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2008年10月 5日 (日)

相対論の幾何学(第Ⅱ部-2)(基本用語:多様体etc.)

相対論の幾何学第Ⅱ部の続きです。 

まず,前記事で述べた双対ベクトルの話を要約すると次のようになります。

すなわち,体Kの上のベクトル空間Vがあるとき,ベクトル∈Vの双対ベクトルfとは任意の∈Vをスカラ-f()(f,)∈Kに写す線型関数のことをいいます。

 

そして,この双対ベクトルf全体の集合も1つのベクトル空間となり,これをV*と書いて双対ベクトル空間と呼ぶのでした。

 

この線型関数を幾つかのベクトルと幾つかの双対ベクトルをスカラーに写す多重線型関数に一般化したものをテンソルと呼びます。

 

例えばp個の双対ベクトルとq個のベクトルを実数体に写す多重線形関数τ:V*p×q(p,q)型テンソルと呼ぶわけです。

 

この定義では,双対ベクトルfというのはVの線型関数ですから(0,1)型テンソルであり,元のベクトル∈V自身は(1,0)型テンソルです。また,スカラーは(0,0)型テンソルですね。

 そして,全ての(p,q)型テンソル全体の集合を(p,q)型テンソル空間といい,これを記号Tpqで表わすのが慣例です。

 

 また,テンソルμ∈Tpqとν∈p'q'のテンソル積τ≡μ×ν∈pq×p'q'は,p+p'q+q'の元で,(p+p',q+q')型の線型関数τ12,..,ωp12,..,ξp';1,2,..,q,1,2,..,q')≡μ(ω12,..,ωp;1,2,..,,q)ν(ξ12,..,ξp';1,2,..,q')で定義されます。

 テンソル空間の上での1つの演算である縮約というのは,(p,q)型テンソルから(p-1,q-1)型テンソルへの写像:τ12,..,ωp;1,2,..,q)∈pq→Σi=1nτ12,..,e*i,..,ωp;1,2,..,i,..,q)∈p-1q-1で与えられます。

 

 ここに{i},{e*i}は互いに双対基底です。

  

 ここで,上に定義された多重線形関数という意味でのテンソルが,物理学で馴染み深い成分の集合という形でのテンソルと同等なものであることを,追記として示しておきます。

 

 成分というのは基底の取り方次第でコロコロと変わるので,単に幾何学的実体の"座標=ラベル"という意味しか持たないのですが。。。

 

 Tpqの元である任意の"(p,q)型テンソル=多重線形関数"τ:V*p×qは,Vの基底{i}とV*の基底=双対基底{e*i}を用いると,τ12,..,ωp,1,2,..,q)=Σμ1,μ2..μp;λ1,λ2,,,λq=1nμ1ωμ2..ωμpλ1λ2..uλq(e*μ1,e*μ2,..,e*μp,λ1,λ2,..,λq)=Σμi;λk=1ni=1pωμi)(Πk=1qλk)τ(e*μ1,e*μ2,..,e*μp,λ1,λ2,..,λq)と展開表現されます。

 

 そこで,Tμ1,μ2..,μpλ1,λ2,,, λq≡τ(e*μ1,e*μ2,..,e*μp,λ1,λ2,..,λq)と定義して,これをテンソル(=多重線型関数)τの成分と呼べば,τ12,..,ωp,1,2,..,q)=Σμi;λk=1nμ1,μ2..,μpλ1,λ2,,, λqi=1pωμi)(Πk=1qλk)となります。

特に,縮約という演算Σj=1nτ12,..,e*j,..,ωp,1,2,..,j,..,q)は,τ12,..,ωp,1,2,..,q)=Σμi;λk=1nμ1,μ2..μpλ1,λ2,,,λqi=1pωμi)(Πk=1qλk)なる表現では,何を意味するかを見てみます。

 

これは,1≦s,t≦p,qを満たすある対(s,t)をとって,ωs=ωμs*μs,およびt=uλtλtを,それぞれe*j,およびjに置き換えた後に,j=1からnまで総和を取るものです。

 

これは,右辺でωμs=δμsj,uλt=δλtjとしてj=1からnまで和を取ることに相当しますから,テンソル成分としては(p,q)型テンソルの成分μ1,μ2..,μpλ1,λ2,,, λqにおいて,μs=λtとして,この同じ添字について1からnまで和を取ることで,(p-1,q-1)型テンソルの成分に変換することを意味します。

 次に,リーマン幾何学の説明に進もうと思いましたが,以下では,つい普通のテキストのように,そこで使用する用語の定義の羅列となってしまいました。

定義1.[位相空間]

 Xを任意の集合とし,O≡{Uα|α∈I}をXのある部分集合族とする。このときOの元がXの開集合,あるいは(開)近傍の条件を満たすとき,OをXの開集合全体の集合,すなわち開集合族と呼び,(X,O)の対,あるいはXのみを位相空間と呼ぶ。

 

 (※Oの任意の元が開集合,近傍の公理を満たすように与えられていれば,Oを開集合全体の集合=開集合族と呼ぶわけです。)

 

 U∈Oを開集合と呼び,OはXの位相を定めるという。このとき,FがXの閉集合であるとは,Fc∈Oなることをいう。ただし,FcはFの補集合:Fc=(X-F)です。

定義2.[連続性]

(X,X),(,X)を位相空間とするとき,写像f:X→Yが連続であるとは∀V∈OYに対してVの原像f-1(V)がXの開集合となること,つまりf-1(V)∈OXなることをいう。

定義3.[ハウスドルフ空間(Hausdorf空間)]

位相空間(X,O)がハウスドルフ空間であるとは,x≠x'なる∀x,x'∈Xに対しxの近傍,:Ux∈Oとx'の近傍:Ux'∈Oで,Ux∩Ux'=φを満たすものが存在するときをいう。

定義4.[コンパクト性]

(X,O)を位相空間とする。

 

まず,Xの部分集合族{Aα}がXの被覆であるとは.X=∪α∈Iαを満たすことをいう。もしも,全てのAαが位相Oの開集合であるとき,この被覆を開被覆と呼ぶ。

 

任意のXの開被覆{Aα}α∈Iに対し,Iのある有限部分集合Jが存在して,X⊂∪α∈Jαとできるとき,Xはコンパクトであるという。

定義5.[同相写像(位相同型写像:homeomorphism)]

,Yを位相空間とする。

 

写像f:X→Yが同相写像(位相同型写像)であるとは,fが連続,かつ全単射で,逆写像f-1:Y→Xもまた連続であることを言う。

 

XとYの間に同相写像が存在するとき,XはYに同相(位相同型:homeomorphic)であるという。

定義6.[微分可能多様体(滑らかな多様体)]

Mが以下の条件を満たすとき,これをm次元微分可能多様体(可微分多様体),または滑らかな多様体であるという。

 

(ⅰ)Mは位相空間である。

(ⅱ)Mに付随してMを被覆する開集合族{α},およびαからm次元のユークリッド空間mの開部分集合Vαの上への同相写像φαの対から成る族:{(αα)}が存在する。

(ⅲ)α∩Uβ≠φを満たすα,Uβに対しては,これらをつなぐ合成写像φαβ≡φα・φβ-1は,φβ(α∩Uβ)からφα(α∩Uβ)への無限回微分可能な(C-級)同相写像である。

定義7. [多様体の座標]

上述の対:(αα)をチャートいい,{(αα)}をアトラスという。αを座標近傍αを座標関数,または単に座標と呼ぶ。

 

そして,多様体Mの各々の局所的な地図である座標φα:αmは,その各点p∈αに対して,それぞれmの座標を示すm個の関数xμ(p)(μ=1,2,..,m)の数ベクトルとして,φα(p)≡(1(p),x2(p),..,xm(p))なる形で表現される。

 

そこで,この(p)≡{xμ(p)}μ=1,2,..mのことをp∈αの座標と呼ぶこともある。

定義7.[微分可能性,微分同相写像]

Mをm次元多様体,Nをn次元多様体とするとき,写像f:M→Nによって,点p∈Mはf(p)∈Nに写される。

 

そして,p⊂U,f(p)∈VなるM上のチャート(U,φ)とN上のチャート(V,ψ)を選ぶとき,ψ・f・φ-1:mnをfの座標表示という。

φ(p)=={xμ},ψ(f(p))=={yλ}と書けば,=ψ・f・φ-1()となる。これを簡略化して=f()と書くことがある。

 

そして=f()が各に対してC級のとき,fはp,あるいはφ(p)=において微分可能であるという。この微分可能写像fは滑らかな写像とも呼ばれる。

微分可能性は座標の選択によらないことも示せます。 

もしも,上の写像ψ・f・φ-1が可逆,つまり,その逆写像φ・f-1・ψ-1が存在するとき,ψ・f・φ-1とφ・f-1・ψ-1が共にC級であれば写像fを微分同相写像であるといいます。特にMとNは微分同相であるといいM≡Nと書く。

 

ψ・f・φ-1がMで可逆でM≡Nである,というのは,要するにこの写像のヤコービアン(Jacobian):det(ψ・f・φ-1)がM上の至る所でゼロでないことと同値です。

明らかにM≡Nはm=n,つまりdimM=dimNを意味します。

次元というのは,同型写像(全単射,かつ微分可能な連続写像)によって位相的には変わらないもの,すなわち位相不変量ですね。

 

これは本質的に1次元である滑らかな曲線で2次元以上の面や立体を塗りつぶすのは不可能であることなどを意味します。

したがって物理学でのエルゴード問題やフラクタル現象,あるいは確率過程における至る所で微分不可能な曲線を描く本質的にハウスドルフ次元が1次元ではなく2次元のブラウン運動とか,平面領域を曲線で塗りつぶせるペアノ曲線などの話は,上記の位相次元とは相容れないものです。 

短かいですが,今日はここで終わります。

参考文献:中原幹夫 著「理論物理学のための幾何学とトポロジー」(ピアソン・エデュケーション)

 

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コメント

昔、次元が位相不変量であることは難しくて投げ出しちゃいましたが、微分は局所線形化ですから、微分同相不変ならベクトル空間なみに簡単かもしれない。(と思っても、なかなか手が出ない)
ペアノ曲線の逆写像 (平面→直線) が不連続。くらいならすぐ分かるんだがなー。

投稿: hirota | 2008年10月 7日 (火) 12時31分

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