運動量表示による期待値の評価

2007年5月24日の記事「有限な１次元空間に限定された運動量演算子」,先日の2008年８月25日の記事「有限な１次元空間の運動量演算子の境界条件」と関連して以前の2007年８月８日の記事「量子力学の基礎(表示の話)(1)」を一部再掲し修正して,

ｘ＝0,ｘ＝ａに高さ ∞ の１次元剛体障壁があって粒子がその間の領域[0,ａ]に閉じ込められている場合の運動量の関数で与えられる観測量の期待値について考察してみます。

まず「量子力学の基礎(表示の話)(1)」の対象部分の再掲です。

※(再掲記事)↓

観測可能な量(物理量)Λがあって,Λの固有値λに属する固有状態を表わす固有ベクトルを|λ＞と書きます。これは,|λ＞≠0 であってΛ|λ＞＝λ|λ＞を満たすものです。

量子論によれば,実際的な観測誤差がないなら,Λの１回１回の観測において観測される物理量Λの値は,Λの固有値λに限られ,それ以外の値が観測されることは決してありません。

そして任意の状態ベクトル|ψ＞は,この|λ＞によって|ψ＞＝Σ_λｃ_λ|λ＞(離散的な場合)とか,|ψ＞＝∫_λｃ_λ|λ＞ｄλ(連続的な場合)とか,あるいはこれらの混合した形でスペクトル展開されます。

こうして展開できることを,物理量の演算子(作用素)Λ,あるいは固有ベクトル系{|λ＞}の完全性と言います。

(実際には,連続的な場合に|ψ＞＝∫_λｃ_λ|λ＞ｄλと表現できるとは限らず,より一般的にはStieltjes積分：記号的には|ψ＞＝∫_λｃ_λｄ(|λ＞)と表現されます。)

そして,ｃ_λ＝＜λ|ψ＞です。なぜなら,離散的な場合を例にとると＜λ'|ψ＞＝Σ_λｃ_λ＜λ'|λ＞＝ｃ_λ'となるからです。 

この最後の等式では|λ＞が正規直交化されている,つまり＜λ'|λ＞＝δ_λ'λである,という仮定を用いました。

もしもそうでないなら,|λ＞を＜λ|λ＞^1/2で割ったものを改めて|λ＞と定義すればいいだけです。量子論によれば状態を定数倍しても同じ状態を表わすとされていますからね。

そしてもちろん状態 |ψ＞も規格化されている:＜ψ|ψ＞＝１となるように取られているとします。つまり,＜ψ|ψ＞＝Σ_λ'λｃ_λ'^*ｃ_λ＜λ'|λ＞＝Σ_λ|ｃ_λ|²＝１であるとします。

そして,物理系が状態|ψ＞にあるとき,この状態をこわすことなく観測可能な量Λを無限に多数回観測することが可能なとき,

(実際には１つの系で実験装置が単独のとき,観測行為は純粋状態|ψ＞を必ずこわすので,全く同一の(物理系＋実験装置)を無限に多数個用意する必要があって,これを"(純粋)アンサンブル＝集団"と呼びます。)

Λの期待値＜Λ＞は＜Λ＞＝＜ψ|Λ|ψ＞＝Σ_λ'λｃ_λ'^*ｃ_λλ＜λ'|λ＞＝Σ_λλ|ｃ_λ|²で与えられるとします。 

ところで,Λの"期待値＝平均値"＜Λ＞は,Λがλという値をとる確率をＰ_λと書くとき,＜Λ＞＝Σ_λλＰ_λで与えられるはずです。

これと,＜Λ＞＝＜ψ|Λ|ψ＞＝Σ_λλ|ｃ_λ|²を比較すると,Ｐ_λ＝|ｃ_λ|²であること,つまりΛの観測値が固有値λをとる確率Ｐ_λがｃ_λの絶対値の２乗|ｃ_λ|²＝|＜λ|ψ＞|²で与えられることがわかります。

そして,このときΣ_λ|ｃ_λ|²＝Σ_λ|＜λ|ψ＞|²＝１ですから,|ｃ_λ|²の総和は１であり,確かに確率であるための条件を満たしています。 

一方,連続的な場合には＜Λ＞＝＜ψ|Λ|ψ＞＝∫ｄλ'ｄλｃ_λ'^*ｃ_λλ＜λ'|λ＞＝∫ｄλλ|ｃ_λ|²です。

連続的な場合の正規直交性＜λ'|λ＞＝δ(λ'－λ)を用いました。

観測量Λが,その固有値λとλ＋ｄλの間の値として観測される確率をｐ(λ)ｄλとすると,Λの期待値は＜Λ＞＝∫ｄλλｐ(λ)で与えられるはずなのでｐ(λ)＝|ｃ_λ|²＝|＜λ|ψ＞|²となります。

(ここでは連続的な場合の確率が確率論のRadon-Nikodymの定理の成立条件である絶対連続性を満たしていると仮定しています。) 

連続的な場合にはｐ(λ)＝|ｃ_λ|²＝|＜λ｜ψ＞|²は確率密度であって,ｐ(λ)ｄλ＝|ｃ_λ|²ｄλ＝|＜λ|ψ＞|²ｄλが確率になる,というのが,離散的な場合のＰ_λ＝|ｃ_λ|²＝|＜λ|ψ＞|²が確率そのものになる,というののと異なるところです。

そして,１＝＜ψ|ψ＞＝∫ｄλｐ(λ)＝∫ｄλ|＜λ|ψ＞|²なので,この定義も確かに確率の公理を満たしています。 

離散的,連続的に関わらず,こうしたΛの固有値と固有ベクトルで展開する表示をΛ-表示と言います。 

そして,「もしも,観測可能な量Λとして位置座標ｘを取ると,これは固有値が連続的な場合に相当するので位置ｘの観測量の期待値は＜ｘ＞＝＜ψ|ｘ|ψ＞＝∫ｄｘｘ|ｃ_ｘ|²で与えられ.ｐ(ｘ)ｄｘ＝|ｃ_ｘ|²ｄｘ＝|＜ｘ|ψ＞|²ｄｘと書けます。

通常このｃ_ｘ＝＜ｘ|ψ＞を波動関数と呼び,ψ(ｘ)なる関数記号で表わします。つまり,ψ(ｘ)＝＜ｘ|ψ＞であり,位置ｘがｘとｘ＋ｄｘの間に見出される確率は,ｐ(ｘ)ｄｘ＝|ｃ_ｘ|²ｄｘ＝|ψ(ｘ)|²ｄｘで与えられると解釈されます。 

そして,ｘの期待値の表現は＜ｘ＞＝＜ψ|ｘ|ψ＞＝∫ｄｘｘ|ｃ_ｘ|²＝∫ｄｘｘ|ψ(ｘ)|²＝∫ｄｘψ^*(ｘ)ｘψ(ｘ)となります。

つまり,ｘ-表示では＜ψ|ｘ|ψ＞＝∫ｄｘψ^*(ｘ)ｘψ(ｘ)と表現されます。この場合には規格化条件:＜ψ|ψ＞＝１は,∫ｄｘψ^*(ｘ)ψ(ｘ)＝∫ｄｘ|ψ(ｘ)|²＝１です。

連続固有ベクトルの正規直交性＜λ'|λ＞＝δ(λ'－λ)はこの場合＜ｘ'|ｘ＞＝δ(ｘ'－ｘ)ですから,ｘの固有値ｘ₀ に属する固有ベクトルの波動関数は＜ｘ｜ｘ₀＞＝δ(ｘ－ｘ₀)で与えられます。

これの絶対値の２乗は位置ｘがｘ₀ に決まっているときに位置がｘである確率密度を与えるものです。」

(再掲記事終了)↑　※

最後の「　」の部分での位置座標ｘ^を,その代わりに運動量ｐ^で機械的に置き換えると,次のようになります。

「もしも観測可能な量Λを運動量ｐ^に取ると,これは固有値が連続的な場合に相当するので運動量ｐの観測量の期待値は＜ｐ^＞＝＜ψ|ｐ^｜ψ＞＝∫ｄｐｐ|ｃ_ｐ|²で与えられ,ｐ(ｐ)ｄｐ＝|ｃ_ｐ|²ｄｐ＝|＜ｐ|ψ＞|²ｄｐと書けます。

通常このｃ_ｐ＝＜ｐ|ψ＞を運動量波動関数と呼び,φ(ｐ)なる関数記号で表わします。つまり,φ(ｐ)＝＜ｐ|ψ＞であり,運動量ｐ^がｐとｐ＋ｄｐの間に見出される確率は,ｐ(ｐ)ｄｐ＝|ｃ_ｐ|²ｄｐ＝|φ(ｐ)|²ｄｐで与えられると解釈されます。

そして,ｐ^の期待値の表現は＜ｐ^＞＝＜ψ|ｐ^|ψ＞＝∫ｄｐｐ|ｃ_ｐ|²＝∫ｄｐｐ|φ(ｐ)|²＝∫ｄｐφ^*(ｐ)ｐ^φ(ｐ)となります。

つまり,ｐ-表示では＜ψ|ｐ^|ψ＞＝∫ｄｐφ^*(ｐ)ｐ^φ(ｐ)と表現されます。この場合,規格化条件:＜ψ|ψ＞＝１は∫ｄｐφ^*(ｐ)φ(ｐ)＝∫ｄｐｐ|φ(ｐ)|²＝１です。

連続固有ベクトルの正規直交性＜λ'|λ＞＝δ(λ'－λ)はこの場合＜ｐ'|ｐ＞＝δ(ｐ'－ｐ)ですから,ｐ^の固有値ｐ₀に属する固有ベクトルの運動量波動関数は,＜ｐ|ｐ₀＞＝δ(ｐ－ｐ₀)で与えられます。

これの絶対値のの２乗は運動量ｐ^がｐ₀に決まっているときに運動量がｐである確率密度を与えるものです。」です。

さて,上では状態|ψ＞に対して運動量演算子ｐ^が定義できて,これが連続固有値を取る場合,期待値が＜ｐ^＞＝＜ψ|ｐ^|ψ＞＝∫ｄｐｐ|φ(ｐ)|²＝∫ｄｐφ^*(ｐ)ｐ^φ(ｐ)と表わされると書きました。

一般に演算子ｐ^の関数ｆ(ｐ^)で与えられる演算子に対しても,その期待値が,＜ｆ(ｐ^)＞＝＜ψ|ｆ(ｐ^)|ψ＞＝∫ｄｐｆ(ｐ)|φ(ｐ)|²＝∫ｄｐφ^*(ｐ)ｆ(ｐ^)φ(ｐ)と書けることは明らかです。

一方,ｐが連続ではなく離散固有値のみを取る場合には＜ｆ(ｐ^)＞＝＜ψ|ｆ(ｐ^)|ψ＞＝Σ_ｐｆ(ｐ)|φ(ｐ)|²＝Σ_ｐφ^*(ｐ)ｆ(ｐ^)φ(ｐ)となります。

この離散表示は,ブラケットを用いた形式的な演算:＜ｆ(ｐ^)＞＝＜ψ|ｆ(ｐ^)|ψ＞＝Σ_ｐ1,ｐ2＜ψ|ｐ₁＞＜ｐ₁|ｆ(ｐ^)|ｐ₂＞＜ｐ₂|ψ＞＝Σ_ｐ1,ｐ2ｆ(ｐ₂)＜ψ|ｐ₁＞＜ｐ₁|ｐ₂＞＜ｐ₂|ψ＞＝Σ_ｐ1,ｐ2ｆ(ｐ₂)＜ψ|ｐ₁＞＜ｐ₁|ｐ₂＞＜ｐ₂|ψ＞,

すなわち＜ｆ(ｐ^)＞＝＜ψ|ｆ(ｐ^)|ψ＞＝Σ_ｐｆ(ｐ)|φ(ｐ)|²,φ(ｐ)≡＜ｐ|ψ＞から得られる表現を明示したものです。

一方,同じｆ(ｐ^)の期待値を,ｘ表示で表現すると＜ｆ(ｐ^)＞＝＜ψ|ｆ(ｐ^)｜ψ＞＝∫ｄｘ₁ｄｘ₂＜ψ|ｘ₁＞＜ｘ₁|ｆ(ｐ^)|ｘ₂＞＜ｘ₂｜ψ＞となります。

そして,演算子ｆ(ｐ^)のｘ表示というのは,これの|ｘ＞による行列表現,つまり行列要素の全体を意味しています。

Schrödinger表現を用いれば,＜ｘ₁|ｆ(ｐ^)|ｘ₂＞＝ｆ(－iｈ_c∇_ｘ1)δ(ｘ₁－ｘ₂)となりますから,結局,ｘ表示で表現したｆ(ｐ^)の期待値は,＜ｆ(ｐ^)＞＝＜ψ|ｆ(ｐ^)|ψ＞＝∫ｄｘψ^*(ｘ)ｆ(－iｈ_c∇_ｘ)ψ(ｘ)となります。

それ故,個々の物理系の具体的な例について各々確かめるまでもなく,Σ_ｐｆ(ｐ)|φ(ｐ)|²＝∫ｄｘψ^*(ｘ)ｆ(－iｈ_c∇_ｘ)ψ(ｘ)(運動量表示＝位置表示)なる等式が成立するはずです。(← 同じ物理量の期待値は表示に無関係に決まります。)

そして,φ(ｐ,ｔ)≡＜ｐ|ψ＞＝∫ｄｘ＜ｐ|ｘ＞＜ｘ|ψ＞＝∫ψ_ｐ^*(ｘ)ψ(ｘ,ｔ)ｄｘで逆に,ψ(ｘ,ｔ)＝＜ｘ|ψ＞＝Σ_ｐ＜ｘ|ｐ＞＜ｐ|ψ＞＝Σ_ｐψ_ｐ(ｘ)φ(ｐ,ｔ)ですね。

ψ_ｐ(ｘ)≡＜ｘ|ｐ＞は固有状態|ｐ＞の規格化された波動関数です。

ここで,状態|ψ＞の波動関数＜ｘ|ψ＞,および運動量表示波動関数＜ｐ|ψ＞は|ψ＞が時間に依存しない定常状態の場合の表現ψ(ｘ)ではなく,時間ｔに依存する非定常な場合をも含めた一般的な表現ψ(ｘ,ｔ),φ(ｐ,ｔ)を用いています。

そして,特に具体的な[0,ａ]に閉じ込められた１次元粒子の系では,ｐが周期的境界条件を取るような離散固有値ｐ_k＝ｋπｈ_c/ａ (ｋ＝0,±1,±2,..)のみを取る場合,ｘ表示での規格化された運動量固有関数はψ_ｐk(ｘ)＝ａ^-1/2exp(iｐ_kｘ/ｈ_c) (ｘ∈[0,ａ]),ψ_ｐk(ｘ)＝0(ｘ∈￢[0,ａ])と書けます。

ここに,ｈ_c≡ｈ/(2π)でｈはPlanck定数です。

そして,状態:|ψ＞におけるｆ(ｐ^)の期待値は＜ψ|ｆ(ｐ^)|ψ＞＝∫ｄｘ₁ｄｘ₂＜ψ|ｘ₁＞＜ｘ₁|ｆ(ｐ^)|ｘ₂＞＜ｘ₂|ψ＞＝∫ψ^*(ｘ,ｔ)ｆ(－iｈ_ｃｄ/ｄｘ)ψ(ｘ,ｔ)ｄｘで与えられます。

特にψ(ｘ,ｔ)がエネルギー固有値:Ｅ_n＝ｐ_n²/(2ｍ)に属する固有関数(つまり,定常状態の物理的波動関数):ψ_n(ｘ)≡(2/ａ)^1/2sin(ｐ_nｘ/ｈ_c)(正しくはψ_n(ｘ,ｔ)＝ψ_n(ｘ)(＝exp(－iＥ_nｔ/ｈ_ｃ))なら,

f(－iｈ_cｄ/ｄｘ)ψ_n(ｘ)＝(2ａ)^-1/2[f(ｐ_n)exp(iｐ_nｘ/ｈ_c)－f(－ｐ_n)exp(－iｐ_nｘ/ｈ_c)]です。

そこで,ｆ(ｐ^)の期待値は,＜ψ_n|ｆ(ｐ^)|ψ_n＞＝∫ψ^*(ｘ)ｆ(－iｈ_cｄ/ｄｘ)ψ(ｘ)ｄｘ＝(1/2)[ｆ(ｐ_n)＋ｆ(－ｐ_n)]＝(1/2)[ｆ(ｎπｈ_c/ａ)＋ｆ(－ｎπｈ_c/ａ)] と計算されます。

一方,運動量表示で計算すれば,＜ｆ(ｐ^)＞＝＜ψ|ｆ(ｐ^)|ψ＞＝Σ_kｆ(ｐ_k)|φ(ｐ_k)|²です。|ψ＞をｐ＝±ｐ_nの固有状態|ψ_n＞とすると,＜ｆ(ｐ^)＞_n＝＜ψ_n|ｆ(ｐ^)|ψ_n＞＝Σ_kｆ(ｐ_k)|φ_n(ｐ_k)|²です。

φ_n(ｐ)＝＜ｐ|ψ_n＞＝∫ψ_ｐ^*(ｘ)ψ_n(ｘ)ｄｘ＝(2^1/2/ａ)∫₀^a sin(ｐ_nｘ/ｈ_c)exp(－iｐｘ/ｈ_c)ｄｘです。

＜ｆ(ｐ^)＞_n＝＜ψ_n|ｆ(ｐ^)|ψ_n＞＝Σ_kｆ(ｐ_k)|φ_n(ｐ_k)|²φの右辺のΦ_n(ｐ_k)はｐ_k＝±ｐ_nのときだけゼロでなくて,2^-1/2になりますから,Σ_kｆ(ｐ_k)|φ_n(ｐ_k)|²＝(1/2)[ｆ(ｐ_n)＋ｆ(－ｐ_n)]＝(1/2)[ｆ(ｎπｈ_c/ａ)＋ｆ(－ｎπｈ_c/ａ)] となり,運動量表示での計算はｘ表示での計算と確かに一致します。

例えば,ｆ(ｐ^)＝ｐ^⁶であったとしても,有限領域に制限された粒子の運動量のｆ(ｐ^)の期待値,つまり６次のモーメント(能率)が発散したりすることはありません。

有限領域に束縛されているというのがミソで,期待値計算が連続自由度による積分でなく高々可算自由度による級数和なので発散しないのですね。

そもそも,粒子がエネルギーＥ_nに属する定常状態にあって波動関数がψ_n(ｘ)≡(2/ａ)^1/2sin(ｐ_nｘ/ｈ_c)で与えられる場合を考えると,ｘによる１回の微分ごとにsin関数とcos関数が入れ替わるので,ｋが奇数ならψ_n(ｘ)はｐ^^k＝(－iｈ_ｃｄ/ｄｘ)^kの固有関数ではありません。

しかし,ｋが偶数なら,ｐ^^kψ_n(ｘ)＝(－iｈ_ｃｄ/ｄｘ)^kψ_n(ｘ)＝ｐ_n^kψ_n(ｘ)となるので,ψ_n(ｘ)はｐ^^kの固有値ｐ_n^kに属するエネルギーとの同時的固有関数です。

それ故,この状態ではｐ^^kはｐ_n^kに確定しており,ｎ番目の状態での期待値＜ｐ^^k＞_nがｐ_n^kに一致することは初めから明らかです。

したがって,運動量表示であろうと何であろうと,それを用いた計算によって,ｐ^^kの期待値が有限でなく発散するようであれば,それは計算方法のどこかに間違いがあると思われます。

(同じ物理量の同じ状態の観測期待値なのに,ｘ表示で計算したら有限値で,ｐ表示で計算したら無限大になるというような矛盾が生じるなら,

私であれば,まず,元々の素朴なSchrödingerの波動関数(＝ｘ表示)での期待値計算は正しいと考えて,それから派生した運動量表示の定式化の方を疑いますね。)

※ＰＳ:上の本文内で述べたことですが,

Schrödinger表現では,＜ｘ₁|ｆ(ｐ^)|ｘ₂＞＝ｆ(－iｈ_c∇_ｘ1)δ(ｘ₁－ｘ₂)と書けることを,一応,証明しておきます。

2007年５月13日の記事「運動量演算子のシュレーディンガー表現 」によれば,

一般に,[ｐ_r,ｑ_s]＝－iｈ_cδ_rs,[ｐ_r,ｐ_s]＝[ｑ_r,ｑ_s]＝0 なる正準量子化条件を満たし波動関数:ψ(ｑ,ｔ)＝＜ｑ|ψ＞＝＜ｑ_r,ｑ_r,．．,|ψ＞に作用する微分演算子としての運動量ｐ_rは,ｐ_r＝－iｈ_c(∂/∂ｑ_r)＋ｈ_c(∂γ(ｑ)/∂ｑ_r)(γ(ｑ)はｑの実関数)なる一般形を持ちます。

これらは全て＜ｑ^*|≡exp{iγ(ｑ)}＜ｑ|,ψ^*(ｑ,ｔ)＝＜ｑ^*|ψ|,およびｐ_r^*≡－iｈ_c(∂/∂ｑ_r)exp{iγ(ｑ)}ｐ_rexp{－iγ(ｑ)}なるユニタリ変換を行なうことで,ｐ_r＝－iｈ_c(∂/∂ｑ_r)なるSchrödinger表現と等価であることが示されています。

そして,この表現では＜ｘ₁|ｆ(ｐ^)|ｘ₂＞＝∫ｄｘ＜ｘ₁|ｘ＞＜ｘ|ｆ(－iｈ_c∇)|ｘ₂＞＝∫ｄｘ＜ｘ₁|ｘ＞ｆ(－iｈ_c∇)＜ｘ|ｘ₂＞＝∫ｄｘδ(ｘ₁－ｘ)ｆ(－iｈ_c∇)δ(ｘ－ｘ₂)＝ｆ(－iｈ_c∇_ｘ1)δ(ｘ₁－ｘ₂)となることがわかります。

ただし,微分演算は＜ｑ₁,ｑ₂,..|(∂/∂ｑ_r)|ψ＞≡(∂/∂ｑ_r)＜ｑ₁,ｑ₂,..|ψ＞＝∂ψ(ｑ,ｔ)/∂ｑ_rと定義されており,＜ｘ|ｆ(－iｈ_ｃ∇)|ｘ₂＞＝ｆ(－iｈ_ｃ∇)＜ｘ|ｘ₂＞となることを用いました。

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