相対論の幾何学(第Ⅱ部-1)(ベクトル空間)

これまでは主に３次元空間内の２次元曲面の幾何学について論じてきましたが,ここからは一般のｎ次元空間内の多様体などの話について述べることから始めます。

さし当っての目的は接続やリーマン曲率などのより詳細な幾何学的意味を理解するためです。

まず,体Ｋの上の２つの抽象的なベクトル空間(線型空間)Ｖ,Ｗが与えられ,ＶからＷへの写像ｆが∀ｖ₁,ｖ₂∈Ｖ,∀ａ₁,ａ₂∈Ｋに対してｆ(ａ₁ｖ₁＋ａ₂ｖ₂)＝ａ₁ｆ(ｖ₁)＋ａ₂ｆ(ｖ₂)∈Ｗを満たすとき,ｆを線型写像と呼びます。

Ｖの元をベクトル,Ｋの元をスカラーと呼ぶことにします。

線型写像は,ベクトルの和とスカラー倍という演算を保つ準同型写像を意味します。特にＷがＫである場合,つまりｆがＶ→Ｋの線型写像ならｆを線型関数と呼びます。また,Ｗ＝Ｖならｆ:Ｖ→Ｖの線型写像ｆを線型変換と呼びます。

Imｆ≡ｆ(Ｖ)≡{ｆ(ｖ)|ｖ∈Ｖ}をＶの写像ｆによる像と呼びます。もちろん,ｆ(Ｖ)⊂Ｗです。

また,Kerｆ≡{ｖ∈Ｖ|ｆ(ｖ)＝0 }を写像ｆの核と呼びます。ｆが線型写像なら,ｆ(0)＝0 により,Kerｆ≠φです。

ＶとＷの間に同型写像(全単射(全射,かつ単射)の準同型写像)が１つでも存在するとき,ＶとＷは同型であるといいます。

ＶとＷが同型であることを,Ｖ～Ｗと書くことにします。

特に線型写像ｆの場合,これが同型写像であることは,Kerｆ＝{0}なることと同値です

ベクトル空間の１次独立な元の最大個数は,各ベクトル空間に固有であり,これを次元と呼びます。Ｖの次元,Ｗの次元をそれぞれdimＶ,dimＷと書きます。

ＶとＷが同型:Ｖ～Ｗなら,もちろん,dimＶ＝dimＷです。

逆に任意のｎ次元ベクトル空間は,全て線型空間としては同型,つまりdimＶ＝dimＷならＶ～Ｗなので,特に体Ｋのｎ次元数ベクトル空間:Ｋⁿと同型です。

Ｋ＝Ｒ(実数体)なら,Ｋⁿ＝Ｒⁿはｎ次元ユークリッド空間です。

dimＶ＝ｎの場合,Ｖ～Ｋⁿなので,ＶをＫⁿと同一視します。

一方ｆ:Ｋⁿ → Ｋⁿの線型変換は,ｎ次の正方行列と同型対応しますが,この変換行列の全体はリー群(Lie group)を作ります。

この行列群を一般線型変換群と呼びます。これは,ＧＬ(ｎ,Ｋ)で表わされるのが慣例です。

そこで,もしもＶ～Ｗ～Ｋⁿなら,Ｖ→Ｗの線型写像ｆも"ＧＬ(ｎ,Ｋ)の元＝ｎ次正方行列"と同型対応するので,ｆをそのＧＬ(ｎ,Ｋ)の元の変換行列と同一視します。

以下では特に,Ｖ～ＫⁿでＶがＫ上のｎ次元ベクトル空間である場合,ＶをＶ(ｎ,Ｋ)と書くことがあります。

線型代数学において,"線型空間Ｖ,Ｗがあるとき,Ｖ→Ｗの任意の線型写像ｆに対してdimＶ＝dim(Kerｆ)＋dim(Imｆ)が成立する。"という定理があります。

先に述べた,"ｆが同型写像であることはKerｆ＝{0}と同値である。"という命題はこの定理の特別な場合に相当しています。

さて,ｆ:Ｖ→Ｋをベクトル空間Ｖ＝Ｖ(ｎ,Ｋ)上のある線型関数とします。

{ｅ_i}_i=1,2,..,nをＶの１つの基底として,ｖ≡ｖ¹ｅ₁＋ｖ²ｅ₂＋..＋ｖⁿｅ_n∈Ｖを適当に選びます。

このとき,ｆ(ｖ) ＝ｖ¹ｆ(ｅ₁)＋ｖ²ｆ(ｅ₂)＋．．＋ｖⁿｆ(ｅ_n)と書けます。そこで,{ｆ(ｅ_i)}_i=1,2,..,nが決まれば関数ｆは完全に決決定されまります。

そしてＶ上の２つの任意の線型関数ｆ₁,ｆ₂に対し,∀ａ₁,ａ₂∈Ｋについて,{ａ₁ｆ₁＋ａ₂ｆ₂}(ｖ)≡ａ₁ｆ₁(ｖ)＋ａ₂ｆ₂(ｖ)によって関数ａ₁ｆ₁＋ａ₂ｆ₂を定義すれば,ａ₁ｆ₁＋ａ₂ｆ₂もまたＶ上の線形関数なのでＶ上の線型関数全体も再び線型空間になります。

この線型空間をＶ＝Ｖ(ｎ,Ｋ)の双対ベクトル空間といい,Ｖ^*(ｎ,Ｋ),あるいは単にＶ^*と表わします。

先に述べたように,ｆ:Ｖ→Ｋはｎ個のＫの元の組(ｆ(ｅ₁),ｆ(ｅ₂),..,ｆ(ｅ_n))で完全に決まります。

これらの値が１つでも欠けるとｆは決まりませんが,このｎ個の"スカラー＝数"を並べた組は正にｎ次元数ベクトルの形をしています。

それ故,線型関数ｆとＫⁿの元が完全に１対１に対応することになりますから,Ｖ^＊とＫⁿは同型です。

よってＶ^*の次元もｎです。すなわちdimＶ^*＝dimＶですね。

そして,ｅ^*k(ｅ_i)＝δ_i^k (i＝1,2,..,ｎ)のｎ個の値で定義されるｎ個の線型関数ｅ^*k (ｋ＝1,2,．．,ｎ)の組をＶ^*の双対基底と呼ぶことにします。

明らかに,任意の線型関数ｆはｆ＝Σ_kｆ_kｅ^*kと展開されます。

そこで,∀ｖ∈Ｖに対し,ｆ(ｖ)＝Σ_kｆ_kｅ^*k(ｖ)＝Σ_k,iｆ_kｖⁱｅ^*k(ｅ_i)＝Σ_kｆ_kｖ^kとなります。

右辺はｆ∈Ｖ^*の成分(ｆ₁,ｆ₂,..,ｆ_n)とｖ∈Ｖの成分(ｖ¹,ｖ²,..,ｖⁿ)の内積の形になっています。そこで,ｆ(ｖ)をＶ^*×Ｖ→Ｋの内積として(ｆ,ｖ)と書くこともあります。

ｆ:Ｖ→Ｗとｇ:Ｗ→Ｋがあるとき,合成写像ｇ・ｆをｈと書いてｈ(ｖ)≡ｇ(ｆ(ｖ));ｖ∈Ｖと定義することで,ｈ∈Ｖ^*が得られます。

これを,ｇ∈Ｗ^＊が与えられたときに,写像ｆ:Ｖ→Ｗが写像ｈ∈Ｖ^*を誘導したと見ます。そこで,このｇ→ｈなる対応をｆ^*としてｈ＝ｆ^*(ｇ)と書くと,誘導写像と呼ばれる写像ｆ^*:Ｗ^*→Ｖ^*が得られます。

ｈ＝ｆ^*(ｇ)を,ｆ^*によるｇの引き戻しと呼びます。

以下ではＫを実数体Ｒとして考察します。

さて,Ｖ＝Ｖ(ｍ,Ｒ)を基底{ｅ_i}_i=1,2,..,mを持つベクトル空間,Ｖ^*をその双対空間とします。

このときdimＶ^*＝dimＶなので,ＶとＶ^*の間には同型写像ｇ:Ｖ→Ｖ^*が存在します。

先に述べたようにｇはＧＬ(ｍ,Ｒ)の任意の元と同一視できますから,ｇの行列としての成分表示が存在します。

すなわち,同型写像ｇ:Ｖ→Ｖ^*は,ｇ:ｖ^j→Σ_kｇ_jkｖ^k,つまりｇｅ_j＝Σ_kｇ_kjｅ^*k,またはｖ＝Σ_jｖ^jｅ_j∈Ｖに対して,ｇｖ＝Σ_k,jｇ_kjｖ^jｅ^*k∈Ｖ^*と表現できます。

そこで,Ｖの任意の２つのベクトルｖ₁とｖ₂の内積をｇ(ｖ₁,ｖ₂)と書き,同型写像ｇ:Ｖ→Ｖ^*を用いてｇ(ｖ₁,ｖ₂)≡Σ_k,jｖ₁^kｇ_kjｖ₂^j＝^t(ｇｖ₁)ｖ₂＝^tｖ₁^tｇｖ₂と定義します。

さらに,ｇ(ｖ₂,ｖ₁)＝ｇ(ｖ₁,ｖ₂)であるようにｇの行列(ｇ_ij)はｇ_ji＝ｇ_ijなる対称行列ｇであるとし,常にｇ(ｖ,ｖ)≧0:行列ｇ＝(ｇ_ij)は正値であるとします。

これによって非負のｖのノルムを,ｇ(ｖ,ｖ)の正の平方根として定義できます。

ｇ_ji＝ｇ_ij (^tｇ＝ｇ) なので,ｇ(ｖ₁,ｖ₂)＝Σ_k,jｖ₁^kｇ_kjｖ₂^j＝^t(ｇｖ₁)ｖ₂＝^tｖ₁^tｇｖ₂は,ｇ(ｖ₁,ｖ₂)＝Σ_k,jｖ₁^kｇ_jkｖ₂^j＝^tｖ₁ｇｖ₂と書いても同じです。

ただし^tｖ₁,^tｇの左上添字ｔはそれぞれ行列ｖ₁,ｇの転置行列を示しています。

次に,上と同じくｇ:Ｖ→Ｖ^*がＶ＝Ｖ(ｍ,Ｒ)からＶ^*への同型写像であるとき,Ｗ＝Ｗ(ｍ,Ｒ)を基底{ｅ^W_α}_α=1,2,..,mを持つｍ次元ベクトル空間とし,Ｇ:Ｗ→Ｗ^*をＷからＷ^*への同型写像とします。

そして,線型写像ｆ:Ｖ→Ｗが与えられたとき,∀ｖ∈Ｖ,∀ｗ∈Ｗに対してＧ(ｗ,ｆｖ)＝ｇ(ｖ,ｆ~ｗ)を満たす写像ｆ~:Ｗ→Ｖをが存在すれば,これをｆ:Ｖ→Ｗの随伴と呼びます。

Ｇ(ｗ,ｆｖ)＝ｇ(ｖ,ｆ~ｗ)は成分表示では,Σ_α,β,kｗ^αＧ_αβｆ^β_kｖ^k＝Σ_k,j,αｖ^kｇ_kjｆ~^j_αｗ^αとなります。

ここに(ｆ^β_j),(ｆ~^j_α)は,それぞれ写像ｆ,ｆ~の行列成分表示です。

この等式から,随伴の条件は,Ｇ_αβｆ^β_k＝ｇ_kjｆ~^j_α,またはＧ,ｆ,ｇ,ｆ~を行列として,^tｆ^tＧ＝ｇｆ~,or ｆ~＝ｇ^{-1 t}ｆ^tＧなることで与えられることがわかります。

ここで,ｇ,Ｇは同型写像故,detｇ≠0,かつdetＧ≠0 なので,条件ｆ~＝ｇ^{-1 t}ｆ^tＧから,rankｆ＝rankｆ~であることが結論されます。

rankｆ＝dim(Imｆ)ですから,このことはdim(Imｆ)＝dim(Imｆ~)を意味します。

なお,Ｋが実数体Ｒではなくて複素数体Ｃのときには,ｖ₁,ｖ₂∈Ｖ＝Ｖ(ｎ,Ｃ)に対する内積はｇ:Ｖ＝Ｖ^*を同型写像としてｇ(ｖ₁,ｖ₂)≡Σ_k,jｖ₁^k*ｇ_kjｖ₂^jで定義されます。ただし,ｖ₁^k*は複素数ｖ₁^kの複素共役です。

そして,ｆの随伴ｆ~はＧ(ｗ,ｆｖ)^*＝ｇ(ｖ,ｆ~ｗ)で定義され,随伴であるための条件はｆ~＝ｇ^-1ｆ⁺Ｇ⁺となります。

ただし,ｆ⁺はｆのエルミート共役であり,行列の意味でｆ⁺≡^ｔｆ^*なることを意味します。また,dim(Imｆ) ＝dim(Imｆ~)が成立することはＫがＣでもＫがＲの場合と同じです。

したがって,Ｖ,Ｗが体Ｋ上の有限次元ベクトル空間でｆ:Ｖ→Ｗが線型写像であるとすると,dimＶ＝dim(Kerｆ)＋dim(Imｆ),かつdimＷ＝dim(Kerｆ~)＋dim(Imｆ~)なので,ｆ~がｆの随伴でdim(Imｆ)＝dim(Imｆ~)なることは,dim(Kerｆ)－dim(Kerｆ~)＝dimＶ－dimＷを意味します。

右辺の差dimＶ－dimＷは写像ｆの選択には無関係です。

もしも,ｆが微分作用素Ｄ^である場合,Ｄ^の随伴はＤ^⁺と書かれ,左辺のdim(Kerｆ)－dim(Kerｆ~)はdim(KerＤ^)－dim(KerＤ^⁺)と表現されますが,これを微分作用素Ｄ^の解析的指数といいます。

したがって,dim(Kerｆ)－dim(Kerｆ~)＝dimＶ－dimＷなる等式は後に述べる指数定理のミニチュア版となっています。

今日はここで終わります。

参考文献：中原幹夫 著「理論物理学のための幾何学とトポロジー」(ピアソン・エデュケーション)

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