相対論の幾何学(第Ⅱ部-3)(多様体上のテンソル場)

相対論の幾何学の続きです。 

Ｍを１つのｍ次元微分可能多様体とします。

今,ゼロを内部に含む区間(ａ,ｂ)とＭ上の曲線ｃ:(ａ,ｂ)→Ｍ,あるいはｃ(ｔ)∈Ｍ(ａ＜ｔ＜ｂ)があり,さらにＭを定義域とする関数ｆ:Ｍ→Ｒ;ｆ(ｐ)∈Ｒ(ｐ∈Ｍ)が与えられているとします。

このとき,Ｍ上の点ｐ＝ｃ(0)における接ベクトルを関数ｆ(ｃ(ｔ))のｔ＝0 における方向微分として定義します。

すなわち,まずｃとｆの合成関数としてｔの関数:ｆ・ｃ(ｔ)＝ｆ(ｃ(ｔ))のｔ＝0 における微分係数ｄｆ(ｃ(ｔ))/ｄｔ|_ｔ=0＝Σ_μ=1^m(∂ｆ/∂ｘ^μ)[ｄｘ^μ(ｃ(ｔ))/ｄｔ]|_ｔ=0を考えてみます。

点ｐ＝ｃ(0)の座標ｘ≡{ｘ^μ}は,局所的にはある座標関数φにより,ｘ＝φ(ｐ)で与えられます。

ｆはｘの関数としてはｆ(ｐ)＝ｆ・φ^-1(ｘ)ですから,上式の(∂ｆ/∂ｘ^μ)なる表式は,厳密には(∂(ｆ・φ^-1)/∂ｘ^μ)を意味します。

しかし,以下では簡単のために,記号(∂(ｆ・φ^-1)/∂ｘ^μ)を記号(∂ｆ/∂ｘ^μ)で代用することにします。

また,縮約の際には添字に関するアインシュタインの規約を用いることにします。

例えば,上述のｄｆ(ｃ(ｔ))/ｄｔ|_ｔ=0＝Σ_μ=1^m(∂ｆ/∂ｘ^μ)[ｄｘ^μ(ｃ(ｔ))/ｄｔ]|_ｔ=0の場合なら,２度現われる添字μについての総和記号Σ_μ=1^mを省略して,ｄｆ(ｃ(ｔ))/ｄｔ|_ｔ=0＝(∂ｆ/∂ｘ^μ)[ｄｘ^μ(ｃ(ｔ))/ｄｔ]|_ｔ=0と書くわけです。

したがって,ｔ＝0 におけるｆ(ｃ(ｔ))のｔによる微分係数は,Ｘ^μ≡[ｄｘ^μ(ｃ(ｔ))/ｄｔ]|_ｔ=0 と置いて微分作用素Ｘ^を,Ｘ^≡Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)と定義すれば,ｄｆ(ｃ(ｔ))/ｄｔ|_ｔ=0＝Ｘ^μ(∂ｆ/∂ｘ^μ)＝Ｘ^[ｆ]と書けます。

それ故,関数ｆには無関係で,曲線ｃ(ｔ)∈Ｍ(ａ＜ｔ＜ｂ)のみに依存する係数Ｘ^μ≡[ｄｘ^μ(ｃ(ｔ))/ｄｔ]|_ｔ=0 で決まる微分作用素:Ｘ^≡Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)を,ｐ＝ｃ(0)における多様体Ｍのｃ(ｔ)方向の接ベクトルと呼ぶことにします。

ただし,Ｍ上の２つの曲線ｃ₁(ｔ)とｃ₂(ｔ)が同じ点ｐ∈Ｍで交差するときは,ｐ＝ｃ₁(0)＝ｃ₂(0)となるようにパラメータｔを選びます。

もしも,[ｄｘ^μ(ｃ₁(ｔ))/ｄｔ]|_ｔ=0＝[ｄｘ^μ(ｃ₂(ｔ))/ｄｔ]|_ｔ=0が成立するなら,曲線ｃ₁(ｔ)とｃ₂(ｔ)は全く同じ微分作用素Ｘ^≡Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ);Ｘ^μ≡[ｄｘ^μ(ｃ(ｔ))/ｄｔ]|_ｔ=0 を与えることがわかります。

そこで,上のようにｃ₁(0)＝ｃ₂(0),かつ[ｄｘ^μ(ｃ₁(ｔ))/ｄｔ]|_ｔ=0＝[ｄｘ^μ(ｃ₂(ｔ))/ｄｔ]|_ｔ=0となるとき,ｃ₁(ｔ)～ｃ₂(ｔ)と書くことにすれば,これで定義される関係 ～ は同値関係の条件を満たすので,この関係によって滑らかな曲線全体の集合を類別することができます。

そこで,上の関係による曲線の同値類を[ｃ(ｔ)]≡{ｃ~(ｔ)|ｃ~(ｔ)～ｃ(ｔ)}で定義すれば,微分作用素Ｘ^≡Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ);Ｘ^μ≡[ｄｘ^μ(ｃ(ｔ))/ｄｔ]|_ｔ=0,つまり点ｐ＝ｃ(0)での接ベクトルは,個々の曲線ではなく,ｐを共有する曲線の同値類[ｃ(ｔ)]の各々と１対１に対応することがわかります。

そして,ｐにおけるさまざまな曲線の同値類{[ｃ(ｔ)]}の全体に対応する接ベクトルの全体の集合は明らかに１つのベクトル空間(線型空間)を作ります。これを点ｐにおけるＭの接空間,あるいは接ベクトル空間と呼び,Ｔ_p(Ｍ)と書くことにます。

Ｔ_p(Ｍ)＝{Ｘ^≡Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ) (Ｘ^μ≡[ｄｘ^μ(ｃ(ｔ))/ｄｔ]|_ｔ=0),ｐ＝ｃ(0),ｃ(ｔ)∈[ｃ(ｔ)]}なので,明らかにｅ_μ≡(∂/∂ｘ^μ)(μ＝1,2,..,ｍ)なる接ベクトルの集合を接空間Ｔ_p(Ｍ)のベクトル空間としての基底(basis)として与えることができます。

これらのベクトル{ｅ_μ}_μ=1,2,..,mは１次独立であって空間Ｔ_p(Ｍ)はこれらによって張られますから,Ｔ_p(Ｍ)のベクトル空間としての次元はｍで,これは多様体Ｍの次元と同じです。

そして,ｅ_μ＝(∂/∂ｘ^μ)の形の基底{ｅ_μ}を接空間Ｔ_p(Ｍ)の座標基底と呼びます。さらに任意のＸ^∈Ｔ_p(Ｍ)について,これをＸ^＝Ｘ^μｅ_μと表現したときの係数{Ｘ^μ}_μ=1,2,..,mをＸ^のｅ_μに関する成分と呼びます。

しかし,ベクトルというのは単なるラベルに過ぎない座標(＝成分)とか基底とかの選択には無関係に存在する幾何学的実体です。

それ故,ｐ∈Ｕ∩Ｖを満たすチャート(Ｕ,φ),および(Ｖ,ψ)を用いた異なる座標表示で,同じ点ｐがそれぞれｘ≡{ｘ^μ}＝φ(ｐ),およびｙ≡{ｙ^μ}＝ψ(ｐ)で表現されるとき,Ｘ^＝Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)＝Ｙ^μ(∂/∂ｙ^μ)と書けると考えられます。

したがってＸ^[ｙ^μ]＝Ｘ^ν(∂ｙ^μ/∂ｘ^ν),同じくＸ^[ｙ^μ]＝Ｙ^ν(∂ｙ^μ/∂ｙ^ν)＝Ｙ^μにより,ベクトルの成分Ｘ^μ→Ｙ^μの変換性として,Ｙ^μ＝Ｘ^ν(∂ｙ^μ/∂ｘ^ν)なる表式が得られます。あるいは,逆にＸ^μ＝Ｙ^ν(∂ｘ^μ/∂ｙ^ν)と表わされることがわかります。

それ故,Ｔ_p(Ｍ)の基底をｅ~_μ≡(∂/∂ｙ^μ)に選んでＸ^＝Ｙ^μｅ~_μと書いてもよく,Ｘ^＝Ｙ^μｅ~_μ＝Ｘ^μｅ_μ＝Ｙ^μ(∂ｘ^ν/∂ｙ^μ)ｅ_νなる等式が成立することから,ｅ~_μ＝Λ_μ^νｅ_ν,Λ_μ^ν≡(∂ｘ^ν/∂ｙ^μ)と書けます。

これらのことを考えると,ベクトル空間としてのＴ_p(Ｍ)の基底は必ずしも何らかの座標ｘ≡{ｘ^μ}＝φ(ｐ),ｙ≡{ｙ^μ}＝ψ(ｐ)に基づく,(∂/∂ｘ^μ),(∂/∂ｙ^μ)なる形のベクトルから成る座標基底である必要はなく,

ある座標ｘ≡{ｘ^μ}についての座標基底ｅ_μ＝(∂/∂ｘ^μ)に対し,変換ｅ~_μ＝Λ_μ^νｅ_νで得られる{ｅ~_μ}であって,変換行列Λ＝{Λ_μ^ν}がdetΛ≠0 を満たすＧＬ(ｍ,Ｒ)の元でありさえすれば,何でもよいことがわかります。

座標基底ではない基底を非座標基底と呼びます。

さて,接空間Ｔ_p(Ｍ)は１つのベクトル空間なので,これは(1,0)型テンソルであり,(0,1)型テンソルとしてＴ_p(Ｍ)の上の線型関数全体,つまりＴ_p(Ｍ)→Ｒの線型写像の全体としてのＴ_p(Ｍ)の双対ベクトル空間が存在します。

これをｐにおけるＭの余接空間と呼び,Ｔ_p^*(Ｍ)と書きます。

そして以前,２次元多様体(空間曲面)の話の中で述べたようにＴ_p^*(Ｍ)の任意の元ω:Ｔ_p(Ｍ)→Ｒは微分形式としての１-形式(1-form)を意味することがわかります。

すなわち,ベクトルＸ^＝Ｘ^μｅ^_μ＝Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)∈Ｔ_p(Ｍ)なる表現ではＸ^の成分は{Ｘ^μ}で与えられるので,それに双対なベクトルω∈Ｔ_p^* (Ｍ),すなわち線型関数ω:Ｔ_p(Ｍ)→Ｒの対応する双対基底についての成分を{ω_μ}とすれば,Ｘ^のωによる像はω(Ｘ^)＝Ｘ^μω_μとなるはずです。

そこで,ω(ｅ_μ)＝ω_μ(μ＝1,2,..,ｍ)でありω_μの値全部が決まれば関数ωも決まります。

{ｅ_μ};ｅ_μ＝(∂/∂ｘ^μ)の双対基底:{ｅ^*μ}はｅ^*μ(ｅ_ν)＝δ^μ_νを満たすＴ_p^*(Ｍ)の基底であると定義されますが,δ^μ_ν＝∂ｘ^μ/∂ｘ^νなのでこれはｅ^*μ(∂/∂ｘ^ν)＝∂ｘ^μ/∂ｘ^ν＝ｅ_ν[ｘ^μ]を意味します。

このｅ^*μを特別な微分1-形式の記号:ｄｘ^μで表記することにすれば,ｅ^*μ(∂/∂ｘ^ν)＝ｄｘ^μ(∂/∂ｘ^ν)＝δ^μ_νとなります。

こうすると,一般の線型関数ω∈Ｔ_p^*(Ｍ)はω＝ω_μｅ^*μ＝ω_μｄｘ^μの形に書けることになりますが,この最右辺の形は微分1-形式を意味しています。

ただし,あくまで定義によって微分1-形式の形にしただけなので,以下の理論展開で定義が整合的で有り続けること,well-definedであることを常に確認する必要があります。

特に,ｆの全微分に対応する形式ｄｆ＝(∂ｆ/∂ｘ^μ)ｄｘ^μでは,ｄｆ(ｅ_μ)＝ｄｆ(∂/∂ｘ^μ)＝∂ｆ/∂ｘ^μであり,ｄｆ(Ｘ^)＝Ｘ^μ(∂ｆ/∂ｘ^μ)＝Ｘ^[ｆ]となります。

そして,ｄｆ(Ｘ^)＝Ｘ^[ｆ]∈Ｒが内積という意味を持つことを明確に表現するために,これを＜ｄｆ,Ｘ^＞と表記することにします。

この表現では双対基底の条件:ｅ^*μ(∂/∂ｘ^ν)＝ｄｘ^μ(∂/∂ｘ^ν)＝δ^μ_νは,＜ｄｘ^μ,∂/∂ｘ^ν＞＝δ^μ_νとなります。

もちろん,ベクトルＸ^＝Ｘ^μｅ_μ＝Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)∈Ｔ_p(Ｍ)とω＝ω_μｅ^*μ＝ω_μｄｘ^μ∈Ｔ_p^*(Ｍ)については,＜ω,Ｘ^＞＝ω_μＸ^μとなります。

ここで,別の基底表現:Ｘ^＝Ｙ^μｅ~_μ,ω＝＝ω~_μｄｙ^μを採用するとき,Ｙ^μ＝Ｘ^ν(∂ｙ^μ/∂ｘ^ν),かつω~_ν＝ω_μ(∂ｘ^μ/∂ｙ^ν)なのでω~_μＹ^μ＝ω_μＸ^μが成立するため,ω_μＸ^μという表現での内積＜ω,Ｘ^＞の値は座標系の選択には依存しません。

また,ｑ個のＴ_p^*(Ｍ)の元とｒ個のＴ_p(Ｍ)の元からＲへの多重線型関数で定義される(ｑ,ｒ)型テンソルは,Ｔ^≡Ｔ^{μ1,μ2..,μp}_{λ1,λ2,,, λq}(∂^m/∂ｘ^μ1∂ｘ^μ2.., ∂ｘ^μp)ｄｘ^λ1ｄｘ^λ2..ｄｘ^λqと表わされます。

すなわち,Ｖ_i^≡Ｖ_i^μ(∂/∂ｘ^μ)(1≦ｉ≦ｒ),およびω_i≡ω_iμｄｘ^μ(1≦ｉ≦ｑ)と書けば,Ｔ^のこれらのベクトルへの作用は,あるＲの元:Ｔ^(ω₁,ω₂,..,ω_q;Ｖ₁^,Ｖ₂^,..,Ｖ_p^)＝Ｔ^{μ1,μ2..,μp}_{λ1,λ2,..,λq}ω_1μ1ω_2μ2,..,ω_qμqＶ₁^ν1Ｖ₂^ν2..Ｖ_r^νrを定めるという操作ですね。

この左辺の(ｑ,ｒ)型テンソルの記号Ｔ^(ω₁,ω₂,..,ω_q;Ｖ₁^,Ｖ₂^,..,Ｖ_p^)を(0,1)型テンソルωに適用すれば,先に定義した内積は＜ω,Ｘ^＞＝ω(Ｘ^)と表現されますが,実は右辺の表記ω(Ｘ^)は単にωがＸ^の関数であるという意味で既に普通に使っています。

次に,Ｍの各点ｐ∈Ｍにおいて滑らかに接ベクトルが与えられているとき,これをベクトル場と呼び,Ｖ_p^と表わします。

もちろん,Ｖ_p^∈Ｔ_p(Ｍ)です。

同様に,ｐ∈Ｍにおける(ｑ,ｒ)型のテンソル全体の集合をＴ^q_r,_p(Ｍ)として,各点ｐ∈ＭにＴ^q_r,_p(Ｍ)の１つの元Ｔ_p^を滑らかに対応させたものを(ｑ,ｒ)型のテンソル場と呼びます。

(ｑ,ｒ)型のテンソル場Ｔ_p^の全体{Ｔ_p^}はＴ^q_r,_p(Ｍ)の部分集合ですが,Ｍの上の(ｑ,ｒ)型のテンソル場の全体∪_ｐ∈Ｍ{Ｔ_p^}はＴ^q_r(Ｍ)なる記号で表わすことにします。

さて,次にはｍ次元の滑らかな多様体Ｍとｎ次元の滑らかな多様体ＮがあってＭ→Ｎの滑らかな写像ｆがある場合,すなわち,Ｍの各点ｐ∈Ｍに対してＮの点ｆ(ｐ)∈Ｎが滑らかに対応するとき,ｆに関連してＭとＮの接ベクトルの間にはどのような対応関係があるか,ということについて考察してみます。

Ｎ上の任意の滑らかな関数ｇ:Ｎ→Ｒに対し,上の写像ｆとの合成写像としてｇ・ｆ:Ｍ→Ｒを作ることができますが,この関数ｇ・ｆに対しｐ∈ＭにおけるＭの任意の接ベクトルＶ^∈Ｔ_p(Ｍ)の作用をＶ^[ｇ・ｆ]と書くことができます。

一方,ｐ∈ＭにおけるＭの接ベクトルＶ^∈Ｔ_p(Ｍ)にｆ(ｐ)∈ＮにおけるＮの1つの接ベクトル,すなわち,Ｔ_f(p)(Ｎ)の１つの元を対応させる写像φを考えます,つまりφ(Ｖ^)∈Ｔ_f(p)(Ｎ)ですね。

そして,上の写像φの中で特にＮ上の任意の滑らかな関数ｇ:Ｎ→Ｒに対してφ(Ｖ^)[ｇ]≡Ｖ^[ｇ・ｆ]を満たすφをｆ_*と書きます。

つまり,ｆ_*(Ｖ^)[ｇ]≡Ｖ^[ｇ・ｆ]によって写像ｆ_*:Ｔ_p(Ｍ)→Ｔ_f(p)(Ｎ)を定義するわけです。

すなわち,ｆ:Ｍ→Ｎとｇ:Ｎ→Ｒ,およびＶ^∈Ｔ_p(Ｍ)に対し,Ｖ^のｇ(ｆ(ｐ))への作用がｆ_*(Ｖ^)のｇへの作用と一致するように写像ｆ_*を定義します。

こうして自然な拡張として得られる写像ｆ_*:Ｔ_p(Ｍ)→Ｔ_f(p)(Ｎ)をｆの微分写像と呼びます。

ただし,ｐ∈Ｍ,かつｆ(ｐ)∈Ｎは座標の関数としてφ(ｐ)＝ｘ∈Ｒ^m,かつψ(ｆ(ｐ))＝ｙ∈Ｒⁿを意味しますからｆ_*(Ｖ^)[ｇ]≡Ｖ^[ｇ・ｆ]なる式は,厳密にはｆ_*(Ｖ^)[ｇ・ψ^-1(ｙ)]≡Ｖ^[ｇ・ｆ・φ^-1(ｘ)]と表現さるべきです。

そこで,接ベクトルの陽な成分表示:Ｖ^＝Ｖ^μ(∂/∂ｘ^μ),ｆ_*(Ｖ^)＝Ｗ^μ(∂/∂ｙ^μ)を想定して,これらを上式に代入すると,成分の間の関係としてＷ^ν(∂[ｇ・ψ^-1(ｙ)]/∂ｙ^ν)＝Ｖ^λ(∂[ｇ・ｆ・φ^-1(ｘ)]/∂ｘ^λ)が得られます。

さらに,最後に得られた式に,特にｇ・ψ^-1(ｙ)≡ｙ^μを代入すると,Ｗ^μ＝Ｖ^λ(∂ｙ^μ/∂ｘ^λ)が得られます。

ここでｙ＝ψ(ｆ(ｐ))＝ψ(ｆ・φ^-1(ｘ))より,ｇ・ｆ・φ^-1(ｘ)＝ｇ・ψ^-1(ｙ)なることを用いました。

以上から,座標ｘをｙに写す写像の陽な表現ｙ＝ψ(ｆ(ｐ))＝ψ(ｆ・φ^-1(ｘ))が,ψ^-1(ｙ)＝ｆ・φ^-1(ｘ),つまり写像ｆ:Ｍ→Ｎの陽な表現ｐ→ｆ(ｐ)に同等であることに着目するならＶ^からｆ_*(Ｖ^)への変換を示すＶ^λの係数行列(∂ｙ^μ/∂ｘ^λ)が多様体間の写像ｆを平坦な座標空間Ｒ^m→Ｒⁿ間の写像と同一視したときの変換行列であるヤコービアンと一致することがわかります。

このような意味で,微分写像ｆ_*:Ｔ_p(Ｍ)→Ｔ_f(p)(Ｎ)を写像ｆ:Ｍ→Ｎによって誘導される写像と呼びます。

一方,ｆ_*(Ｖ^)[ｇ]≡Ｖ^[ｇ・ｆ]を満たす写像としてｆ:Ｍ→Ｎからの誘導写像ｆ_*:Ｔ_p(Ｍ)→Ｔ_f(p)(Ｎ)を定めた上述の論旨のアナロジーで,双対空間においても写像ｆから誘導される写像ｆ^*:Ｔ_f(p)^*(Ｎ)→Ｔ_p^*(Ｍ)を,＜ｆ^*(ω),Ｖ^＞≡＜ω,ｆ_*(Ｖ^)＞を満たす写像として自然に定義できます。

ｆ:Ｍ→Ｎに対して,ｆ_*がＴ_p(Ｍ)からＴ_f(p)(Ｎ)への写像であったのに反しｆ^*の方はＴ_f(p)^*(Ｎ)からＴ_p^*(Ｍ)への写像であって,これは対応する接空間の間での写像の向きが元の多様体の間の写像ｆの向きとは逆なので,いわゆる引き戻しと呼ばれるものの一種ですね。

今日はここで終わります。 

参考文献：中原幹夫 著「理論物理学のための幾何学とトポロジー」(ピアソン・エデュケーション)

ＰＳ:いやぁ,さっきは危うく低血糖症で死ぬところでした。。

冷蔵庫に板チョコが一枚あったので何とか小康状態になって命拾いしました。

昼に朝昼兼用でインスタントラーメンと半ライスを食べたきりで夜10時過ぎまでブログ書きと校正に没頭したために,つい飲食を忘れてしまいました。大量の冷や汗をかきました。

まあ,糖尿病とのつきあいは長いので低血糖症状とその対応については恐らく下手な医者や看護師よりも私の方が心得ているのではないかと思いますが,めったにないけどまわりに誰もいない状況だと,つい歯止めが効かなくて困りますねえ。。

まあ,日頃はいつ死んでもいいとか広言していますが,急に来るとちょっとあせりますね。。。

関係ないですが,金持ちになりたい,出世したい,名誉が欲しいとかいう類の一般的な上昇志向性は,あると厄介なもので,衣食住に困らないなら別の意味の志向性があればそれで十分だと思います。

しかし,神ではない以上,その種の五欲に連なる上昇志向性も多少はないと生きていこうという気力も萎えるのでは？という気がします。(生命の息吹きはリビドーのおかげってか。。。。)

若い頃は,恥ずかしいとかいう類の感情,思春期特有の感情などに結構悩まされましたが,今となってはそうした煩わしいと思っていた感情が薄れて消えていくこと,例えば微妙な感受性の喪失と共に,美に対する様々な感性も失われていくことなどの方が恐ろしいと感じます。。

いつまで経っても,年端もゆかぬガキと同じく,大人としての生活臭の乏しい自分はふとこんなことなど考えてしまいました。

(大人っていうのは日々の糧を得る仕事のこと,親や子供の世話,家事など目先の事や,それと関連した世の中の政治・経済などへの関心とか,とにかく生活臭というか,生きていくそのものに精一杯で,贅沢に夢みたいなことを言ってる暇などないんだよ。。)

ところで,自分にしか興味がないってことはないけど。。"元々特別なオンリー・ワン"(←盗作)に特別な思いがあるのは,誰にとっても当然なことでしょう。。

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