« 相対論の幾何学(第Ⅰ部-9:曲面上の幾何(1)) | トップページ | 上品な奴!! »

2008年9月 2日 (火)

運動量表示による期待値の評価

2007年5月24日の記事「有限な1次元空間に限定された運動量演算子」,先日の2008年8月25日の記事「有限な1次元空間の運動量演算子の境界条件」と関連して以前の2007年8月8日の記事「量子力学の基礎(表示の話)(1)」を一部再掲し修正して,

 

x=0,x=aに高さ ∞ の1次元剛体障壁があって粒子がその間の領域[0,a]に閉じ込められている場合の運動量の関数で与えられる観測量の期待値について考察してみます。

まず量子力学の基礎(表示の話)(1)」の対象部分の再掲です。

(再掲記事)↓

観測可能な量(物理量)Λがあって,Λの固有値λに属する固有状態を表わす固有ベクトルを|λ>と書きます。これは,|λ>≠0 であってΛ|λ>=λ|λ>を満たすものです。

 

量子論によれば,実際的な観測誤差がないなら,Λの1回1回の観測において観測される物理量Λの値は,Λの固有値λに限られ,それ以外の値が観測されることは決してありません。

そして任意の状態ベクトル|ψ>は,この|λ>によって|ψ>=Σλλ|λ>(離散的な場合)とか,|ψ>=∫λλ|λ>dλ(連続的な場合)とか,あるいはこれらの混合した形でスペクトル展開されます。

 

こうして展開できることを,物理量の演算子(作用素)Λ,あるいは固有ベクトル系{|λ>}の完全性と言います。

 

(実際には,連続的な場合に|ψ>=∫λλ|λ>dλと表現できるとは限らず,より一般的にはStieltjes積分:記号的には|ψ>=∫λλd(|λ>)と表現されます。)

 

そして,cλ=<λ|ψ>です。なぜなら,離散的な場合を例にとると<λ'|ψ>=Σλλ<λ'|λ>=cλ'となるからです。 

この最後の等式では|λ>が正規直交化されている,つまり<λ'|λ>=δλ'λである,という仮定を用いました。

 

もしもそうでないなら,|λ>を<λ|λ>1/2で割ったものを改めて|λ>と定義すればいいだけです。量子論によれば状態を定数倍しても同じ状態を表わすとされていますからね。

そしてもちろん状態 |ψ>も規格化されている:<ψ|ψ>=1となるように取られているとします。つまり,<ψ|ψ>=Σλ'λλ'*λ<λ'|λ>=Σλ|cλ|21であるとします。

そして,物理系が状態|ψ>にあるとき,この状態をこわすことなく観測可能な量Λを無限に多数回観測することが可能なとき,

 

(実際には1つの系で実験装置が単独のとき,観測行為は純粋状態|ψ>を必ずこわすので,全く同一の(物理系+実験装置)を無限に多数個用意する必要があって,これを"(純粋)アンサンブル=集団"と呼びます。)

 

Λの期待値<Λ>は<Λ>=<ψ|Λ|ψ>=Σλλ'*λλ<λ'|λ>=Σλλ|cλ|2で与えられるとします。 

ところで,Λの"期待値=平均値"<Λ>は,Λがλという値をとる確率をPλと書くとき,<Λ>=ΣλλPλで与えられるはずです。

 

これと,<Λ>=<ψ|Λ|ψ>=Σλλ|cλ|2を比較すると,λ|cλ|2であること,つまりΛの観測値が固有値λをとる確率Pλがcλの絶対値の2乗|cλ|2|<λ|ψ>|2で与えられることがわかります。

 

そして,このときΣλ|cλ|2Σλ|<λ|ψ>|21ですから,|cλ|2の総和は1であり,確かに確率であるための条件を満たしています。 

一方,連続的な場合には<Λ>=<ψ|Λ|ψ>=∫dλ'dλcλ'*λλ<λ'|λ>=∫dλλ|cλ|2です。

 

連続的な場合の正規直交性<λ'|λ>=δ(λ'-λ)を用いました。

 

観測量Λが,その固有値λとλ+dλの間の値として観測される確率をp(λ)dλとすると,Λの期待値は<Λ>=∫dλλp(λ)で与えられるはずなので(λ)=|cλ|2|<λ|ψ>|2となります。

 

(ここでは連続的な場合の確率が確率論のRadon-Nikodymの定理の成立条件である絶対連続性を満たしていると仮定しています。) 

連続的な場合には(λ)=|cλ|2|<λ|ψ>|2は確率密度であって,(λ)dλ=|cλ|2dλ=|<λ|ψ>|2dλが確率になる,というのが,離散的な場合のλ|cλ|2|<λ|ψ>|2が確率そのものになる,というののと異なるところです。

 

そして,1<ψ|ψ>=∫dλp(λ)=∫dλ|<λ|ψ>|2なので,この定義も確かに確率の公理を満たしています。 

離散的,連続的に関わらず,こうしたΛの固有値と固有ベクトルで展開する表示をΛ-表示と言います。 

そして,「もしも,観測可能な量Λとして位置座標を取ると,これは固有値が連続的な場合に相当するので位置の観測量の期待値は<>=<ψ||ψ>=∫dxx|c|2で与えられ.()d=|c|2|<|ψ>|2と書けます。

 

通常このc=<|ψ>を波動関数と呼び,ψ()なる関数記号で表わします。つまり,ψ()=<|ψ>であり,位置+dの間に見出される確率は,p()d=|c|2|ψ()|2で与えられると解釈されます。 

そして,の期待値の表現は<>=<ψ||ψ>=∫dxx|c|2∫dxx|ψ()|2∫dψ*()ψ()となります。

 

つまり,-表示では<ψ||ψ>=∫dψ*()ψ()と表現されます。この場合には規格化条件:<ψ|ψ>=1は,∫dψ*()ψ()=∫d|ψ()|2=1です。

連続固有ベクトルの正規直交性<λ'|λ>=δ(λ'-λ)はこの場合<'|>=δ('-)ですから,の固有値0 に属する固有ベクトルの波動関数は<0>=δ(0)で与えられます。

 

これの絶対値の2乗は位置0 に決まっているときに位置がである確率密度を与えるものです。」

(再掲記事終了)↑ ※

最後の「 」の部分での位置座標^を,その代わりに運動量^で機械的に置き換えると,次のようになります。

「もしも観測可能な量Λを運動量^に取ると,これは固有値が連続的な場合に相当するので運動量の観測量の期待値は<^>=<ψ|^|ψ>=∫dpp|c|2で与えられ,()d=|c|2|<|ψ>|2と書けます。

 

通常このc=<|ψ>を運動量波動関数と呼び,φ()なる関数記号で表わします。つまり,φ()=<|ψ>であり,運動量^が+dの間に見出される確率は,p()d=|c|2|φ()|2で与えられると解釈されます。

そして,^の期待値の表現は<^>=<ψ|^|ψ>=∫dpp|c|2∫dpp|φ()|2∫dφ*()^φ()となります。

 

つまり,-表示では<ψ|^|ψ>=∫dφ*()^φ()と表現されます。この場合,規格化条件:<ψ|ψ>=1は∫dφ*()φ()=∫dpp|φ()|2=1です。

連続固有ベクトルの正規直交性<λ'|λ>=δ(λ'-λ)はこの場合<'|>=δ('-)ですから,^の固有値0に属する固有ベクトルの運動量波動関数は,<|0>=δ(0)で与えられます。

 

これの絶対値のの2乗は運動量^が0に決まっているときに運動量がである確率密度を与えるものです。」です。

さて,上では状態|ψ>に対して運動量演算子^が定義できて,これが連続固有値を取る場合,期待値が<^>=<ψ|^|ψ>=∫dpp|φ()|2∫dφ*()^φ()と表わされると書きました。

 

一般に演算子^の関数f(^)で与えられる演算子に対しても,その期待値が,<f(^)>=<ψ|f(^)|ψ>=∫df()|φ()|2∫dφ*()f(^)φ()と書けることは明らかです。

一方,が連続ではなく離散固有値のみを取る場合には<f(^)>=<ψ|f(^)|ψ>=Σ()|φ()|2Σφ*()f(^)φ()となります。

この離散表示は,ブラケットを用いた形式的な演算:<f(^)>=<ψ|f(^)|ψ>=Σ1,2<ψ|1><1|f(^)|2><2|ψ>=Σ1,2(2)<ψ|1><1|2><2|ψ>=Σ1,2(2)<ψ|1><1|2><2|ψ>,

 

すなわち<f(^)>=<ψ|f(^)|ψ>=Σ()|φ()|2,φ()≡<|ψ>から得られる表現を明示したものです。

一方,同じf(^)の期待値を,表示で表現すると<f(^)>=<ψ|f(^)|ψ>=∫d12<ψ|1><1|f(^)|2><2|ψ>となります。

 

そして,演算子f(^)の表示というのは,これの|>による行列表現,つまり行列要素の全体を意味しています。

 

Schrödinger表現を用いれば,<1|f(^)|2>=f(-ihc1)δ(12)となりますから,結局,x表示で表現したf(^)の期待値は,<f(^)>=<ψ|f(^)|ψ>=∫dψ*()f(-ihc)ψ()となります。

それ故,個々の物理系の具体的な例について各々確かめるまでもなく,Σ()|φ()|2=∫dψ*()f(-ihc)ψ()(運動量表示=位置表示)なる等式が成立するはずです。(← 同じ物理量の期待値は表示に無関係に決まります。)

そして,φ(,t)≡<|ψ>=∫d|><|ψ>=∫ψ*()ψ(,t)d逆に,ψ(,t)=<|ψ>=Σ|><|ψ>=Σψ()φ(,t)ですね。

  

ψ()≡<|>は固有状態|>の規格化された波動関数です。

 

ここで,状態|ψ>の波動関数<|ψ>,および運動量表示波動関数<|ψ>は|ψ>が時間に依存しない定常状態の場合の表現ψ()ではなく,時間tに依存する非定常な場合をも含めた一般的な表現ψ(,t),φ(,t)を用いています。

 

そして,特に具体的な[0,a]に閉じ込められた1次元粒子の系では,pが周期的境界条件を取るような離散固有値pk=kπhc/a (k=0,±1,±2,..)のみを取る場合,x表示での規格化された運動量固有関数はψk(x)=a-1/2exp(ipk/hc) (x∈[0,a]),ψk(x)=0(x∈¬[0,a])と書けます。

 

ここに,c≡h/(2π)でhはPlanck定数です。

そして,状態:|ψ>におけるf(p^)の期待値は<ψ|f(p^)|ψ>=∫dx1dx2<ψ|x1><x1|f(p^)|x2><x2|ψ>=∫ψ*(x,t)f(-ihd/dx)ψ(x,t)dxで与えられます。

 

特にψ(x,t)がエネルギー固有値:En=pn2/(2m)に属する固有関数(つまり,定常状態の物理的波動関数):ψn(x)≡(2/a)1/2sin(pn/hc)(正しくはψn(x,t)=ψn(x)(=exp(-iEnt/h))なら,

 

f(-ihcd/dx)ψn(x)=(2a)-1/2[f(pn)exp(ipn/hc)-f(-pn)exp(-ipn/hc)]です。

 

そこで,f(p^)の期待値は,<ψn|f(p^)|ψn>=∫ψ*(x)f(-ihcd/dx)ψ(x)dx=(1/2)[f(pn)+f(-pn)]=(1/2)[f(nπhc/a)+f(-nπhc/a)] と計算されます。

一方,運動量表示で計算すれば,<f(p^)>=<ψ|f(p^)|ψ>=Σk(pk)|φ(pk)|2です。|ψ>をp=±pnの固有状態n>とすると,<f(p^)>n=<ψn|f(p^)|ψn>=Σk(pk)|φn(pk)|2です。

 

φn(p)=<p|ψn>=∫ψ*(x)ψn(x)dx=(21/2/a)∫0a sin(pn/hc)exp(-ipx/hc)dxです。

 

<f(p^)>n=<ψn|f(p^)|ψn>=Σk(pk)|φn(pk)|2φの右辺のΦn(pk)はpk=±pnのときだけゼロでなくて,2-1/2になりますから,Σk(pk)|φn(pk)|2(1/2)[f(pn)+f(-pn)]=(1/2)[f(nπhc/a)+f(-nπhc/a)] となり,運動量表示での計算はx表示での計算と確かに一致します。

 

例えば,f(p^)=p^6であったとしても,有限領域に制限された粒子の運動量のf(p^)の期待値,つまり6次のモーメント(能率)が発散したりすることはありません。

 

有限領域に束縛されているというのがミソで,期待値計算が連続自由度による積分でなく高々可算自由度による級数和なので発散しないのですね。

 

そもそも,粒子がエネルギーEnに属する定常状態にあって波動関数がψn(x)≡(2/a)1/2sin(pn/hc)で与えられる場合を考えると,xによる1回の微分ごとにsin関数とcos関数が入れ替わるので,kが奇数ならψn(x)はp^k=(-ihd/dx)kの固有関数ではありません。

 

しかし,kが偶数なら,p^kψn(x)=(-ihd/dx)kψn(x)=pnkψn(x)となるので,ψn(x)はp^kの固有値nkに属するエネルギーとの同時的固有関数です。

 

それ故,この状態ではp^kはpnkに確定しており,n番目の状態での期待値<p^knがpnkに一致することは初めから明らかです。

 

したがって,運動量表示であろうと何であろうと,それを用いた計算によって,p^kの期待値が有限でなく発散するようであれば,それは計算方法のどこかに間違いがあると思われます。

 

(同じ物理量の同じ状態の観測期待値なのに,x表示で計算したら有限値で,p表示で計算したら無限大になるというような矛盾が生じるなら,

 

私であれば,まず,元々の素朴なSchrödingerの波動関数(=x表示)での期待値計算は正しいと考えて,それから派生した運動量表示の定式化の方を疑いますね。)

 

※PS:上の本文内で述べたことですが,

 

Schrödinger表現では,<1|f(^)|2>=f(-ihc1)δ(12)と書けることを,一応,証明しておきます。

 

2007年5月13日の記事「運動量演算子のシュレーディンガー表現 」によれば,

 

一般に,[pr,qs]=-ihcδrs,[pr,ps]=[qr,qs]=0 なる正準量子化条件を満たし波動関数:ψ(q,t)=<q|ψ>=<qr,qr,..,|ψ>に作用する微分演算子としての運動量prは,pr=-ihc(∂/∂qr)+hc(∂γ(q)/∂qr)(γ(q)はqの実関数)なる一般形を持ちます。

 

これらは全て<q*|≡exp{iγ(q)}<q|,ψ*(q,t)=<q*|ψ|,およびpr*≡-ihc(∂/∂qr)exp{iγ(q)}prexp{-iγ(q)}なるユニタリ変換を行なうことで,pr=-ihc(∂/∂qr)なるSchrödinger表現と等価であることが示されています。

 

そして,この表現では<1|f(^)|2>=∫d1|><|(-ihc)|2>=∫d1|(-ihc)<|2>=∫dδ(1)(-ihc)δ(2)=(-ihc1)δ(12)となることがわかります。

 

ただし,微分演算は<q1,q2,..|(∂/∂qr)|ψ>≡(∂/∂qr)<q1,q2,..|ψ>=∂ψ(q,t)/∂qrと定義されており,<|f(-ih)|2>=(-ih)<|2>となることを用いました。

 

緊急告知!! Attention!! [広告宣伝]です。

http://www.rakuten.co.jp/trs-kenko-land/  健康商品の店「TRS健康ランド」- SCS(食品洗浄剤),黒ウコン,酒の帝王,鵜鶏王などの専売店  ←この店は私TOSHIが店長をしています。(楽天ショップです。TRSのTはTOSHIのTです。)

 「TRS健康ランド」では2008年1月10日よりお徳用SCS500mlを新発売!!当店の専売です。

 そこのお酒のみの方,いろいろと飲食の機会の増えたあなた、体によいし特に肝臓によいウコンがいいですよ!! そして特に今回提供する沖縄原産の純粋な黒ウコンは当店が専売の新製品ですが古くから沖縄地方ではいわゆる男性機能に効果があると言われています。

 おやおや、そこの静電気バチバチの人、いいものありますよ。。。

 それから農薬を落とした後の皮がピカピカに光っているリンゴなど商品として販売する際の見栄えをよくするなどのために化学処理をした食品を安全に洗浄する新商品の洗浄液SCSはいかがですか。。。

http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン!メディエーター巣鴨店」

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。 

人気blogランキングへ ← クリックして投票してください。(1クリック=1投票です。1人1日1投票しかできません。クリックすると人気blogランキングに跳びます。)

にほんブログ村 科学ブログへ にほんブログ村 科学ブログ 物理学へクリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング投票です。1クリック=1投票です。1人1日1投票しかできません。クリックするとブログ村の人気ランキング一覧のホ-ムページームに跳びます。)icon

 

ブックオフオンライン

 オンライン書店 boople.com(ブープル)

 icon  icon  

        Microsoft Office 2008バンドルキャンペーン   Apple Store(Japan)  

                        iPod 10の知恵袋  Apple Store(Japan)  

|

« 相対論の幾何学(第Ⅰ部-9:曲面上の幾何(1)) | トップページ | 上品な奴!! »

111. 量子論」カテゴリの記事

コメント

 はんどるさん。

>>物理量の計算には全く問題は生じませんよ。
>要するに物理の話でなかったということですね。
>確率解釈可能という条件で物理的な議論ができることは同意されてると思います。

 調和振動子の系についてはうまくいくだけですよ。調和振動子は自己共役演算子で、自己共役な拡張を考える余地がないのですから。たとえば、以前挙げたカロジェロ系などは、こういう議論をする余地があります。


>>量子力学が構成できるということは保証されない、よって個々のケースについていちいち確かめないといけないということになります。
>>>運動量表示がいつ上手くいき、いつ上手くいかないのか、拘束状態はどのように現れるのか、超関数ポテンシャルはどのように考えればいいのか。こういったことはほぼ結論が出ています。
>以前の意見と矛盾しているような気がしますけど、それはおいておくことにします。

 前者は、対称演算子ということのみを仮定するという限定がくっついてますよ。前提を無視されては困りますw
 ここの大きな差が自己共役にこだわる重要な点なのです。

>今のケースは、ある種の理想モデルでありますが、それだからこそ、物理的条件付けが重要であると思います。物理の真骨頂は、この辺りの考察にあると考えます。(この考察が欠けた議論なら、単なる数学的トライアルと看做します。)
>実際、実測と対応できる量子系の物理的議論では、物理的センスによりうまくいくようなものが選択されていて、空間そのものは議論の対象となっていません。
>関数空間の位相(トポロジ)等の数学的知識は、この辺の物理的センスに結びつかないと考えるので、オーソドッスな教科書ではこの辺の数学的知識に触れていないのだと推察します。

 物理的な条件で系が限定されるというのは当然のことです。しかし、物理的条件で、普通でない空間が要求されないとは誰にも言えません。その意味で、すべての空間を考えることに意味があります。
 自己共役のやり方には不定性があり、その不定性が何らかの物理環境を示しているかもしれません。その場合、不定性のパラメーターで特徴づけられるすべての系に意味があることになります。
 実際、この不定性のパラメーターがブラックホールのエントロピーと関連するという研究があります。また、アハラノフ=ボーム効果の、波動関数の不連続具合も、こういったことに含まれるかもしれません。
 このようなことは最近分かったことで、昔の教科書には載っていないのです。もちろん、昔はこういったことをそこまで深く考えなかったという事情もありますが。

 なお、関数空間の位相は重要です。たとえば、ベリー位相に代表される幾何位相が重要な物理的意味を持つことが知られています。(これも、古いテキストには載っていない!しかも、シッフの教科書は明らかに間違ったことを言っている!)そっちの方面では、量子力学をヒルベルト空間ととらえるのではなく、複素射影空間と考え、その幾何学が研究されています。

 量子力学はフォンノイマンやディラックの時代から何も発展しなかったわけではなく、それなりの発展を遂げました。その意味で、昔のテキストを信じるのは危険ですよ。

投稿: あ | 2008年9月 7日 (日) 15時54分

 あさん。回答承りました。

>物理量の計算には全く問題は生じませんよ。
要するに物理の話でなかったということですね。
確率解釈可能という条件で物理的な議論ができることは同意されてると思います。

>量子力学が構成できるということは保証されない、よって個々のケースについていちいち確かめないといけないということになります。
>>運動量表示がいつ上手くいき、いつ上手くいかないのか、拘束状態はどのように現れるのか、超関数ポテンシャルはどのように考えればいいのか。こういったことはほぼ結論が出ています。
 以前の意見と矛盾しているような気がしますけど、それはおいておくことにします。
 今のケースは、ある種の理想モデルでありますが、それだからこそ、物理的条件付けが重要であると思います。物理の真骨頂は、この辺りの考察にあると考えます。(この考察が欠けた議論なら、単なる数学的トライアルと看做します。)

 実際、実測と対応できる量子系の物理的議論では、物理的センスによりうまくいくようなものが選択されていて、空間そのものは議論の対象となっていません。
 関数空間の位相(トポロジ)等の数学的知識は、この辺の物理的センスに結びつかないと考えるので、オーソドッスな教科書ではこの辺の数学的知識に触れていないのだと推察します。

投稿: はんどる | 2008年9月 7日 (日) 09時24分

訂正

∑|N>

H=∑|N>λ_N

となってますが、

∑|N><N|

H=∑|N>λ_N <N|

の誤りです。失礼しました。

投稿: あ | 2008年9月 6日 (土) 16時46分

はんどるさん。

>時間と労力の節約になるので、
>直接、物理量の計算でどのような不都合が生じるかを
>具体的に示してください。

 物理量の計算には全く問題は生じませんよ。

>投稿 あ | 2008年9月 2日 (火) 18時24分

に書いたとおりです。
なぜなら、自己共役性があるから。

 一般に、非有界演算子の定義域はヒルベルト空間ではないので、ヒルベルト空間を前提にした知識が使えなくなります。

 たとえば、

∑|N>

が収束することとか、

H=∑|N>λ_N

∑(iHt)^N / N!

がちゃんと定義できること、などは完備性がないと保証されません。結局はもともとのヒルベルト空間を考えるか、代わりに何かの過程をもってきて議論することになります。

 ただ、調和振動子の場合は、うまくいきます。おそらく、想定している空間は絶対連続な部分空間だと思いますが、そこでは調和振動子は自己共役であるので、こういったことをほかの経路でちゃんと証明することができます。

 はんどるさんの計画は、とりあえず、量子力学がうまくいく空間を選んで来ればいいということだと思います。それはどういう空間ですか?
 たとえば、その条件は、∑|N>  たとえば、調和振動子の空間で、こういったことをすべて満たす空間を探し出すのはひどく大変です。そのうえ、ちゃんと定義できるという証明では、結局、空間を完備化して、より大きい空間の議論をせざるを得ません。

 もちろん、この操作は任意の量子力学系で必要とされます。

 まとめると、ハミルトニアンが自己共役で空間がヒルベルト空間であれば、量子力学が構成できるが、ハミルトニアンが自己共役でなくて、ヒルベルト空間でないなら、量子力学が構成できるということは保証されない、よって個々のケースについていちいち確かめないといけないということになります。

投稿: あ | 2008年9月 6日 (土) 16時42分

あさん。
TOSHIさんに迷惑でなければ、ここで続けます。
 
関数列の話ですね。OKですよ。

時間と労力の節約になるので、直接、物理量の計算でどのような不都合が生じるかを具体的に示してください。

投稿: はんどる | 2008年9月 5日 (金) 13時24分

はんどるさん。

φ_N:=∑_{n=1}^N 1/n φ_n

はコーシー列です。
従って、ヒルベルト空間は完備な内積空間なので、
収束先のφは必ず含まれます。

逆に言うと、このような元を除外した部分空間は、
数列の収束で閉じてません。

そこまではいいですか?

投稿: あ | 2008年9月 5日 (金) 11時44分

TOSHIさん 前の発言に関係したフォロミーの発言を思い出しました。発展的考察にお役に立てるかもしれないと思いお送りします。ご笑納ください。
----------
2007年06月22日11:27 309: 甘泉法師 folo:fphys/290/topic/1/309

閑話休題 笑い話をひとつ

甘泉法師 発言83
-------------------------------
今日近くの図書館でパウリ物理学講座5量子力学 講談社1976 を読みました。
P.36の 7.箱の中の一粒子・連続の方程式  
運動量空間における確率密度
W(pn)=W(-pn)=1/2 ...[7.6]
-------------------------------

(学生)P先生、講義で板書されたこの式おかしくありませんか
(P先生)(ちょっと考えて)いや、君あっているよ。
(学生)しかし、この系のハミルトニアンは H=p^2/2m + V{θ(-x)+θ(x-L)};V→∞ ですから…
(P先生)君、ちゃんと講義を聞いてたの? 
                   ∞ 
   ハミルトニアンは H=p^2/2m + V Σδ(x+nL);V→∞ だろ?
                   n=-∞ 
(学生)えー!?

(参考)
前野先生講義録 http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/%7Emaeno/qm/qmK_10.html
14.4 1次元周期ポテンシャル内を通過していく波動関数

----------
以上

なお、このパウリの本は講義録で、パウリは病気で亡くなったため本人の校正なしで出版されたようです。

=甘泉法師=

投稿: 甘泉法師 | 2008年9月 5日 (金) 08時33分

 あさん。
相変らず回答になっていないのできちんとした回答をfolomyでお待ちしております。

>確率解釈可能以外
と記載してます。
>φ:=∑ 1/n

Hφで発散するなら当然<φ|φ>も発散するので
確率解釈可能不能ということで、このようなφは前提から排除されます。

 再確認の意味で質問を説明します。
 具体的に調和振子系で
 1.確率解釈可能以外の制限としてどのような制限が必要かということ
 2.上記1の制限が課せられないと、物理量の計算でどのような不都合が生じるかということ
 以上の2点です。

 ちなみに確率解釈可能という制限は、<φ|φ>が規格化できるだけでなく、この記事で説明されているように各種オブザーバル表現で矛盾が生じないことも要項となっていると考えてます。


投稿: はんどる | 2008年9月 5日 (金) 06時36分

はんどるさん

>>数学的には解決しており、
>数学的解決と物理的解決は違います。
>(問題意識そのものが違う)

 もちろん承知しています。
そのうえで、数学書が必須になってきます。

 エルミート演算子では量子力学を構成できると保証できない理由も、
「調和振動子のハミルトニアンで本質的に、定義域制限の必要性が存在する」
理由も数学書には載っています。

 さらに、こういった、量子力学のマニアックな側面を議論するとなると、
普通の教科書では不十分であることも追記しておきます。

>自己共役演算子として定義不能であるが
>エルミート演算子として定義可能であるばあい、
>物理的条件付けで、
>オブザーバルとみなしてよいケースがあると
>考えてます。

 演算子Hが

H=∫λ dP_λ

と書けることや、Exp(iHt)がちゃんと定義できることなどは自己共役性を仮定して証明されています。
 逆に言うと、この手の定理が全部使えなくなります。何らかの解決法(否定的な意味かも)があるかもしれませんが、それはそれでまた一から証明するか、個々の模型について逐一証明せねばならないことになるでしょう。

>(物理的には、測りのメモリに対応する
>オブザーバルの基底が最重要であり、
>具体的形は境界条件で直接規定されるものなので、
>空間を規定する作用素としての性質は
>2次的であると考えているからです。
>なので、
>"有限な1次元空間の運動量演算子の境界条件"
>での元記事は
>数学的トライアルとの感想を持ちました。)
>(TOSHIさんも、
>コメントで等価な条件付けが
>可能との見解を示してますね。)

 Hが基底系で定義できる
(つまり、ヒルベルト空間の密な部分空間で定義できる)
ことに異存はありません。
 ただ、その基底の選び方には任意性があります。
その任意性を指定せねばHはどのような演算子であるか決められません。
 これは有限空間を台とする関数の場合だけでなく、無限空間を台とする関数についても例が知られています。
 さらに、基底の選び方によってスペクトラムが変化することも知られています。

>堂々巡りになりそうなので打ち切りしましたが、
>>例えば、実験室なら、
>>実験室のある空間を台とする関数だけを
>>考えればよいということです。
>質問の当初から、
>非常に広大な現実の物理空間を想定してますので、
>回答からすると
>非常に広大な空間を台とする関数だけを
>考えればよいということですよね。
>このことから、
>現実の物理空間と制限された空間とで
>それを台とする任意の関数が一致するとの回答と
>認識しました。
>ちょっとこれが理解不能です。

うーむ。ちょっとずれているかもしれませんが、
L^2(R)の関数の定義域を[0,1]に制限し、その集合をL^2'(R)とおきます。
これは、

L^2'(R)⊂L^2[0,1]

を満たします。

>どのような関数を考えるかは
>物理的条件に依存すると考えてましたので、
>物理的条件に全く依存しないという答えは意外でした。
>(制約された空間に織り込むためには、
>相応の条件がつくとおもわれますが、
>これが全ての物理条件において
>クリアしているわけですね。)
>この考え方だと、物理的境界条件は
>無意味とならないでしょうか?
>等など、次々疑問がわきます。

 僕は上述のような主張は全くしていません。量子的にはどの系も許されるといったことはいった気がしますが、物理条件が課せられないとは言ってませんよ。ただ、そのように思われても仕方がないところはあるとは思います。おそらく、量子化の仕方に関する問題意識が異なるからだと思います。
 古典力学の空間はシンプレクティック多様体であり、量子力学はヒルベルト空間であります。
数学的に、こんな全く関係のない空間の間に対応関係などありません。
したがって、厳密な意味での対応関係はありません。
これは、対応原理はあてずっぽにすぎないといってもいいでしょう。
 それゆえ、対応原理が指し示す古典力学系に対応しそうな系というのは、うまくいかなかったり(一般には、拘束系の量子力学がうまくいかない)
複数あったりするかもしれません。
 自己共役でさまざまなバリエーションがあり得るというのは、そのような対応原理の不完全さから生じるもので、
量子力学の枠組みではちゃんと定義できるものです。
 たとえば、粒子が[0,1]に閉じ込められているという条件を課しても、それに対応する量子系は無限に存在します。そのおのおのが内積を定義でき、スペクトラム分解を正当化でき、時間発展を議論できます。
さらに悪いことに、それらは互いに異なる物理的性質を持っています。
 もちろん、現実にはそのうちのどれか一つが実現されているはずですが、それがどのように指定されるかはよくはわかりません。ただ、アハロノフ=ボーム効果効果では、古典力学では効いてこないベクトルポテンシャルが効いてくるように(しかも、それは境界条件として効いてきます!)、古典力学にはない何らかのパラメーターがあって、それがモノを言うのかもしれません。
 
>>「調和振動子のハミルトニアンで本質的に、定義域制限の必要性が存在する」
>とのことですが、確率解釈可能以外のどのような制限が必要で、
>もし、その制限がないと物理量の計算でどのような不都合が生じるのでしょうか?

これは答えたと思いますが……。
ひとつ具体例を提示します。

Hψ_n = n ψ_n
<ψ_n|ψ_m>=δ_mn

だけを仮定します。
φ:=∑ 1/n
とおくと、φはヒルベルト空間の元ですが、
Hφは内積が発散するのでヒルベルト空間の元ではありません。
したがって、Hはヒルベルト空間全域で定義できません。


投稿: あ | 2008年9月 4日 (木) 22時21分

あさん。

えっ!
>はんどるさん
私宛のコメントだったのですか?

>ちゃんと数学を勉強し
たしかに浅学で、勉強不足では有りますが。

>数学的には解決しており、
数学的解決と物理的解決は違います。
(問題意識そのものが違う)

以前紹介なされた
>method of modern mathematical physics
数理物理の本では、物理的なことがほとんど書かれていないことが多いので、実際問題で役立たんという印象を持ってます。

オブザーバルとは、数学的概念ではなくて、ディラックの教科書によると観測量との関係が深い物理的概念として扱われてます(量子測定問題と絡んでます)。普通の教科書によると、オブザーバルとしての要件が、たまたま自己共役要件であったとしか読とれませんでした。
 無論、自己共役演算子で定義可能ならば、オブザーバルとしてよいことは異論ありません。
自己共役演算子として定義不能であるがエルミート演算子として定義可能であるばあい、
物理的条件付けで、オブザーバルとみなしてよいケースがあると考えてます。
(物理的には、測りのメモリに対応するオブザーバルの基底が最重要であり、具体的形は境界条件で直接規定されるものなので、空間を規定する作用素としての性質は2次的であると考えているからです。なので、"有限な1次元空間の運動量演算子の境界条件"での元記事は数学的トライアルとの感想を持ちました。)(TOSHIさんも、コメントで等価な条件付けが可能との見解を示してますね。)

 堂々巡りになりそうなので打ち切りしましたが、
>例えば、実験室なら、実験室のある空間を台とする関数だけを考えればよいということです。
 質問の当初から、非常に広大な現実の物理空間を想定してますので、回答からすると非常に広大な空間を台とする関数だけを考えればよいということですよね。このことから、現実の物理空間と制限された空間とでそれを台とする任意の関数が一致するとの回答と認識しました。ちょっとこれが理解不能です。どのような関数を考えるかは物理的条件に依存すると考えてましたので、物理的条件に全く依存しないという答えは意外でした。(制約された空間に織り込むためには、相応の条件がつくとおもわれますが、これが全ての物理条件においてクリアしているわけですね。) この考え方だと、物理的境界条件は無意味とならないでしょうか?
等など、次々疑問がわきます。

>「調和振動子のハミルトニアンで本質的に、定義域制限の必要性が存在する」とのことですが、確率解釈可能以外のどのような制限が必要で、もし、その制限がないと物理量の計算でどのような不都合が生じるのでしょうか?

これらの具体的な解説を期待してます。
folomyでお待ちしていますよ。

投稿: はんどる | 2008年9月 4日 (木) 11時09分

TOSHIさん

 失敬、前回のレスは
TOSHIさんに向けたものではなく、

はんどるさん
甘泉法師さん

に向けたものでした。
 お名前を間違えるなんて根本的なミスをするとは……
本当にすみません。

 不勉強な僕ですが、おっしゃることはなるほどと思いますし、間違った主張は今のところなさっていないように思います。

 これからもこういう形で頑張っていただければと思います。

投稿: あ | 2008年9月 4日 (木) 08時12分

 あさん。コメントありがとうございます。TOSHIです。

>単純な議論を喧々諤々するよりも、ちゃんと数学を勉強し、それを前提に議論すべきではないかと思います。

 そのとおりだと思います。私のブログ記事は別に新理論ではなくほとんどは単にもうすぐ還暦になる私の過去や現在の勉強した,あるいは勉強している,ことの備忘録です。

 世間ではとっくに解決した問題であろうが未解決問題だろうが私がそれを知らないとか理解できないなら,つまり私の中で解決してないなら,そのままではまったく無意味だと思っています。。

 それが私的な日記=ブログと掲示板の違いでしょう。。

 そしてそれを他人にも一応少し詳しくは紹介していますが,読みたいなら読んでください。そうでないなら別に読まなくてもいいですよ。というくらいのもんです。要するに自己満足なので大目に見てください。

 文句あるならあんたも勝手にブログ書きゃいいだろってな横柄なホームペイジですね。。。

 とはいうものの,間違いを書くつもりはないので,間違っていたら指摘してくださいという意識はありますし,コメント拒否ではなくむしろ歓迎です。コメントはおまけではなくコメントでにぎわっているろいう状況も私的にはうれしいです。

 しかし別に掲示板ではないので議論の場でもないし,私以外の他人の勉強の場でもないです。

 一応公開している=垂れ流しなので,日記とはいえ少しの責任はあるでしょうが,そもそもブログというのは日記なので暴論のようですが,自分の自慢であろうがひとりよがりであろうが,何を書いても何も批判される覚えはないという話も成立すると思います。

 というわけで,議論とか自分の勉強に関することであれば,記事のフッターにも入っていて私がサブマネージャーをしている旧パソコン通信ニフティサーブ「物理フォーラム(FPHYS)」から引き継いだfolomy「物理フォーラム(FPHYS)」 http://folomy.jp/heart/ でお願いします。

 一応2チャンネル化を避けるためフルアクセスは会員制ですが会員登録は無料となっています。書き込まず見るだけなら会員登録も不要です。
             TOSHI

投稿: TOSHI | 2008年9月 4日 (木) 07時45分

TOSHIさん
甘泉法師さん

 こういった自己共役演算子やエルミート演算子(=対称演算子)の問題は、数学的には解決しており、現在となっては教科書レベルの問題だと思います。

 運動量表示がいつ上手くいき、いつ上手くいかないのか、拘束状態はどのように現れるのか、超関数ポテンシャルはどのように考えればいいのか。こういったことはほぼ結論が出ています。
 単純な議論を喧々諤々するよりも、ちゃんと数学を勉強し、それを前提に議論すべきではないかと思います。

投稿: あ | 2008年9月 4日 (木) 07時15分

TOSHIさん

pが離散になるようなポテンシャルの例を考えました。
V(x):薄くて無限に高い壁が等間隔aで並んでいる。

○○↑○○○↑○○○↑○○
○○|○○○|○○○|○○
○○|○○○|○○○|○○
○○|○○○|○○○|○○
○○|○○○|○○○|○○
○○|○○○|○○○|○○
○○|○○○|○○○|○○
○○|○○○|○○○|○○
--------------x
ψ:壁の間にひとつの粒子に規格化。

エネルギー固有状態は全空間の波 sin (pn x ), pn = nπ/a hbar
この系に御計算を適用できると考えます。

=甘泉法師=

投稿: 甘泉法師 | 2008年9月 3日 (水) 13時56分

 TOSHIさん 早とちりをしてすみません。
 
>pが周期的境界条件(periodic boundary condition)を取るような離散固有値pk=kπhc/a (k=0,±1,±2,..,)であるような場合

1 周期的境界条件を課す場合はこの記事のようにφ(p)は離散化(フーリエ級数)し、<p^2n>は有限
 課さない場合は、φ(p)は連続で(フーリエ変換)先の御記事の計算のように<p^2n>は発散

 というふたつの前提の異なる計算と理解しました。

2 周期的境界条件を課すのはなぜでしょう。ψ(x)やV(x)からは周期構造がみえないのですが。 

3 先の御記事のように「周期的境界条件」なしにこの系を考える、つまり連続波数によるフーリエ変換はこの系では許されないのでしょうか。 

=甘泉法師=

投稿: 甘泉法師 | 2008年9月 3日 (水) 11時42分

TOSHIさん ご教示ありがとうございます。

>一方,運動量表示で計算すれば,<f(p^)>=<ψ|f(p^)|ψ>=Σkf(pk)|φ(pk)|2

先の記事では 連続値のpを考え 積分 ∫f(p)|φ(p)|2 dp を計算したのですが 
 φ(p)=Σφ(pk)δ(p- pk)、Σ|φ(pk)|^2=1 と離散化して和に改められたのですね。 わたしは下記のように先の記事の計算のほうが正しいように思うのですが・・・・

さて はんどるさん TOSHIさん わたしで三者三様の見解がでたことになります。
フォロミー【25】 無限深さ井戸ポテンシャルの系 冒頭の発言に、TOSHIさんの見解も加えまとめると

------------------
無限深さの井戸ポテンシャルの系。基底状態。波動関数の運動量表示と座標表示についての三者の認識。

1 運動量表示φ(p)は
   pは連続。積分して<p^2n>(n>2)は発散(はんどるさん 甘泉法師)
   pは離散。和をとって<p^2n>(n>2)は有限(TOSHIさん) 
2 座標表示での計算と 
   一致する。有限(TOSHIさん)
   一致しない。有限(はんどるさん)
   一致する。発散(甘泉法師)
3 微分p^nψ(x)には井戸境界に台の超関数とその微分(θ、δ、δ’,..) が 
   ある(甘泉法師)・ない(はんどるさん)・興味ない(TOSHIさん)
4 よって
   運動量表示と座標表示は同等(TOSHIさん 甘泉法師)、
   運動量表示は物理として疑問(はんどるさん)
------------------
はんどるさんの意見の補足説明  folo:fphys/290/topic/25/4 から
・ 無限深さでは基底状態が定義できないので、無限障壁としてください。
・「運動量表示」は正当と認められないので、「フーリエ変換した結果に基づき(n>2)を計算すると発散」が正しい。

フォロミーで議論できれば楽しいですね。わたしの手の内は先に示しました2発言(短いです)で全部さらけ出しております。

=甘泉法師=


投稿: 甘泉法師 | 2008年9月 3日 (水) 09時59分

 どもはんどるさん。コメントありがとうございます。TOSHIです。

 はんどるさんにというよりも甘泉さんんへの愚痴なので,ひまじん,不毛は言いすぎかもしれませんが,おっしゃるとおり,読んですぐ質問したり指摘したりでなく「ある程度完結してから人に意見を求めよ」ということに尽きるのですよ。

 自己の勉強不足による疑問かそうでないかを吟味してから質問なりなんなりをしてほしい,勉強不足による疑問までも対応していたらやはり不毛な時間になると思ったまでです。もちろんはんどるさんは私よりも度量がひろいんでしょうけど。。
               TOSHI

 

投稿: TOSHI | 2008年9月 3日 (水) 07時32分

 TOSHIさん回答有難うございます。

了解です。

>また,sinc(k±n)πというのはk±n=0 以外はゼロでしょう。?
もちろんです。計算が間違っているという指摘ではありません。
誤解を与えかねない不親切な表記だという指摘です。

当方のコメントの意図は、
∫[0,a] sin(pnx/hc)exp(-ipx)dxでのexp(-ipx)は、exp(-ipkx)とした方が理解されやすいという意味です。
または、<p|ψ>=∫ψp*(x)ψn(x)dxでのψp*(x)をψpk*(x)とするとか、
それとも最初に<x|p>=exp(-ipkx)としておくなどで、ψp*(x)が離散的であること明確化にした方が誤解されにくいだろうということです。

>exp(-ipx)なる式でp=pkを代入したのがψpk*(x)です。
どう表記するかご自由ですが、なんらかの表記でこの意味が明確に分かるようにしておいた方が望ましいと考えました。
確かに筋読めば分かる話なのですが、甘利法師さんのような方が誤解しても仕方ないかなと感じました。

余談:ひまじんとしての感想ですが甘利法師さんとの議論が収束しないのは、単なる自然科学の既存理論についての議論ではなく、甘利法師さん流の既存理論の拡張を伴うものですので、自己完結するまで収束することはないと考えます。
 甘利法師さんのコメントの意図は、この独自拡張方法についての意見を聞いているわけです。
(長期間の議論を通じて、甘利法師さんの考えがある程度判るようになりました。議論といっても矛盾点を指摘しただけですが。また、議論が不毛かどうかは分かりません。新しい算法やら解釈が確立されるかもしれませんし)。
 なんにせよ、ある程度完結してから人に意見を求めよという返答は、至極真っ当ですね。

投稿: はんどる | 2008年9月 3日 (水) 07時21分

 どもはんどるさん,TOSHIです。

>記事で
<x|p>≡ψp*(x)=exp(-ipx)となっており、
φn(p)=(2^(1/2)/a)∫[0,a] sin(pnx/hc)exp(-ipx)dx
を普通に計算するとsinc関数の和となるので、
pk=±pnのときだけゼロでなく,2^(-1/2)
というのと整合性が取れないということだと思います。

おそらく<x|p>=exp(-ipkx)との表記ミスではないかと思います。


 だから,別にミスではありません。<x|p>≡ψp*(x)=exp(-ipx)なる式でp=pkを代入したのがψpk*(x)です。

 また,sinc(k±n)πというのはk±n=0 以外はゼロでしょう。?

            TOSHI

投稿: TOSHI | 2008年9月 2日 (火) 22時09分

はんどるです。

この件はfolomyでTOSHIさんとの議論に到りませんでしたが、

甘泉法師さんの2の指摘はリーズナブルで、

記事で
<x|p>≡ψp*(x)=exp(-ipx)となっており、
φn(p)=(2^(1/2)/a)∫[0,a] sin(pnx/hc)exp(-ipx)dx
を普通に計算するとsinc関数の和となるので、
pk=±pnのときだけゼロでなく,2^(-1/2)
というのと整合性が取れないということだと思います。

おそらく<x|p>=exp(-ipkx)との表記ミスではないかと思います。

投稿: はんどる | 2008年9月 2日 (火) 21時13分

失敬、誤記がありましたので訂正します。

>同様に、

>ψ_m=∑1/n^m EXP(2inπ/a)

>はp^(m-1) p^m ψ_mまで二乗可積分ですが、
>ψ_mは二乗可積分では無かったりします。

>ψ_mは二乗可積分では無かったりします。

>p^m ψ_mは二乗可積分では無かったりします。

です。ご迷惑をおかけします。

投稿: あ | 2008年9月 2日 (火) 18時39分

 ちょっとした補足を。

 周期的境界条件を満たす、
EXP(2inπ/a)で張られる空間を考えます。

ψ_1=∑1/n EXP(2inπ/a)

は二乗可積分ですが、P ψ_1は二乗可積分では無かったりします。

 同様に、

ψ_m=∑1/n^m EXP(2inπ/a)

はp^(m-1) p^m ψ_mまで二乗可積分ですが、ψ_mは二乗可積分では無かったりします。

 種を明かすと、こいつらは絶対連続じゃなかったり、折れ曲がってたりしてて、微分がちゃんと定義できない点があったりします。もっとも、ルベーグ測度の、ほとんど、どこでも、という意味で微分可能ですが。

 そもそも、絶対連続な固有関数系のコーシー列から出発して、それでも変な事が起きた理由は、絶対連続な固有関数空間は完備でない(つまり、ヒルベルト空間ではない)からなのです。ただし、この空間は稠密ではあります。

 つまり、
「ヒルベルト空間は広くて性質が悪いけど、性質の良い空間に限定するとうまくいくよ。
ただし、その空間はヒルベルト空間じゃなくってこまったな。
でも、よく見てみると稠密な部分空間だから、十分いろいろな議論ができるよ」
って話です。

投稿: あ | 2008年9月 2日 (火) 18時24分

 どもTOSHIです。

 >甘泉さん「

 悪いのですが,教育の場でも議論の場でもないので,少しは自分で考えて疑問点は具体的に計算して,差異の点があれば私にもわかるように詳細に懇切丁寧に教えてください。

 自然科学の答えはシンプルなので持論を主張するのでなく双方納得できるように矛盾点は解消するように努力しましょう。

 T_NAKAさんではないけど,私自身がそこに疑問を持っているわけではないので私が調べたり計算する言われはないと思います。

 私は1年も不毛な議論するほどひまではありません。自然科学の既存理論についての議論はディベートじゃないので,たかだか知識レベルでのプライドなどは捨てて相互が協力して論点をしぼっていけば収束していくのがふつうだと思います。

 例えば「三角関数の。。。という」のは連続変数による定積分でしたが,今の記事では級数和に変わっていることに気づきましたか? こうした違いは自分で見つけてください。

              TOSHI

投稿: TOSHI | 2008年9月 2日 (火) 18時20分

TOSHIさん 甘泉法師です。
わかりやすい御説明ですが、「そして,<ψ|f(p^)|ψ>=...」以下最後の3つのパラグラフについては異論があります。

>f(-id/dx)ψn(x)=(2a)-1/2[f(pn)exp(ipnx/hc)-f(-pn)exp(-ipnx/hc)]なので,

1.座標表示での計算については、0と三角関数が接合する境界x=0,a でのψ",ψ^(3),ψ^(4),... の評価も必要でないでしょうか。拙僧の 
http://folomy.jp/heart/?m=pc&a=page_c_topic_detail&target_c_commu_topic_id=12734 発言34,38 をご批判いただければ幸いです。

>つまり6次のモーメント(moment;能率)が発散(diverge)したりすることはありません。

2.御記事2008年8月14日 (木)三角関数を含むある関数の定積分での計算 と整合するのでしょうか。

=甘泉法師=
 

投稿: 甘泉法師 | 2008年9月 2日 (火) 17時23分

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)




トラックバック


この記事へのトラックバック一覧です: 運動量表示による期待値の評価:

« 相対論の幾何学(第Ⅰ部-9:曲面上の幾何(1)) | トップページ | 上品な奴!! »