先進波と負エネルギー,反粒子について

　最近,ある掲示板で私が昔学生時代に考えたことのある

ちょっとした話題が出ていました。

　それは,電磁場(光子)の先進波,先進ポテンシャル,または

先進Green関数の解釈についての話で昔からよく論じられて

いる内容です。

　昔,QED,場の理論,や,その摂動のFeynman-diagramを初めて

習った学生の頃に,元々古典電磁気学の論題であったこの関連

の話に量子論的解釈をしたことを思い出したので書いてみます。

これを述べるためには,電磁気学の予備知識が必要です。

その説明をするために,まず,既に2007年12月のシリ－ズ記事:

「ヤングの干渉実験」,特に,12/６の記事:

「ヤングの干渉実験(2)(量子論)」12/９の記事

「ヤングの干渉実験(3)(量子論) 」において電磁光学の説明の

ために記述した部分を要約して再掲します。

電磁場のスカラーポテンシャルをφ(ｒ,ｔ),

ベクトルポテンシャルをＡ(ｒ,ｔ)とすると,電場Ｅ(ｒ,ｔ),

磁場Ｂ(ｒ,ｔ)はこれらのポテンシャルによって,

　Ｅ(ｒ,ｔ)＝－∇φ(ｒ,ｔ)－∂Ａ(ｒ,ｔ)/∂ｔ,

Ｂ(ｒ,ｔ)＝∇×Ａ(ｒ,ｔ)　と表現されます。

以下,簡単のため,適宜引数ｒ,ｔを省略します。

これらφ,Ａは電磁ポテンシャルと呼ばれます。

そしてφ,ＡによるＥ＝－∇φ－∂Ａ/∂ｔ,Ｂ＝∇×Ａなる表現式

は,任意関数Λを用いたゲージ変換と呼ばれる変換:

φ→φ＋∂Λ/∂ｔ,Ａ→Ａ－∇Λに対して不変です。

これをゲージ不変性といいます。

そして電磁場を記述する基本方程式である真空中の

マクスウェル(Maxwell)の方程式は,ポテンシャルＡ,φによる

表現では,

∇(∇Ａ)－∇²Ａ＋(1/ｃ²)(∂∇φ/∂ｔ)＋(1/ｃ²)(∂²Ａ/∂ｔ²)

＝μ₀Ｊ,－ε₀∇²φ－ε₀∇(∂Ａ/∂ｔ)＝ρ　なる形になります。

ここにρ(ｒ,ｔ)は電荷密度,Ｊ(ｒ,ｔ)は電流密度です。

特に相対論的に共変なゲージであるLorentz(Lorensゲージの

条件:∇Ａ＋(1/ｃ²)(∂φ/∂ｔ)＝0 を満たすようなゲージ

関数Λを採用すれば,上記の運動方程式は,

□Ａ＝(1/ｃ²)(∂²Ａ/∂ｔ²)－∇²Ａ＝μ₀Ｊ,

□φ＝(1/ｃ²)(∂²φ/∂ｔ²)－∇²φ＝ρ/ε₀

となります。

これはφとＡについて対称的,かつ簡明で共変性が明白な形です。

(※ □≡(1/ｃ²)(∂²/∂ｔ²)－∇²なる記号を用いましたが,

この微分演算子□はダランベルシャン(d'Alembertian)と

呼ばれます。※)

ところで,これ以外のゲージ条件を採用すると４次元時空の

座標変換:ｘ'^μ＝ａ^μ_νｘ^νに対し,４元ポテンシャル:

Ａ^μ＝(φ/ｃ,Ａ)の変換がＡ'^μ＝ａ^μ_νＡ^ν＋α^μ(Λ)の

ようになります。

つまり,通常の４元ベクトルとしてのLorentz変換の他に,

変換された座標系でも同じゲージ条件を満たすようにするるため

その都度,別の補正変換:α^μ(Λ)を受ける必要があります。

そこで,Ａ^μは座標系依存のベクトルとなって,相対論的に共変な

正しい４元ベクトルではなくなります。

したがって,非共変なゲージを採用したのでは,電磁ポテンシャル

は非局所的となり,電磁信号は光速を超えて相対論的因果律を破る

ことになると考えられます。

しかし,この問題点については,以前2006年10/９の記事

「非共変ゲージの非局所性(電磁場)」で論じたように,

現実に観測されるのは,場の量Ａ^μ＝(φ/ｃ,Ａ)ではなく,場の

強さであるＥとＢ,つまりＦ^μν≡∂Ａ^ν/∂ｘ_μ－∂Ａ^μ/∂ｘ_ν

であって,これらはゲージの選択には無関係なので共変であり,

局所性を破らないので,現実には相対論と無矛盾であることが

わかります。

つまり,"量子論において観測されるのは確率であって波動関数

ではない。",という話と同じく,電磁場を示す電磁ポテンシャル:

Ａ^μ＝(φ/ｃ,Ａ)は,量子論なら光子の波動関数に相当する

非観測量ですから,これを物理的な実在であると考えないなら,

全く矛盾は生じないわけです。

さて,時空座標をｘ^μ＝(ｃｔ,ｒ),電磁ポテンシャルを

Ａ^μ＝(φ/ｃ,Ａ),電荷密度,電流密度をＪ^μ＝(ｃρ,Ｊ)で記述

すればLorens条件:∇Ａ＋(1/ｃ²)(∂φ/∂ｔ)＝0 は,

∂Ａ^μ/∂ｘ^μ＝∂_μＡ^μ＝0 となり,

　運動方程式:□Ａ＝μ₀Ｊ,□φ＝ρ/ε₀ は,

□Ａ^μ＝∂^ν∂_νＡ^μ＝ｓ^μ(ただし,ｓ^μ≡Ｊ^μ/(ｃ²ε₀))

となります。

そして,特に電荷や電流の全くない:Ｊ^μ＝(ｃρ,Ｊ)＝0 の場合

の真空中の自由電磁場の方程式は,□Ａ^μ＝∂^ν∂_νＡ^μ＝0 です。

微分方程式:□Ａ^μ＝∂^ν∂_νＡ^μ＝ｓ^μは,

Ａ^μ(ｘ)＝{1/(2π)⁴}∫ｄ⁴ｋ[Ａ^^μ(ｋ)exp(－iｋｘ)]として

Ａ^μを平面波の重ね合わせ,すなわち,Fourier積分の形で

表わせば,同じく,

ｓ^μ(ｘ)＝{1/(2π)⁴}∫ｄ⁴ｋ[ｓ^^μ(ｋ)exp(－iｋｘ)なる

ｓ^μのFourier積分表式に対し,

代数方程式:ｋ²Ａ^^μ(ｋ)＝－ｓ^^μ(ｋ)　　に変わります。

特に,ｓ^μ＝Ｊ^μ/(ｃ²ε₀)＝0 の自由場の方程式;

□Ａ^μ＝－∂^ν∂_νＡ^μ＝0 は,光子質量がゼロであることに相当

して,ｋ²＝ｋ_μｋ^μ＝(ｋ⁰)²－ｋ²＝0 を満たします。

そこで,各自由平面波の波数ベクトルｋに対し,角振動数を

ω_k＝ｃ|ｋ|としてｋ^μ＝(ω_k/ｃ,ｋ)と書けば,

exp(－iｋｘ)＝exp{i(ｋｒ－ω_kｔ)},かつ

exp(iｋｘ)＝exp{－i(ｋｒ－ω_kｔ)}　です。

したがって,Ａ^^μ(ｋ)＝θ(ｋ⁰)δ(ｋ²)として自由電磁場をＡ^μ(ｘ)＝{1/(2π)⁴}∫ｄ⁴ｋ[θ(ｋ⁰)δ(ｋ²)exp(－iｋｘ)]と表わせば,これはＡ^μ(ｘ)＝Ａ^μ(ｒ,ｔ)＝{1/(2π)³}∫ｄ³ｋ(2|ｋ|)^-1[ε_k^μａ_kexp{(－i(ｋｒ－ω_kｔ))＋ε_-k^μａ_k^*μexp{i(ｋｒ－ω_kｔ)]となります。

ただし,ａ_kは定数係数,ε_k^μは偏光を表わす単位ベクトル:

ε_k²＝ε_kμε_k^μ＝(ε_k⁰)²－ε_k²＝－1で,Lorens条件:

ｋε_k＝ｋ_με_k^μ＝(ω_k/ｃ)ε_k⁰－ｋε_k＝0 を満たすように

与えられます。

θ(τ)はHeaviside関数,または階段関数と呼ばれるτの

関数です。これはτ＜0ならθ(τ)≡0,τ＞0 ならθ(τ)≡1

によって定義される関数です。

この関数は,τ＝0 では不連続で,そこでは,0と1の間であると

いうだけで特に指定はありませんが,常にθ(τ)＋θ(－τ)＝１

でｄθ(τ)/ｄτ＝δ(τ)なる性質を有します。

次に,一般の４元電流密度ｓ^μに対して,Lorensゲージの電磁場

の方程式:□Ａ^μ＝∂^ν∂_νＡ^μ＝ｓ^μを解きます。 

□Ａ^μ＝ｓ^μなる形から,形式的にＡ^μ＝□^-1ｓ^μと書けるので,

D'Alemgertian:□の逆演算子□^-1が得られればいいと思われます

が,これは以下に示すように,以前３次元のLaplacian:

△＝∇²の逆演算子△^-1を求めたのと同じ方法で得られます。

すなわち,もしも□Ｄ^＝1なるＤ^が見出されれば,□^-1＝Ｄ^

なので□Ａ^μ＝ｓ^μは形式的に,Ａ^μ＝□^-1ｓ^μ＝Ｄ^ｓ^μと書け

るわけです。

そして,微分演算子□に対し,□Ｄ^＝1を満たす逆演算子:

Ｄ^＝□^-1は積分演算子ですから,Ｄ^を□Ｄ(ｘ)＝δ⁴(ｘ)

を満たす関数Ｄ(ｘ)で表現すれば,結局,

Ａ^μ(ｘ)＝∫ｄ⁴ｙＤ(ｘ－ｙ)ｓ^μ(ｙ)

と書けることになります。

さらに,実際には微分方程式の解の積分定数に相当する斉次方程式:

□Ａ₀^μ＝0 の解Ａ₀^μをも考慮して,

Ａ^μ(ｘ)＝Ａ₀^μ(ｘ)＋∫ｄ⁴ｙＤ(ｘ－ｙ)ｓ^μ(ｙ)

となります。

そして,□Ｄ(ｘ)＝δ⁴(ｘ)を満たす関数Ｄ(ｘ)は微分演算子:

□に対応するグリーン関数(Green関数)と呼ばれます。

グリーン関数:Ｄ(ｘ)を具体的に求めるため,そのFourier積分

表示を,Ｄ(ｘ)＝(2π)^-4∫Ｄ^(ｋ)exp(－iｋｘ)ｄ⁴ｋと書けば,

δ⁴(ｘ)＝(2π)^-4∫exp(－iｋｘ)ｄ⁴ｋなので,

□Ｄ(ｘ)＝δ⁴(ｘ)は,Ｄ^(ｋ)＝－1/ｋ²を意味します。

　そこで,形式的にＤ(ｘ)＝－(2π)^-4∫[exp(－iｋｘ)/ｋ²]ｄ⁴ｋ

と書けます。

しかし,Ｄ^(ｋ)＝－1/ｋ²は分母がゼロになる点,

ｋ²＝(ｋ⁰)²－ｋ²＝0 になるところに特異点を持ちますから,

このままでは,well-definedではありません。

しかし,複素ｋ⁰平面での極ｋ⁰≡±|ｋ|付近のＤ^(ｋ)の挙動

次第で遠方でＤ(ｘ)が満たすべき境界条件が得られるので,

ｋ⁰積分の経路が極をどのように回避するかを指定すること

によって,Ｄ(ｘ)を決めることができます。

今,Ｄ^(ｋ)≡－1/(ｋ²＋iε)(ε＞0)と置いて,

Ｄ(ｘ)≡－lim_ε→＋0(2π)^-4∫[exp(－iｋｘ)/(ｋ²＋iε)]ｄ⁴ｋ

としてみます。

　このとき,

1/(ｋ²＋iε)＝1/{(ｋ⁰－|ｋ|＋iε)(ｋ⁰＋|ｋ|－iε)}

ですが,exp(－iｋｘ)＝exp(－iｋ⁰ｔ)exp(iｋｒ)なので,

極:ｋ⁰＝ω_k＝|ｋ|－iε(ε＞0)では,

exp(－iｋ⁰ｔ)＝exp(－i|ｋ|ｔ－εｔ)→ 0 as ｔ→＋∞,

　極:ｋ⁰＝－ω_k＝－|ｋ|＋iεでは,

exp(－iｋ⁰ｔ)＝exp(i|ｋ|ｔ＋εｔ)→ 0 as ｔ→－∞ です。

Ｄ(ｘ)＝－(2π)^-4∫[exp(－iｋｘ)/(ｋ²＋iε)]ｄ⁴ｋ

＝{i/(2π)³}∫{2(|ｋ|－iε)}^-1

[exp(iｋｒ－iｃ|ｋ|ｔ)＋exp(iｋｒ＋iｃ|ｋ|ｔ)]ｄ³ｋ

＝{i/(8π²)}∫ｄ|ｋ|ｄ(cosθ)

|ｋ|[exp{i(|ｋ||ｒ|cosθ－ｃ|ｋ|ｔ)}

＋exp{i{|ｋ||ｒ|cosθ＋ｃ|ｋ|ｔ)}]　　となります。

そして∫_-1¹ｄ(cosθ)[exp(i|ｋ||ｒ|cosθ)

＝[exp(i|ｋ||ｒ|)－exp(－i|ｋ||ｒ|)]/(i|ｋ||ｒ|)

＝2sin(|ｋ||ｒ|)/(|ｋ||ｒ|)です。

それ故,Ｄ(ｘ)＝－(2π)^-4∫[exp(－iｋｘ)/(ｋ²－iε)]ｄ⁴ｋ

＝Ｄ_ret(ｘ)－Ｄ_adv(ｘ)　と書けます。

ただし,Ｄ_ret(ｘ)≡{1/(8π²)}|ｒ|^-1∫₀^∞ｄ|ｋ|

[exp{i|ｋ|(|ｒ|－ｃｔ)}－exp{－i|ｋ|(|ｒ|－ｃｔ)}

＝{1/(8π²)}|ｒ|^-1∫_-∞^∞ｄ|ｋ|[exp{i(|ｋ|{|ｒ|－ｃｔ)}

＝{1/(4π|ｒ|)}δ(|ｒ|－ｃｔ)です。

また,Ｄ_adv(ｘ)≡{1/(8π²)}|ｒ|^-1∫₀^∞ｄ|ｋ|

[exp{i|ｋ|(|ｒ|＋ｃｔ)}－exp{－i|ｋ|(|ｒ|＋ｃｔ)}

＝{1/(8π²)}|ｒ|^-1∫_-∞^∞ｄ|ｋ|[exp{i(|ｋ|{|ｒ|＋ｃｔ)}

＝{1/(4π|ｒ|)}δ(|ｒ|＋ｃｔ)です。

したがって,Ｄ^(ｋ)≡－1/(ｋ²＋iε)(ε＞0)と選択し

Ｄ(ｘ)≡－lim_ε→＋0(2π)^-4∫[exp(－iｋｘ)/(ｋ²＋iε)]ｄ⁴ｋ

と定義したGreen関数は,

Ｄ(ｘ)＝{1/(4πｃ|ｒ|)}[δ(ｔ－|ｒ|/ｃ)－δ(ｔ＋|ｒ|/ｔ)]

となります。

よって,初めに意図した通り,確かにｔ→±∞,|ｒ|→∞でゼロに

なるという境界条件を満たすことがわかったので,これを電磁場

を考察する際の基本的なGreen関数として採用します。

要約すると,

Ｄ(ｘ)＝Ｄ(ｒ,ｔ)

＝{1/(4π|ｒ|)}[δ(|ｒ|－ｃｔ)－δ(|ｒ|＋ｃｔ)]

＝{1/(4πｃ|ｒ|)}[δ(ｔ－|ｒ|/ｃ)－δ(ｔ＋|ｒ|/ｔ)]

で,Ｄ(ｘ)＝Ｄ_ret(ｘ)－Ｄ_adv(ｘ);

Ｄ_ret(ｘ)≡Ｄ_ret(ｒ,ｔ)＝θ(ｔ)Ｄ(ｒ,ｔ),

Ｄ_adv(ｘ)≡Ｄ_adv(ｒ,ｔ)＝－θ(－ｔ)Ｄ(ｒ,ｔ)

です。

ここで,Ｄ_ret(ｒ,ｔ)＝θ(ｔ)Ｄ(ｒ,ｔ)

＝{1/(4πｃ|ｒ|)}δ(ｔ－|ｒ|/ｃ)を遅延Green関数,

Ｄ_adv(ｒ,ｔ)＝－θ(－ｔ)Ｄ(ｒ,ｔ)

＝{1/(4πｃ|ｒ|)}δ(ｔ＋|ｒ|/ｃ)を先進Green関数

と呼びます。

ｔ＞0 の未来での電磁場を予測するだけなら,そこでは

Ｄ(ｒ,ｔ)＝Ｄ_ret(ｒ,ｔ)なので,遅延Green関数だけで

十分です。

先に書いた

Ａ^μ(ｘ)＝Ａ₀^μ(ｘ)＋∫ｄ⁴ｙＤ(ｘ－ｙ)ｓ^μ(ｙ)は,

Ａ^μ(ｘ)＝Ａ₀^μ(ｘ)＋∫ｄ⁴ｙＤ_ret(ｘ－ｙ)ｓ^μ(ｙ)　となります。

あるいは,自由電磁波:Ａ₀^μ(ｘ)＝Ａ₀^μ(ｒ,ｔ)を無限の過去:

ｔ＝－∞における入射波:Ａ_in^μ(ｒ,ｔ)と考える散乱現象と

見れば,Ａ^μ(ｒ,ｔ)＝Ａ_in^μ(ｒ,ｔ)

＋ｃ∫_-∞^ｔｄｔ'∫ｄ³ｒ'Ｄ_ret(ｒ－ｒ',ｔ－ｔ')ｓ^μ(ｒ',ｔ')

と表現されます。

すなわち,Ａ^μ(ｒ,ｔ)＝Ａ_in^μ(ｒ,ｔ)

＋∫ｄ³ｒ'∫_-∞^ｔｄｔ'{1/(4π|ｒ－ｒ'|)}

δ(ｔ－ｔ'－|ｒ－ｒ'|/ｃ)ｓ^μ(ｒ',ｔ')

＝Ａ_in^μ(ｒ,ｔ)

＋{1/(4π)}∫ｄ³ｒ'[ｓ^μ(ｒ',ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ'|]

となります。

Ｊ^μ＝ｓ^μｃ²ε₀と戻しＡ_in^μ(ｒ,ｔ)＝0 の場合を仮定すれば,

φ(ｒ,ｔ)

＝{1/(4πε₀)}∫ｄ³ｒ'[ρ(ｒ',ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ'|],

かつＡ(ｒ,ｔ)

＝{μ₀/(4π)}∫ｄ³ｒ'[Ｊ(ｒ',ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ'|]

です。 

こうした意味で,これらのポテンシャルφ(ｒ,ｔ),Ａ(ｒ,ｔ)を

遅延ポテンシャルと呼び,その電磁波を遅延波と呼びれます。

　特に,Ａ^μ(ｒ,ｔ)＝∫Ａ^^μ(ｒ,ω)exp(－iωｔ)ｄω,または

Ａ^^μ(ｒ,ω)＝{1/(2π)}∫Ａ^μ(ｒ,ｔ)exp(iωｔ)ｄｔと電磁場

Ａ^μを振動数で展開し,

４元電流密度ｓ^μもｓ^μ(ｒ,ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃ)

＝∫ｓ^^μ(ｒ,ω)exp(－iω(ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃ))ｄω

＝∫ｓ^^μ(ｒ,ω)exp(iω|ｒ－ｒ'|/ｃ)exp(－iωｔ)

と展開してみます。

こうすれば,Ａ^μ(ｒ,ｔ)

＝Ａ_in^μ(ｒ,ｔ)＋{1/(4π)}∫ｄ³ｒ'

[ｓ^μ(ｒ',ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ']は,

Ａ^^μ(ｒ,ω)＝Ａ^_in^μ(ｒ,ω)＋{1/(4π)}∫ｄ³ｒ'

[ｓ^^μ(ｒ',ω)exp(iω|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ'|]

なる表現になります。

　したがって,Ｇ_ret(ｒ,ω)＝exp(iωｒ/ｃ)/(4πｒ) (ｒ≡|ｒ|)

と置けば,Ａ^^μ(ｒ,ω)＝Ａ^_in^μ(ｒ,ω)

＋∫ｄ³ｒ'Ｇ_ret(ｒ－ｒ',ω)ｓ^^μ(ｒ',ω)と表現できるため,

Ｇ_ret(ｒ,ω)を遅延Green関数と呼ぶこともあるようです。

グGreen関数Ｇ_ret(ｒ,ω)はHel,holtzの方程式のGreen関数と

なっていて,[△＋(ω/ｃ)²]Ｇ_ret(ｒ,ω)＝－δ³(ｒ)

を満たします。 

では,ｔ＜0 過去の電磁場を表現する先進グリーン関数:

Ｄ(ｒ,ｔ)＝－Ｄ_adv(ｒ,ｔ)＝θ(－ｔ)Ｄ(ｒ,ｔ)は何を意味する

のでしょうか？それともこれは不要なのでしょうか？

とりあえず,遅延Green関数と同じようにｔ＜0 対して,

Ａ^μ(ｘ)＝Ａ₀^μ(ｘ)－∫ｄ⁴ｙＤ_adv(ｘ－ｙ)ｓ^μ(ｙ)と

書いてみます。

自由電磁波Ａ₀^μ(ｘ)＝Ａ₀^μ(ｒ,ｔ)を無限の未来ｔ＝∞における

射出波:Ａ_out^μ(ｒ,ｔ)であると考えてみると,

Ａ^μ(ｒ,ｔ)＝Ａ_out^μ(ｒ,ｔ)

＋ｃ∫_∞^tｄｔ'∫ｄ³ｒ'Ｄ_adv(ｒ－ｒ',ｔ－ｔ')ｓ^μ(ｒ',ｔ')

と表現されます。

これは,現在のＡ_out^μ(ｒ,ｔ)から時間を遡るとこうなる,という

描像を示しているだけで,決して因果律に反して現在から過去

に向かう電磁波信号が存在することを意味するものでは

ありません。

例えば重力場の方程式でも解が満たすべき初期条件,あるいは

境界条件の違いによってブラックホールを与える解と,

ホワイトホール(あるいは,膨張する宇宙?)を与える解の両方が

あるのと同じく,方程式が時間反転対称なら遅延解と先進解が

あるのはごく普通のことです。

重力場でブラックホールを与える解というのは,初期には大きな

星が自分自身の"重さ＝重力"のせいで崩壊してゆく解のことです。

一方,ホワイトホールを与える解というのは規模は違いますが,

いわゆる宇宙全体が膨張するというビッグバンに相当する解で

宇宙論ではどちらも実際的に重要な役割を持ちます。

さて,電磁場の先進波はｔ＜0 で,

Ａ^μ(ｒ,ｔ)＝Ａ_out^μ(ｒ,ｔ)

＋{1/(4π)}∫ｄ³ｒ'[ｓ^μ(ｒ',ｔ＋|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ’|]

であり,ｓ^μ＝Ｊ^μ/(ｃ²ε₀)　です。

そこで,Ａ_out^μ(ｒ,ｔ)＝0 の場合には,

φ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}∫ｄ³ｒ'

[ρ(ｒ',ｔ＋|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ'|],

Ａ(ｒ,ｔ)＝{μ₀/(4π)}∫ｄ³ｒ'

[Ｊ(ｒ',ｔ＋|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ'|]　です。

これらのポテンシャルφ(ｒ,ｔ),Ａ(ｒ,ｔ)は先進ポテンシャル

と呼ばれ,その電磁波は先進波と呼ばれます。

また,Ｇ_adv(ｒ,ω)＝exp(－iωｒ/ｃ)/(4πｒ)(ただしｒ≡|ｒ|)

と置けば,Ａ^^μ(ｒ,ω)

＝Ａ^_out^μ(ｒ, ω)＋∫ｄ³ｒ'Ｇ_adv(ｒ－ｒ',ω)ｓ^^μ(ｒ',ω)

と表現できるので,Ｇ_adv(ｒ,ω)を先進Green関数と呼ぶことも

あります。

このGreen関数Ｇ_adv(ｒ,ω)もＧ_ret(ｒ,ω)が満たすのと同じ

Helmhortzの方程式のGreen関数となっていて,

[△＋(ω/ｃ)²]Ｇ_adv(ｒ,ω)＝－δ³(ｒ)　を満たします。 

これらの話は2006年10月３日の記事「ホイヘンスの原理の正当性」

でも書いていますが,そこでは真空中の電磁場:

Ａ^μ(ｘ)＝Ａ^μ(ｒ,ｔ)が初期時刻ｔ＝ｔ'において,

Ａ^μ(ｒ,ｔ')＝Ｆ^μ(ｒ),∂Ａ^μ(ｒ,ｔ')/∂ｔ'＝Ｇ^μ(ｒ)なる

条件を満たすような解を求めること,すなわち,微分方程式の

Cauchy問題を解いています。

これはGreen関数:

Ｄ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πｒ)}[δ(ｒ－ｃｔ)－δ(ｒ＋ｃｔ)] において

ｔ＞0 のときの遅延Green関数:

Ｄ(ｒ,ｔ)＝Ｄ_ret(ｒ,ｔ)＝{1/(4πｒ)}θ(ｔ)(ｒ－ｃｔ)

を用いると,すぐに解けて,

Ａ^μ(ｒ,ｔ)

＝∫ｄ³ｒ'[{∂Ｄ_ret(ｒ－ｒ',ｔ－ｔ')/∂ｔ}Ｆ^μ(ｒ')

＋Ｄ_ret(ｒ－ｒ',ｔ－ｔ')Ｇ^μ(ｒ')]

と表わすことができます。

　すなわち,Ｄ_ret(ｒ,ｔ)は□Ｄ_ret(ｒ,ｔ)＝(1/ｃ)δ(ｔ)δ³(ｒ)

を満たし,ｔ＝0 では,∂Ｄ(ｒ,ｔ)/∂ｔ＝δ³(ｒ),

Ｄ_ret(ｒ,ｔ)＝0 なる初期条件を満たすD'Alembertの方程式

(d'Alembert equation):□Ｄ_ret(ｒ,ｔ)＝0 の解です。

　そこで,上の表現ではＡ^μ(ｒ,ｔ)は確かに,ｔ＝ｔ'で

Ａ^μ(ｒ,ｔ')＝Ｆ^μ(ｒ),∂Ａ^μ(ｒ,ｔ')/∂ｔ'＝Ｇ^μ(ｒ) なる

初期条件を満たす,□Ａ^μ(ｒ,ｔ)＝0 の解となっています。

ところで,Ｄ_ret(ｘ)＝Ｄ_ret(ｒ,ｔ)＝{1/(4πｒ)}δ(ｒ－ｃｔ)

＝{1/(2ｒ)}∫_-∞^∞exp{iｋ(ｒ－ｃｔ)}ｄｋ

＝{1/(2ｒ)}[∫₀^∞{exp(iｋｒ)exp(－iｋｃｔ)

－exp(－iｋｒ)exp(iｋｃｔ)}ｄｋ]　です。

さらに進めて,Ｄ_ret(ｒ,ｔ)

＝{1/(2ｒ)}[∫₀^∞{exp(iｋｒ)－exp(－iｋｒ)}{exp(－iｋｃｔ)

＋exp(iｋｃｔ)}ｄｋ]＋{1/(2ｒ)}[∫₀^∞[exp{－iｋ(ｒ＋ｃｔ)}

－exp{iｋ(ｒ＋ｃｔ)}]ｄｋ

＝∫(2|ｋ|)^-1[exp(iｋｒ－iｃ|ｋ|ｔ)]ｄ³ｋ

－∫(2|ｋ|)^-1[exp(iｋｒ＋iｃ|ｋ|ｔ)]ｄ³ｋ

を得ます。

ｔ＞0 なら,右辺の第２項は,

∫(2|ｋ|)^-1[exp(iｋｒ＋iｃ|ｋ|ｔ)]ｄ³ｋ

＝{1/(2ｒ)}[∫₀^∞[exp{－iｋ(ｒ＋ｃｔ)}－exp{iｋ(ｒ＋ｃｔ)}]ｄｋ

＝{1/(4πｒ)}δ(ｒ＋ｃｔ)＝0 　です。

それ故,Ｄ_ret(ｒ,ｔ)

＝θ(ｔ)∫(2|ｋ|)^-1[exp(iｋｒ－iｃ|ｋ|ｔ)]ｄ³ｋ

＝θ(ｔ)∫{ｃ/(2ω_k)}[exp(iｋｒ－iω_kｔ)]ｄ³ｋ

＝∫{ｃ/(2ω_k)}θ(ｔ)exp(－iｋｘ)ｄ³ｋ　となります。

同様にｔ＜0 に対してＤ_adv(ｒ,ｔ)

＝－∫{ｃ/(2ω_k)}θ(－ｔ)exp(iｋｘ)ｄ³ｋ　となるはずです

から,全体として,

Ｄ(ｒ,ｔ)＝Ｄ_ret(ｒ,ｔ)－Ｄ_adv(ｒ,ｔ)

＝∫{ｃ/(2ω_k)}[θ(ｔ)exp(－iｋｘ)＋θ(－ｔ)exp(iｋｘ)ｄ³ｋ]

です。

ところで,量子論では粒子のエネルギーはiｈ_c(∂/∂ｔ)なる演算子

の固有値です。

　そして,iｈ_c(∂/∂ｔ)[exp(－iｋｘ)]＝ｈ_cω_k[exp(－iｋｘ)]

ですから遅延波:

Ｄ_ret(ｒ,ｔ)＝∫{ｃ/(2ω_k)}θ(ｔ)exp(－iｋｘ)ｄ³ｋ]

は正エネルギーｈ_cω_kを持つ平面波の集まりです。

一方,iｈ_c (∂/∂ｔ)[exp(iｋｘ)]＝－ｈ_cω_k[exp(iｋｘ)]

ですから先進波:

Ｄ_adv(ｒ,ｔ)＝－∫{ｃ/(2ω_k)}θ(－ｔ)exp(iｋｘ)ｄ³ｋ]

は負エネルギー(－ｈ_cω_k)を持つ平面波の集まりに対応

しています。

ここでｈ_c≡ｈ/(2π)はPlanck定数です。

ところが,場の量子論によれば,質量がｍでスピンが1/2のDirac

粒子の自由場の演算子は,ｈ_c＝ｃ＝１の自然単位で,

ψ(ｘ)＝ψ(ｒ,ｔ)＝Σ_±s∫ｄ³ｐ(2π)^-3/2(ｍ/Ｅ_p)^1/2

[ｂ^(ｐ,ｓ)ｕ(ｐ,ｓ)exp(－iｐｘ)

＋ｄ^⁺(ｐ,ｓ)ｖ(ｐ,ｓ)exp(iｐｘ)]　と表わされます。

その"共役＝自由反粒子の場"は,

ψ⁺(ｘ)＝ψ⁺(ｒ,ｔ)＝Σ_±s∫ｄ³ｐ(2π)^-3/2(ｍ/Ｅ_p)^1/2

[ｂ^⁺(ｐ,ｓ)ｕ⁺(ｐ,ｓ)exp(iｐｘ)＋

ｄ^(ｐ,ｓ)ｖ⁺(ｐ,ｓ)exp(－iｐｘ)]

です。

　ただし,ｈ_c＝ｃ＝１なのでＥ_p＝(ｐ²＋ｍ²)^1/2,かつｐ＝ｈ_cｋ

であり,そこで,exp(－iｐｘ)＝exp(－iｋｘ),exp(iｐｘ)

＝exp(iｋｘ)です。

また,スピノルｕ(ｐ,ｓ),およびｖ(ｐ,ｓ)は運動量表示での

自由なDirac方程式の粒子,および反粒子を示す独立な解で,

それぞれ(γｐ－ｍ)ｕ(ｐ,ｓ)＝0,および,

(γｐ＋ｍ)ｖ(ｐ,ｓ)＝0 　を満たします。

例えばDirac粒子が電子の場合なら,ψ(ｘ)＝ψ(ｒ,ｔ)の

展開係数ｂ^(ｐ,ｓ)は電子の消滅演算子,ｄ^⁺(ｐ,ｓ)は陽電子

の生成演算子を示しています。

これを見ればわかるように,相対論的量子力学の初期のDirac

の空孔理論のように,"真空状態＝最低エネルギー状態(基底状態)"

を負エネルギー電子の海として,わざわざ陽電子の生成を

負エネルギー電子の消滅と考える必要はありません。

真空状態には元々粒子は全くないとして,ｂ^(ｐ,ｓ)exp(－iｐｘ)

は１個の正エネルギー電子の消滅を,ｄ^⁺(ｐ,ｓ)exp(iｐｘ)は１個

の正エネルギー陽電子の生成を示していると考えれば何も問題も

生じないわけです。

同様に,先に与えた古典論での自由電磁場の表式:

Ａ^μ(ｘ)＝Ａ^μ(ｒ,ｔ)

＝{1/(2π)³}∫ｄ³ｋ(2|ｋ|)^-1[ε_k^μａ_kexp{(－i(ｋｒ－ω_kｔ))

＋ε_-k^μａ_k^μ*exp{i(ｋｒ－ω_kｔ)]　

を量子化したと想定してみます。

そして,より精密に.,

Ａ^μ(ｘ)＝Ａ^μ(ｒ,ｔ)＝Σ_λ=1²∫ｄ³ｋ(2π)^-3(2ω_k)^-1

[ε^μ(ｋ,λ)ａ^(ｋ,λ)exp{(－iｋｘ)

＋ε^μ(－ｋ,λ)ａ^⁺(ｋ,λ)exp(iｋｘ)]

と書きます。

Dirac場と同じく,係数ａ^(ｋ,λ)を運動量ｈ_cｋ,添字がλの偏光

を持つ１個の光子を消滅させる演算子,ａ^⁺(ｋ,λ)を同じ光子を

生成させる演算子と考えれば,負エネルギー粒子の生成は

正エネルギー粒子の消滅,負エネルギー粒子の消滅は

正エネルギー粒子の生成と解釈できます。

それ故,非物理的な負エネルギー粒子の存在を想定する必要が

あるというような困難はありません。 

そして,散乱の摂動論で現われる"摂動グラフ＝Feynman-diagram"

においても,初期の頃には空孔理論に基づいて,負エネルギー粒子

の因果性に反する過去への逆行を,正エネルギー反粒子の未来へ

の因果的順行と解釈するStucckerberg)とFeynmanの解釈が

ありましたが,その頃から方程式の負エネルギー解について何ら

困難は生じていません。

Green関数の遅延波部分は,ある時刻,ある位置での散乱に伴なう

粒子の消滅,先進波部分は粒子の生成を表わしているだけです。

2006年８月８日の記事「負エネルギー解と相対論的因果律 」

でも述べたように,負エネルギー解を捨てたり無視したりする

意図的な操作は,相対論的因果律を破ることがわかっています。

負エネルギー解,または先進波は不要なものではなく,むしろ

ないと困る必要不可欠なものであることがわかります。

参考文献:R.Loudon 著(小島忠宣,小島和子 共訳)

「光の量子論(第２版)」(内田老鶴圃),

砂川重信 著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店),

ジャクソン 著(西田 稔 訳)「電磁気学」,

J.D.Bjorken S.D.Drell「RelativisticQuantum fields」

(McGrawHill),

西嶋和彦 著「相対論的量子力学」(培風館)

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