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2008年10月10日 (金)

相対論の幾何学(第Ⅱ部-3)(多様体上のテンソル場)

相対論の幾何学の続きです。 

Mを1つのm次元微分可能多様体とします。

 

今,ゼロを内部に含む区間(a,b)とM上の曲線:(a,b)→M,あるいは(t)∈M(a<t<b)があり,さらにMを定義域とする関数f:M→R;f(p)∈(p∈M)が与えられているとします。

 

このとき,M上の点p=(0)における接ベクトルを関数f((t))のt=0 における方向微分として定義します。

すなわち,まずとfの合成関数としてtの関数:f・c(t)=f((t))のt=0 における微分係数df((t))/dt|t=0=Σμ=1m(∂f/∂xμ)[dxμ((t))/dt]|t=0を考えてみます。

 

点p=(0)の座標≡{xμ}は,局所的にはある座標関数φにより,=φ(p)で与えられます。

 

fはの関数としてはf(p)=f・φ-1()ですから,上式の(∂f/∂xμ)なる表式は,厳密には(∂(f・φ-1)/∂xμ)を意味します。

しかし,以下では簡単のために,記号(∂(f・φ-1)/∂xμ)を記号(∂f/∂xμ)で代用することにします。

 

また,縮約の際には添字に関するアインシュタインの規約を用いることにします。

 

例えば,上述のdf((t))/dt|t=0=Σμ=1m(∂f/∂xμ)[dxμ((t))/dt]|t=0の場合なら,2度現われる添字μについての総和記号Σμ=1mを省略して,df((t))/dt|t=0=(∂f/∂xμ)[dxμ((t))/dt]|t=0と書くわけです。

したがって,t=0 におけるf((t))のtによる微分係数は,Xμ≡[dxμ((t))/dt]|t=0 と置いて微分作用素^を,^≡Xμ(∂/∂xμ)と定義すれば,df((t))/dt|t=0=Xμ(∂f/∂xμ)=^[f]と書けます。

 

それ故,関数fには無関係で,曲線(t)∈M(a<t<b)のみに依存する係数Xμ≡[dxμ((t))/dt]|t=0 で決まる微分作用素:^≡Xμ(∂/∂xμ)を,p=(0)における多様体Mの(t)方向の接ベクトルと呼ぶことにします。

ただし,M上の2つの曲線1(t)と2(t)が同じ点p∈Mで交差するときは,p=1(0)=2(0)となるようにパラメータtを選びます。

 

もしも,[dxμ(1(t))/dt]|t=0=[dxμ(2(t))/dt]|t=0が成立するなら,曲線1(t)と2(t)は全く同じ微分作用素^≡Xμ(∂/∂xμ);Xμ≡[dxμ((t))/dt]|t=0 を与えることがわかります。

そこで,上のように1(0)=2(0),かつ[dxμ(1(t))/dt]|t=0=[dxμ(2(t))/dt]|t=0となるとき,1(t)~2(t)と書くことにすれば,これで定義される関係 ~ は同値関係の条件を満たすので,この関係によって滑らかな曲線全体の集合を類別することができます。

 

そこで,上の関係による曲線の同値類を[(t)]≡{~(t)|~(t)~(t)}で定義すれば,微分作用素^≡Xμ(∂/∂xμ);Xμ≡[dxμ((t))/dt]|t=0,つまり点p=(0)での接ベクトルは,個々の曲線ではなく,pを共有する曲線の同値類[(t)]の各々と1対1に対応することがわかります。

そして,pにおけるさまざまな曲線の同値類{[(t)]}の全体に対応する接ベクトルの全体の集合は明らかに1つのベクトル空間(線型空間)を作ります。これを点pにおけるMの接空間,あるいは接ベクトル空間と呼び,Tp(M)と書くことにます。

p(M)={^≡Xμ(∂/∂xμ) (Xμ≡[dxμ((t))/dt]|t=0),p=(0),(t)∈[(t)]}なので,明らかにμ≡(∂/∂xμ)(μ=1,2,..,m)なる接ベクトルの集合を接空間Tp(M)のベクトル空間としての基底(basis)として与えることができます。

 

これらのベクトル{μ}μ=1,2,..,mは1次独立であって空間Tp(M)はこれらによって張られますから,Tp(M)のベクトル空間としての次元はmで,これは多様体Mの次元と同じです。

そして,μ=(∂/∂xμ)の形の基底{μ}を接空間Tp(M)の座標基底と呼びます。さらに任意の^∈Tp(M)について,これを^=Xμμと表現したときの係数{Xμ}μ=1,2,..,m^のμに関する成分と呼びます。

 

しかし,ベクトルというのは単なるラベルに過ぎない座標(=成分)とか基底とかの選択には無関係に存在する幾何学的実体です。

 

それ故,p∈U∩Vを満たすチャート(U,φ),および(V,ψ)を用いた異なる座標表示で,同じ点pがそれぞれ≡{xμ}=φ(p),および≡{yμ}=ψ(p)で表現されるとき,^=Xμ(∂/∂xμ)=Yμ(∂/∂yμ)と書けると考えられます。

したがって^[yμ]=Xν(∂yμ/∂xν),同じく^[yμ]=Yν(∂yμ/∂yν)=Yμにより,ベクトルの成分Xμ→Yμの変換性として,Yμ=Xν(∂yμ/∂xν)なる表式が得られます。あるいは,逆にXμ=Yν(∂xμ/∂yν)と表わされることがわかります。

 

それ故,Tp(M)の基底を~μ≡(∂/∂yμ)に選んで^=Yμ~μと書いてもよく,^=Yμ~μ=Xμμ=Yμ(∂xν/∂yμ)νなる等式が成立することから,~μ=Λμννμν≡(∂xν/∂yμ)と書けます。

これらのことを考えると,ベクトル空間としてのTp(M)の基底は必ずしも何らかの座標≡{xμ}=φ(p),≡{yμ}=ψ(p)に基づく,(∂/∂xμ),(∂/∂yμ)なる形のベクトルから成る座標基底である必要はなく,

 

ある座標≡{xμ}についての座標基底μ=(∂/∂xμ)に対し,変換~μ=Λμννで得られる{~μ}であって,変換行列Λ={Λμν}がdetΛ≠0 を満たすGL(m,)の元でありさえすれば,何でもよいことがわかります。

 

座標基底ではない基底を非座標基底と呼びます。

さて,接空間Tp(M)は1つのベクトル空間なので,これは(1,0)型テンソルであり,(0,1)型テンソルとしてTp(M)の上の線型関数全体,つまりTp(M)→の線型写像の全体としてのTp(M)の双対ベクトル空間が存在します。

 

これをpにおけるMの余接空間と呼び,Tp*(M)と書きます。

 

そして以前,2次元多様体(空間曲面)の話の中で述べたようにTp*(M)の任意の元ω:Tp(M)→は微分形式としての1-形式(1-form)を意味することがわかります。

すなわち,ベクトル^=Xμ^μ=Xμ(∂/∂xμ)∈Tp(M)なる表現では^の成分は{Xμ}で与えられるので,それに双対なベクトルω∈Tp* (M),すなわち線型関数ω:Tp(M)→の対応する双対基底についての成分を{ωμ}とすれば,^のωによる像はω(^)=Xμωμとなるはずです。

 

そこで,ω(μ)=ωμ(μ=1,2,..,m)でありωμの値全部が決まれば関数ωも決まります。

{μ};μ=(∂/∂xμ)の双対基底:{e*μ}はe(ν)=δμνを満たすTp*(M)の基底であると定義されますが,δμν=∂xμ/∂xνなのでこれはe*μ(∂/∂xν)=∂xμ/∂xνν[xμ]を意味します。

 

このeを特別な微分1-形式の記号:dxμで表記することにすれば,e(∂/∂xν)=dxμ(∂/∂xν)=δμνとなります。

 

こうすると,一般の線型関数ω∈Tp*(M)はω=ωμ*μ=ωμdxμの形に書けることになりますが,この最右辺の形は微分1-形式を意味しています。

 

ただし,あくまで定義によって微分1-形式の形にしただけなので,以下の理論展開で定義が整合的で有り続けること,well-definedであることを常に確認する必要があります。

特に,fの全微分に対応する形式df=(∂f/∂xμ)dxμでは,df(μ)=df(∂/∂xμ)=∂f/∂xμであり,df(^)=Xμ(∂f/∂xμ)=^[f]となります。

 

そして,df(^)=^[f]∈が内積という意味を持つことを明確に表現するために,これを<df,^>と表記することにします。

 

この表現では双対基底の条件:e(∂/∂xν)=dxμ(∂/∂xν)=δμνは,<dxμ,∂/∂xν>=δμνとなります。

もちろん,ベクトル^=Xμμ=Xμ(∂/∂xμ)∈Tp(M)とω=ωμ*μ=ωμdxμ∈Tp*(M)については,<ω,^>=ωμμとなります。

 

ここで,別の基底表現:^=Yμ~μ,ω==ω~μdyμを採用するとき,Yμ=Xν(∂yμ/∂xν),かつω~ν=ωμ(∂xμ/∂yν)なのでω~μμ=ωμμが成立するため,ωμμという表現での内積<ω,^>の値は座標系の選択には依存しません。

また,q個のTp*(M)の元とr個のTp(M)の元からへの多重線型関数で定義される(q,r)型テンソルは,^≡Tμ1,μ2..,μpλ1,λ2,,, λq(∂m/∂xμ1∂xμ2.., ∂xμp)dxλ1dxλ2..dxλqと表わされます。

 

すなわち,i^≡Viμ(∂/∂xμ)(1≦i≦r),およびωi≡ωdxμ(1≦i≦q)と書けば,^のこれらのベクトルへの作用は,あるの元:^(ω12,..,ωq;1^,2^,..,p^)=Tμ1,μ2..,μpλ1,λ2,..,λqω1μ1ω2μ2,..,ωqμq1ν12ν2..Vrνrを定めるという操作ですね。

 

この左辺の(q,r)型テンソルの記号^(ω12,..,ωq;1^,2^,..,p^)を(0,1)型テンソルωに適用すれば,先に定義した内積は<ω,^>=ω(^)と表現されますが,実は右辺の表記ω(^)は単にωが^の関数であるという意味で既に普通に使っています

次に,Mの各点p∈Mにおいて滑らかに接ベクトルが与えられているとき,これをベクトル場と呼び,p^と表わします。

 

もちろん,p^∈Tp(M)です。

 

同様に,p∈Mにおける(q,r)型のテンソル全体の集合をTqr,p(M)として,各点p∈MにTqr,p(M)の1つの元p^を滑らかに対応させたものを(q,r)型のテンソル場と呼びます。

 

(q,r)型のテンソル場p^の全体{p^}はTqr,p(M)の部分集合ですが,Mの上の(q,r)型のテンソル場の全体∪p∈M{p^}はTqr(M)なる記号で表わすことにします。

さて,次にはm次元の滑らかな多様体Mとn次元の滑らかな多様体NがあってM→Nの滑らかな写像fがある場合,すなわち,Mの各点p∈Mに対してNの点f(p)∈Nが滑らかに対応するとき,fに関連してMとNの接ベクトルの間にはどのような対応関係があるか,ということについて考察してみます。

 

N上の任意の滑らかな関数g:N→に対し,上の写像fとの合成写像としてg・f:M→を作ることができますが,この関数g・fに対しp∈MにおけるMの任意の接ベクトル^∈Tp(M)の作用を^[g・f]と書くことができます。

一方,p∈MにおけるMの接ベクトル^∈Tp(M)にf(p)∈NにおけるNの1つの接ベクトル,すなわち,Tf(p)(N)の1つの元を対応させる写像φを考えます,つまりφ(^)∈Tf(p)(N)ですね。

 

そして,上の写像φの中で特にN上の任意の滑らかな関数g:N→に対してφ(^)[g]≡^[g・f]を満たすφをf*と書きます。

 

つまり,f*(^)[g]≡^[g・f]によって写像f*:Tp(M)→Tf(p)(N)を定義するわけです。

 

すなわち,f:M→Nとg:N→,および^∈Tp(M)に対し,^のg(f(p))への作用がf*(^)のgへの作用と一致するように写像f*を定義します。

 

こうして自然な拡張として得られる写像f*:Tp(M)→Tf(p)(N)をfの微分写像と呼びます。

 

ただし,p∈M,かつf(p)∈Nは座標の関数としてφ(p)=m,かつψ(f(p))=nを意味しますからf*(^)[g]≡^[g・f]なる式は,厳密には*(^)[g・ψ-1()]≡^[g・f・φ-1()]と表現さるべきです。

 

そこで,接ベクトルの陽な成分表示:^=Vμ(∂/∂xμ),f*(^)=Wμ(∂/∂yμ)を想定して,これらを上式に代入すると,成分の間の関係としてWν(∂[g・ψ-1()]/∂yν)=Vλ(∂[g・f・φ-1()]/∂xλ)が得られます。

さらに,最後に得られた式に,特にg・ψ-1()≡yμを代入すると,Wμ=Vλ(∂yμ/∂xλ)が得られます。

 

ここで=ψ(f(p))=ψ(f・φ-1())より,g・f・φ-1()=g・ψ-1()なることを用いました。

 

以上から,座標に写す写像の陽な表現=ψ(f(p))=ψ(f・φ-1())が,ψ-1()=f・φ-1(),つまり写像f:M→Nの陽な表現p→f(p)に同等であることに着目するなら^からf*(^)への変換を示すVλの係数行列(∂yμ/∂xλ)が多様体間の写像fを平坦な座標空間m→Rn間の写像と同一視したときの変換行列であるヤコービアンと一致することがわかります。

 

このような意味で,微分写像f*:Tp(M)→Tf(p)(N)を写像f:M→Nによって誘導される写像と呼びます。

一方,f*(^)[g]≡^[g・f]を満たす写像としてf:M→Nからの誘導写像*:Tp(M)→Tf(p)(N)を定めた上述の論旨のアナロジーで,双対空間においても写像fから誘導される写像f*:Tf(p)*(N)→Tp*(M)を,<f*(ω),^>≡<ω,f*(^)>を満たす写像として自然に定義できます。

 

f:M→Nに対して,f*がTp(M)からTf(p)(N)への写像であったのに反し*の方はTf(p)*(N)からTp*(M)への写像であって,これは対応する接空間の間での写像の向きが元の多様体の間の写像fの向きとは逆なので,いわゆる引き戻しと呼ばれるものの一種ですね。

今日はここで終わります。 

参考文献:中原幹夫 著「理論物理学のための幾何学とトポロジー」(ピアソン・エデュケーション)

 

PS:いやぁ,さっきは危うく低血糖症で死ぬところでした。。

 

冷蔵庫に板チョコが一枚あったので何とか小康状態になって命拾いしました。

 

昼に朝昼兼用でインスタントラーメンと半ライスを食べたきりで夜10時過ぎまでブログ書きと校正に没頭したために,つい飲食を忘れてしまいました。大量の冷や汗をかきました。

 

まあ,糖尿病とのつきあいは長いので低血糖症状とその対応については恐らく下手な医者や看護師よりも私の方が心得ているのではないかと思いますが,めったにないけどまわりに誰もいない状況だと,つい歯止めが効かなくて困りますねえ。。

 

まあ,日頃はいつ死んでもいいとか広言していますが,急に来るとちょっとあせりますね。。。

 

関係ないですが,金持ちになりたい,出世したい,名誉が欲しいとかいう類の一般的な上昇志向性は,あると厄介なもので,衣食住に困らないなら別の意味の志向性があればそれで十分だと思います。

 

しかし,神ではない以上,その種の五欲に連なる上昇志向性も多少はないと生きていこうという気力も萎えるのでは?という気がします。(生命の息吹きはリビドーのおかげってか。。。。)

 

若い頃は,恥ずかしいとかいう類の感情,思春期特有の感情などに結構悩まされましたが,今となってはそうした煩わしいと思っていた感情が薄れて消えていくこと,例えば微妙な感受性の喪失と共に,美に対する様々な感性も失われていくことなどの方が恐ろしいと感じます。。

 

いつまで経っても,年端もゆかぬガキと同じく,大人としての生活臭の乏しい自分はふとこんなことなど考えてしまいました。

 

(大人っていうのは日々の糧を得る仕事のこと,親や子供の世話,家事など目先の事や,それと関連した世の中の政治・経済などへの関心とか,とにかく生活臭というか,生きていくそのものに精一杯で,贅沢に夢みたいなことを言ってる暇などないんだよ。。)

 

ところで,自分にしか興味がないってことはないけど。。"元々特別なオンリー・ワン"(←盗作)に特別な思いがあるのは,誰にとっても当然なことでしょう。。

 

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コメント

接ベクトルを曲線の同値類で定義する、というのは初めて見ました。(結構マゴついてしまった!)
僕が知ってるのは、p∈M 近傍の可微分関数 f, g に対する実数値線形写像 X で
 X(fg) = g(p)X(f) + f(p)X(g)
を満たすものを p での接ベクトルとする定義 (共変微分も同様) くらいでしたが、色々あるもんですね。

今ごろ気付きましたが、「p 近傍の可微分関数」などと言うアヤシゲな表現を「可微分関数の芽」の意味と理解できないと困るかもしれない定義でした。(「芽」というのは、p から離れたところを無視した同値類です)

投稿: hirota | 2008年10月17日 (金) 15時50分

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