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2008年9月

2008年9月27日 (土)

先進波と負エネルギー,反粒子について

 最近,ある掲示板で私が昔学生時代に考えたことのある

ちょっとした話題が出ていました。

 

 それは,電磁場(光子)の先進波,先進ポテンシャル,または

先進Green関数の解釈についての話で昔からよく論じられて

いる内容です。

 昔,QED,場の理論,や,その摂動のFeynman-diagramを初めて

習った学生の頃に,元々古典電磁気学論題であったこの関連

の話に量子論的解釈をしたことを思い出したので書いてみます。

これを述べるためには,電磁気学の予備知識が必要です。

 

その説明をするために,まず,既に2007年12月のシリ-ズ記事:

「ヤングの干渉実験」,特に,12/6の記事:

ヤングの干渉実験(2)(量子論)」12/9の記事

ヤングの干渉実験(3)(量子論) 」において電磁光学の説明の

ために記述した部分を要約して再掲します。

電磁場のスカラーポテンシャルをφ(,t),

ベクトルポテンシャルを(,t)とすると,電場E(,t),

磁場(,t)これらのポテンシャルによって,


 (,t)=-∇φ(,t)-∂(,t)/∂t,

(,t)∇×(,t) と表現されます。

 

以下,簡単のため,適宜引数,tを省略します。

これらφ,は電磁ポテンシャルと呼ばれます。

 

そしてφ,による=-∇φ-∂/∂t,∇×なる表現式

,任意関数Λを用いたゲージ変換と呼ばれる変換:

φ→φ+∂Λ/∂t,-∇Λに対して不変です。

 

これをゲージ不変性といいます。

そして電磁場を記述する基本方程式である真空中の

マクスウェル(Maxwell)の方程式は,ポテンシャル,φによる

表現では,

()-2(1/c2)(∂∇φ/∂t)+(1/c2)(∂2/∂t2)

=μ0,-ε02φ-ε0(∂/∂t)=ρ なる形になります。

 

ここにρ(,t)は電荷密度,(,t)は電流密度です。

特に相対論的に共変なゲージであるLorentz(Lorensゲージ

条件:(1/c2)(∂φ/∂t)=0 を満たすようなゲージ

関数Λを採用すれば,上記の運動方程式は,

(1/c2)(∂2/∂t2)-2=μ0,

□φ=(1/c2)(∂2φ/∂t2)-2φ=ρ/ε0

となります。

 

これはφとについて対称的,かつ簡明で共変性が明白な形です。

(※ □≡(1/c2)(∂2/∂t2)-2なる記号を用いましたが,

この微分演算子□はダランベルシャン(d'Alembertian)と

呼ばれます。※)

ところで,これ以外のゲージ条件を採用すると4次元時空の

座標変換:x'μ=aμννに対し,4元ポテンシャル:

μ=(φ/c,)の変換がA'μ=aμνν+αμ(Λ)の

ようになります。

 

つまり,通常の4元ベクトルとしてのLorentz変換の他に,

変換された座標系でも同じゲージ条件を満たすようにするるため

その都度,別の補正変換:αμ(Λ)を受ける必要があります。

 

そこで,Aμは座標系依存のベクトルとなって,相対論的に共変な

正しい4元ベクトルではなくなります。

したがって,非共変なゲージを採用したのでは,電磁ポテンシャル

は非局所的となり,電磁信号は光速を超えて相対論的因果律を破る

ことになると考えられます。

しかし,この問題点については,以前2006年10/9の記事

非共変ゲージの非局所性(電磁場)」で論じたように,

 

現実に観測されるのは,場の量Aμ=(φ/c,)ではなく,場の

強さであるEとB,つまりFμν≡∂Aν/∂xμ-∂Aμ/∂xν

であって,これらはゲージの選択には無関係なので共変であり,

局所性を破らないので,現実には相対論と無矛盾であることが

わかります。

つまり,"量子論において観測されるのは確率であって波動関数

ではない。",という話と同じく,電磁場を示す電磁ポテンシャル:

μ=(φ/c,)は,量子論なら光子の波動関数に相当する

非観測量ですから,これを物理的な実在であると考えないなら,

全く矛盾は生じないわけです。

さて,時空座標をxμ=(ct,),電磁ポテンシャルを

μ=(φ/c,),電荷密度,電流密度をJμ=(cρ,)で記述

すればLorens条件:(1/c2)(∂φ/∂t)=0 は,

∂Aμ/∂xμ=∂μμ=0 となり,


 運動方程式:□=μ0,□φ=ρ/ε0 は,

□Aμ=∂ννμ=sμ(ただし,sμ≡Jμ/(c2ε0))

となります。

 

そして,特に電荷や電流の全くない:Jμ=(cρ,)=0 の場合

の真空中の自由電磁場の方程式は,□Aμ=∂ννμ=0 です。

微分方程式:□Aμ=∂ννμ=sμは,

μ(x)={1/(2π)4}∫d4k[A^μ(k)exp(-ikx)]として

μを平面波の重ね合わせ,すなわち,Fourier積分の形で

表わせば,同じく,

μ(x)={1/(2π)4}∫d4k[s^μ(k)exp(-ikx)なる

μのFourier積分表式に対し,

代数方程式:k2A^μ(k)=-s^μ(k)  に変わります。

特に,sμ=Jμ/(c2ε0)=0 の自由場の方程式;

□Aμ=-∂ννμ=0 は,光子質量がゼロであることに相当

して,k2=kμμ=(k0)22=0 を満たします。

 

そこで,各自由平面波の波数ベクトルに対し,角振動数を

ωk=c||としてkμ=(ωk/c,)と書けば,

exp(-ikx)=exp{i(kr-ωkt)},かつ

exp(ikx)=exp{-i(kr-ωkt)} です。

したがって,A^μ(k)=θ(k0)δ(k2)として自由電磁場をAμ(x)={1/(2π)4}∫d4k[θ(k0)δ(k2)exp(-ikx)]と表わせば,これはAμ(x)=Aμ(,t)={1/(2π)3}∫d3(2||)-1kμkexp{(-i(kr-ωkt))+ε-kμkexp{i(kr-ωkt)]となります。

 

ただし,akは定数係数,εkμは偏光を表わす単位ベクトル:

εk2=εkμεkμ=(εk0)2εk2=-1で,Lorens条件:

kεk=kμεkμ=(ωk/c)εk0kεk=0 を満たすように

与えられます。

 

θ(τ)はHeaviside関数,または階段関数と呼ばれるτの

関数です。これはτ<0ならθ(τ)≡0,τ>0 ならθ(τ)≡1

によって定義される関数です。

 

この関数は,τ=0 では不連続で,そこでは,0と1の間であると

いうだけで特に指定はありませんが,常にθ(τ)+θ(-τ)=1

でdθ(τ)/dτ=δ(τ)なる性質を有します。

次に,一般の4元電流密度sμに対して,Lorensゲージの電磁場

の方程式:□Aμννμμを解きます。 

□Aμ=sμなる形から,形式的にμ=□-1μと書けるので,

D'Alemgertian:□の逆演算子□-1が得られればいいと思われます

が,これは以下に示すように,以前3次元のLaplacian:

△=∇2の逆演算子△-1を求めたのと同じ方法で得られます。

すなわち,もしも□D^=1なるD^が見出されれば,□-1=D^

なので□Aμ=sμは形式的に,Aμ=□-1μ=D^sμと書け

るわけです。

 

そして,微分演算子□に対し,□D^=1を満たす逆演算子:

D^=□-1は積分演算子ですから,D^を□D(x)=δ4(x)

を満たす関数D(x)で表現すれば,結局,

μ(x)=∫d4yD(x-y)sμ(y)

と書けることになります。

 

さらに,実際には微分方程式の解の積分定数に相当する斉次方程式:

□A0μ=0 の解A0μをも考慮して,

μ(x)=A0μ(x)+∫d4yD(x-y)sμ(y)

となります。

そして,□D(x)=δ4(x)を満たす関数D(x)は微分演算子:

□に対応するグリーン関数(Green関数)と呼ばれます。

グリーン関数:D(x)を具体的に求めるため,そのFourier積分

表示を,D(x)=(2π)-4∫D^(k)exp(-ikx)d4kと書けば,

δ4(x)=(2π)-4∫exp(-ikx)d4kなので,

□D(x)=δ4(x)は,D^(k)=-1/k2を意味します。

 

 そこで,形式的にD(x)=-(2π)-4∫[exp(-ikx)/k2]d4

と書けます。

しかし,D^(k)=-1/k2は分母がゼロになる点,

2=(k0)22=0 になるところに特異点を持ちますから,

このままでは,well-definedではありません。

 

しかし,複素k0平面での極k0≡±||付近のD^(k)の挙動

次第で遠方でD(x)が満たすべき境界条件が得られるので,

0積分の経路が極をどのように回避するかを指定すること

によって,D(x)を決めることができます。

,D^(k)≡-1/(k2+iε)(ε>0)と置いて,

D(x)≡-limε→+0(2π)-4∫[exp(-ikx)/(k2+iε)]d4

としてみます。

 このとき,

1/(k2+iε)=1/{(k0-||+iε)(k0+||-iε)}

ですが,exp(-ikx)=exp(-ik0t)exp(ikr)なので,

極:0=ωk||-iε(ε>0)では,

exp(-ik0t)=exp(-i||t-εt)→ 0 as t→+∞,

 極:k0=-ωk=-||+iεでは,

exp(-ik0t)=exp(i||t+εt)→ 0 as t→-∞ です。

D(x)=-(2π)-4∫[exp(-ikx)/(k2+iε)]d4

={i/(2π)3}∫{2(||-iε)}-1

[exp(ikr-ic||t)+exp(ikr+ic||t)]d3

={i/(8π2)}∫d||d(cosθ)

||[exp{i(||||cosθ-c||t)}

+exp{i{||||cosθ+c||t)}]  となります。

 

そして∫-11d(cosθ)[exp(i||||cosθ)

=[exp(i||||)-exp(-i||||)]/(i||||)

=2sin(||||)/(||||)です。

それ故,D(x)=-(2π)-4∫[exp(-ikx)/(k2-iε)]d4

=Dret(x)-Dadv(x) と書けます。

 

ただし,Dret(x)≡{1/(8π2)}||-10d||

[exp{i||(||-ct)}-exp{-i||(||-ct)}

={1/(8π2)}||-1-∞d||[exp{i(||{||-ct)}

={1/(4π||)}δ(||-ct)です。

 

また,Dadv(x)≡{1/(8π2)}||-10d||

[exp{i||(||+ct)}-exp{-i||(||+ct)}

={1/(8π2)}||-1-∞d||[exp{i(||{||+ct)}

={1/(4π||)}δ(||+ct)です。

したがって,D^(k)≡-1/(k2+iε)(ε>0)と選択し

D(x)≡-limε→+0(2π)-4∫[exp(-ikx)/(k2+iε)]d4

と定義したGreen関数は,

D(x)={1/(4πc||)}[δ(t-||/c)-δ(t+||/t)]

となります。

 

よって,初めに意図した通り,確かにt→±∞,||→∞でゼロに

なるという境界条件を満たすことがわかったので,これを電磁場

を考察する際の基本的なGreen関数として採用します。

要約すると,

(x)=D(,t)

={1/(4π||)}[δ(||-ct)-δ(||+ct)]

={1/(4πc||)}[δ(t-||/c)-δ(t+||/t)]

で,D(x)=Dret(x)-Dadv(x);

ret(x)≡Dret(,t)=θ(t)D(,t),

adv(x)≡Dadv(,t)=-θ(-t)D(,t)

です。

 

ここで,ret(,t)=θ(t)D(,t)

{1/(4πc||)}δ(t-||/c)を遅延Green関数,

adv(,t)=-θ(-t)D(,t)

{1/(4πc||)}δ(t+||/c)を先進Green関数

と呼びます。

t>0 の未来での電磁場を予測するだけなら,そこでは

D(,t)=Dret(,t)なので,遅延Green関数だけで

十分です。

 

先に書いた

μ(x)=A0μ(x)+∫d4yD(x-y)sμ(y)は,

μ(x)=A0μ(x)+∫d4yDret(x-y)sμ(y) となります。

 

あるいは,自由電磁波:A0μ(x)=A0μ(,t)を無限の過去:

t=-∞における入射波:Ainμ(,t)と考える散乱現象と

見れば,Aμ(,t)=Ainμ(,t)

+c∫-∞dt'∫d3'Dret(',t-t')μ(',t')

と表現されます。

すなわち,Aμ(,t)=Ainμ(,t)

+∫d3'∫-∞dt'{1/(4π|'|)}

δ(t-t'-|'|/c)μ(',t')

=Ainμ(,t)

{1/(4π)}∫d3'[sμ(',t-|'|/c)/|'|]

となります。

 

μ=sμ2ε0と戻しAinμ(,t)=0 の場合を仮定すれば,

φ(,t)

{1/(4πε0)}∫d3'[ρ(',t-|'|/c)/|'|],

かつ(,t)

0/(4π)}∫d3'[(',t-|'|/c)/|'|]

です。 

こうした意味で,これらのポテンシャルφ(,t),(,t)を

遅延ポテンシャルと呼び,その電磁波を遅延波と呼びれます。

 特に,μ(,t)=∫A^μ(,ω)exp(-iωt)dω,または

A^μ(,ω)={1/(2π)}∫Aμ(,t)exp(iωt)dtと電磁場

μを振動数で展開し,

4元電流密度sμもsμ(,t-|'|/c)

=∫s^μ(,ω)exp(-iω(t-|'|/c))dω

=∫s^μ(,ω)exp(iω|'|/c)exp(-iωt)

と展開してみます。

 

こうすれば,μ(,t)

=Ainμ(,t)+{1/(4π)}∫d3'

[sμ(',t-|'|/c)/|']は,

A^μ(,ω)=A^inμ(,ω)+{1/(4π)}∫d3'

[s^μ(',ω)exp(iω|'|/c)/|'|]

なる表現になります。

 したがって,Gret(,ω)=exp(iωr/c)/(4πr) (r≡||)

と置けば,A^μ(,ω)=A^inμ(,ω)

+∫d3'ret(',ω)s^μ(',ω)と表現できるため,

ret(,ω)を遅延Green関数と呼ぶこともあるようです。

 

グGreen関数ret(,ω)はHel,holtzの方程式のGreen関数と

なっていて,[△+(ω/c)2]ret(,ω)=-δ3()

を満たします。 

では,t<0 過去の電磁場を表現する先進グリーン関数:

(,t)=-Dadv(,t)=θ(-t)D(,t)は何を意味する

のでしょうか?それともこれは不要なのでしょうか?

 

とりあえず,遅延Green関数と同じようにt<0 対して,

μ(x)=A0μ(x)-∫d4yDadv(x-y)sμ(y)と

書いてみます。

自由電磁波A0μ(x)=A0μ(,t)を無限の未来t=∞における

射出波:Aoutμ(,t)であると考えてみると,

μ(,t)=Aoutμ(,t)

+c∫tdt'∫d3'Dadv(',t-t')sμ(',t')

と表現されます。

 

これは,現在のAoutμ(,t)から時間を遡るとこうなる,という

描像を示しているだけで,決して因果律に反して現在から過去

に向かう電磁波信号が存在することを意味するものでは

ありません。

例えば重力場の方程式でも解が満たすべき初期条件,あるいは

境界条件の違いによってブラックホールを与える解と,

ホワイトホール(あるいは,膨張する宇宙?)を与える解の両方が

あるのと同じく,方程式が時間反転対称なら遅延解と先進解が

あるのはごく普通のことです。

重力場でブラックホールを与える解というのは,初期には大きな

星が自分自身の"重さ=重力"のせいで崩壊してゆく解のことです。

 

一方,ホワイトホールを与える解というのは規模は違いますが,

いわゆる宇宙全体が膨張するというビッグバンに相当する解で

宇宙論ではどちらも実際的に重要な役割を持ちます。

さて,電磁場の先進波はt<0 で,

μ(,t)=Aoutμ(,t)

{1/(4π)}∫d3'[sμ(',t+|'|/c)/||]

であり,μ=Jμ/(c2ε0) です。

 

そこで,Aoutμ(,t)=0 の場合には,

φ(,t)={1/(4πε0)}∫d3'

[ρ(',t+|'|/c)/|'|],

(,t)=0/(4π)}∫d3'

[(',t+|'|/c)/|'|] です。

 

これらのポテンシャルφ(,t),(,t)は先進ポテンシャル

と呼ばれ,その電磁波は先進波と呼ばれます。

また,Gadv(,ω)=exp(-iωr/c)/(4πr)(ただしr≡||)

と置けば,A^μ(,ω)

=A^outμ(, ω)+∫d3'adv(',ω)s^μ(',ω)

と表現できるので,adv(,ω)を先進Green関数と呼ぶことも

あります。

 

このGreen関数adv(,ω)もret(,ω)が満たすのと同じ

Helmhortzの方程式のGreen関数となっていて,

[△+(ω/c)2]adv(,ω)=-δ3() を満たします。 

これらの話は2006年10月3日の記事「ホイヘンスの原理の正当性

でも書いていますが,そこでは真空中の電磁場:

μ(x)=μ(,t)が初期時刻t=t'において,

μ(,t')=Fμ(),∂μ(,t')/∂t'=Gμ()なる

条件を満たすような解を求めること,すなわち,微分方程式の

Cauchy問題を解いています。

これはGreen関数:

(,t)={1/(4πr)}[δ(r-ct)-δ(r+ct)] において

t>0 のときの遅延Green関数:

D(,t)=Dret(,t)={1/(4πr)}θ(t)(r-ct)

を用いると,すぐに解けて,

μ(,t)

=∫d3'[{∂Dret(',t-t')/∂t}Fμ(')

+Dret(',t-t')Gμ(')]

と表わすことができます。

 すなわち,Dret(,t)は□Dret(,t)=(1/c)δ(t)δ3()

を満たし,t=0 では,∂D(,t)/∂t=δ3(),

ret(,t)=0 なる初期条件を満たすD'Alembertの方程式

(d'Alembert equation):□Dret(,t)=0 の解です。

 

 そこで,上の表現ではμ(,t)は確かに,t=t'で

μ(,t')=Fμ(),∂μ(,t')/∂t'=Gμ() なる

初期条件を満たす,□μ(,t)=0 の解となっています。

ところで,Dret(x)=Dret(,t)={1/(4πr)}δ(r-ct)

={1/(2r)}∫-∞exp{ik(r-ct)}dk

{1/(2r)}[∫0{exp(ikr)exp(-ikct)

-exp(-ikr)exp(ikct)}dk] です。

 

さらに進めて,Dret(,t)

{1/(2r)}[∫0{exp(ikr)-exp(-ikr)}{exp(-ikct)

+exp(ikct)}dk]+{1/(2r)}[∫0[exp{-ik(r+ct)}

-exp{ik(r+ct)}]dk

=∫(2||)-1[exp(ikr-ic||t)]d3

-∫(2||)-1[exp(ikr+ic||t)]d3

を得ます。

 

t>0 なら,右辺の第2項は,

∫(2||)-1[exp(ikr+ic||t)]d3

{1/(2r)}[∫0[exp{-ik(r+ct)}-exp{ik(r+ct)}]dk

{1/(4πr)}δ(r+ct)=0  です。

それ故,ret(,t)

=θ(t)∫(2||)-1[exp(ikr-ic||t)]d3

θ(t)∫{c/(2ωk)}[exp(ikr-iωkt)]d3

=∫{c/(2ωk)}θ(t)exp(-ikx)3k となります。

 

同様にt<0 に対してDadv(,t)

=-∫{c/(2ωk)}θ(-t)exp(ikx)3k となるはずです

から,全体として,

D(,t)=Dret(,t)-Dadv(,t)

=∫{c/(2ωk)}[θ(t)exp(-ikx)+θ(-t)exp(ikx)3]

です。

ところで,量子論では粒子のエネルギーはihc(∂/∂t)なる演算子

の固有値です。


 そして,ihc(∂/∂t)[exp(-ikx
)]=cωk[exp(-ikx)]

ですから遅延波:

ret(,t)=∫{c/(2ωk)}θ(t)exp(-ikx)3]

エネルギーcωkを持つ平面波の集まりです。

 

一方,ihc (∂/∂t)[exp(ikx)]=-cωk[exp(ikx)]

ですから先進波:

adv(,t)=-∫{c/(2ωk)}θ(-t)exp(ikx)3]

は負エネルギー(-hcωk)を持つ平面波の集まりに対応

しています。

 

ここでc≡h/(2π)はPlanck定数です。

ところが,場の量子論によれば,質量がmでスピンが1/2のDirac

粒子の自由場の演算子は,hc=c=1の自然単位で,

ψ(x)=ψ(,t)=Σ±s∫d3(2π)-3/2(m/Ep)1/2

[b^(p,s)u(p,s)exp(-ipx)

+d^+(p,s)v(p,s)exp(ipx)] と表わされます。

 

その"共役=自由反粒子の場"は,

ψ+(x)=ψ+(,t)=Σ±s∫d3(2π)-3/2(m/Ep)1/2

[b^+(p,s)u+(p,s)exp(ipx)+

d^(p,s)v+(p,s)exp(-ipx)]

です。

 
ただし,c=c=1なのでEp(p2+m2)1/2,かつp=hc

であり,そこで,exp(-ipx)=exp(-ikx),exp(ipx)

=exp(ikx)です。

また,スピノルu(p,s),およびv(p,s)は運動量表示での

自由なDirac方程式の粒子,および反粒子を示す独立な解で,

それぞれ(γp-m)u(p,s)=0,および,

(γp+m)v(p,s)=0  を満たします。

 

例えばDirac粒子が電子の場合なら,ψ(x)=ψ(,t)の

展開係数b^(p,s)は電子の消滅演算子,d^+(p,s)は陽電子

の生成演算子を示しています。

これを見ればわかるように,相対論的量子力学の初期のDirac

の空孔理論のように,"真空状態=最低エネルギー状態(基底状態)"

を負エネルギー電子の海として,わざわざ陽電子の生成を

負エネルギー電子の消滅と考える必要はありません。

 

真空状態には元々粒子は全くないとして,b^(p,s)exp(-ipx)

は1個の正エネルギー電子の消滅を,d^+(p,s)exp(ipx)は1個

の正エネルギー陽電子の生成を示していると考えれば何も問題も

生じないわけです。

同様に,先に与えた古典論での自由電磁場の表式:

μ(x)=Aμ(,t)

={1/(2π)3}∫d3(2||)-1kμkexp{(-i(kr-ωkt))

+ε-kμkμ*exp{i(kr-ωkt)] 

を量子化したと想定してみます。

 

そして,より精密に.,

μ(x)=Aμ(,t)=Σλ=12∫d3(2π)-3(2ωk)-1

μ(,λ)a^(,λ)exp{(-ikx)

+εμ(-,λ)a^+(,λ)exp(ikx)]

と書きます。

 

Dirac場と同じく,係数a^(,λ)を運動量c,添字がλの偏光

を持つ1個の光子を消滅させる演算子,a^+(,λ)を同じ光子を

生成させる演算子と考えれば,負エネルギー粒子の生成は

正エネルギー粒子の消滅,負エネルギー粒子の消滅は

正エネルギー粒子の生成と解釈できます。

 

それ故,非物理的な負エネルギー粒子の存在を想定する必要が

あるというような困難はありません。 

そして,散乱の摂動論で現われる"摂動グラフ=Feynman-diagram"

においても,初期の頃には空孔理論に基づいて,負エネルギー粒子

の因果性に反する過去への逆行を,正エネルギー反粒子の未来へ

の因果的順行と解釈するStucckerberg)とFeynmanの解釈が

ありましたが,その頃から方程式の負エネルギー解について何ら

困難は生じていません。

 

Green関数の遅延波部分は,ある時刻,ある位置での散乱に伴なう

粒子の消滅,先進波部分は粒子の生成を表わしているだけです。

2006年8月8日の記事「負エネルギー解と相対論的因果律

でも述べたように,負エネルギー解を捨てたり無視したりする

意図的な操作は,相対論的因果律を破ることがわかっています。

 

負エネルギー解,または先進波は不要なものではなく,むしろ

ないと困る必要不可欠なものであることがわかります。

参考文献:R.Loudon 著(小島忠宣,小島和子 共訳)

「光の量子論(第2版)」(内田老鶴圃),

砂川重信 著「理論電磁気学(第2版)」(紀伊国屋書店),

ジャクソン 著(西田 稔 訳)「電磁気学」,

J.D.Bjorken S.D.Drell「RelativisticQuantum fields」

(McGrawHill),

西嶋和彦 著「相対論的量子力学」(培風館)

 

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2008年9月24日 (水)

バトンがまわってきました。(mixi)

なんかわかりませんが,mixiでマイミクシィの「みろ」さんからバトンというのが来ました。

 

不幸,幸福の手紙のたぐいじゃないらしく個人の趣味志向のアンケートみたいなので,ひまつぶしにやってみました。

 

アンカー禁止ということのようです。止めたら不幸になるのかな?

 

mixiでの日記は外部ブログ扱いでこのブログなのですが,このためだけに新しく日記をつくるわけにもいかないので,ここに書きます。

 

これから次にバトンを渡す人を発表しますから嫌でもやってください。!

 

★条件★ 
・3日以内に書くこと
・嘘・偽りなく答える
・アンカー禁止
・回した人はちゃんとその人が書いたか確認に行くこと
・書いてない人には罰ゲームをやってもらう 。

 

★回す人の名前★ (名前のある人よろしくです。)
 まりあんぬさん
 まどかさん
 

 

あなたの名前 
  TOSHI

      好きなもの 
女性,子供,遊ぶこと,犬,カレーライス,ゆで卵,理論物理学,

    ,現在の恋人

 いない。いない歴十年を超えますね。片思いならずーっといたし,今でもいるけどね。お金払って恋人気分というのもあるけど単なる勘違いでしょう。  

     好きなタイプ 

 1.普通でない感性に見える人,2.私がマゾだからイジめてくれる女性(例えば杉田かおるのイメージ:母親か姉のように叱ってもらえる女性=(マザコン+シスコン?),3.小柄だがふくよかな体形の女性,

 

  4.白痴系の女性(あまり理知的でない人,ただし,ただのいいお友達関係とか,あるいは男性ならまた別),5.いたいけな人,かわいそうと思っただけでも好きになる。(惚れっぽい),

 

   6.人間以外では犬は大好きです。昔は吠えられても何でも道で会えばなでて結構噛まれました。

 

嫌いなタイプ 
1.異性で嫌いというのは生まれてこのかた出会ったことがないと思う。同性もそうかな?しいて言えば, 2.
モラルに厳しい人,押しつけられるのは嫌いですが私に押し付けることは不可能。。と思う。

  3.基本的にその人の持つ趣味や性癖が理由で嫌いになることも好きになることもありません。

 

  (嫌いの基準は基本的に権力とか組織とか,あるいはそうした社会的存在であって,何らかの組織に属する個々人については生き物の条件を満たしていれば少なくとも嫌いにはならないと思います。タイプというのはあるでしょうが。。)

※自己顕示欲が強いので私自身が「送り主の嫌いなタイプ=ナルシスト」に属するのは八方美人をめざしている自分の身にはショックです。

 

好きな音楽

1.節操無くなんでも好き,カラオケでは演歌,艶歌からビリージョエル

(ただ しhonestyだけ),宇多田,アニメまでは歌うけど自宅ではこうしたも

のは聞かない。

 

2.浅川マキ, 山崎ハコ,岡林信康,泉谷しげる,忌野清志郎,ビリー・ホリディ,ジャニス・ジョプリン(特にミー・アンド・ボビーマギー),ビートルズ,etc。

 

3.ベートーベン,モーツァルト,チャイコフスキー,パガニーニ,他有名どころ,

4.ジャズはスタンリー・タレンタイン,アート・ペッパー・ビル・エヴァンス,etc 数え切れない

 

5.クラシック歌曲:ソルヴェイグの唄(ペールギュントより),ミカエラのアリア(カルメンより),誰も寝てはならぬ(トゥーランドットより) 

好きなブランド 
 普通の意味ならなし,本や電気メーカーetcならありますが。。。


送り主を色に例えると 
 ホワイトかな。。。まだ,つきあいが浅いので第一印象のみですが。。子供が2人いるのに未だ特定の色には染まっていないような感じ。。。。
 

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2008年9月22日 (月)

形式論理学(5)

 ブログ記事の中には私自身の気紛れのために途中で他に関心が移り,数回の連載を意図して書き始めたにも関わらず,結局最後まで完遂することなくほったらかしになった記事もいくつかあります。

 

 ときどきブログ全体を回顧して見ることがあるのですが,そうした途中やめになっている記事についても,日頃からいつかはそれらの続きを書きたいと思っています。

というわけで今回は2007年10月4日から10月18日にわたり4回だけ連載して中途になっている記事「形式論理学(1)」,形式論理学(2) 」,「形式論理学(3) 」,「形式論理学(4)の続きを書こうと思います。

シリーズ最後の記事「形式論理学(4)は新しい"一般性を持った論理の規則=形成規則"を定める次の文章で終わっています。

(過去記事の再掲部分)↓

  

かくして,論理形式に適した文の新しい形成規則としては,出発点となる文の範囲(0)をやや拡張し,与えられている文から新しい文を作るための方法を定める規則:1~5 に,量化子∀,∃を扱う規則;6を追加したもので与えられることになります。

 

0:出発点.任意のn項述語の後ろにn個の名称を続けたものは文である。(n=2の場合の例:Tab,Tbbは文です。しかし,Txbは文ではありません。xは変項であって名称(名前)ではないからです。)

 

※新しい文を生み出す6つの操作 

 

 1:否定.任意の文の先頭に ¬ をつける。

 2:連言:2つ以上の任意の文の列において隣り合う文の間に∧を書き,そうしてできたものを括弧でくくる。

 3:選言:2つ以上の任意の文の列おいて隣り合う文の間に∨を書き,そうしてできたものを括弧でくくる。

 4:条件. 任意の2つの文の間に⇒を書き,そうしてできたものを括弧でくくる。

 5:双条件. 任意の2つの文の間に ⇔ を書き,そうしてできたものを括弧でくくる。

 6:量化.何らかの名称rが現われているが変項が現われない全ての文,..r..において,rが現われる全ての箇所をxで置き換え,先頭に ∀x,または ∃xを付ける。

 後にさらに改定した規則を与えるまでの間は,規則:0~6 から得られるもの以外に文であるようなものは存在しないとします。

 

(再掲終わり)

 

 上述の形成規則を形成の木と呼びます。

  

これを用いる1例として,文:"∀x(Txb⇒Tab)"を作る場合なら,まず,出発点の規則(0)によりTcbとTabを作り,次に規則(4)によって(Tcb⇒Tab)とします。

 

そして,規則(6)によって,∀x(Txb⇒Tab)を作るわけです。

例えば "あらゆるxについて(xはモリアーティを捕まえることができる⇒ホームズはモリアーティを捕まえることができる);¬(ホームズはモリアーティを捕まえることができる):それ故,¬(モリアーティを捕まえることができるようなxが存在する)"という命題を考えます。

 

これは,ホームズをa,モリアーティをb,"捕まえることができる"をTという記号で表現すると"1.∀x(Txb⇒Tab)(前提);2.¬Tab(前提);⇒ 3.¬∃xTxb(結論)"という論理式になります。

 

そして,この命題の妥当性を示すことは3つの文の集合:"1.∀x(Txb⇒Tab);2.¬Tab;3.¬¬∃xTxb"の矛盾を示すことと同等になります。

そして既に前の記事で述べたことですが,これを示すには次のようにします。

まず,"1.∀x(Txb⇒Tab);2.¬Tab;3. ¬¬∃xTxb"なる3つの文の集合の中から,"3.¬¬∃xTxb"にチェック(✓)を付け,その代わりに"4.∃xTxb"なる行を追加します。

さらに,"1.∀x(Txb⇒Tab)"なる文の前提は∀xなので,これはxが何であろうと括弧の中の命題は成り立つことを意味しますから," 5.Tbb⇒Tab"が成立します。

 

しかし,命題1.からは,なおも5.とは別の独立な情報が獲得できる可能性があるので,まだ1.にはチェック印✓をつけません。

次に,"5.Tbb⇒Tab"は"¬Tbb∨Tab"と同値ですから,ここから"6a.¬Tbb"と"6b.Tab"の2つの文に分岐します。

 

この段階で,"6b.Tab"の方の分枝は,前に"2.¬Tab"があり,これと矛盾するので閉じますが,"6a.¬Tbb"につながる分枝はなお開いています。

一方,"4.∃xTxb"は,Txbを成立させるあるxが存在することを意味するので,この"bを捕まえることができる(Tb)少なくとも1人は存在する(∃x)誰か=x"の名称をcとして,"7.Tcb"と書くことができます。

 

そして,この 4.は1度しか使えないので,"7.Tcb"を作るのに使用したため,4.には使用済みのチェック印✓をつけます。

さらに,もう1度"1.∀x(Txb⇒Tab)"を用いて,"8.Tcb⇒Tab",すなわち"8.¬Tcb∨Tab"が成立します。

 

この8.は"9a.¬Tcb","9b.Tab"と展開できます。

 

そして,左の分岐"9a.¬Tcb"は前の文"7.Tcb"と矛盾するので閉じます。

 

一方,右側の分岐"9b.Tab"は,再び"2.¬Tab"との矛盾によって閉じます。

上のように,文を∀xで表現する規則を普遍例化(UI)といいます。

 

(UIはuniversal instantiationの略)

 

"∀x..x.."というような形の行を持つ開いた経路がある場合,その行にはチェック済みの印✓を付けず,その経路に現われる名前nの全てについて,上のxにnを代入した,"..n.."をその経路の下端に書き足します。

 

しかし,もしもその経路にどんな名前も現われていないなら,適当な名前nを取って"..n.."を書き足します。

また,文を∃xで表現する規則を存在例化(EI)といいます。

 

(EIはexistential instantiationの略)

 

"∃x..x.."というような形の行のうち,まだチェックされていないものがあれば,まずそれにチェック済みの印✓を付けます。

 

そして,その行を含む全ての開いた経路を見て,それが上のxにnを代入した,"..n.."という形の行を含んでいればそのままにしておき,一方,そうした行がないなら,まだその経路に現われていない適当な名前nを選んで経路の下端にxにnを代入した"..n.."を書き足します。

ただし,この2つの規則は括弧を省略せず,形成規則通りに書いたときに,文字通り先頭に量化子が来ている行だけに適用できます。

 

そこで,例えば上のUIの規則を∀x(Mx⇒H)には適用できますが,∀xMx⇒Hには適用できません。

 

後者は(∀xMx⇒H)の省略形でこれの先頭は括弧であって量化子∀ではないからです。

また,こうした量化子を含む文の否定は単に¬∀xを∃x¬に,¬∃xを∀x¬に,と書き換えればよくて,これによって行を簡単に処理できることもわかります。

 

実際,ド・モルガンの規則などの説明と同じく,論理的に考えると"¬∀x○"は空でない論理領域の中での全てのものが○という属性を持つことの否定ですが,これはその論理領域の中に属性○を持たないものがあるということ:"∃x¬○"と同値です。

 

そして,"¬∃x○"は論理領域の中に属性○を持つものがあることの否定ですが,これはその論理領域の中の全てのものが属性○を持たないということ:"∀x¬○"と同値ですね。

そこで,¬∀xを∃x¬に,∀xを¬∃x¬に,¬∃xを∀x¬に,∃xを¬∀x¬に書き換えてよい,という簡単な規則が得られます。

例として,"∀xMx⇒∃xMx"なる文の妥当性の論証を考える場合なら,これは"∀xMx,¬∃xMx"の矛盾を示すことと同値です。

 

これの真理の木は,"1.∀xMx","2.✓¬∃xMx"3.∀x¬Mx","4.¬Ma"(3より),"5.Ma"(1より)です。

 

したがって,4,5から木は閉じているので,この枝に×印をつけて最初の命題は妥当であることがわかります。

もう1つ例を出します。

 

それは命題:"(∃xMx⇒H)⇒∀x(Mx⇒H)"です。

 

この命題の意味は,例えばMが母親であること,Hが大人であることを意味する場合であれば,"ある人の母親であるなら彼女は大人である。"ということが正しいなら"xの母親なら彼女は大人である,ということがどんなxについても成り立つ。"ということを表わします。

 

これの妥当性の論証は"∃xMx⇒H;¬∀x(Mx⇒H)"の矛盾を示すことと同値です。

これの真理の木は,"1.✓∃xMx⇒H","2.✓¬∀x(Mx⇒H)","3.✓∃x¬(Mx⇒H)"(2より),"4.✓¬(Ma⇒H)"(3より),"5.✓Ma∧¬H"(4より),"6.Ma"(5より),"7.¬H"(5より),"8.✓ ¬(¬∃xMx∧¬H)"(1より),"9.✓H∨∃xMx"(8より),"10a.H"(9より) ←この枝は×です(7より)。

 

また,"10b.✓∃xMx"(9より),"11.∀x¬Mx"(10bより),"12.¬Ma"(11より) ←この枝は×です(6より)。

 

以上からこの木は閉じていることが示されました。

この論題について述べるのは久しぶりなので,思い出すという意味で,今日のところはこれで終わります。

参考文献:Richard Jeffrey著(戸田山和久 訳)「形式論理学」(その展望と限界)(産業図書)

 

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宿命(東野圭吾)

 東野圭吾の作品については2008年5月8日の記事「流星の絆(東野圭吾)」で現在もベストセラーであるらしい「流星の絆」を読んだことを書きました。

 そのときには物語としては感動的であったけれど書き下ろしではないせいか最後の事件解決部分の顛末には不自然なドタバタを感じてやや不満が残ったという個人的感想を書きました。

 とにかく興味を覚えたのでそれからは,彼の小説をいくつか読みたいなと思っていましたが,誰の小説であっても昔から短編物はめったに読む気にならず,逆に長編過ぎる小説も若いときのように一気に読むほどの根気がないので敬遠していました。

 しかし,最近,近くの本屋で,程よい長さの文庫本で「宿命」というのを見つけたので,買ってすぐに読んだのですが正にビンゴでした。

 もろに自分の琴線に触れて後半は奇想天外な偶然の連続でしたが涙ボロボロでした。。。

 今回は私的には完璧だと思いましたね。。。

 金がなくても文庫本くらいは古本でも買えるし,ヒマはあるので,後は心がすさんでいたりして酒をのみたいという衝動が湧いたり,あるいはライフワークをやらなけれいけないとか,科学ブログを書かなければいけないというような金銭とは無関係な仕事に追われるというアセリに急かされることもないほど心の余裕がありさえすれば,推理小説を読むという,音楽鑑賞と同じくらい贅沢なオアシスに浸れるのですが。。。。

 何故か貧乏性の性分なので,こうした時間はめったにありませんけど,次は長編に挑戦してみるかな。。。

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2008年9月19日 (金)

人を愛するということ

 また,ヒマだからくだらないことを考えたりしました。「小人閑居して不善をなす」とかよく言われますが,私など凡人なのであまりヒマだとオナニーでもするという意味でしょうか。。当らずといえども,ですね。

 実践的に人を愛したことも愛されたこともほとんどないくせに,表題のようなことを考えたりするのは,やはり閑人だからでしょうね。

 まあ,人を愛するとはいっても同一性障害などがない普通の場合の異性を愛することについて考えたのですが,愛には昔から大きく分けて「神のような愛(あるいは肉親の愛)=アガペー」と,「恋愛に属するもの=エロス」の2種類に大別できるという考え方があると思います。

 本当に2種類でいいんでしょうかね?

 私の場合,相手が肉親と異なる恋愛対象の異性でも,実際の交際経験でも何故かエロスではなくてアガペーに似たようなものしか感じたことがないなあ!!と思って,ずいぶん物足りない感じがあります。

 エロス的に人を愛するというのは,相手が育ちが良くて上品だからとか,頭が良くて尊敬できるとか,あるいはセンスがいいとか運動能力や行動力が優れている仕事ができる金持ちだからとかの優越性に対するあこがれとか,

 または,変態性なので,これらと全く逆の性質だから好きだ。とかいうように,具体的に挙げられるような理由があって愛するというようなものではないと常に思っています。

 もしも,あこがれとか尊敬とかの理由で愛していると思うのであれば,私的にはそれは勘違いではないか。。と思います。

 もっとも,それがエロスに発展することは大いにあるでしょうが。。。

 あるいは,それらの属性に容姿,人格も含めた総体から愛情が湧いたとしてもその愛は,神に対する愛のようなもの=アガペーであると思います。

  エロスというのは,むしろ若いときにはありがちな一目惚れに近いもので理由は後付けであって,好き嫌いの感情に理由や打算があるようなものは全てアガペーであってエロスではないと概念規定したくなります。

 まあ,人間も含めた"動物の種族保存本能"に根ざしたものがエロスであると規定されると思うので,損得勘定も入った個人の優劣性が理由で湧いた愛情もエロスではないか?と言われるとちょっと違うのじゃないか?と考えますが,その可能性も完全に否定はできませんがね。。。

 結局,異性間にも適度なアガペーと適度なエロスの両方があるのが幸福ではないかと思います。

 私?私はエロスだけあればいいのですが,何故か周りにありそうなのはアガペーだらけで,まあ無いよりはましですがエロスと勘違いしそうですね。。。

 しかし,なぜ頭でっかちにエロスだのアガペーだのと厳密には線引きもできない既存の概念に振り回されているのだろう。。

 そんなの考えずに単に動物的に行動すればいいだけだろうに。。

 でも思ったとおりにやると,私の場合は手が後に回っちゃうかも。。。

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金もないのに深酒をしてしまいました。

 たまには普通の日記も書こう。。

 昨夜,18時半から20時半まで池袋で先週から通い始めた手話サークルへ行きました。

 雰囲気は結構楽しかったのですが,聴覚障がい者も含め20人くらいいる男女の出席者の中で私一人だけが新米で,ほとんど何も通じないのはちょっとさみしかったです。

 外国人たちの中に,一人だけ彼らの言葉のわからない自分がいるという感じでした。

 手話は外国語のようなものだと思ったので,その中に放り込まれたら"門前の小僧さん"で自然に覚えざるを得ないだろうから,普通に勉強するよりも効率がいいだろうと都合のいいように解釈したのですが,まあ当分はこうした状況も仕方ないかなと思います。

 ちょっと気付いたのは,音声でしゃべるのと違って,目が見えさえすれば周囲が大音響の中だろうと,またかなり遠くに離れている相手だろうと,音よりも速いスピードで相手と意思の疎通が可能だし,手は2つあるので,その気になれば同時に2つの意味の言葉も表現できるとかということです。

 さらにプラスして,障がい者でなければ音声でもしゃべれるので頭が付いてくるなら同時にたくさんの話ができるのじゃないか?などと余計なことまで考えてしまいました。

 ただ,外国語もそうですが,自分の意思を相手に伝えるだけなら文法など無視して知っている単語を並べればいいだけだと思うのですが,相手の手話を見て理解することいわゆるヒアリングはやはり一番むずかしいと思いましたね。

 それと教えてくれる人の利き手が同じなら,向かい合ってマネすると手が反対なので,隣の人に教わった方がわかりやすいみたいです。

 まあ,このサークルでは齢と共におしゃべりになっていく私が,隣に他人がいるにも関わらず,必然的に2時間くらいもほぼ無言でいることになるので,たまにはいい薬ですね。

 で,例会が終わってから夕食を取るのを忘れていたのに気付いて駅の近くの松屋で牛丼を食べて,夜10時前にサンシャイン通りにある知り合いのママが7月末に開店したスナックに行きました。

 途中で,ゲイバーの看板の前で美人ですが明らかに男とわかる,店のママ?らしい人に声を掛けられましたが,予定があるので断って,ついでに1回しか行ったことがなく,ちょっとわかりにくい目的の店までの道を詳しく教えてもらってちゃんと店に着きました。

 約1ヵ月半ぶりに開店時と同じ女性が2人そばについてくれて,彼女たちの源氏名を偶々覚えていたので結構喜ばれました。

 まあ,しょうもないことでも覚えてしまうのは私の病気で,いいことだけ記憶し悪いことは忘れてしまうから人間は健康な精神を維持できるはずなのに,私の場合は,気に留めた事であればほとんど消えない,という病気なので便利なこともありますが,ある意味トラウマだらけになってしまって困るのですが。。。

 お店の名前は同じなのに夜中の12時には経営者?あるいはママが交代するというので,最終電車も丁度そのくらいだし夜12時の閉店時には帰途につきましたが,今朝には1万円くらいあった持ち金が200円くらいになって,電車代しかありませんでした。

 まあ,先のことは考えず,今が楽しければいいと思っているので,こうしたことは最近ではよくあることですが。。。。

 しかし,実際次の日になって,どこかへ行きたいと思ってもバス代も電車代もなく,どうしても約束があって片道料金だけで行って,帰りの運賃は相手に借りたこともあります。

 約束した相手に会えなくて,帰りは金が落ちてないかと探して最後は遠くても歩いて帰ったりしたこともあります。

 また外食したいとか販売機でコーヒーとか飲みたいと思っても,何も買えなくて困ることも多々あるのですが。。

 いい歳をして何してんだか全く行き当たりばったりです。

 まあ,私はアリとキリギリスのキリギリスさんを自称していますから,別に江戸っ子ではないけど「宵越しの金は持たねえ」とか,まあ,「ジタバタしたって人生高々100年。。狭い日本そんなに急いでどこに行く」ってなもんでしょうか。。。

 つくづく自分は能天気な苦労知らずのおボッちゃんだ思いますね。

 飽食日本じゃなきゃとっくにあの世かも。。

 食っていくギリギリの金しかいらない。。などとキレイゴトを言ってますが,元々凡人なのでひょっとして宝くじにでも当れば豹変するかも。。。

 こうした話を,知り合いにすると,よくウソ八百を並べていると思われることがあるようですが,粋がってみても何の得にもならず殴られたりするのが落ちですし,私は不器用なんで皮肉言われてもわからないくらいですから冗談ではありません。

 その場の勢いで出任せのホラを言ったり書いたりしても後でバレたら無茶苦茶に気まずいですから損ですよねえ。

 今日最後に言ったゲイバーのママにも初めてなのに私がべらべらしゃべってたら,「職業は詐欺師じゃないの?」と言われましたね。

 そういえば,未だにそうですが,どこでも自分の名刺を渡すのが癖だったので,昔は会社に覚えがない店から暑中見舞いなどが届いて「おい,また来てるぞ」とかありましたね。

 ストリップの"かぶりつき"でつい踊り子さんに名刺を渡したら「こんなとこで渡すもんじゃないわよ。。」とか説教されたこともありましたね。

 常識がないことを自慢して粋がってどうすんだよ?>自分

 まあ,ブログ=日記ですから個人の誹謗,中傷でないなら,ある意味どんなことを書いても批判されるいわれはないかなとも主張してみたり。。。

 ニュースで見たけど私と同じ読み方の姓を持つ最高齢者(113歳)がインタビューで酒もタバコもやらず,間食もしないと答えていましたが何が楽しみで生きているんだろう?

 まあ,その他にもひょっとしたら物理学の勉強や研究とかの趣味,楽しみがあるかも知れないから,大きなお世話でしょうけど。。

 ある意味では私とは大分違うと思いました。。

 私の場合は世間で体に悪いと言われていることばかりしてます。

 医者に禁止されているタバコを吸ったりとか。。

 何でも1本で5分くらい寿命が縮むんだとか。。

 てやんでぇ,長生きしたきゃ,生まれたときからシェルターの中にでも隔離されて有害な太陽光線や有害な大気,有害な飲食物を避け,仕事も何もしないでいればいいじゃんか。。

 だけど,そんなお金がない家に生まれたら生きてくにゃ働かなきゃならないし,普通の生命活動をしていれば歩くだけでも諸刃の剣で,それだけで5分や10分なら人によっては寿命が延びる人もいれば縮む人もいるだろう。。

 そもそも普通に生きていくことは命を縮める活動だ。。などと例によって屁理屈を述べながら,自分を正当化して,こんなことも酒の肴にしています。

 そして,夜12時頃駅までの帰りに,またゲイバーのママに飲んで行かないかと誘われたけど財布に200円しかないのでと断ったら,カードでも飲めるというし1万円でいいと言われたので,ゲイバーとしては適正値段だと思って,しかも相手は私が現金を持ってないくらいの貧乏人だということも知っていることだし帰りのタクシーもカードで乗れるからということで,ついつい入ってしまいました。

 池袋のサンシャイン通りにもゲイバーあったんですね。

 ただ,エレベーターのない4階だったので,心臓疾患のせいで階段をのぼるのは大変でした。肩を借りて上りましたが酔っ払いと思われたのでしょうね。

 店の中は,カウンターとボックスがあって,10畳足らずのスペースで,もう1人女の子?がいるだけで,平日だし客は私だけでした。

 まあ誰もいないから,ママ本人が客引きやってたんでしょうけど。。。

 ゲイバーは昔は上野の浅草口付近に,行き着けの店「薔薇の館」があって,これは大きな店だったので,お客には吉原の下半身関係の商売の女性たちもかなりいて彼女たちと懇意になれるというメリットもありました。

 また,数年前までは新宿2丁目にも行きつけがあったのですが,それらは今は無くなっているし,自分は今は貧乏で近場の安いところでしか飲めないし,そうした店は普通のところよりも高いので最近は行くことがなくなっていました。

 だから,曲がりなりにもゲイバーと名の付く店は久しぶりですね。ただ,近場はいざ知らず,若い頃なら初めて入る店は億劫でゲイバーも含めて大抵は複数で入ったものでしたが。。。

 かつて去年かな?,神楽坂のスナックで久しぶりに行ったのに最後はゲイバーとホモバーの違いについての馬鹿な口論となってママとケンカ別れしたことを思い出したので,ゲイバーのママ本人に,それを聞いて私の方が正しいことを再確認したりしました。

 非常に単純な違い,客がノン気なのがゲイバーです。

 私もしつこいですねえ。。。

 結局,3時前になって帰りましたが,追加料金も発生していて,カードですが千円値切りました。

 冗談でしょうが,久しぶりにスカウトもされましたが,いい歳でノン気だしホモの振りをしようにも演技は下手なのでね。。。

 いつものように,中にいた二人が私を接待していて商売抜きで楽しかったかどうかも気になりましたが,まあ客である私は大いに楽しかったのでよかったですね。ケセラセラ。。あとは野となれ山となれ。。馬鹿は死んでも治らない。。。

 PS: ↑ しかし,後で読むとこういう内容の記事は"個人のブログ=日記"で匿名とはいうもの,公開していて芸能タレントでもないのに読まれることを意識しており,露悪的内容とはいっても自己顕示そのものですねlぇ。。。

 PS2:お金も体力もないので手話サークルに毎週通う精神的余裕がなくなり,今のところ半年ほど手話の勉強は停止しています。(2009年6月) 

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2008年9月17日 (水)

相対論の幾何学(第Ⅰ部-12:ガウス・ボンネの定理)

今日はガウス・ボンネの定理(Gauss-Bonnet's theorem)について述べます。

 

ユークリッド幾何学では平面上の三角形の内角の和はπであることがわかっていますが,例えば球面上では赤道や子午線などの大円である測地線で描いた三角形の内角の和はπよりも大きいことはよく知られています。ガウス・ボンネの定理はこれを説明できるものです。

この定理は,多様体(manifold)の曲率を位相幾何学での位相不変量であるオイラー数や種数(genus)と結びつける話になり,物理では弦(ひも)理論(string theory)などとも関連があります。

また,昨年3月末から4月末までの入院中に病床でほぼ1ヶ月間勉強した内容を4月22日に退院後,2007年4月24日から5月5日,5月15日から6月7日の2つに分けてブログ記事にまとめて連載したフックス型微分方程式入門の関連とも関係しているようですね。

フックス型微分方程式関連の連載記事は2007年4/24の「線形常微分方程式の確定特異点と不確定特異点」に始まり,5月後半の「超幾何微分方程式の代数関数解(シュワルツ)(1),(2),(3),(4),(5)」,6月の「有限なモノドロミー群と代数関数解」,「フックス関数の理論(1) (ポアンカレの登場)」,「フックス関数の理論(2) (ポアンカ レの理論) 」に終わるものです。

 

フックス群の基本領域がフックス型方程式の3つの確定特異点を頂点とする円弧三角形とその反転から成るため,最後は群の構造と非ユークリッド幾何に従う三角形の内角の和の話になっています。

さて,本題に入ります。

元々,外微分形式は積分記号の内部の演算を形式的に表現したものとして考案されたものであることは良く知られています。

(u,v)平面内のある領域をDとするとき,Dで定義された1次微分形式φ=fdu+gdvとD内の曲線C:u=u(t),v=v(t);a≦t≦bが与えられたとき,微分形式φの線積分を∫Cφ=∫abf(du/d)+g(dv/d)dtによって定義します。

 

また,Dにおいて2次微分形式ψ=hdu∧dvが与えられたとき,Dに含まれる領域A上でのψの積分を,∫Aψ=∫∫Ahdudvで定義します。 

この定義では,∫Afdv∧du=-Afdu∧dv=-∫∫Afdudvが成立し積分に2次微分形式の交代性が反映されます。 

また,(u,v)平面を(x,y)平面に変換する写像をx(u,v),y(u,v)とすると,kdx∧dy=k{(∂x/∂u)du+(∂x/∂v)dv}{(∂y/∂u)du+(∂y/∂v)dv}=k{(∂x/∂u)(∂y/∂v)-(∂x/∂v)(∂y/∂u)}du∧dv=k{∂(x,y)/∂(u,v)}du∧dvとなります。

 

そこで,∫∫A(x,y)dxdy=∫∫A(u,v){∂(x,y)/∂(u,v)}dudvなる重積分の座標変換不変性の公式とも,うまく整合しています。

特に,1次微分形式φがφ=dfと書けるときには,φ(∂f/∂u)du+(∂f/∂v)dvなので,Cφ=∫ab[(∂f/∂u)(du/dt)+(∂f/∂v)(dv/dt)]dt,すなわち∫Cdf=f((b),v(b))-f((a),v(a))と書けます。

 

これは微積分の基本定理に他なりません。

 

そして,これを2次元以上に拡張した微分形式の積分定理はストークスの定理(Stokesの定理)と呼ばれます。

このストークスの定理については,2006年10/21の記事「ポアンカレの補題」で紹介し,2007年12/20の記事「微分形式とベクトル解析 」ではかなり詳しく解説しています。

 

この定理は,任意の(k-1)次微分形式ωと,その外微分dωのk次の領域A,および (k-1)次の境界∂Aにおける積分について,∫Adω=∫∂Aωなる等式が成立するというものです。

例えば,∫Adω=∫Aωのωが1次微分形式φ=fdu+gdvである場合を想定して,領域Aが特に0≦u≦a,0≦v≦bなる矩形の場合を考えると,dφ=(∂g/∂u-∂f/∂v)du∧dvより,∫Adφ=∫0a0b(∂g/∂u-∂f/∂v)dudv=∫0b{g(a,v)-g(0,v)}dv-∫0a{f(u,b)-f(u,0)}du=∫0af(u,0)du+∫0bg(a,v)dv+∫a0f(u,b)du+∫b0g(0,b)dvです。

 

それ故,ストークスの公式∫Adφ=∫∂Aφが確かに成立することが確かめられます。

以下では,ストークスの定理が成立することを認めて,本題であるガウス・ボンネの定理の記述に移ります。

 

ストークスの定理の証明については上記2007年12/20のブログ記事「微分形式とベクトル解析 」を参照してください。

さて,まず,(u,v)平面内の領域Dにリーマン計量ds2=θ1θ1+θ2θ2が与えられているとし,その構造方程式をdθ1=-ω21∧θ2,dθ2=-ω12∧θ1,およびdω21=Kθ1∧θ2 12=-ω21)とします。

 

ただし,Kはガウスの曲率です。

このとき,Dに含まれる領域Aにおいてのdω21とω21に対するストークスの定理∫Adω21=∫Aω21によって,∫AKθ1∧θ2=∫∂Aω21が得られます。

 

そして,領域Aの境界∂Aは有限個の微分可能な曲線弧α1,α2,..を繋いだもので形成されているとします。

まず,α1,α2,..のうちの1つのαiだけを固定して,それを単にαと書き,曲線上の点αの弧長パラメータsによるベクトル表示をα(s)とします。

そうすれば,α'(s)=dα/dsはsにおける単位接クトルですが,これがθ12の双対基底1,2を用いてα'(s)=ξ11+ξ22 1ξ1+ξ2ξ2=1)と書けるとします。

 

このとき,ν≡-ξ21+ξ12とおけば,このベクトルνは曲面上でα'(s)と直交する単位ベクトルです。 

一方,前記事では,曲面(u,v)上の曲線(s)=(u(s),v(s))に対し'(s)が一般の正規直交標構(1,2,3)を用いて'(s)=ξ11+ξ22と表現されるとき,

 

"(s)=gnを満たす測地的曲率ベクトルgと法曲率ベクトルn,g=Σi=12(dξi/ds+Σj=12ξiωij/ds)i,n=Σi=12iωi3/ds)3と表わされることを見ました。

 

そして,特に,1(s)≡'(s)とし1に垂直で曲面に接するものを2と選ぶ特別な正規直交標構11,ξ20)では,g=κg2,nκn3 (31×2)と書けることも見ました。

そこで,前記事での(s)をα(s)に'(s)をα'(s)=ξ11+ξ22に置き換えると,α(s)に対する測地的曲率ベクトルは,g(dξ1/ds+ξ2ω21/ds)1(dξ2/ds+ξ1ω12/ds)2です。

 

さらにg=κgν,またはκg(g,ν)となることがわかります。

 

したがって,κgds=(gds,ν)({(dξ1+ξ2ω21)1(dξ2+ξ1ω12)2},-ξ21+ξ12)=ξ1dξ2-ξ2dξ1ω21が成立します。 

これは1ξ1+ξ2ξ2=1により,ξ1cosφ,ξ2sinφとおけば,ξ1dξ2-ξ2dξ1=dφなので,κgds=dφ-ω21と書けます。

 

よって,∫αω21+∫ακgds=αdφが成立します。

 

ここでα'= cosφ1sinφ2なので,φ=φ(s)は幾何学的には点αα(s)における曲線の接線α'=α'(s)が,その点での11(s)となす角ですね。

曲線α(s)(0≦s≦l)が領域Aの境界∂Aの全体を示す閉曲線なら,α(0)=α(l)です。それ故,cosφ(0)=cosφ(l),sinφ(0)=sinφ(l)ですから,リーマン計量ds2=θ1θ1+θ2θ2などに関係なく三角関数の周期性によってφ(l)=φ(0)+2kπ(k=0,±1,±2,..)です。

 

そして,特にα(s)が円の場合にはk=1でφ(l)=φ(0)+2πですから,α(s)が空間の単純閉曲線なら,∫αω21+∫ακgds=αdφ=φ(l)-φ(0)=2πです。

よって,今の曲線α(s)(0≦s≦l)が境界∂Aの全体の場合には,∫∂Adφ=2πであり,したがって∫AKθ1∧θ2=∫∂Aω21により∫AKθ1∧θ2+∫∂Aκgds2πが得られます。

次にAの境界∂Aがn個の滑らかな曲線弧α1,α2,..αnを順に繋ぐ閉曲線という一般の場合を考えます。

 

曲線弧αiからαi+1(i=1,2,..,n-1)に移る際に接線αi'の角φiが不連続にφi+1に変わる角をεi (ただしαnからα1に移るときはεn)とします。

 

曲線弧α1,α2,..,αnの各々が直線分で全体として平面上のn角形を示す場合なら,角εiはi番目の頂点での外角に相当します。

したがって,αiαi+1との連結点でのsをsiとするとき,φi+1(si)=φi(si)+εiです。

 

それ故,∫∂Adφ+Σi=1nεi=Σi=1ni(si)-φi(si-1)}+Σi=1nεi=2πとなりますから∫∂Adφ=2π-Σi=1nεiと書けます。

以上から,一般の場合には∫AKθ1∧θ2+∫∂Aκgds2π-Σi=1nεiなる等式が成立します。

 

これを,最も素朴な形のガウス・ボンネの定理と言います。

 

特に測地線の上ではκg0 ですからAKθ1∧θ22π-Σi=1nεiです。

 

こうした測地n角形のi番目の内角をιiと置けばεi=π-ιiですから,Σi=1nεi=nπ-Σi=1nιiとなります。

 

そこで,ガウス・ボンネの定理はn角形については,(内角の和)=Σi=1nιi=(n-2)π+∫AKθ1∧θ2を意味します。

特にn=3でn角形が3角形の場合なら,(内角の和)=ι1+ι2+ι3=π+∫AKθ1∧θ2です。

 

リーマン計量が,ds2=θ1θ1+θ2θ2のとき,θ1∧θ2は微小面積要素dAを示していると考えられます。

 

そこで,∫AKθ1∧θ2=∫AKdAと書けば,dA>0 により,ガウスの曲率Kがゼロのユークリッド平面内なら3角形の内角の和はπですが,球面や回転楕円面のように曲率Kが正の曲面内なら,内角の和はπより大きく,馬の鞍型のようにKが負の曲面内なら,内角の和はπより小さいことがわかります。

ただし,この形のガウス・ボンネの定理が成立するのは(u,v)平面の領域A⊂Dが単連結の場合のみで,Aが同心円の円環領域のような場合には,これは成立しないことを強調しておきます。

次に,これまで(u,v)の関数として(u,v)と表わしてきた曲面Sが閉曲面の場合を考えます。

 

すなわち,(u,v)平面の領域DがD=Σααと分割され,曲面片の和集合として与えられ,各々のαにおいて閉曲面Sは,(x,y,z)=φα(u,v)=(fα(u,v),gα(u,v),hα(u,v))で表わされる曲面片αφα(Dα)の和集合で与えられるとします。

 

ただし,Dαからαへの変換行列{∂(x,y,z)/∂(u,v)}は全てのαの点において階数が2であるという平面の存在条件を満たしているとします。

つまり,φαは確かに2次元曲面を表わす,Dα→Uαの同相写像であって,その逆写像φα-1:Uα→Dαが常に存在し,Dαφα-1(Uα)が成立するというわけです。

 

そして,αβ≠φなる場合には,α,βの点(u,v)のうちでαβ≠φに対応する部分を,それぞれαβφα-1(Uαβ),Dβαφβ-1(Uαβ)と定義して,αβφα-1φβ(Dβα)なる対応φα-1φβも同相写像であるとします。

 

これらは,私がかつて独習して学んだ多様体の定義と同じですね。 

曲面が全て境界となる辺と頂点を除いて互いに素な3頂点を持ち辺が曲線弧の三角形で囲まれた単連結領域の直和に分割できることは直感的には明らかですが,これを証明するのはかなり面倒なので,ここでは分割可能であると仮定して話を進めます。

 

要するに,対象をコンパクトな多様体であると仮定するわけです。

まあ,数値解析の手法としての有限要素法では,曲面で囲まれた領域を立体近似し,境界の閉曲面を曲線三角形ではなく直線三角形の直和に分割するので,通常の感覚では,これに違和感はないですね。

曲面αφα(Dα)での分割三角形の各辺に向きを付けて,三角形を辺の向きに周回するときに内部が左手に見えるようにします。

 

このとき,隣り合う三角形では共有する辺の向きは互いに正反対になって経路に沿った2つの線積分は打ち消し合います。

 

このように向きを付けることができることを,"向き付け可能である"といいます。

曲面上の各三角形領域をTjとし,曲面S全体の三角形分割がf個のTjの直和としてS=Σj=1fjと書けるとします。

 

各々のTjを与える(u,v)平面上の三角形をAjと書いてTjの内角をιj1j2j3とすれば,先の3角形に対するガウス・ボンネの定理はTj,Ajについて,AjKθ1∧θ2+∫Ajκgdsj1+ιj2+ιj3)-πとなります。

そして,コンパクトな閉曲面においてはDKθ1∧θ2Σj=1fAjKθ1∧θ2,かつ∫∂DκgdsΣj=1fAjκgds=0ですから,∫DKθ1∧θ2Σj=1fj1+ιj2+ιj3)-fπなる等式を得ます。

 

f個の三角形の頂点は全て閉曲面の内部にあり,頂点を共有する三角形の内角の和は全て2πですから,曲面全体での頂点の個数をvとすればΣj=1fj1+ιj2+ιj3)-fπ=2vπ-fπ=(2v-f)πです。

 

この場合には,ガウス・ボンネの定理はDKθ1∧θ2(2v-f)πとなります。

ところで,各3角形jにはそれぞれ3個の辺があって,全て隣り合う3角形と共有していますから,辺の数をeと置くと3f=2eです。そこで,2v-fにf=2e-2fを代入すれば,2v-f=2(v-e+f)ですから∫DKθ1∧θ2=2(v-e+f)πです。

ところで,v-e+f=[(曲面Sの頂点の数)-(辺の数)+(面の数)]をSのオイラー数と呼び,χ(S)と書く習慣があります。

 

そこで,コンパクトで向き付け可能な2次元多様体Sについては,∫DKθ1∧θ2=2πχ(S)と書けます。

 

これが閉曲面に対するガウス・ボンネの定理の表現になります。

この等式の左辺は曲面Sだけで決まり,三角形分割の仕方に依存しないので右辺のオイラー数χ(S)も曲面Sだけで決まる位相不変量であることがわかります。

 

逆に,位相幾何学の知見からオイラー数は曲面Sだけで決まり,リーマン計量にはよらないので,左辺の∫DKθ1∧θ2はθ12の選択には独立であるということがわかります。

そして,一般にトーラスのように穴が開いて(取っ手が付いて)いるような多様体Sでは,こうした穴(取っ手)の数を種数と呼び,これをgで表わして,Sを種数gの曲面と呼んで分類しますが,オイラー数はχ(S)=2-2gで与えられることがわかっています。

 

普通の四面体や球のような立体なら,g=0 でχ(S)=2ですから∫DKθ1∧θ2=2です 。また,トーラスならg=1なのでχ(S)=0 ですから∫DKθ1∧θ2=0 となります。

 

そこで,トーラスではK>0 のところとK<0 のところがあることがわかります。

 

ちなみにクライン(Klein)の壷は向き付け可能ではありません。 

今日はここで終わります。 

参考文献:小林昭七 著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房)

 

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2008年9月14日 (日)

好美(よしみ)チャンの思い出

 私の人生は,今の自分を肯定するなら失敗も含めた総体がそれですから,これが成功,これが失敗と分類して"ああすればよかったのに"と後悔や反省をすることはほとんどありません。

 いわゆる”タラレバ"ですから,その状況でそう判断して行動した,あるいは不可抗力によってそうせざるを得なかったという岐路でのTPOもまた多世界のうちの1つの選択にしか過ぎないわけです。

 しかし,恥ずかしいことですが,,若い頃は男であるから程度の差はあれ,ある意味仕方ないことなのでしょうが,女性に対して何故かコンプレックスがあるため極度に女好きであるということを,ひたすら理性的な仮面で隠そうとしていたことが私の思春期以降ほぼ30年間にわたる抑うつ性の精神的な病気の主たる原因でしょう。

 そして自分が傷つきたくないために,まともな恋愛ができなかったというのは,やはり,この歳では取り返しのつかないことなので後悔,反省の対象とせざるを得ません。

 確かに他人に打ち明けても未だに冗談だと思われることが多いですが,かつては今よりもずっと自覚症状のある精神の病持ちであるということが負い目だったために遠慮したこともあったと思いますが。。

 私は東京で就職して最初の会社に入社したときには既に27歳でしたから同期入社の新人は男子は私を含めて8名で年齢はいろいろでしたが最大で5歳年下,女子は7名で1名の大卒を除き短大卒なので7歳も年下でした。

 しかし,私の精神年齢は幼いので別にギャップも感じず,若い女性は大好きなので同期会などを開くと結構楽しかったです。

 そして余暇では会社の卓球部と将棋部で遊んでいました。特に卓球部は合宿と称して,近場を中心にしょっちゅう旅行していました。

 私は本社勤務でしたが部員は男は本社社員中心で女子は比較的ストレスがたまりやすいと思われる事業所のエントリー係に配属された同期と後輩がほとんどでした。

 今考えると,週に1回の後楽園を中心とした練習と,季節ごとの旅行は,毎回合コンをやっているのと同じ状況でした。

 実際その中から何組もカップルが生まれ,社内結婚したものも数組います。

 私の場合,同期でも7歳下なのですから数年経つと10歳以上も下の後輩女子社員ともグループ交際しているという状況になってきます。

 表題の好美(よしみ)チャンはK崎市N区に住んでいて石S(いしS)という珍しい姓なのですが確か8歳か9歳くらい年下だったでしょうか。当時,誕生日も年齢も意識してなかったので聞いたりしたこともありません。

 健康的でしたが決して美形というわけではなく,他の女性が派手な色の服装をしていたのに対して,いつも暗い系統の服にGパンという男のようないでたちで,初対面のころは話し方も普通の女ではなく,いかにも若いくせに生意気だと思いましたが,私も普通ではないのでそういうところに少し魅力を感じました。

 卓球部では男子は出版健保の大会で2部で優勝することもあったりして,私も高校時代には卓球部で高3の国体予選までは勉強などそっちのけで打ち込んでいたこともあり,単なる合コンクラブではなかったのですが,女子の方は温泉卓球に毛が生えた程度のレベルだったので,練習の合間には混合ダブルスなどやって女子のご機嫌取りをしたりしていました。

 普通は後楽園での練習が終わると,夜9時頃で,全員近くの夏ならナイター帰りの客でごった返ししていたりする居酒屋で飲み会というのが通例でした。

 そうした混合ダブルスのペアをあみだくじなどで決めるのですが不思議に好美チャンとペアになることが多かったのです。

 旅行でテニスやバドミントンなどでも混合だとペアになり,池で二人乗りのボートに乗るときも1回目はだいたい彼女とペアになります。

 初めの頃生意気だった彼女も,こう偶然が続くと元々運動は得意でないようなのでゴメンネとか私とペアでいいの?とかしきりに弱気の発言になってきましたが,元々勝ち負けにこだわっていなかったのでそんなことはどうでもよかったのです。

 でも赤い糸ではないけど偶然がかなり続くと私の方は相手の容姿とか言動とかに関わり無く,近くにいればいるほどそれだけで,1人でも2人でも何人でも浮気ではなく全て本気で同時に惚れてしまうという惚れっぽい性格(今でも身の程知らずにそうです)ですから,好きになっていました。

 そうこうするうちに,まあ女子社員ですから数年経てば会社をやめていくのが普通でしたから,彼女もやめたのですが,その後,病気(腎盂炎)で入院したという知らせがあったので卓球部の連中と一緒に何回かお見舞いに行って,後に退院したと聞き,以後はおそらく会っていません。

 私の方は結婚もせず40歳で会社をやめて当時は独立して塾を開きました。

 その後仕事を転々としていたのですが,7年ほど前に12年ぶりに昔の会社にアルバイトとして行き,それから4年間,数ヶ月ごとの契約で夜勤の間の隔日勤務で通っていた頃,5年前だったかな?旧知のまだ会社にいる元卓球部の一員に好美ちゃんが古傷の病気でどこかで倒れて運ばれたが亡くなった,そしてまだ独身だったというのを聞き,通夜に行こうと誘われたのですが,夜勤に穴あけられないという思いから,昼勤に続いて夜勤に行ったのでした。

 いろいろと後悔先に立たずですが,何故か今頃になって無性に恋しくて会いたくなるのはあの世で彼女が呼んでいるからでしょうか?などと思ったりします。ジジィとはいえ,まだ男のくせに女々しいですね。。

 7年前に昔いた会社に初めてアルバイトに行った頃にも,総務の親切な女性正社員でまだ20代前半でしょうが石S好美さんの生まれ変わり(当時はまだ好美チャンは生きていましたが)ではないか?というくらい似た印象を受けて親子ほど歳の違う彼女をときどきながめているのが楽しかったという,何もしないストーカーをしていたという記憶もあります。その彼女も私がまだ会社にいるときに社内結婚しましたね。

   

 ↓ありし日の石S好美チャンと私(1983年夏頃のグループ旅行で)      

※PS:私信です。れなちゃんへ,中国の本,もらいたいので,読んでいたらコメントで連絡してください。 TOSHI

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2008年9月12日 (金)

相対論の幾何学(第Ⅰ部-11:曲面上の幾何(3))

相対論の幾何学の続きです。今日は平行移動とか共変微分などの概念の幾何学的意味について記述してみます。

 

さて,曲面(u,v)上で定義された接ベクトル場(u,v)があるとき,曲面上の曲線(t)≡(u(t),v(t))の各点においては,(t)≡(u(t),v(t))と書くことにします。

 

このとき,もちろん(t)は3次元空間の3つの成分を持つパラメータtのベクトル値関数ですから,それに対してtによる微分係数d/dtが定義できます。

 そして,d/dtも3成分の空間のベクトルですが,これは点(u(t),v(t))で(t)を含む(u,v)の接平面の上の"ベクトル=接ベクトル"とは限りません。そこでd/dtを曲面の接ベクトルと法ベクトルの和として表わします。

 

 すなわち,d/dt=D/dt+δ/dtとします。ここでD/dtは接ベクトル,δ/dtは法ベクトルを示す記号です。

 以前に書いたように,曲面(u,v)上に束縛された粒子の運動学を想定して,それ以外の曲面に垂直な成分の空間の存在を無視すると,意味のある微分係数はD/dtだけです。これを接ベクトル場の曲線(t)に沿っての共変微分と呼びます。

ここで,共変微分D/dtは曲面の第1基本形式のみに依存し,曲面の3次元空間内の相対的位置を示す第2基本形式には依存しないという重要な性質を持つことを証明します。

 

この性質は,共変微分D/dtは"曲面(u,v)上に束縛された生物が測定できる長さ=リーマン計量(Riemannian metric)"だけで決まり,彼らには認識できない第3の次元の空間の要素には左右されないことを意味します。

接ベクトルを含む接平面の正規直交基底1,2とし,単位法ベクトルを31×2とします。

 

=ξ11+ξ22とすると,d/dt=(dξ1/dt+ξ1ω11/dt+ξ2ω21/dt)1+(dξ2/dt+ξ1ω12/dt+ξ2ω22/dt)2+(ξ1ω13/dt+ξ2ω23/dt)3となります。

 

ここで,i=Σj=13ωijj,あるいは(i,j)成分がωjiの3×3行列Ωによる表現:d(1,2,3)=(d1,d2,d3)=(1,2,3)Ωを用いました。

 

ただし,ω/dtという一見変な記号を用いました。これは,ω=adu+bdvのとき,ω/dt=a(du/dt)+b(dv/dt)なることを意味します。

ところで,ω11211222を成分とする2×2行列Ωは交代行列なのでω11ω220 ですから,d/dt=D/dt+δ/dtによってD/dt=(dξ1/dt+ξ2ω21/dt)1+(dξ2/dt+ξ1ω12/dt)2/dt=(ξ1ω13/dt+ξ2ω23/dt)3となります。

上のD/dtの表現式はω21=-ω12,すなわち接続形式のみを含み,第2基本形式:Π=-(d,d3)=-(θ11+θ22311+ω322)=-θ1ω31-θ2ω32=θ1ω13+θ2ω23を定義する量であるω1323を含みません。

以前の記事で示したように,θ12に対し,ω21≡b1θ1+b2θ2と置いてこれがω21=-ω12,および第1構造式dθ1=θ2∧ω21,dθ2=-θ1∧ω21を満たすという要求から,dθ1=-1θ1∧θ2,dθ2=-2θ1∧θ2によって,係数b1,b2,したがってω21=-ω1211=ω220 が全て決まります。

 

このω11211222を成分とする2×2交代行列Ωを接続形式と呼ぶわけです。

以上で,D/dtがリーマン計量だけで決まることが証明されました。

特に,D/dt=0 なる場合は曲面に垂直な空間の存在を無視した世界では,これは事実上が停留値を取る(変分がゼロの)場合に相当します。

 

このとき,はこの曲線に平行であると言います。

この場合にはd/dt=δ/dtであり,この曲線に沿っての移動(t)→(t+dt)=(t)+d(t)+Dに対して,(t)→(t)+d(t)+δです。

 

この移動は,ベクトル(t)の曲面内の成分が不変のまま,その向きを変えないという意味で平行移動と呼ばれます。

平行移動である条件:D/dt=0 はdξ1/dt+ξ2ω21/dt=0,かつdξ2/dt+ξ1ω12/dt=0 ,すなわちdξi/dt+Σj=12ξjωji/dt=0 (i=1,2)と書けます。

 

そしてパラメータtの変域を[a,b]とすると,この常微分方程式の系は初期条件ξi(a)=αiの下で一意的な解を持つはずです。

ここまでを要約します。

 

(u,v)平面内の領域D上にリーマン計量ds2が与えられたとき,これを独立な1次微分形式θ12によってds2=θ1θ1+θ2θ2と表現します。

 

θ12に対応する基底1,2によって,接ベクトルを,=ξ11+ξ22と表現すると,曲線(u(t),v(t))に沿った共変微分D/dt=(dξ1/dt+ξ2ω21/dt)1+(dξ2/dt+ξ1ω12/dt)2がゼロの場合にはこの曲線に沿って平行であるという。

 

となります。

 

して,すぐ前の記事でθ12とは別の1次微分形式θ^1,θ^2があってds2=θ1θ1+θ2θ2同じようにds2=θ^1θ^1+θ^2θ^2と書けるとすれば,θ^1=s11θ1+s12θ2,θ^2=s21θ1+s22θ2,すなわちS≡(sij),θ^≡t(θ^1,θ^2),θt12)と置いてθ^=Sθと表わすとき,SがtSS=Iを満たす直交行列になること,

 

そしてθ^1,θ^2の双対基低を^1,^2として^1=t111+t212,^2=t121+t222,すなわちT≡(tij),^≡(^1,^2),≡(1,2)と^=Tと表わせば,ST=Iなる関係式が得られtS=S-1=Tとなることがわかっています。

ξt12),≡(1,2)とした表現では,D/dt=(dξ1/dt+ξ2ω21/dt)1+(dξ2/dt+ξ1ω12/dt)2は,D/dt=e{dξ/dt+(Ω/dt)ξ}と書けます。

^=T=-1,およびeξ^ξ^=-1ξ^とよりξ^=Sξ,さらに第1構造式の不変性:θ=-Ω∧θ,dθ^=-Ω^θ^の要求から,関係式Ω^=SΩ-1-dSS-1が得られます。

 

これを用いれば,^{dξ^/dt+(Ω^/dt)ξ^}=e-1{Sdξ/dt+(dS/dt)ξ+(SΩ-1/dt-dSS-1)Sξ}={dξ/dt+(Ω/dt)ξ},すなわち,D/dt=^{dξ^/dt+(Ω^/dt)ξ^}が成立することがわかります。

したがって,D/dtはリーマン計量ds2のみに依存し,ds2=θ1θ1+θ2θ2を満たすθ12の選択には依りません。

「相対論の幾何学(第Ⅰ部-5:空間曲面(2))」では曲面(u,v)上の空間曲線(s)≡(u(s),v(s))に対して"(s)≡d2/ds2を点(s)での曲面の接ベクトルgと法ベクトルnの和に分解して”(s)=gnと書き,gを曲線(s)の測地的曲率ベクトル,nを法曲率ベクトルと呼ぶと書きました。

そしてg0 ,すなわち"(s)=nとなるときに(s)を測地線と呼びました。ここではgが第1基本形式,すなわちリーマン計量だけで決まるベクトルで,したがって測地線もリーマン計量だけで決まることを示します。

まず,'(s)≡d/dsを正規直交系(1,2,3)を用いて'(s)=Σi=12ξiiと書き,これをsで微分すると"(s)=Σi=12(dξi/dsi+ξii/ds)=Σi=12(dξi/ds+Σj=12ξiωij/ds)iΣi=12iωi3/ds)3です。

 

そこで,g=Σi=12(dξi/ds+Σj=12ξiωij/ds)i,n=Σi=12iωi3/ds)3となります。そして'(s)と書けばg=D/ds,n=δ/dsです。

すなわち,測地線曲率ベクトル:g'(s)の共変微分であり,(s)が測地線であることはg0を意味しますから,'(s)に対し/ds=0 なること,つまり接ベクトル'(s)が曲線(s)自身に平行であることを意味します。

/ds=0 ,X=Σi=12ξiiはu,vに対する2階常微分方程式ですから,出発点u(0)=u0,v(0)=v0,および,その点における単位ベクトル0=ξ011+ξ022が与えられたとき,(0)=0とする解として測地線((s),(s))が存在して一意的に決まります。

こうして,3次元空間内の曲面(u,v)あるいは曲線(s)という概念から離れて,(u,v)平面内の曲面(多様体)に対するものとして測地線が定義されることが言えます。

g=Σi=12(dξi/ds+Σj=12ξiωij/ds)i,n=Σi=12iωi3/ds)3を再考します。

 

'(s)は単位ベクトルですから,1(s)≡'(s)と定義し,この1に垂直で曲面に接するものを2とします。

 

1から2へ回転する向きが,uからvへ回転する向きになるように選べば,1に対して2は一意的です。

ところが,('(s),'(s))=1をsで微分すると("(s),'(s))=0 なので,"(s)=gn'(s)=1と直交するため,g=κg2,nκn3  (ただし31×2)と書けます。

 

κgを測地的曲率nを法曲率と呼ぶことは既に述べた通りです。

 

この特別な正規直交標構:(1,2,3)ではκg(d1/ds,2)=ω12/ds(2,2)=ω12/dsとなります。

 

これは,g=Σi=12(dξi/ds+Σj=12ξiωij/ds)iで恒常的にξ11,ξ20としても得られます。同様にκnω13/dsです。

以前に求めたように測地線の方程式は,2k/ds2+Σi,j=12Γkij(dui/ds)(duj/ds)=0 です。ただし, Γkij(∂2/∂ui∂uj,∂/∂ul)/(∂2/∂uk,∂/∂ul )=gkl -1(∂gli/∂uj)=(gkl -1/2)(∂gli/∂uj+∂glj/∂ui)です。

 

ξi=dui/dsを代入すれば,dξk/ds+Γkijξiξj0 ですが,これがD/ds=0 ,X=Σi=12ξiiを示すdξi/ds+Σj=12ξiωij/ds=0 と同じ式であることは明らかです。

 

上記のことを要約します。

 

3次元空間内とは限らず,一般にリ-マン計量が付与された(u,v)の連続微分可能な関数で定義された曲面(多様体)があって,その上の各点P=(u,v)で定義されたベクトル場(P)があるとします。

 

そして,(u,v)平面での変位(u,v)→(u+Δu,v+Δv)に対応する曲面上の微小変位P→Qに対して,ベクトル場(P)が(P)→(P)+Δ(Q)なる変動を受けるとき,この微小変動Δを接平面成分Dと法線成分δに分けてΔ=D+δと書きます。

 

このとき,Dを共変微分と呼び,特に接ベクトル場ですから元々接平面成分しか持たない(P)の"共変微分=変動の接平面成分"がゼロ,つまりD0 となるような特別な方向の変位:P→Q=(u,v)→(u+Δu,v+Δv)とそれに伴なうベクトル場の移動:(P)→(P)+δ(Q)を平行移動と呼びます。

 

すなわち,こうした移動P→Qでは,その前後での点PとQの接平面は異なりますから,それらをそれぞれΠPQで表わすと(P)はΠP上のベクトル,(Q)はΠQ上のベクトルです。

 

そして,特に,移動後の(Q)のΠP成分は(P)と同じで,全く不変であって,(Q)が(P)と異なるのはΠPに垂直な軸の成分だけの場合には,この移動を平行移動と呼ぶわけです。

 

そして,曲線パラメータを時刻tに取ったとき,(P)がPにおける速度を示す場合,すなわち(P)=d/dtの場合には,移動によって速度が変わらない平行移動の向きの軌跡(力学だと無重力のような外力のない慣性の法則に従う運動の軌跡)を測地線と呼びます。

  

短かいですが今日はここで終わります。

 

参考文献:小林昭七 著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房)

 

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2008年9月11日 (木)

今日は記念日

 不謹慎かもしれないし,実はペンタゴンかCIAか,ブッシュ大統領とその側近,あるいは"死の商人"につながるようなラディン一族などのサウジ資本とも関わる陰謀かもしれませんが,とりあえず今日は"アメリカ合衆国本土爆撃記念日"であり,かつ"小泉郵政選挙大勝記念日"でもあるというわけで,ある意味では対照的な"記念日"であったのですね。

 この日を起点として,結局は内政干渉の最たるもの爆撃という形でアフガンとイラクで無辜の民を殺戮するという某大国を中心とした侵略戦争が始まったわけです。

 昨今では未だに元防衛閣僚の総裁候補などが,"世界が戦っているときにわが国だけが見ているだけでいいのか?"というような「世界,あるいは正義を守る警察=アメリカ合衆国」というアナクロな認識に基づく主張を繰り返していると感じましたね。

 日本のような体制の国に住んでいるなら,例えばNGOとかに属しているような人々と,こうした人々も含めた国民全体を管理,支配している国家権力とを混同したりはしないでしょうが,他国には国家も人民も同根だと考える人がいっぱいいるということを忘れないで欲しいと思いますね。。。 

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2008年9月10日 (水)

箱の中の粒子の運動量について(決着版)

 私がサブマネージャーをしていますが,参加してはいなかったfolomy「物理フォーラム」での「箱の中の粒子の運動量」という題目での1年以上続いている長い論争? http://folomy.jp/heart/?m=pc&a=page_c_topic_detail&target_c_commu_topic_id=1468&comment_count=628 に決着がついたというか,決着をつけたので,場違いですがここで総括をします。

まず,位置座標としてはxだけに依存する一般的な1次元の量子力学の問題を定式化します。

系のハミルトニアンを作用素として^=p^2/(2m)+V^と書き,それによって定まる状態ベクトルを|ψ>とすると,|ψ>が定常状態の場合のシュレーディンガー方程式(Schrödinger方程式)は^|ψ>=E|ψ>という固有値問題になります。

これをx表示で書くため,両辺の左からx^の固有ブラ<x|を掛けると<x|^|ψ>=E<x|ψ>ですが,さらに左辺に|x>の完全性を示す恒等式∫dx1|x1><x1|=1を挿入すると,∫dx1<x|^|x1><x1|ψ>=E<x|ψ>となります。

<x|^|x1>=<x|p^2/(2m)+V^|x1>={1/(2m)}<x|p^2|x1>+<x|V^|x1>ですが,一般にx表示での行列要素<x|V^|x1>はポテンシャルと呼ばれる対角要素V(x)によって,<x|V^|x1>=V(x1)δ(x-x1)なる形に対角化されます。

 

また,<x|p^|x1>もx表示の1次元のシュレーディンガー表現ではp^=-ihc/dxなので,<x|p^|x1>=δ(x-x1)(-ihc/dx1)という形に書けます。

 

ここでhc≡h/(2π)はプランク定数です。

そこで,結局<x|^|x1>=δ(x-x1)(x1,-ihc/dx1)=δ(x-x1)[(-ihc/dx1)2/(2m)+V(x1)]と書けます。

 

それ故,シュレーディンガーの波動方程式は∫dx1<x|^|x1><x1|ψ>=E<x|ψ>によって,(x,-ihc/dx)<x|ψ>=E<x|ψ>なる形に帰着します。

  

ただし,(x,-ihc/dx)≡(-ihc/dx)2/(2m)+V(x)={-hc2/(2m)}(d2/dx2)+V(x)です。これをx表示のハミルトニアンといいます。

そこで,<x|ψ>を状態:|ψ>のx表示,つまり波動関数と考えてψ(x)≡<x|ψ>と定義すれば,元々の歴史的に馴染み深い形の波動方程式:(x,-ihc/dx)ψ(x)={-hc2/(2m)}(d2ψ(x)/dx2)+V(x)ψ(x)=Eψ(x)が再現されます。

この形で,1次元の箱の中の粒子の問題を考えます。

 

この問題での系は,ランダウ(Landau & Lifschitz)の教科書「量子力学1」の設定によれば,x∈[0,a]ではV(x)=0 ,¬x∈[0,a]ではV(x)=∞なるポテンシャルV(x)で規定されるものです。

 

そこで,物理的にも,数学的に考えても,V(x)=∞なる領域:¬x∈[0,a]においては,確率振幅を示す波動関数の値はゼロ:ψ(x)=<x|ψ>=0 であると考えざるを得ません。

そして箱の境界:x=0,x=aでもψ(x)=0 であって波動関数が連続である,という合理的,かつ2階常微分方程式を解くのに,必要十分な境界条件の下で,波動方程式を解けば,ψ(x)=ψn(x)=(2/a)1/2sin(kn)なる解が得られます。

ただし,kn≡nπ/aで各々のknは,ψn=Enψn,En=hc2n2/(2m)(n=1,2,..)なる条件を満たす値です。

 

そして,<ψnn>=∫dx<ψn|x><x|ψn>=∫dxψn*(x)ψn(x)=1となるように規格化されています。

すぐ前の関連記事の最後では,"そもそも粒子がエネルギーEn=pn2/(2m)に属する定常状態にあって,波動関数がψn(x)=(2/a)1/2sin(pn/hc)で与えられる場合を考えると,xによる1回の微分ごとにsin関数とcos関数が入れ替わるので,kが奇数であればψn(x)はx表示でのp^k(-ihc/dx)kの固有関数ではありません。

しかしkが偶数ならp^kψn(x)=(-ihc/dx)kψn(x)=pnkψn(x)です。そこで,ψn(x)はp^kの固有値nkに属します。

 

しかも,これはエネルギー固有値E=Enにも属する同時的固有関数ですから,この状態ではp^kはpnkに完全に確定しており,期待値<p^k>がpnkに一致することは初めから明らかです。

したがって運動量表示であろうと何であろうと,それを用いた計算によってp^kの期待値が有限でなく発散するようであれば,それは計算方法のどこかに間違いがあると思われます。"と書きました。

この時点では,後に誤りであると裁定したランダウのテキストはずいぶん昔に通読した覚えがあるだけで,当該の問題について詳しく考えたという記憶もありませんでした。

そこで,次は問題となっている,定常状態|ψn>のx表示の関数ψn(x)=<x|ψn>に対応する運動量波動関数:<p|ψn>について考察してみましょう。

 

|p>はもちろんp^|p>=p|p>を満たす,運動量固有状態の固有ベクトルです。

 

運動量波動関数は,ランダウの本では添字nが1の場合だけを考察しているのでa(p)となっていますが,ここでは添字nを考慮してan(p)=<p|ψn>と書くことにします。

さて一般的問題としては,^=p^2/(2m)+V^のときに<p|[^-{p^2/(2m)+V^}]|ψ>=0 という式は自明な恒等式ですから,|ψ>に|ψn>を代入しても成立します。

 

そして|ψ>に|ψn>を代入した式に,さらに^|ψn>=Enn>と<p|p^=<p|pを代入します。後者は^がエルミート演算子であれば成立します。

すると<p|[^-{p^2/(2m)+V^}]|ψn>=0 は{En-p2/(2m)}<p|ψn>+<p|V^|ψn>=0 となります。

 

右辺の項<p|V^|ψnは,<p|V^|ψn>=∫dx1dx2<p|x1><x1|V^|x2><x1n>=∫dx<p|x>V(x)ψn(x)と変形できます。

 

xの積分区間(-∞,∞)のうちで,x∈[0,a]においてはV(x)=0です。また,それ以外の領域¬x∈[0,a]では,V(x)=∞ ですが,ψn(x)=0 です。

そもそも,波動関数解ψ(x)が¬x∈[0,a]なる領域ではゼロになるべきであることを要求した理由は,そこでも波動方程式{-hc2/(2m)}(d2ψ(x)/dx2)+V(x)ψ(x)=Eψ(x)が成立するためです。

 

波動方程式の項を移項して,V(x)ψ(x)={hc2/(2m)}(d2ψ(x)/dx2)+Eψ(x)なる形に書くと,x∈[0,a]以外のψ(x)が恒等的にゼロである領域では,右辺がゼロなので,左辺のV(x)ψ(x)もゼロであるべきです。

したがって,V(x)=∞で,かつψ(x)=0 ですから一般にはV(x)ψ(x)の値は不定で全く評価不可能なのですが,今の場合は物理的に考えて,これをゼロと考えるのが妥当であると思われます。

 

すると,積分区間,(-∞,∞)全体でV(x)ψ(x)=0 と考えることができます。

さらに係数:<p|x>も別に特異な関数ではなく有限ですから,どこかに関数とはいえない超関数のようなものを無理に想定しない限り,<p|V^|ψn>=∫dx<p|x>V(x)ψn(x)=0 としてよいです。

以上から,常識的に考えると{En-p2/(2m)}<p|ψn>=0 なる等式が成立することがわかります。

 

この式によれば,En-p2/(2m)≠0 なら<p|ψn>=0 でなければならないのでp2/(2m)=Enを満たすnごとに,2つの運動量値:p=±pn,pn=hcn=nπhc/a(n=1,2,..)以外ではan(p)=<p|ψn>=0 となるべきです。

 

したがって,定常状態を展開すべき,運動量pの関数としての運動量波動関数:an(p)=<p|ψn>は,nを固定すると,離散的な値p=±pn以外ではゼロの関数であると結論されます。

ところが,ランダウの教科書の演習問題によればan(p)=<p|ψn>=∫-∞dx<p|x><x|ψn>=∫0a<x|p>*ψn(x)dxにψn(x)=(2/a)1/2sin(pn/hc),<x|p>=(2πhc)-1/2exp(ipx/hc)を代入して,an(p)を計算しています。

 

そして,運動量pがp~p+dpに存在する確率として|an(p)|2dp/(2πhc)=(4πhc2){cos2{pa/(2hc)}/(p22-n2π2)2}dp=(4πhc2){cos2{pa/(2hc)}/(p22-pn22)2}dpなる式を求めています。

 

この関数は,確かにp=±pnでは絶対値がピークを取りますが,それ以外のpでもゼロであるというわけではありません。

この関数の評価については,2008年8月14日の記事「三角関数を含むある関数の定積分」で詳細に考察しています。

 

確率分布:|an(p)|2dp/(2πhc)に基づいて,期待値:<p^k>を計算すると,kが奇数のときは確かにゼロになります。

 

しかし,kが偶数のときは,k=2のときはpnkに一致しますが,kが4以上の偶数では,この期待値は ∞ に発散して,pnkには一致しないという矛盾が生じる結果が得られることがわかりました。

 

そこで,上で書いたように,計算方法か考え方のどこかに間違いがあるはずです。

 

ただ,この過去記事を書いた当時は,微妙な物理学の問題にはタッチせず,純粋に数学の問題として,積分の計算だけを考察したのでした。

 

x表示をp表示に変換した際の式変形のプロセスが,全て同値変形だと思っていましたが,同じ物理量の期待値が一致しないということは,どこかに両者が同値ではない不連続な論理の飛躍があることが,こうした矛盾の原因でしょうね。

そこで,突き詰めると,an(p)=<p|ψn>=∫0a<x|p>*ψn(x)dx,ψn(x)=(2/a)1/2sin(pn/hc),<x|p>=(2πhc)-1/2exp(ipx/hc)から,p≠±pn (p2/(2m)≠En)でもan(p)=<p|ψn>≠0 を得た定式化と,

 

<x|^|ψn>=En<xn>であって,x∈[0,a]では^=p^2/(2m),かつ{En-p2/(2m)}<p|ψn>=0 なので,p≠±pn (p2/(2m)≠En)では,an(p)=<p|ψn>=0 であるべきという定式化との間にどういう矛盾があるか?を探せばいいだけです。

 

そして,間違いがあるなら,それはランダウの演習問題の解の方にあるはずです。

この中で疑問があるとしたら,運動量固有状態|p>とそれに対するx表示の固有関数<x|p>=(2πhc)-1/2exp(ipx/hc)で,これを代入したという部分だけですね。

 

古典的かつ非相対論的にはp=mvですが,さらに自由粒子だとすれば,E=p2/(2m)=mv2/2で外力のポテンシャルVがゼロで一定速度vで慣性運動をしているだけです。

 

そこで,量子論では,この粒子の時間を含んだ運動量の固有状態|p,t>の"波動関数=x表示"は<x|p,t>=<x,t|p>=Cexp[{ipx-ip2t/(2m)}/hc]=C∫exp{(ipx-iEt)/hc]δ(E-p2/(2m))dEですね。

 

E(p)≡p2/(2m)と定義して|p,t>=|p>exp{-iE(p)/hc}と書けば空間部分|p>だけでなく,時間依存の位相部分exp{-iE(p)/hc}もまたpの関数ですね。

 

つまり,運動量pが増えれば連動して運動エネルギーE(p)が増えるのでE(p)が一定の定常状態になるのは,一方の係数がゼロの場合も含めて,状態が|p>と|-p>の重ね合わせになるときだけです。

 

当たり前のことですが,"振動数が一定=エネルギーが一定"の場合,すなわち,定常状態ψ(x,t)=ψ(x)exp(-iEt)なら位相部分は確率には無関係で|ψ(x,t)|2=|ψ(x)|2です。

 

しかし,エネルギーが一定でない非定常状態なら最も単純な重ね合わせ:ψ(x,t)=ψ1(x)exp(-iE1t)+ψ2(x)exp(-iE2t)でさえ,確率密度として|ψ(x,t)|2を計算するとき"位相部分=時間依存部分"の干渉が効いてきます。

 

そしてx表示の運動量演算子:p^=-id/dxの固有状態の時間依存を陽に書いた波動関数はφ(x,t)≡<x,t|p>=<x|p>exp{-iE(p)/hc}=Cexp[{ipx-ip2t/(2m)}/hc]となります。

 

一方,時間依存を陽に書いた定常状態|ψn>のx表示波動関数はψn(x,t)=<x,t|ψn>=<x|ψexp{-iE/hc}=ψn(x)exp{-iE/hc}=(2/a)1/2sin(pn/hc)exp{-ipn2t/(2mhc)}となりますね。

 

元々のランダウの本に書いてあるan(p)=<p|ψn>=∫0a<x|p>*ψn(x)dx,ψn(x)=(2/a)1/2sin(pn/hc),<x|p>=(2πhc)-1/2exp(ipx/hc)は,時間依存部分の干渉を無視し,エネルギー保存などの物理的制約もない,単なる数学的なフーリエ積分ですね。

 

しかし,状態空間の母体であるヒルベルト空間の中でも,自由粒子のハミルトニアンであれ何であれ,少なくとも物理的境界条件を満たす波動方程式の解のみで構成される1つの完全系の状態関数の空間に問題を限定すべきでしたね。

 

(今の場合,境界条件というのは粒子が有限領域に閉じ込められているということです。自由粒子ではなく,[H,p^]≠0 ですから定常状態でかつがp^の固有関数ということは不可能です。

 

しかし,[H,p^2]=0 なのでp^の偶数ベキであれば,"期待値=固有値"を定常状態の問題として扱えます。)

 

ランダウの表現でも,an(p,t)=<p,t|ψn>=∫0a<x,t|p,t>*ψn(x,t)dxのような展開をすれば,少しはましな計算ができるのではないかと考えられます。

 

実際,x∈[0,a]ならψn(x)=(2/a)1/2sin(pn/hc)=(-i)(2a)-1/2[exp(ipn/hc)-exp(-ipn/hc)]で,¬x∈[0,a]ならψn(x)=0 なので,ψn(x)は,元々,運動量固有値が±pnの運動量固有状態の単純な代数和の形をしています。

以上,この教育的な1問題の考察は,これ以上の具体的計算は省略して,これで封印します。

 

参考文献:ランダウ,リフシッツ著「量子力学1(改訂新版)」(東京図書)

 

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2008年9月 6日 (土)

相対論の幾何学(第Ⅰ部-10:曲面上の幾何(2)

 さて,相対論の幾何学の続きです。

前回の最後では,θ1θ2が,θ1θ2(EG-F2)1/2du∧dvで表わされ,ω21がω21[(∂E1/2/∂v)E1/2+(∂(FE-1/2)/∂v+∂{(EG-F2)1/2-1/2}/∂u)FE-1/2]du/(EG-F2)1/2+(∂(FE-1/2)/∂v+∂{(EG-F2)1/2-1/2}/∂u)-1/2dvと表わされることを見ました.

 

そこで,ω21の表式の両辺の外微分を取って,dω21=fdu∧dvなる形式を求め,それをθ1θ2(EG-F2)1/2du∧dvで割り算をすれば,ω21θ1θ2に従うKが得られるはずですが,外微分dω21の具体的計算については疲れたのでPendingであると書きました。

 

結局,今回も続きを実行する気力が湧かないので取りやめます。

 ずっと以前の記述では,第1基本形式:I≡(d,d)=Edudu+2Fdudv+Gdvdvと第2基本形式:Π≡-(d,d)=-(udu+vdv,udu+vdv)=L(dudu)+2M(dudv)+N(dvdv)の両方からガウスの曲率:K=κ1κ2,平均曲率:H=(κ1+κ2)/2を求めました。

 

 そして,既にこれらがK=(LN-M2)/(EG-F2),H=(EN+GL-2FM)/{2(EG-F2)}なる具体的な式で得られることを見ました。

しかし,今の場合,具体的に計算しなくても,少なくともKは第2基本形式に無関係に,"第1基本形式=リーマン計量(Riemannian metric)":ds2=gijduiduj=Edudu+2Fdudv+Gdvdvだけから得られることがわかりましたから,それだけで満足して具体的な陽な形を再現する計算はサボったまま先に進みます。

さて,以前にも空間曲面のベクトルについての概略的な話の途中で空間のベクトル場を定義して,その概念を説明しました。

 

まず,その部分の再掲も含めて再び説明します。

(u,v)平面内の領域Dで連続微分可能なu,vの任意関数ξ=ξ(u,v),η=η(u,v)に対して,(ξ,η)≡ξ(∂/∂u)+η(∂/∂v)なる形の微分演算子(方向微分)全体の集合を(u,v)空間のベクトル場と定義します。

 

これは(∂/∂u),(∂/∂v)を基底とする2次元の"線型空間=ベクトル空間"を作ることがわかります。

この空間では,(∂/∂u),(∂/∂v)を基底として,ξ,ηはベクトルξ(∂/∂u)+η(∂/∂v)の成分を表わすと考えられるので,このベクトルを成分表示で(ξ,η)と書くことができます。

 

こうした微分演算子表現のベクトルを点(u,v)における接ベクトル呼び,この形の接ベクトル全体の作る2次元ベクトル空間を点(u,v)での接空間と呼びます。

また,領域Dの各点(u,v)における関数ξ,ηで定義された(ξ,η)≡ξ(∂/∂u)+η(∂/∂v)全体をD上の接ベクトル場と呼びます。こう呼ぶ理由は次の通りです。

すなわち,パラメータtで表わされたD内の曲線(u(t),v(t))が任意に与えられたとき,この曲線に沿ってD内の関数f(u,v)をtで微分すると,df/dt= (∂f/∂u)(du/dt)+(∂f/∂v)(dv/dt)=f;ただし,≡(du/dt)(∂/∂u)+(dv/dt)(∂/∂v)と表わされます。

上に定義された微分演算子は,成分表示で(du/dt,dv/dt)のベクトル場の表現に一致しています。

 

ところが,(du/dt,dv/dt)を成分とする2次元ベクトルは,正に曲線(u(t),v(t))のtにおける通常の意味での接ベクトルを示しています。

 

一方,任意に与えられたξ,ηに対して微分方程式du/dt=ξ,dv/dt=ηの解としての曲線(u(t),v(t))の存在は存在定理によって保証されているので,結局,任意の(ξ,η)=(ξ,η)=ξ(∂/∂u)+η(∂/∂v)をD上の接ベクトルと同一視できるわけです。

一方,1次微分形式(1-form)φ(f,g)≡fdu+gdvの全体もdu,dvを基底とする2次元の線型空間(ベクトル空間)を作ります。

 

そして(ξ,η)とφ(f,g)に対してφ()≡fξ+gηなる積演算を定義し,これをベクトル(f,g)とベクトル(ξ,η)の1つの内積と考えることにします。

こうすれば,内積φ()によって,ベクトル(f,g)=fdu+gdvは対応する接空間のベクトル(ξ,η)=ξ(∂/∂u)+η(∂/∂v)に双対なべクトルであると考えることができます。

 

そこで1次微分形式φ=fdu+gdv全体の作る空間を接空間に双対な空間であるという意味で余接空間と呼びます。

 

以下ではこの内積φ()を<φ,>と書きます。

任意のD内の関数f(u,v)と接ベクトル=ξ(∂/∂u)+η(∂/∂v)に対して[f]=ξ(∂f/∂u)+η(∂f/∂v)=df/dtももちろんDの関数です。

 

そして,fの"全微分=外微分"を示す1次微分形式:df=(∂f/∂u)du+(∂f/∂v)dvと接ベクトルに関して,上の記法を用いると<df,>=[f]と書けることがわかります。

さて,1次微分形式と接ベクトル場の内積の定義から1次独立な1次微分形式:θi=ai1du+ai2dv(i=1,2)が与えられたとき,ベクトル場j(j=1,2)がj≡bj1(∂/∂u)+bj2(∂/∂v)で与えられると仮定すると,θi(j)=<θi,j>=Σk=12ikjk(i,j=1,2)と書けます。

そこで1=a11du+a12dvとθ2=a21du+a22dvが1次独立であるという仮定により,θ12をdu,dvで表わしたt12)=At(du,dv)の係数行列Aはその行列式:detAがゼロでなく,逆行列A-1を持つため,θi(j)=<θi,j>=Σk=12ikjk=δijを満たすbjk(j,k=1,2)が一意的に決まると結論されます。

 

こうした関係にある1,2とθ12は双対基と呼ばれます。

リーマン計量がD上の1次独立な1次微分形式θ12によってds2=θ1θ1+θ2θ2と表わされるとき,θ12の双対基となる接ベクトルを1,2とします。

 

一方,任意の2つの接ベクトルが,=ξ11+ξ22,=η11+η22と表現される場合,の内積を(,)≡ξ1η1+ξ2η2で定義しの長さ:||を||≡(,)1/2で定義します。

 

つまり,(i,j)=δijとなって1,2が正規直交基底をなすように内積を定義するわけです。

 

前記事で定義したように,θ12とは別のdu,dvの1次微分形式θ^1,θ^2があってds2=θ1θ1+θ2θ2と同じようにds2=θ^1θ^1+θ^2θ^2と書けるとします。

 

θ^1,θ^2θ12と同じdu,dvの1次微分形式であり,θ12は1次独立なので,θ^1=s11θ1+s12θ2,θ^2=s21θ1+s22θ2と書けるはずです。

 

これは列ベクトル,θ^≡t(θ^1,θ^2),θt(θ1,θ2)による行列形式でθ^=Sθ(θ^i=Σjjiθj)と書けます。ここにS≡(sij)です。

 

ここで,ds2tθ^θ^=tθθですから,tSS=Iが成立するため,Sは直交行列です。

 

そしてθ12と同じくθ^1,θ^2の双対基底を^1,^2とし^1=t111+t212,^2=t121+t222と書けば,これは行ベクトル^≡(^1,^2),≡(1,2)による行列形式で^=T(^i=Σjjij)と書けます。ここにT≡(tij)です。

 

そして,<θ^i,^j>=<θi,j>=δijより,ST=Iなる関係式が得られます。

 

したがって,tSS=I,およびST=IからtS=S-1=Tです。そこで,Tも直交行列であることがわかるので^1,^2もまた正規直交基底となることが示されます。

 

それ故,任意のベクトル場=ξ11+ξ22=ξ^1^1+ξ^2^2=η11+η22=η^1^1+η^2^2に対して,常にξ1η1+ξ2η2=ξ^1η^1+ξ^2η^2が成立します。

 

よって,長さds2=θ1θ1+θ2θ2と同じく,内積の定義:(,)≡ξ1η1+ξ2η2もリーマン計量だけで決まり,θ12の選択にはよらないことがわかりました。

 

ところで,D上に,任意の2つのベクトル場=Σiξi(∂/∂ui),=Σiηi(∂/∂ui)があるとき,記号[,]で示される演算を,D上の任意関数fに対して[,]f=(f)-(f)なる操作によって定義します。

 

すると,[,]f=Σjii(∂ηj/∂ui)-ηi(∂ξj/∂ui)}](∂f/∂ui),すなわち,[,]=XYYX=Σjii(∂ηj/∂ui)-ηi(∂ξj/∂ui)}](∂/∂ui)となりますから,[,]もまた1つの接ベクトル場になることがわかります。

この定義を用いると,任意の3つの接ベクトル場,,についてヤコービの恒等式:[[,],]+[[,],]+[[,],]=0 が成立することを容易に示すことができますが,これの証明は省略します。

短かいですが今日はここで終わります。 

参考文献:小林昭七 著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房)

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上品な奴!!

 行きつけの飲み屋などで悪酔いもしないで上品で誰にも優しい頭のいい人などと評価されて内心ほくそえんで,いつも落ち着いた様子で斜にかまえて真剣に生きてる奴を上から眺めてるヤな野郎(馬鹿にしてるのか)!!

 お前だよ。お前。。

 え。俺のこと?

 確かに何年も何十年も同じ調子で飲み歩いてるから演技じゃとっくにボロが出て矛盾でズタズタになってるだろうから演技じゃないんだろうけど,そりゃ,単に育ちがよろしいだけなんだよ。。って別にほめてるんじゃないよ。

 育ちがいいってのは恥ずかしいことなんだ。。

 生活で苦労したことがないオボッちゃまだって意味だよ。

 あんたが上品に見えるっていっても,もしもあんたが食べていくことさえままならない状態がつづくような境遇にいたら,当然見かけももっと下品だろうし,他人に優しくなんかできっこないだろうよ。

 社会で生きてくってのは競争なんだから他人に寛容なのは,自分のお尻に火がついてなくて余裕があるせいに過ぎない話なんだよ。

 まあ,それでも見掛けだけはキモイからまだ救われてるよ。

 と言っても,たとえ外見がきれいでも所詮一皮剥けばドロドロの汚い内臓のカタマリにしか過ぎないけどね。。

 キレイごと言って澄ましてるんじゃねえよ。。

 あんたが学生時代に被害者意識で運動してる人々に対抗して俺は加害者意識で動いてるんだ正論なんだって主張して威張っていたのも,単にあんたは,衣食足りてたから他人に施してやる余裕があっただけなんだ。

 結局オボッちゃん,おジョウちゃんのお遊びに過ぎないんだ。。

 勘違いするなよなあぁ!

 ほらほら,余裕こいて他人の批判ばかり言って偉そうにしてんじゃねえよ。

 落ち着いてないで,汚らしい本性出してみろよ。。

 このくそTOSHIがぁ,おお馬鹿やろぉ。。。

 どっかの総理大臣みたいに自分を客観的に見たりして。。。↑

 一応今日は休みだし,時間的にはちょっと早いけどど変態らしく,せんずりでもこいて寝るかな。。。 

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2008年9月 2日 (火)

運動量表示による期待値の評価

2007年5月24日の記事「有限な1次元空間に限定された運動量演算子」,先日の2008年8月25日の記事「有限な1次元空間の運動量演算子の境界条件」と関連して以前の2007年8月8日の記事「量子力学の基礎(表示の話)(1)」を一部再掲し修正して,

 

x=0,x=aに高さ ∞ の1次元剛体障壁があって粒子がその間の領域[0,a]に閉じ込められている場合の運動量の関数で与えられる観測量の期待値について考察してみます。

まず量子力学の基礎(表示の話)(1)」の対象部分の再掲です。

(再掲記事)↓

観測可能な量(物理量)Λがあって,Λの固有値λに属する固有状態を表わす固有ベクトルを|λ>と書きます。これは,|λ>≠0 であってΛ|λ>=λ|λ>を満たすものです。

 

量子論によれば,実際的な観測誤差がないなら,Λの1回1回の観測において観測される物理量Λの値は,Λの固有値λに限られ,それ以外の値が観測されることは決してありません。

そして任意の状態ベクトル|ψ>は,この|λ>によって|ψ>=Σλλ|λ>(離散的な場合)とか,|ψ>=∫λλ|λ>dλ(連続的な場合)とか,あるいはこれらの混合した形でスペクトル展開されます。

 

こうして展開できることを,物理量の演算子(作用素)Λ,あるいは固有ベクトル系{|λ>}の完全性と言います。

 

(実際には,連続的な場合に|ψ>=∫λλ|λ>dλと表現できるとは限らず,より一般的にはStieltjes積分:記号的には|ψ>=∫λλd(|λ>)と表現されます。)

 

そして,cλ=<λ|ψ>です。なぜなら,離散的な場合を例にとると<λ'|ψ>=Σλλ<λ'|λ>=cλ'となるからです。 

この最後の等式では|λ>が正規直交化されている,つまり<λ'|λ>=δλ'λである,という仮定を用いました。

 

もしもそうでないなら,|λ>を<λ|λ>1/2で割ったものを改めて|λ>と定義すればいいだけです。量子論によれば状態を定数倍しても同じ状態を表わすとされていますからね。

そしてもちろん状態 |ψ>も規格化されている:<ψ|ψ>=1となるように取られているとします。つまり,<ψ|ψ>=Σλ'λλ'*λ<λ'|λ>=Σλ|cλ|21であるとします。

そして,物理系が状態|ψ>にあるとき,この状態をこわすことなく観測可能な量Λを無限に多数回観測することが可能なとき,

 

(実際には1つの系で実験装置が単独のとき,観測行為は純粋状態|ψ>を必ずこわすので,全く同一の(物理系+実験装置)を無限に多数個用意する必要があって,これを"(純粋)アンサンブル=集団"と呼びます。)

 

Λの期待値<Λ>は<Λ>=<ψ|Λ|ψ>=Σλλ'*λλ<λ'|λ>=Σλλ|cλ|2で与えられるとします。 

ところで,Λの"期待値=平均値"<Λ>は,Λがλという値をとる確率をPλと書くとき,<Λ>=ΣλλPλで与えられるはずです。

 

これと,<Λ>=<ψ|Λ|ψ>=Σλλ|cλ|2を比較すると,λ|cλ|2であること,つまりΛの観測値が固有値λをとる確率Pλがcλの絶対値の2乗|cλ|2|<λ|ψ>|2で与えられることがわかります。

 

そして,このときΣλ|cλ|2Σλ|<λ|ψ>|21ですから,|cλ|2の総和は1であり,確かに確率であるための条件を満たしています。 

一方,連続的な場合には<Λ>=<ψ|Λ|ψ>=∫dλ'dλcλ'*λλ<λ'|λ>=∫dλλ|cλ|2です。

 

連続的な場合の正規直交性<λ'|λ>=δ(λ'-λ)を用いました。

 

観測量Λが,その固有値λとλ+dλの間の値として観測される確率をp(λ)dλとすると,Λの期待値は<Λ>=∫dλλp(λ)で与えられるはずなので(λ)=|cλ|2|<λ|ψ>|2となります。

 

(ここでは連続的な場合の確率が確率論のRadon-Nikodymの定理の成立条件である絶対連続性を満たしていると仮定しています。) 

連続的な場合には(λ)=|cλ|2|<λ|ψ>|2は確率密度であって,(λ)dλ=|cλ|2dλ=|<λ|ψ>|2dλが確率になる,というのが,離散的な場合のλ|cλ|2|<λ|ψ>|2が確率そのものになる,というののと異なるところです。

 

そして,1<ψ|ψ>=∫dλp(λ)=∫dλ|<λ|ψ>|2なので,この定義も確かに確率の公理を満たしています。 

離散的,連続的に関わらず,こうしたΛの固有値と固有ベクトルで展開する表示をΛ-表示と言います。 

そして,「もしも,観測可能な量Λとして位置座標を取ると,これは固有値が連続的な場合に相当するので位置の観測量の期待値は<>=<ψ||ψ>=∫dxx|c|2で与えられ.()d=|c|2|<|ψ>|2と書けます。

 

通常このc=<|ψ>を波動関数と呼び,ψ()なる関数記号で表わします。つまり,ψ()=<|ψ>であり,位置+dの間に見出される確率は,p()d=|c|2|ψ()|2で与えられると解釈されます。 

そして,の期待値の表現は<>=<ψ||ψ>=∫dxx|c|2∫dxx|ψ()|2∫dψ*()ψ()となります。

 

つまり,-表示では<ψ||ψ>=∫dψ*()ψ()と表現されます。この場合には規格化条件:<ψ|ψ>=1は,∫dψ*()ψ()=∫d|ψ()|2=1です。

連続固有ベクトルの正規直交性<λ'|λ>=δ(λ'-λ)はこの場合<'|>=δ('-)ですから,の固有値0 に属する固有ベクトルの波動関数は<0>=δ(0)で与えられます。

 

これの絶対値の2乗は位置0 に決まっているときに位置がである確率密度を与えるものです。」

(再掲記事終了)↑ ※

最後の「 」の部分での位置座標^を,その代わりに運動量^で機械的に置き換えると,次のようになります。

「もしも観測可能な量Λを運動量^に取ると,これは固有値が連続的な場合に相当するので運動量の観測量の期待値は<^>=<ψ|^|ψ>=∫dpp|c|2で与えられ,()d=|c|2|<|ψ>|2と書けます。

 

通常このc=<|ψ>を運動量波動関数と呼び,φ()なる関数記号で表わします。つまり,φ()=<|ψ>であり,運動量^が+dの間に見出される確率は,p()d=|c|2|φ()|2で与えられると解釈されます。

そして,^の期待値の表現は<^>=<ψ|^|ψ>=∫dpp|c|2∫dpp|φ()|2∫dφ*()^φ()となります。

 

つまり,-表示では<ψ|^|ψ>=∫dφ*()^φ()と表現されます。この場合,規格化条件:<ψ|ψ>=1は∫dφ*()φ()=∫dpp|φ()|2=1です。

連続固有ベクトルの正規直交性<λ'|λ>=δ(λ'-λ)はこの場合<'|>=δ('-)ですから,^の固有値0に属する固有ベクトルの運動量波動関数は,<|0>=δ(0)で与えられます。

 

これの絶対値のの2乗は運動量^が0に決まっているときに運動量がである確率密度を与えるものです。」です。

さて,上では状態|ψ>に対して運動量演算子^が定義できて,これが連続固有値を取る場合,期待値が<^>=<ψ|^|ψ>=∫dpp|φ()|2∫dφ*()^φ()と表わされると書きました。

 

一般に演算子^の関数f(^)で与えられる演算子に対しても,その期待値が,<f(^)>=<ψ|f(^)|ψ>=∫df()|φ()|2∫dφ*()f(^)φ()と書けることは明らかです。

一方,が連続ではなく離散固有値のみを取る場合には<f(^)>=<ψ|f(^)|ψ>=Σ()|φ()|2Σφ*()f(^)φ()となります。

この離散表示は,ブラケットを用いた形式的な演算:<f(^)>=<ψ|f(^)|ψ>=Σ1,2<ψ|1><1|f(^)|2><2|ψ>=Σ1,2(2)<ψ|1><1|2><2|ψ>=Σ1,2(2)<ψ|1><1|2><2|ψ>,

 

すなわち<f(^)>=<ψ|f(^)|ψ>=Σ()|φ()|2,φ()≡<|ψ>から得られる表現を明示したものです。

一方,同じf(^)の期待値を,表示で表現すると<f(^)>=<ψ|f(^)|ψ>=∫d12<ψ|1><1|f(^)|2><2|ψ>となります。

 

そして,演算子f(^)の表示というのは,これの|>による行列表現,つまり行列要素の全体を意味しています。

 

Schrödinger表現を用いれば,<1|f(^)|2>=f(-ihc1)δ(12)となりますから,結局,x表示で表現したf(^)の期待値は,<f(^)>=<ψ|f(^)|ψ>=∫dψ*()f(-ihc)ψ()となります。

それ故,個々の物理系の具体的な例について各々確かめるまでもなく,Σ()|φ()|2=∫dψ*()f(-ihc)ψ()(運動量表示=位置表示)なる等式が成立するはずです。(← 同じ物理量の期待値は表示に無関係に決まります。)

そして,φ(,t)≡<|ψ>=∫d|><|ψ>=∫ψ*()ψ(,t)d逆に,ψ(,t)=<|ψ>=Σ|><|ψ>=Σψ()φ(,t)ですね。

  

ψ()≡<|>は固有状態|>の規格化された波動関数です。

 

ここで,状態|ψ>の波動関数<|ψ>,および運動量表示波動関数<|ψ>は|ψ>が時間に依存しない定常状態の場合の表現ψ()ではなく,時間tに依存する非定常な場合をも含めた一般的な表現ψ(,t),φ(,t)を用いています。

 

そして,特に具体的な[0,a]に閉じ込められた1次元粒子の系では,pが周期的境界条件を取るような離散固有値pk=kπhc/a (k=0,±1,±2,..)のみを取る場合,x表示での規格化された運動量固有関数はψk(x)=a-1/2exp(ipk/hc) (x∈[0,a]),ψk(x)=0(x∈¬[0,a])と書けます。

 

ここに,c≡h/(2π)でhはPlanck定数です。

そして,状態:|ψ>におけるf(p^)の期待値は<ψ|f(p^)|ψ>=∫dx1dx2<ψ|x1><x1|f(p^)|x2><x2|ψ>=∫ψ*(x,t)f(-ihd/dx)ψ(x,t)dxで与えられます。

 

特にψ(x,t)がエネルギー固有値:En=pn2/(2m)に属する固有関数(つまり,定常状態の物理的波動関数):ψn(x)≡(2/a)1/2sin(pn/hc)(正しくはψn(x,t)=ψn(x)(=exp(-iEnt/h))なら,

 

f(-ihcd/dx)ψn(x)=(2a)-1/2[f(pn)exp(ipn/hc)-f(-pn)exp(-ipn/hc)]です。

 

そこで,f(p^)の期待値は,<ψn|f(p^)|ψn>=∫ψ*(x)f(-ihcd/dx)ψ(x)dx=(1/2)[f(pn)+f(-pn)]=(1/2)[f(nπhc/a)+f(-nπhc/a)] と計算されます。

一方,運動量表示で計算すれば,<f(p^)>=<ψ|f(p^)|ψ>=Σk(pk)|φ(pk)|2です。|ψ>をp=±pnの固有状態n>とすると,<f(p^)>n=<ψn|f(p^)|ψn>=Σk(pk)|φn(pk)|2です。

 

φn(p)=<p|ψn>=∫ψ*(x)ψn(x)dx=(21/2/a)∫0a sin(pn/hc)exp(-ipx/hc)dxです。

 

<f(p^)>n=<ψn|f(p^)|ψn>=Σk(pk)|φn(pk)|2φの右辺のΦn(pk)はpk=±pnのときだけゼロでなくて,2-1/2になりますから,Σk(pk)|φn(pk)|2(1/2)[f(pn)+f(-pn)]=(1/2)[f(nπhc/a)+f(-nπhc/a)] となり,運動量表示での計算はx表示での計算と確かに一致します。

 

例えば,f(p^)=p^6であったとしても,有限領域に制限された粒子の運動量のf(p^)の期待値,つまり6次のモーメント(能率)が発散したりすることはありません。

 

有限領域に束縛されているというのがミソで,期待値計算が連続自由度による積分でなく高々可算自由度による級数和なので発散しないのですね。

 

そもそも,粒子がエネルギーEnに属する定常状態にあって波動関数がψn(x)≡(2/a)1/2sin(pn/hc)で与えられる場合を考えると,xによる1回の微分ごとにsin関数とcos関数が入れ替わるので,kが奇数ならψn(x)はp^k=(-ihd/dx)kの固有関数ではありません。