箱の中の粒子の運動量について(決着版)

　私がサブマネージャーをしていますが,参加してはいなかったfolomy「物理フォーラム」での「箱の中の粒子の運動量」という題目での１年以上続いている長い論争？ http://folomy.jp/heart/?m=pc&a=page_c_topic_detail&target_c_commu_topic_id=1468&comment_count=628　に決着がついたというか,決着をつけたので,場違いですがここで総括をします。

まず,位置座標としてはｘだけに依存する一般的な１次元の量子力学の問題を定式化します。

系のハミルトニアンを作用素としてＨ^＝ｐ^²/(2ｍ)＋Ｖ^と書き,それによって定まる状態ベクトルを|ψ＞とすると,|ψ＞が定常状態の場合のシュレーディンガー方程式(Schrödinger方程式)はＨ^|ψ＞＝Ｅ|ψ＞という固有値問題になります。

これをｘ表示で書くため,両辺の左からｘ^の固有ブラ＜ｘ|を掛けると＜ｘ|Ｈ^|ψ＞＝Ｅ＜ｘ|ψ＞ですが,さらに左辺に|ｘ＞の完全性を示す恒等式∫ｄｘ₁|ｘ₁＞＜ｘ₁|＝１を挿入すると,∫ｄｘ₁＜ｘ|Ｈ^|ｘ₁＞＜ｘ₁|ψ＞＝Ｅ＜ｘ|ψ＞となります。

＜ｘ|Ｈ^|ｘ₁＞＝＜ｘ|ｐ^²/(2ｍ)＋Ｖ^|ｘ₁＞＝{1/(2ｍ)}＜ｘ|ｐ^²|ｘ₁＞＋＜ｘ|Ｖ^|ｘ₁＞ですが,一般にｘ表示での行列要素＜ｘ|Ｖ^|ｘ₁＞はポテンシャルと呼ばれる対角要素Ｖ(ｘ)によって,＜ｘ|Ｖ^|ｘ₁＞＝Ｖ(ｘ₁)δ(ｘ－ｘ₁)なる形に対角化されます。

また,＜ｘ|ｐ^|ｘ₁＞もｘ表示の１次元のシュレーディンガー表現ではｐ^＝－iｈ_cｄ/ｄｘなので,＜ｘ|ｐ^|ｘ₁＞＝δ(ｘ－ｘ₁)(－iｈ_cｄ/ｄｘ₁)という形に書けます。

ここでｈ_c≡ｈ/(2π)はプランク定数です。

そこで,結局＜ｘ|Ｈ^|ｘ₁＞＝δ(ｘ－ｘ₁)Ｈ(ｘ₁,－iｈ_cｄ/ｄｘ₁)＝δ(ｘ－ｘ₁)[(－iｈ_cｄ/ｄｘ₁)²/(2ｍ)＋Ｖ(ｘ₁)]と書けます。

それ故,シュレーディンガーの波動方程式は∫ｄｘ₁＜ｘ|Ｈ^|ｘ₁＞＜ｘ₁|ψ＞＝Ｅ＜ｘ|ψ＞によって,Ｈ(ｘ,－iｈ_cｄ/ｄｘ)＜ｘ|ψ＞＝Ｅ＜ｘ|ψ＞なる形に帰着します。

ただし,Ｈ(ｘ,－iｈ_cｄ/ｄｘ)≡(－iｈ_cｄ/ｄｘ)²/(2ｍ)＋Ｖ(ｘ)＝{－ｈ_c²/(2ｍ)}(ｄ²/ｄｘ²)＋Ｖ(ｘ)です。これをｘ表示のハミルトニアンといいます。

そこで,＜ｘ|ψ＞を状態:|ψ＞のｘ表示,つまり波動関数と考えてψ(ｘ)≡＜ｘ|ψ＞と定義すれば,元々の歴史的に馴染み深い形の波動方程式:Ｈ(ｘ,－iｈ_cｄ/ｄｘ)ψ(ｘ)＝{－ｈ_c²/(2ｍ)}(ｄ²ψ(ｘ)/ｄｘ²)＋Ｖ(ｘ)ψ(ｘ)＝Ｅψ(ｘ)が再現されます。

この形で,１次元の箱の中の粒子の問題を考えます。

この問題での系は,ランダウ(Landau & Lifschitz)の教科書「量子力学１」の設定によれば,ｘ∈[0,ａ]ではＶ(ｘ)＝0 ,￢ｘ∈[0,ａ]ではＶ(ｘ)＝∞なるポテンシャルＶ(ｘ)で規定されるものです。

そこで,物理的にも,数学的に考えても,Ｖ(ｘ)＝∞なる領域:￢ｘ∈[0,ａ]においては,確率振幅を示す波動関数の値はゼロ:ψ(ｘ)＝＜ｘ|ψ＞＝0 であると考えざるを得ません。

そして箱の境界:ｘ＝0,ｘ＝ａでもψ(ｘ)＝0 であって波動関数が連続である,という合理的,かつ２階常微分方程式を解くのに,必要十分な境界条件の下で,波動方程式を解けば,ψ(ｘ)＝ψ_n(ｘ)＝(2/ａ)^1/2sin(ｋ_nｘ)なる解が得られます。

ただし,ｋ_n≡ｎπ/ａで各々のｋ_nは,Ｈψ_n＝Ｅ_nψ_n,Ｅ_n＝ｈ_c²ｋ_n²/(2ｍ)(ｎ＝1,2,..)なる条件を満たす値です。

そして,＜ψ_n|ψ_n＞＝∫ｄｘ＜ψ_n|ｘ＞＜ｘ|ψ_n＞＝∫ｄｘψ_n^*(ｘ)ψ_n(ｘ)＝１となるように規格化されています。

すぐ前の関連記事の最後では,"そもそも粒子がエネルギーＥ_n＝ｐ_n²/(2ｍ)に属する定常状態にあって,波動関数がψ_n(ｘ)＝(2/ａ)^1/2sin(ｐ_nｘ/ｈ_c)で与えられる場合を考えると,ｘによる１回の微分ごとにsin関数とcos関数が入れ替わるので,ｋが奇数であればψ_n(ｘ)はｘ表示でのｐ^^k＝(－iｈ_cｄ/ｄｘ)^kの固有関数ではありません。

しかしｋが偶数ならｐ^^kψ_n(ｘ)＝(－iｈ_cｄ/ｄｘ)^kψ_n(ｘ)＝ｐ_n^kψ_n(ｘ)です。そこで,ψ_n(ｘ)はｐ^^kの固有値ｐ_n^kに属します。

しかも,これはエネルギー固有値Ｅ＝Ｅ_nにも属する同時的固有関数ですから,この状態ではｐ^^kはｐ_n^kに完全に確定しており,期待値＜ｐ^^k＞がｐ_n^kに一致することは初めから明らかです。

したがって運動量表示であろうと何であろうと,それを用いた計算によってｐ^^kの期待値が有限でなく発散するようであれば,それは計算方法のどこかに間違いがあると思われます。"と書きました。

この時点では,後に誤りであると裁定したランダウのテキストはずいぶん昔に通読した覚えがあるだけで,当該の問題について詳しく考えたという記憶もありませんでした。

そこで,次は問題となっている,定常状態|ψ_n＞のｘ表示の関数ψ_n(ｘ)＝＜ｘ|ψ_n＞に対応する運動量波動関数:＜ｐ|ψ_n＞について考察してみましょう。

|ｐ＞はもちろんｐ^|ｐ＞＝ｐ|ｐ＞を満たす,運動量固有状態の固有ベクトルです。

運動量波動関数は,ランダウの本では添字ｎが１の場合だけを考察しているのでａ(ｐ)となっていますが,ここでは添字ｎを考慮してａ_n(ｐ)＝＜ｐ|ψ_n＞と書くことにします。

さて一般的問題としては,Ｈ^＝ｐ^²/(2ｍ)＋Ｖ^のときに＜ｐ|[Ｈ^－{ｐ^²/(2ｍ)＋Ｖ^}]|ψ＞＝0 という式は自明な恒等式ですから,|ψ＞に|ψ_n＞を代入しても成立します。

そして|ψ＞に|ψ_n＞を代入した式に,さらにＨ^|ψ_n＞＝Ｅ_n|ψ_n＞と＜ｐ|ｐ^＝＜ｐ|ｐを代入します。後者はｐ^がエルミート演算子であれば成立します。

すると＜ｐ|[Ｈ^－{ｐ^²/(2ｍ)＋Ｖ^}]|ψ_n＞＝0 は{Ｅ_n－ｐ²/(2ｍ)}＜ｐ|ψ_n＞＋＜ｐ|Ｖ^|ψ_n＞＝0 となります。

右辺の項＜ｐ|Ｖ^|ψ_n＞は,＜ｐ|Ｖ^|ψ_n＞＝∫ｄｘ₁ｄｘ₂＜ｐ|ｘ₁＞＜ｘ₁|Ｖ^|ｘ₂＞＜ｘ₁|ψ_n＞＝∫ｄｘ＜ｐ|ｘ＞Ｖ(ｘ)ψ_n(ｘ)と変形できます。

ｘの積分区間(－∞,∞)のうちで,ｘ∈[0,ａ]においてはＶ(ｘ)＝0です。また,それ以外の領域￢ｘ∈[0,ａ]では,Ｖ(ｘ)＝∞ ですが,ψ_n(ｘ)＝0 です。

そもそも,波動関数解ψ(ｘ)が￢ｘ∈[0,ａ]なる領域ではゼロになるべきであることを要求した理由は,そこでも波動方程式{－ｈ_c²/(2ｍ)}(ｄ²ψ(ｘ)/ｄｘ²)＋Ｖ(ｘ)ψ(ｘ)＝Ｅψ(ｘ)が成立するためです。

波動方程式の項を移項して,Ｖ(ｘ)ψ(ｘ)＝{ｈ_c²/(2ｍ)}(ｄ²ψ(ｘ)/ｄｘ²)＋Ｅψ(ｘ)なる形に書くと,ｘ∈[0,ａ]以外のψ(ｘ)が恒等的にゼロである領域では,右辺がゼロなので,左辺のＶ(ｘ)ψ(ｘ)もゼロであるべきです。

したがって,Ｖ(ｘ)＝∞で,かつψ(ｘ)＝0 ですから一般にはＶ(ｘ)ψ(ｘ)の値は不定で全く評価不可能なのですが,今の場合は物理的に考えて,これをゼロと考えるのが妥当であると思われます。

すると,積分区間,(－∞,∞)全体でＶ(ｘ)ψ(ｘ)＝0 と考えることができます。

さらに係数:＜ｐ|ｘ＞も別に特異な関数ではなく有限ですから,どこかに関数とはいえない超関数のようなものを無理に想定しない限り,＜ｐ|Ｖ^|ψ_n＞＝∫ｄｘ＜ｐ|ｘ＞Ｖ(ｘ)ψ_n(ｘ)＝0 としてよいです。

以上から,常識的に考えると{Ｅ_n－ｐ²/(2ｍ)}＜ｐ|ψ_n＞＝0 なる等式が成立することがわかります。

この式によれば,Ｅ_n－ｐ²/(2ｍ)≠0 なら＜ｐ|ψ_n＞＝0 でなければならないのでｐ²/(2ｍ)＝Ｅ_nを満たすｎごとに,２つの運動量値:ｐ＝±ｐ_n,ｐ_n＝ｈ_cｋ_n＝ｎπｈ_c/ａ(ｎ＝1,2,..)以外ではａ_n(ｐ)＝＜ｐ|ψ_n＞＝0 となるべきです。

したがって,定常状態を展開すべき,運動量ｐの関数としての運動量波動関数:ａ_n(ｐ)＝＜ｐ|ψ_n＞は,ｎを固定すると,離散的な値ｐ＝±ｐ_n以外ではゼロの関数であると結論されます。

ところが,ランダウの教科書の演習問題によればａ_n(ｐ)＝＜ｐ|ψ_n＞＝∫_-∞^∞ｄｘ＜ｐ|ｘ＞＜ｘ|ψ_n＞＝∫₀^a＜ｘ|ｐ＞^*ψ_n(ｘ)ｄｘにψ_n(ｘ)＝(2/ａ)^1/2sin(ｐ_nｘ/ｈ_c),＜ｘ|ｐ＞＝(2πｈ_c)^-1/2exp(iｐｘ/ｈ_c)を代入して,ａ_n(ｐ)を計算しています。

そして,運動量ｐがｐ～ｐ＋ｄｐに存在する確率として|ａ_n(ｐ)|²ｄｐ/(2πｈ_c)＝(4πｈ_c²ａ){cos²{ｐａ/(2ｈ_c)}/(ｐ²ａ²－ｎ²π²)²}ｄｐ＝(4πｈ_c²ａ){cos²{ｐａ/(2ｈ_c)}/(ｐ²ａ²－ｐ_n²ａ²)²}ｄｐなる式を求めています。

この関数は,確かにｐ＝±ｐ_nでは絶対値がピークを取りますが,それ以外のｐでもゼロであるというわけではありません。

この関数の評価については,2008年８月14日の記事「三角関数を含むある関数の定積分」で詳細に考察しています。

確率分布:|ａ_n(ｐ)|²ｄｐ/(2πｈ_c)に基づいて,期待値:＜ｐ^^k＞を計算すると,ｋが奇数のときは確かにゼロになります。

しかし,ｋが偶数のときは,ｋ＝２のときはｐ_n^kに一致しますが,ｋが４以上の偶数では,この期待値は ∞ に発散して,ｐ_n^kには一致しないという矛盾が生じる結果が得られることがわかりました。

そこで,上で書いたように,計算方法か考え方のどこかに間違いがあるはずです。

ただ,この過去記事を書いた当時は,微妙な物理学の問題にはタッチせず,純粋に数学の問題として,積分の計算だけを考察したのでした。

ｘ表示をｐ表示に変換した際の式変形のプロセスが,全て同値変形だと思っていましたが,同じ物理量の期待値が一致しないということは,どこかに両者が同値ではない不連続な論理の飛躍があることが,こうした矛盾の原因でしょうね。

そこで,突き詰めると,ａ_n(ｐ)＝＜ｐ|ψ_n＞＝∫₀^a＜ｘ|ｐ＞^*ψ_n(ｘ)ｄｘ,ψ_n(ｘ)＝(2/ａ)^1/2sin(ｐ_nｘ/ｈ_c),＜ｘ|ｐ＞＝(2πｈ_c)^-1/2exp(iｐｘ/ｈ_c)から,ｐ≠±ｐ_n (ｐ²/(2ｍ)≠Ｅ_n)でもａ_n(ｐ)＝＜ｐ|ψ_n＞≠0 を得た定式化と,

＜ｘ|Ｈ^|ψ_n＞＝Ｅ_n＜ｘ|ψ_n＞であって,ｘ∈[0,ａ]ではＨ^＝ｐ^²/(2ｍ),かつ{Ｅ_n－ｐ²/(2ｍ)}＜ｐ|ψ_n＞＝0 なので,ｐ≠±ｐ_n (ｐ²/(2ｍ)≠Ｅ_n)では,ａ_n(ｐ)＝＜ｐ|ψ_n＞＝0 であるべきという定式化との間にどういう矛盾があるか？を探せばいいだけです。

そして,間違いがあるなら,それはランダウの演習問題の解の方にあるはずです。

この中で疑問があるとしたら,運動量固有状態|ｐ＞とそれに対するｘ表示の固有関数＜ｘ|ｐ＞＝(2πｈ_c)^-1/2exp(iｐｘ/ｈ_c)で,これを代入したという部分だけですね。

古典的かつ非相対論的にはｐ＝ｍｖですが,さらに自由粒子だとすれば,Ｅ＝ｐ²/(2ｍ)＝ｍｖ²/2で外力のポテンシャルＶがゼロで一定速度ｖで慣性運動をしているだけです。

そこで,量子論では,この粒子の時間を含んだ運動量の固有状態|ｐ,ｔ＞の"波動関数＝ｘ表示"は＜ｘ|ｐ,ｔ＞＝＜ｘ,ｔ|ｐ＞＝Ｃexp[{iｐｘ－iｐ²ｔ/(2ｍ)}/ｈ_c]＝Ｃ∫exp{(iｐｘ－iＥｔ)/ｈ_c]δ(Ｅ－ｐ²/(2ｍ))ｄＥですね。

Ｅ(ｐ)≡ｐ²/(2ｍ)と定義して|ｐ,ｔ＞＝|ｐ＞exp{－iＥ(ｐ)ｔ/ｈ_c}と書けば空間部分|ｐ＞だけでなく,時間依存の位相部分exp{－iＥ(ｐ)ｔ/ｈ_c}もまたｐの関数ですね。

つまり,運動量ｐが増えれば連動して運動エネルギーＥ(ｐ)が増えるのでＥ(ｐ)が一定の定常状態になるのは,一方の係数がゼロの場合も含めて,状態が|ｐ＞と|－ｐ＞の重ね合わせになるときだけです。

当たり前のことですが,"振動数が一定＝エネルギーが一定"の場合,すなわち,定常状態ψ(ｘ,ｔ)＝ψ(ｘ)exp(－iＥｔ)なら位相部分は確率には無関係で|ψ(ｘ,ｔ)|²＝|ψ(ｘ)|²です。

しかし,エネルギーが一定でない非定常状態なら最も単純な重ね合わせ:ψ(ｘ,ｔ)＝ψ₁(ｘ)exp(－iＥ₁ｔ)＋ψ₂(ｘ)exp(－iＥ₂ｔ)でさえ,確率密度として|ψ(ｘ,ｔ)|²を計算するとき"位相部分＝時間依存部分"の干渉が効いてきます。

そしてｘ表示の運動量演算子:ｐ^＝－iｄ/ｄｘの固有状態の時間依存を陽に書いた波動関数はφ_ｐ(ｘ,ｔ)≡＜ｘ,ｔ|ｐ＞＝＜ｘ|ｐ＞exp{－iＥ(ｐ)ｔ/ｈ_c}＝Ｃexp[{iｐｘ－iｐ²ｔ/(2ｍ)}/ｈ_c]となります。

一方,時間依存を陽に書いた定常状態|ψ_n＞のｘ表示波動関数はψ_n(ｘ,ｔ)＝＜ｘ,ｔ|ψ_n＞＝＜ｘ|ψ_ｎ＞exp{－iＥｔ/ｈ_c}＝ψ_n(ｘ)exp{－iＥｔ/ｈ_c}＝(2/ａ)^1/2sin(ｐ_nｘ/ｈ_c)exp{－iｐ_n²ｔ/(2ｍｈ_c)}となりますね。

元々のランダウの本に書いてあるａ_n(ｐ)＝＜ｐ|ψ_n＞＝∫₀^a＜ｘ|ｐ＞^*ψ_n(ｘ)ｄｘ,ψ_n(ｘ)＝(2/ａ)^1/2sin(ｐ_nｘ/ｈ_c),＜ｘ|ｐ＞＝(2πｈ_c)^-1/2exp(iｐｘ/ｈ_c)は,時間依存部分の干渉を無視し,エネルギー保存などの物理的制約もない,単なる数学的なフーリエ積分ですね。

しかし,状態空間の母体であるヒルベルト空間の中でも,自由粒子のハミルトニアンであれ何であれ,少なくとも物理的境界条件を満たす波動方程式の解のみで構成される１つの完全系の状態関数の空間に問題を限定すべきでしたね。

(今の場合,境界条件というのは粒子が有限領域に閉じ込められているということです。自由粒子ではなく,[Ｈ,ｐ^]≠0 ですから定常状態でかつがｐ^の固有関数ということは不可能です。

しかし,[Ｈ,ｐ^²]＝0 なのでｐ^の偶数ベキであれば,"期待値＝固有値"を定常状態の問題として扱えます。)

ランダウの表現でも,ａ_n(ｐ,ｔ)＝＜ｐ,t|ψ_n＞＝∫₀^a＜ｘ,ｔ|ｐ,ｔ＞^*ψ_n(ｘ,ｔ)ｄｘのような展開をすれば,少しはましな計算ができるのではないかと考えられます。

実際,ｘ∈[0,ａ]ならψ_n(ｘ)＝(2/ａ)^1/2sin(ｐ_nｘ/ｈ_c)＝(－i)(2ａ)^-1/2[exp(iｐ_nｘ/ｈ_c)－exp(－iｐ_nｘ/ｈ_c)]で,￢ｘ∈[0,ａ]ならψ_n(ｘ)＝0 なので,ψ_n(ｘ)は,元々,運動量固有値が±ｐ_nの運動量固有状態の単純な代数和の形をしています。

以上,この教育的な１問題の考察は,これ以上の具体的計算は省略して,これで封印します。

参考文献:ランダウ,リフシッツ著「量子力学１(改訂新版)」(東京図書)

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