相対論の幾何学(第Ⅱ部-2)(基本用語:多様体etc.)

相対論の幾何学第Ⅱ部の続きです。 

まず,前記事で述べた双対ベクトルの話を要約すると次のようになります。

すなわち,体Ｋの上のベクトル空間Ｖがあるとき,ベクトルｖ∈Ｖの双対ベクトルｆとは任意のｖ∈Ｖをスカラ－ｆ(ｖ)＝(ｆ,ｖ)∈Ｋに写す線型関数のことをいいます。

そして,この双対ベクトルｆ全体の集合も１つのベクトル空間となり,これをＶ^*と書いて双対ベクトル空間と呼ぶのでした。

この線型関数を幾つかのベクトルと幾つかの双対ベクトルをスカラーに写す多重線型関数に一般化したものをテンソルと呼びます。

例えばｐ個の双対ベクトルとｑ個のベクトルを実数体Ｒに写す多重線形関数τ:Ｖ^*p×Ｖ^q→Ｒを(ｐ,ｑ)型テンソルと呼ぶわけです。

この定義では,双対ベクトルｆというのはＶ→Ｒの線型関数ですから(0,1)型テンソルであり,元のベクトルｖ∈Ｖ自身は(1,0)型テンソルです。また,スカラーは(0,0)型テンソルですね。

　そして,全ての(ｐ,ｑ)型テンソル全体の集合を(ｐ,ｑ)型テンソル空間といい,これを記号Ｔ^p_qで表わすのが慣例です。

　また,テンソルμ∈Ｔ^p_qとν∈Ｔ^p'_q'のテンソル積τ≡μ×ν∈Ｔ^p_q×Ｔ^p'_q'は,Ｔ^p+p'_q+q'の元で,(ｐ＋ｐ',ｑ＋ｑ')型の線型関数τ(ω₁,ω₂,..,ω_p,ξ₁,ξ₂,..,ξ_p';ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_q,ｖ₁,ｖ₂,..,ｖ_q')≡μ(ω₁,ω₂,..,ω_p;ｕ₁,ｕ₂,..,,ｕ_q)ν(ξ₁,ξ₂,..,ξ_p';ｖ₁,ｖ₂,..,ｖ_q')で定義されます。

　テンソル空間の上での１つの演算である縮約というのは,(ｐ,ｑ)型テンソルから(ｐ－1,ｑ－1)型テンソルへの写像:τ(ω₁,ω₂,..,ω_p;ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_q)∈Ｔ^p_q→Σ_i=1ⁿτ(ω₁,ω₂,..,ｅ^*i,..,ω_p;ｕ₁,ｕ₂,..,ｅ_i,..,ｕ_q)∈Ｔ^p-1_q-1で与えられます。

　ここに{ｅ_i},{ｅ^*i}は互いに双対基底です。

　ここで,上に定義された多重線形関数という意味でのテンソルが,物理学で馴染み深い成分の集合という形でのテンソルと同等なものであることを,追記として示しておきます。

　成分というのは基底の取り方次第でコロコロと変わるので,単に幾何学的実体の"座標＝ラベル"という意味しか持たないのですが。。。

　Ｔ^p_qの元である任意の"(ｐ,ｑ)型テンソル＝多重線形関数"τ:Ｖ^*p×Ｖ^q→Ｒは,Ｖの基底{ｅ_i}とＶ^*の基底＝双対基底{ｅ^*i}を用いると,τ(ω₁,ω₂,..,ω_p,ｕ₁,ｕ₂,．．,ｕ_q)＝Σ_{μ1,μ2..μp;λ1,λ2,,,λq=1}ⁿ(ω_μ1ω_μ2..ω_μpｕ^λ1ｕ^λ2．．ｕ^λq)τ(ｅ^*μ1,ｅ^*μ2,..,ｅ^*μp,ｅ_λ1,ｅ_λ2,..,ｅ_λq)＝Σ_μi;λk=1ⁿ(Π_i=1^pω_μi)(Π_k=1^qｕ^λk)τ(ｅ^*μ1,ｅ^*μ2,..,ｅ^*μp,ｅ_λ1,ｅ_λ2,..,ｅ_λq)と展開表現されます。

　そこで,Ｔ^{μ1,μ2..,μp}_{λ1,λ2,,, λq}≡τ(ｅ^*μ1,ｅ^*μ2,．．,ｅ^*μp,ｅ_λ1,ｅ_λ2,．．,ｅ_λq)と定義して,これをテンソル(＝多重線型関数)τの成分と呼べば,τ(ω₁,ω₂,．．,ω_p,ｕ₁,ｕ₂,．．,ｕ_q)＝Σ_μi;λk=1ⁿＴ^{μ1,μ2..,μp}_{λ1,λ2,,, λq}(Π_i=1^pω_μi)(Π_k=1^qｕ^λk)となります。

特に,縮約という演算Σ_j=1ⁿτ(ω₁,ω₂,．．,ｅ^*j,．．,ω_p,ｕ₁,ｕ₂,..,ｅ_j,..,ｕ_q)は,τ(ω₁,ω₂,..,ω_p,ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_q)＝Σ_μi;λk=1ⁿＴ^μ1,μ2..μp_{λ1,λ2,,,λq}(Π_i=1^pω_μi)(Π_k=1^qｕ^λk)なる表現では,何を意味するかを見てみます。

これは,1≦ｓ,ｔ≦ｐ,ｑを満たすある対(ｓ,ｔ)をとって,ω_s＝ω_μsｅ^*μs,およびｕ_t＝ｕ^λtｅ_λtを,それぞれｅ^*j,およびｅ_jに置き換えた後に,ｊ＝1からｎまで総和を取るものです。

これは,右辺でω_μs＝δ_μs^j,ｕ^λt＝δ^λt_jとしてｊ＝1からｎまで和を取ることに相当しますから,テンソル成分としては(ｐ,ｑ)型テンソルの成分Ｔ^{μ1,μ2..,μｐ}_{λ1,λ2,,, λq}において,μ_s＝λ_tとして,この同じ添字について1からｎまで和を取ることで,(ｐ－1,ｑ－1)型テンソルの成分に変換することを意味します。

　次に,リーマン幾何学の説明に進もうと思いましたが,以下では,つい普通のテキストのように,そこで使用する用語の定義の羅列となってしまいました。

定義１.[位相空間]

　Ｘを任意の集合とし,Ｏ≡{Ｕ_α|α∈Ｉ}をＸのある部分集合族とする。このときＯの元がＸの開集合,あるいは(開)近傍の条件を満たすとき,ＯをＸの開集合全体の集合,すなわち開集合族と呼び,(Ｘ,Ｏ)の対,あるいはＸのみを位相空間と呼ぶ。

　(※Ｏの任意の元が開集合,近傍の公理を満たすように与えられていれば,Ｏを開集合全体の集合＝開集合族と呼ぶわけです。)

　Ｕ∈Ｏを開集合と呼び,ＯはＸの位相を定めるという。このとき,ＦがＸの閉集合であるとは,Ｆ^c∈Ｏなることをいう。ただし,Ｆ^cはＦの補集合:Ｆ^c＝(Ｘ－Ｆ)です。

定義２.[連続性]

(Ｘ,Ｏ_X),(Ｙ,Ｏ_X)を位相空間とするとき,写像ｆ:Ｘ→Ｙが連続であるとは∀Ｖ∈Ｏ_Yに対してＶの原像ｆ^-1(Ｖ)がＸの開集合となること,つまりｆ^-1(Ｖ)∈Ｏ_Xなることをいう。

定義３.[ハウスドルフ空間(Hausdorf空間)]

位相空間(Ｘ,Ｏ)がハウスドルフ空間であるとは,ｘ≠ｘ'なる∀ｘ,ｘ'∈Ｘに対しｘの近傍,:Ｕ_x∈Ｏとｘ'の近傍:Ｕ_x'∈Ｏで,Ｕ_x∩Ｕ_x'＝φを満たすものが存在するときをいう。

定義４.[コンパクト性]

(Ｘ,Ｏ)を位相空間とする。

まず,Ｘの部分集合族{Ａ_α}がＸの被覆であるとは.Ｘ＝∪_α∈ＩＡ_αを満たすことをいう。もしも,全てのＡ_αが位相Ｏの開集合であるとき,この被覆を開被覆と呼ぶ。

任意のＸの開被覆{Ａ_α}_α∈Ｉに対し,Ｉのある有限部分集合Ｊが存在して,Ｘ⊂∪_α∈ＪＡ_αとできるとき,Ｘはコンパクトであるという。

定義５.[同相写像(位相同型写像:homeomorphism)]

Ｘ,Ｙを位相空間とする。

写像ｆ:Ｘ→Ｙが同相写像(位相同型写像)であるとは,ｆが連続,かつ全単射で,逆写像ｆ^-1:Ｙ→Ｘもまた連続であることを言う。

ＸとＹの間に同相写像が存在するとき,ＸはＹに同相(位相同型:homeomorphic)であるという。

定義６.[微分可能多様体(滑らかな多様体)]

Ｍが以下の条件を満たすとき,これをｍ次元微分可能多様体(可微分多様体),または滑らかな多様体であるという。

(ⅰ)Ｍは位相空間である。

(ⅱ)Ｍに付随してＭを被覆する開集合族{Ｕ_α},およびＵ_αからｍ次元のユークリッド空間Ｒ^mの開部分集合Ｖ_αの上への同相写像φ_αの対から成る族:{(Ｕ_α,φ_α)}が存在する。

(ⅲ)Ｕ_α∩Ｕ_β≠φを満たすＵ_α,Ｕ_βに対しては,これらをつなぐ合成写像φ_αβ≡φ_α・φ_β^-1は,φ_β(Ｕ_α∩Ｕ_β)からφ_α(Ｕ_α∩Ｕ_β)への無限回微分可能な(Ｃ^∞-級)同相写像である。

定義７. [多様体の座標]

上述の対:(Ｕ_α,φ_α)をチャートいい,{(Ｕ_α,φ_α)}をアトラスという。Ｕ_αを座標近傍,φ_αを座標関数,または単に座標と呼ぶ。

そして,多様体Ｍの各々の局所的な地図である座標φ_α:Ｕ_α→Ｒ^mは,その各点ｐ∈Ｕ_αに対して,それぞれＲ^mの座標を示すｍ個の関数ｘ^μ(ｐ)(μ＝1,2,..,ｍ)の数ベクトルとして,φ_α(ｐ)≡(ｘ¹(ｐ),ｘ²(ｐ),．．,ｘ^m(ｐ))なる形で表現される。

そこで,このｘ(ｐ)≡{ｘ^μ(ｐ)}_μ=1,2,..mのことをｐ∈Ｕ_αの座標と呼ぶこともある。

定義７.[微分可能性,微分同相写像]

Ｍをｍ次元多様体,Ｎをｎ次元多様体とするとき,写像ｆ:Ｍ→Ｎによって,点ｐ∈Ｍはｆ(ｐ)∈Ｎに写される。

そして,ｐ⊂Ｕ,ｆ(ｐ)∈ＶなるＭ上のチャート(Ｕ,φ)とＮ上のチャート(Ｖ,ψ)を選ぶとき,ψ・ｆ・φ^-1:Ｒ^m→Ｒⁿをｆの座標表示という。

φ(ｐ)＝ｘ＝{ｘ^μ},ψ(ｆ(ｐ))＝ｙ＝{ｙ^λ}と書けば,ｙ＝ψ・ｆ・φ^-1(ｘ)となる。これを簡略化してｙ＝ｆ(ｘ)と書くことがある。

そしてｙ＝ｆ(ｘ)が各ｘに対してＣ^∞級のとき,ｆはｐ,あるいはφ(ｐ)＝ｘにおいて微分可能であるという。この微分可能写像ｆは滑らかな写像とも呼ばれる。

微分可能性は座標の選択によらないことも示せます。 

もしも,上の写像ψ・ｆ・φ^-1が可逆,つまり,その逆写像φ・ｆ^-1・ψ^-1が存在するとき,ψ・ｆ・φ^-1とφ・ｆ^-1・ψ^-1が共にＣ^∞級であれば写像ｆを微分同相写像であるといいます。特にＭとＮは微分同相であるといいＭ≡Ｎと書く。

ψ・ｆ・φ^-1がＭで可逆でＭ≡Ｎである,というのは,要するにこの写像のヤコービアン(Jacobian):det(ψ・ｆ・φ^-1)がＭ上の至る所でゼロでないことと同値です。

明らかにＭ≡Ｎはｍ＝ｎ,つまりdimＭ＝dimＮを意味します。

次元というのは,同型写像(全単射,かつ微分可能な連続写像)によって位相的には変わらないもの,すなわち位相不変量ですね。

これは本質的に１次元である滑らかな曲線で２次元以上の面や立体を塗りつぶすのは不可能であることなどを意味します。

したがって物理学でのエルゴード問題やフラクタル現象,あるいは確率過程における至る所で微分不可能な曲線を描く本質的にハウスドルフ次元が１次元ではなく２次元のブラウン運動とか,平面領域を曲線で塗りつぶせるペアノ曲線などの話は,上記の位相次元とは相容れないものです。　

短かいですが,今日はここで終わります。

参考文献：中原幹夫 著「理論物理学のための幾何学とトポロジー」(ピアソン・エデュケーション)

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