|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ'|]　です。

これらのポテンシャルφ(ｒ,ｔ),Ａ(ｒ,ｔ)は先進ポテンシャル

と呼ばれ,その電磁波は先進波と呼ばれます。

また,Ｇ_adv(ｒ,ω)＝exp(－iωｒ/ｃ)/(4πｒ)(ただしｒ≡|ｒ|)

と置けば,Ａ^^μ(ｒ,ω)

＝Ａ^_out^μ(ｒ, ω)＋∫ｄ³ｒ'Ｇ_adv(ｒ－ｒ',ω)ｓ^^μ(ｒ',ω)

と表現できるので,Ｇ_adv(ｒ,ω)を先進Green関数と呼ぶことも

あります。

このGreen関数Ｇ_adv(ｒ,ω)もＧ_ret(ｒ,ω)が満たすのと同じ

Helmhortzの方程式のGreen関数となっていて,

[△＋(ω/ｃ)²]Ｇ_adv(ｒ,ω)＝－δ³(ｒ)　を満たします。 

これらの話は2006年10月３日の記事「ホイヘンスの原理の正当性」

でも書いていますが,そこでは真空中の電磁場:

Ａ^μ(ｘ)＝Ａ^μ(ｒ,ｔ)が初期時刻ｔ＝ｔ'において,

Ａ^μ(ｒ,ｔ')＝Ｆ^μ(ｒ),∂Ａ^μ(ｒ,ｔ')/∂ｔ'＝Ｇ^μ(ｒ)なる

条件を満たすような解を求めること,すなわち,微分方程式の

Cauchy問題を解いています。

これはGreen関数:

Ｄ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πｒ)}[δ(ｒ－ｃｔ)－δ(ｒ＋ｃｔ)] において

ｔ＞0 のときの遅延Green関数:

Ｄ(ｒ,ｔ)＝Ｄ_ret(ｒ,ｔ)＝{1/(4πｒ)}θ(ｔ)(ｒ－ｃｔ)

を用いると,すぐに解けて,

Ａ^μ(ｒ,ｔ)

＝∫ｄ³ｒ'[{∂Ｄ_ret(ｒ－ｒ',ｔ－ｔ')/∂ｔ}Ｆ^μ(ｒ')

＋Ｄ_ret(ｒ－ｒ',ｔ－ｔ')Ｇ^μ(ｒ')]

と表わすことができます。

　すなわち,Ｄ_ret(ｒ,ｔ)は□Ｄ_ret(ｒ,ｔ)＝(1/ｃ)δ(ｔ)δ³(ｒ)

を満たし,ｔ＝0 では,∂Ｄ(ｒ,ｔ)/∂ｔ＝δ³(ｒ),

Ｄ_ret(ｒ,ｔ)＝0 なる初期条件を満たすD'Alembertの方程式

(d'Alembert equation):□Ｄ_ret(ｒ,ｔ)＝0 の解です。

　そこで,上の表現ではＡ^μ(ｒ,ｔ)は確かに,ｔ＝ｔ'で

Ａ^μ(ｒ,ｔ')＝Ｆ^μ(ｒ),∂Ａ^μ(ｒ,ｔ')/∂ｔ'＝Ｇ^μ(ｒ) なる

初期条件を満たす,□Ａ^μ(ｒ,ｔ)＝0 の解となっています。

ところで,Ｄ_ret(ｘ)＝Ｄ_ret(ｒ,ｔ)＝{1/(4πｒ)}δ(ｒ－ｃｔ)

＝{1/(2ｒ)}∫_-∞^∞exp{iｋ(ｒ－ｃｔ)}ｄｋ

＝{1/(2ｒ)}[∫₀^∞{exp(iｋｒ)exp(－iｋｃｔ)

－exp(－iｋｒ)exp(iｋｃｔ)}ｄｋ]　です。

さらに進めて,Ｄ_ret(ｒ,ｔ)

＝{1/(2ｒ)}[∫₀^∞{exp(iｋｒ)－exp(－iｋｒ)}{exp(－iｋｃｔ)

＋exp(iｋｃｔ)}ｄｋ]＋{1/(2ｒ)}[∫₀^∞[exp{－iｋ(ｒ＋ｃｔ)}

－exp{iｋ(ｒ＋ｃｔ)}]ｄｋ

＝∫(2|ｋ|)^-1[exp(iｋｒ－iｃ|ｋ|ｔ)]ｄ³ｋ

－∫(2|ｋ|)^-1[exp(iｋｒ＋iｃ|ｋ|ｔ)]ｄ³ｋ

を得ます。

ｔ＞0 なら,右辺の第２項は,

∫(2|ｋ|)^-1[exp(iｋｒ＋iｃ|ｋ|ｔ)]ｄ³ｋ

＝{1/(2ｒ)}[∫₀^∞[exp{－iｋ(ｒ＋ｃｔ)}－exp{iｋ(ｒ＋ｃｔ)}]ｄｋ

＝{1/(4πｒ)}δ(ｒ＋ｃｔ)＝0 　です。

それ故,Ｄ_ret(ｒ,ｔ)

＝θ(ｔ)∫(2|ｋ|)^-1[exp(iｋｒ－iｃ|ｋ|ｔ)]ｄ³ｋ

＝θ(ｔ)∫{ｃ/(2ω_k)}[exp(iｋｒ－iω_kｔ)]ｄ³ｋ

＝∫{ｃ/(2ω_k)}θ(ｔ)exp(－iｋｘ)ｄ³ｋ　となります。

同様にｔ＜0 に対してＤ_adv(ｒ,ｔ)

＝－∫{ｃ/(2ω_k)}θ(－ｔ)exp(iｋｘ)ｄ³ｋ　となるはずです

から,全体として,

Ｄ(ｒ,ｔ)＝Ｄ_ret(ｒ,ｔ)－Ｄ_adv(ｒ,ｔ)

＝∫{ｃ/(2ω_k)}[θ(ｔ)exp(－iｋｘ)＋θ(－ｔ)exp(iｋｘ)ｄ³ｋ]

です。

ところで,量子論では粒子のエネルギーはiｈ_c(∂/∂ｔ)なる演算子

の固有値です。

　そして,iｈ_c(∂/∂ｔ)[exp(－iｋｘ)]＝ｈ_cω_k[exp(－iｋｘ)]

ですから遅延波:

Ｄ_ret(ｒ,ｔ)＝∫{ｃ/(2ω_k)}θ(ｔ)exp(－iｋｘ)ｄ³ｋ]

は正エネルギーｈ_cω_kを持つ平面波の集まりです。

一方,iｈ_c (∂/∂ｔ)[exp(iｋｘ)]＝－ｈ_cω_k[exp(iｋｘ)]

ですから先進波:

Ｄ_adv(ｒ,ｔ)＝－∫{ｃ/(2ω_k)}θ(－ｔ)exp(iｋｘ)ｄ³ｋ]

は負エネルギー(－ｈ_cω_k)を持つ平面波の集まりに対応

しています。

ここでｈ_c≡ｈ/(2π)はPlanck定数です。

ところが,場の量子論によれば,質量がｍでスピンが1/2のDirac

粒子の自由場の演算子は,ｈ_c＝ｃ＝１の自然単位で,

ψ(ｘ)＝ψ(ｒ,ｔ)＝Σ_±s∫ｄ³ｐ(2π)^-3/2(ｍ/Ｅ_p)^1/2

[ｂ^(ｐ,ｓ)ｕ(ｐ,ｓ)exp(－iｐｘ)

＋ｄ^⁺(ｐ,ｓ)ｖ(ｐ,ｓ)exp(iｐｘ)]　と表わされます。

その"共役＝自由反粒子の場"は,

ψ⁺(ｘ)＝ψ⁺(ｒ,ｔ)＝Σ_±s∫ｄ³ｐ(2π)^-3/2(ｍ/Ｅ_p)^1/2

[ｂ^⁺(ｐ,ｓ)ｕ⁺(ｐ,ｓ)exp(iｐｘ)＋

ｄ^(ｐ,ｓ)ｖ⁺(ｐ,ｓ)exp(－iｐｘ)]

です。

　ただし,ｈ_c＝ｃ＝１なのでＥ_p＝(ｐ²＋ｍ²)^1/2,かつｐ＝ｈ_cｋ

であり,そこで,exp(－iｐｘ)＝exp(－iｋｘ),exp(iｐｘ)

＝exp(iｋｘ)です。

また,スピノルｕ(ｐ,ｓ),およびｖ(ｐ,ｓ)は運動量表示での

自由なDirac方程式の粒子,および反粒子を示す独立な解で,

それぞれ(γｐ－ｍ)ｕ(ｐ,ｓ)＝0,および,

(γｐ＋ｍ)ｖ(ｐ,ｓ)＝0 　を満たします。

例えばDirac粒子が電子の場合なら,ψ(ｘ)＝ψ(ｒ,ｔ)の

展開係数ｂ^(ｐ,ｓ)は電子の消滅演算子,ｄ^⁺(ｐ,ｓ)は陽電子

の生成演算子を示しています。

これを見ればわかるように,相対論的量子力学の初期のDirac

の空孔理論のように,"真空状態＝最低エネルギー状態(基底状態)"

を負エネルギー電子の海として,わざわざ陽電子の生成を

負エネルギー電子の消滅と考える必要はありません。

真空状態には元々粒子は全くないとして,ｂ^(ｐ,ｓ)exp(－iｐｘ)

は１個の正エネルギー電子の消滅を,ｄ^⁺(ｐ,ｓ)exp(iｐｘ)は１個

の正エネルギー陽電子の生成を示していると考えれば何も問題も

生じないわけです。

同様に,先に与えた古典論での自由電磁場の表式:

Ａ^μ(ｘ)＝Ａ^μ(ｒ,ｔ)

＝{1/(2π)³}∫ｄ³ｋ(2|ｋ|)^-1[ε_k^μａ_kexp{(－i(ｋｒ－ω_kｔ))

＋ε_-k^μａ_k^μ*exp{i(ｋｒ－ω_kｔ)]　

を量子化したと想定してみます。

そして,より精密に.,

Ａ^μ(ｘ)＝Ａ^μ(ｒ,ｔ)＝Σ_λ=1²∫ｄ³ｋ(2π)^-3(2ω_k)^-1

[ε^μ(ｋ,λ)ａ^(ｋ,λ)exp{(－iｋｘ)

＋ε^μ(－ｋ,λ)ａ^⁺(ｋ,λ)exp(iｋｘ)]

と書きます。

Dirac場と同じく,係数ａ^(ｋ,λ)を運動量ｈ_cｋ,添字がλの偏光

を持つ１個の光子を消滅させる演算子,ａ^⁺(ｋ,λ)を同じ光子を

生成させる演算子と考えれば,負エネルギー粒子の生成は

正エネルギー粒子の消滅,負エネルギー粒子の消滅は

正エネルギー粒子の生成と解釈できます。

それ故,非物理的な負エネルギー粒子の存在を想定する必要が

あるというような困難はありません。 

そして,散乱の摂動論で現われる"摂動グラフ＝Feynman-diagram"

においても,初期の頃には空孔理論に基づいて,負エネルギー粒子

の因果性に反する過去への逆行を,正エネルギー反粒子の未来へ

の因果的順行と解釈するStucckerberg)とFeynmanの解釈が

ありましたが,その頃から方程式の負エネルギー解について何ら

困難は生じていません。

Green関数の遅延波部分は,ある時刻,ある位置での散乱に伴なう

粒子の消滅,先進波部分は粒子の生成を表わしているだけです。

2006年８月８日の記事「負エネルギー解と相対論的因果律 」

でも述べたように,負エネルギー解を捨てたり無視したりする

意図的な操作は,相対論的因果律を破ることがわかっています。

負エネルギー解,または先進波は不要なものではなく,むしろ

ないと困る必要不可欠なものであることがわかります。

参考文献:R.Loudon 著(小島忠宣,小島和子 共訳)

「光の量子論(第２版)」(内田老鶴圃),

砂川重信 著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店),

ジャクソン 著(西田 稔 訳)「電磁気学」,

J.D.Bjorken S.D.Drell「RelativisticQuantum fields」

(McGrawHill),

西嶋和彦 著「相対論的量子力学」(培風館)

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　おやおや,そこの静電気バチバチの人、いいものありますよ。。。

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バトンがまわってきました。(mixi)

なんかわかりませんが,mixiでマイミクシィの「みろ」さんからバトンというのが来ました。

不幸,幸福の手紙のたぐいじゃないらしく個人の趣味志向のアンケートみたいなので,ひまつぶしにやってみました。

アンカー禁止ということのようです。止めたら不幸になるのかな？

mixiでの日記は外部ブログ扱いでこのブログなのですが,このためだけに新しく日記をつくるわけにもいかないので,ここに書きます。

これから次にバトンを渡す人を発表しますから嫌でもやってください。！

★条件★ 
・３日以内に書くこと
・嘘・偽りなく答える
・アンカー禁止
・回した人はちゃんとその人が書いたか確認に行くこと
・書いてない人には罰ゲームをやってもらう 。

★回す人の名前★ (名前のある人よろしくです。)
　まりあんぬさん
　まどかさん 

★あなたの名前★ 
　　TOSHI

★      好きなもの★ 
女性,子供,遊ぶこと,犬,カレーライス,ゆで卵,理論物理学,

★    今,現在の恋人★

　いない。いない歴十年を超えますね。片思いならずーっといたし,今でもいるけどね。お金払って恋人気分というのもあるけど単なる勘違いでしょう。　 

★     好きなタイプ★ 

　1.普通でない感性に見える人,2.私がマゾだからイジめてくれる女性(例えば杉田かおるのイメージ：母親か姉のように叱ってもらえる女性＝(マザコン＋シスコン？),3.小柄だがふくよかな体形の女性,

　　4.白痴系の女性(あまり理知的でない人,ただし,ただのいいお友達関係とか,あるいは男性ならまた別),5.いたいけな人,かわいそうと思っただけでも好きになる。(惚れっぽい),

　　 6.人間以外では犬は大好きです。昔は吠えられても何でも道で会えばなでて結構噛まれました。

★嫌いなタイプ★ 
1.異性で嫌いというのは生まれてこのかた出会ったことがないと思う。同性もそうかな？しいて言えば, 2.モラルに厳しい人,押しつけられるのは嫌いですが私に押し付けることは不可能。。と思う。

　　3.基本的にその人の持つ趣味や性癖が理由で嫌いになることも好きになることもありません。

　　(嫌いの基準は基本的に権力とか組織とか,あるいはそうした社会的存在であって,何らかの組織に属する個々人については生き物の条件を満たしていれば少なくとも嫌いにはならないと思います。タイプというのはあるでしょうが。。)

※自己顕示欲が強いので私自身が「送り主の嫌いなタイプ＝ナルシスト」に属するのは八方美人をめざしている自分の身にはショックです。

★好きな音楽★

1.節操無くなんでも好き,カラオケでは演歌,艶歌からビリージョエル

(ただ しhonestyだけ),宇多田,アニメまでは歌うけど自宅ではこうしたも

のは聞かない。

2.浅川マキ, 山崎ハコ,岡林信康,泉谷しげる,忌野清志郎,ビリー・ホリディ,ジャニス・ジョプリン(特にミー・アンド・ボビーマギー),ビートルズ,etc。

3.ベートーベン,モーツァルト,チャイコフスキー,パガニーニ,他有名どころ,

4.ジャズはスタンリー・タレンタイン,アート・ペッパー・ビル・エヴァンス,etc　数え切れない

5.クラシック歌曲：ソルヴェイグの唄(ペールギュントより),ミカエラのアリア(カルメンより),誰も寝てはならぬ(トゥーランドットより)　

★好きなブランド★ 
　普通の意味ならなし,本や電気メーカーetcならありますが。。。

★送り主を色に例えると★ 
　ホワイトかな。。。まだ,つきあいが浅いので第一印象のみですが。。子供が２人いるのに未だ特定の色には染まっていないような感じ。。。。

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形式論理学(5)

　ブログ記事の中には私自身の気紛れのために途中で他に関心が移り,数回の連載を意図して書き始めたにも関わらず,結局最後まで完遂することなくほったらかしになった記事もいくつかあります。

　ときどきブログ全体を回顧して見ることがあるのですが,そうした途中やめになっている記事についても,日頃からいつかはそれらの続きを書きたいと思っています。

というわけで今回は2007年10月４日から10月18日にわたり４回だけ連載して中途になっている記事「形式論理学(1)」,「形式論理学(2) 」,「形式論理学(3) 」,「形式論理学(4)」の続きを書こうと思います。

シリーズ最後の記事「形式論理学(4)」は新しい"一般性を持った論理の規則＝形成規則"を定める次の文章で終わっています。

(過去記事の再掲部分)↓

かくして,論理形式に適した文の新しい形成規則としては,出発点となる文の範囲(0)をやや拡張し,与えられている文から新しい文を作るための方法を定める規則:1～5 に,量化子∀,∃を扱う規則;6を追加したもので与えられることになります。

0：出発点.任意のｎ項述語の後ろにｎ個の名称を続けたものは文である。（ｎ＝２の場合の例：Ｔａｂ,Ｔｂｂは文です。しかし,Ｔｘｂは文ではありません。ｘは変項であって名称(名前)ではないからです。）

※新しい文を生み出す６つの操作　

　1：否定.任意の文の先頭に ￢ をつける。

　2：連言：２つ以上の任意の文の列において隣り合う文の間に∧を書き,そうしてできたものを括弧でくくる。

　3：選言：２つ以上の任意の文の列おいて隣り合う文の間に∨を書き,そうしてできたものを括弧でくくる。

　4：条件. 任意の２つの文の間に⇒を書き,そうしてできたものを括弧でくくる。

　5：双条件. 任意の２つの文の間に ⇔ を書き,そうしてできたものを括弧でくくる。

　6：量化.何らかの名称ｒが現われているが変項が現われない全ての文,..ｒ..において,ｒが現われる全ての箇所をｘで置き換え,先頭に ∀ｘ,または ∃ｘを付ける。

　後にさらに改定した規則を与えるまでの間は,規則:0～6 から得られるもの以外に文であるようなものは存在しないとします。

↑(再掲終わり)

　上述の形成規則を形成の木と呼びます。

これを用いる１例として,文："∀ｘ(Ｔｘｂ⇒Ｔａｂ)"を作る場合なら,まず,出発点の規則(0)によりＴｃｂとＴａｂを作り,次に規則(4)によって(Ｔｃｂ⇒Ｔａｂ)とします。

そして,規則(6)によって,∀ｘ(Ｔｘｂ⇒Ｔａｂ)を作るわけです。

例えば "あらゆるｘについて(ｘはモリアーティを捕まえることができる⇒ホームズはモリアーティを捕まえることができる);￢(ホームズはモリアーティを捕まえることができる):それ故,￢(モリアーティを捕まえることができるようなｘが存在する)"という命題を考えます。

これは,ホームズをａ,モリアーティをｂ,"捕まえることができる"をＴという記号で表現すると"1.∀ｘ(Ｔｘｂ⇒Ｔａｂ)(前提);2.￢Ｔａｂ(前提);⇒ 3.￢∃ｘＴｘｂ(結論)"という論理式になります。

そして,この命題の妥当性を示すことは３つの文の集合:"1.∀ｘ(Ｔｘｂ⇒Ｔａｂ);2.￢Ｔａｂ;3.￢￢∃ｘＴｘｂ"の矛盾を示すことと同等になります。

そして既に前の記事で述べたことですが,これを示すには次のようにします。

まず,"1.∀ｘ(Ｔｘｂ⇒Ｔａｂ);2.￢Ｔａｂ;3. ￢￢∃ｘＴｘｂ"なる３つの文の集合の中から,"3.￢￢∃ｘＴｘｂ"にチェック(✓)を付け,その代わりに"4.∃ｘＴｘｂ"なる行を追加します。

さらに,"1.∀ｘ(Ｔｘｂ⇒Ｔａｂ)"なる文の前提は∀ｘなので,これはｘが何であろうと括弧の中の命題は成り立つことを意味しますから," 5.Ｔｂｂ⇒Ｔａｂ"が成立します。

しかし,命題１.からは,なおも5.とは別の独立な情報が獲得できる可能性があるので,まだ１.にはチェック印✓をつけません。

次に,"5.Ｔｂｂ⇒Ｔａｂ"は"￢Ｔｂｂ∨Ｔａｂ"と同値ですから,ここから"6a.￢Ｔｂｂ"と"6b.Ｔａｂ"の２つの文に分岐します。

この段階で,"6b.Ｔａｂ"の方の分枝は,前に"2.￢Ｔａｂ"があり,これと矛盾するので閉じますが,"6a.￢Ｔｂｂ"につながる分枝はなお開いています。

一方,"4.∃ｘＴｘｂ"は,Ｔｘｂを成立させるあるｘが存在することを意味するので,この"ｂを捕まえることができる(Ｔｂ)少なくとも１人は存在する(∃ｘ)誰か＝ｘ"の名称をｃとして,"7.Ｔｃｂ"と書くことができます。

そして,この 4.は１度しか使えないので,"7.Ｔｃｂ"を作るのに使用したため,4.には使用済みのチェック印✓をつけます。

さらに,もう１度"1.∀ｘ(Ｔｘｂ⇒Ｔａｂ)"を用いて,"8.Ｔｃｂ⇒Ｔａｂ",すなわち"8.￢Ｔｃｂ∨Ｔａｂ"が成立します。

この8.は"9a.￢Ｔｃｂ","9b.Ｔａｂ"と展開できます。

そして,左の分岐"9a.￢Ｔｃｂ"は前の文"7.Ｔｃｂ"と矛盾するので閉じます。

一方,右側の分岐"9b.Ｔａｂ"は,再び"2.￢Ｔａｂ"との矛盾によって閉じます。

上のように,文を∀ｘで表現する規則を普遍例化(ＵＩ)といいます。

(ＵＩはuniversal instantiationの略)

"∀ｘ..ｘ.."というような形の行を持つ開いた経路がある場合,その行にはチェック済みの印✓を付けず,その経路に現われる名前ｎの全てについて,上のｘにｎを代入した,"..ｎ.."をその経路の下端に書き足します。

しかし,もしもその経路にどんな名前も現われていないなら,適当な名前ｎを取って"..ｎ.."を書き足します。

また,文を∃ｘで表現する規則を存在例化(ＥＩ)といいます。

(ＥＩはexistential instantiationの略)

"∃ｘ..ｘ.."というような形の行のうち,まだチェックされていないものがあれば,まずそれにチェック済みの印✓を付けます。

そして,その行を含む全ての開いた経路を見て,それが上のｘにｎを代入した,"..ｎ.."という形の行を含んでいればそのままにしておき,一方,そうした行がないなら,まだその経路に現われていない適当な名前ｎを選んで経路の下端にｘにｎを代入した"..ｎ.."を書き足します。

ただし,この２つの規則は括弧を省略せず,形成規則通りに書いたときに,文字通り先頭に量化子が来ている行だけに適用できます。

そこで,例えば上のＵＩの規則を∀ｘ(Ｍｘ⇒Ｈ)には適用できますが,∀ｘＭｘ⇒Ｈには適用できません。

後者は(∀ｘＭｘ⇒Ｈ)の省略形でこれの先頭は括弧であって量化子∀ではないからです。

また,こうした量化子を含む文の否定は単に￢∀ｘを∃ｘ￢に,￢∃ｘを∀ｘ￢に,と書き換えればよくて,これによって行を簡単に処理できることもわかります。

実際,ド・モルガンの規則などの説明と同じく,論理的に考えると"￢∀ｘ○"は空でない論理領域の中での全てのものが○という属性を持つことの否定ですが,これはその論理領域の中に属性○を持たないものがあるということ:"∃ｘ￢○"と同値です。

そして,"￢∃ｘ○"は論理領域の中に属性○を持つものがあることの否定ですが,これはその論理領域の中の全てのものが属性○を持たないということ:"∀ｘ￢○"と同値ですね。

そこで,￢∀ｘを∃ｘ￢に,∀ｘを￢∃ｘ￢に,￢∃ｘを∀ｘ￢に,∃ｘを￢∀ｘ￢に書き換えてよい,という簡単な規則が得られます。

例として,"∀ｘＭｘ⇒∃ｘＭｘ"なる文の妥当性の論証を考える場合なら,これは"∀ｘＭｘ,￢∃ｘＭｘ"の矛盾を示すことと同値です。

これの真理の木は,"1.∀ｘＭｘ","2.✓￢∃ｘＭｘ"3.∀ｘ￢Ｍｘ","4.￢Ｍａ"(3より),"5.Ｍａ"(1より)です。

したがって,4,5から木は閉じているので,この枝に×印をつけて最初の命題は妥当であることがわかります。

もう１つ例を出します。

それは命題:"(∃ｘＭｘ⇒Ｈ)⇒∀ｘ(Ｍｘ⇒Ｈ)"です。

この命題の意味は,例えばＭが母親であること,Ｈが大人であることを意味する場合であれば,"ある人の母親であるなら彼女は大人である。"ということが正しいなら"ｘの母親なら彼女は大人である,ということがどんなｘについても成り立つ。"ということを表わします。

これの妥当性の論証は"∃ｘＭｘ⇒Ｈ;￢∀ｘ(Ｍｘ⇒Ｈ)"の矛盾を示すことと同値です。

これの真理の木は,"1.✓∃ｘＭｘ⇒Ｈ","2.✓￢∀ｘ(Ｍｘ⇒Ｈ)","3.✓∃ｘ￢(Ｍｘ⇒Ｈ)"(2より),"4.✓￢(Ｍａ⇒Ｈ)"(3より),"5.✓Ｍａ∧￢Ｈ"(4より),"6.Ｍａ"(5より),"7.￢Ｈ"(5より),"8.✓ ￢(￢∃ｘＭｘ∧￢Ｈ)"(1より),"9.✓Ｈ∨∃ｘＭｘ"(8より),"10a.Ｈ"(9より) ←この枝は×です(7より)。

また,"10b.✓∃ｘＭｘ"(9より),"11.∀ｘ￢Ｍｘ"(10bより),"12.￢Ｍａ"(11より) ←この枝は×です(6より)。

以上からこの木は閉じていることが示されました。

この論題について述べるのは久しぶりなので,思い出すという意味で,今日のところはこれで終わります。

参考文献:Richard Jeffrey著(戸田山和久 訳)「形式論理学」(その展望と限界)(産業図書)

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宿命(東野圭吾)

　東野圭吾の作品については2008年５月８日の記事「流星の絆(東野圭吾)」で現在もベストセラーであるらしい「流星の絆」を読んだことを書きました。

　そのときには物語としては感動的であったけれど書き下ろしではないせいか最後の事件解決部分の顛末には不自然なドタバタを感じてやや不満が残ったという個人的感想を書きました。

　とにかく興味を覚えたのでそれからは,彼の小説をいくつか読みたいなと思っていましたが,誰の小説であっても昔から短編物はめったに読む気にならず,逆に長編過ぎる小説も若いときのように一気に読むほどの根気がないので敬遠していました。

　しかし,最近,近くの本屋で,程よい長さの文庫本で「宿命」というのを見つけたので,買ってすぐに読んだのですが正にビンゴでした。

　もろに自分の琴線に触れて後半は奇想天外な偶然の連続でしたが涙ボロボロでした。。。

　今回は私的には完璧だと思いましたね。。。

　金がなくても文庫本くらいは古本でも買えるし,ヒマはあるので,後は心がすさんでいたりして酒をのみたいという衝動が湧いたり,あるいはライフワークをやらなけれいけないとか,科学ブログを書かなければいけないというような金銭とは無関係な仕事に追われるというアセリに急かされることもないほど心の余裕がありさえすれば,推理小説を読むという,音楽鑑賞と同じくらい贅沢なオアシスに浸れるのですが。。。。

　何故か貧乏性の性分なので,こうした時間はめったにありませんけど,次は長編に挑戦してみるかな。。。

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人を愛するということ

　また,ヒマだからくだらないことを考えたりしました。「小人閑居して不善をなす」とかよく言われますが,私など凡人なのであまりヒマだとオナニーでもするという意味でしょうか。。当らずといえども,ですね。

　実践的に人を愛したことも愛されたこともほとんどないくせに,表題のようなことを考えたりするのは,やはり閑人だからでしょうね。

　まあ,人を愛するとはいっても同一性障害などがない普通の場合の異性を愛することについて考えたのですが,愛には昔から大きく分けて「神のような愛(あるいは肉親の愛)＝アガペー」と,「恋愛に属するもの＝エロス」の２種類に大別できるという考え方があると思います。

　本当に２種類でいいんでしょうかね？

　私の場合,相手が肉親と異なる恋愛対象の異性でも,実際の交際経験でも何故かエロスではなくてアガペーに似たようなものしか感じたことがないなあ!!と思って,ずいぶん物足りない感じがあります。

　エロス的に人を愛するというのは,相手が育ちが良くて上品だからとか,頭が良くて尊敬できるとか,あるいはセンスがいいとか運動能力や行動力が優れている仕事ができる金持ちだからとかの優越性に対するあこがれとか,

　または,変態性なので,これらと全く逆の性質だから好きだ。とかいうように,具体的に挙げられるような理由があって愛するというようなものではないと常に思っています。

　もしも,あこがれとか尊敬とかの理由で愛していると思うのであれば,私的にはそれは勘違いではないか。。と思います。

　もっとも,それがエロスに発展することは大いにあるでしょうが。。。

　あるいは,それらの属性に容姿,人格も含めた総体から愛情が湧いたとしてもその愛は,神に対する愛のようなもの＝アガペーであると思います。

　　エロスというのは,むしろ若いときにはありがちな一目惚れに近いもので理由は後付けであって,好き嫌いの感情に理由や打算があるようなものは全てアガペーであってエロスではないと概念規定したくなります。

　まあ,人間も含めた"動物の種族保存本能"に根ざしたものがエロスであると規定されると思うので,損得勘定も入った個人の優劣性が理由で湧いた愛情もエロスではないか？と言われるとちょっと違うのじゃないか？と考えますが,その可能性も完全に否定はできませんがね。。。

　結局,異性間にも適度なアガペーと適度なエロスの両方があるのが幸福ではないかと思います。

　私？私はエロスだけあればいいのですが,何故か周りにありそうなのはアガペーだらけで,まあ無いよりはましですがエロスと勘違いしそうですね。。。

　しかし,なぜ頭でっかちにエロスだのアガペーだのと厳密には線引きもできない既存の概念に振り回されているのだろう。。

　そんなの考えずに単に動物的に行動すればいいだけだろうに。。

　でも思ったとおりにやると,私の場合は手が後に回っちゃうかも。。。

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金もないのに深酒をしてしまいました。

　たまには普通の日記も書こう。。

　昨夜,18時半から20時半まで池袋で先週から通い始めた手話サークルへ行きました。

　雰囲気は結構楽しかったのですが,聴覚障がい者も含め20人くらいいる男女の出席者の中で私一人だけが新米で,ほとんど何も通じないのはちょっとさみしかったです。

　外国人たちの中に,一人だけ彼らの言葉のわからない自分がいるという感じでした。

　手話は外国語のようなものだと思ったので,その中に放り込まれたら"門前の小僧さん"で自然に覚えざるを得ないだろうから,普通に勉強するよりも効率がいいだろうと都合のいいように解釈したのですが,まあ当分はこうした状況も仕方ないかなと思います。

　ちょっと気付いたのは,音声でしゃべるのと違って,目が見えさえすれば周囲が大音響の中だろうと,またかなり遠くに離れている相手だろうと,音よりも速いスピードで相手と意思の疎通が可能だし,手は２つあるので,その気になれば同時に２つの意味の言葉も表現できるとかということです。

　さらにプラスして,障がい者でなければ音声でもしゃべれるので頭が付いてくるなら同時にたくさんの話ができるのじゃないか？などと余計なことまで考えてしまいました。

　ただ,外国語もそうですが,自分の意思を相手に伝えるだけなら文法など無視して知っている単語を並べればいいだけだと思うのですが,相手の手話を見て理解することいわゆるヒアリングはやはり一番むずかしいと思いましたね。

　それと教えてくれる人の利き手が同じなら,向かい合ってマネすると手が反対なので,隣の人に教わった方がわかりやすいみたいです。

　まあ,このサークルでは齢と共におしゃべりになっていく私が,隣に他人がいるにも関わらず,必然的に２時間くらいもほぼ無言でいることになるので,たまにはいい薬ですね。

　で,例会が終わってから夕食を取るのを忘れていたのに気付いて駅の近くの松屋で牛丼を食べて,夜10時前にサンシャイン通りにある知り合いのママが７月末に開店したスナックに行きました。

　途中で,ゲイバーの看板の前で美人ですが明らかに男とわかる,店のママ？らしい人に声を掛けられましたが,予定があるので断って,ついでに１回しか行ったことがなく,ちょっとわかりにくい目的の店までの道を詳しく教えてもらってちゃんと店に着きました。

　約１ヵ月半ぶりに開店時と同じ女性が２人そばについてくれて,彼女たちの源氏名を偶々覚えていたので結構喜ばれました。

　まあ,しょうもないことでも覚えてしまうのは私の病気で,いいことだけ記憶し悪いことは忘れてしまうから人間は健康な精神を維持できるはずなのに,私の場合は,気に留めた事であればほとんど消えない,という病気なので便利なこともありますが,ある意味トラウマだらけになってしまって困るのですが。。。

　お店の名前は同じなのに夜中の12時には経営者？あるいはママが交代するというので,最終電車も丁度そのくらいだし夜12時の閉店時には帰途につきましたが,今朝には１万円くらいあった持ち金が200円くらいになって,電車代しかありませんでした。

　まあ,先のことは考えず,今が楽しければいいと思っているので,こうしたことは最近ではよくあることですが。。。。

　しかし,実際次の日になって,どこかへ行きたいと思ってもバス代も電車代もなく,どうしても約束があって片道料金だけで行って,帰りの運賃は相手に借りたこともあります。

　約束した相手に会えなくて,帰りは金が落ちてないかと探して最後は遠くても歩いて帰ったりしたこともあります。

　また外食したいとか販売機でコーヒーとか飲みたいと思っても,何も買えなくて困ることも多々あるのですが。。

　いい歳をして何してんだか全く行き当たりばったりです。

　まあ,私はアリとキリギリスのキリギリスさんを自称していますから,別に江戸っ子ではないけど「宵越しの金は持たねえ」とか,まあ,「ジタバタしたって人生高々100年。。狭い日本そんなに急いでどこに行く」ってなもんでしょうか。。。

　つくづく自分は能天気な苦労知らずのおボッちゃんだ思いますね。

　飽食日本じゃなきゃとっくにあの世かも。。

　食っていくギリギリの金しかいらない。。などとキレイゴトを言ってますが,元々凡人なのでひょっとして宝くじにでも当れば豹変するかも。。。

　こうした話を,知り合いにすると,よくウソ八百を並べていると思われることがあるようですが,粋がってみても何の得にもならず殴られたりするのが落ちですし,私は不器用なんで皮肉言われてもわからないくらいですから冗談ではありません。

　その場の勢いで出任せのホラを言ったり書いたりしても後でバレたら無茶苦茶に気まずいですから損ですよねえ。

　今日最後に言ったゲイバーのママにも初めてなのに私がべらべらしゃべってたら,「職業は詐欺師じゃないの？」と言われましたね。

　そういえば,未だにそうですが,どこでも自分の名刺を渡すのが癖だったので,昔は会社に覚えがない店から暑中見舞いなどが届いて「おい,また来てるぞ」とかありましたね。

　ストリップの"かぶりつき"でつい踊り子さんに名刺を渡したら「こんなとこで渡すもんじゃないわよ。。」とか説教されたこともありましたね。

　常識がないことを自慢して粋がってどうすんだよ？＞自分

　まあ,ブログ＝日記ですから個人の誹謗,中傷でないなら,ある意味どんなことを書いても批判されるいわれはないかなとも主張してみたり。。。

　ニュースで見たけど私と同じ読み方の姓を持つ最高齢者(113歳)がインタビューで酒もタバコもやらず,間食もしないと答えていましたが何が楽しみで生きているんだろう？

　まあ,その他にもひょっとしたら物理学の勉強や研究とかの趣味,楽しみがあるかも知れないから,大きなお世話でしょうけど。。

　ある意味では私とは大分違うと思いました。。

　私の場合は世間で体に悪いと言われていることばかりしてます。

　医者に禁止されているタバコを吸ったりとか。。

　何でも１本で５分くらい寿命が縮むんだとか。。

　てやんでぇ,長生きしたきゃ,生まれたときからシェルターの中にでも隔離されて有害な太陽光線や有害な大気,有害な飲食物を避け,仕事も何もしないでいればいいじゃんか。。

　だけど,そんなお金がない家に生まれたら生きてくにゃ働かなきゃならないし,普通の生命活動をしていれば歩くだけでも諸刃の剣で,それだけで５分や10分なら人によっては寿命が延びる人もいれば縮む人もいるだろう。。

　そもそも普通に生きていくことは命を縮める活動だ。。などと例によって屁理屈を述べながら,自分を正当化して,こんなことも酒の肴にしています。

　そして,夜12時頃駅までの帰りに,またゲイバーのママに飲んで行かないかと誘われたけど財布に200円しかないのでと断ったら,カードでも飲めるというし1万円でいいと言われたので,ゲイバーとしては適正値段だと思って,しかも相手は私が現金を持ってないくらいの貧乏人だということも知っていることだし帰りのタクシーもカードで乗れるからということで,ついつい入ってしまいました。

　池袋のサンシャイン通りにもゲイバーあったんですね。

　ただ,エレベーターのない４階だったので,心臓疾患のせいで階段をのぼるのは大変でした。肩を借りて上りましたが酔っ払いと思われたのでしょうね。

　店の中は,カウンターとボックスがあって,10畳足らずのスペースで,もう１人女の子？がいるだけで,平日だし客は私だけでした。

　まあ誰もいないから,ママ本人が客引きやってたんでしょうけど。。。

　ゲイバーは昔は上野の浅草口付近に,行き着けの店「薔薇の館」があって,これは大きな店だったので,お客には吉原の下半身関係の商売の女性たちもかなりいて彼女たちと懇意になれるというメリットもありました。

　また,数年前までは新宿２丁目にも行きつけがあったのですが,それらは今は無くなっているし,自分は今は貧乏で近場の安いところでしか飲めないし,そうした店は普通のところよりも高いので最近は行くことがなくなっていました。

　だから,曲がりなりにもゲイバーと名の付く店は久しぶりですね。ただ,近場はいざ知らず,若い頃なら初めて入る店は億劫でゲイバーも含めて大抵は複数で入ったものでしたが。。。

　かつて去年かな？,神楽坂のスナックで久しぶりに行ったのに最後はゲイバーとホモバーの違いについての馬鹿な口論となってママとケンカ別れしたことを思い出したので,ゲイバーのママ本人に,それを聞いて私の方が正しいことを再確認したりしました。

　非常に単純な違い,客がノン気なのがゲイバーです。

　私もしつこいですねえ。。。

　結局,３時前になって帰りましたが,追加料金も発生していて,カードですが千円値切りました。

　冗談でしょうが,久しぶりにスカウトもされましたが,いい歳でノン気だしホモの振りをしようにも演技は下手なのでね。。。

　いつものように,中にいた二人が私を接待していて商売抜きで楽しかったかどうかも気になりましたが,まあ客である私は大いに楽しかったのでよかったですね。ケセラセラ。。あとは野となれ山となれ。。馬鹿は死んでも治らない。。。

　PS: ↑ しかし,後で読むとこういう内容の記事は"個人のブログ＝日記"で匿名とはいうもの,公開していて芸能タレントでもないのに読まれることを意識しており,露悪的内容とはいっても自己顕示そのものですねlぇ。。。

　PS2:お金も体力もないので手話サークルに毎週通う精神的余裕がなくなり,今のところ半年ほど手話の勉強は停止しています。(2009年６月)　

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相対論の幾何学(第Ⅰ部-12:ガウス・ボンネの定理)

今日はガウス・ボンネの定理(Gauss-Bonnet's theorem)について述べます。

ユークリッド幾何学では平面上の三角形の内角の和はπであることがわかっていますが,例えば球面上では赤道や子午線などの大円である測地線で描いた三角形の内角の和はπよりも大きいことはよく知られています。ガウス・ボンネの定理はこれを説明できるものです。

この定理は,多様体(manifold)の曲率を位相幾何学での位相不変量であるオイラー数や種数(genus)と結びつける話になり,物理では弦(ひも)理論(string theory)などとも関連があります。

また,昨年３月末から４月末までの入院中に病床でほぼ１ヶ月間勉強した内容を４月22日に退院後,2007年４月24日から５月５日,５月15日から６月７日の２つに分けてブログ記事にまとめて連載したフックス型微分方程式入門の関連とも関係しているようですね。

フックス型微分方程式関連の連載記事は2007年４/24の「線形常微分方程式の確定特異点と不確定特異点」に始まり,５月後半の「超幾何微分方程式の代数関数解（シュワルツ）(1),(2),(3),(4),(5)」,６月の「有限なモノドロミー群と代数関数解」,「フックス関数の理論(1) (ポアンカレの登場)」,「フックス関数の理論(2) (ポアンカ レの理論) 」に終わるものです。

フックス群の基本領域がフックス型方程式の３つの確定特異点を頂点とする円弧三角形とその反転から成るため,最後は群の構造と非ユークリッド幾何に従う三角形の内角の和の話になっています。

さて,本題に入ります。

元々,外微分形式は積分記号の内部の演算を形式的に表現したものとして考案されたものであることは良く知られています。

(ｕ,ｖ)平面内のある領域をＤとするとき,Ｄで定義された１次微分形式φ＝ｆｄｕ＋ｇｄｖとＤ内の曲線Ｃ:ｕ＝ｕ(ｔ),ｖ＝ｖ(ｔ);ａ≦ｔ≦ｂが与えられたとき,微分形式φの線積分を∫_Cφ＝∫_a^bf(ｄｕ/ｄｔ)＋ｇ(ｄｖ/ｄｔ)ｄｔによって定義します。

また,Ｄにおいて２次微分形式ψ＝ｈｄｕ∧ｄｖが与えられたとき,Ｄに含まれる領域Ａ上でのψの積分を,∫_Aψ＝∫∫_Aｈｄｕｄｖで定義します。 

この定義では,∫_Aｆｄｖ∧ｄｕ＝－∫_Aｆｄｕ∧ｄｖ＝－∫∫_Aｆｄｕｄｖが成立し積分に２次微分形式の交代性が反映されます。 

また,(ｕ,ｖ)平面を(ｘ,ｙ)平面に変換する写像をｘ＝ｘ(ｕ,ｖ),ｙ＝ｙ(ｕ,ｖ)とすると,ｋｄｘ∧ｄｙ＝ｋ{(∂ｘ/∂ｕ)ｄｕ＋(∂ｘ/∂ｖ)ｄｖ}∧{(∂ｙ/∂ｕ)ｄｕ＋(∂ｙ/∂ｖ)ｄｖ}＝ｋ{(∂ｘ/∂ｕ)(∂ｙ/∂ｖ)－(∂ｘ/∂ｖ)(∂ｙ/∂ｕ)}ｄｕ∧ｄｖ＝ｋ{∂(ｘ,ｙ)/∂(ｕ,ｖ)}ｄｕ∧ｄｖとなります。

そこで,∫∫_Aｋ(ｘ,ｙ)ｄｘｄｙ＝∫∫_Aｋ(ｕ,ｖ){∂(ｘ,ｙ)/∂(ｕ,ｖ)}ｄｕｄｖなる重積分の座標変換不変性の公式とも,うまく整合しています。

特に,１次微分形式φがφ＝ｄｆと書けるときには,φ＝(∂ｆ/∂ｕ)ｄｕ＋(∂ｆ/∂ｖ)ｄｖなので,∫_Cφ＝∫_a^b[(∂ｆ/∂ｕ)(ｄｕ/ｄｔ)＋(∂ｆ/∂ｖ)(ｄｖ/ｄｔ)]ｄｔ,すなわち∫_Cｄｆ＝ｆ(ｕ(ｂ),ｖ(ｂ))－ｆ(ｕ(ａ),ｖ(ａ))と書けます。

これは微積分の基本定理に他なりません。

そして,これを２次元以上に拡張した微分形式の積分定理はストークスの定理(Stokesの定理)と呼ばれます。

このストークスの定理については,2006年10/21の記事「ポアンカレの補題」で紹介し,2007年12/20の記事「微分形式とベクトル解析 」ではかなり詳しく解説しています。

この定理は,任意の(ｋ－1)次微分形式ωと,その外微分ｄωのｋ次の領域Ａ,および (ｋ－1)次の境界∂Ａにおける積分について,∫_Aｄω＝∫_∂Aωなる等式が成立するというものです。

例えば,∫_Aｄω＝∫_∂Aωのωが１次微分形式φ＝ｆｄｕ＋ｇｄｖである場合を想定して,領域Ａが特に0≦ｕ≦ａ,0≦ｖ≦ｂなる矩形の場合を考えると,ｄφ＝(∂ｇ/∂ｕ－∂ｆ/∂ｖ)ｄｕ∧ｄｖより,∫_Aｄφ＝∫₀^a∫₀^b(∂ｇ/∂ｕ－∂ｆ/∂ｖ)ｄｕｄｖ＝∫₀^b{ｇ(ａ,ｖ)－ｇ(0,ｖ)}ｄｖ－∫₀^a{ｆ(ｕ,ｂ)－ｆ(ｕ,0)}ｄｕ＝∫₀^aｆ(ｕ,0)ｄｕ＋∫₀^bｇ(ａ,ｖ)ｄｖ＋∫_a⁰ｆ(ｕ,ｂ)ｄｕ＋∫_b⁰ｇ(0,ｂ)ｄｖです。

それ故,ストークスの公式∫_Aｄφ＝∫_∂Aφが確かに成立することが確かめられます。

以下では,ストークスの定理が成立することを認めて,本題であるガウス・ボンネの定理の記述に移ります。

ストークスの定理の証明については上記2007年12/20のブログ記事「微分形式とベクトル解析 」を参照してください。

さて,まず,(ｕ,ｖ)平面内の領域Ｄにリーマン計量ｄｓ²＝θ¹θ¹＋θ²θ²が与えられているとし,その構造方程式をｄθ¹＝－ω₂¹∧θ²,ｄθ²＝－ω₁²∧θ¹,およびｄω₂¹＝Ｋθ¹∧θ² (ω₁²＝－ω₂¹)とします。

ただし,Ｋはガウスの曲率です。

このとき,Ｄに含まれる領域Ａにおいてのｄω₂¹とω₂¹に対するストークスの定理∫_Aｄω₂¹＝∫_∂Aω₂¹によって,∫_AＫθ¹∧θ²＝∫_∂Aω₂¹が得られます。

そして,領域Ａの境界∂Ａは有限個の微分可能な曲線弧α₁,α₂,..を繋いだもので形成されているとします。

まず,α₁,α₂,..のうちの１つのα_iだけを固定して,それを単にαと書き,曲線上の点αの弧長パラメータｓによるベクトル表示をα(ｓ)とします。

そうすれば,α'(ｓ)＝ｄα/ｄｓはｓにおける単位接クトルですが,これがθ¹,θ²の双対基底ｅ₁,ｅ₂を用いてα'(ｓ)＝ξ¹ｅ₁＋ξ²ｅ₂ (ξ¹ξ¹＋ξ²ξ²＝1)と書けるとします。

このとき,ν≡－ξ²ｅ₁＋ξ¹ｅ₂とおけば,このベクトルνは曲面上でα'(ｓ)と直交する単位ベクトルです。 

一方,前記事では,曲面ｒ(ｕ,ｖ)上の曲線ｒ(ｓ)＝ｒ(ｕ(ｓ),ｖ(ｓ))に対しｒ'(ｓ)が一般の正規直交標構(ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃)を用いてｒ'(ｓ)＝ξ¹ｅ₁＋ξ²ｅ₂と表現されるとき,

ｒ"(ｓ)＝ｋ_g＋ｋ_nを満たす測地的曲率ベクトルｋ_gと法曲率ベクトルｋ_nが,ｋ_g＝Σ_i=1²(ｄξⁱ/ｄｓ＋Σ_j=1²ξⁱω_i^j/ｄｓ)ｅ_i,ｋ_n＝Σ_i=1²(ξⁱω_i³/ｄｓ)ｅ₃と表わされることを見ました。

そして,特に,ｅ₁(ｓ)≡ｒ'(ｓ)としｅ₁に垂直で曲面に接するものをｅ₂と選ぶ特別な正規直交標構(ξ¹＝1,ξ²＝0)では,ｋ_g＝κ_gｅ₂,ｋ_n＝κ_nｅ₃ (ｅ₃≡ｅ₁×ｅ₂)と書けることも見ました。

そこで,前記事でのｒ(ｓ)をα(ｓ)にｒ'(ｓ)をα'(ｓ)＝ξ¹ｅ₁＋ξ²ｅ₂に置き換えると,α(ｓ)に対する測地的曲率ベクトルは,ｋ_g＝(ｄξ¹/ｄｓ＋ξ²ω₂¹/ｄｓ)ｅ₁＋(ｄξ²/ｄｓ＋ξ¹ω₁²/ｄｓ)ｅ₂です。

さらにｋ_g＝κ_gν,またはκ_g＝(ｋ_g,ν)となることがわかります。

したがって,κ_gｄｓ＝(ｋ_gｄｓ,ν)＝({(ｄξ¹＋ξ²ω₂¹)ｅ₁＋(ｄξ²＋ξ¹ω₁²)ｅ₂},－ξ²ｅ₁＋ξ¹ｅ₂)＝ξ¹ｄξ²－ξ²ｄξ¹－ω₂¹が成立します。 

これは,ξ¹ξ¹＋ξ²ξ²＝１により,ξ¹＝cosφ,ξ²＝sinφとおけば,ξ¹ｄξ²－ξ²ｄξ¹＝ｄφなので,κ_gｄｓ＝ｄφ－ω₂¹と書けます。

よって,∫_αω₂¹＋∫_ακ_gｄｓ＝∫_αｄφが成立します。

ここでα'＝ cosφｅ₁＋sinφｅ₂なので,φ＝φ(ｓ)は幾何学的には点α＝α(ｓ)における曲線の接線α'＝α'(ｓ)が,その点でのｅ₁＝ｅ₁(ｓ)となす角ですね。

曲線α(ｓ)(0≦ｓ≦ｌ)が領域Ａの境界∂Ａの全体を示す閉曲線なら,α(0)＝α(l)です。それ故,cosφ(0)＝cosφ(l),sinφ(0)＝sinφ(l)ですから,リーマン計量ｄｓ²＝θ¹θ¹＋θ²θ²などに関係なく三角関数の周期性によってφ(l)＝φ(0)＋2ｋπ(ｋ＝0,±1,±2,..)です。

そして,特にα(ｓ)が円の場合にはｋ＝1でφ(l)＝φ(0)＋2πですから,α(ｓ)が空間の単純閉曲線なら,∫_αω₂¹＋∫_ακ_gｄｓ＝∫_αｄφ＝φ(l)－φ(0)＝2πです。

よって,今の曲線α(ｓ)(0≦ｓ≦ｌ)が境界∂Ａの全体の場合には,∫_∂Aｄφ＝2πであり,したがって∫_AＫθ¹∧θ²＝∫_∂Aω₂¹により∫_AＫθ¹∧θ²＋∫_∂Aκ_gｄｓ＝2πが得られます。

次にＡの境界∂Ａがｎ個の滑らかな曲線弧α₁,α₂,..α_nを順に繋ぐ閉曲線という一般の場合を考えます。

曲線弧α_iからα_i+1(ｉ＝1,2,..,ｎ－1)に移る際に接線α_i'の角φ_iが不連続にφ_i+1に変わる角をε_i (ただしα_nからα₁に移るときはε_n)とします。

曲線弧α₁,α₂,..,α_nの各々が直線分で全体として平面上のｎ角形を示す場合なら,角ε_iはｉ番目の頂点での外角に相当します。

したがって,α_iとα_i+1との連結点でのｓをｓ_iとするとき,φ_i+1(ｓ_i)＝φ_i(ｓ_i)＋ε_iです。

それ故,∫_∂Aｄφ＋Σ_i=1ⁿε_i＝Σ_i=1ⁿ{φ_i(ｓ_i)－φ_i(ｓ_i-1)}＋Σ_i=1ⁿε_i＝2πとなりますから∫_∂Aｄφ＝2π－Σ_i=1ⁿε_iと書けます。

以上から,一般の場合には∫_AＫθ¹∧θ²＋∫_∂Aκ_gｄｓ＝2π－Σ_i=1ⁿε_iなる等式が成立します。

これを,最も素朴な形のガウス・ボンネの定理と言います。

特に測地線の上ではκ_g＝0 ですから∫_AＫθ¹∧θ²＝2π－Σ_i=1ⁿε_iです。

こうした測地ｎ角形のｉ番目の内角をι_iと置けばε_i＝π－ι_iですから,Σ_i=1ⁿε_i＝ｎπ－Σ_i=1ⁿι_iとなります。

そこで,ガウス・ボンネの定理はｎ角形については,(内角の和)＝Σ_i=1ⁿι_i＝(ｎ－2)π＋∫_AＫθ¹∧θ²を意味します。

特にｎ＝3でｎ角形が３角形の場合なら,(内角の和)＝ι₁＋ι₂＋ι₃＝π＋∫_AＫθ¹∧θ²です。

リーマン計量が,ｄｓ²＝θ¹θ¹＋θ²θ²のとき,θ¹∧θ²は微小面積要素ｄＡを示していると考えられます。

そこで,∫_AＫθ¹∧θ²＝∫_AＫｄＡと書けば,ｄＡ＞0 により,ガウスの曲率Ｋがゼロのユークリッド平面内なら３角形の内角の和はπですが,球面や回転楕円面のように曲率Ｋが正の曲面内なら,内角の和はπより大きく,馬の鞍型のようにＫが負の曲面内なら,内角の和はπより小さいことがわかります。

ただし,この形のガウス・ボンネの定理が成立するのは(ｕ,ｖ)平面の領域Ａ⊂Ｄが単連結の場合のみで,Ａが同心円の円環領域のような場合には,これは成立しないことを強調しておきます。

次に,これまで(ｕ,ｖ)の関数としてｒ＝ｒ(ｕ,ｖ)と表わしてきた曲面Ｓが閉曲面の場合を考えます。

すなわち,(ｕ,ｖ)平面の領域ＤがＤ＝Σ_αＤ_αと分割され,曲面片の和集合として与えられ,各々のＤ_αにおいて閉曲面Ｓは,ｒ＝(ｘ,ｙ,ｚ)＝φ_α(ｕ,ｖ)＝(ｆ_α(ｕ,ｖ),ｇ_α(ｕ,ｖ),ｈ_α(ｕ,ｖ))で表わされる曲面片Ｕ_α≡φ_α(Ｄ_α)の和集合で与えられるとします。

ただし,Ｄ_αからＵ_αへの変換行列{∂(ｘ,ｙ,ｚ)/∂(ｕ,ｖ)}は全てのＤ_αの点において階数が２であるという接平面の存在条件を満たしているとします。

つまり,φ_αは確かに２次元曲面を表わす,Ｄ_α→Ｕ_αの同相写像であって,その逆写像φ_α^-1:Ｕ_α→Ｄ_αが常に存在し,Ｄ_α＝φ_α^-1(Ｕ_α)が成立するというわけです。

そして,Ｕ_α∩Ｕ_β≠φなる場合には,Ｄ_α,Ｄ_βの点(ｕ,ｖ)のうちでＵ_α∩Ｕ_β≠φに対応する部分を,それぞれＤ_αβ≡φ_α^-1(Ｕ_α∩Ｕ_β),Ｄ_βα≡φ_β^-1(Ｕ_α∩Ｕ_β)と定義して,Ｄ_αβ＝φ_α^-1・φ_β(Ｄ_βα)なる対応φ_α^-1・φ_βも同相写像であるとします。

これらは,私がかつて独習して学んだ多様体の定義と同じですね。 

曲面が全て境界となる辺と頂点を除いて互いに素な３頂点を持ち辺が曲線弧の三角形で囲まれた単連結領域の直和に分割できることは直感的には明らかですが,これを証明するのはかなり面倒なので,ここでは分割可能であると仮定して話を進めます。

要するに,対象をコンパクトな多様体であると仮定するわけです。

まあ,数値解析の手法としての有限要素法では,曲面で囲まれた領域を立体近似し,境界の閉曲面を曲線三角形ではなく直線三角形の直和に分割するので,通常の感覚では,これに違和感はないですね。

曲面Ｕ_α＝φ_α(Ｄ_α)での分割三角形の各辺に向きを付けて,三角形を辺の向きに周回するときに内部が左手に見えるようにします。

このとき,隣り合う三角形では共有する辺の向きは互いに正反対になって経路に沿った２つの線積分は打ち消し合います。

このように向きを付けることができることを,"向き付け可能である"といいます。

曲面上の各三角形領域をＴ_jとし,曲面Ｓ全体の三角形分割がｆ個のＴ_jの直和としてＳ＝Σ_j=1^fＴ_jと書けるとします。

各々のＴ_jを与える(ｕ,ｖ)平面上の三角形をＡ_jと書いてＴ_jの内角をι_j1,ι_j2,ι_j3とすれば,先の３角形に対するガウス・ボンネの定理はＴ_j,Ａ_jについて,∫_AjＫθ¹∧θ²＋∫_∂Ajκ_gｄｓ＝(ι_j1＋ι_j2＋ι_j3)－πとなります。

そして,コンパクトな閉曲面においては∫_DＫθ¹∧θ²＝Σ_j=1^f∫_AjＫθ¹∧θ²,かつ∫_∂Dκ_gｄｓ＝Σ_j=1^f∫_∂Ajκ_gｄｓ＝0ですから,∫_DＫθ¹∧θ²＝Σ_j=1^f(ι_j1＋ι_j2＋ι_j3)－ｆπなる等式を得ます。

ｆ個の三角形の頂点は全て閉曲面の内部にあり,頂点を共有する三角形の内角の和は全て2πですから,曲面全体での頂点の個数をｖとすればΣ_j=1^f(ι_j1＋ι_j2＋ι_j3)－ｆπ＝2ｖπ－ｆπ＝(2ｖ－ｆ)πです。

この場合には,ガウス・ボンネの定理は∫_DＫθ¹∧θ²＝(2ｖ－ｆ)πとなります。

ところで,各３角形Ｔ_jにはそれぞれ３個の辺があって,全て隣り合う３角形と共有していますから,辺の数をｅと置くと3ｆ＝2ｅです。そこで,2ｖ－ｆにｆ＝2ｅ－2ｆを代入すれば,2ｖ－ｆ＝2(ｖ－ｅ＋ｆ)ですから∫_DＫθ¹∧θ²＝2(ｖ－ｅ＋ｆ)πです。

ところで,ｖ－ｅ＋ｆ＝[(曲面Ｓの頂点の数)－(辺の数)＋(面の数)]をＳのオイラー数と呼び,χ(Ｓ)と書く習慣があります。

そこで,コンパクトで向き付け可能な２次元多様体Ｓについては,∫_DＫθ¹∧θ²＝2πχ(Ｓ)と書けます。

これが閉曲面に対するガウス・ボンネの定理の表現になります。

この等式の左辺は曲面Ｓだけで決まり,三角形分割の仕方に依存しないので右辺のオイラー数χ(Ｓ)も曲面Ｓだけで決まる位相不変量であることがわかります。

逆に,位相幾何学の知見からオイラー数は曲面Ｓだけで決まり,リーマン計量にはよらないので,左辺の∫_DＫθ¹∧θ²はθ¹,θ²の選択には独立であるということがわかります。

そして,一般にトーラスのように穴が開いて(取っ手が付いて)いるような多様体Ｓでは,こうした穴(取っ手)の数を種数と呼び,これをｇで表わして,Ｓを種数ｇの曲面と呼んで分類しますが,オイラー数はχ(Ｓ)＝2－2ｇで与えられることがわかっています。

普通の四面体や球のような立体なら,ｇ＝0 でχ(Ｓ)＝2ですから∫_DＫθ¹∧θ²＝2です 。また,トーラスならｇ＝１なのでχ(Ｓ)＝0 ですから∫_DＫθ¹∧θ²＝0 となります。

そこで,トーラスではＫ＞0 のところとＫ＜0 のところがあることがわかります。

ちなみにクライン(Klein)の壷は向き付け可能ではありません。 

今日はここで終わります。 

参考文献:小林昭七 著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房)

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好美(よしみ)チャンの思い出

　私の人生は,今の自分を肯定するなら失敗も含めた総体がそれですから,これが成功,これが失敗と分類して"ああすればよかったのに"と後悔や反省をすることはほとんどありません。

　いわゆる”タラレバ"ですから,その状況でそう判断して行動した,あるいは不可抗力によってそうせざるを得なかったという岐路でのTPOもまた多世界のうちの1つの選択にしか過ぎないわけです。

　しかし,恥ずかしいことですが,,若い頃は男であるから程度の差はあれ,ある意味仕方ないことなのでしょうが,女性に対して何故かコンプレックスがあるため極度に女好きであるということを,ひたすら理性的な仮面で隠そうとしていたことが私の思春期以降ほぼ30年間にわたる抑うつ性の精神的な病気の主たる原因でしょう。

　そして自分が傷つきたくないために,まともな恋愛ができなかったというのは,やはり,この歳では取り返しのつかないことなので後悔,反省の対象とせざるを得ません。

　確かに他人に打ち明けても未だに冗談だと思われることが多いですが,かつては今よりもずっと自覚症状のある精神の病持ちであるということが負い目だったために遠慮したこともあったと思いますが。。

　私は東京で就職して最初の会社に入社したときには既に27歳でしたから同期入社の新人は男子は私を含めて８名で年齢はいろいろでしたが最大で５歳年下,女子は７名で１名の大卒を除き短大卒なので７歳も年下でした。

　しかし,私の精神年齢は幼いので別にギャップも感じず,若い女性は大好きなので同期会などを開くと結構楽しかったです。

　そして余暇では会社の卓球部と将棋部で遊んでいました。特に卓球部は合宿と称して,近場を中心にしょっちゅう旅行していました。

　私は本社勤務でしたが部員は男は本社社員中心で女子は比較的ストレスがたまりやすいと思われる事業所のエントリー係に配属された同期と後輩がほとんどでした。

　今考えると,週に１回の後楽園を中心とした練習と,季節ごとの旅行は,毎回合コンをやっているのと同じ状況でした。

　実際その中から何組もカップルが生まれ,社内結婚したものも数組います。

　私の場合,同期でも７歳下なのですから数年経つと10歳以上も下の後輩女子社員ともグループ交際しているという状況になってきます。

　表題の好美(よしみ)チャンはＫ崎市Ｎ区に住んでいて石Ｓ(いしＳ)という珍しい姓なのですが確か８歳か９歳くらい年下だったでしょうか。当時,誕生日も年齢も意識してなかったので聞いたりしたこともありません。

　健康的でしたが決して美形というわけではなく,他の女性が派手な色の服装をしていたのに対して,いつも暗い系統の服にGパンという男のようないでたちで,初対面のころは話し方も普通の女ではなく,いかにも若いくせに生意気だと思いましたが,私も普通ではないのでそういうところに少し魅力を感じました。

　卓球部では男子は出版健保の大会で２部で優勝することもあったりして,私も高校時代には卓球部で高３の国体予選までは勉強などそっちのけで打ち込んでいたこともあり,単なる合コンクラブではなかったのですが,女子の方は温泉卓球に毛が生えた程度のレベルだったので,練習の合間には混合ダブルスなどやって女子のご機嫌取りをしたりしていました。

　普通は後楽園での練習が終わると,夜９時頃で,全員近くの夏ならナイター帰りの客でごった返ししていたりする居酒屋で飲み会というのが通例でした。

　そうした混合ダブルスのペアをあみだくじなどで決めるのですが不思議に好美チャンとペアになることが多かったのです。

　旅行でテニスやバドミントンなどでも混合だとペアになり,池で二人乗りのボートに乗るときも１回目はだいたい彼女とペアになります。

　初めの頃生意気だった彼女も,こう偶然が続くと元々運動は得意でないようなのでゴメンネとか私とペアでいいの？とかしきりに弱気の発言になってきましたが,元々勝ち負けにこだわっていなかったのでそんなことはどうでもよかったのです。

　でも赤い糸ではないけど偶然がかなり続くと私の方は相手の容姿とか言動とかに関わり無く,近くにいればいるほどそれだけで,１人でも２人でも何人でも浮気ではなく全て本気で同時に惚れてしまうという惚れっぽい性格(今でも身の程知らずにそうです)ですから,好きになっていました。

　そうこうするうちに,まあ女子社員ですから数年経てば会社をやめていくのが普通でしたから,彼女もやめたのですが,その後,病気(腎盂炎)で入院したという知らせがあったので卓球部の連中と一緒に何回かお見舞いに行って,後に退院したと聞き,以後はおそらく会っていません。

　私の方は結婚もせず40歳で会社をやめて当時は独立して塾を開きました。

　その後仕事を転々としていたのですが,７年ほど前に12年ぶりに昔の会社にアルバイトとして行き,それから４年間,数ヶ月ごとの契約で夜勤の間の隔日勤務で通っていた頃,５年前だったかな？旧知のまだ会社にいる元卓球部の一員に好美ちゃんが古傷の病気でどこかで倒れて運ばれたが亡くなった,そしてまだ独身だったというのを聞き,通夜に行こうと誘われたのですが,夜勤に穴あけられないという思いから,昼勤に続いて夜勤に行ったのでした。

　いろいろと後悔先に立たずですが,何故か今頃になって無性に恋しくて会いたくなるのはあの世で彼女が呼んでいるからでしょうか？などと思ったりします。ジジィとはいえ,まだ男のくせに女々しいですね。。

　７年前に昔いた会社に初めてアルバイトに行った頃にも,総務の親切な女性正社員でまだ20代前半でしょうが石Ｓ好美さんの生まれ変わり(当時はまだ好美チャンは生きていましたが)ではないか?というくらい似た印象を受けて親子ほど歳の違う彼女をときどきながめているのが楽しかったという,何もしないストーカーをしていたという記憶もあります。その彼女も私がまだ会社にいるときに社内結婚しましたね。

　　　

　↓ありし日の石Ｓ好美チャンと私(1983年夏頃のグループ旅行で)　　　　　　

※PS:私信です。れなちゃんへ,中国の本,もらいたいので,読んでいたらコメントで連絡してください。　TOSHI

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相対論の幾何学(第Ⅰ部-11:曲面上の幾何(3))

相対論の幾何学の続きです。今日は平行移動とか共変微分などの概念の幾何学的意味について記述してみます。

さて,曲面ｒ(ｕ,ｖ)上で定義された接ベクトル場Ｘ(ｕ,ｖ)があるとき,曲面上の曲線ｒ(ｔ)≡ｒ(ｕ(ｔ),ｖ(ｔ))の各点においては,Ｘ(ｔ)≡Ｘ(ｕ(ｔ),ｖ(ｔ))と書くことにします。

このとき,もちろんＸ(ｔ)は３次元空間の３つの成分を持つパラメータｔのベクトル値関数ですから,それに対してｔによる微分係数ｄＸ/ｄｔが定義できます。

　そして,ｄＸ/ｄｔも３成分の空間のベクトルですが,これは点ｒ(ｕ(ｔ),ｖ(ｔ))でＸ(ｔ)を含むｒ(ｕ,ｖ)の接平面の上の"ベクトル＝接ベクトル"とは限りません。そこでｄＸ/ｄｔを曲面の接ベクトルと法ベクトルの和として表わします。

　すなわち,ｄＸ/ｄｔ＝ＤＸ/ｄｔ＋δＸ/ｄｔとします。ここでＤＸ/ｄｔは接ベクトル,δＸ/ｄｔは法ベクトルを示す記号です。

　以前に書いたように,曲面ｒ(ｕ,ｖ)上に束縛された粒子の運動学を想定して,それ以外の曲面に垂直な成分の空間の存在を無視すると,意味のある微分係数はＤＸ/ｄｔだけです。これを接ベクトル場Ｘの曲線ｒ(ｔ)に沿っての共変微分と呼びます。

ここで,共変微分ＤＸ/ｄｔは曲面の第１基本形式のみに依存し,曲面の３次元空間内の相対的位置を示す第２基本形式には依存しないという重要な性質を持つことを証明します。

この性質は,共変微分ＤＸ/ｄｔは"曲面ｒ(ｕ,ｖ)上に束縛された生物が測定できる長さ＝リーマン計量(Riemannian metric)"だけで決まり,彼らには認識できない第３の次元の空間の要素には左右されないことを意味します。

接ベクトルＸを含む接平面の正規直交基底をｅ₁,ｅ₂とし,単位法ベクトルをｅ₃≡ｅ₁×ｅ₂とします。

Ｘ＝ξ¹ｅ₁＋ξ²ｅ₂とすると,ｄＸ/ｄｔ＝(ｄξ¹/ｄｔ＋ξ¹ω₁¹/ｄｔ＋ξ²ω₂¹/ｄｔ)ｅ₁＋(ｄξ²/ｄｔ＋ξ¹ω₁²/ｄｔ＋ξ²ω₂²/ｄｔ)ｅ₂＋(ξ¹ω₁³/ｄｔ＋ξ²ω₂³/ｄｔ)ｅ₃となります。

ここで,ｄｅ_i＝Σ_j=1³ω_i^jｅ_j,あるいは(ｉ,ｊ)成分がω_jⁱの３×３行列Ωによる表現:ｄ(ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃)＝(ｄｅ₁,ｄｅ₂,ｄｅ₃)＝(ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃)Ωを用いました。

ただし,ω/ｄｔという一見変な記号を用いました。これは,ω＝ａｄｕ＋ｂｄｖのとき,ω/ｄｔ＝ａ(ｄｕ/ｄｔ)＋ｂ(ｄｖ/ｄｔ)なることを意味します。

ところで,ω¹₁,ω₂¹,ω₁²,ω₂²を成分とする２×２行列Ωは交代行列なのでω₁¹＝ω₂²＝0 ですから,ｄＸ/ｄｔ＝ＤＸ/ｄｔ＋δＸ/ｄｔによってＤＸ/ｄｔ＝(ｄξ¹/ｄｔ＋ξ²ω₂¹/ｄｔ)ｅ₁＋(ｄξ²/ｄｔ＋ξ¹ω₁²/ｄｔ)ｅ₂,δＸ/ｄｔ＝(ξ¹ω₁³/ｄｔ＋ξ²ω₂³/ｄｔ)ｅ₃となります。

上のＤＸ/ｄｔの表現式はω₂¹＝－ω₁²,すなわち接続形式のみを含み,第２基本形式:Π＝－(ｄｒ,ｄｅ₃)＝－(θ¹ｅ₁＋θ²ｅ₂,ω₃¹ｅ₁＋ω₃²ｅ₂)＝－θ¹ω₃¹－θ²ω₃²＝θ¹ω₁³＋θ²ω₂³を定義する量であるω₁³,ω₂³を含みません。

以前の記事で示したように,θ¹,θ²に対し,ω₂¹≡ｂ₁θ¹＋ｂ₂θ²と置いてこれがω₂¹＝－ω₁²,および第１構造式ｄθ¹＝θ²∧ω₂¹,ｄθ²＝－θ¹∧ω₂¹を満たすという要求から,ｄθ¹＝－ｂ₁θ¹∧θ²,ｄθ²＝－ｂ₂θ¹∧θ²によって,係数ｂ₁,ｂ₂,したがってω₂¹＝－ω₁²,ω₁¹＝ω₂²＝0 が全て決まります。

このω¹₁,ω₂¹,ω₁²,ω₂²を成分とする２×２交代行列Ωを接続形式と呼ぶわけです。

以上で,ＤＸ/ｄｔがリーマン計量だけで決まることが証明されました。

特に,ＤＸ/ｄｔ＝0 なる場合は曲面に垂直な空間の存在を無視した世界では,これは事実上Ｘが停留値を取る(変分がゼロの)場合に相当します。

このとき,Ｘはこの曲線に平行であると言います。

この場合にはｄＸ/ｄｔ＝δＸ/ｄｔであり,この曲線に沿っての移動ｒ(ｔ)→ｒ(ｔ＋ｄｔ)＝ｒ(ｔ)＋ｄｒ＝ｒ(ｔ)＋Ｄｒに対して,Ｘ(ｔ)→Ｘ(ｔ)＋ｄＸ＝Ｘ(ｔ)＋δＸです。

この移動は,ベクトルＸ(ｔ)の曲面内の成分が不変のまま,その向きを変えないという意味で平行移動と呼ばれます。

平行移動である条件:ＤＸ/ｄｔ＝0 はｄξ¹/ｄｔ＋ξ²ω₂¹/ｄｔ＝0,かつｄξ²/ｄｔ＋ξ¹ω₁²/ｄｔ＝0 ,すなわちｄξⁱ/ｄｔ＋Σ_j=1²ξ^jω_jⁱ/ｄｔ＝0 (ｉ＝1,2)と書けます。

そしてパラメータｔの変域を[ａ,ｂ]とすると,この常微分方程式の系は初期条件ξⁱ(ａ)＝αⁱの下で一意的な解を持つはずです。

ここまでを要約します。

(ｕ,ｖ)平面内の領域Ｄ上にリーマン計量ｄｓ²が与えられたとき,これを独立な１次微分形式θ¹,θ²によってｄｓ²＝θ¹θ¹＋θ²θ²と表現します。

θ¹,θ²に対応する基底ｅ₁,ｅ₂によって,接ベクトルＸを,Ｘ＝ξ¹ｅ₁＋ξ²ｅ₂と表現すると,曲線(ｕ(ｔ),ｖ(ｔ))に沿った共変微分ＤＸ/ｄｔ＝(ｄξ¹/ｄｔ＋ξ²ω₂¹/ｄｔ)ｅ₁＋(ｄξ²/ｄｔ＋ξ¹ω₁²/ｄｔ)ｅ₂がゼロの場合にＸはこの曲線に沿って平行であるという。

となります。

そして,すぐ前の記事でθ¹,θ²とは別の１次微分形式θ^¹,θ^²があってｄｓ²＝θ¹θ¹＋θ²θ²と同じようにｄｓ²＝θ^¹θ^¹＋θ^²θ^²と書けるとすれば,θ^¹＝ｓ¹₁θ¹＋ｓ¹₂θ²,θ^²＝ｓ²₁θ¹＋ｓ²₂θ²,すなわちＳ≡(ｓⁱ_j),θ^≡^t(θ^¹,θ^²),θ≡^t(θ¹,θ²)と置いてθ^＝Ｓθと表わすとき,Ｓが^tＳＳ＝Ｉを満たす直交行列になること,

そしてθ^¹,θ^²の双対基低をｅ^₁,ｅ^₂としてｅ^₁＝ｔ¹₁ｅ₁＋ｔ²₁ｅ₂,ｅ^₂＝ｔ¹₂ｅ₁＋ｔ²₂ｅ₂,すなわちＴ≡(ｔⁱ_j),ｅ^≡(ｅ^₁,ｅ^₂),ｅ≡(ｅ₁,ｅ₂)とｅ^＝ｅＴと表わせば,ＳＴ＝Ｉなる関係式が得られ^tＳ＝Ｓ^-1＝Ｔとなることがわかっています。

ξ≡^t(ξ¹,ξ²),ｅ≡(ｅ₁,ｅ₂)とした表現では,ＤＸ/ｄｔ＝(ｄξ¹/ｄｔ＋ξ²ω₂¹/ｄｔ)ｅ₁＋(ｄξ²/ｄｔ＋ξ¹ω₁²/ｄｔ)ｅ₂は,ＤＸ/ｄｔ＝ｅ{ｄξ/ｄｔ＋(Ω/ｄｔ)ξ}と書けます。

ｅ^＝ｅＴ＝ｅＳ^-1,およびＸ＝ｅξ＝ｅ^ξ^＝ｅＳ^-1ξ^とよりξ^＝Ｓξ,さらに第１構造式の不変性:ｄθ＝－Ω∧θ,ｄθ^＝－Ω^∧θ^の要求から,関係式Ω^＝ＳΩＳ^-1－ｄＳＳ^-1が得られます。

これを用いれば,ｅ^{ｄξ^/ｄｔ＋(Ω^/ｄｔ)ξ^}＝ｅＳ^-1{Ｓｄξ/ｄｔ＋(ｄＳ/ｄｔ)ξ＋(ＳΩＳ^-1/ｄｔ－ｄＳＳ^-1)Ｓξ}＝ｅ{ｄξ/ｄｔ＋(Ω/ｄｔ)ξ},すなわち,ＤＸ/ｄｔ＝ｅ^{ｄξ^/ｄｔ＋(Ω^/ｄｔ)ξ^}が成立することがわかります。

したがって,ＤＸ/ｄｔはリーマン計量ｄｓ²のみに依存し,ｄｓ²＝θ¹θ¹＋θ²θ²を満たすθ¹,θ²の選択には依りません。

「相対論の幾何学(第Ⅰ部－5:空間曲面(2))」では曲面ｒ(ｕ,ｖ)上の空間曲線ｒ(ｓ)≡ｒ(ｕ(ｓ),ｖ(ｓ))に対してｒ"(ｓ)≡ｄ²ｒ/ｄｓ²を点ｒ(ｓ)での曲面の接ベクトルｋ_gと法ベクトルｋ_nの和に分解してｒ”(ｓ)＝ｋ_g＋ｋ_nと書き,ｋ_gを曲線ｒ(ｓ)の測地的曲率ベクトル,ｋ_nを法曲率ベクトルと呼ぶと書きました。

そしてｋ_g＝0 ,すなわちｒ"(ｓ)＝ｋ_nとなるときにｒ(ｓ)を測地線と呼びました。ここではｋ_gが第１基本形式,すなわちリーマン計量だけで決まるベクトルで,したがって測地線もリーマン計量だけで決まることを示します。

まず,ｒ'(ｓ)≡ｄｒ/ｄｓを正規直交系(ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃)を用いてｒ'(ｓ)＝Σ_i=1²ξⁱｅ_iと書き,これをｓで微分するとｒ"(ｓ)＝Σ_i=1²(ｄξⁱ/ｄｓｅ_i＋ξⁱｄｅ_i/ｄｓ)＝Σ_i=1²(ｄξⁱ/ｄｓ＋Σ_j=1²ξⁱω_i^j/ｄｓ)ｅ_i＋Σ_i=1²(ξⁱω_i³/ｄｓ)ｅ₃です。

そこで,ｋ_g＝Σ_i=1²(ｄξⁱ/ｄｓ＋Σ_j=1²ξⁱω_i^j/ｄｓ)ｅ_i,ｋ_n＝Σ_i=1²(ξⁱω_i³/ｄｓ)ｅ₃となります。そしてＸ≡ｒ'(ｓ)と書けばｋ_g＝ＤＸ/ｄｓ,ｋ_n＝δＸ/ｄｓです。

すなわち,測地線曲率ベクトル:ｋ_gはｒ'(ｓ)の共変微分であり,ｒ(ｓ)が測地線であることはｋ_g＝0を意味しますから,Ｘ＝ｒ'(ｓ)に対しＤＸ/ｄｓ＝0 なること,つまり接ベクトルｒ'(ｓ)が曲線ｒ(ｓ)自身に平行であることを意味します。

ＤＸ/ｄｓ＝0 ,Ｘ＝Σ_i=1²ξⁱｅ_iはｕ,ｖに対する２階常微分方程式ですから,出発点ｕ(0)＝ｕ₀,ｖ(0)＝ｖ₀,および,その点における単位ベクトルＸ₀＝ξ₀¹ｅ₁＋ξ₀²ｅ₂が与えられたとき, Ｘ(0)＝Ｘ₀とする解として測地線(ｕ(ｓ),ｖ(ｓ))が存在して一意的に決まります。

こうして,３次元空間内の曲面ｒ(ｕ,ｖ)あるいは曲線ｒ(ｓ)という概念から離れて,(ｕ,ｖ)平面内の曲面(多様体)に対するものとして測地線が定義されることが言えます。

ｋ_g＝Σ_i=1²(ｄξⁱ/ｄｓ＋Σ_j=1²ξⁱω_i^j/ｄｓ)ｅ_i,ｋ_n＝Σ_i=1²(ξⁱω_i³/ｄｓ)ｅ₃を再考します。

ｒ'(ｓ)は単位ベクトルですから,ｅ₁(ｓ)≡ｒ'(ｓ)と定義し,このｅ₁に垂直で曲面に接するものをｅ₂とします。

ｅ₁からｅ₂へ回転する向きが,ｒ_uからｒ_vへ回転する向きになるように選べば,ｅ₁に対してｅ₂は一意的です。

ところが,(ｒ'(ｓ),ｒ'(ｓ))＝1をｓで微分すると(ｒ"(ｓ),ｒ'(ｓ))＝0 なので,ｒ"(ｓ)＝ｋ_g＋ｋ_nはｒ'(ｓ)＝ｅ₁と直交するため,ｋ_g＝κ_gｅ₂,ｋ_n＝κ_nｅ₃  (ただしｅ₃≡ｅ₁×ｅ₂)と書けます。

κ_gを測地的曲率,κ_nを法曲率と呼ぶことは既に述べた通りです。

この特別な正規直交標構:(ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃)ではκ_g＝(ｄｅ₁/ｄｓ,ｅ₂)＝ω₁²/ｄｓ(ｅ₂,ｅ₂)＝ω₁²/ｄｓとなります。

これは,ｋ_g＝Σ_i=1²(ｄξⁱ/ｄｓ＋Σ_j=1²ξⁱω_i^j/ｄｓ)ｅ_iで恒常的にξ¹＝1,ξ²＝0としても得られます。同様にκ_n＝ω₁³/ｄｓです。

以前に求めたように測地線の方程式は,ｄ²ｕ^k/ｄｓ²＋Σ_i,j=1²Γ^k_ij(ｄｕⁱ/ｄｓ)(ｄｕ^j/ｄｓ)＝0 です。ただし, Γ^k_ij＝(∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ^j,∂ｒ/∂ｕ^l)/(∂²ｒ/∂ｕ^k,∂ｒ/∂ｕ^l )＝ｇ_kl ^-1(∂ｇ_li/∂ｕ^j)＝(ｇ_kl ^-1/2)(∂ｇ_li/∂ｕ^j＋∂ｇ_lj/∂ｕⁱ)です。

ξⁱ＝ｄｕⁱ/ｄｓを代入すれば,ｄξ^k/ｄｓ＋Γ^k_ijξⁱξ^j＝0 ですが,これがＤＸ/ｄｓ＝0 ,Ｘ＝Σ_i=1²ξⁱｅ_iを示すｄξⁱ/ｄｓ＋Σ_j=1²ξⁱω_i^j/ｄｓ＝0 と同じ式であることは明らかです。

上記のことを要約します。

３次元空間内とは限らず,一般にリ－マン計量が付与された(ｕ,ｖ)の連続微分可能な関数で定義された曲面(多様体)があって,その上の各点Ｐ＝(ｕ,ｖ)で定義されたベクトル場Ｘ(Ｐ)があるとします。

そして,(ｕ,ｖ)平面での変位(ｕ,ｖ)→(ｕ＋Δｕ,ｖ＋Δｖ)に対応する曲面上の微小変位Ｐ→Ｑに対して,ベクトル場Ｘ(Ｐ)がＸ(Ｐ)→Ｘ(Ｐ)＋ΔＸ＝Ｘ(Ｑ)なる変動を受けるとき,この微小変動ΔＸを接平面成分ＤＸと法線成分δＸに分けてΔＸ＝ＤＸ＋δＸと書きます。

このとき,ＤＸを共変微分と呼び,特に接ベクトル場ですから元々接平面成分しか持たないＸ(Ｐ)の"共変微分＝変動の接平面成分"がゼロ,つまりＤＸ＝0 となるような特別な方向の変位:Ｐ→Ｑ＝(ｕ,ｖ)→(ｕ＋Δｕ,ｖ＋Δｖ)とそれに伴なうベクトル場の移動:Ｘ(Ｐ)→Ｘ(Ｐ)＋δＸ＝Ｘ(Ｑ)を平行移動と呼びます。

すなわち,こうした移動Ｐ→Ｑでは,その前後での点ＰとＱの接平面は異なりますから,それらをそれぞれΠ_P,Π_Qで表わすとＸ(Ｐ)はΠ_P上のベクトル,Ｘ(Ｑ)はΠ_Q上のベクトルです。

そして,特に,移動後のＸ(Ｑ)のΠ_P成分はＸ(Ｐ)と同じで,全く不変であって,Ｘ(Ｑ)がＸ(Ｐ)と異なるのはΠ_Pに垂直な軸の成分だけの場合には,この移動を平行移動と呼ぶわけです。

そして,曲線パラメータを時刻ｔに取ったとき,Ｘ(Ｐ)がＰにおける速度を示す場合,すなわちＸ(Ｐ)＝ｄｒ/ｄｔの場合には,移動によって速度が変わらない平行移動の向きの軌跡(力学だと無重力のような外力のない慣性の法則に従う運動の軌跡)を測地線と呼びます。

短かいですが今日はここで終わります。

参考文献:小林昭七 著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房)

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今日は記念日

　不謹慎かもしれないし,実はペンタゴンかＣＩＡか,ブッシュ大統領とその側近,あるいは"死の商人"につながるようなラディン一族などのサウジ資本とも関わる陰謀かもしれませんが,とりあえず今日は"アメリカ合衆国本土爆撃記念日"であり,かつ"小泉郵政選挙大勝記念日"でもあるというわけで,ある意味では対照的な"記念日"であったのですね。

　この日を起点として,結局は内政干渉の最たるもの爆撃という形でアフガンとイラクで無辜の民を殺戮するという某大国を中心とした侵略戦争が始まったわけです。

　昨今では未だに元防衛閣僚の総裁候補などが,"世界が戦っているときにわが国だけが見ているだけでいいのか？"というような「世界,あるいは正義を守る警察＝アメリカ合衆国」というアナクロな認識に基づく主張を繰り返していると感じましたね。

　日本のような体制の国に住んでいるなら,例えばＮＧＯとかに属しているような人々と,こうした人々も含めた国民全体を管理,支配している国家権力とを混同したりはしないでしょうが,他国には国家も人民も同根だと考える人がいっぱいいるということを忘れないで欲しいと思いますね。。。　

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箱の中の粒子の運動量について(決着版)

　私がサブマネージャーをしていますが,参加してはいなかったfolomy「物理フォーラム」での「箱の中の粒子の運動量」という題目での１年以上続いている長い論争？ http://folomy.jp/heart/?m=pc&a=page_c_topic_detail&target_c_commu_topic_id=1468&comment_count=628　に決着がついたというか,決着をつけたので,場違いですがここで総括をします。

まず,位置座標としてはｘだけに依存する一般的な１次元の量子力学の問題を定式化します。

系のハミルトニアンを作用素としてＨ^＝ｐ^²/(2ｍ)＋Ｖ^と書き,それによって定まる状態ベクトルを|ψ＞とすると,|ψ＞が定常状態の場合のシュレーディンガー方程式(Schrödinger方程式)はＨ^|ψ＞＝Ｅ|ψ＞という固有値問題になります。

これをｘ表示で書くため,両辺の左からｘ^の固有ブラ＜ｘ|を掛けると＜ｘ|Ｈ^|ψ＞＝Ｅ＜ｘ|ψ＞ですが,さらに左辺に|ｘ＞の完全性を示す恒等式∫ｄｘ₁|ｘ₁＞＜ｘ₁|＝１を挿入すると,∫ｄｘ₁＜ｘ|Ｈ^|ｘ₁＞＜ｘ₁|ψ＞＝Ｅ＜ｘ|ψ＞となります。

＜ｘ|Ｈ^|ｘ₁＞＝＜ｘ|ｐ^²/(2ｍ)＋Ｖ^|ｘ₁＞＝{1/(2ｍ)}＜ｘ|ｐ^²|ｘ₁＞＋＜ｘ|Ｖ^|ｘ₁＞ですが,一般にｘ表示での行列要素＜ｘ|Ｖ^|ｘ₁＞はポテンシャルと呼ばれる対角要素Ｖ(ｘ)によって,＜ｘ|Ｖ^|ｘ₁＞＝Ｖ(ｘ₁)δ(ｘ－ｘ₁)なる形に対角化されます。

また,＜ｘ|ｐ^|ｘ₁＞もｘ表示の１次元のシュレーディンガー表現ではｐ^＝－iｈ_cｄ/ｄｘなので,＜ｘ|ｐ^|ｘ₁＞＝δ(ｘ－ｘ₁)(－iｈ_cｄ/ｄｘ₁)という形に書けます。

ここでｈ_c≡ｈ/(2π)はプランク定数です。

そこで,結局＜ｘ|Ｈ^|ｘ₁＞＝δ(ｘ－ｘ₁)Ｈ(ｘ₁,－iｈ_cｄ/ｄｘ₁)＝δ(ｘ－ｘ₁)[(－iｈ_cｄ/ｄｘ₁)²/(2ｍ)＋Ｖ(ｘ₁)]と書けます。

それ故,シュレーディンガーの波動方程式は∫ｄｘ₁＜ｘ|Ｈ^|ｘ₁＞＜ｘ₁|ψ＞＝Ｅ＜ｘ|ψ＞によって,Ｈ(ｘ,－iｈ_cｄ/ｄｘ)＜ｘ|ψ＞＝Ｅ＜ｘ|ψ＞なる形に帰着します。

ただし,Ｈ(ｘ,－iｈ_cｄ/ｄｘ)≡(－iｈ_cｄ/ｄｘ)²/(2ｍ)＋Ｖ(ｘ)＝{－ｈ_c²/(2ｍ)}(ｄ²/ｄｘ²)＋Ｖ(ｘ)です。これをｘ表示のハミルトニアンといいます。

そこで,＜ｘ|ψ＞を状態:|ψ＞のｘ表示,つまり波動関数と考えてψ(ｘ)≡＜ｘ|ψ＞と定義すれば,元々の歴史的に馴染み深い形の波動方程式:Ｈ(ｘ,－iｈ_cｄ/ｄｘ)ψ(ｘ)＝{－ｈ_c²/(2ｍ)}(ｄ²ψ(ｘ)/ｄｘ²)＋Ｖ(ｘ)ψ(ｘ)＝Ｅψ(ｘ)が再現されます。

この形で,１次元の箱の中の粒子の問題を考えます。

この問題での系は,ランダウ(Landau & Lifschitz)の教科書「量子力学１」の設定によれば,ｘ∈[0,ａ]ではＶ(ｘ)＝0 ,￢ｘ∈[0,ａ]ではＶ(ｘ)＝∞なるポテンシャルＶ(ｘ)で規定されるものです。

そこで,物理的にも,数学的に考えても,Ｖ(ｘ)＝∞なる領域:￢ｘ∈[0,ａ]においては,確率振幅を示す波動関数の値はゼロ:ψ(ｘ)＝＜ｘ|ψ＞＝0 であると考えざるを得ません。

そして箱の境界:ｘ＝0,ｘ＝ａでもψ(ｘ)＝0 であって波動関数が連続である,という合理的,かつ２階常微分方程式を解くのに,必要十分な境界条件の下で,波動方程式を解けば,ψ(ｘ)＝ψ_n(ｘ)＝(2/ａ)^1/2sin(ｋ_nｘ)なる解が得られます。

ただし,ｋ_n≡ｎπ/ａで各々のｋ_nは,Ｈψ_n＝Ｅ_nψ_n,Ｅ_n＝ｈ_c²ｋ_n²/(2ｍ)(ｎ＝1,2,..)なる条件を満たす値です。

そして,＜ψ_n|ψ_n＞＝∫ｄｘ＜ψ_n|ｘ＞＜ｘ|ψ_n＞＝∫ｄｘψ_n^*(ｘ)ψ_n(ｘ)＝１となるように規格化されています。

すぐ前の関連記事の最後では,"そもそも粒子がエネルギーＥ_n＝ｐ_n²/(2ｍ)に属する定常状態にあって,波動関数がψ_n(ｘ)＝(2/ａ)^1/2sin(ｐ_nｘ/ｈ_c)で与えられる場合を考えると,ｘによる１回の微分ごとにsin関数とcos関数が入れ替わるので,ｋが奇数であればψ_n(ｘ)はｘ表示でのｐ^^k＝(－iｈ_cｄ/ｄｘ)^kの固有関数ではありません。

しかしｋが偶数ならｐ^^kψ_n(ｘ)＝(－iｈ_cｄ/ｄｘ)^kψ_n(ｘ)＝ｐ_n^kψ_n(ｘ)です。そこで,ψ_n(ｘ)はｐ^^kの固有値ｐ_n^kに属します。

しかも,これはエネルギー固有値Ｅ＝Ｅ_nにも属する同時的固有関数ですから,この状態ではｐ^^kはｐ_n^kに完全に確定しており,期待値＜ｐ^^k＞がｐ_n^kに一致することは初めから明らかです。

したがって運動量表示であろうと何であろうと,それを用いた計算によってｐ^^kの期待値が有限でなく発散するようであれば,それは計算方法のどこかに間違いがあると思われます。"と書きました。

この時点では,後に誤りであると裁定したランダウのテキストはずいぶん昔に通読した覚えがあるだけで,当該の問題について詳しく考えたという記憶もありませんでした。

そこで,次は問題となっている,定常状態|ψ_n＞のｘ表示の関数ψ_n(ｘ)＝＜ｘ|ψ_n＞に対応する運動量波動関数:＜ｐ|ψ_n＞について考察してみましょう。

|ｐ＞はもちろんｐ^|ｐ＞＝ｐ|ｐ＞を満たす,運動量固有状態の固有ベクトルです。

運動量波動関数は,ランダウの本では添字ｎが１の場合だけを考察しているのでａ(ｐ)となっていますが,ここでは添字ｎを考慮してａ_n(ｐ)＝＜ｐ|ψ_n＞と書くことにします。

さて一般的問題としては,Ｈ^＝ｐ^²/(2ｍ)＋Ｖ^のときに＜ｐ|[Ｈ^－{ｐ^²/(2ｍ)＋Ｖ^}]|ψ＞＝0 という式は自明な恒等式ですから,|ψ＞に|ψ_n＞を代入しても成立します。

そして|ψ＞に|ψ_n＞を代入した式に,さらにＨ^|ψ_n＞＝Ｅ_n|ψ_n＞と＜ｐ|ｐ^＝＜ｐ|ｐを代入します。後者はｐ^がエルミート演算子であれば成立します。

すると＜ｐ|[Ｈ^－{ｐ^²/(2ｍ)＋Ｖ^}]|ψ_n＞＝0 は{Ｅ_n－ｐ²/(2ｍ)}＜ｐ|ψ_n＞＋＜ｐ|Ｖ^|ψ_n＞＝0 となります。

右辺の項＜ｐ|Ｖ^|ψ_n＞は,＜ｐ|Ｖ^|ψ_n＞＝∫ｄｘ₁ｄｘ₂＜ｐ|ｘ₁＞＜ｘ₁|Ｖ^|ｘ₂＞＜ｘ₁|ψ_n＞＝∫ｄｘ＜ｐ|ｘ＞Ｖ(ｘ)ψ_n(ｘ)と変形できます。

ｘの積分区間(－∞,∞)のうちで,ｘ∈[0,ａ]においてはＶ(ｘ)＝0です。また,それ以外の領域￢ｘ∈[0,ａ]では,Ｖ(ｘ)＝∞ ですが,ψ_n(ｘ)＝0 です。

そもそも,波動関数解ψ(ｘ)が￢ｘ∈[0,ａ]なる領域ではゼロになるべきであることを要求した理由は,そこでも波動方程式{－ｈ_c²/(2ｍ)}(ｄ²ψ(ｘ)/ｄｘ²)＋Ｖ(ｘ)ψ(ｘ)＝Ｅψ(ｘ)が成立するためです。

波動方程式の項を移項して,Ｖ(ｘ)ψ(ｘ)＝{ｈ_c²/(2ｍ)}(ｄ²ψ(ｘ)/ｄｘ²)＋Ｅψ(ｘ)なる形に書くと,ｘ∈[0,ａ]以外のψ(ｘ)が恒等的にゼロである領域では,右辺がゼロなので,左辺のＶ(ｘ)ψ(ｘ)もゼロであるべきです。

したがって,Ｖ(ｘ)＝∞で,かつψ(ｘ)＝0 ですから一般にはＶ(ｘ)ψ(ｘ)の値は不定で全く評価不可能なのですが,今の場合は物理的に考えて,これをゼロと考えるのが妥当であると思われます。

すると,積分区間,(－∞,∞)全体でＶ(ｘ)ψ(ｘ)＝0 と考えることができます。

さらに係数:＜ｐ|ｘ＞も別に特異な関数ではなく有限ですから,どこかに関数とはいえない超関数のようなものを無理に想定しない限り,＜ｐ|Ｖ^|ψ_n＞＝∫ｄｘ＜ｐ|ｘ＞Ｖ(ｘ)ψ_n(ｘ)＝0 としてよいです。

以上から,常識的に考えると{Ｅ_n－ｐ²/(2ｍ)}＜ｐ|ψ_n＞＝0 なる等式が成立することがわかります。

この式によれば,Ｅ_n－ｐ²/(2ｍ)≠0 なら＜ｐ|ψ_n＞＝0 でなければならないのでｐ²/(2ｍ)＝Ｅ_nを満たすｎごとに,２つの運動量値:ｐ＝±ｐ_n,ｐ_n＝ｈ_cｋ_n＝ｎπｈ_c/ａ(ｎ＝1,2,..)以外ではａ_n(ｐ)＝＜ｐ|ψ_n＞＝0 となるべきです。

したがって,定常状態を展開すべき,運動量ｐの関数としての運動量波動関数:ａ_n(ｐ)＝＜ｐ|ψ_n＞は,ｎを固定すると,離散的な値ｐ＝±ｐ_n以外ではゼロの関数であると結論されます。

ところが,ランダウの教科書の演習問題によればａ_n(ｐ)＝＜ｐ|ψ_n＞＝∫_-∞^∞ｄｘ＜ｐ|ｘ＞＜ｘ|ψ_n＞＝∫₀^a＜ｘ|ｐ＞^*ψ_n(ｘ)ｄｘにψ_n(ｘ)＝(2/ａ)^1/2sin(ｐ_nｘ/ｈ_c),＜ｘ|ｐ＞＝(2πｈ_c)^-1/2exp(iｐｘ/ｈ_c)を代入して,ａ_n(ｐ)を計算しています。

そして,運動量ｐがｐ～ｐ＋ｄｐに存在する確率として|ａ_n(ｐ)|²ｄｐ/(2πｈ_c)＝(4πｈ_c²ａ){cos²{ｐａ/(2ｈ_c)}/(ｐ²ａ²－ｎ²π²)²}ｄｐ＝(4πｈ_c²ａ){cos²{ｐａ/(2ｈ_c)}/(ｐ²ａ²－ｐ_n²ａ²)²}ｄｐなる式を求めています。

この関数は,確かにｐ＝±ｐ_nでは絶対値がピークを取りますが,それ以外のｐでもゼロであるというわけではありません。

この関数の評価については,2008年８月14日の記事「三角関数を含むある関数の定積分」で詳細に考察しています。

確率分布:|ａ_n(ｐ)|²ｄｐ/(2πｈ_c)に基づいて,期待値:＜ｐ^^k＞を計算すると,ｋが奇数のときは確かにゼロになります。

しかし,ｋが偶数のときは,ｋ＝２のときはｐ_n^kに一致しますが,ｋが４以上の偶数では,この期待値は ∞ に発散して,ｐ_n^kには一致しないという矛盾が生じる結果が得られることがわかりました。

そこで,上で書いたように,計算方法か考え方のどこかに間違いがあるはずです。

ただ,この過去記事を書いた当時は,微妙な物理学の問題にはタッチせず,純粋に数学の問題として,積分の計算だけを考察したのでした。

ｘ表示をｐ表示に変換した際の式変形のプロセスが,全て同値変形だと思っていましたが,同じ物理量の期待値が一致しないということは,どこかに両者が同値ではない不連続な論理の飛躍があることが,こうした矛盾の原因でしょうね。

そこで,突き詰めると,ａ_n(ｐ)＝＜ｐ|ψ_n＞＝∫₀^a＜ｘ|ｐ＞^*ψ_n(ｘ)ｄｘ,ψ_n(ｘ)＝(2/ａ)^1/2sin(ｐ_nｘ/ｈ_c),＜ｘ|ｐ＞＝(2πｈ_c)^-1/2exp(iｐｘ/ｈ_c)から,ｐ≠±ｐ_n (ｐ²/(2ｍ)≠Ｅ_n)でもａ_n(ｐ)＝＜ｐ|ψ_n＞≠0 を得た定式化と,

＜ｘ|Ｈ^|ψ_n＞＝Ｅ_n＜ｘ|ψ_n＞であって,ｘ∈[0,ａ]ではＨ^＝ｐ^²/(2ｍ),かつ{Ｅ_n－ｐ²/(2ｍ)}＜ｐ|ψ_n＞＝0 なので,ｐ≠±ｐ_n (ｐ²/(2ｍ)≠Ｅ_n)では,ａ_n(ｐ)＝＜ｐ|ψ_n＞＝0 であるべきという定式化との間にどういう矛盾があるか？を探せばいいだけです。

そして,間違いがあるなら,それはランダウの演習問題の解の方にあるはずです。

この中で疑問があるとしたら,運動量固有状態|ｐ＞とそれに対するｘ表示の固有関数＜ｘ|ｐ＞＝(2πｈ_c)^-1/2exp(iｐｘ/ｈ_c)で,これを代入したという部分だけですね。

古典的かつ非相対論的にはｐ＝ｍｖですが,さらに自由粒子だとすれば,Ｅ＝ｐ²/(2ｍ)＝ｍｖ²/2で外力のポテンシャルＶがゼロで一定速度ｖで慣性運動をしているだけです。

そこで,量子論では,この粒子の時間を含んだ運動量の固有状態|ｐ,ｔ＞の"波動関数＝ｘ表示"は＜ｘ|ｐ,ｔ＞＝＜ｘ,ｔ|ｐ＞＝Ｃexp[{iｐｘ－iｐ²ｔ/(2ｍ)}/ｈ_c]＝Ｃ∫exp{(iｐｘ－iＥｔ)/ｈ_c]δ(Ｅ－ｐ²/(2ｍ))ｄＥですね。

Ｅ(ｐ)≡ｐ²/(2ｍ)と定義して|ｐ,ｔ＞＝|ｐ＞exp{－iＥ(ｐ)ｔ/ｈ_c}と書けば空間部分|ｐ＞だけでなく,時間依存の位相部分exp{－iＥ(ｐ)ｔ/ｈ_c}もまたｐの関数ですね。

つまり,運動量ｐが増えれば連動して運動エネルギーＥ(ｐ)が増えるのでＥ(ｐ)が一定の定常状態になるのは,一方の係数がゼロの場合も含めて,状態が|ｐ＞と|－ｐ＞の重ね合わせになるときだけです。

当たり前のことですが,"振動数が一定＝エネルギーが一定"の場合,すなわち,定常状態ψ(ｘ,ｔ)＝ψ(ｘ)exp(－iＥｔ)なら位相部分は確率には無関係で|ψ(ｘ,ｔ)|²＝|ψ(ｘ)|²です。

しかし,エネルギーが一定でない非定常状態なら最も単純な重ね合わせ:ψ(ｘ,ｔ)＝ψ₁(ｘ)exp(－iＥ₁ｔ)＋ψ₂(ｘ)exp(－iＥ₂ｔ)でさえ,確率密度として|ψ(ｘ,ｔ)|²を計算するとき"位相部分＝時間依存部分"の干渉が効いてきます。

そしてｘ表示の運動量演算子:ｐ^＝－iｄ/ｄｘの固有状態の時間依存を陽に書いた波動関数はφ_ｐ(ｘ,ｔ)≡＜ｘ,ｔ|ｐ＞＝＜ｘ|ｐ＞exp{－iＥ(ｐ)ｔ/ｈ_c}＝Ｃexp[{iｐｘ－iｐ²ｔ/(2ｍ)}/ｈ_c]となります。

一方,時間依存を陽に書いた定常状態|ψ_n＞のｘ表示波動関数はψ_n(ｘ,ｔ)＝＜ｘ,ｔ|ψ_n＞＝＜ｘ|ψ_ｎ＞exp{－iＥｔ/ｈ_c}＝ψ_n(ｘ)exp{－iＥｔ/ｈ_c}＝(2/ａ)^1/2sin(ｐ_nｘ/ｈ_c)exp{－iｐ_n²ｔ/(2ｍｈ_c)}となりますね。

元々のランダウの本に書いてあるａ_n(ｐ)＝＜ｐ|ψ_n＞＝∫₀^a＜ｘ|ｐ＞^*ψ_n(ｘ)ｄｘ,ψ_n(ｘ)＝(2/ａ)^1/2sin(ｐ_nｘ/ｈ_c),＜ｘ|ｐ＞＝(2πｈ_c)^-1/2exp(iｐｘ/ｈ_c)は,時間依存部分の干渉を無視し,エネルギー保存などの物理的制約もない,単なる数学的なフーリエ積分ですね。

しかし,状態空間の母体であるヒルベルト空間の中でも,自由粒子のハミルトニアンであれ何であれ,少なくとも物理的境界条件を満たす波動方程式の解のみで構成される１つの完全系の状態関数の空間に問題を限定すべきでしたね。

(今の場合,境界条件というのは粒子が有限領域に閉じ込められているということです。自由粒子ではなく,[Ｈ,ｐ^]≠0 ですから定常状態でかつがｐ^の固有関数ということは不可能です。

しかし,[Ｈ,ｐ^²]＝0 なのでｐ^の偶数ベキであれば,"期待値＝固有値"を定常状態の問題として扱えます。)

ランダウの表現でも,ａ_n(ｐ,ｔ)＝＜ｐ,t|ψ_n＞＝∫₀^a＜ｘ,ｔ|ｐ,ｔ＞^*ψ_n(ｘ,ｔ)ｄｘのような展開をすれば,少しはましな計算ができるのではないかと考えられます。

実際,ｘ∈[0,ａ]ならψ_n(ｘ)＝(2/ａ)^1/2sin(ｐ_nｘ/ｈ_c)＝(－i)(2ａ)^-1/2[exp(iｐ_nｘ/ｈ_c)－exp(－iｐ_nｘ/ｈ_c)]で,￢ｘ∈[0,ａ]ならψ_n(ｘ)＝0 なので,ψ_n(ｘ)は,元々,運動量固有値が±ｐ_nの運動量固有状態の単純な代数和の形をしています。

以上,この教育的な１問題の考察は,これ以上の具体的計算は省略して,これで封印します。

参考文献:ランダウ,リフシッツ著「量子力学１(改訂新版)」(東京図書)

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相対論の幾何学(第Ⅰ部-10:曲面上の幾何(2)

　さて,相対論の幾何学の続きです。

前回の最後では,θ¹∧θ²が,θ¹∧θ²＝(ＥＧ－Ｆ²)^1/2ｄｕ∧ｄｖで表わされ,ω₂¹がω₂¹＝[(∂Ｅ^1/2/∂ｖ)Ｅ^1/2＋(∂(ＦＥ^-1/2)/∂ｖ＋∂{(ＥＧ－Ｆ²)^1/2Ｅ^-1/2}/∂ｕ)ＦＥ^-1/2]ｄｕ/(ＥＧ－Ｆ²)^1/2＋(∂(ＦＥ^-1/2)/∂ｖ＋∂{(ＥＧ－Ｆ²)^1/2Ｅ^-1/2}/∂ｕ)Ｅ^-1/2ｄｖと表わされることを見ました.

そこで,ω₂¹の表式の両辺の外微分を取って,ｄω₂¹＝ｆｄｕ∧ｄｖなる形式を求め,それをθ¹∧θ²＝(ＥＧ－Ｆ²)^1/2ｄｕ∧ｄｖで割り算をすれば,ｄω₂¹＝Ｋθ¹∧θ²に従うＫが得られるはずですが,外微分ｄω₂¹の具体的計算については疲れたのでPendingであると書きました。

結局,今回も続きを実行する気力が湧かないので取りやめます。

　ずっと以前の記述では,第１基本形式:Ｉ≡(ｄｒ,ｄｒ)＝Ｅｄｕｄｕ＋2Ｆｄｕｄｖ＋Ｇｄｖｄｖと第２基本形式:Π≡－(ｄｒ,ｄｅ)＝－(ｒ_uｄｕ＋ｒ_vｄｖ,ｅ_uｄｕ＋ｅ_vｄｖ)＝Ｌ(ｄｕｄｕ)＋2Ｍ(ｄｕｄｖ)＋Ｎ(ｄｖｄｖ)の両方からガウスの曲率:Ｋ＝κ₁κ₂,平均曲率:Ｈ＝(κ₁＋κ₂)/2を求めました。

　そして,既にこれらがＫ＝(ＬＮ－Ｍ²)/(ＥＧ－Ｆ²),Ｈ＝(ＥＮ＋ＧＬ－2ＦＭ)/{2(ＥＧ－Ｆ²)}なる具体的な式で得られることを見ました。

しかし,今の場合,具体的に計算しなくても,少なくともＫは第２基本形式に無関係に,"第１基本形式＝リーマン計量(Riemannian metric)":ｄｓ²＝ｇ_ijｄｕⁱｄｕ^j＝Ｅｄｕｄｕ＋2Ｆｄｕｄｖ＋Ｇｄｖｄｖだけから得られることがわかりましたから,それだけで満足して具体的な陽な形を再現する計算はサボったまま先に進みます。

さて,以前にも空間曲面のベクトルについての概略的な話の途中で空間のベクトル場を定義して,その概念を説明しました。

まず,その部分の再掲も含めて再び説明します。

(ｕ,ｖ)平面内の領域Ｄで連続微分可能なｕ,ｖの任意関数ξ＝ξ(ｕ,ｖ),η＝η(ｕ,ｖ)に対して,Ｘ_(ξ,η)≡ξ(∂/∂ｕ)＋η(∂/∂ｖ)なる形の微分演算子(方向微分)全体の集合を(ｕ,ｖ)空間のベクトル場と定義します。

これは(∂/∂ｕ),(∂/∂ｖ)を基底とする２次元の"線型空間＝ベクトル空間"を作ることがわかります。

この空間では,(∂/∂ｕ),(∂/∂ｖ)を基底として,ξ,ηはベクトルξ(∂/∂ｕ)＋η(∂/∂ｖ)の成分を表わすと考えられるので,このベクトルを成分表示で(ξ,η)と書くことができます。

こうした微分演算子表現のベクトルを点(ｕ,ｖ)における接ベクトル呼び,この形の接ベクトル全体の作る２次元ベクトル空間を点(ｕ,ｖ)での接空間と呼びます。

また,領域Ｄの各点(ｕ,ｖ)における関数ξ,ηで定義されたＸ_(ξ,η)≡ξ(∂/∂ｕ)＋η(∂/∂ｖ)全体をＤ上の接ベクトル場と呼びます。こう呼ぶ理由は次の通りです。

すなわち,パラメータｔで表わされたＤ内の曲線(ｕ(ｔ),ｖ(ｔ))が任意に与えられたとき,この曲線に沿ってＤ内の関数ｆ(ｕ,ｖ)をｔで微分すると,ｄｆ/ｄｔ＝ (∂ｆ/∂ｕ)(ｄｕ/ｄｔ)＋(∂ｆ/∂ｖ)(ｄｖ/ｄｔ)＝Ｘｆ;ただし,Ｘ≡(ｄｕ/ｄｔ)(∂/∂ｕ)＋(ｄｖ/ｄｔ)(∂/∂ｖ)と表わされます。

上に定義された微分演算子Ｘは,成分表示で(ｄｕ/ｄｔ,ｄｖ/ｄｔ)のベクトル場の表現に一致しています。

ところが,(ｄｕ/ｄｔ,ｄｖ/ｄｔ)を成分とする２次元ベクトルは,正に曲線(ｕ(ｔ),ｖ(ｔ))のｔにおける通常の意味での接ベクトルを示しています。

一方,任意に与えられたξ,ηに対して微分方程式ｄｕ/ｄｔ＝ξ,ｄｖ/ｄｔ＝ηの解としての曲線(ｕ(ｔ),ｖ(ｔ))の存在は存在定理によって保証されているので,結局,任意の(ξ,η)＝Ｘ_(ξ,η)＝ξ(∂/∂ｕ)＋η(∂/∂ｖ)をＤ上の接ベクトルと同一視できるわけです。

一方,１次微分形式(1-form)φ^(ｆ,g)≡ｆｄｕ＋ｇｄｖの全体もｄｕ,ｄｖを基底とする２次元の線型空間(ベクトル空間)を作ります。

そしてＸ_(ξ,η)とφ^(ｆ,g)に対してφ(Ｘ)≡ｆξ＋ｇηなる積演算を定義し,これをベクトル(ｆ,ｇ)とベクトル(ξ,η)の１つの内積と考えることにします。

こうすれば,内積φ(Ｘ)によって,ベクトル(ｆ,ｇ)＝ｆｄｕ＋ｇｄｖは対応する接空間のベクトル(ξ,η)＝ξ(∂/∂ｕ)＋η(∂/∂ｖ)に双対なべクトルであると考えることができます。

そこで１次微分形式φ＝ｆｄｕ＋ｇｄｖ全体の作る空間を接空間に双対な空間であるという意味で余接空間と呼びます。

以下ではこの内積φ(Ｘ)を＜φ,Ｘ＞と書きます。

任意のＤ内の関数ｆ(ｕ,ｖ)と接ベクトルＸ＝ξ(∂/∂ｕ)＋η(∂/∂ｖ)に対してＸ[ｆ]＝ξ(∂ｆ/∂ｕ)＋η(∂ｆ/∂ｖ)＝ｄｆ/ｄｔももちろんＤの関数です。

そして,ｆの"全微分＝外微分"を示す１次微分形式:ｄｆ＝(∂ｆ/∂ｕ)ｄｕ＋(∂ｆ/∂ｖ)ｄｖと接ベクトルＸに関して,上の記法を用いると＜ｄｆ,Ｘ＞＝Ｘ[ｆ]と書けることがわかります。

さて,１次微分形式と接ベクトル場の内積の定義から１次独立な１次微分形式:θⁱ＝ａⁱ₁ｄｕ＋ａⁱ₂ｄｖ(ｉ＝1,2)が与えられたとき,ベクトル場ｅ_j(ｊ＝1,2)がｅ_j≡ｂ_j¹(∂/∂ｕ)＋ｂ_j²(∂/∂ｖ)で与えられると仮定すると,θⁱ(ｅ_j)＝＜θⁱ,ｅ_j＞＝Σ_k=1²ａⁱ_kｂ_j^k(ｉ,ｊ＝1,2)と書けます。

そこで,θ¹＝ａ¹₁ｄｕ＋ａ¹₂ｄｖとθ²＝ａ²₁ｄｕ＋ａ²₂ｄｖが１次独立であるという仮定により,θ¹,θ²をｄｕ,ｄｖで表わした^t(θ¹,θ²)＝Ａ^t(ｄｕ,ｄｖ)の係数行列Ａはその行列式:detＡがゼロでなく,逆行列Ａ^-1を持つため,θⁱ(ｅ_j)＝＜θⁱ,ｅ_j＞＝Σ_k=1²ａⁱ_kｂ_j^k＝δⁱ_jを満たすｂ_j^k(ｊ,ｋ＝1,2)が一意的に決まると結論されます。

こうした関係にあるｅ₁,ｅ₂とθ¹,θ²は双対基と呼ばれます。

リーマン計量がＤ上の1次独立な１次微分形式θ¹,θ²によってｄｓ²＝θ¹θ¹＋θ²θ²と表わされるとき,θ¹,θ²の双対基となる接ベクトルをｅ₁,ｅ₂とします。

一方,任意の２つの接ベクトルが,Ｘ＝ξ¹ｅ₁＋ξ²ｅ₂,Ｙ＝η¹ｅ₁＋η²ｅ₂と表現される場合,ＸとＹの内積を(Ｘ,Ｙ)≡ξ¹η¹＋ξ²η²で定義しＸの長さ:|Ｘ|を|Ｘ|≡(Ｘ,Ｘ)^1/2で定義します。

つまり,(ｅ_i,ｅ_j)＝δ_ijとなってｅ₁,ｅ₂が正規直交基底をなすように内積を定義するわけです。

前記事で定義したように,θ¹,θ²とは別のｄｕ,ｄｖの１次微分形式θ^¹,θ^²があってｄｓ²＝θ¹θ¹＋θ²θ²と同じようにｄｓ²＝θ^¹θ^¹＋θ^²θ^²と書けるとします。

θ^¹,θ^²はθ¹,θ²と同じｄｕ,ｄｖの１次微分形式であり,θ¹,θ²は１次独立なので,θ^₁＝ｓ¹₁θ₁＋ｓ¹₂θ₂,θ^₂＝ｓ²₁θ₁＋ｓ²₂θ₂と書けるはずです。

これは列ベクトル,θ^≡^t(θ^₁,θ^₂),θ≡^t(θ₁,θ₂)による行列形式でθ^＝Ｓθ(θ^_i＝Σ_jｓ^j_iθ_j)と書けます。ここにＳ≡(ｓⁱ_j)です。

ここで,ｄｓ²＝^tθ^θ^＝^tθθですから,^tＳＳ＝Ｉが成立するため,Ｓは直交行列です。

そしてθ¹,θ²と同じくθ^¹,θ^²の双対基底をｅ^₁,ｅ^₂としｅ^₁＝ｔ¹₁ｅ₁＋ｔ²₁ｅ₂,ｅ^₂＝ｔ¹₂ｅ₁＋ｔ²₂ｅ₂と書けば,これは行ベクトルｅ^≡(ｅ^₁,ｅ^₂),ｅ≡(ｅ₁,ｅ₂)による行列形式でｅ^＝ｅＴ(ｅ^_i＝Σ_jｔ^j_iｅ_j)と書けます。ここにＴ≡(ｔⁱ_j)です。

そして,＜θ^ⁱ,ｅ^_j＞＝＜θⁱ,ｅ_j＞＝δⁱ_jより,ＳＴ＝Ｉなる関係式が得られます。

したがって,^tＳＳ＝Ｉ,およびＳＴ＝Ｉから^tＳ＝Ｓ^-1＝Ｔです。そこで,Ｔも直交行列であることがわかるのでｅ^₁,ｅ^₂もまた正規直交基底となることが示されます。

それ故,任意のベクトル場Ｘ＝ξ¹ｅ₁＋ξ²ｅ₂＝ξ^¹ｅ^₁＋ξ^²ｅ^₂とＹ＝η¹ｅ₁＋η²ｅ₂＝η^¹ｅ^₁＋η^²ｅ^₂に対して,常にξ¹η¹＋ξ²η²＝ξ^¹η^¹＋ξ^²η^²が成立します。

よって,長さｄｓ²＝θ¹θ¹＋θ²θ²と同じく,内積の定義:(Ｘ,Ｙ)≡ξ¹η¹＋ξ²η²もリーマン計量だけで決まり,θ¹,θ²の選択にはよらないことがわかりました。

ところで,Ｄ上に,任意の２つのベクトル場Ｘ＝Σ_iξⁱ(∂/∂ｕⁱ),Ｙ＝Σ_iηⁱ(∂/∂ｕⁱ)があるとき,記号[Ｘ,Ｙ]で示される演算を,Ｄ上の任意関数ｆに対して[Ｘ,Ｙ]ｆ＝Ｘ(Ｙｆ)－Ｙ(Ｘｆ)なる操作によって定義します。

すると,[Ｘ,Ｙ]ｆ＝Σ_j[Σ_i{ξⁱ(∂η^j/∂ｕⁱ)－ηⁱ(∂ξ^j/∂ｕⁱ)}](∂ｆ/∂ｕⁱ),すなわち,[Ｘ,Ｙ]＝ＸＹ－ＹＸ＝Σ_j[Σ_i{ξⁱ(∂η^j/∂ｕⁱ)－ηⁱ(∂ξ^j/∂ｕⁱ)}](∂/∂ｕⁱ)となりますから,[Ｘ,Ｙ]もまた１つの接ベクトル場になることがわかります。

この定義を用いると,任意の３つの接ベクトル場Ｘ,Ｙ,Ｚについてヤコービの恒等式:[[Ｘ,Ｙ],Ｚ]＋[[Ｙ,Ｚ],Ｘ]＋[[Ｚ,Ｘ],Ｙ]＝0 が成立することを容易に示すことができますが,これの証明は省略します。

短かいですが今日はここで終わります。 

参考文献:小林昭七 著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房)

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上品な奴!!

　行きつけの飲み屋などで悪酔いもしないで上品で誰にも優しい頭のいい人などと評価されて内心ほくそえんで,いつも落ち着いた様子で斜にかまえて真剣に生きてる奴を上から眺めてるヤな野郎(馬鹿にしてるのか)!!

　お前だよ。お前。。

　え。俺のこと？

　確かに何年も何十年も同じ調子で飲み歩いてるから演技じゃとっくにボロが出て矛盾でズタズタになってるだろうから演技じゃないんだろうけど,そりゃ,単に育ちがよろしいだけなんだよ。。って別にほめてるんじゃないよ。

　育ちがいいってのは恥ずかしいことなんだ。。

　生活で苦労したことがないオボッちゃまだって意味だよ。

　あんたが上品に見えるっていっても,もしもあんたが食べていくことさえままならない状態がつづくような境遇にいたら,当然見かけももっと下品だろうし,他人に優しくなんかできっこないだろうよ。

　社会で生きてくってのは競争なんだから他人に寛容なのは,自分のお尻に火がついてなくて余裕があるせいに過ぎない話なんだよ。

　まあ,それでも見掛けだけはキモイからまだ救われてるよ。

　と言っても,たとえ外見がきれいでも所詮一皮剥けばドロドロの汚い内臓のカタマリにしか過ぎないけどね。。

　キレイごと言って澄ましてるんじゃねえよ。。

　あんたが学生時代に被害者意識で運動してる人々に対抗して俺は加害者意識で動いてるんだ正論なんだって主張して威張っていたのも,単にあんたは,衣食足りてたから他人に施してやる余裕があっただけなんだ。

　結局オボッちゃん,おジョウちゃんのお遊びに過ぎないんだ。。

　勘違いするなよなあぁ！

　ほらほら,余裕こいて他人の批判ばかり言って偉そうにしてんじゃねえよ。

　落ち着いてないで,汚らしい本性出してみろよ。。

　このくそＴＯＳＨＩがぁ,おお馬鹿やろぉ。。。

　どっかの総理大臣みたいに自分を客観的に見たりして。。。↑

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運動量表示による期待値の評価

2007年5月24日の記事「有限な１次元空間に限定された運動量演算子」,先日の2008年８月25日の記事「有限な１次元空間の運動量演算子の境界条件」と関連して以前の2007年８月８日の記事「量子力学の基礎(表示の話)(1)」を一部再掲し修正して,

ｘ＝0,ｘ＝ａに高さ ∞ の１次元剛体障壁があって粒子がその間の領域[0,ａ]に閉じ込められている場合の運動量の関数で与えられる観測量の期待値について考察してみます。

まず「量子力学の基礎(表示の話)(1)」の対象部分の再掲です。

※(再掲記事)↓

観測可能な量(物理量)Λがあって,Λの固有値λに属する固有状態を表わす固有ベクトルを|λ＞と書きます。これは,|λ＞≠0 であってΛ|λ＞＝λ|λ＞を満たすものです。

量子論によれば,実際的な観測誤差がないなら,Λの１回１回の観測において観測される物理量Λの値は,Λの固有値λに限られ,それ以外の値が観測されることは決してありません。

そして任意の状態ベクトル|ψ＞は,この|λ＞によって|ψ＞＝Σ_λｃ_λ|λ＞(離散的な場合)とか,|ψ＞＝∫_λｃ_λ|λ＞ｄλ(連続的な場合)とか,あるいはこれらの混合した形でスペクトル展開されます。

こうして展開できることを,物理量の演算子(作用素)Λ,あるいは固有ベクトル系{|λ＞}の完全性と言います。

(実際には,連続的な場合に|ψ＞＝∫_λｃ_λ|λ＞ｄλと表現できるとは限らず,より一般的にはStieltjes積分：記号的には|ψ＞＝∫_λｃ_λｄ(|λ＞)と表現されます。)

そして,ｃ_λ＝＜λ|ψ＞です。なぜなら,離散的な場合を例にとると＜λ'|ψ＞＝Σ_λｃ_λ＜λ'|λ＞＝ｃ_λ'となるからです。 

この最後の等式では|λ＞が正規直交化されている,つまり＜λ'|λ＞＝δ_λ'λである,という仮定を用いました。

もしもそうでないなら,|λ＞を＜λ|λ＞^1/2で割ったものを改めて|λ＞と定義すればいいだけです。量子論によれば状態を定数倍しても同じ状態を表わすとされていますからね。

そしてもちろん状態 |ψ＞も規格化されている:＜ψ|ψ＞＝１となるように取られているとします。つまり,＜ψ|ψ＞＝Σ_λ'λｃ_λ'^*ｃ_λ＜λ'|λ＞＝Σ_λ|ｃ_λ|²＝１であるとします。

そして,物理系が状態|ψ＞にあるとき,この状態をこわすことなく観測可能な量Λを無限に多数回観測することが可能なとき,

(実際には１つの系で実験装置が単独のとき,観測行為は純粋状態|ψ＞を必ずこわすので,全く同一の(物理系＋実験装置)を無限に多数個用意する必要があって,これを"(純粋)アンサンブル＝集団"と呼びます。)

Λの期待値＜Λ＞は＜Λ＞＝＜ψ|Λ|ψ＞＝Σ_λ'λｃ_λ'^*ｃ_λλ＜λ'|λ＞＝Σ_λλ|ｃ_λ|²で与えられるとします。 

ところで,Λの"期待値＝平均値"＜Λ＞は,Λがλという値をとる確率をＰ_λと書くとき,＜Λ＞＝Σ_λλＰ_λで与えられるはずです。

これと,＜Λ＞＝＜ψ|Λ|ψ＞＝Σ_λλ|ｃ_λ|²を比較すると,Ｐ_λ＝|ｃ_λ|²であること,つまりΛの観測値が固有値λをとる確率Ｐ_λがｃ_λの絶対値の２乗|ｃ_λ|²＝|＜λ|ψ＞|²で与えられることがわかります。

そして,このときΣ_λ|ｃ_λ|²＝Σ_λ|＜λ|ψ＞|²＝１ですから,|ｃ_λ|²の総和は１であり,確かに確率であるための条件を満たしています。 

一方,連続的な場合には＜Λ＞＝＜ψ|Λ|ψ＞＝∫ｄλ'ｄλｃ_λ'^*ｃ_λλ＜λ'|λ＞＝∫ｄλλ|ｃ_λ|²です。

連続的な場合の正規直交性＜λ'|λ＞＝δ(λ'－λ)を用いました。

観測量Λが,その固有値λとλ＋ｄλの間の値として観測される確率をｐ(λ)ｄλとすると,Λの期待値は＜Λ＞＝∫ｄλλｐ(λ)で与えられるはずなのでｐ(λ)＝|ｃ_λ|²＝|＜λ|ψ＞|²となります。

(ここでは連続的な場合の確率が確率論のRadon-Nikodymの定理の成立条件である絶対連続性を満たしていると仮定しています。) 

連続的な場合にはｐ(λ)＝|ｃ_λ|²＝|＜λ｜ψ＞|²は確率密度であって,ｐ(λ)ｄλ＝|ｃ_λ|²ｄλ＝|＜λ|ψ＞|²ｄλが確率になる,というのが,離散的な場合のＰ_λ＝|ｃ_λ|²＝|＜λ|ψ＞|²が確率そのものになる,というののと異なるところです。

そして,１＝＜ψ|ψ＞＝∫ｄλｐ(λ)＝∫ｄλ|＜λ|ψ＞|²なので,この定義も確かに確率の公理を満たしています。 

離散的,連続的に関わらず,こうしたΛの固有値と固有ベクトルで展開する表示をΛ-表示と言います。 

そして,「もしも,観測可能な量Λとして位置座標ｘを取ると,これは固有値が連続的な場合に相当するので位置ｘの観測量の期待値は＜ｘ＞＝＜ψ|ｘ|ψ＞＝∫ｄｘｘ|ｃ_ｘ|²で与えられ.ｐ(ｘ)ｄｘ＝|ｃ_ｘ|²ｄｘ＝|＜ｘ|ψ＞|²ｄｘと書けます。

通常このｃ_ｘ＝＜ｘ|ψ＞を波動関数と呼び,ψ(ｘ)なる関数記号で表わします。つまり,ψ(ｘ)＝＜ｘ|ψ＞であり,位置ｘがｘとｘ＋ｄｘの間に見出される確率は,ｐ(ｘ)ｄｘ＝|ｃ_ｘ|²ｄｘ＝|ψ(ｘ)|²ｄｘで与えられると解釈されます。 

そして,ｘの期待値の表現は＜ｘ＞＝＜ψ|ｘ|ψ＞＝∫ｄｘｘ|ｃ_ｘ|²＝∫ｄｘｘ|ψ(ｘ)|²＝∫ｄｘψ^*(ｘ)ｘψ(ｘ)となります。

つまり,ｘ-表示では＜ψ|ｘ|ψ＞＝∫ｄｘψ^*(ｘ)ｘψ(ｘ)と表現されます。この場合には規格化条件:＜ψ|ψ＞＝１は,∫ｄｘψ^*(ｘ)ψ(ｘ)＝∫ｄｘ|ψ(ｘ)|²＝１です。

連続固有ベクトルの正規直交性＜λ'|λ＞＝δ(λ'－λ)はこの場合＜ｘ'|ｘ＞＝δ(ｘ'－ｘ)ですから,ｘの固有値ｘ₀ に属する固有ベクトルの波動関数は＜ｘ｜ｘ₀＞＝δ(ｘ－ｘ₀)で与えられます。

これの絶対値の２乗は位置ｘがｘ₀ に決まっているときに位置がｘである確率密度を与えるものです。」

(再掲記事終了)↑　※

最後の「　」の部分での位置座標ｘ^を,その代わりに運動量ｐ^で機械的に置き換えると,次のようになります。

「もしも観測可能な量Λを運動量ｐ^に取ると,これは固有値が連続的な場合に相当するので運動量ｐの観測量の期待値は＜ｐ^＞＝＜ψ|ｐ^｜ψ＞＝∫ｄｐｐ|ｃ_ｐ|²で与えられ,ｐ(ｐ)ｄｐ＝|ｃ_ｐ|²ｄｐ＝|＜ｐ|ψ＞|²ｄｐと書けます。

通常このｃ_ｐ＝＜ｐ|ψ＞を運動量波動関数と呼び,φ(ｐ)なる関数記号で表わします。つまり,φ(ｐ)＝＜ｐ|ψ＞であり,運動量ｐ^がｐとｐ＋ｄｐの間に見出される確率は,ｐ(ｐ)ｄｐ＝|ｃ_ｐ|²ｄｐ＝|φ(ｐ)|²ｄｐで与えられると解釈されます。

そして,ｐ^の期待値の表現は＜ｐ^＞＝＜ψ|ｐ^|ψ＞＝∫ｄｐｐ|ｃ_ｐ|²＝∫ｄｐｐ|φ(ｐ)|²＝∫ｄｐφ^*(ｐ)ｐ^φ(ｐ)となります。

つまり,ｐ-表示では＜ψ|ｐ^|ψ＞＝∫ｄｐφ^*(ｐ)ｐ^φ(ｐ)と表現されます。この場合,規格化条件:＜ψ|ψ＞＝１は∫ｄｐφ^*(ｐ)φ(ｐ)＝∫ｄｐｐ|φ(ｐ)|²＝１です。

連続固有ベクトルの正規直交性＜λ'|λ＞＝δ(λ'－λ)はこの場合＜ｐ'|ｐ＞＝δ(ｐ'－ｐ)ですから,ｐ^の固有値ｐ₀に属する固有ベクトルの運動量波動関数は,＜ｐ|ｐ₀＞＝δ(ｐ－ｐ₀)で与えられます。

これの絶対値のの２乗は運動量ｐ^がｐ₀に決まっているときに運動量がｐである確率密度を与えるものです。」です。

さて,上では状態|ψ＞に対して運動量演算子ｐ^が定義できて,これが連続固有値を取る場合,期待値が＜ｐ^＞＝＜ψ|ｐ^|ψ＞＝∫ｄｐｐ|φ(ｐ)|²＝∫ｄｐφ^*(ｐ)ｐ^φ(ｐ)と表わされると書きました。

一般に演算子ｐ^の関数ｆ(ｐ^)で与えられる演算子に対しても,その期待値が,＜ｆ(ｐ^)＞＝＜ψ|ｆ(ｐ^)|ψ＞＝∫ｄｐｆ(ｐ)|φ(ｐ)|²＝∫ｄｐφ^*(ｐ)ｆ(ｐ^)φ(ｐ)と書けることは明らかです。

一方,ｐが連続ではなく離散固有値のみを取る場合には＜ｆ(ｐ^)＞＝＜ψ|ｆ(ｐ^)|ψ＞＝Σ_ｐｆ(ｐ)|φ(ｐ)|²＝Σ_ｐφ^*(ｐ)ｆ(ｐ^)φ(ｐ)となります。

この離散表示は,ブラケットを用いた形式的な演算:＜ｆ(ｐ^)＞＝＜ψ|ｆ(ｐ^)|ψ＞＝Σ_ｐ1,ｐ2＜ψ|ｐ₁＞＜ｐ₁|ｆ(ｐ^)|ｐ₂＞＜ｐ₂|ψ＞＝Σ_ｐ1,ｐ2ｆ(ｐ₂)＜ψ|ｐ₁＞＜ｐ₁|ｐ₂＞＜ｐ₂|ψ＞＝Σ_ｐ1,ｐ2ｆ(ｐ₂)＜ψ|ｐ₁＞＜ｐ₁|ｐ₂＞＜ｐ₂|ψ＞,

すなわち＜ｆ(ｐ^)＞＝＜ψ|ｆ(ｐ^)|ψ＞＝Σ_ｐｆ(ｐ)|φ(ｐ)|²,φ(ｐ)≡＜ｐ|ψ＞から得られる表現を明示したものです。

一方,同じｆ(ｐ^)の期待値を,ｘ表示で表現すると＜ｆ(ｐ^)＞＝＜ψ|ｆ(ｐ^)｜ψ＞＝∫ｄｘ₁ｄｘ₂＜ψ|ｘ₁＞＜ｘ₁|ｆ(ｐ^)|ｘ₂＞＜ｘ₂｜ψ＞となります。

そして,演算子ｆ(ｐ^)のｘ表示というのは,これの|ｘ＞による行列表現,つまり行列要素の全体を意味しています。

Schrödinger表現を用いれば,＜ｘ₁|ｆ(ｐ^)|ｘ₂＞＝ｆ(－iｈ_c∇_ｘ1)δ(ｘ₁－ｘ₂)となりますから,結局,ｘ表示で表現したｆ(ｐ^)の期待値は,＜ｆ(ｐ^)＞＝＜ψ|ｆ(ｐ^)|ψ＞＝∫ｄｘψ^*(ｘ)ｆ(－iｈ_c∇_ｘ)ψ(ｘ)となります。

それ故,個々の物理系の具体的な例について各々確かめるまでもなく,Σ_ｐｆ(ｐ)|φ(ｐ)|²＝∫ｄｘψ^*(ｘ)ｆ(－iｈ_c∇_ｘ)ψ(ｘ)(運動量表示＝位置表示)なる等式が成立するはずです。(← 同じ物理量の期待値は表示に無関係に決まります。)

そして,φ(ｐ,ｔ)≡＜ｐ|ψ＞＝∫ｄｘ＜ｐ|ｘ＞＜ｘ|ψ＞＝∫ψ_ｐ^*(ｘ)ψ(ｘ,ｔ)ｄｘで逆に,ψ(ｘ,ｔ)＝＜ｘ|ψ＞＝Σ_ｐ＜ｘ|ｐ＞＜ｐ|ψ＞＝Σ_ｐψ_ｐ(ｘ)φ(ｐ,ｔ)ですね。

ψ_ｐ(ｘ)≡＜ｘ|ｐ＞は固有状態|ｐ＞の規格化された波動関数です。

ここで,状態|ψ＞の波動関数＜ｘ|ψ＞,および運動量表示波動関数＜ｐ|ψ＞は|ψ＞が時間に依存しない定常状態の場合の表現ψ(ｘ)ではなく,時間ｔに依存する非定常な場合をも含めた一般的な表現ψ(ｘ,ｔ),φ(ｐ,ｔ)を用いています。

そして,特に具体的な[0,ａ]に閉じ込められた１次元粒子の系では,ｐが周期的境界条件を取るような離散固有値ｐ_k＝ｋπｈ_c/ａ (ｋ＝0,±1,±2,..)のみを取る場合,ｘ表示での規格化された運動量固有関数はψ_ｐk(ｘ)＝ａ^-1/2exp(iｐ_kｘ/ｈ_c) (ｘ∈[0,ａ]),ψ_ｐk(ｘ)＝0(ｘ∈￢[0,ａ])と書けます。

ここに,ｈ_c≡ｈ/(2π)でｈはPlanck定数です。

そして,状態:|ψ＞におけるｆ(ｐ^)の期待値は＜ψ|ｆ(ｐ^)|ψ＞＝∫ｄｘ₁ｄｘ₂＜ψ|ｘ₁＞＜ｘ₁|ｆ(ｐ^)|ｘ₂＞＜ｘ₂|ψ＞＝∫ψ^*(ｘ,ｔ)ｆ(－iｈ_ｃｄ/ｄｘ)ψ(ｘ,ｔ)ｄｘで与えられます。

特にψ(ｘ,ｔ)がエネルギー固有値:Ｅ_n＝ｐ_n²/(2ｍ)に属する固有関数(つまり,定常状態の物理的波動関数):ψ_n(ｘ)≡(2/ａ)^1/2sin(ｐ_nｘ/ｈ_c)(正しくはψ_n(ｘ,ｔ)＝ψ_n(ｘ)(＝exp(－iＥ_nｔ/ｈ_ｃ))なら,

f(－iｈ_cｄ/ｄｘ)ψ_n(ｘ)＝(2ａ)^-1/2[f(ｐ_n)exp(iｐ_nｘ/ｈ_c)－f(－ｐ_n)exp(－iｐ_nｘ/ｈ_c)]です。

そこで,ｆ(ｐ^)の期待値は,＜ψ_n|ｆ(ｐ^)|ψ_n＞＝∫ψ^*(ｘ)ｆ(－iｈ_cｄ/ｄｘ)ψ(ｘ)ｄｘ＝(1/2)[ｆ(ｐ_n)＋ｆ(－ｐ_n)]＝(1/2)[ｆ(ｎπｈ_c/ａ)＋ｆ(－ｎπｈ_c/ａ)] と計算されます。

一方,運動量表示で計算すれば,＜ｆ(ｐ^)＞＝＜ψ|ｆ(ｐ^)|ψ＞＝Σ_kｆ(ｐ_k)|φ(ｐ_k)|²です。|ψ＞をｐ＝±ｐ_nの固有状態|ψ_n＞とすると,＜ｆ(ｐ^)＞_n＝＜ψ_n|ｆ(ｐ^)|ψ_n＞＝Σ_kｆ(ｐ_k)|φ_n(ｐ_k)|²です。

φ_n(ｐ)＝＜ｐ|ψ_n＞＝∫ψ_ｐ^*(ｘ)ψ_n(ｘ)ｄｘ＝(2^1/2/ａ)∫₀^a sin(ｐ_nｘ/ｈ_c)exp(－iｐｘ/ｈ_c)ｄｘです。

＜ｆ(ｐ^)＞_n＝＜ψ_n|ｆ(ｐ^)|ψ_n＞＝Σ_kｆ(ｐ_k)|φ_n(ｐ_k)|²φの右辺のΦ_n(ｐ_k)はｐ_k＝±ｐ_nのときだけゼロでなくて,2^-1/2になりますから,Σ_kｆ(ｐ_k)|φ_n(ｐ_k)|²＝(1/2)[ｆ(ｐ_n)＋ｆ(－ｐ_n)]＝(1/2)[ｆ(ｎπｈ_c/ａ)＋ｆ(－ｎπｈ_c/ａ)] となり,運動量表示での計算はｘ表示での計算と確かに一致します。

例えば,ｆ(ｐ^)＝ｐ^⁶であったとしても,有限領域に制限された粒子の運動量のｆ(ｐ^)の期待値,つまり６次のモーメント(能率)が発散したりすることはありません。

有限領域に束縛されているというのがミソで,期待値計算が連続自由度による積分でなく高々可算自由度による級数和なので発散しないのですね。

そもそも,粒子がエネルギーＥ_nに属する定常状態にあって波動関数がψ_n(ｘ)≡(2/ａ)^1/2sin(ｐ_nｘ/ｈ_c)で与えられる場合を考えると,ｘによる１回の微分ごとにsin関数とcos関数が入れ替わるので,ｋが奇数ならψ_n(ｘ)はｐ^^k＝(－iｈ_ｃｄ/ｄｘ)^kの固有関数ではありません。